Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра физики

 

ФИЗИКА

 

Механика и статистическая физика 

Методические указания к  выполнению лабораторных работ.

Лабораторный практикум с использованием компьютера

для студентов всех форм обучения специальностей

 

 

Алматы 2008

 

СОСТАВИТЕЛИ: М.Ш. Карсыбаев, Т.Д. Дауменов, А.И. Кенжебекова.      Физика. Механика и статистическая физика. Методические указания к выполнению ла­бораторных работ. Лабораторный практикум с использованием компьютера для студентов всех форм обучения специальностей. - Алматы:   АИЭС,  2008. – 29 с. 

В методических  указаниях  даны описания шести лабораторных  работ по механике и молекулярной физике, предназначенных для выполнения на ком­пьютере. В них изложены краткая теория,  методика и порядок выполнения эксперимента с помощью персонального компьютера,  блок-схемы модели­руемых экспериментальных установок, обработка  результатов измерений с помощью  метода Стьюдента, тесты  для  контроля  (самоконтроля) знаний студентов  или  для  допуска (защиты ) к лабораторным работам. Методиче­ские указания предназначены для студентов всех специальностей  и всех форм обучения   и могут использоваться  для дистанционного обучения на  заочном факультете.

 

Введение

В методических указаниях даны описания шести лабораторных работ по механике и статистической физике. Во всех работах после ее названия указываются цель и основные  задачи, краткая теория изучаемых вопросов, методика эксперимента и схемы установок, порядок выполнения работ на персональном компьютере и таблицы для  внесения результатов измерений, после получения результатов измерений используется метод Стьюдента для обработки результатов. Программы двух лабораторных работ - № 2 и но­вой № 5 - составлены на языке Delphi и могут быть использованы в среде Windows XP, в остальных работах сохранен язык программирования Pascal и они могут работать только в среде Windows-98.

В большинстве работ (№№ 2, 3, 5, 10) имеется возможность проверки вы­числений в выбранном варианте после введения пароля преподавателем.

В ходе подготовки студента к лабораторному занятию ему необходимо ознакомиться с теорией  и методикой выполнения лабораторной работы  по данным  методическим указаниям. При проведении измерений в “виртуаль­ном эксперименте” на компьютере необходимо занести результаты в соот­ветствующие таблицы, произвести расчеты и представить конечный резуль­тат и погрешности по методу малых выборок (методу Стьюдента). Необхо­димо далее проанализировать полученные результаты и сформулировать выводы по выполненной работе.

Выполняемый на персональном компьютере "виртуальный эксперимент" близок по всем условиям его проведения и параметрам к реальному экспе­рименту, поэтому мы надеемся, что в результате его проведения студенты приобретут некоторые навыки экспериментальной и исследовательской ра­боты и научной обработки результатов измерений.

1 Лабораторная работа ММФ-2К. Изучение законов кинематики и динамики на машине Атвуда

          Цель работы: приобретение навыков исследования кинематических уравнений прямолинейного равномерного и  равноускоренного движения  и основного уравнения динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела.

Основные задачи:

- определение скорости равномерного движения груза на машине Атвуда;

- определение ускорения  при равноускоренном движении груза;

- проверка второго закона Ньютона.

         1.1  Методика  эксперимента

         Движение механической системы (см. рисунок 1), состоящей из двух грузов с массами   и , где - масса перегрузка, связанных нерастяжимой невесомой нитью, и блока радиуса  и моментом инерции описывается законами классической механики Ньютона [1].

          Если грузы одинаковы (по массе), то потенциальная энергия системы не зависит от высоты поднятия грузов, так как убыль потенциальной энергии одного из них приводит к такому же приращению потенциальной энергии второго груза.

          Когда же грузы различны, изменение потенциальной энергии механической системы определяется  изменением  положения  перегрузка  , т.е.

                                                                                                    (1)

Потенциальная энергия системы превращается в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения системы (работой по преодолению сил тяжести можно пренебречь)

                                                          (2)

где  - кинетическая энергия левого груза (без перегрузка);

 - кинетическая энергия  правого  груза (с перегрузком);

 - кинетическая энергия вращательного движения блока.

Учитывая, что  и угловая скорость  вращения диска радиуса   и линейная скорость  соответственно равны   и , можно получить выражение для определения ускорения системы  в виде

                                               .                                       (3)

Если пренебречь моментом инерции блока , формула для ускорения примет вид

                                                                             (4)

где   - полная масса системы  и   - масса  перегрузка.

После снятия перегрузка грузы будут двигаться равномерно со скоростью ,  которая при неизменном расстоянии   останется постоянной, т.е.

                                                                            (5)

          При равноускоренном движении без начальной скорости  ускорение равно , где  - конечная скорость, которая равна скорости равномерного движения и, следовательно, может быть найдена по формуле

Тогда окончательное выражение для определения ускорения запишется в виде                               

                                               .                                                   (6)

          Одним из способов проверки второго закона Ньютона является проверка соотношения (4). Для этого, полная масса системы  должна оставаться постоянной, а величина действующей силы - изменяться. Тогда

                                                                                (7)

где , …- массы перегрузков.

1.2  Описание экспериментальной установки

         Машина Атвуда РРМ-02 состоит из вертикальной колонны с масштабной линейкой (50 см), на которой закреплены три кронштейна (верхний крон­штейн с  постоянной фиксацией на рисунке 1 не показан).                              

На колонне установлен легкий блок, способный вра­щаться с незначитель­ным трением, и электромаг­нит. Через блок перекинута легкая нить с прикреп­ленными на концах грузами  одинаковой массы. Электромагнит удерживает блок с грузами в со­стоянии покоя. Средний кронштейн снабжен коль­цом для снятия перегрузка . В момент прохожде­ния груза через кольцо включается секундомер, из­меряющий  время   равномерного движе­ния грузов на пути . Измеряя расстояния, пройденные грузом соответст­венно при равноускоренном  и равно­мерном  движении, а также время , можно прове­рить  основные  законы кинематики и динамики поступатель­ного движения и вычислить ускорение свободного падения. Подробнее теория метода опи­сана, например, в [3].   

                                        

 

                                            Рисунок 1  Схема  установки

1.3  Проведение эксперимента на компьютере

         1.3.1 Выбрать на рабочем столе (экране) лабораторную работу MMF-2New и дважды нажать левой кнопкой мыши. Затем в появляющемся  перечне фай­лов (тем) последовательно выбрать BIN, Lab и MMF2. exe и вновь нажать  на Enter.  Появится окно с указанием  института, кафедры, названия работы (см. ри­сунок 2). 

      

 

Рисунок 2 - Титульный лист лабораторной работы ММФ-2К

 

В нижней части этого листа отмечается соответствующий вид работы - тео­рия, лабораторная работа, тесты защиты и выход после окончания работы. Нажатие на вид работы «Лабораторная» дает окно, в котором выбираются параметры установки: длина  штанги в пределах от 40 до 75 см; массы гру­зов (50-200 г); масса перегрузка на правом грузе (10-50 г) и число опытов (3-10). Работа запускается нажатием на кнопку «Начать».

1.4 Задание 1: Определение скорости равномерного движения правого груза, которое имеет место после снятия перегрузка на среднем кронштейне.

1.4.1 Установить высоту  равномерного движения (ниже среднего кронштейна) в соответствующем индикаторе.

1.4.2 Время  равномерного движения груза  для различных значений    измеряется с помощью секундомера.

1.4.3  Проверить соотношение:

                                     

1.4.4 Найти среднее значение  , абсолютную  и относительную  (%)  погрешности по методу Стьюдента, записать конечный результат для скорости в виде

                                     .

       Перейдите к заданию 2, нажав на соответствующую индикаторную кнопку.

         1.5 Задание 2:  Изучение равноускоренного движения

1.5.1 В индикаторах положения верхнего и нижнего фиксаторов (крон­штейнов) установить выбранные расстояния равноускоренного  и равно­мерного  движения груза.

1.5.2 Измерить время равномерного движения груза  (в миллисекун­дах) для выбранных расстояний  и , нажав на кнопку «Запустить».

1.5.3  Вычислить ускорение равноускоренного движения по формуле

                                      ,

подставляя все числовые значения физических величин в системе СИ.

1.5.4 Повторить предыдущие пункты измерений для разных значений  и , изменяя их в соответствующих индикаторах с помощью левой кнопки мыши.

1.5.5  Вычислить , абсолютную  и относительную  (%) погрешно­сти с помощью метода Стьюдента и записать конечный результат в виде

                                      .

Перейдите к заданию 3, нажав на соответствующую индикаторную кнопку.

        1.6 Задание 3: Проверка второго закона Ньютона

        1.6.1  Установить первые значения массы перегрузка  на правом грузе  от 10 до 50 грамм и расстояния  от 50 до 10 см.

        1.6.2  Измерить с помощью секундомера время  равномерного движе­ния груза для выбранных значений  и ,  данные занести в таблицу и  вы­числить значения ускорения .

        1.6.3 Повторить измерения для других значений перегрузка и расстоя­ний в соответствии с выбранным числом опытов.

        1.6.4 Проверить соотношение , где , …- массы перегрузков.

1.6.5  Вычислить относительную погрешность измерений для отношения a/m.

1.6.6  Все данные заданий 1, 2 и 3  внести соответственно в таблицы 1, 2 и 3.

 

 

     Т а б л и ц а  1.1

, м

, c

, м/c

 

 

 

 

     Т а б л и ц а  1.2

, м

, м

, c

, м/c2

 

 

 

 

 

     Т а б л и ц а  1.3

, кг

, м

, c

, м/c2

 

 

 

 

 

По полученным результатам сформулировать выводы по каждому заданию относительно выполнения законов с указанием погрешности "виртуального" эксперимента (при возможности, сравнить с точностью реального эксперимента), а также представить отчет по данной работе.

 

         2 Лабораторная работа ММФ-3К. Определение коэффициента трения методом наклонного маятника   

 

Цель работы: овладение методом и приобретение навыков измерения ко­эффициента трения.

Задача: определить коэффициент трения качения для металлов при раз­личных углах наклона маятника.

2.1    Краткая теория

При перемещении одного тела относительно другого по его поверхности или слоев одного и того же тела относительно друг друга возникает сопротивление, обусловленное силой трения  [4].  Сила трения направлена тангенциально относительно перемещения соприкасающихся тел и равна произведению коэффициента трения k на силу нормального давления : .

Величина коэффициента трения зависит от материала поверхностей, их микрогеометрического профиля (состояния), смазки, среды и других факторов.  Различают силу трения покоя, скольжения и качения. Трение качения возникает при перекатывании одного тела (шара) по поверхности другого. При этом возникают как упругие, так и пластические деформации. Из-за де­формации поверхностей линия действия силы реакции Q, направленная пер­пендикулярно поверхности,  не совпадает с линией действия силы нормаль­ного давления [2], равной весу шара. Нормальная составляющая силы ре­акции  уравновешивается силой нормального давления , а горизонталь­ная составляющая представляет собой силу трения качения. При равномер­ном движении шара должно выполняться правило равенства моментов: момент силы трения качения относительно точки О равен произведению нормальной составляющей силы реакции опоры  на расстояние смеще­ния из-за контактных деформаций  , где   - радиус шара.

Рисунок 3

 

         Учитывая, что , для определения силы трения качения получим выражение  

                                               .                                                      (8)

Величину  называют коэффициентом трения качения, представляющую собой плечо силы  и имеющую размерность длины.

2.2  Методика эксперимента

         Для исследования явления трения  в данной  работе  используется  метод  наклонного маятника [4].

Шарик, подвешенный на нити, опирается на наклонную плоскость, угол наклона которой  можно изменять. Если шарик вывести из положения равновесия, он начнет перекатываться по плоскости.  Причем, движение его имеет характер колебаний, затухающих, главным образом, под действием внешнего трения.

 

Рисунок 4

 

Измерение силы трения с помощью наклонного маятника основано на из­мерении уменьшения амплитуды колебаний за определенное число циклов.

Энергия, рассеянная за цикл колебаний маятника , равна работе силы трения на пройденном   пути, т.е. . Работой по преодолению сопро­тивления среды и тре­ния в подвесе можно пренебречь.

За  колебаний маятник теряет энергию . С учетом (8) можно записать

                                                                                         (9)

где  - масса маятника;

 - потеря высоты центром тяжести маятника, кото­рая (как видно из рисунка) равна

                                     

где  ;

  - амплитудное значение угла отклонения маятника в начальный момент;

- амплитуда отклонения через  n  колебаний;

 - длина маятника.

Путь, пройденный центром тяжести маят­ника за  колебаний, равен           .

          Подставляя эти выражения в (9) и учитывая, что нормальная составляющая силы тяжести ,  получим

                                               .

Последнее выражение можно упростить, учитывая, что , т.е. получим

                                      .                                           (10)

         Значения углов  и   следует выражать в радианах.

2.3 Экспериментальная установка

Прибор "Наклонный маятник РРМ-07" предназначен для определения коэффициента  трения качения.  Принцип действия наклонного маятника показан на рисунках 3 и 4. Угол наклона маятника  ,  где  - угол между наклонной плоскостью и вертикалью.  На кронштейн подвешен шар с водилкой,  совершающей колебания по пластине (см. рисунок 4).

2.4 Порядок выполнения эксперимента на компьютере

2.4.1 Выбрать из списка на экране название работы ММФ-3, подвести к нему с помощью мыши курсор и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. После раскрытия пакета вновь установить курсор на ММФ-3 с изображением экрана и дважды щелкнуть мышью. В ходе всей работы для перехода к следующему кадру используется мышь. Появится титульный лист, затем - название, цель и поставленная задача данной лабораторной работы.

2.4.2 На очередном появившемся кадре с помощью указанных в рамке на экране стрелок  "Вверх" и "Вниз" выбрать количество (от 3 до 10) измерений, указанных вам преподавателем, и щелкнуть по надписи "Готово".

2.4.3 Далее на экране появляется содержание данной работы, включающее теорию, работу, тесты и выход. Последний выбирается в последнюю оче­редь после завершения работы, но позволяет закрыть программу в любой момент в случае необходимости.

2.4.4 Щелкнув мышью по теории, ознакомьтесь с теоретическим введением и рисунком 3,  поясняющим  метод  измерения  коэффициента  трения качения, описанием экспериментальной установки с рисунком 4 и экспериментальной частью,  в которой указаны методика измерений  и  рабочие формулы. Щелкнув по надписи Назад, вернетесь к основному меню.

2.4.5 Тесты применяются по указанию преподавателя  либо для допуска к работе,  либо для ее защиты.

2.4.6  Дважды щелкнув по Работе, прочтите  появившееся указание к выполнению работы. Далее выберите начальный угол отклонения α0 (от 7,0 до 11,0 градусов через 0,5 град.)  и  число колебаний  (от 3 до 9) с помощью стрелок "Вверх-вниз" с  последующим нажатием на  Готово, что приводит к запуску колебаний маятника. Вновь выберите параметры колебаний и запустите систему. Выбор одинаковых параметров исключается с появлением соответствующей надписи. Начальный угол  равен 300. Показание грубо указывается на шкале с фиксированием маятника в этом положении и точно дается значением в таблице на экране. Все данные необходимо занести в таблицу 2.1 в своей лабораторной тетради.

    

 Т а б л и ц а  2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4.7 Аналогичные измерения производятся для углов   и  . Все данные обрабатываются с помощью метода Стьюдента. Значения коэффициента трения качения  k  представляются  в  окончательном виде для трех значений угла β. Определяется относительная погрешность измерений для каждого β и делаются выводы: 1  Насколько отличаются значения коэффициента трения качения от значений коэффициента трения скольжения или покоя? 2  Как изменяется коэффициент трения качения с увеличением угла β?  3  В каких случаях целесообразно заменять трение скольжения трением качения? При­вести примеры.

2.4.8  По окончании измерений пригласить преподавателя (тьютора) с тем, чтобы он с помощью пароля мог зафиксировать результаты проведенной ра­боты. Выход из программы по окончании работы осуществляется нажатием на Выход.

 

3 Лабораторная работа ММФ-4 К. Изучение законов сохранения импульса и энергии при ударе

 Цель работы: приобретение навыков практической работы при исследовании законов сохранения в механике

Задачи:

- проверка закона сохранения импульса для абсолютного упру­гого удара;

- проверка закона сохранения импульса для абсолютно неупру­гого удара;

- определение коэффициента восстановления энергии.

3.1  Теория метода

         Экспериментальная проверка закона сохранения какой-либо физической величины заключается в проведении независимых измерений этой величины для двух (или более) различных состояний некоторой физической системы (т. е. в различные моменты времени). Сравнение полученных значений с уче­том погрешности опыта позволит сделать определенное заключение. Иначе говоря, чтобы проверить закон сохранения импульса при ударе, например, двух шаров, надо измерить полный импульс Р шаров перед столкновением и их полный импульс Р' после столкновения; затем оценить погрешности DР и DР'.  И,  наконец,  необходимо проверить, будет ли перекрываться интер­вал (Р ± DР), в котором, возможно, лежит значение импульса системы перед уда­ром, с интервалом  (Р' ±  DР'), в котором, возможно, лежит значение импульса системы после удара. Положительный результат будет означать, что выпол­ненные измерения удовлетворительно согласуются с законом сохранения импульса. В противном случае нужно искать источники возможных система­тических ошибок, проверить возможность того, что какие-то внешние силы изменяют импульс системы.

         Для опытной проверки сохранения импульса и энергии при ударе можно взять два подвешенных на нитях шара. Измерения заметно упроща­ются в случае центрального (лобового) удара, при котором скорости шаров непосредственно перед ударом направлены вдоль прямой, соединяющей их центры масс (см.рисунок 5).

Если один из шаров, например, правый, откло­нить от положения равновесия на угол b10, то в момент удара его скорость по величине будет                      

                                      ,                                                                                   (11)

где  - длина подвески.

 

 

 

 

                                                               Рисунок 5

 

Определив в опыте углы b1 и b2 отклонения шаров после удара, можно вычислить соответствующие скорости

                                      ,                                                    (12)

                                      ,                                                   (13)

где  и  - скорости, соответственно, первого (справа на рисунке 5), и вто­рого шаров после удара.

Импульс системы  вычисляют по формулам:

при упругом ударе 

                            ,                                                                      (14)                                           

                             ,                                                 (15)     

         при неупругом ударе

                                               .                                                             (16)

Знак “+” или “-” в формуле (15) берется в зависимости от того, продолжает ли первый шар после удара двигаться в прежнем направлении или отскаки­вает в обратную сторону.

На практике при ударе происходит рассеяние (диссипация) механической энергии, характеристикой которого служит коэффициент восстановления энергии, определяемый как отношение суммарных кинетических энергий по­сле (Е'к) и до (Ек) удара

                                      .                                           (17)

3.2 Описание установки

         Установка состоит из двух шаров, подвешенных на легких нерастяжимых нитях. В положении равновесия нити образуют вертикальные линии, а цен­тры соприкасающихся шаров лежат на одной горизонтали (см.рисунок 5). Име­ются две шкалы с делениями, по которым определяют (в градусах) углы от­клонения шаров.

          Программа, с помощью которой компьютер моделирует соударение двух шаров, позволяет менять в “виртуальном" опыте следующие его параметры:

- длину  подвески в пределах от 40 см до 50 см;

- массу m1 налетающего шара [масса второго шара равна ] в преде­лах от 80 до 120 г;

- материал шаров — упругий или пластичный;

- число испытаний;

- угол b10 отклонения первого шара перед ударом в пределах от 5о до 15о.

3.3 Проведение эксперимента

3.3.1 Выберите из списка на дисплее номер данной работы и подведите к нему курсор. После нажатия на клавишу “ENTER” на экране появится назва­ние раздела  физики - Механика, а после повторного нажатия этой же кла­виши - название работы, ее цели и задачи, а также надпись — “Ввод пара­метров”.

3.3.2 При помощи клавиш “­”, “¯” и “ENTER” задайте и введите в компьютер выбранные значения параметров опыта.

3.3.3 После подтверждения выбранных параметров снова нажмите “ENTER”, в результате чего на экране появится выбор меню, состоящий из 4 позиций — окон (см. рисунок 6)

 

Рисунок 6

 

3.3.4 Подведите курсор к окну “ТЕОРИЯ” и нажмите “ENTER”. На экране появится краткое описание теории метода с расчетными формулами, описа­ние установки, порядок проведения опытов и обработки его результатов. В левом нижнем углу дисплея будет записано: “НАЗАД”. Если к этому слову подвести курсор и нажать “ENTER”, то на экране снова появится выбор меню (см. рисунок 6).

3.3.5 Подведите курсор к окну “РАБОТА” и нажмите “ENTER”. На дисплее возникнет изображение установки с двумя “упругими” шарами — для вы­полнения первого задания.

3.3.6 При помощи клавиш “­” и “¯” задайте угол b10 и затем нажмите “ENTER”. Наблюдая за соударением шаров, произведите отсчет углов b1 и b2. Данные занесите в таблицу 3.1.

  

Т а б л и ц а 3.1

№ опыта

,

кг

,

м

b10 ,о

b1,  о

b2, о

V10,

м/с

V1,

м/с

V2,

м/с

КЭ

DV,

м/с

.

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.3.7 Повторите опыт с другими значениями b10.

3.3.8 После того, как будет выполнено заданное число опытов с упругим уда­ром, на экране появятся “пластичные” шары, которые при ударе слипаются. Выполните действия, описанные в п. 3.3.6, 3.3.7, с той разницей, что производить следует отсчет только угла b1 отклонения правого шара после неупругого удара. Данные занесите в таблицу 3.2.

 

Т а б л и ц а 3.2

№ опыта

m1,

кг

,

м

b10, о

b1, о

V10,

м/с

V1,

м/с

КЭ,

DV,

м/с

.

.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

        

         3.3.9 Чтобы проверить, насколько хорошо понят и усвоен теоретический ма­териал и методика эксперимента, следует пройти тестирование. Для этого нужно, обратившись к меню, подвести курсор к окну “ТЕСТ” и нажать “ENTER”. На дисплее появится первый вопрос с четырьмя вариантами от­вета, затем следующий и т. д., всего 24 вопроса. Результат проверки возни­кает на экране сразу после ответа на последний вопрос.

3.3.10 Для выхода из программы нажмите “Esc” или, подведя курсор к окну “ВЫХОД”, нажмите “ENTER”.

3.4 Обработка результатов измерений

3.4.1 По формулам (11), (12), (13) и (17) вычислить V10, V1, V2, КЭ и заполнить таб­лицы 3.1, 3.2.

         3.4.2 По формулам (14), (15) и (16) вычислить Р и Р', полученные значения зане­сти в таблицу 3.3.

         3.4.3 Оценить ошибку измерения скорости по формуле

                                      , (т. к. b £ 15о)                (18)

где  — погрешность измерения угла в опыте.

         Для условий данного эксперимента вполне приемлемой является оценка Db » ± 1° = ± 0,017 (радиан).

         3.4.4 Оценить DР и DР' по правилам вычисления погрешности в случае кос­венных измерений и занести в таблицу 3.3.

   Т а б л и ц а  3.3

№ опыта

Р,

кг . м/с

Р',

кг . м/с

DР,

кг . м/с

DР',

кг . м/с

Выводы

.

.

.

 

 

 

 

 

 

          3.4.5 По каждому опыту сделать вывод о том, как (хорошо, удовлетвори­тельно или неудовлетворительно) согласуются полученные результаты с за­коном сохранения импульса.

         3.4.6 Сформулируйте общие выводы по выполненной работе и полученным в ней результатам.

  

         4 Лабораторная работа ММФ-5 К.  Определение момента инерции маятника Максвелла

 

Цель работы: изучение законов механики твердого тела на примере его плоского движения.

Основные задачи:

–       экспериментальное определение момента инерции маятника Мак­свелла по времени его падения;

–       вычисление момента инерции маятника Максвелла с помощью теоре­тической формулы.

4.1 Методика эксперимента

Маятник Максвелла представляет собой диск, насаженный на легкую трубку и подвешенный на двух нитях (см.рисунок 7). Если, намотав нити симмет­рично на трубку, поднять диск на высоту h, а затем отпустить без толчка, то он начнет опускаться, одновременно вращаясь вокруг горизонтальной оси. При этом траектории всех точек диска лежат в параллельных плоскостях. Та­кое движение твердого тела называется плоским. Его можно рассматривать как поступательное движение тела, происходящее со скоростью центра масс, и одновременное вращение вокруг горизонтальной оси, проходящей через этот центр.

Уравнения движения центра масс и вращения маятника относительно указанной оси в этом случае имеют вид:

                                      ,                                                      (19)

                                      ,                                                            (20)

где  – масса маятника;

 – его момент инерции;

 – ускорение центра масс;

 – угловое ускорение маятника;

– натяжение нити;

 – радиус трубки (плечо силы натяжения).

Учитывая, что ускорения в данном случае связаны соотношением а = e×r, получим из (19) и (20):

                                                                                             (21)

Из последнего выражения следует, что центр масс маятника движется с постоянным ускорением, которое зависит от момента инерции тела. Это об­стоятельство и лежит в основе рассматриваемой методики.

Из соотношения (21) с учетом формулы пути равноускоренного движения h = at2/2, получим расчетную формулу

                                                                                                 (22)

где .

Таким образом, для определения момента инерции маятника Мак­свелла необходимо измерить время t его падения с заданной высоты h, опре­делить его массу m, диаметр трубки  и толщину d нити.

4.2 Экспериментальная установка

Прибор "Маятник Максвелла FPM-03" состоит из  вышеописанного маятника, электромагнита, двух фотоэлектрических датчиков и соединенного с ними электронного секундомера. На диск маятника накладывается одно из имеющихся в комплекте сменных колец, что позволяет изменять его массу и момент инерции маятника. Электромагнит при протекании электрического тока по его обмотке удерживает маятник в верхнем положении. Длину под­вески маятника (высоту h) изменяют по миллиметровой шкале, нанесенной на вертикальной колонне.

На лицевой панели секундомера расположены клавишные выключатели СЕТЬ, ПУСК, СБРОС и цифровые индикаторы, которые высвечивают пока­зания секундомера.

Рисунок 7

4.3 Проведение эксперимента на компьютере

4.3.1 Двойным нажатием левой кнопкой мыши открыть работу ММФ-5К и в открывшемся окне нажать дважды на Maxwell.exe, что приведет к открытию титульного листа, в котором указаны название работы и пункты основного меню: тесты допуска, теория, тесты (защиты работы), лабораторная работа (выполнение на компьютере). Тесты допуска и защиты используются студентом по указанию препо­давателя.

4.3.2 Для выполнения работы необходимо нажать на пункт меню «Лабо­раторная работа» и выбрать число измерений от 5 до 10 (по указанию пре­подавателя). На экране появится рабочее окно виртуальной эксперименталь­ной установки при числе измерений, равном 5 (см. рисунок 8).  

4.3.3 Номер эксперимента изменяется автоматически. В каждом последующем эксперименте необходимо изменять высоту маятника, осуществлять запуск нажатием на Старт и фиксировать время падения в миллисекундах. Масса маятника устанавливается по указанию преподавателя и в ходе работы не меняется. (Ее изменение приводит к изменению варианта вы­полняемой работы). Результаты измерений занести в таблицу 4.1. Диаметр трубки D0 = 1 см, толщина нити - 0,1 мм.

 

Рисунок 8

4.3.4  Все полученные данные занести в таблицу 1.

Т а б л и ц а 4.1 

№

h,

м

m,

кг

t,

c

I,

кг×м2

<I>,

кг×м2

D0,

м

d,

м

Iтеор,

кг×м2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 4.4 Обработка результатов

4.4.1 Вычислить по формуле (22) значения момента инерции I для каждого из полученных в опыте значений времени t.

4.4.2 Вычислить среднее арифметическое значение <I> и оценить его слу­чайную абсолютную DI  и относительную погрешности по методу Стьюдента для доверительной вероятности r = 0,95.

         4.4.3  Оформить отчет, указав выводы по данной работе.

4.5 Контрольные вопросы

4.5.1 От чего зависит время падения маятника Максвелла с фиксирован­ной высоты h?

4.5.2 Как движется центр масс маятника? От чего зависит его ускорение?

4.5.3 Чему равна механическая энергия маятника в верхнем положении? При прохождении нижнего положения? Каково отношение этих значений?

4.5.4 Укажите источники погрешностей в опыте и расхождение экспери­ментального и теоретического значений.

5 Лабораторная работа ММФ-10 К. Определение вязкости жидкости методом Стокса

 Цель работы: овладение методом и приобретение навыков определения

вязкости жидкостей.

Задача: определение вязкости жидкости методом Стокса.

5.1 Методика эксперимента

При движении тела в вязкой жидкости на него действует сила сопротивления, обусловленная силами внутреннего трения  между слоями жидкости. В этом случае очень тонкий слой жидкости примыкает к поверхности тела и движется с ним как одно целое. Этот слой увлекает соседние слои жидкости, которые приходят при малых скоростях в безвихревое движение.

Согласно Стоксу [3] при небольших скоростях и размерах шарика сила сопротивления его движению в вязкой среде определяется формулой

                                                                                              (23)

где η - динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости;

r - радиус шарика;

v - скорость движения шарика относительно жидкости.

На шарик, падающий вертикально в жидкости (cм. рисунок 9,а) действуют три силы:

1)     сила тяжести Р, направленная вниз;

2)     выталкивающая сила G (сила Архимеда), направленная вверх;

3)     сила вязкого сопротивления F, направленная вверх.

                                      ;                                             (24)

                                      ;                                          (25)

                                                                                                          (26)

где   и  - соответственно массы шарика и жидкости;   

ρш  и  ρж - их плотности;

g - ускорение силы тяжести.

                                                                 

                       а)                               б)

Рисунок 9

Первые две силы постоянны по величине, третья пропорциональна скорости v. Поэтому при достижении некоторой скорости v0 силы Архимеда и сопротивления в сумме могут уравновесить силу тяжести, вследствие чего шарик начнет двигаться равномерно, т.е.

                                      .                                                       (27)

С учетом (24)-(26) из (27) получим

                                               ,

 откуда

                                               .                                      (28)

Таким образом, измерив скорость v0 равномерного падения шаров небольшого размера в жидкости, можно определить динамическую вязкость жидкости по методу Стокса.

5.2 Описание экспериментальной установки

Установка (см. рисунок 9,б) для определения вязкости по методу Стокса состоит из стеклянного цилиндрического сосуда 1, наполненного исследуемой жидкостью и закрытого крышкой  2 с отверстием 3  в центре. На цилиндре нанесены две горизонтальные риски А и В, расположенные на расстоянии L друг от друга, при этом верхняя риска А должна быть ниже поверхности жидкости на 5-8 см, чтобы между А и В было действительно равномерное движение.

         5.3 Проведение эксперимента на компьютере

5.3.1 Выбрать из списка на экране название работы ММФ-10, подвести к нему с помощью мыши курсор и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. После раскрытия пакета вновь установить курсор на  ММФ-10 с изображением экрана и дважды щелкнуть мышью. В ходе всей работы для перехода к следующему кадру используется мышь. Появляется титульный лист, затем - название, цель и поставленная задача данной лабораторной работы.

5.3.2 На очередном появившемся  кадре с помощью указанных в  рамке на  экране стрелок  "Вверх"  и  "Вниз"  выбрать количество (от 3 до 10)  измерений, указанных вам преподавателем, и щелкнуть по надписи  "Готово".

5.3.3 Далее на экране появляется содержание данной работы, включающее Теорию, Работу, Тесты и Выход. Последний выбирается в последнюю очередь после завершения работы, но позволяет закрыть программу в любой момент в случае необходимости.

5.3.4 Щелкнув мышью по Теории, ознакомьтесь с теоретическим введением и рисунком 9,а,  поясняющим  метод  измерения вязкости жидкости, описанием экспериментальной установки с рисунком 9,б и экспериментальной частью, в которой указаны методика измерений и рабочие формулы.  Щелкнув по надписи Назад, вернитесь к основному меню.

5.3.5 Тесты (24 для данной работы) применяются по указанию преподавателя либо для допуска к работе, либо для ее защиты.

5.3.6 Дважды щелкнув по Работе, прочтите появившееся указание к выполнению работы. Далее выберите расстояние L между рисками А и В  и  радиус шарика (от 4,0 мм до 6,0 мм через 0,5 мм) с помощью стрелок "Вверх-вниз" с  последующим нажатием на  Готово,  что приводит к работе системы.  Выбор    одинаковых параметров исключается с появлением соответствующей надписи. Время прохождения шарика между рисками указывается на шкале секундомера и дублируется значением в таблице на экране. Все данные необходимо занести в таблицу 5.1 своей лабораторной тетради.

     Т а б л и ц а 5.1

r, м

L, м

t, c

v0, м/с

η, Па∙с

η ср,

Па∙с

∆η,

Па∙с

η ср _ ∆η

ε, %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.4 Обработка результатов измерений

Определить скорость равномерного движения шарика по формуле           и занести значения в колонку 4 таблицы 5.1. По формуле (28) посчитать значения динамической вязкости η. Обработку результатов измерений вязкости произвести по методу Стьюдента, определив среднее арифметическое значение   ηср , а также абсолютную ∆η  и относительную ε погрешности при вероятности   Р = 0,95.  Окончательный результат записать в предпоследнюю колонку таблицы 5.1. 

5.5 По полученным результатам работы сделать выводы:

5.5.1 Сравнить значение вязкости со справочными данными и определить, какой жидкости она соответствует.

5.5.2  Как изменяется время равномерного движения шарика в зависимости от радиуса шарика?  Ответ обосновать теоретически.

5.5.3  Укажите возможные источники погрешностей в методе Стокса.

       6 Лабораторная работа  ММФ -11 К. Определение средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха

Цель работы:  овладение методом и приобретение навыков определения средней длины свободного пробега молекул.

          Задачи:

         - определить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха по его вязкости;  

         - вычислить эффективный диаметр молекул воз­духа, используя формулу, связывающую его со средней длиной свободного пробега.

6.1 Теория метода              

В данной работе определяется средняя длина свободного пробега молекул воздуха. Под средней длиной свободного пробега молекулы понимается рас­стояние, которое проходит молекула в среднем между последовательными столкновениями.

Из молекулярно-кинетической теории вытекает, что вязкость связана со средней длиной свободного пробега <l> молекул газа соотношением, [3]

                                     ,                                                    (29)

где  - динамическая вязкость газа (или коэффициент внутреннего трения);

- плотность газа;

 - средняя арифметическая скорость молекул газа.

Из формулы (29) получим

                                                   .                                                              (30)

Плотность идеального газа можно найти из уравнения Клапейрона - Мен­делеева

                                               ,                                                                                           (31)

где   - давление;

 - термодинамическая температура;

 - молярная масса газа;

 - объем;

 - универсальная газовая постоянная.

         Средняя арифметическая скорость газовых молекул определяется из закона распределения Максвелла [1, § 74]

                                               ,                                                        (32)

         Вязкость  газа можно определить, используя известную формулу Пуа­зейля [3], выражающую зависимость вязкости  от объема  газа, проте­кающего через трубку за определенное время  при разности давлений  на ее концах

                                                                                                                       (33)

где  - радиус;

         - длина трубки.

Подставляя выражения (31), (32) и (33) в формулу (30), получим расчетную формулу для определения средней длины свободного пробега молекул воз­духа

                                                        .                                           (34)

Таким образом, для вычисления средней длины свободного пробега по формуле (34) необходимо знать радиус  и длину трубки, через которую про­текает воздух, разность давлений  на ее концах, температуру  и дав­ление  окружающей среды  и объем газа, протекающего через трубку за определенное время .

         Процесс столкновения молекул удобно характеризовать величиной эф­фективного диаметра молекулы, т. е. минимального расстояния, на которое могут сблизиться центры двух молекул при их столкновении.

         Эффективный диаметр  молекул газа связан со средней его длиной  свободного пробега соотношением

                                                                                                             (35)

где  - число молекул в единице объема газа.

         Из формулы (35) можно найти эффективный диаметр молекул воздуха, предварительно заменяя в формуле   выражением

                                               ,                                                          (36)

где n0 - число молекул в единице объема газа при нормальных условиях, так называемое число Лошмидта.

         После замены окончательная формула для расчета эффективного диа­метра молекул воздуха имеет вид

                                                                                                     (37)

здесь  и  - давление и температура воздуха при нормальных условиях.

6.2 Описание установки

Установка для выполнения работы (см. рисунок 10) состоит из стеклянной трубки 1, имею­щей внизу кран 2, а сверху закрытой проб­кой, через которую пропущена очень узкая трубочка - капилляр 3.

         Стеклянная трубка на 3/4 объема заполня­ется водой. Если открыть кран, то через не­которое время вода выливается из трубки отдельными каплями, а над поверхностью воды остается пониженное давление.

 

Рисунок 10

Таким образом, концы капилляра будут находиться под разным (верхний ко­нец — под атмосферным, нижний меньше атмосферного), что обуславливает протекание воздуха через капилляр. Так как капилляр очень узок, выравни­вания давлений на концах не произойдет.

         Разность давлений на концах капилляра по мере вытекания воды изменя­лась, среднее значение этой разности можно определить следующим образом

                                               ,                                                        (38)

где  - давление над верхним концом капилляра, равное атмосферному;       - среднее давление у нижнего конца капилляра.

          Если вода из стеклянной трубки вытекает в атмосферу, то давление  будет уравновешиваться гидростатическим давлением столба воды в трубке и давлением  воздуха над ним.  Для разных уровней воды в трубке имеем                                                     

                                               ;            .                          (39)   Из формулы (39) можно найти

                                                 .                                             (40)

         Подставляя (40) в (38) окончательно получим формулу для измерения перепада давления на концах капилляра

                                               .                                                  (41)

         Для отсчета объема  вытекшей воды и ее уровней   служат две шкалы, проградуированные соответственно в мл и см.

Программа, с помощью которой компьютер моделирует данный экспери­мент, позволяет менять в опыте следующие его параметры:

         — радиус r капилляра в пределах (9¸13) . 10-5 м;

         — длину  капилляра в пределах (40¸60) мм;

         — атмосферное давление р в пределах от 80 до 120 кПа;

         — температуру Т окружающего воздуха в пределах от 290 до  300 К.

         Число испытаний можно изменять в соответствии с выбранным радиу­сом r капилляра в пределах от одного до пяти.

6.3 Проведение эксперимента

6.3.1 Выберите из списка на дисплее номер данной работы и подведите к нему курсор. После нажатия на клавишу ENTER на экране появится наиме­нование раздела курса физики — Статистическая физика и термодинамика, а после повторного нажатия этой же клавиши — название работы, ее цели и задачи, а также надпись — “Ввод параметров”.

6.3.2 При помощи клавиш ­, ¯ и ENTER задайте и введите в компьютер вы­бранные значения параметров эксперимента.

6.3.3 После подтверждения выбранных параметров вновь нажмите ENTER, в результате чего на экране появится выбор меню, состоящий из 4 позиций — окон (см. рисунок 11).

 

          

          

Рисунок 11

 

6.3.4 Подведите курсор к окну ТЕОРИЯ и нажмите ENTER. На экране поя­вится краткое описание теории метода с расчетными формулами, описание установки, порядок проведения эксперимента. В левом нижнем углу дисплея будет записано: НАЗАД. Если к этому слову подвести курсор и нажать ENTER, то на экране снова появится выбор меню (см. рисунок 11).

6.3.5 Подведите курсор к окну РАБОТА и нажмите ENTER. На дисплее поя­вится ТАБЛИЦА 6.1 с выбранными параметрами эксперимента. В своей тет­ради начертите данную таблицу.

6.3.6 Нажмите ENTER. На дисплее появится изображение эксперименталь­ной установки с часами для выполнения работы.

      

 Т а б л и ц а 6.1

№№

опыта

t,

c

h1,

м

h2,

м

V,м3

р,Па

,

м

,

м

, м

, %

d, м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.3.7 При помощи клавиш ­ ¯ выберите необходимые значения радиуса r капил­ляра в соответствии с ТАБЛИЦЕЙ 6.1 и затем нажмите ENTER.

6.3.8 В момент появления капельного режима вытекания воды из стеклянной трубки измерьте начальный уровень h1 воды. Часы включаются в момент по­явления капель.

6.3.9 После протекания заданного объема воды (10¸15 мл), нажимая клавишу ПРОБЕЛ остановите процесс и измерьте конечный уровень h2 воды (в соот­ветствии с выбранным объемом V) и время t истечения воды.

6.3.10 Повторите эксперимент 3-5 раз с другими значениями радиуса r капил­ляра, указанными в ТАБЛИЦЕ 6.1.

6.3.11 Результаты  измерений занести в таблицу  в своей тетради.

6.3.12 Для проверки усвоения теоретического материала и методики проведе­ния данного эксперимента следует пройти тестирование. Для этого необхо­димо, обратившись к меню, подвести курсор к окну ТЕСТ и нажать ENTER. На дисплее появится первый вопрос с четырьмя вариантами ответа. После выбора правильного ответа появится следующий. Всего 24 теста. Результат проверки возникает на экране сразу после ответа на последний вопрос.

6.3.13 Для выхода из программы нажмите клавишу ESC или, подведя курсор к окну ВЫХОД, нажмите ENTER.

6.4 Обработка результатов измерений

6.4.1 Вычислить среднюю длину <l> свободного пробега молекул воздуха по формуле (34).

6.4.2 Оценить абсолютную и относительную погрешности измерений по ме­тоду малых выборок для Р=0,95.

6.4.3 Результаты измерений занести в таблицу 6.1.

6.4.4 По формуле (37) подсчитать эффективный диаметр d молекул воздуха.

6.4.5 Полученные результаты сравнить со справочными значениями <l> и d и оценить возможные источники погрешностей данного метода.

6.4.6 Проанализировать полученные результаты и сформулировать выводы.

 

7 Приложение

 

Метод Стьюдента (метод малых выборок)

 

         Метод Стьюдента применяется для расчета случайных погрешностей при малом числе измерений n ( nmin = 3). Пусть имеется ряд измеренных значений: х1, х2,…, хn, где n - число измерений. Расчет по данному методу производится в следующей последовательности:

         1 Определяется средняя арифметическая величина для n измерений

                                                                                                                 (42)

        где ∑ xi = x1 + x2 +…+ xn  и  i = 1, 2,…, n.

        2 Среднеквадратичная погрешность

                                                                                                 (43)

        где   - отклонение i-го измерения от среднего арифметического значения.

        3 Абсолютная погрешность всех измерений

                                              ,                                                             (44)

        где t p - коэффициент Стьюдента, который определяется по таблице коэффициентов для конкретного числа измерений n и надежности (вероятности) Р, равной 0,95 (или 0,90).

        4 Определяется относительная погрешность измерений

                                                 .                                                      (45)

         5 Конечный результат записывается в виде

                                                .                                                                 (46)

 

         Т а б л и ц а 7.1 Коэффициенты Стьюдента

n -число

измерений

3

4

5

6

7

8

9

10

Р = 0,95

4,30

3,18

2,78

2,57

2,45

2,36

2,31

2,26

p = 0,90

2,92

2,35

2,13

2,02

1,94

1,90

1,86

1,83

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
Список литературы

 

1 Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.:Высшая школа, 1989.

2 Савельев И.В. Курс физики. Т.1. - М.: Наука, 1989.

3 Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. - М.: Высшая школа, 1963.

4 Архангельский М.М. Курс физики. Механика. - М.: Просвещение, 1975.

5 Лабораторный практикум по физике /под ред. Ахматова А.А. - М.: Выс­шая школа, 1980.

 
Содержание 

       Введение                                                                                           … 3

1  Лабораторная работа ММФ-2К                                                           … 4

2  Лабораторная работа ММФ-3К                                                           … 8

3  Лабораторная работа ММФ-4К                                                           … 12 

4  Лабораторная работа ММФ-5К                                                           … 16 

5  Лабораторная работа ММФ-10К                                                         …19

6 Лабораторная работа ММФ-11К                                                         …22

7  Приложение (Метод Стьюдента)                                                        …27      

Список литературы                                                                                 …27