Алматинский институт энергетики и связи

 

Кафедра физики

 

 

 

 

ФИЗИКА 1

Конспект лекций

 

(для студентов очной формы обучения специальностей

050719-Радиотехника, электроника и телекоммуникации)

 

 

 

 

 

 

Алматы, 2006

СОСТАВИТЕЛИ: М.Ш. Карсыбаев, Х.Х. Манабаев, Т.Д. Дауменов,   Е.Ш. Бергалиев. Физика 1. Конспект лекций (для студентов очной формы обучения спе­ци­альности 050719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации). – Ал­маты: АИЭС, 2006. –  57 с.

 

В конспекте дано краткое содержание лекций по дисциплине «Физика–1» для радиотехнических специальностей бакалавриата. В лекциях указываются их цели и дается учебный материал, включающий основные определения, формулировки основных законов, примеры их применения, поясняющие рисунки и комментарий.

Конспект лекций по курсу «Физика – 1» предназначен для оказания помощи студентам радиотехнических специальностей бакалавриата при изучении теоретического материала и может быть использован как раздаточный материал для лекционных занятий, а также при подготовке к практическим и лабораторным занятиям.

Содержание

Введение                                                                                                           6          

 

1 Лекция 1. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела.                                                                                                       7

1.1 Введение. Механическое движение. Пространство и время. Система от­счета. Физические модели: материальная точка и абсолютно твердое тело.  

1.2 Основная задача динамики. Масса и импульс. Уравнение  движения.    

1.3 Механическая система. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса. Границы  классического способа описания движения частиц.                                                                                                               

 

2 Лекция 2. Динамика вращательного движения твердого тела                      10

2.1  Момент силы и момент импульса системы материальных точек.

2.2  Уравнение моментов для системы материальных точек и твердого тела.

2.3 Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела.   Момент инерции твердого тела. Теорема Гюйгенса – Штейнера.

2.4 Закон сохранения момента импульса.

 

3 Лекция 3. Закон сохранения энергии в механике                                                14        

3.1 Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимо­действия.

3.2  Кинетическая энергия  и ее связь с работой.

3.3  Работа силы и мощность.

3.4 Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы во внешнем си­ловом поле и ее связь с силой, действующей на частицу.

3.5 Полная механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

 

4 Лекция 4.Специальная теория относительности                                                 17

4.1 Механический принцип относительности. Преобразования Галилея.

4.2  Постулаты Эйнштейна.

4.3  Преобразования Лоренца. Следствия преобразований Лоренца.

4.4  Инварианты преобразований.

4.5  Релятивистский закон сложения скоростей.

4.6 Релятивистское уравнение движения. Релятивистский импульс. Полная энергия и энергия покоя. Кинетическая энергия.

4.7 Закон взаимосвязи между массой и энергией.

 

5 Лекция 5. Статистические распределения                                                           21

5.1  Статистический и термодинамический методы исследования.

5.2  Распределение Максвелла. Скорости теплового движения молекул. 

5.3  Барометрическая формула. Распределение Больцмана.

5.4  Закон равнораспределения энергии по степеням свободы.

5.5  Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости идеальных газов и ее ог­раниченность.

6 Лекция 6. Второе начало термодинамики                                                            25

6.1  Обратимые и необратимые процессы.

6.2  Тепловые и холодильные машины.

6.3  Цикл Карно. Теоремы Карно.

6.4  Энтропия и ее свойства.

6.5 Второе начало термодинамики и неосуществимость вечного двигателя вто­рого рода.

 

7 Лекция 7. Явления переноса                                                                                  30

7.1  Силы межмолекулярного взаимодействия.

7.2  Кинетические характеристики молекулярного движения.

7.3  Феноменологические уравнения явлений переноса в газах.

7.4  Диффузия, вязкость, теплопроводность.

 

8 Лекция 8. Электростатическое поле в вакууме                                                   34

8.1  Введение. Основная задача электростатики.

8.2 Поток вектора напряженности электростатического поля. Теорема Гаусса.

Примеры расчета по теореме Гаусса.

8.3  Работа сил электростатического поля по перемещению заряда. Потенциал.

Связь потенциала с напряженностью электростатического поля.

8.4 Циркуляция и ротор электростатического поля.

 

9 Лекция 9.  Диэлектрики в электростатическом поле                                          37

9.1 Поляризация диэлектриков. Поляризованность. Напряженность поля в диэлектрике.

9.2 Электрическое смещение.  Диэлектрическая восприимчивость вещества.

9.3 Теорема Гаусса для вектора электрического смещения.

9.4 Условия на границе двух диэлектриков.

 

10 Лекция 10. Проводники в электрическом поле                                                 40

10.1 Равновесие зарядов на проводнике.  Напряженность поля вблизи поверхности проводника.

10.2 Проводник во внешнем электрическом поле. Электростатическая индукция.

10.3 Энергия взаимодействия электрических зарядов. Энергия заряженного проводника и конденсатора.

10.4  Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии поля.

 

11 Лекция 11. Законы постоянного тока                                                                 42

11.1. Условия существования электрического тока Характеристики электрического тока.

11.2  Уравнение непрерывности.

11.3   Законы Ома и Джоуля-Ленца. Электродвижущая сила.

11.4  Классическая электронная теория электропроводности металлов и границы ее применимости.

 

12 Лекция 12.  Магнитное поле токов.                                                                    48

12.1 Магнитное взаимодействие токов.

12.2 Вектор магнитной индукции. Закон Био-Савара-Лапласа.

12.3 Магнитное поле прямого тока. Магнитное поле в центре кругового проводника.

12.4 Линии индукции магнитного поля. Вихревой характер магнитного поля.

12.5 Напряженность магнитного поля. Закон полного тока.

12.6 Магнитное поле тороида и соленоида.

 

13 Лекция 13.  Магнитные свойства вещества                                                       53         

13.1  Магнитные моменты электронов и атомов.

13.2  Намагниченность. Магнитное поле в веществе.

13.3  Магнитная восприимчивость вещества. Диамагнетики и парамагнетики.

13.4  Ферромагнетизм. Ферриты.

13.5  Условия на границе двух магнетиков.

13.6     Закон полного тока для магнитного поля в веществе.

 

Список литературы                                                                                           56

 

 

 

 

Введение

 

Курс физики совместно с курсом высшей математики со­ставляет основу теоретической подготовки бакалавра и играет роль фундаментальной базы будущей деятельности выпускников высшей технической школы.

         Задачи курса физики состоят в том, чтобы:

- раскрыть сущность основных законов, теорий классиче­ской и совре­менной физики в их внутренней взаимосвязи и целостности, так как для будущего бакалавра важно усвоение иерархии физиче­ских законов и понятий, границ их применимости, позволяющих эффективно исполь­зовать их в кон­кретных ситуациях;

- формировать у студентов умение и навыки решения обобщённых типовых за­дач дисцип­лины как основы умения решать профессиональ­ные задачи;

- формировать у студентов умение оценивать степень достоверности результа­тов, получен­ных экспериментальными или теоретическими методами, способствовать развитию у студентов творческого мышления, навыков само­стоятельной по­знавательной деятельности, умения моделировать физические ситуации с использованием компьютера;

- ознакомить студентов с современной измерительной аппаратурой, выработать умение и на­выки проведения экспериментальных исследований и обработки их результатов, умение вы­делить конкретное физическое содержание в приклад­ных задачах будущей специальности.

         Курс физики представляет собой единое целое. Содержание материала и логика его изложения должны быть подчинены перечисленным целям и зада­чам.

 Данный конспект лекций может служить основой для учебной деятельности студента и призван помочь ему в более глубоком изучении учебного материала, а также при подготовке к практическим и лабораторным занятиям.

 

 

 

 

1 Лекция 1. Динамика материальной точки и поступательного движения твердых тел

        

Цели лекции:

- понять структуру и задачи  курса физики;

- уяснить основную задачу динамики  и изучить методы ее решения;

                   - понять суть закона сохранения импульса и границы его применения.

 

1.1 Введение. Физика – одна из основных естественных наук, в которых изучаются законы природы.

Задача физики заключается в том, чтобы создать картину физического мира, которая наиболее полно отражает свойства реального мира.

Курс общей физики состоит из нескольких разделов: механика, молеку­лярная (статистическая) физика и термодинамика, электричество и магнетизм, оптика, атомная и ядерная физика.

Физику делят на классическую и квантовую. Классическая физика вклю­чает нью­тоновскую механику малых скоростей объектов макромира и реляти­вистская механику А. Эйнштейна.  В начале ХХ века возникла кванто­вая фи­зика после того, как М. Планк выдвинул гипотезу квантов.

Начиная изучение механики, необходимо сделать несколько  кратких об­щих замечаний, относящихся к предмету физики и методам физических исследо­ваний, а также привести определения некоторых основных понятий.

Экспериментальные и теоретические методы физики. Физика – наука опытная: ос­новные сведения, которыми она оперирует, и заключения, к кото­рым приходят физики, по­лучаются из опыта  в результате эксперимента. Од­нако без теоретического анализа, произво­димого, главным образом, средствами и методами математики, невозможно было бы никакое детальное исследование неизвестных закономерностей.

Физические законы. Все явления и процессы находятся в определенной причинной связи друг с другом. На основе наблюдений и опытов ученые рас­крывают закономерные связи и устанавливают определенную причинную взаимосвязь между изменениями различ­ных величин.

Системы единиц физических величин. Основные и производные еди­ницы. Размер­ность величин. Международная система единиц (СИ).

Простейшим видом движения материи является механическая форма движения: перемещение различных тел относительно друг друга и изменение формы тела.

Материя существует и движется в пространстве и времени.

Для построения моделей механических систем важнейшей абстракцией яв­ляется поня­тие материальной точки. Под материальной точкой понимается физический объект, в гео­метрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой. Абсолютно твердым называется тело, расстоя­ние между двумя любыми точками которого неизменно.

Систему отсчета, связанную с некоторым телом отсчета, можно предста­вить себе, на­пример, в виде прямоугольной системы координат. Тогда каж­дая точка про­странства будет определена тремя числами – координатами или одним радиусом-вектором.

Законы механического движения изучаются в первом разделе физики – ме­ханике. Механика включает три раздела: кинематику, динамику и статику.

 

1.2 Основная задача динамики состоит в определении закона движения тела.

Взаимодействие тел. Силы создаются материальными телами. Поэтому посредством сил материальные тела действуют друг на друга, т. е. взаимодей­ствуют. Сила при этом выступает как векторная количественная мера интен­сивности взаимодействий.

Первый и второй законы Ньютона. Как известно, первый закон гласит, что тело, достаточно удален­ное от других тел, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, а второй закон дает выражение уско­рения тела под действием силы, приложенной к нему, в виде

                                  (1.1)

где m – масса тела, – ускорение.

         Первый закон является независимым от второго, поскольку в нем утвержда­ется существование в природе инерциальных систем отсчета, т.е. систем, опи­сание движения в которых является наиболее простым. В частности, если F= 0, то и а = 0, и тело сохраняет прежнее состояние.

         Соотношение (1.1) называется уравнением движения и позволяет решить основную задачи динамики.

         Масса и импульс тела. Из (1.1) следует, что отношение силы к ус­корению всегда равно одной и той же величине

.                                   (1.2)

Уравнение (1.1)  можно переписать и в другой форме

                                                        , где                 (1.3)

Любое тело противится попытке изменить его состояние, т.е. обладает инерт­ностью. Масса есть количест­венная мера инертности тела.

Произведение массы на скорость = называется импульсом (количест­вом движе­ния).

Третий закон Ньютона. При взаимодействии двух тел одно из них дейст­вует на другое с такой же силой, но противоположно направленной, как  и вто­рое – на первое

                                      (1.4)

    

 

1.3 Закон сохранения импульса

         Совокупность тел (материальных точек) или одно тело, рассматриваемые в данной задаче, называется механической системой. Силы взаимодействия тел системы между собой называются внутренними. Под внешними понимаются силы взаимодействиями с телами, не входящими в систему. Система является замкнутой (изолированной), если на нее не действуют внешние силы.

   Для замкнутой системы в уравнении движения

                                                         

сила  (F_ВНЕШ  = 0, Σ F_ВНУТР = 0 согласно третьему закону Ньютона)

и оно принимает вид

Интегрируя это уравнение, получаем

                                                                                                (1.5)

а также .

Это равенство выражает закон сохранения импульса: импульс изолиро­ванной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы. Может случиться, что система материальных точек не изолирована, но внешние силы действуют лишь в определенных направлениях, а в других – отсутствуют. Пусть, например, нет сил в направлениях, параллельных плоско­сти (x, y), то есть . Тогда

P_x=const,   P_y=const.

Отсюда видно, что импульс системы в плоскости (x, y) сохраняет свое значе­ние.

         В основе закона сохранения импульса лежит однородность пространства, т.е. одинаковость свойств пространства во всех точках. Параллельный перенос замкнутой системы из одного места в другое без изменения взаимного распо­ложения и скоростей тел не изменяет механических свойств системы.

         В нерелятивистском случае, то есть при движении с малыми скоростями, можно ввести понятие центра масс. Прежде всего, рассмотрим выражения для импульса сис­темы материальных точек

,

где под  понимается масса системы как сумма масс покоя составляю­щих ее точек (свойство аддитивности массы).

Радиус-вектор

                                                                                                  (1.6)

определяет воображаемую точку, которая называется центром масс системы. Величина  – скорость движения этой воображаемой точки. Тогда

.

С учетом этих выражений уравнение движения приобретает следующий вид

,

т.е. оно эквивалентно уравнению движения материальной точки, вся масса ко­торой сосредо­точена в центре масс, а все внешние силы, действующие на точки системы, приложены к ее центру масс.

         Для замкнутой системы ускорение центра масс равно нулю, следовательно, центр масс замкнутой системы движется прямолинейно и равномерно либо по­коится.

    

2 Лекция 2.   Динамика вращательного движения твердого тела

        

Цели лекции:

-  ознакомиться с основными понятиями динамики вращательного движения твердого тела;

-  уяснить методы решения задач на вращательное движение с помощью основного уравнения;

          -  понять суть закона сохранения момента импульса и границы его применения.

        

2.1 Моментом силы, действующей на материальную точку, относительно точки О (рисунок 1) называется вектор

                                                        .                                                (2.1)

Под  понимается равнодействующая всех сил, действующих на матери­альную точку. Положение некоторой материальной точки относительно точки О, принятой за начало, ха­рактеризуется радиусом-вектором .

 

 

Рисунок 1

 

 

 

Моментом импульса материальной точки относительно О называется вектор (рисунок 1)

.                                             (2.2)                            

Продифференцируя момент импульса (3.2) по времени, получаем уравнение моментов

.

Импульсом системы материальных точек называется сумма импульсов материальных точек, составляющих систему

                                                        ,                               (2.3)

где  – импульс материальной точки, обозначенной индексом  i, n – число то­чек в системе.

Моментом импульса системы материальных точек относительно точки О, принятой за начало, называется сумма моментов импульса, составляющих систему материальных то­чек относительно О

                                                        ,                                     (2.4)

где  – момент импульса материальной точки, обозначенной индексом i.

Моментом силы, действующей на систему материальных точек относи­тельно точки О, называется сумма моментов сил, приложенных к точкам сис­темы относительно О

                                                         .                                      (2.5)

Сила  в (2.5) является полной силой, приложенной к точке i, включая и внутренние силы

,

где  – внешняя сила, а – внутренние силы.

 

2.2 Уравнение моментов материальной точки и механической системы

Продифференцируя (2.3) по времени, получаем уравнение системы мате­риальных то­чек

                                                        , ,                  (2.6)                       

где                                             .                                                  (2.7)                                       

Величина  равна сумме внешних сил, так как в сумме (2.7) все внутренние силы вза­имно сокращаются.

Дифференцируя (2.4) по времени, получаем уравнение моментов для сис­темы мате­риальных точек

                                      , =.                      (2.8)                 

Напомним, что – момент внешних сил.

Твердое тело может рассматриваться как система материальных точек, рас­стояние ме­жду которыми постоянно. Поэтому все утверждения и уравнения о системе материальных точек применимы и для твердого тела.

 

2.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела отно­сительно непод­вижной оси. При вращении материальной точки массы m_i по окружности радиуса r_i момент ее импульса в проекции на ось вращения равен L_i=m_iv_ir_i. Линейная скорость v_i=wr_i, поэтому L_i=m_ir_i²w, где w – угловая ско­рость. Если вокруг оси О вращается система материальных то­чек, то .

Тогда получится                       ,                                              (2.9)

где , а w как постоянную величину вынесли из-под знака суммы.

Величина J, равная сумме произведений масс материальных точек на квад­раты расстоя­ний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси. В случае непрерывного распределения массы знак суммы заменяется знаком интеграла, то мо­мент инерции запишется в виде

.                                             (2.10)

Момент инерции тела – физическая величина, аналогичная массе при по­ступательном движении; она зависит от формы, размеров, массы тела и ее рас­пределения внутри тела, а также от выбора оси вращения, характеризует инерт­ность тела при вращательном движении.

Учитывая (2.10) основной закон динамики вращательного движения в про­екции на ось вращения можно записать

                                                         ,                                   (2.11)                    

где М – проекция суммарного момента внешних сил на ось вращения.

В частном случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси уравне­ние (2.11) пе­реходит в следующее

                                                                                                                (2.12)

или

                                                          ,                                                 (2.13) 

где  – угловое ускорение.

Каждое тело независимо от того вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относи­тельно оси, пер­пендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рисунок 2), то есть относи­тельно оси ОО.

 

 

Рисунок 2

 

Для этого применяем формулу (3.10) и находим

,

где  – плотность диска, а  – объем кольцевого слоя.

,

где b – толщина диска.

Из этих формул, введя массу диска m, получим окончательно

                                                                  ,                                                   (2.14)

где R_o – радиус диска.

Чтобы найти момент инерции диска относительно, например, оси O'O' (рисунок 2), можно воспользоваться теоремой Гюйгенса – Штейнера: момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инер­ции J_c от­носительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произ­ведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями

.

 

         2.4 Закон сохранения момента импульса

         Этот закон как и закон сохранения им­пульса, справедлив лишь для изолированных систем. Для них момент внешних сил  равен нулю, и уравне­ние моментов принимает вид

.

Интегрируя это уравнение, получаем

,

а также .

Закон сохранения момента импульса означает: момент импульса изолиро­ванной сис­темы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.

Может случиться, что система не является полностью изолированной, но на некоторое направление, например, на ось Z, проекция момента сил равна нулю. Следовательно, систему можно считать изолированной лишь в отношении Z-ой проекции момента импульса

L_z=const.

         В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия простран­ства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения и скоро­стей не изменяет механических свойств системы.

 

3 Лекция 3. Закон сохранения энергии в механике

 

Цели лекции:

- понять, что закон сохранения энергии – следствие однородности времени, работа совершается за счет изменения энергии системы;

- уяснить методы решения задач при применении закона сохранения энергии;

- понять суть закона сохранения механической энергии и границы его применимости.

 

3.1 Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимо­действия

         Энергия является общей количественной мерой движения и взаимодействия всех форм материи. Она не исчезает и не возникает из ничего, а может лишь переходить из одной формы в другую. В этом заключается всеобщий закон со­хранения энергии. В соответствии с различными формами движения материи имеют место и различные виды энергии: механическая, тепловая, электромаг­нитная и др.

         В механике различают кинетическую (энергия движения) и потенциальную (энергия конфигурации или положения системы) энергии.

 

3.2 Кинетическая энергия  и ее связь с работой

С понятием энергии тесно связано понятие работы. Найдем связь между ра­ботой силы и изменением скорости частицы. Сначала рассмотрим одномерный случай, когда сила и движение частицы имеют одинаковое направление вдоль  оси Х. Решая уравнение движения частицы (умножив обе части этого уравне­ния на v_x)

,                                                      (3.1)

окончательно находим

,

где m_o – масса точки, а  – кинетическая энергия точки.

Видно, что изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении между двумя положениями равно работе, совершенной при этом силой.

Пусть точка движется не вдоль прямой, как в первом случае, а по произ­вольной траекто­рии (рисунок 3).

Рисунок 3

 

Разобьем траекторию движения на малые отрезки . Элементарная работа на этом от­резке

.

Устремляя длины отрезков  к нулю, а их число – к бесконечности, полу­чим работу силы при перемещении по произвольной траектории

                                                        .                                 (3.2)

Интеграл в правой части этого уравнения называется криволинейным, взятым вдоль линии L между точками 1 и 2.

Теперь рассмотрим общее уравнение движения

                                                        .                                                     (3.3)

Решая это уравнение, находим (умножая обе части уравнения на )

.                               (3.4)

Правая часть (3.4) - это механическая работа, имеющая раз­мерность энер­гии).

Консервативные силы. Силы по их свойствам можно разбить на два типа. Для сил первого типа работа при перемещении между двумя точками не зави­сит от пути, по которому это перемещение произошло, для сил другого типа – зависит.

Силы, работа которых зависит только от начальной и конечной точек траек­тории, называются консервативными. К этим силам относятся силы тяготения, кулоновская сила взаимодействия зарядов.

Полем сил называется область пространства, в точках которого дейст­вуют рассматриваемые силы.

Потенциальным называется поле, работа в котором, то есть интеграл

зависит только от положений точек 1 и 2, но не зависит от вида траектории. Можно дать другое математическое выражение этому определению

т.е. чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы работа сил поля по любому контуру была равна нулю.

 

 

         Если F_x , F_y , F_z являются проекции консервативной силы, то существует такая функция E_n(x, y, z), с помощью которой эти проекции выра­жаются  как

С помощью функции E_n можно вычислить работу силы в правой части ра­венства (3.4)

.

Интегрируя, получаем работу при перемещении из точки 1 в точку 2

                                                        ,                          (3.5)

где E_n1 и E_n2 – значение функции E_n в точках 1 и 2.

С учетом (3.5) вместо (3.4) имеем

                                                        .                            (3.6)

Таким образом, между точками 1 и 2 кинетическая энергия изменилась на такие же зна­чения, на какие с обратным знаком изменилась величина E_n при перемещении между теми же точками. Равенство удобно переписать в виде

.

Отсюда следует, что сумма кинетической энергии и величина E_n при дви­жении остается постоянной

.

Величина E_n называется потенциальной энергией материальной точки, а равенство – законом сохранения энергии.

Выразим связь потенциальной энергии с силой. Запишем силу как вектор

,

где  – единичные векторы вдоль координатных осей.

Учитывая проекции потенциальной силы

находим

Используя оператор набла    ,

окончательно получим

.

Пользуясь имеющимся произволом в выборе потенциальной энергии, можно положить ее равной любому заданному значению в некоторой точке пространства. Тогда во всех остальных точках ее значение будет фикси­ровано однозначно. Эта процедура придания потенциальной энергии однознач­ности называется нормировкой.

 

4 Лекция 4. Специальная теория относительности

 

Цели лекции:

- понять разницу между принципом относительности классической механики и принципом относительности Эйнштейна;

- понять следствия преобразований Лоренца, существование абсолютных величин в СТО;

- уяснить методы решения задач при применении релятивистского уравнения движения.

 

4.1 Принцип относительности и преобразования Галилея

Пусть система K' движется отно­сительно системы K со скоростью . Направим оси x и x' вдоль вектора , оси y и y', а также z и z' предположим параллель­ными друг другу (рис.4). В силу принципа относительности системы K и K' совершенно равно­правны.

Рисунок 4

 

   В начальный момент времени начала координат О и О^/  совпадают. Запишем связь между координатами обеих ИСО

                                   x = x^/ + Vt; y = y ^/ ; z = z ^/; t = t ^/                                    (4.1)      

уравнения носят название  преобразований Галилея.

Взяв производные по времени, получим закон сложения скоростей

v = v^/ + V.                                                             (4.2)   

         Дифференцирование уравнения (4.2) дает равенство ускорений частицы относительно систем отсчета К и К^/   

                                                   a = a^/.                                                                     (4.3) 

         Умножив (4.3) на массу частицы, получим равенство сил F = F ^/ и, следовательно, выражение для второго закона Ньютона будет одинаковым в разных ИСО. Это означает, что законы механики одинаково формулируются для всех ИСО. Иначе это означает, что уравнения механики инвариантны при преобразованиях Галилея. Возможен третий вариант, а именно: все механические процессы протекают одинаково в разных ИСО. Кроме того, никакими механическими опытами, проводимыми в данной ИСО, невозможно установить, находится ли данная  ИСО в состоянии покоя или прямолинейного

 

равномерного движения. Все эти утверждения выражают принцип относительности Галилея.

         Величины, имеющие одинаковое числовое значение во всех ИСО, называются инвариантами (например, скорость света, масса и т.д.).

 

4.2 Постулаты СТО. Ньютоновская механика справедлива только для тел, движущихся со скоро­стями, много меньшими скорости света в вакууме. Для описания движений, со­вершающихся со скоро­стями, сравнимыми со скоростью света (с), Эйнштейн (1905 г.) создал релятивистскую механику, то есть механику, учитывающую требова­ния СТО.

Основу этой теории образуют два постулата, которые носят название принципа отно­сительности Эйнштейна и принципа постоянства скорости света. Согласно первому все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Принцип постоянства скорости света утверждает, что ско­рость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света. Подтверждением тому служит опыт Майкельсона и Морли, проведенный в 1887 г.

         Скорость света, помимо прочего, является и предельной. Это служит при­чиной относительности понятия одновременности, т.е. время в разных ИСО течет по-разному. Кроме того, это приводит к тому, что независимость друг от друга пространства и времени теряет силу, они оказываются взаимосвязанными и образуют единое четырехмерное пространство-время. В таком пространстве квадрат расстояния между двумя мировыми точками, обозначающими два события, (это расстояние назы­вают про­странственно-временным интервалом и обозначают символом ) определяется форму­лой

.                      (4.4)                                         

4.3 Преобразования Лоренца. Вновь рассмотрим две инерциальные системы от­счета К и K' (рисунок 4). Закон сложения скоростей Галилея (4.2) находится в противоречии с принципом постоянства скорости света. Дейст­вительно, если в системе K' световой сигнал распространяется в направлении вектора  со скоростью c, то согласно (4.2) в системе K скорость сигнала окажется равной (c+v), то есть превзойдет c. Отсюда следует, что преоб­разования Галилея должны быть заменены другими формулами. Приводим эти формулы

                                               .             (4.5)

Совокупность формул (4.3) носит название преобразований Лоренца.

Решая уравнения (4.3) относительно штрихованных величин, получим формулы преобразования для перехода от системы K к системе K'

                                               .                (4.6)

Легко понять, что в случае v<<c преобразования Лоренца переходят в пре­образования Галилея.

 

4.4 Инварианты преобразований. Каждому событию можно сопоставить в воображаемом четырехмерном пространстве мировую точку с координатами ct, x, y, z. Пусть одно событие имеет координаты ct, x₁, y₁, z₁, другое – координаты ct, x₂, y₂, z₂. Введем обозначения  и т.д.

Пусть в системе K квадрат интервала определяется формулой (4.1). Квадрат интервала между теми же событиями в системе K' равен

.                      (4.7)

Согласно формулам (6.4), а дальше подставив эти значения в формулу (4.5), после не­сложных преобразований получим, что , то есть

.

Таким образом, интервал является инвариантом по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Точно также можно показать, что промежуток собственного времени (время, отсчитан­ное по часам, движущееся вместе с телом, называется собст­венным временем этого тела и обозначается обычно буквой ) пропорциона­лен интервалу между событиями

.

Интервал является инвариантом. Следовательно, собственное время также является ин­вариантом.

 

4.5 Формула сложения скоростей в релятивистской механике

                      .                          (4.8)

В случае, когда v<<c, соотношения (4.6) переходят в формулы сложения скоростей классической механики.

 

4.6 Релятивистское уравнение движения

 

                                                            .                                            (4.9)

Это уравнение является обобщением уравнения движения Ньютона. Более удобно предста­вить его в виде

                                                                  .                    (4.10)        

Величина m называется релятивистской массой или просто массой; m_o – масса покоя;  называется релятивистским импульсом или просто импуль­сом.

Закон сохранения энергии в релятивистском случае

                                                        .                                   (4.11)

Потенциальная энергия E_n имеет тот же смысл, что и в нерелятивистской теории, а вели­чина

                                                                                              (4.12)

называется полной энергией тела.

В том случае, когда тело покоится (v=0), оно обладает энергией

E₀=m_oc²,

которая называется энергией покоя.

Кинетическая энергия E_k тела, движущегося с произвольной скоростью, дается форму­лой

                                                                  .                    (4.13)

Принимая во внимание формулу для релятивистской массы

,

равенство для полной энергии представим в виде

E=mc².                       

Это равенство является одним из самых фундаментальных законов физики и называется соотношением между массой и энергией и было установлено Эйнштейном.

Исключив из уравнений для релятивистского импульса

                                                                                                   

и полной энергии

                                                            

скорость v, получим выражение полной энергии частицы через импульс p:

                                                        

                                                                  .                                       (4.14)

 

5 Лекция 5. Статистические распределения

 

Цели лекции:

- понять разницу между статистическим и термодинамическим методами исследования при изучении макроскопических процессов в системах, содержащих огромное число атомов и молекул;

- понять смысл закона Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям, распределения Больцмана;

         - уяснить методы решения задач при применении распределении Максвелла и Больцмана.

    

5.1 Статистический и термодинамический методы исследования

         Для исследования свойств макроскопических тел, т.е. систем из огромного количества молекул, используются два метода исследования: статистический и термодинамический.

         Описать состояние таких систем с помощью уравнений движения молекул не представляется возможным из-за очень большого их числа. Даже при гипо­тетическом решении этой задачи невозможно было бы получить представление о состоянии и свойствах газа как целого, хотя состояние газа можно описать с помощью трех макропараметров, таких, как давление, объем и температура. Причина этого заключается в том, что в системах с огромным числом частиц возникают качественно новые статистические закономерности, которые пере­стают быть справедливыми в системах с малым числом частиц.

         Поэтому для описания свойств таких систем используется статистический ме­тод, в котором свойства тел, характеризуемые такими макропараметрами, как давление и температура, рассматриваются как усредненный результат действия отдельных молекул.

         При термодинамическом методе исследования свойств макроскопических тел и происходящих в них процессах не учитывается их микроскопическая структура. Описание систем производится с помощью макропараметров на ос­нове нескольких эмпирических начал термодинамики. При научном исследова­нии свойств систем и происходящих в них процессов используются оба метода, которые дополняют друг друга и позволяют решать общую задачу.

        

5.2 Распределение  Максвелла

         Как показывает  теория и опыт, распределение моле­кул по скоростям оказывается не случай­ным, а вполне определенным. И это не только не противоре­чит представлению о хаотичности молекулярных движений, но именно ею и обусловлено.

         Будем искать число молекул  в единице объема газа, скорости которых лежат в оп­ределенном интервале скорости от до

_или

Здесь   доля молекул в единице объема газа, скорости которых лежат в ин­тервале от n до n+Dn.

Функция называется функцией распределения, переходя к пределу

Таким образом, функция распределения – это вероятность того, что лю­бая из моле­кул газа, содержащихся в единице его объема, обладает скоростью, лежащей в интервале  dn  вблизи скорости n.

Рисунок 5

 

         Функция  удовлетворяет условию нормировки

                _{Скорость, при которой функция распределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью}

                _{Средняя арифметическая скорость определяется по формуле}

               

 

_{Средняя квадратичная скорость молекул определяется по формуле}

                _{При повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоро­стям сместится вправо. Однако площадь, ограниченная кривой, оста­ется неизменной.}

Рисунок 6

 

Экспериментально распределение Максвелла было подтверждено опытами Штерна (1920 г.) и других исследователей.

        

5.3 Барометрическая формула.  Распределение Больцмана

         Молекулы любого газа находятся в поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой, приво­дят к некоторому стацио­нарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

         Пусть , т.е. не зависят от высоты. Тогда, если на высоте  ат­мосферное давление равно , то на высоте  оно равно .

,

где - плотность газа на высоте . Следовательно,  .

         Так как                                    , то .  

Интегрируя, получим           

,

откуда путем потенцирования имеем

 или     .

 

         Это уравнение, устанавливающее закон убывания давления с высотой, называется ба­рометрической формулой (используется для определения вы­соты над Землей путем изме­рения давления на данной высоте).

         Учитывая, что  , можно записать

,

или                                         .

Здесь - потенциальная энергия молекулы в поле силы тяжести. Если газ нахо­дится в каком-нибудь другом силовом поле, так что его молекулы об­ладают некоторой по­тенциальной энергией, то число частиц, обладающих за­данной энергией , определяется формулой

.

Эта функция носит название распределения Больцмана и справедлива для потенциального силового поля любой природы для системы одинаковых частиц.

        

5.4 Закон равнораспределения энергии по степеням свободы

         Из сравнения выражений для давления газа

p = nkT и p = (2/3)n <E_k>

следует

<E_k> = (3/2)kT,

т.е. средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул прямо пропорциональна термодинамической температуре.

         Только поступательно движутся одноатомные молекулы (например, инертных газов). Двух - и более атомные молекулы могут также совершать вращательные и колебательные движения.

         В статистической физике имеет место закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Числом степеней свободы системы называется число независимых координат, определяющих ее положение в пространстве. Тогда одноатомные молекулы имеют только три поступательные степени свободы, двухатомные - три поступательные и две вращательные, многоатомные и абсолютно твердое тело - три поступательные и три вращательные степени свободы.

         Итак, возвращаясь к одноатомным молекулам, можно утверждать, что согласно закону равнораспределения на каждую степень свободы приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия, равная kT/2.

Тогда средняя энергия молекулы равна

<E> = (i /2)kT,

где i - сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы.

 

5.5 МКТ теплоемкости идеальных газов и ее ограниченность

Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству тепла, ко­торое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на 1К.

Удельная теплоемкость – это теплоемкость 1 кг вещества.

Молярная теплоемкость – это теплоемкость 1 моля вещества.

Газ можно нагревать при постоянном объеме или при постоянном давлении. Соответст­венно у газа различают две теплоемкости: и .

;  

. Это выражение называется формулой Майера.

Таким образом, и  определяются числом степеней свободы молекул идеального газа и должны быть кратны R/2. Однако опыт показывает отклонения значений теплоемкости от теоретических. Более того, теплоемкость проявляет зависимость от температуры, объяснение чему можно дать лишь с помощью квантовой теории теплоемкости газов.

 

6 Лекция 6. Второе начало термодинамики

 

Цели лекции:

- понять, что первое начало термодинамики не может указать на направление протекания процесса;

- понять смысл энтропии как функции состояния, что её изменение может показать об обратимости или необратимости процесса;

         - уяснить методы решения задач с применением первого и второго начал термодинамики для различных изопроцессов.

         Система находится в термодинамическом равновесии, если макроско­пические ве­личины, определяющие ее состояние (давление, температура), ос­таются постоянными. В со­стоянии термодинамического равновесия в системе не могут происходить такие явления, как теплопроводность, диффузия, хими­ческие реакции, фазовые переходы.

         Если система выведена из состояния равновесия и после этого предостав­лена самой себе, то, как показывает опыт, сам собой происходит переход к рав­новесному состоянию. Но когда равновесие уже установлено, то система не может сама собой возвратиться к первона­чальному неравновесному состоянию (например, выравнивание температуры двух соприка­сающихся тел, расширение газа в пустоту). Это указывает на важную особенность процес­сов, происходя­щих в молекулярных системах, - на их необратимость. Этим молекулярные процессы отличаются от механических, для которых характерна строгая обра­тимость.

Термодинамический процесс называется обратимым, если он, будучи проведен в об­ратном направлении, возвращает систему в исходное состояние так, чтобы система прошла через те же промежуточные состояния, что и в пря­мом процессе, но в обратной последова­тельности, а состояние тел вне системы осталось неизменным.

Обратимый процесс – понятие идеализированное. Однако их изучение представляет интерес по двум причинам:

а) многие процессы в природе и технике практически обратимы;

б) обратимые процессы являются наиболее экономичными: имеют макси­мальный КПД, что позволяет указать пути повышения КПД реальных те­пловых двигателей.

 

6.2 Тепловые и холодильные машины

Если тепло передается телу, которое при этом может расширяться, то оно может со­вершить работу. Согласно первому началу термодинамики

Наибольшая работа совершается при изотермическом процессе, когда внутренняя энергия не изменяется.

Это относится к однократному акту передачи теплоты телу, совер­шающему ра­боту. Но для техники представляют интерес не такие единичные акты преобразования теп­лоты в работу. Реально существующие устройства (па­ровые машины, ДВС) действуют цик­лически.

         Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в исходное.

Рисунок 7

 

Если за цикл совершается положительная работа (цикл протекает по ча­совой стрелке), то он называется прямым. Если же за цикл совершается отри­цательная работа (цикл проте­кает против часовой стрелки), то он называется обратным.

 

 

Принцип Кельвина: невозможно осуществить циклический процесс, единственным результатом которого было бы превращение в механическую ра­боту теплоты, отнятой у ка­кого-нибудь тела, без того, чтобы произошли какие-либо изменения в другом теле. Таким образом, для совершения работы в цик­лической машине необходимо участие двух тел с раз­личной температурой – нагревателя и холодильника.

Рисунок 8

 

Согласно закону сохранения энергии

Коэффициентом полезного действия (КПД) тепловой машины называется от­ношение совер­шаемой ею работы , к количеству теплоты , получаемой машиной от нагревателя

 

6.3 Цикл Карно. КПД. Теоремы Карно.

Рассмотрим круговой процесс, при котором тепло, отнятое у нагревателя можно пре­вратить в работу наилучшим образом, т.е. так, чтобы полученная ра­бота была максимально возможной. Этот цикл называется циклом Карно.

 

 

Рисунок 9

 

 

,  ,

Для адиабатных процессов имеем

,      

или

.

Тогда КПД можно определить как

 

.

Теоремы Карно:

а) тепловая машина, работающая при данных значениях температур нагре­вателя и хо­лодильника, не может иметь КПД больший, чем машина, ра­ботающая по обратимому циклу Карно при тех же значениях температур нагревателя и холодильника;

б) КПД цикла Карно не зависит от рода рабочего тела, а только от темпера­тур нагрева­теля и холодильника.

 

6.4 Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для выяснения физи­ческого смысла энтропии рассматривают отношение теплоты , полученной телом в изотермиче­ском процессе, к температуре теплоотдающего тела, на­зываемое приведенным количест­вом теплоты . Приведенное количество теп­лоты, сообщаемое телу на бесконечен малом участке процесса, равно . При­веденное количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом процессе, равно нулю

Из этого равенства следует, что подынтегральное выражение есть полный диффе­ренциал некоторой функции, которая определяется только со­стоянием системы и не зависит от пути, каким система пришла в это состояние, т.е. является функцией состояния. Таким об­разом,

Функция состояния, дифференциал которой равен , называется энтро­пией.

Для обратимых процессов в замкнутой системе   , для необратимых процессов энтропия замкнутой системы возрастает  >.

Неравенство Клаузиуса: энтропия замкнутой системы может либо воз­растать, либо оставаться постоянной.Энтропия системы равна сумме энтропий тел, входящих в систему.

Если система совершает равновесный переход из состояния 1 в состояние 2, то изменение энтропии

Найдем изменение энтропии в процессах идеального газа

 

При изотермическом процессе

При изохорном процессе

Физический смысл энтропии вскрывается в статистической физике: эн­тропия связы­вается с термодинамической вероятностью. Термодинамическая вероятность  состоя­ния системы – это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросо­стояние.

Согласно Больцману

Энтропия является мерой неупорядоченности системы.

Некоторые формулировки второго начала термодинамики

а) любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия сис­темы возрастает;

б) невозможен круговой процесс, единственным результатом которого явля­ется превра­щение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу (Кельвин);

в) невозможен процесс, единственным результатом которого является пере­дача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому (Клаузиус).

Третье начало термодинамики (теорема Нернста)

Энтропия всех тел стремится к нулю при стремлении к нулю температуры

7 Лекция 7.  Явления переноса

 

Цели лекции:

- понять необратимость процессов, связанных с пространственным переносом энергии, массы, импульса;

- уяснить методы решения задач при применении феноменологических уравнений явлений переноса в газах.

 

         7.1 Согласно экспериментальным и теоретическим исследованиям, межмоле­кулярные силы взаимодействия  обратно пропорциональны n–ой степени расстояния между молеку­лами

~,

где для сил притяжения , а для сил отталкивания . Таким образом, эти силы очень быстро убывают с увеличением расстояния между молекулами, причем, особенно бы­стро убывают силы отталкивания.

Рисунок 10

 

         7.2 Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непре­рывно сталкива­ются друг с другом. Вследствие этого траектория молекул пред­ставляет собой ломаную ли­нию, похожую на траекторию броуновской частицы. Изобразим путь, пройденный некоторой молекулой за 1с.

 

 

 

Рисунок 11

 

Длиной свободного пробега молекулы называется путь, проходимый ею между двумя последовательными столкновениями.

 

 

 

Длина свободного пробега все время меняется. Поэтому следует говорить о средней длине свободного пробега . Для определения  разде­лим  путь, пройден­ный молекулой за 1с и численно равный,  на среднее число столкно­вений , испытываемых молекулой за 1с.

Для определения  будем считать молекулы шариками диаметра .  Изобразим путь, пройденный одной из молекул за 1с. Допустим, что остальные молекулы неподвижны. Движущаяся молекула столкнется только с теми молекулами, центры которых лежат внутри ломаного цилиндра радиусом .

Рисунок 12

 

Следовательно, среднее число столкновений  за 1с равно числу моле­кул в объеме ломаного цилиндра. Такой объем можно рассчитать как объем спрямленного цилиндра высотой  и площадью основания . Тогда

Если же учесть движение остальных молекул, то, как показывает более строгий расчет, число столкновений будет равно

Следовательно, средняя длина свободного пробега молекул рассчитывается так

Так как , то средняя длина свободного пробега молекул обратно пропорцио­нальна давлению. По мере понижения давления газа средняя длина свободного пробега его молекул возрастает и при сильном разрежении стано­вится равной размеру сосуда . Это со­стояние газа называется вакуумом.

В зависимости от соотношения  и  различают: средний вакуум ;  высокий >;  сверхвысокий вакуум >>. В настоящее время достигнуты давления мм.рт.ст.

 

 

 

 

7.3  В термодинамически неравновесных системах возникают особые необрати­мые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых проис­ходит пространственный пере­нос массы, импульса, энергии. К явлениям пере­носа относятся диффузия (перенос массы), внутреннее трение (перенос им­пульса) и  теплопроводность (перенос энергии).

Общее уравнение переноса выводится на основе молекулярно-кинетической теории иде­ального газа.

Ограничимся одномерным случаем. Систему отсчета выберем так, чтобы ось   была ориен­тирована в направлении переноса. Тогда

,

где - переносимая физическая характеристика;

- количество физической характери­стики, перенесенное молекулами в направлении  за время  через площадку . Отно­шение  называется градиентом физической вели­чины  и характеризует быстроту ее изменения в направлении наибольшего возрастания физической величины.

Рисунок 13

Диффузия

         В этом явлении переносимой физической характеристикой является масса молекулы . В таком случае , а .

Тогда

Обозначив

,

получим уравнение диффузии или закон Фика.

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом диффу­зии.         Коэффи­циент диффузии обратно пропорционален давлению (т.к.  ~ ) и пропорционален квадратному корню из температуры (т.к. ~ ).

 

 

Внутреннее трение (вязкость)

         В этом случае переносимой физической характеристикой является им­пульс молекулы , где  - скорость слоя газа.

В таком случае                      .

Тогда

,

где  - изменение импульса одного слоя относительно другого, происходящее за время   на пограничной площадке .

Тогда

Обозначив

,  

получим уравнение внутреннего трения или закон Ньютона.

Коэффициент пропорциональности  называется коэффициентом внутреннего трения. Коэффициент внутреннего трения не зависит от давления, т.к.  ~ , а  ~ p. Однако для разреженного газа  не зависит от давле­ния, поэтому  ~ . Коэффициент внутреннего трения  прямо про­порционален .

 

Теплопроводность

В этом случае переносимой физической характеристикой является энергия молекулы <φ> = (i/2)kT. В таком случае

,

,

где ΔQ - количество теплоты, переносимое за время Δt сквозь площадку ΔS, перпен­ди­кулярную направлению убывания температуры. Тогда

,

 

обозначив                              ,

получим уравнение теплопроводности или закон Фурье

.

Коэффициент пропорциональности χ называется коэффициентом теплопро­водности. Коэффициент теплопроводности не зависит от давления, т.к.  ~ , а  ~ p. Однако для  сильно разреженного газа  не зависит от давления, поэтому χ ~ p. Зависимость теплопроводности от давления в разреженном газе использу­ется в устройстве термоса (сосуда Дьюара).

Коэффициент теплопроводности χ прямо пропорционален <v>, λ и теплоемкости единицы объема.

         Соотношения между коэффициентами переноса: η ≈ Dρ; χ ≈ ηc_v ≈ Dρc_v.

Внешнее сходство математических выражений явлений переноса обу­словлено общностью лежащего в основе теплопроводности, диффузии и внутреннего трения моле­кулярного механизма перемешивания молекул в процесс их хаотического движения столкновений друг с другом.

 

8 Лекция 8. Электростатическое поле в вакууме

 

Цели лекции:

- понять потенциальность электростатического поля, что это поле имеет силовую и энергетическую характеристики;

- уяснить методы решения задач с применением принципа суперпозиции полей, а также теоремы Гаусса и Стокса при различных распределениях электрических зарядов.

 

         8.1 Введение.   В природе существуют четыре фундаментальных взаимодействия между элементарными частицами - сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Каждое из них связано с определенной характеристикой частицы. Гравитационное взаимодействие зависит от массы частиц, а электромагнитное - от электрических зарядов. Основные свойства зарядов:

а) электрические заряды бывают двух типов: положительные и отрицательные;

б) закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов замкнутой системы остается неизменной;

в) электрический заряд – релятивистски инвариантная величина.

         По современным представлениям (теория близкодействия) взаимодействие между зарядами осуществляется через электрическое поле с конечной скоростью. Основные свойства электростатического поля:

а) электростатическое поле создается вокруг всякого электрического заряда;

б) на всякий другой заряд, помещенный в это поле, действует сила.

         Основной задачей электростатики является определение характеристик электростатического поля по известному распределению зарядов.

         Закон Кулона: сила  взаимодействия между двумя неподвижными точеч­ными зарядами пропорциональна произведению величин зарядов  и  и об­ратно пропорциональна квадрату расстояния  между ними

 или ,

где  - сила, действующая на заряд со стороны заряда ;

  - радиус-век­тор, соединяющий заряд с зарядом .

В СИ коэффициент пропорциональности равен = 9.10⁹,  Ф/м – электрическая постоянная. Тогда

.

Силовой характеристикой электростатического поля служит вектор напряженности электрического поля в данной точке

,

где - сила, действующая на пробный заряд , помещенный в эту точку поля.

Напряженность поля точечного заряда в вакууме

 или .

Единица измерения напряженности электрического поля – В/м.

         Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность поля системы зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов системы в отдельности

.

         Линии напряженности – это линии, касательные к которым в каждой точке направлены так же, как и вектор напряженности  в данной точке поля. Линии напряженности проводят с такой густотой, чтобы число линий, проходящих через единицу поверхности, перпендикулярной к ним, было равно (или пропорционально) модулю вектора напряженности поля  в данном месте. Линии напряженности электростатического поля, начавшись на заряде, уходят на бесконечность (положительный заряд), либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (отрицательный заряд).

         Электрическое поле называется однородным, если вектор напряженности в любой точке поля постоянен по модулю и направлению . Линии напряженности однородного поля имеют вид параллельных линий, проведенных с одинаковой густотой.

        

8.2 Потоком вектора напряженности  однородного поля через плоскую поверхность  называется величина

,

где - угол между вектором  и нормалью  к поверхности ;

- проекция вектора  на нормаль .

Для  неоднородного поля и произвольной поверхности поток вектора напряженности через эту поверхность

.

         При рассмотрении макроскопических зарядов отвлекаются от их дискретной (прерывистой) структуры и считают их распределенными всюду в пространстве непрерывным образом с конечной плотностью.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на .

.

         Пример - Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

.

Тогда поле в центре плоского конденсатора Е = σ/ε₀ или Е = σ/ε₀ε (при наличии диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε).

    

8.3  Работа сил электростатического поля по перемещению заряда

         Если в электростатическом поле точечного заряда из точки 1 в точку 2 вдоль силовой линии перемещается другой точечный заряд , то сила, прило­женная к заряду, совершает работу. Работа силы  на элементарном переме­щении  равна

Работа при перемещении заряда  из точки 1 в точку 2

не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек. Этот вывод справедлив для любого электростатического поля. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным.

         Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии

_.

Следовательно, заряд  в поле заряда  обладает потенциальной энергией

_.

Значение константы выбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность (т.е. при ) потенциальная энергия обращалась в ноль.

         Величина  называется потенциалом поля в данной точке и используется, наряду с напряженностью , для описания электрических полей.

         Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда  из точки 1 в точку 2, может быть представлена как

_.

         Разность потенциалов двух точек 1 и 2 электростатического поля равна работе, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положитель­ного заряда из точки 1 в точку 2

         Единица потенциала – вольт (В): 1В есть потенциал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж.

         Потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности

         Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру равна нулю

_{Циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого контура равна нулю. Следовательно, согласно математической теореме Стока, ротор напряженности электростатического поля также равен нулю: rotE = 0.}

         Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом выражается формулой

 или .

         Поверхности, во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальными поверхностями. Линии напряженности всегда нормальны эквипотенциальным поверхностям.

         Установленная связь между напряженностью поля и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Например, разность потенциалов между двумя бесконечными параллельными заряженными плоскостями (плоский конденсатор)

,

где - расстояние между плоскостями.

  

9 Лекция 9. Диэлектрики в электростатическом поле

    

         Цели лекции:

- понять механизм поляризации различных диэлектриков во внешнем электрическом пол;

- понять смысл введения вектора поляризованности и электрического смещения для описания явления поляризации диэлектриков;

- уяснить методы решения задач при применении условий на границе двух диэлектриков.

 

9.1 Поляризация диэлектриков. Поляризованность.

         Диэлектриками являются вещества, практически не проводящие электрического тока, так как в них нет свободных зарядов.

При внесении диэлектрика в электрическое поле изменяются свойства как самого поля, так и диэлектрика. Диэлектрики делятся на следующие типы:  

а) неполярные диэлектрики – это вещества, молекулы которых в отсутст­вии внешнего электрического поля не обладают электрическим моментом . Молекулы приобретают такой момент во внешнем электрическом поле (упругий диполь). К неполярным диэлектрикам относятся  Н₂, О₂, N₂ и др;

б) полярные диэлектрики – это вещества, молекулы которых имеют элек­трический момент  при отсутствии внешнего электрического поля, т.к. цен­тры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов молекулы не совпа­дают (жесткий диполь). Во внешнем электрическом поле диполи повернутся вдоль поля, и диэлектрик приобретает  отличный от нуля результи­рующий момент. К полярным диэлектрикам относятся  H₂O, NH₃, CO и др;

в) кристаллические диэлектрики с ионной решеткой – вещества, внутрен­няя структура которых представляет собой пространственную решетку с пра­вильным чередованием ионов разных знаков. Молекулы в таких кристаллах можно рассматривать как систему двух вдвинутых одна в другую ионных под­решеток. Под действием внешнего электрического поля происходит относи­тельное смещение подрешеток, приводящее к возникновению дипольных мо­ментов.

         Поляризацией диэлектрика называют процесс, в результате которого диэлек­трик приобретает электрический момент под воздействием внешнего электри­ческого поля.

Соответственно трем группам диэлектриков различают три механизма поляри­зации:

а) электронная поляризация смещения;

б) ориентационная, или дипольная, по­ляризация;

в) ионная поляризация.

         В результате поляризации на диэлектрике возникают заряды, называемые связанными.

         Для количественной характеристики поляризации диэлектрика используется векторная величина – поляризованность, определяемая как электрический момент единицы объема диэлектрика

.

         Поляризованность связана с поверхностной плотностью связанных зарядов  соотношением

.

         Появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного электрического поля , которое направлено против внешнего поля  и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика

.

         Для большого класса диэлектриков поляризованность   линейно зависит от напряженности поля  внутри диэлектрика и если диэлектрик изотропный, то

,

где - диэлектрическая восприимчивость вещества.

Тогда поле внутри диэлектрика

или ,

где - диэлектрическая проницаемость среды. Она показывает, во сколько раз поле в вакууме больше поля в диэлектрической среде.

  

9.2 Электрическое смещение. Диэлектрическая восприимчивость вещества.

  На границе раздела двух диэлектриков линии напряженности прерываются, т.к. вектор  претерпевает скачок. Поэтому для описания электрического поля в неоднородных диэлектриках гораздо удобнее пользоваться вектором электрического смещения  (индукции) вместо напряженности поля .

.

         Для изотропного диэлектрика векторы и  параллельны, поэтому параллельны и  и

.

         В анизотропных диэлектриках направления и , вообще говоря, не совпадают, и поэтому направления  и  также различны.

        

9.3 Теорема Гаусса для вектора электрического смещения.

Поток вектора смещения D электрического поля в диэлектрике через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов

.

         На границе раздела двух изотропных диэлектриков с диэлектрическими про­ницаемостями и выполняются следующие условия

,   ,

,   ,

где  и  - углы между нормалью к границе раздела и вектором (или) в первой  и второй средах.

 

10 Лекция 10. Проводники в электрическом поле

 

Цели лекции:

- понять различие механизмов явлений при введении во внешнее электрическое поле диэлектриков и проводников;

- понять различие между энергией взаимодействия электрических зарядов и энергией электрического поля;

- уяснить методы решения задач по определению энергии взаимодействия и энергии электрического поля.

 

         10.1 Равновесие зарядов на проводнике

         Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

а) напряженность поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю

б) напряженность поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности

.

Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной, а сообщенный ему заряд распределится по поверхности проводника с некоторой плотностью .

         Напряженность поля в вакууме вблизи поверхности проводника равна

.

Для получения этого соотношения используем теорему Гаусса для вектора D. Внутри проводника Е и D равны нулю (рис.10.1). Поток вектора D через боковую поверхность цилиндра равен нулю, отличен от нуля только поток через внешнее основание DdS, равный σdS. Тогда D = σ и Е = σ/ε₀.

  

10.2  При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направлении вектора , отрицательные – в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами. Явление перераспределения зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией. Процесс будет происходить до тех пор, пока не будут выполнены условия (1,2) равновесия зарядов на проводнике.

         10.3  Энергия взаимодействия системы зарядов.  Энергия заряженного проводника конденсатора

         Взаимную потенциальную энергию точечных зарядов и , находящихся на расстоянии друг от друга, можно рассматривать как потенциальную энергию заряда , находящегося в поле заряда , либо как потенциальную энергию заряда , находящегося в поле заряда 

,

где и  - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом  в точке нахождения заряда  и зарядом  в точке нахождения .

В случае  неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

,

где  - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме  - го

.

         Поверхность уединенного проводника является эквипотенциальной, т.е. . Заряд , находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов . Тогда

.

Приняв во внимание связь между зарядом на проводнике и его потенциалом, можно записать следующие выражения для энергии заряженного проводника

.

         Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +, равен , а потенциал обкладки, на которой находится заряд -, равен . Тогда

.

Приняв во внимание связь между зарядом на обкладках конденсатора и разностью потенциалов между его обкладками, можно записать следующие выражения для энергии заряженного конденсатора

.

    

10.4 Энергия электростатического поля

         Энергия заряженного конденсатора сосредоточена в его электрическом поле, т.е. в пространстве между обкладками. Энергию конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Для плоского конденсатора имеет место выражение

,

где - объем, занимаемый полем.

         Если поле однородно, заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с постоянной плотностью .

.

         Зная плотность энергии электрического поля в каждой точке, можно найти энергию электрического поля, заключенную в любом объеме

.

         Зная плотность энергии электрического поля в каждой точке, можно найти энергию электрического поля, заключенную в любом объеме

.

 

11 Лекция 11. Законы постоянного тока

 

Цели лекции:

- понять условия существования электрического тока и смысл характеристик тока;

- понять смысл закона Ома для различных участков цепи в интегральной и дифференциальной формах;

         - уяснить методы решения задач при применении законов  Ома и Джоуля-Ленца.

  

11.1 Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. Для возникновения и существования электрического тока необходимо выполнение двух условий:

а) наличие в данном теле свободных носителей тока – заряженных частиц, способных перемещаться в пределах всего тела;

б) наличие электрического поля внутри тела.

         За направление тока условно принимают направление движения положительных зарядов.

         Для количественной характеристики электрического тока служат две величины: сила тока и плотность тока.

         Сила тока  – физическая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени

.

Если сила тока и его направление не изменяются со временем, то такой ток называется постоянным. Для постоянного тока

.

Единица силы тока – ампер (А).

         Физическая величина, определяемая зарядом, проходящим в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной направлению тока, называется плотностью тока

.

Плотность тока связана со скоростью  упорядоченного движения зарядов (дрейфа)

,

где и - концентрация и заряд носителей тока.

Зная вектор плотности тока  в каждой точке проводника, можно определить силу тока

,

где интегрирование производится по всей поверхности  сечения проводника.

  

11.2 Уравнение непрерывности выражает закон сохранения заряда

.

         Если состояние проводника остается неизменным, то для каждого проводника существует однозначная зависимость между разностью потенциалов на его концах и силой тока в нем: . Она называется вольтамперной характеристикой проводника.

         Для металлов эту зависимость впервые экспериментально установил немецкий физик Г.Ом. Сила тока согласно закону Ома для участка цепи пропорциональна приложенному напряжению, т.е.

,

где – электрическое сопротивление проводника. Единица сопротивления – ом (Ом): 1 Ом – сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет постоянный ток силой 1 А.

         Сопротивление проводников зависит от его размеров и формы, а также от материала, из которого проводник изготовлен. Эта зависимость особенно проста для проводника цилиндрической формы

,

где  - длина проводника;

                - площадь его поперечного сечения;

         - удельное сопротивление, зависящее только от рода вещества и его состояния. Единица удельного  сопротивления - Ом·м.

         Сопротивление металлов увеличивается с ростом температуры

,

где - удельное сопротивление металла при 0˚С;

 - температурный коэффициент сопротивления металла. Для многих металлов  практически не зависит от температуры и близок к 1/273 °С^-1.

         При очень низких температурах в некоторых веществах наблюдается явление  сверхпроводимости, при котором сопротивление скачком обращается в ноль. Впервые сверхпроводимость была обнаружена в 1911 году у ртути голландским физиком Х. Камерлинг-Оннесом. Позже сверхпроводимость была установлена у свинца, олова, ниобия и у других металлов, а также у ряда сплавов. Температура, при которой исчезает сопротивление, называется критической температурой . В 1933 году немецким физиком В. Мейсснером  было открыто второе фундаментальное свойство сверхпроводников: при температуре ниже  магнитное поле выталкивается из толщи образца (эффект Мейсснера).

         В 1986 году были открыты металлоксидные высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) с критическими температурами , превышающими температуру кипения жидкого азота при нормальном атмосферном давлении (77К).

 

11.3 Работа и мощность постоянного тока. Закон Джоуля-Ленца. Электродвижущая сила

         Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то перемещение носителей тока очень быстро приведет к выравниванию потенциалов на концах проводника, и ток прекратится. Для того, чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом (для положительных носителей тока) непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом непрерывно их подводить. Силы электростатического поля не способны осуществить такое перемещение зарядов. Для этого необходимы сторонние силы.

         Сторонние силы характеризуются работой, которую они совершают над перемещающимися по цепи зарядами. Величина, равная работе сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (э.д.с.), действующей в цепи или на ее участке.

.

Единица измерения э.д.с. – вольт (В).

         Стороннюю силу , действующую на заряд , можно представить в виде

,

где - напряженность поля сторонних сил. Работа сторонних сил над зарядом  на участке цепи 1-2 равна

.

Тогда э.д.с., действующая на участке 1-2

.

Э.д.с., действующая в замкнутой цепи

,

т.е. э.д.с., действующая в замкнутой цепи, может быть определена как циркуляция вектора напряженности сторонних сил.

         Результирующая сила, действующая в каждой точке цепи на заряд , равна

,

где - силы электростатического поля.

Работа, совершаемая результирующей силой над зарядом на участке 1-2, определяется выражением

.

         Величина, численно равная работе, совершаемой электростатическими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется напряжением  на данном участке цепи.

.

         Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным. Участок, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называется неоднородным. Для однородного участка цепи напряжение совпадает с разностью потенциалов

.

         Закон Ома для неоднородного участка цепи имеет вид

.

         Для замкнутой цепи , поэтому закон Ома для замкнутой цепи будет иметь вид

,

где – суммарное сопротивление всей цепи.

         Работа тока, совершаемая постоянным током в проводнике, имеющем сопротивление  и находящемся под напряжением , рассчитывается по формулам

.

         Мощность постоянного тока равна

.

         Если ток проходит по неподвижному металлическому проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону сохранения энергии,

.       

Таким образом, количество теплоты, выделяющееся в проводнике:

.

Данные соотношения выражают закон Джоуля-Ленца, экспериментально установленный независимо друг от друга Дж. Джоулем и Э.Х. Ленцем.

    

11.4 Классическая электронная теория электропроводности металлов

Исходя из представлений о свободных электронах, немецкий физик П. Друде создал классическую электронную теорию металлов, которая затем была усовершенствована голландским физиком Х. Лоренцем. Эта теория основана на предположении, что электроны проводимости ведут себя подобно молекулам идеального газа. При своем движении они сталкиваются с ионами, расположенными в узлах кристаллической решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой. Классическая электронная теория хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца.

         Закон Ома в дифференциальной форме

,

где величина , обратная удельному сопротивлению , называется удельной проводимостью вещества.

         Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

,

где - удельная тепловая мощность, определяемая как количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема проводника.

         Согласно теории Друде, электрон во время свободного пробега движется равноускоренно под действием силы , действующей на него со стороны электрического поля. К концу свободного пробега скорость электрона достигнет

,

где - среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Средняя скорость направленного движения (дрейфа) электронов

.

Тогда плотность тока в металлическом проводнике пропорциональна напряженности поля (закон Ома в дифференциальной форме)

.

Коэффициент пропорциональности между  и  есть не что иное, как удельная проводимость материала

 .

         К концу свободного пробега электрон приобретает кинетическую энергию

.

При соударении с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т.е. на его нагревание. В единицу времени каждый электрон испытывает  соударений. Следовательно, за единицу времени решетке в единице объема проводника передается энергия, равная удельной тепловой мощности

.

Коэффициент пропорциональности между  и  есть удельная проводимость материала . Следовательно, последняя формула выражает закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

         Несмотря на очевидные достоинства классической электронной теории проводимости металлов, она имеет и ряд существенных недостатков, проявляющихся в противоречиях некоторых выводов теории с опытом. Наиболее яркими примерами несостоятельности классической электронной теории электропроводности металлов являются сверхпроводимость и теория теплоемкости металлов.

         Согласно классической электронной теории, электрическое сопротивление есть результат соударений электронов проводимости с ионами кристаллической решетки. С этих позиций невозможно объяснить полное отсутствие электрического сопротивления у некоторых металлов и сплавов в сверхпроводящем состоянии.

         Теплоемкость металла слагается из теплоемкости его кристаллической решетки и теплоемкости электронного газа. Согласно классической электронной теории, молярная теплоемкость одноатомного электронного газа равна . В таком случае

.

Опыт, однако, показывает, что молярные теплоемкости всех химически простых твердых тел, в том числе металлов, одинаковы и равны . Таким образом, вопреки представлениям электронной теории проводимости металлов электронный газ практически не обладает теплоемкостью.

Эти и некоторые другие противоречия теории с опытом успешно разрешены квантовой теорией проводимости.

 

12 Лекция 12. Магнитное поле токов

 

Цели лекции:

- понять различный характер взаимодействия неподвижных и движущихся зарядов;

- понять особенность магнитного поля, смысл введения вектора магнитной индукции;

         - уяснить методы решения задач с применением принципа суперпозиции полей, а также закона полного тока.

    

12.1 В 1820 г. датский физик Х. Эрстед обнаружил ориентирующее действие электрического тока на магнитную стрелку. Практически одновременно с этим французский физик А.М. Ампер открыл и подробно исследовал взаимодействие двух проводников с током. Было установлено, что магнитное взаимодействие свойственно только движущимся электрическим зарядам (токам). Магнитное взаимодействие токов осуществляется посредством особой формы материи – магнитного поля. Основное свойство магнитного поля заключается в том, что на проводники с током, находящиеся в нем, действуют силы. Для изучения свойств магнитного поля используется рамка с током. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная нормаль к рамке. Вращающий момент пары сил, действующий на рамку с током, равен

,

где - магнитный момент рамки с током;

- количественная характеристика магнитного поля, называемая вектором магнитной индукции.

         Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Единица измерения магнитной индукции – тесла (Тл).

         Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током , элемент  которого создает в некоторой точке поля индукцию , записывается в виде

,

где - радиус-вектор, проведенный из элемента тока  в рассматриваемую точку поля;

          = 4π·10^-7 Гн/м - магнитная постоянная.

Направление  перпендикулярно и , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат. Это направление может быть найдено по правилу правого винта: направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора определяется выражением

,

где  - угол между векторами и .

         Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности

.

         Применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитать магнитные поля некоторых токов:

а) магнитное поле прямого тока

,

где - расстояние от тока до рассматриваемой точки;

б) магнитное поле в центре кругового тока

,

где - радиус кругового тока.

         Линии, касательная к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора , называются линиями магнитной индукции. Линии магнитной индукции прочерчивают с такой густотой, чтобы число линий, пересекающих единицу поверхности, перпендикулярной к ним, было равно (или пропорционально) модулю вектора  в данном месте.

         Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, называются вихревыми. Магнитное поле – вихревое поле.

         Для описания магнитного поля наряду с магнитной индукцией используют другую физическую величину – напряженность магнитного поля . В вакууме она связана с вектором магнитной индукции соотношением

.

Единица измерения напряженности магнитного поля – А/м.

         Введем понятие магнитного напряжения

.

Магнитное напряжение зависит от формы контура  и не определяется только положением точек начала и конца этого контура. Магнитное напряжение по  любому замкнутому контуру (циркуляция вектора ) отлично от нуля. Циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром

,

где - число проводников с токами, охватываемых контуром  произвольной формы.

Это теорема о циркуляции вектора называется также законом полного тока для магнитного поля в вакууме.

Применяя теорему о циркуляции вектора , можно рассчитать напряженность магнитного поля внутри соленоида и тороида:

а) поле соленоида длиной , имеющей  витков

б) поле тороида – кольцевой катушки, на витки которой намотан сердечник, имеющий форму тора радиуса

,

где  - число витков.

 

Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Эффект Холла. Магнитный поток. Механическая работа в магнитном поле. Контур с током в магнитном поле.

         Сила , с которой магнитное поле действует на элемент тока , помещенный в это поле,

.

Направление вектора может быть найдено по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

,

где  - угол между векторами  и .

         Два параллельных проводника с токами  и , расстояние между которыми равно , притягиваются друг к другу, если токи текут в одном направлении и отталкиваются друг от друга, если токи имеют противоположные направления.

.

         Сила, действующая на электрический заряд , движущийся в магнитном поле со скоростью , называется силой Лоренца

.

Направление силы Лоренца находится с помощью правила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора , то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на положительный заряд. Модуль силы Лоренца равен

,

где - угол между векторами  и .

Если частица движется в однородном магнитном поле со скоростью, то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центростремительное ускорение. Следовательно, частица будет двигаться по окружности, радиус которой определяется из условия , откуда

.

Период вращения частицы

,

т.е. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду  частицы, и магнитной индукции поля , но не зависит от  ее скорости. На этом основано действие циклических ускорителей заряженных частиц.

         Магнитным потоком через плоскую поверхность , расположенную в однородном магнитном поле с индукцией называется скалярная величина, равная

,

где - угол между вектором  и нормалью  к поверхности.

Единица измерения магнитного потока – вебер (Вб): 1 Вб – магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл.

         Магнитный поток через произвольную поверхность , расположенную в неоднородном магнитном поле равен

         Магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю

Эта теорема, называемая теоремой Гаусса для вектора магнитной индукции отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера. Если проводник не закреплен, то под действием силы Ампера он будет перемещаться.

Рисунок 14

 

         При этом магнитное поле совершает работу

,

где - магнитный поток через поверхность .

Таким образом, работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником.

         Для замкнутого контура с постоянным током работа магнитного поля при конечном перемещении контура равна

         На контур с током в магнитном поле действует пара сил с моментом , стремящаяся повернуть рамку так, чтобы его плоскость стала перпендикулярна к .

 

Рисунок 15

 

Момент пары сил определяется по формуле

,

где  - магнитный момент контура.

Модуль момента пары сил равен

,

где  - угол между направлением нормали  к плоскости рамки и направлением вектора магнитной индукции .

 

 

 

 

 

 

13 Лекция 13. Магнитные свойства вещества

 

Цели лекции:

- понять механизм намагничивания различных магнетиков при внесении их во внешнее магнитное поле;

- понять смысл введения вектора намагниченности и вектора напряженности магнитного поля;

         - уяснить методы решения задач с применением условий на границе двух магнетиков и закона полного тока для магнитного поля в веществе.

         Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Причину этого явления объяснил А. Ампер, выдвинув гипотезу о том, что в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Электрон, движущийся по круговой орбите, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом , модуль которого

,

где  - сила тока, - частота вращения электрона по орбите, - площадь орбиты.

Рисунок 16

 

Впоследствии было установлено, что, кроме орбитального магнитного момента, электрон обладает собственным (спиновым) магнитным моментом , который связан с собственным механическим моментом, называемым спином. Спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе.

Следовательно, магнитный момент электрона складывается из орбитального и спинового магнитных моментов. Пренебрегая магнитными моментами ядер, можно рассматривать магнитный момент атома как векторную сумму магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом электронов

.

         Во внешнем магнитном поле орбита электрона, ориентированная относительно вектора  произвольным образом, совершает прецессию. Прецессионное движение электронных орбит эквивалентно круговому току, порождающему магнитное поле атома. Наведенные таким образом магнитные поля атомов направлены противоположно внешнему полю и, складываясь,

 

 

образуют магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект называется диамагнитным, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками (Bi, Ag, Au, Cu, C, многие органические соединения и др.).

         Диамагнетизм присутствует во всех веществах (редкоземельные элементы, Pt, Al и т.д.), однако в некоторых из них он подавляется  парамагнитным эффектом. Атомы парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля обладают магнитными моментами. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно и взаимно компенсируются. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю. Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным.

         Для количественного описания намагничения вводят векторную величину – намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема вещества

.

         Магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого намагничивающим током в вакууме , и поля , создаваемого молекулярными токами в намагниченном веществе

.

Поле, создаваемое молекулярными токами  связано с намагниченностью  соотношением

.

Тогда

.

В несильных полях, как показывает опыт, намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничение, т.е.

,

где  – безразмерная величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества.

Тогда магнитную индукцию поля в веществе можно записать в виде

,

где безразмерная величина  представляет собой магнитную проницаемость вещества.

         Закон полного тока для магнитного поля в веществе

,

где  и  - соответственно алгебраические токи макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром .

         На границе раздела двух веществ 1 и 2 выполняются следующие условия для векторов  и

,   ,

,   .

         Помимо рассмотренных двух классов веществ – диа- и парамагнетиков, существуют еще сильномагнитные вещества – ферромагнетики. Ферромагнетики обладают спонтанной намагниченностью, т.е. они намагничены даже в отсутствии внешнего магнитного поля.

         Основные свойства ферромагнетиков:

а) магнитная проницаемость  достигает очень больших значений  (до 10⁶);

б) зависимость магнитной проницаемости  от напряженности внешнего магнитного поля , т.е. связь между векторами намагниченности  и напряженности магнитного поля не линейна;

в) магнитный гистерезис;

Рисунок 17

 

г) наличие характерной температуры (точка Кюри), при которой ферромагнетик теряет свои свойства.

 

 

 

Список литературы

 

1. Детлаф А.А., Яворский Б. Курс физики: Уч. пособие для вузов.-5-е изд., стер. - М.: Академия, 2005. - 720 с.

2. Трофимова Т.И.  Курс физики: Уч. пособие для вузов.-8-е изд./ стереотип. - М.: Высш.школа, 2004. - 544 c.

3. Савельев И.В.  Курс общей физики. В 5 - кн: Уч. пособие для вузов. Кн.1:  Механика. - М.: Астрель. АСТ, 2004. – 336 с.

4. Савельев И.В.  Курс общей физики. В 5 - кн: Уч. пособие для втузов. Кн.2:  Электричество и магнетизм. - М.: Астрель. АСТ, 2004. – 336 с.

5. Савельев И.В.  Курс общей физики. В 5- кн: Уч. пособие для вузов. Кн.3: Молекулярная физика и термодинамика. - М.: Астрель. АСТ, 2004.-208 с.

 

 

  

 

Марат Шакирович Карсыбаев,

Хайрулла Хусаинович Манабаев,

Тлеухан Дауменович Дауменов,

Ертай Шайкуллаевич Бергалиев