Некоммерческое

                                                                                   акционерное

                                                                                   общество

                                                  

 

 

 

 

 

 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

 

Конспект лекций

для студентов специальности

5В071800 – Электроэнергетика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2017

СОСТАВИТЕЛИ: Саламатина А.М., Абдалиева Н.Т. Электромагнитные   волны. Конспект лекций для студентов всех форм обучения  специальности 5В071800 –Электроэнергетика. - Алматы: АУЭС, 2017 – 54 с.

 

 

 

Излагается содержание лекций по элективной дисциплине «Электромагнитные волны» для студентов бакалавриата специальности 5В01800 ––Электроэнергетика.

Конспект лекций представляет собой еще один элемент системы методического обеспечения учебного процесса по дисциплине и может быть использован в качестве раздаточного материала на лекционных занятиях, а также в самостоятельной работе над теоретическим материалом при подготовке к практическим и лабораторным занятиям, а также,  экзаменам.

 

Ил. 14 , табл. 2, библ. – 3 назв.

 

 

 

 

 

Рецензент: доцент Куликов А.А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2016 год.

 

 

 

 

 

 

Ó НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2017 г.

Введение

 

Конспект представляет собой изложение материала лекций по дисциплине «Электромагнитные волны» и предназначен для студентов, которые обучаются по программам бакалавриата  по специальности «Электроэнергетика». Цель курса - расширить и углубить понимание студентами основных представлений, законов и  принципов классической электродинамики, а также, физики электромагнитных колебаний и волн. Кроме того, рассмотрены и новые темы, имеющие важное значение для будущих  электроэнергетиков. Такие, например, как уравнение Пуассона для электростатического поля, метод зеркальных отражений, электреты, пироэлектричество и пьезоэлектричество, токи в различных средах, контактные явления на границе металлов и полупроводников, волны напряжений и токов в двухпроводной линии.

В каждой лекции отражены основные вопросы темы в их логической связи и структурной целостности.

 

1 Лекция №1. Электростатическое поле в вакууме

 

Цель лекции:

-ознакомление с силовой и энергетической характеристиками электростатического поля;

-введение понятия потока вектора напряженности электростатического поля через поверхность.

 

1.1 Работа по перемещению заряда в электростатическом поле.  Потенциал

 

Если в электростатическом поле точечного заряда q вдоль некоторой траектории перемещается другой точечный заряд , то сила поля совершает работу. Работа поля при перемещении заряда  из точки 1 в точку 2:

                                              (1.1)

не зависит от траектории перемещения, а определяется только начальным 1 и конечным  2  положением. Этот вывод справедлив для любого электростатического поля, и он означает, что электростатическое поле потенциально.

Работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии:

 

.

(1.2)

Таким образом, точечный заряд  в поле другого точечного заряда  обладает потенциальной энергией:

                                                                            (1.3)

Значение константы обычно выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность () потенциальная энергия обращалась в ноль. Тогда константа в (1.4) будет равна нулю. Это означает, что потенциальная энергия точечного заряда  в электростатическом поле прямо пропорциональна величине этого заряда, а отношение этих величин не зависит от величины внесенного в данную точку поля заряда  и может рассматриваться как характеристика поля в данной точке. Величина, равная отношению потенциальной энергии точечного заряда к величине заряда:

                                                ,                                                        (1.4)

не зависит от величины этого заряда и называется потенциалом поля в данной точке.  Потенциал  – скалярная энергетическая характеристика электрического поля, определяемая потенциальной энергией, которой обладает единичный положительный точечный заряд, помещённый в данную точку поля.

Работа электростатического поля может быть представлена в виде:

 

(1.5)

Разность потенциалов между двумя точками электростатического поля:

 

.

(1.6)

Как и потенциальная энергия, потенциал  может быть определён с точностью до произвольной постоянной. При этом все величины, которые можно измерить, а именно напряженности E, силы F, работы A, — не изменятся, если мы выберем эту постоянную так или по-другому. Поэтому непосредственный физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов , которая определяется как работа, совершаемая полем при переносе единичного положительного точечного зарядаиз точки 1 в точку 2 (все остальные заряды, которые создают поле, остаются при этом неподвижными).

 

1.2 Связь напряженности с потенциалом. Эквипотенциальные поверхности и линии напряженности

 

Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом имеет вид:

;                              (1.7)

 

                       .                                 (1.8)

 

Воображаемая поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной поверхностью. Между двумя любыми точками на эквипотенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор напряженности  в любой точке траектории при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору перемещения. Из (1.7) следует, что вектор напряженности  направлен в сторону наибыстрейшего убывания потенциала по нормали к эквипотенциальной поверхности, а по модулю равен изменению потенциала на единицу длины вдоль указанного направления. Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности ортогональны -  их касательные взаимно перпендикулярны.

 

 

Рисунок 1.1

 

Эквипотенциальными поверхностями поля точечного заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности. На рисунке 1.1 изображены линии напряженностей и эквипотенциальные поверхности электростатических полей одного и двух точечных зарядов.

 

1.3 Основная задача электростатики. Общий метод расчета электростатических полей. Принцип суперпозиции

 

Основная задача электростатики заключается в нахождении основных характеристик поля при заданном распределении зарядов. Общий метод ее решения основывается на применении принципа суперпозиции полей и формул, определяющих напряженность и потенциал поля точечного заряда.

Принцип суперпозиции электростатических полей: напряженность поля, созданного системой N зарядов, равна геометрической сумме напряженностей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности:

                  ;                         (1.9)

 

потенциал поля системы N зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности:

(1.10)

1.4 Основные теоремы электростатики: теорема о циркуляции вектора напряженности и теорема  Гаусса для поля в вакууме 

 

Работа, совершаемая электростатическим полем при перемещении любого точечного заряда по произвольному замкнутому контуру , равна нулю:

                         (1.11)

 

Отсюда следует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

                                                                                            (1.12)

Циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура, согласно теореме Стокса, равна потоку ротора поля через поверхность, ограниченную контуром. Поэтому ротор напряженности электростатического поля также равен нулю:

                                                                                                  (1.13)

 

Соотношения (1.12) и (1.13) являются математическим выражением потенциальности электростатического поля.

В общем случае поток вектора напряженности сквозь поверхность S равен интегралу, взятому по этой поверхности S:

                                        ,                               (1.14)

где = – вектор, численно равный площади бесконечно малого участка поверхности и направленный по нормали к поверхности на данном участке.

Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на :

                                                                  (1.15)

В случае замкнутой поверхности положительной считается вектор нормали , направленный в любой ее точке наружу. Из теоремы Гаусса следует, что линии вектора напряженности начинаются на положительных зарядах (поскольку поток  напряженности сквозь замкнутую поверхность положителен, когда линии выходят из нее наружу), а заканчиваются на отрицательных, так как линии напряженности создают отрицательный поток сквозь замкнутую поверхность, если направлены вовнутрь нее.

С помощью теоремы Гаусса можно рассчитать напряженность электростатического поля только в том случае, когда симметрия поля позволяет выбрать такую форму гауссовой поверхности, поток вектора  сквозь которую можно выразить через произведение.

(1.16)

Теорема Гаусса в дифференциальной форме имеет вид:

где = - объемная плотность заряда в той точке поля, в которой требуется найти напряженность .

 

1.5 Уравнение Пуассона

 

Уравнение Пуассона – это основное дифференциальное уравнение электростатического поля. Оно получится, если подставить в уравнение (1.16) вместо вектора , согласно (1.7),  градиент потенциала со знаком «минус»:

                                                                                           (1.17)

где Δ – оператор Лапласа.

Значимость уравнения Пуассона для задач электростатики заключается в том, что с его помощью решение может быть найдено практически всегда, а с помощью теоремы Гаусса только в исключительных случаях. 

 

2 Лекция №2. Проводники в электростатическом поле

 

Цель лекции:

-изучение явления при внесении проводника во внешнее электрическое поле;

-введение понятия электрической индукции.

 

2.1 Электрическое поле в веществе. Проводники в электростатическом поле. Электростатическая индукция

 

Вещество, внесенное в электрическое поле, может существенно изменить его. Это связано с тем, что вещество состоит из заряженных частиц. В отсутствие внешнего поля эти частицы распределяются внутри вещества так, что создаваемое ими электрическое поле в среднем по объемам, включающим большое число атомов или молекул, равно нулю. При наличии внешнего поля происходит перераспределение заряженных частиц, и в веществе возникает собственное электрическое поле. Полное электрическое поле складывается, в соответствии с принципом суперпозиции, из внешнего поля  и внутреннего поля,  создаваемого заряженными частицами вещества.

Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов, которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника. Типичные проводники – металлы.При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда в проводнике приходят в движение: положительные в направлении вектора , отрицательные – в противоположную сторону. В результате на противоположных поверхностях проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами. Явление перераспределения зарядов на проводнике под действием  внешнего электростатического поля называется электростатической индукцией. Процесс будет происходить до тех пор, пока не установится равновесие зарядов на проводнике.

 

2.2 Условие равновесия заряда в проводнике

 

Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение следующих условий:

а) напряженность E поля всюду внутри проводника равна нулю:

                                              (2.1)

 

б) напряженность поля снаружи вблизи поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:

                                             (2.2)

 

                                                     .                                                    (2.3)

Это означает, что разность потенциалов любой пары точек как внутри проводника, так и на его поверхности равна нулю. В отсутствие тока все точки проводника имеют одинаковый потенциал.

Земля (грунт) также является проводником. Хотя в земле существуют токи, они невелики, и можно считать, что заряды земли близки к равновесию. Поэтому можно принять, что все ее точки имеют одинаковый потенциал.

Если соединить два проводника металлической проволокой, то оба проводника и проволока образуют единый проводник. Если до соединения между проводниками существовала разность потенциалов, то поле E внутри проволоки вначале не будет равно нулю и электроны проводимости придут в движение, т. е в ней возникнет электрический ток. Этот ток будет продолжаться до тех пор, пока потенциалы обоих проводников не станут равными. 

 

2.3 Распределение заряда в проводнике. Электростатическая защита

 

В электростатическом поле поверхность и весь объем проводника эквипотенциальны, а сообщенный ему или индуцированный заряд распределяется по поверхности проводника с некоторой плотностью .

Напряженность поля в вакууме вблизи поверхности проводника равна:

 

                                                                                                     (2.4)

 

Если из сплошного проводника удалить внутреннюю часть, то получится полый замкнутый проводник. Так как внутри проводника зарядов не было, то удаление любой внутренней части не изменит ни поле, ни распределение заряда. Поэтому равновесное распределение зарядов в полом проводнике будет таким же, как и в сплошном, то есть заряды будут только на внешней поверхности. Напряженность поля при этом E =0 в любой точке внутри полости и в любой точке внутри ее стенок.

Если замкнутый полый проводник внести во внешнее поле, то на нем появятся индукционные заряды. Эти заряды также сосредоточены только на внешней поверхности, а электрическое поле внутри полости, как и в толще металла, равно нулю. Поэтому полый металлический проводник экранирует внутреннюю полость от электрических полей всех внешних зарядов. Этим пользуются на практике для устройства электростатической защиты, например, измерительных приборов  от влияния  внешних электростатических полей.

 

2.4 Метод зеркальных изображений

 

При расчете электрических полей при наличии проводников, а значит, и индуцированных зарядов, применяют метод зеркальных изображений зарядов. Он основан на следующем положении: если в электрическом поле заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу рассматриваемой эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле не изменится.

Применим это положение к электрическому полю двух точечных зарядов +q и –q, расположенных на расстоянии  2l. Рассматриваемое поле можно разделить плоскостью АА на две равные части. Эта плоскость будет перпендикулярна к линиям напряженности, следовательно, это – эквипотенциальная поверхность. Поэтому, если в АА находится неограниченная проводящая плоскость, то поле между этой плоскостью и зарядом + q не изменится и будет совпадать с полем двух точечных зарядов +q и –q. Это позволяет просто учесть действие индуцированных зарядов на проводящей плоскости.

Заряд –q расположен за плоскостью на том же расстоянии l, что и заряд +q над плоскостью и поэтому является его зеркальным изображением в проводящей плоскости (рисунок 2.1). Таким образом, в данном примере действие проводящей плоскости с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным изображением данного заряда в проводящей плоскости.

 

3 Лекция №3. Диэлектрики в электростатическом поле

 

Цель лекции:

-ознакомление с особенностями изменения электрического поля при внесении диэлектриков;

-введение новых величин для изучения свойств электрического поля при наличии диэлектриков.

3.1 Электрический диполь. Вектор электрического момента

 

Электрический диполь – это система двух одинаковых по величине разноименных зарядов q, находящихся на небольшом расстоянии друг от друга l. Плечом диполя называют вектор , направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Электрический момент диполя – это векторная величина,  равная произведению заряда  на плечо:

                                                  (3.1)

В электростатическом поле на диполь действует момент сил, стремящийся повернуть диполь так, чтобы его электрический момент установился по направлению внешнего поля :

.                                              (3.2)

В  неоднородном  электростатическом поле  на диполь действует сила,

                                                   (3.3)

где  - производная вектора  по направлению диполя.

Проекция этой силы на направление внешнего поля (по оси OX), после того, как диполь повернется вдоль направления этого поля, определяется по формуле:

                                                     (3.4)

 

3.2 Связанные заряды. Вектор поляризации

 

Диэлектрики - это вещества, практически не проводящие электрического тока, так как в них нет свободных зарядов. При внесении диэлектрика в электрическое поле изменяется поле как снаружи, так и внутри диэлектрика. 

Для количественной характеристики поляризации диэлектрика используется вектор поляризации (или поляризованность), определяемый как суммарный электрический момент единицы объема диэлектрика: 

 

                                                     (3.5)

 

Поляризованность связана с поверхностной  плотностью   связанных  зарядов  соотношением:

                                                       (3.6)

 

Связанные заряды создают дополнительное электрическое поле , которое внутри диэлектрика направлено против внешнего поля   и ослабляет его. Результирующее поле внутри диэлектрика – суперпозиция этих полей:

                                                             (3.7)

Для большого класса диэлектриков поляризованность  линейно зависит от напряженности  поля внутри диэлектрика и, если диэлектрик изотропный, то оба вектора совпадают по направлению:

                                                   (3.8)

где - диэлектрическая восприимчивость вещества.

Тогда поле внутри диэлектрика равно:

                                      (3.9)

где   - диэлектрическая проницаемость среды. Она показывает, во сколько раз поле в вакууме больше поля в диэлектрической среде.

Следует отметить, что соотношение (3.9), связывающее напряженность  поля в диэлектрике с напряженностью  поля в вакууме, справедливо только в двух случаях: а) если однородный изотропный диэлектрик заполняет всю область поля; б) если диэлектрик занимает некоторую область поля, ограниченную эквипотенциальными поверхностями. Примеры: а) пластина из диэлектрика расположена так, что ее поверхности перпендикулярны линиям однородного поля, а следовательно совпадают с эквипотенциальными поверхностями такого поля; б) диэлектрик заполняет область поля, созданного равномерно заряженным шаром, между двумя сферическими поверхностями, концентрическими с шаром.

 

3.3 Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике

 

На границе раздела двух диэлектриков линии напряженности прерываются, т.к. вектор  претерпевает скачок. Поэтому для описания электрического поля в неоднородных средах гораздо удобнее пользоваться вспомогательным вектором электрического смещения   вместо напряженности поля :

                                              (3.10)

В изотропном диэлектрике векторы  и  совпадают по направлению, поэтому совпадают по направлению и векторы  и :

 

                     (3.11)

 

В анизотропных диэлектриках направления  и , вообще говоря, не совпадают, и поэтому направления векторов  и  также различны.

Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике: поток вектора электрического смещения  через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов:

         В дифференциальной форме эта теорема Гаусса имеет вид:

 

                                                                                  (3.12)

 

                                                                                               (3.13)

 

3.4 Условия на границе двух диэлектриков

 

На границе раздела двух изотропных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями и выполняются следующие условия:

                                     (3.14)

 

                               (3.15)

 

                                                (3.16)

где  и   - углы между нормалью к границе раздела и векторами  и   в первой и второй средах.

Условие (3.14) вытекает из теоремы о циркуляции вектора напряженности, а (3.15)– из теоремы Гаусса для электрического смещения.

 

4 Лекция №4. Типы диэлектриков и механизмы их поляризации. Электрический ток в средах

 

Цель лекции: ознакомить с природой электрического тока в различных средах.

 

4.1 Основные типы диэлектриков

 

Неполярные диэлектрики – это вещества, молекулы которых в отсутст­вии внешнего электрического поля не обладают электрическим моментом. Молекулы приобретают такой момент во внешнем электрическом поле (упругий диполь). К неполярным диэлектрикам относятся  Н₂, О₂, N₂ и др.

Полярные диэлектрики – это вещества, молекулы которых имеют элек­трический момент при отсутствии внешнего электрического поля, т.к. цен­тры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов молекулы не совпа­дают (жесткий диполь). Во внешнем электрическом поле диполи повернутся вдоль поля, и диэлектрик приобретает  отличный от нуля результи­рующий момент. К полярным диэлектрикам относятся H₂O, NH₃, CO и др.

Кристаллические диэлектрики с ионной решеткой – вещества, внутрен­няя структура которых представляет собой пространственную решетку с пра­вильным чередованием ионов разных знаков. Такой кристалл можно рассматривать как систему двух вдвинутых одна в другую ионных под­решеток. Под действием внешнего электрического поля происходит относи­тельное смещение подрешеток, приводящее к возникновению дипольного мо­мента.

Поляризацией диэлектрика называют процесс, в результате которого диэлек­трик приобретает электрический момент под воздействием внешнего электри­ческого поля.

Соответственно различают три механизма поляризации:

а) электронная поляризация смещения;

б) ориентационная, или дипольная, поляризация;

в) ионная поляризация.

В результате поляризации в тонком слое диэлектрика у его поверхности возникают связанные (внутри молекул) заряды.  

 

4.2 Сегнетоэлектрики и электреты

 

В 1820 г. была открыта спонтанная (самопроизвольная) поляризация. Сначала её обнаружили у кристаллов сегнетовой соли, а затем и у других кристаллов. Всю эту группу веществ назвали сегнетоэлектрики (или ферроэлектрики). Детальное исследование диэлектрических свойств этих веществ было проведено в 1930 – 1934 годах И.В. Курчатовым. Все сегнетоэлектрики обнаруживают резкую анизотропию свойств (сегнетоэлектрические свойства могут наблюдаться только вдоль одной из осей кристалла). У изотропных диэлектриков поляризация во всех направлениях  одинакова, у анизотропных – поляризация, и следовательно, вектор поляризации в разных направлениях разные.

Основные свойства сегнетоэлектриков:

a) диэлектрическая проницаемость достигает значений;

б) величина  ε зависит не только от внешнего поля E₀, но и от предыстории образца;

в) поляризация Р нелинейно зависит от напряженности внешнего электростатического поля; сегнетоэлектрики - нелинейные диэлектрики. Это свойство называется диэлектрическим гистерезисом. Сегнетоэлектрический гистерезис – это неоднозначная петлеобразная зависимость поляризации P  от внешнего электрического поля  E  при его циклическом изменении. На рисунке 4.1 приведены основная кривая поляризации и петля гистерезиса сегнетоэлектрика. При Ε₀=0,   P≠0  - это значит, что в кристаллах имеется остаточная поляризованность P_с; чтобы ее уничтожить, необходимо приложить E_с–коэрцитивную силу – поле противоположного направления;

г) наличие точки Кюри – температуры  , при которой сегнетоэлектрические свойства пропадают. При этой температуре происходит фазовый переход 2-го рода. Например, у титаната бария: =133º С; у сегнетовой соли -две точки Кюри – нижняя  18ºС и верхняя  =24ºС; у ниобата лития =1210º С.

Причиной сегнетоэлектрических свойств является самопроизвольная поляризация, возникающая под действием сильного взаимодействия между частицами, образующими вещество. Стремление к минимальной потенциальной энергии и наличие дефектов структуры приводит к тому, что сегнетоэлектрик разбит на домены. Без внешнего поля электрический момент P кристалла равен нулю, во внешнем электростатическом поле домены ориентируются вдоль поля.

Среди диэлектриков есть вещества, называемые электреты – это диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электростатического поля. Электреты являются формальными аналогами постоянных магнитов, создающих вокруг себя магнитное поле. Принципиальная возможность получения таких материалов была предсказана Фарадеем. Термин «электрет» был предложен по аналогии с английским «magnet» – постоянный магнит, а первые электреты получены японским исследователем Егучи в 1922 г., охладившим в сильном электрическом поле расплав карнаубского воска и канифоли. Электрическое поле сориентировало полярные молекулы, и после охлаждения материал остался в поляризованном состоянии. Для уточнения технологии такие материалы называют термоэлектретами. 

 

4.3 Пьезоэлектричество и  пироэлектричество

 

Некоторые диэлектрики поляризуются не только под действием электростатического поля, но и под действием механической деформации. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом. Явление открыто Пьером и Жаком Кюри в 1880 году. Если на грани кристалла, например, кварца, наложить металлические электроды (обкладки), то при деформации кристалла с помощью силы на обкладках возникнет разность потенциалов. Если замкнуть обкладки проводом, то по проводу потечет ток.

В настоящее время известно более 1800 пьезокристаллов. Все сегнетоэлектрики обладают пьезоэлектрическими свойствами.

Существует обратный пьезоэлектрический эффект. Возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями. Если на пьезоэлектрический кристалл подать напряжение, то возникнут механические деформации кристалла, причем, деформации будут пропорциональны приложенному электростатическому полю Е₀.

Пироэлектрики – это кристаллические диэлектрики, обладающие спонтанной электрической поляризацией во всей температурной области, вплоть до температуры плавления. В отличие от сегнетоэлектриков в пироэлектриках поляризация линейно зависит от величины внешнего электрического поля, т.е. пироэлектрики являются линейными диэлектриками.

Пироэлектричество – появление электрических зарядов на поверхности некоторых кристаллов при их нагревании или охлаждении. При нагревании один конец диэлектрика заряжается положительно, а при охлаждении он же – отрицательно. Появление зарядов связано с изменением существующей поляризации при изменении температуры кристаллов. Типичный пироэлектрик – турмалин. В таблице 4.1 приведен пример применение различных типов диэлектриков в технике.

 

Таблица 4.1

Сегнетоэлектрики	Пьезоэлектрики	Пироэлектрики	Электреты
Электрические конденсаторы переменной емкости (вариконды), ограничители тока, позисторы, устройства хранения информации	Генераторы высокой частоты, источники звука и ультразвука, микрофоны, наушники, датчики давления, миниатюрные трансформаторы,  пьезоэлектричес-кие адаптеры	Позисторы, ИК детекторы, болометры (инфракрасные датчики), электро-оптических модуляторы	Микрофоны, гидрофоны, звукосниматели, сенсорные переключатели, ударные датчики, искробезопас-ные воздушные фильтры, электрофото-графия

 

4.4 Электрический ток в металлах. Классическая электронная теория электропроводности металлов. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов

 

Классическая электронная теория Друде-Лоренца основана на предположении, что электроны проводимости в металлах ведут себя подобно молекулам идеального газа. При своем движении они сталкиваются с ионами в узлах кристаллической решетки, в результате чего устанавливается термодинамическое равновесие между электронным газом и решеткой.   

Электрон во время свободного пробега движется равноускоренно под действием силы поля. К концу свободного пробега скорость электрона станет равной:

,

(4.1)

где  – среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки.

Средняя скорость направленного движения (дрейфа) электронов:

 

(4.2)

 

Тогда плотность тока в металлическом проводнике пропорциональна напряженности поля. Итак, получен закон Ома в дифференциальной форме:

 

(4.3)

         Коэффициент пропорциональности между и  - это удельная проводимость материала γ; она, согласно теории Друде-Лоренца, равна:

                                                            .                                                  (4.4)

К концу свободного пробега электрон приобретает энергию:

                                                                                                                 (4.5)

 

При соударении с ионом эта энергия полностью передается решетке и идет на увеличение внутренней энергии металла, т.е. на его нагревание. В единицу времени каждый электрон испытывает соударений. За единицу времени в единице объема проводника выделяется количество энергии , называемая удельной тепловой мощностью:

 

                                                                                            (4.6)

 

Коэффициент пропорциональности между  и E - удельная проводимость материала . Так теория объясняет закон Джоуля-Ленца.

Несмотря на очевидные достоинства теории, хорошо объясняет существование электрического сопротивления металлов, законы Ома и Джоуля-Ленца, - некоторые ее выводы противоречат фактам. Примерами несостоятельности являются сверхпроводимость и теория теплоемкости металлов. В этой теории электрическое сопротивление есть результат соударений электронов проводимости с ионами кристаллической решетки. С этих позиций невозможно объяснить полное отсутствие электрического сопротивления у некоторых металлов и сплавов в сверхпроводящем состоянии.

По классической теории  молярная теплоемкость электронного газа равна . В таком случае молярная теплоемкость металлов на эту величину должна быть больше молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков. Опыт, однако, показывает, что молярные теплоемкости всех химически простых твердых тел, в том числе металлов, одинаковы и равны . Таким образом, вопреки представлениям классической электронной теории проводимости металлов электронный газ практически не обладает теплоемкостью.

Эти и некоторые другие противоречия классической теории с опытом успешно разрешены в квантовой теории электропроводности.

Квантовая теория электропроводности металлов основана на квантовой механике и квантовой статистике Ферми -Дирака. В этой теории движение электронов рассматривается с учетом их взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно корпускулярно-волновому дуализму, движению электрона сопоставляют волновой процесс. Идеальная кристаллическая решетка (в ее узлах находятся неподвижные частицы и в ней отсутствуют нарушения периодичности) ведет себя подобно оптически однородной среде - она «электронные волны» не рассеивает. Это соответствует тому, что металл не оказывает электрическому току — упорядоченному движению электронов — никакого сопротивления. «Электронные волны», распространяясь в идеальной кристаллической решетке, как бы огибают узлы решетки и проходят значительные расстояния.

В реальной кристаллической решетке всегда имеются неоднородности, которыми могут быть, например, примеси, вакансии; неоднородности обусловливаются также тепловыми колебаниями. В реальной кристаллической решетке происходит рассеяние «электронных волн» на неоднородностях, что и является причиной электрического сопротивления металлов.

Расчет электропроводности металлов, выполненный на основе этой теории, приводит к формуле для удельной электрической проводимости металла:

(4.7)

которая по внешнему виду напоминает классическую формулу (6.4), но имеет совершенно другое физическое содержание. Здесь n — концентрация электронов проводимости в металле, <l_F>— средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми, <u_F> —средняя скорость теплового дви­жения такого электрона. Выводы, получаемые на основе формулы (6.7), полно­стью соответствуют опытным данным.

Согласно классической теории, <u>~, поэтому она не смогла объяснить истинную зависимость удельного сопротивления от температуры. В квантовой теории средняя скорость <u_F> от температуры практически не зависит, так как с  изменением температуры уровень Ферми остается практически неизменным. Однако с повышением температуры рассеяние «электронных волн» на тепловых  колебаниях решетки возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов. В области комнатных температур <l_F>~Т^-1 поэтому получим, что сопротивление металлов, в соответствии с данными опытов, растет пропорционально Т. Таким образом, квантовая теория электропроводности металлов устранила и эту трудность классической теории.

 

5 Лекция №5. Электрические явления в контактах

 

Цель лекции: ознакомить с контактными явлениями на границе между металлами и полупроводниками.

 

5.1 Работа выхода. Контактная разность потенциалов

 

Электроны проводимости не покидают металл при низких, вплоть до комнатных, температурах. В первом приближении (если не учитывать периодически изменяющееся электрическое поле положительных ионов кристаллической решетки) электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный ферми-газ в потенциальном «ящике» с плоским дном. Если принять, что вне незаряженного проводника потенциал электрического поля равен нулю, то внутри металла он положительный , а потенциальная энергия электронов внутри металла – отрицательная, то есть внутри металла она меньше, чем вне металла, на величину, равную глубине потенциальной ямы . Электроны проводимости заполняют энергетические уровни, начиная с дна «ящика» (где кинетическая энергия  электрона равна нулю) и (при T=0 К) до уровня Ферми (рисунок 5.1).

Работой выхода называется наименьшая энергия, которую надо сообщить электрону для того, чтобы удалить его из твердого или жидкого проводника в вакуум. В соответствии со сказанным выше, работа выхода электрона из металла отсчитывается от уровня Ферми  и определяется разностью глубины потенциального ящика и энергией Ферми:

 

                                              (5.1)

 

Величина работы выхода для данного металла слабо зависит от его температуры, но очень сильно зависит от состояния поверхности металла, например, от ее чистоты. Если на поверхность вольфрама нанести слой окисла щелочноземельного металла (), то работа выхода снижается с 4,5 эВ до 1,5 – 2 эВ.

Если привести два разнородных металла в соприкосновение, то между ними возникает контактная разность потенциалов. Она обусловлена тем, что часть электронов из одного металла переходит в другой. Если до соприкосновения металлов уровень Ферми в первом металле лежит выше, чем во втором, то при контакте часть электронов из первого металла  перейдет на ниже лежащие свободные уровни второго металла. В результате потенциал первого повысится (он зарядится положительно), а второго понизится из-за избыточного отрицательного заряда. Равновесие устанавливается при совпадении уровней Ферми.

Внешняя контактная разность равна:

                                                                      .                                                           (5.2)

Между внутренними точками металлов имеет место внутренняя контактная разность потенциалов:

                                                   .                                         (5.3)

На такую величину уменьшается потенциал при переходе из первого металла во второй металл.

В замкнутой цепи, составленной из любого числа разнородных металлов или полупроводников, при условии, что температура всех спаев (контактов) одинакова, ток возникнуть не может, так как это противоречило бы второму началу термодинамики. Но если в месте одного из контактов проводники развести на небольшое расстояние, то в зазоре между ними возникнет электрическое поле, причем разность потенциалов определяется разностью работ выхода для металлов, образующих крайние звенья цепи.

Для различных пар металлов внешняя  контактная разность потенциалов изменяется от десятых долей вольта  до нескольких вольт.

Контактная разность потенциалов возникает также между металлами и полупроводниками, между двумя полупроводниками.

 

5.2 Термоэлектрические явления

 

Термоэлектричество - явление прямого преобразования теплоты в электричество в твердых или жидких проводниках, а также обратное явление прямого нагревания и охлаждения спаев двух проводников проходящим током. Термин «термоэлектричество» охватывает три взаимосвязанных эффекта: термоэлектрический - Зеебека и электротермические эффекты Пельтье и Томсона.

Эффект Зеебека (1821 г.) – появление тока в замкнутой цепи спаев двух разнородных металлов, находящихся при разных температурах.

Термо-ЭДС обусловлено зависимостью E_Fот температуры, диффузией электронов или дырок, увлечением электронов фононами.

Термо-ЭДС в цепи из разнородных металлов или полупроводников АВ:

.                                                 (5.4)

В небольшом интервале температур термо-ЭДС  можно считать пропорциональной разности температур:

(5.5)

где - удельная или дифференциальная термо-ЭДС; для металлов ~ 10^-410^-5В/К; для  полупроводников ~ 10^-3В/К.  

Если вдоль проводника существует градиент температур, то электроны на горячем конце приобретают более высокие энергии и скорости, чем на холодном; в полупроводниках в дополнение к этому концентрация электронов проводимости растет с температурой. В результате возникает поток электронов от горячего конца к холодному и на холодном конце накапливается отрицательный заряд, а на горячем остаётся не скомпенсированный положительный заряд. Процесс накопления заряда продолжается до тех пор, пока возникшая разность потенциалов не вызовет поток электронов в обратном направлении, равный первичному, благодаря чему установится равновесие.

Эффект  Зеебека используется для измерения температуры с помощью термопар или термостолбиков.

Эффект Пельтье (1834 г.) – выделение или поглощение теплоты в спаях при протекании тока в цепи из разнородных металлов или полупроводников.

Величина выделяемого тепла и его знак зависят от вида контактирующих веществ, направления и силы тока:

 

,

(5.6)

 

где   -  коэффициент Пельтье для двух контактирующих проводников.

Эффект объясняется тем, что внутреннее контактное поле на одном контакте способствует прохождению тока, поскольку совпадает с направлением внешнего поля, а на другом – препятствует. В том месте, где ток идет против контактного поля, внешний источник затрачивает дополнительную энергию, которая выделяется в контакте и приводит к его нагреву. Во втором контакте, где ток идет по направлению контактного поля, это контактное поле совершает работу по перемещению зарядов, отбирая необходимую для этого энергию у вещества, что приводит  к охлаждению его в месте контакта.

При контакте металлов эффект Пельтье очень мал. Поэтому при практическом применении используется контакт двух полупроводников.

Эффект Томсона. В 1856 г. Томсон предсказал, исходя из термодинамических соображений, что при прохождении тока силой Iпо однородному проводнику, вдоль которого имеется градиент температуры , должно выделяться, дополнительно к джоулевому, или поглощаться тепло, что было подтверждено позже экспериментально. В элементе длиной dl за 1 с выделяется/поглощается:

                                                                                                                                 (5.7)

где τ – коэффициент Томсона.

Объяснение: если ток течет в направлении возрастания температуры и носителями тока являются электроны, последние будут переходить из мест с более высокой температуры (и с большей средней энергией) в места с меньшей температурой, отдавая избыток энергии решетке, что приведет к выделению тепла. Если носителями будут дырки, будет иметь место поглощение тепла.

 

5.3 Выпрямляющее действие контакта полупроводников с разным типом проводимости

 

P-n - переходом называют тонкий слой между двумя областями одного и того же полупроводникового кристалла, отличающимися типом примесной проводимости.

В контактном слое полупроводника n - типа возникает объемный заряд, образованный неподвижными положительными ионами донорной примеси после диффузии  электронов в р-область, а в р-типе – объемный заряд отрицательных ионов акцепторной примеси после диффузии дырок в обратном направлении. Диффузия прекращается после того, как уровень Ферми, находящийся в запрещенной зоне полупроводника, становится одинаковым в обеих областях.

Эти объемные заряды образуют собственное поле p-n перехода, которое связано с контактной разностью потенциалов и препятствует дальнейшему переходу основных носителей заряда – электронов из n – области в р–область идырок из р – области в n – область (рисунок 5.2).

 

Изгибание энергетических зон в области перехода  (рисунок 5.3а) связано с тем, что потенциал р – области при равновесии ниже, чем в n – области (соответственно потенциальная энергия электрона в р – области больше, чем в n– области). Выше запрещенной зоны лежит зона проводимости, в которой находятся свободные электроны, ниже – валентная зона, в которой при отрыве электронов от атомов (ионизации) образуются дырки, которые могут перемещаться и давать вклад в общий ток.

При приложении к p – n переходу внешнего напряжения в прямом (пропускном) направлении (плюс подается на р – область) высота потенциального барьера снижается,  ширина самого p – n перехода также уменьшается (рисунок 5.3b), сопротивление перехода мало. Это приводит к резкому росту тока основных носителей по экспоненциальному закону. На  рисунке 5.4 изображены вольт-амперные характеристики диодов на основе германия и кремния.

При приложении обратного напряжения (минус подключен к р – области) высота потенциального барьера возрастает (рисунок  5.3с), основные носители не могут перейти в соседнюю область, ток определяется только неосновными носителями, которые могут переходить в соседнюю область (электроны из р –области в n – область, а дырки – в противоположном направлении) и число которых невелико и определяется тепловой генерацией при данной температуре. Таким образом, обратный ток постоянен и лишь при значительном обратном напряжении начинает резко возрастать, что обусловлено электрическим пробоем перехода.

Из данной характеристики следует, что p – n переход в обратном направлении имеет гораздо большее сопротивление, чем в прямом. Это позволяет использовать p – n переходы для выпрямления переменного тока.

        

5.4 Вентильный фотоэффект

 

Вентильный фотоэффект — это явление возникновения ЭДС при освещении контакта двух разных полупроводников в отсутствие внешнего электрического поля. На этом явлении основаны вентильные фотоэлементы, которые могут служить индикаторами лучевой энергии, не требующими внешнего питания. Такие устройства называют фотодиодами.

Главная особенность вентильных фотоэлементов состоит в том, что они могут применяться для прямого превращения солнечной энергии в электрическую. Наиболее эффективными являются фотоэлементы, основанные на использовании р-n - перехода. При освещении перехода в р-области образуются электронно-дырочные пары. Электроны и дырки диффундируют к р-n -переходу. Электроны под действием контактного поля будут переходить в n - область. Дырки же преодолевать потенциальный барьер не могут и остаются в р-области. В результате р-область заряжается положительно, n-область — отрицательно и в р-n-переходе возникает дополнительная разность потенциалов. Ее называют фотоэлектродвижущей силой (фото-ЭДС).

Солнечная батарея или солнечная панель – это группа фотоэлементов, соединённых между собой и выполненных в одном корпусе. Преобразованная солнечная энергия поступает на выход батареи в виде постоянного электрического тока. Ввиду того, что одна солнечная панель может производить ограниченное количество электрической энергии, часто используются системы, состоящие из нескольких панелей (модулей).

Солнечные батареи - основной способ получения электрической энергии на космических аппаратах, они работают долгое время без расхода каких-либо материалов, экологически безопасны. Даже по прошествии десятилетий фотоэлементы солнечной панели продолжают вырабатывать электричество. С течением времени лишь уменьшается их КПД: через 25 лет - на 20%.

Если через полупроводниковый диод пропускать постоянный электрический ток, то в  р-n-переходе происходит излучение света. Такие диоды называют светодиодами и широко используют для подсветки или освещения. Из них собирают LED-лампы и LED-панели.

 

6 Лекция №6.Стационарное магнитное поле в вакууме и в веществе

 

Цель лекции: ознакомиться с особенностями стационарного магнитного поля.

6.1 Магнитное поле. Принцип суперпозиции. Теорема Био-Савара-Лапласа

 

В 1820 г.  Эрстед обнаружил ориентирующее действие электрического тока на магнитную стрелку, а Ампер открыл и подробно исследовал взаимодействие двух проводников с током. Было установлено, что магнитное взаимодействие свойственно только движущимся электрическим зарядам (токам). Магнитное взаимодействие токов осуществляется посредством особой формы материи – магнитного поля.

Для изучения свойств магнитного поля используется рамка с током. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положительная (определяемая по правилу правого винта направлением тока в рамке) нормаль к рамке . 

Вращающий момент пары сил, действующей на рамку с током и стремящийся повернуть рамку так, чтобы его плоскость установилась перпендикулярно направлению поля,равен:

 

,

(6.1)

где - магнитный момент рамки с током,

 - вектор магнитной индукции.

Модуль момента пары сил равен:

                                            ,                                                (6.2)

где  - угол между направлением нормали  к плоскости рамки и направлением вектора магнитной индукции .

Магнитная индукция в данной точке магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом (при =), действующим на рамку с единичным магнитным моментом:

.

(6.3)

Закон Био-Савара-Лапласа позволяет вычислить в некоторой точке поля индукцию , которую создает в вакууме элемент тока :

,

(6.4)

          где - радиус-вектор, соединяющий элемент тока  и данную точку;

= 4π·10^-7 Гн/м - магнитная постоянная.

Направление  перпендикулярно векторам  и  , т.е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат. Это направление находят по правилу правого винта: направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение винта соответствует направлению .

Модуль вектора определяется выражением:

                                                                  ,                                      (6.5)

где  - угол между векторами  и .

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током в отдельности:

 

.

(6.6)

Применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет рассчитать магнитные поля, если заданы ток и форма проводника, по которому течет ток. В случае прямого бесконечно длинного проводника с током величина магнитной индукции в вакууме зависит только от силы I тока и расстояния r от оси проводника до точки, в которой ее определяют:

(6.7)

Для магнитного поля в вакууме справедлива теорема о циркуляции  :

(6.8)

где символ суммы относится к токам, охватываемым контуром L.

В дифференциальной форме:

(6.9)

где    - плотность тока.

 

6.2 Магнитный поток. Теорема Гаусса. Теорема о циркуляции магнитной индукции. Методы расчета магнитных полей токов

 

Магнитным потоком  через плоскуюповерхность S в однородном магнитном поле с индукцией  называют скалярное произведение:

        

,

(6.10)

где - угол между вектором  и нормалью  к поверхности.

Магнитный поток через произвольную поверхность S определяют через интеграл, взятый по этой поверхности:

(6.11)

 

Магнитный поток через любую замкнутую поверхность S равен нулю:

(6.12)

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции (8.9) отражает факт отсутствия в природе магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Векторные поля, обладающие непрерывными линиями, называются вихревыми. Магнитное поле – вихревое поле. 

Дифференциальная форма теоремы Гаусса для магнитной индукции:

 

.

(6.13)

 

6.3 Магнетики. Виды магнетиков. Намагниченность

 

Все вещества, помещенные в магнитное поле, намагничиваются. Причину этого явления объяснил А.Ампер, выдвинув гипотезу о том, что в любом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Электрон, движущийся по круговой орбите, эквивалентен круговому току, поэтому он обладает орбитальным магнитным моментом, модуль которого равен:

где       - сила эквивалентного тока;

 - частота вращения электрона по орбите;

S - площадь этой орбиты.

Позже было установлено, что кроме орбитального электрон обладает собственным (спиновым) магнитным моментом , который связан с собственным механическим моментом , называемым спином. Спин является неотъемлемым свойством электрона, подобно его заряду и массе.

Таким образом, магнитный момент электрона в атоме складывается из его орбитального и спинового магнитных моментов. Пренебрегая магнитными моментами ядер, можно найти магнитный момент атома как векторную сумму магнитных моментов (орбитальных и спиновых) входящих в атом электронов:

 

                  Во внешнем магнитном поле орбита электрона, J ориентированная относительно вектора  произвольным образом, совершает прецессию. Прецессионное движение электронных орбит эквивалентно круговому току, порождающему магнитное поле атома. Наведенные таким образом магнитные поля атомов направлены противоположно внешнему полю и, складываясь, образуют магнитное поле вещества, ослабляющее внешнее магнитное поле. Этот эффект называется диамагнитным, а вещества, намагничивающиеся во внешнем магнитном поле против направления поля, называются диамагнетиками (Bi, Ag, Au, Cu, C, многие органические соединения и др.).

Диамагнетизм присутствует во всех веществам, однако в некоторых из них он подавляется  парамагнитным эффектом. Атомы парамагнитных веществ при отсутствии внешнего магнитного поля обладают магнитными моментами. Однако вследствие теплового движения молекул их магнитные моменты ориентированы беспорядочно и взаимно компенсируются. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов атомов по полю. Таким образом, парамагнетик намагничивается, создавая собственное магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его. Этот эффект называется парамагнитным.

Ферромагнетики – это магнетики с самопроизвольной (спонтанной) намагниченностью. Свойства ферромагнетиков:

- магнитная проницаемость  достигает больших значений - до 10⁶;

- зависимость магнитной проницаемости  от напряженности внешнего магнитного поля , т.к. связь между векторами намагниченности  и напряженности магнитного поля нелинейная;

- магнитный гистерезис - неоднозначная петлеобразная зависимость намагниченности от внешнего намагничивающего поля при его циклическом изменении (рисунок 6.1);

- наличие характерной температуры (точка Кюри), при которой ферромагнетик теряет свои свойства. 

 

6.4 Закон полного тока для магнитного поля в веществе. Напряженность магнитного поля

 

Для количественного описания намагниченного состояния магнетика вводят векторную величину – намагниченность, определяемую магнитным моментом единицы объема вещества:

.

(6.16)

Магнитное поле в веществе складывается из внешнего намагничивающего поля , создаваемого током в вакууме, и поля , создаваемого молекулярными токами в намагниченном веществе:

Поле   связано с намагниченностью  соотношением .        Тогда:

 

В слабых  полях, как показывает опыт, намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля, вызывающего намагничение, т.е.

          где χ – безразмерная величина - магнитная восприимчивость вещества.

Тогда магнитную индукцию поля в веществе можно записать в виде:

 

         где  - магнитная проницаемость вещества.

Циркуляция вектора магнитной индукции для поля в веществе:

где в скобке – алгебраическая сумма макротоков (токов проводимости I) и микротоков  (молекулярных токов), охватываемых произвольным замкнутым контуром L. Однако практическое применение  (6.20) к  расчету магнитных полей затруднено, так как неизвестно распределение микротоков I´ в магнетиках.

Для устранения этого затруднения вводится вспомогательная величина, называемая напряженностью  магнитного поля. По определению:

                                              (6.22)    

          Циркуляция по произвольному замкнутому контуру L вектора напряженности  магнитного поля в веществе определяется суммой только токов проводимости, охватываемых этим контуров:

(6.23)

Именно это свойство вектора напряженности , позволяющее рассчитать магнитное поле в веществе, и явилось причиной введения этой вспомогательной величины в теорию магнетизма.

Дифференциальная форма уравнения (8.21) имеет вид:

                                              .                                                     (6.24)

 

6.5 Граничные условия

 

На границе раздела двух магнетиков 1 и 2 с магнитными проницаемостями  μ₁ и μ₂, при отсутствии токов проводимости на этой границе из теорем Гаусса и циркуляции вектора  вытекают следующие условия для векторов магнитной индукции  и напряженности :

.

(6.27)     (6.28)

(6.25)    (6.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

7 Лекция №7. Основы теории Максвелла электромагнитного поля

 

Цель лекции:

-ознакомление появления ЭДС индукции в неподвижных и движущихся проводниках во внешнем магнитном поле;

-введение закона электромагнитной индукции в дифференциальной форме;

-ознакомление с уравнениями Максвелла.

 

7.1 Электромагнитная индукция. Закон электромагнитной индукции. Правило Ленца

 

Явление электромагнитной индукции - это возникновение индукционного тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную этим контуром. Это явление и закон, которому оно подчиняется, открыл в 1831 году М. Фарадей. Поскольку для возникновения тока необходимо наличие электродвижущей силы, то закон электромагнитной индукции он сформулировал для этой величины:

(7.1)

 

ЭДС индукции равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную контуром, и не зависит от причины этого изменения.

Правило Ленца: индукционный ток своим магнитным полем противодействует причине, его вызывающей.

 

7.2 Самоиндукция и взаимная индукция. Индуктивность. Коэффициент взаимной индукции

 

               Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа, пропорционально току. Сцепленный с контуром полный магнитный поток, или потокосцепление, Ψ поэтому пропорционален току I в контуре:

 

                                                                                                        (7.2)

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.  Индуктивность L зависит от геометрической формы и размеров проводящего контура, а также от магнитных свойств его сердечника.

Для двухпроводной линии - тонких цилиндрических проводов радиуса r с расстоянием d между осями, находящихся в вакууме, величина погонной индуктивности может быть рассчитана по формуле:

 

(7.3)

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.с. самоиндукции. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея, получим:

                              (7.4)

 

При условии, что контур не деформируется и магнитная проницаемость не изменяется (в отсутствие ферромагнитных сердечников ЭДС самоиндукции:

(7.5)

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных достаточно близко друг от друга. Пусть в контуре 1 течет ток . Обозначим магнитный поток, создаваемый током , который пронизывает второй контур  . Тогда

(7.6)

 

Если ток  в первом контуре изменяется, то во втором контуре индуцируется ЭДС взаимной индукции ℰ_i21:

                                       .                                     (7.7)

 

Если изменяется ток  во втором контуре, то ЭДС, индуцируемая в первом контуре, аналогично может быть записана в виде

 

                                    (7.8)

 

Явление возникновения ЭДС в одном из проводящих контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности  и  называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что = .   

Взаимная индуктивность проводящих контуров зависит от их геометрических форм и размеров, взаимного расположения и магнитных свойств среды.

 

7.3 Максвелловская трактовка электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле. Первое уравнение Максвелла

 

Когда проводник движется в постоянном магнитном поле, индукционный ток вызывается магнитной составляющей силы Лоренца. Какая же сила возбуждает индукционный ток в неподвижном проводнике, находящемся в переменном магнитном поле? Ответ был дан Максвеллом. Согласно Максвеллу, всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности  этого поля по любому неподвижному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность S, ограниченную контуром L:

(7.9)

Согласно (7.9) циркуляция вектора напряженности электрического поля в общем случае не равна нулю. Это означает, что индуцированное изменяющимся во времени магнитным полем электрическое поле не потенциально; его линии замкнуты и оно является вихревым (в отличие от электростатического).

Между максвелловым и фарадеевым пониманием явления электромагнитной индукции имеется существенное различие. Согласно Фарадею, электромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для ее наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника. По Максвеллу сущность электромагнитной индукции - прежде всего в возбуждении вихревого электрического поля, а не тока. Электромагнитная индукция может наблюдаться и тогда, когда в пространстве вообще нет никаких проводников. Появление индукционного тока в замкнутом проводнике при внесении последнего в переменное магнитное поле есть лишь одно из проявлений электрического поля, возникшего в результате изменения поля магнитного. Но поле  может производить и другие действия, например, поляризовать диэлектрик, вызвать пробой конденсатора, ускорять и тормозить заряженные частицы и т. п. Оно может вызвать электрический ток и в незамкнутом массивном проводнике – токи Фуко. 

Токи Фуко возникают под воздействием переменного электромагнитного поля и по физической природе ничем не отличаются от индукционных токов, возникающих в линейных проводах. Они вихревые, то есть замкнуты в кольце. Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко достигают очень большой силы.

Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах, где в катушку, питаемую высокочастотным генератором большой мощности, помещают проводящее тело, в котором возникают вихревые токи, разогревающие его до плавления. Подобным образом работают индукционные плиты, в которых металлическая посуда разогревается вихревыми токами, создаваемыми переменным магнитным полем катушки, расположенной внутри плиты.

Во многих случаях токи Фуко могут быть нежелательными. Для борьбы с ними принимаются специальные меры: с целью предотвращения потерь энергии на нагревание сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделённых изолирующими прослойками. Появление ферритов сделало возможным изготовление этих сердечников сплошными.

Максвеллова формулировка закона электромагнитной индукции более общая, чем формулировка Фарадея. Она принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики.

Математически закон индукции в понимании Максвелла выражается формулой (7.9), где интеграл берется по замкнутому контуру, который может быть проведен и в диэлектрике, а не обязательно в проводнике, как было у Фарадея.

В дифференциальной форме закон Максвелла:

                                                                                   (7.10)

 

7.4 Ток смещения. Второе уравнение Максвелла

 

Согласно закону сохранения электрического заряда:

(7.11)

В стационарном электромагнитном поле не могут происходить изменения в распределении зарядов, поэтому:

(7.12)

Соотношение (8.24) по форме подобно уравнению (9.9), но не может входить в число основных уравнений электродинамики, потому что оно противоречит закону сохранения электрического заряда (9.10). Чтобы устранить это противоречие Максвелл выдвинул гипотезу: если меняющееся во времени магнитное поле создает электрическое, то, в силу симметрии, меняющееся во времени электрическое поле возбуждает магнитное поле, как и ток проводимости.

Действительно, продифференцируем по времени соотношение (7.11):

          с учетом уравнения (9.10) получим уравнение:

(7.13)

Скорость изменения вектора электрического смещения Максвелл назвал плотностью тока смещения:

(7.14)

а сумму  -  плотностью полного тока.

Условие замкнутости должно быть записано для полного тока:

 

(7.15)

 

оно означает, что линии полного тока всегда замкнуты. Например, в цепи с конденсатором линии тока проводимости прерываются на обкладках, но они замыкаются линиями тока смещения при зарядке или разрядке конденсатора. Поэтому противоречие с уравнением (8.24) устранится, если ток проводимости заменить полным током, т.е. написать:

(7.16)

 

7.5 Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах

 

Дополнив основные факты из области электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл записал систему фундаментальных уравнений электродинамики. Таких полевых уравнений четыре. В интегральной форме они имеют вид:

		((I)		(III)
		((II)		(IV)

 

В дифференциальной форме:

		((Ia)		(IIIa)
		((IIa)		(IVa)

 

Материальные уравнения имеют вид:

 

=.         (VII)

 

Уравнения Максвелла - основные аксиомы классической электродинамики, они показывают, что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, либо магнитные поля, меняющиеся во времени. Магнитные же поля могут возбуждаться либо движущимися электрическими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими полями. Уравнения Максвелла в интегральной форме справедливы и в тех случаях, когда существуют поверхности разрыва, на которых свойства среды или напряженности электрического и магнитного полей меняются скачкообразно. Поэтому в этой форме уравнения Максвелла обладают большей общностью, чем в дифференциальной форме, которая предполагает, что все величины в пространстве и во времени меняются непрерывно.

 

7.6 Электромагнитное поле. Относительность электрических и магнитных полей

 

Уравнения Максвелла показывают тесную взаимосвязь электрического и магнитного полей, что подводит к выводу о существовании единого электромагнитного поля. К электромагнитному полю применим принцип относительности Эйнштейна, так как в вакууме распространение электромагнитных волн во всех системах отсчета происходит с одинаковой скоростью. Также из принципа относительности вытекает, что отдельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет относительный смысл. Иначе говоря, разделение электромагнитного поля на его составляющие электрическое и магнитное поля зависит от выбора системы отсчета, то есть, относительно.

 

8 Лекция №8. Электромагнитные колебания

 

Цель лекции:

-ознакомление с основными уравнениями электромагнитных колебаний;

-изучение закона Ома для переменного тока.

 

8.1 Дифференциальное уравнение последовательного колебательного контура и его решение

 

Рассмотрим свободные колебания в электрическом колебательном контуре – электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора электроемкости C, катушки индуктивности  L и сопротивления  R. При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в колебательном контуре возникают свободные колебания заряда q конденсатора и силы тока в резисторе и катушке i.

Квазистационарный ток — относительно медленно изменяющийся переменный ток, для мгновенных значений которого с достаточной точностью выполняются законы постоянных токов. Условие квазистационарности выполняется, если  , где l/c – время распространения электрического поля вдоль цепи длиной l; c– скорость света в вакууме;  – период колебаний тока.

Применив обобщенный закон Ома  с учетом  определения силы тока

 и закона для ЭДС самоиндукции , получим дифференциальное уравнение свободных колебаний в последовательном RLC-контуре:

                                                                   .                                               (8.1)

Обозначим коэффициент затухания:    

;

(8.2)

собственная частота ω₀ незатухающих колебаний системы:

.

(8.3)

Тогда дифференциальное  уравнение  затухающих колебаний примет вид:

                                                               .                                             (8.4)

 

Решение данного уравнения зависит от соотношения его коэффициентов ω₀ и β. В случае слабого затухания  (β²<<ω₀² ) решение имеет вид:

 

                                               q(t) = q₀ e^-βt cos(ωt+α),                                 (8.5)

 

где  q₀ - амплитуда в начальный момент времени;

 α - начальная фаза затухающих колебаний (определяются из начальных условий);

 ω - частота свободных затухающих колебаний, равная:

 

                                             .                                                      (8.6)

Условный период затухающих колебанийравен:

 

                                         .                                        (8.7)

Частота свободных затухающих колебаний в колебательном контуре:

 

                                          .                                                   (8.8)

Уравнение (10.5) описывает изменение заряда на обкладках конденсатора со временем.

Амплитудой затухающих колебаний называют величину:

 

A(t) =q0e– βt.

(8.9)

На рисунке 8.1 представлен график затухающих колебаний; штриховая линия на нем показывает изменение во времени амплитуды A(t).

Натуральный логарифм отношения амплитуд двух колебаний, взятых через периодТ, называют логарифмическим декрементом  затухания θ:

 

θ = ln;

(8.10)

                                       θ = ln=βT.                                         (8.11)

 

Добротностью колебательной системы Q называют величину:

.

(8.12)

Добротность тем выше, чем слабее затухание. При слабом затухании:

 

.

(8.13)

 

При  β²≥ω₀² колебаний в контуре не возникает, происходит апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:

 

.

(8.14)

 

Рисунок 8.1

 

8.2 Переменный ток как вынужденные синусоидальные колебания.  Векторная диаграмма напряжений. Закон Ома для переменного тока

 

Вынужденными называются колебания системы, происходящие под действием внешнего периодически изменяющегося воздействия.

Переменным током называют установившиеся вынужденные колебания тока в цепи. Для получения переменного тока (вынужденных колебаний) в электрический колебательный контур необходимо подать переменное напряжение от сети или генератора – источника внешней переменной ЭДС. Пусть подаваемое напряжение изменяется со временем по гармоническому закону u=U_mcosωt.

В этом случае (при условии квазистационарности),  применение обобщенного закона Ома для последовательно соединенных катушки индуктивности L, конденсатора  C и резистора R приводит к дифференциальному уравнению вынужденных колебаний в контуре:

 

                                                                        (8.15)

или 

                              (8.16)

 

Установившееся решение уравнения (8.16) имеет вид:

 

                                      ,                                     (8.17)

 

где q_m – амплитуда; а y- разность фаз между колебаниями заряда q на обкладках конденсатора и приложенного напряжения u.

Продифференцируем (8.17) по времени и получим:

 

                                        ,                                     (8.18)

 

где - амплитуда силы тока;

φ - сдвиг фаз между колебаниями тока i  и приложенного напряжения u.

Наша задача - найти значения I_m  и φ. Представим уравнение (8.15) в виде:

,                                 (8.19)

 

т.е. сумма падений напряжения на индуктивности L, активном сопротивлении  R  и емкости  С в каждый момент времени равна мгновенному значению приложенного извне напряжения u.

Падение напряжения на резисторе  совпадает по фазе с колебаниями тока, а его амплитудное значение равно .

Разность потенциалов  между обкладками конденсатор  на  отстает по фазе от колебаний тока,  амплитудное значение равно.

Падение напряжения u_L на катушке индуктивности по фазе на  опережает колебания тока; амплитуда напряжения .                         Рисунок 8.2

 

Величину R называют активным сопротивлением цепи, а величины   и  называются соответственно реактивным емкостным и реактивным индуктивным сопротивлением.

Учтем полученные соотношения при построении векторной диаграмм напряжений. При последовательном соединении элементов ток в цепи везде один и тот же, если его можно считать квазистационарным. В этом случае все векторы амплитуд напряжений U_Rm, U_Lm и  U_Cm откладывают относительно оси тока с учетом их фазовых соотношений с током (рисунок 8.2).  Векторная диаграмма напряжений для последовательного контура). 

По правилу сложения векторов находим  амплитуду приложенного внешнего напряжения U_m:

                                                     .                                                      (8.20)

Согласно (8.20) амплитудное значение тока прямо пропорционально амплитудному значению приложенного напряжения. Это соотношение рассматривают как закон Ома для переменного тока в случае последовательного RLC-контура. В общем случае произвольной цепи этот закон записывают в виде:

                                                ,                                              (8.21)

где Z – полное сопротивление цепи переменному току (или импеданс), которое зависит от параметров R, L и C цепи, соединения всех ее элементов и частоты ω  приложенного напряжения.

Сдвиг по фазе φ между током и напряжением на диаграмме равен углу, который образует вектор U_m  с осью тока; тангенс этого угла равен:   

                                            .                                                 (8.22)

 

8.3 Мощность переменного тока. Коэффициент мощности. Действующие значения переменного тока и напряжения

 

Мгновенная мощность переменного тока в цепи равна:

 

         .

 

Средняя за период мощность, потребляемая цепью переменного тока:

 

                                          ,                                         (8.23)

 

где  и  - действующие значения тока и напряжения;

 cosφ - коэффициент мощности, равный для последовательной цепи:

                                            .                                               (8.24)

 

8.4 Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Резонанс

 

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты ω вынуждающей силы к собственной частоте ω₀ колебательной системы называется резонансом (см. на рисунок 8.3). Точное значение частоты ω_р, при которой амплитуда смещения достигает максимального значения, можно найти, приравняв производную от A_ω по ω  нулю. Это значение частоты ω_р называется резонансной, оно равно:

 

                                          .                                       (8.25)

 

Амплитуда смещения при резонансе равна:

 

                                             ,                                           (8.26)

сдвиг фаз :

                              .                            (8.27)

 

                          

 

Рисунок 8.3

           При падения напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности одинаковы по амплитуде  и противоположны по фазе, значение амплитуды тока в последовательном колебательном контуре достигает максимально возможного значения , а сдвиг фаз обращается в ноль . Это явление называют резонансом тока или резонансом напряжений. Резонансная частота для силы тока в последовательном контуре совпадает с собственной частотой контура:.

 

9 Лекция №9. Электромагнитные волны вдоль проводов. Электромагнитные волны в вакууме и диэлектрических средах

 

Цель лекции: ознакомление с основными уравнениями и характеристиками электромагнитных волн.

 

9.1 Двухпроводная линия электропередач. Волновое сопротивление двухпроводной линии. Стоячие электромагнитные волны

 

Двухпроводная линия представляет собой линейную емкость и линейную индуктивность. Отдельные малые участки линии можно представить как колебательные контуры. Выделим два сечения линии с координатами  x и (x + dx), напряжения и токи в этих сечениях линии: U и (U+dU)=, 

Изменение напряжения dU на элементе длины dx происходит вследствие возникновения ЭДС самоиндукции:  , а изменение силы тока dI – благодаря накоплению заряда на линейной емкости:   , где   - погонная емкость и  - погонная индуктивность двухпроводной линии.  Можно показать, что:     

                                           (9.1)

 

                                               (9.2)

 

Уравнения (9.1) и (9.2) показывают, что вдоль двухпроводной линии распространяются бегущие волны тока и напряжения со скоростью:

                                                                                                     (9.3)

 

Для тонких цилиндрических проводов радиуса r с расстоянием d между осями, находящихся в вакууме, величины погонной индуктивности и погонной емкости могут быть рассчитаны по формулам:

 

                                 (9.4)

С учетом (11.4) формула (11.3) принимает следующий вид:

 

                                                  v =.                                              (9.5)

Итак, скорость распространения волн тока и напряжения вдоль двухпроводной линии равна скорости света в вакууме. Из уравнений (9.1) и (9.2) следует, что в бегущей волне напряжение и ток пропорциональны друг другу:

                                                         .                                                  (9.6)

Величину Z называют волновым (или характеристическим) сопротивлением линии. Можно показать, что

 

                                                         Z =.                                                  (9.7)

Из формул (9.4) и (9.7) следует, что волновое сопротивление определяется геометрическими размерами линии:

 

                                                   Z = 120 lnd/r .                                   (9.8)

Так как величина Z вещественна, то в бегущей волне   и  (а вместе с ними также векторы электрического E и магнитного B полей) совпадают по фазе.

Если сопротивление нагрузки равно волновому, то вся передаваемая по линии электромагнитная энергия поглощается нагрузкой. В этом случае говорят, что нагрузка и линия согласованы между собой. Если такого согласования нет, волна частично отражается от нагрузки и распространяется в противоположном направлении. Когда частота колебаний источника становится близкой к одной из собственных частот линии, наблюдается резкое увеличение амплитуды колебаний тока и напряжения в линии (явление резонанса).

Частоты собственных колебаний линии определяются граничными условиями. Для короткозамкнутой линии это условие состоит в том, что на длине линии укладывается целое число полуволн. Если линия закорочена на нагрузочном конце, происходит отражение падающей волны и последующее ее сложение с отраженной волной; возникают две стоячие волны - волна тока с пучностью на закороченном конце и стоячая волна напряжения с узлом на этом конце. Поскольку току соответствует магнитная компонента B, а напряжению - электрическая компонента E электромагнитного поля, поэтому все сказанное о стоячих волнах тока и напряжения относится также к стоячим волнам, соответственно, магнитного поля B и электрического поля E. Таким образом, в стоячей волне E и B  изменяются не в фазе.

В реальных двухпроводных линиях практически невозможно осуществить режим чисто бегущих или стоячих волн, поскольку: а) на конце линии всегда имеется отражение, хотя бы незначительное; б) при распространении электромагнитной энергии вдоль  линии всегда есть потери на джоулево тепло и на излучение в окружающее пространство, в силу чего амплитуды падающей и отраженной волн оказываются несколько различными.

 

9.2 Волновое уравнение для электромагнитного поля

 

Согласно теории Максвелла переменное электрическое поле порождает магнитное поле и, в свою очередь, изменяющееся магнитное поле создает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Таким образом, если в некоторой области пространства возбудить с помощью колеблющихся зарядов переменное электромагнитное поле, то оно не остается локализованным в этой области. В окружающем пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся с определенной скоростью от точки к точке. Этот процесс, периодический во времени и в пространстве, представляет собой электромагнитную волну.

Из уравнений Максвелла в случае однородной изотропной диэлектрической среды, в которой нет свободных электрические зарядов (ρ_q=0) и токов (j=0),  можно получить для плоской электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ уравнения:  

                 ;                            .    (9.9)

Каждое из уравнений (11.9) представляет собой волновое уравнение для компонентов E_y и H_zэлектрического и магнитного полей волны, а коэффициент пропорциональности в правой части уравнений – это величина, обратная квадрату фазовой скорости распространения электромагнитной волны.

 

9.3 Свойства электромагнитных волн

 

Для переменных электрического и магнитного полей плоской волны, распространяющейся вдоль оси ОX,  выполняется условие: E_x=H_x=0, то есть векторы и перпендикулярны к направлению распространения волны - оси ОХ. Это означает, что электромагнитная волна поперечная.

Векторы и взаимно перпендикулярны.

Мгновенные значения электрического и магнитного полей волны связаны между собой соотношением:

                                              .                                  (9.10)

Векторы и оставляют вместе с вектором  скорости распространения волны правовинтовую тройку векторов: если вращать рукоять правого винта по кратчайшему направлению от вектора  к вектору , то направление поступательного движения винта совпадает с направлением распространения волны.

Поля и изменяются по одному и тому же закону (с одинаковой частотой и в одинаковой фазе): проекции E_y и H_z одинаковы по знаку, они одновременно обращаются в ноль и одновременно достигают максимума (рисунок 9.1).

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 9.1

 

Уравнения электромагнитной волны, бегущей  вдоль оси OX:

 

=E_mcos(ωt-kx+φ₀);                                   (9.11)

 

=H_mcos(ωt-kx+φ₀);                                 (9.12)

где и  - единичные вектора, направленные вдоль осей OY и OZ; 

k=2π/λ – волновое число; 

λ=vT – длина волны. 

В однородной диэлектрической среде фазовая скорость ЭМВ зависит от электрических и магнитных свойств этой среды - проницаемостей ε и μ:

                                           v=,                                     (9.13)

где  c= 3,0·10⁸ м/с, - скорость света в вакууме.

Тот факт, что скорость распространения ЭМВ в вакууме совпадает со скоростью света,  послужил Максвеллу основанием для вывода об электромагнитной природе света и разработке электромагнитной теории света (1865 г.).

 Первые опыты с электромагнитными волнами выполнил Г. Герц в 1888 г. Их результаты полностью соответствовали выводам теории Максвелла.  

 

9.4 Энергия электромагнитных волн

 

Энергия ЭМВ складывается из энергии электрического и магнитного полей волны w=w_e+w_m. Из  (9.10) следует, что плотности энергии обоих полей ЭМВ (в вакууме и диэлектрической среде) равны между собой:

               .                (9.14)

Откуда плотность энергии ЭМВ равна:

 

                                                .                                    (9.15)

Умножив (11.15) на скорость v, получим плотность потока энергии ЭМВ:

                                                  j_w= wv=EH.                                     (9.16)

Векторы и  взаимно перпендикулярны и образуют с вектором  скорости волны правовинтовую тройку векторов. Следовательно, векторное произведение [,] по направлению совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен плотности потока энергии j_w . Вектор плотности потока энергии ЭМВ называют вектором Пойнтинга:

_w= w= [,].                                    (9.17)

По модулю вектор Пойнтинга равен количеству энергии, переносимой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. 

Интенсивность  волны - это усредненное за период T  значение  j_w:

                                       I=<j_w>= <w>v.                                (9.18)

В случае плоской гармонической волны плотность энергии равна:

                                    w=εε₀E²= εε₀Е_m²cos²(ωt-kx).                   (9.19)

Интенсивность такой волны, с  учетом равенства <cos²(ωt-kx)>=0,5  пропорциональна квадрату амплитуды ее электрической напряженности E_m.:

 

                                               I=E_m².                            (9.20)

 

9.5 Излучение диполя

 

Согласно классической электродинамике ЭМВ возбуждаются электрическими зарядами, движущимися с ускорением. Простейшей излучающей системой является электрический диполь, момент которого изменяется периодически.  Рассмотрим излучение гармонического осциллятора –  диполя, размер ℓ которого много меньше длины волны ℓ<<λ, а электрический момент изменяется со временем по закону  p=p_mcosωt .                       Примером такой системы служит неподвижный точечный заряд +q  и колеблющийся около него точечный заряд – q. Вблизи диполя картина электромагнитного поля очень сложная. Она упрощается в так называемой волновой зоне диполя, то есть   на    расстояниях   r,  значительно  превышающих

длину волны r>>λ.                                                                   Рисунок 9.2

 

          Если волна распространяется в однородной  и  изотропной среде, то волновые поверхности в волновой зоне имеют сферическую форму. Направление векторов и в каждой точке перпендикулярно к лучу; при этом  направлен по касательной к «меридиану», а – по касательной к «параллели» (рисунок 9.2).

В каждой точке векторы и  колеблются по закону cos(ωt-kr), то есть диполь, колеблющийся с частотой ω, излучает монохроматическую волну той же частоты.  Амплитуды   E_m   и  H_m  зависят от расстояния  r  до излучателя и от угламежду направлением радиус-вектора и осью диполя:    E_m~H_m~.

Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды: 

 

                                                    I~.                                     (9.21)

Таким образом, интенсивность волны изменяется вдоль луча обратно пропорционально квадрату расстояния  r. Кроме того, она сильно зависит  от угла .  В Приложении на рисунке Е.3 приведена полярная диаграмма направленности  излучения. Вдоль оси диполя излучение отсутствует (I=0), а в направлениях, перпендикулярных к оси, интенсивность излучения максимальна.

Мощность излучения диполя (энергия, излучаемая диполем за 1с) пропорциональна квадрату второй производной дипольного момента по времени:

                                                        P~,                                                   (9.22)

для гармонически осциллирующего диполя:

 

                                               P~ p_m²ω⁴cos²ωt.                                   (9.23)

 

Усреднение за период колебания T=2π/ω дает:

 

                                                 <P>~ p_m²ω⁴.                                      (9.24)

 

Таким образом, средняя мощность излучения диполя пропорциональна квадрату амплитуды его дипольного момента и четвертой степени частоты.

При решении некоторых проблем в оптике (дисперсия, поглощение в средах, поляризация) атом рассматривают как излучающий диполь, в котором оптический электрон совершает колебания около ядра. 

 

9.6 Давление и импульс электромагнитных волн

 

Максвелл показал, что электромагнитные волны, отражаясь или поглощаясь в телах, на которые падают, оказывают на них давление. Это давление объясняется силовым действием магнитного поля волны на электрические токи, которые возбуждаются электрическим полем той же волны. 

Распространение электромагнитной (так же как и упругой) волны сопровождается переносом импульса. Если энергия, переносимая волной, равна W, то величина переносимого ею импульса

 

                                                     p=W/c.                                                     (9.29)

 

Импульс волны, отнесенный к единице объема, можно выразить через вектор плотности потока энергии (вектор Пойнтинга)

                                               .                                             (9.30) 

 

10 Лекция №10. Волновые свойства электромагнитного излучения

 

10. 1 Суперпозиция волн. Волновой пакет. Групповая скорость

 

Цель лекции: ознакомление с волновыми свойствами электромагнитного излучения.

 

Уравнение гармонической волны описывает волну бесконечную во времени и безграничную в пространстве. Но в реальности волновое движение ограничено во времени, поскольку излучение любой волны длится конечный промежуток времени. Значит,  реальные волны не являются гармоническими и монохроматическими. В этом случае  так же, как и в случае ангармонических колебаний, можно применить разложение в ряд Фурье по гармоническим функциям. Но сначала рассмотрим обратную задачу: что происходит, если в некоторой области пространства одновременно распространяется несколько волн? 

Опыт показывает, что в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга и справедлив принцип суперпозиции:

 

ξ = ξi,

(10.1)

                 при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется независимо от других так, что результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений в каждой из волн в отдельности.

Линейными называют среды, свойства которых не зависят от внешних полей. Например, диэлектрическая проницаемость ε такой среды не зависит от величины  E  напряженности электрического поля. Упругая среда является линейной, если ее модуль Юнга не зависит от величины деформаций.

Особую роль играют одиночные возмущения (короткий волновой импульс  от вспышки); их можно представить как волновые пакеты.   

Волновой пакет – это группа близких по волновым числам и по частотам монохроматических волн, амплитуды и фазы которых таковы, что в любой момент времени их сложение дает локализованный в некотором объеме пространства одиночный волновой импульс.

Волновой пакет характеризуется средними значениями волнового числа k₀ и частоты ω₀, и интервалами ∆k и ∆ω в спектральных разложениях волнового пакета по волновым числам и частотам:

 

                         (k₀ - ∆k)≤ k ≥(k₀ + ∆k);                  ∆k<< k₀  ;                 (10.2)

(ω₀ - ∆ω) ≤ ω ≥ (ω₀+∆ω);                 ∆ω<< ω₀ .

 

Чем меньше временная длительность ∆t пакета, тем больше интервал частот ∆ω в его спектральном разложении; и чем короче его пространственная протяженность Δx, тем больше интервал волновых чисел ∆k. 

Пусть в одном направлении с одной и той же скоростью v распространяются две плоские гармонические волны с одинаковыми амплитудами A₀ и близкими по значению частотами (ω и ω+dω) и волновыми числами (k и k+dk).  Согласно принципу суперпозиции:

 

.

Формально полученное выражение можно рассматривать как уравнение квазигармонической волны с медленно периодически изменяющейся амплитудой: 

                                         .                                 (10.3)

За скорость u распространения этой несинусоидальной волны принимают скорость перемещения точки M, в которой амплитуда имеет максимальное значение. Следовательно, точка M движется по закону (tdω-xdk)=const. Величина                   

(10.4)

называется групповой скоростью (скоростью группы волн). Поскольку в этой точке максимальна и плотность энергии, то групповая скорость и есть скорость перемещения энергии волны. 

Связь между групповой и фазовой скоростями волны имеет вид:

                                              .                                          (10.5)

 

10.2 Дисперсия волн

 

Дисперсией называется зависимость фазовой скорости распространения монохроматической волны от ее частоты ω или длины волны λ, то есть зависимость v=f(ω),  либо .

Для всех прозрачных бесцветных сред с увеличением длины  λ  волны в видимой части спектра показатель преломления  n= уменьшается, а скорость v увеличивается. В этом случае дисперсия называется нормальной.

Рассмотрим распространение произвольной волны как совокупности монохроматических составляющих. Если дисперсия отсутствует, то все эти составляющие распространяются с одинаковыми фазовыми скоростями и потому не смещаются друг относительно друга. Значит, при отсутствии дисперсии (например, в случае электромагнитных волн в вакууме и звуковых волн в воздухе) любая волна сохраняет в процессе распространения свою форму.

При наличии дисперсии сложные (негармонические) волны изменяют свою форму, в частности происходит расплывание волновых пакетов. При этом групповая скорость может быть как больше, так и меньше фазовой.

 

10.3 Интерференция волн

 

Все без исключения приемники света инерционны. Для глаза время разрешения составляет по порядку величины τ ≈ 0,1 с, у фотоматериалов  τ ≈ 10^-2÷10^-4 с, в ячейках Керра (оптические затворы) τ ≈ 10^-9 с. Наиболее быстродействующие современные фотоэлементы имеют τ ≈ 10^-10 с, но и в этом случае τ>>T, то есть время разрешения τ много больше периода T  световых колебаний, так как в области видимого света T≈10^-15 с. Поэтому все приемники света могут измерить величину, пропорциональную среднему за время разрешения τ квадрату напряженности <E²>,  то есть интенсивность света I.

В области, в которой перекрываются две световые волны, приемник может зафиксировать величину, равную

 

                                     I=<(E₁+E₂ )²>= I₁ + I₂+2<E₁E₂>.                            (10.6)

 

Последнее слагаемое в выражении (6.9) называется интерференционным членом. Его величина может быть выражена в виде

 

                                          <cosδ>,                                          (10.7)

где δ – разность фаз складываемых колебаний.

Результаты сложения волн определяются тем, являются ли волны когерентными или нет:

а) если две волны излучаются двумя независимыми источниками, то разность фаз таких волн в каждой точке (например, экрана) непрерывно изменяется случайным образом, принимая с равной вероятностью любые значения от 0 до 2π, тогда <cos δ> = 0,   І₁₂ = 0 и

 

                                                   I = I₁+ I₂.                                            (10.8)

 

Таким образом, при наложении некогерентных волн наблюдаемая интенсивность равна сумме интенсивностей каждой из волн в отдельности;

б) если разность фаз δ, возбуждаемых волнами колебаний, остается постоянной во времени, то волны называются когерентными и в этом случае:

 

                                         I=I₁ + I₂+2.                               (10.9)

 

10.4 Временная и пространственная когерентность

 

Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов.

Согласованное протекание волновых процессов, происходящих в одной и той же точке, но в разные моменты времени, называют временной когерентностью. Промежуток времени τ_ког, в течение которого случайные изменения начальной фазы волны в данной точке достигают значения порядка π, называется временем когерентности. За это время колебание становится некогерентным по отношению к самому себе. Расстояние, на которое перемещается волна за время τ_ког, называют длиной когерентности . Следовательно, расщепленные волны, приходящие в точку наблюдения с разностью хода, равной или превышающей ℓ_ког, не образуют интерференционной картины, т.к. некогерентные.

Соответствующий расчет дает, что время когерентности обратно пропорционально интервалу частот , представленных в данной световой волне:   . Это означает, что чем уже интервал частот, представленных в данной световой волне, тем больше время когерентности этой волны. Для монохроматической волны  и время когерентности .

Длину когерентности можно оценить с помощью соотношения . Для солнечного света λ=0,50 мкм (зеленая часть спектра) и Δλ=0,40 мкм, тогда ℓ_ког≈(0,50)²/0,40 мкм ≈0,6 мкм=0,6·10^-3 мм.

Пространственная когерентность – это согласованное протекание колебательных процессов, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны (так называемой квазиволновой поверхности). Пространственная когерентность зависит от условий излучения и формирования световых волн. В реальной световой волне, излучаемой множеством независимых атомов протяженного источника света, разность фаз колебаний в двух точках квазиволновой поверхности Q, - случайная функция времени.

Радиусом когерентности ρ_ког  называют расстояние между двумя точками поверхности Q, случайные изменения разности фаз δ, в которых достигают порядка π. Если источник имеет форму диска, диаметр которого виден из данной точки под углом φ, то. Для Солнца φ≈0,01 рад, λ≈0,50 мкм, ρ_ког≈0,05 мм.

 

10.5 Методы наблюдения интерференции света

 

Излучение обычных источников (не лазеров) некогерентное; это обусловлено тем, что оно складывается из волн, излучаемых громадными совокупностями его атомов. Процесс излучения атома продолжается в течение времени, длительностью порядка 10^-8 с. За это время успевает образоваться цуг волн длиной примерно 3 м. Свет от обычного источника представляет хаотичную последовательность отдельных цугов. Поэтому при наложении световых волн от разных источников фазовые соотношения между колебаниями многократно изменяются случайным образом, и устойчивой интерференционной картины не возникает.

Тем не менее, когерентные световые волны можно получить даже от обычных источников. Общий метод таков: волну, излучаемую одним источником света, разделяют каким–либо способом на две части, которые затем в некоторой области пространства перекрываются. В области перекрытия происходит наложение интерференция расщепленных «половинок» элементарных волновых цугов, излученных отдельными атомами.  

Оптическая длина путиL – это произведение расстояния ℓ, которое проходит волна в некоторой среде, на показатель n преломления в данной среде . Разность оптических длин проходимых волнами путей от точки расщепления до точки их наложения называют оптической разностью хода:

                                    .                                         (10.14)

Связь между разностью фаз двух волн и оптической разностью хода

                                              .                                            (10.15)

Условие образования интерференционных максимумов:

                                   ,  m=0, 1, 2, 3,…                            (10.16)

Интерференционные минимумы наблюдаются, если волны приходят в противофазе, при этом оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн:

                                    ,m=0, 1, 2, 3,…                        (10.17)

В опыте Юнга пучок яркого солнечного света пропускался через узкую щель S. Прошедшим светом освещались две узкие параллельные и близко расположенные щели S₁ и S₂ во втором непрозрачном экране. На экране в области перекрытия пучков наблюдались параллельные чередующиеся темные и светлые интерференционные полосы. 

 

10.6 Дифракция волн. Принцип Гюйгенса-Френеля

 

В средах с резкими неоднородностями, например, вблизи краев непрозрачного экрана или отверстия, наблюдается дифракция - огибание волнами препятствий (соизмеримыми с длиной волны падающего света) и проникновение в область геометрической тени (отклонение от законов геометрической оптики).

Для объяснения и расчета дифракционных явлений в теории волн применяется принцип Гюйгенса-Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля каждый элемент волновой поверхности (в общем случае - любой вспомогательной поверхности, до которой доходит излучение) dS можно рассматривать как источник вторичной сферической волны. Поскольку эти вторичные волны являются составными частями единой исходной волны они когерентны между собой, поэтому в произвольной точке наблюдения P, в которую приходят вторичные волны, будет  происходить их наложение (интерференция), в результате чего волны либо  усиливают друг друга, либо гасят.

 Пусть на узкую длинную щель шириной a падает по нормали к ней плоская световая волна. Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости      линзы - экран.                                                                                                                                                                                                                                                                       Дифракционная картина на экране при освещении узкой щели  монохроматическим светом от лазера представляет собой систему симметрически расположенных вдоль прямой линии светлых (того же цвета, что и лазерное излучение) пятен, при этом в центре картины располагается максимум, по интенсивности значительно превосходящий остальные максимумы. Максимумы разделены минимумами.

Дифракционные минимумы наблюдаются при таких углах дифракции θ, для которых в щели укладывается четное число зон Френеля: 

 

                                              ,                                                 (10.18)

 

где  m – порядок минимума, принимает значения 1, 2, 3, …

Дифракционная решетка представляет собой совокупность большого числа расположенных в одной плоскости, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние, одинаковых параллельных щелей.

Расстояние d между серединами соседних щелей называется периодом (или постоянной) решетки. Период решетки равен сумме ширины щели a и непрозрачного промежутка между щелями: d=a+b.

Для получения более четкой дифракционной картины между дифракционной решеткой и экраном располагают собирающую линзу так, что экран находится в ее фокальной плоскости.                         Рисунок 10.1

 

При прохождении через дифракционную решетку имеет место, во-первых, интерференции световых волн, дифрагировавших на каждой щели в отдельности; во-вторых, интерференция волн, дифрагировавших от разных щелей. При этом положение минимумов (10.8), соответствующих дифракции на одной щели, остается неизменным и при дифракции на N щелях.

Положение главных дифракционных максимумов при нормальном падении параллельного пучка монохроматического света длиной волны λ на дифракционную решетку определяется из формулы:

 

                                 dsinθ = mλ,m=0, 1, 2, 3, …, m_пред ,                             (10.19)

 

где m_пред– наибольший порядок наблюдаемого максимума, равный целому числу , ближайшему к отношению d/λ  с меньшей стороны.

 

11 Лекция №11. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения

 

Цель лекции: ознакомление с корпускулярными свойствами электромагнитного излучения.

 

11.1 Фотон, энергия и импульс фотона

 

Идеи о корпускулярной природе света были выдвинуты еще в VIв. дон.э. Пифагор высказал близкую к современной идею, что тела становятся видимыми благодаря испускаемым ими частицам. Очень близкие к современному пониманию различных оптических явлений концепции развивали Аристотель (IV в. дон.э.), Платон (IVв. дон. э.), Евклид(III в. до н. э.), Птолемей(130г. н. э.) и др.

Одна из первых теорий, в которой свет рассматривался как поток мельчайших частиц, была изложена в «Книге оптики» (1021 г.) арабского ученого Ибн ал-Хайсама.

Современная корпускулярная теория  связана с именами Планка,  Эйнштейна и Комптона. Исследование свойств теплового излучения завершилось выдвижением (1900 г.) М. Планком  гипотезы о квантовании энергии электромагнитного излучения. Импульс фотона был обнаружен экспериментально А. Комптоном (1923 г.).

Фотон – квант электромагнитного излучения. Это безмассовая частица, способная существовать,лишь двигаясь со скоростью света. Энергия ε и импульс p фотона зависят только от его частоты (длины волны):

		(11.1)
		(11.2)

 

11.2 Внешний и внутренний фотоэффект

 

В конденсированных (твёрдых и жидких) веществах выделяют внешний и внутренний фотоэффект. Внешний фотоэффект - испускание электронов веществом под действием света или любого другого электромагнитного излучения.

Исследования фотоэффекта показали, что, вопреки классической электродинамике, энергия вылетающего электрона всегда строго связана с частотой падающего излучения и практически не зависит от интенсивности облучения.

Все закономерности внешнего фотоэффекта были объяснены А. Эйнштейном в 1905 г. В работе Эйнштейна содержалась важная новая гипотеза — если Планк  предположил, что свет излучается только квантованными порциями, то Эйнштейн уже считал, что свет и существует только в виде квантованных порций.

Из закона сохранения энергии, при представлении света в виде частиц (фотонов), следует формула Эйнштейна для фотоэффекта:

 

.

(11.3)

где А – работа выхода.

Из этой формулы следует существование красной границы фотоэффекта, то есть существование наименьшей частоты (), ниже которой энергии фотона уже недостаточно для того, чтобы «выбить» электрон из металла. Суть формулы заключается в том, что энергия фотона расходуется на  работу, необходимую для «вырывания» электрона, а остаток переходит в кинетическую энергию электрона.

Внутренним фотоэффектом называется перераспределение электронов по энергетическим состояниям в твёрдых и жидких полупроводниках и диэлектриках, происходящее под действием излучений. Он проявляется в изменении концентрации носителей зарядов в среде и приводит к возникновению фотопроводимости и вентильного фотоэффекта.

Фотопроводимостью называется увеличение электрической проводимости полупроводника под действием излучения.

 

11.3 Эффект Комптона как упругое рассеяние γ-фотонов на почти свободных электронах вещества

 

А. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излучением первоначальной длины волны λ содержатся также лучи большей длины волны λʹ, причем оказалось, что    разность Dl  от длины волны l и от природы вещества не зависит:

Δλ=(1- cosθ),

(11.4)

Θ -угол, образуемый направлением рассеянного излучения с направлением первичного пучка.

Теория Максвелла не могла объяснить эти факты, поскольку согласно классической электродинамике рассеянное излучение – это вторичные электромагнитные волны, излучаемые колеблющимися электронами вещества. Электроны совершают вынужденные колебания под действием электрического поля падающей электромагнитной волны. Поэтому частота (и длина волны) рассеянного излучения, согласно этим представлениям, должна совпадать с первоначальной частотой.                                                         Рисунок 11.1

 

Все особенности эффекта Комптон объяснил,     рассматривая рассеяние как процесс упругого столкновения   рентгеновских   фотонов с  практически свободными электронами атомов. Если на первоначально покоящийся свободный электрон падает фотон с энергией и импульсом , то после     рассеяния на электроне его энергия εʹ уменьшится, поскольку, согласно законамсохранения энергии и   импульса (рисунок 11.1), часть энергии передается электрону «отдачи»:

                                                                  (11.5)

 

                                              (11.6)

Из этих уравнений следует, что комптоновская постоянная равна:

        

	=.	(11.7)

11.4 Соотношение между волновыми и корпускулярными свойствами электромагнитного излучения

 

Свет демонстрирует свойства волны в явлениях дифракции и интерференции при масштабах, сравнимых с длиной световой волны. Например, даже одиночные фотоны, проходящие через двойную щель, создают на экране интерференционную картину, определяемую уравнениями Максвелла. Волновые свойства света играют определяющую роль в закономерностях его интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные — в процессах взаимодействия света с веществом. Закономерности равновесного теплового излучения, фотоэффекта и эффекта  Комптона можно успешно истолковать только на основе представлений о свете, как о потоке дискретных фотонов.

Чем больше длина волны света, тем меньше импульс и энергия фотона и тем труднее обнаружить корпускулярные свойства света. Например, внешний фотоэффект происходит только при энергиях фотонов, больших или равных работе выхода электрона из вещества. Чем меньше длина волны электромагнитного излучения, тем больше энергия и импульс фотонов и тем труднее обнаружить волновые свойства этого излучения. Например, рентгеновское излучение дифрагирует только на очень «тонкой» дифракционной решетке — кристаллической решетке твердого тела. Тем не менее, эксперименты показали, что фотон не есть короткий импульс электромагнитного излучения, например, он не может быть разделён на несколько пучков оптическими делителями.

Идея о корпускулярно-волновом дуализме была использована при разработке квантовой механики. Сейчас концепция корпускулярно-волнового дуализма представляет лишь исторический интерес. На момент своего возникновения концепция корпускулярно-волнового дуализма служила способом объяснять поведение квантовых объектов, подбирая аналогии из классической физики.

На деле квантовые объекты не являются ни классическими волнами, ни классическими частицами, приобретая свойства первых или вторых лишь в некотором приближении. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1 Савельев И.В. Курс общей физики в 4 т. – Т. 2. - Электричество и магнетизм. Волны. Оптика.– М.: КНОРУС, 2012. – 576 с.

2 Детлаф А.А., Яворский Б.М.  Курс физики. –М.:  Высш. шк., 2005. – 668 с.

3 Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Академия, 2008. – 560 с.

4 Бондарев Б.В. Курс общей физики. Книга 2: Электромагнитизм, оптика, квантовая физика: Учебник для бакалавров, 2015. – 441 с.

5 Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. -М.:Бином., 2015. – 500 с.

6 Тюрин Ю.Ч., Чернов И.П., Крючков Ю.Ю. Электричество и магнетизм. -Томск: Изд-во Томского ун-та, 2003. – 738 с.

7 Сивухин Д.В. Общий курс физики: Учебное пособие для вузов. В 5 т.- Т. 3. -Электричество. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.– 656 с.

 

 

 

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………..    3

1 Лекция №1. Электростатическое поле в вакууме…………………….    3

2 Лекция № 2. Проводники в электростатическом поле………………   7

3 Лекция № 3. Диэлектрики в электростатическом поле………………  10

4 Лекция № 4. Типы диэлектриков и механизмы их поляризации. Электрический ток в средах………………………………………………….....  12

5 Лекция № 5. Электрические явления в контактах……………………. 17

6 Лекция № 6. Стационарное магнитное поле в вакууме и веществе… 23

7 Лекция № 7. Основы теории Максвелла электромагнитного поля….. 28

8 Лекция № 8. Электромагнитные колебания…………………………..  33

9 Лекция № 9. Электромагнитные волны вдоль проводов.

 Электромагнитные волны в вакууме и диэлектрических средах……..  39

10 Лекция № 10. Волновые свойства электромагнитного излучения…  44

11 Лекция № 11. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения………………………………………………………………………...  50

Список литературы……………………………………………………….  54

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сводный  план 2016 г., поз.228

 

 

 

Алевтина Магаметжановна Саламатина

НагимаТемирбаевнаАбдалиева

 

 

 

 

 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

 

Конспект лекций

для студентов специальности

5В071800 - Электроэнергетика

 

 

 

 

 

 

 

Редактор  Н.М. Голева

Специалист по стандартизации  Н.К.Молдабекова

 

 

 

 

 

 

Подписано в печать ____                                  Формат 60´84 1/16

Тираж    80  экз.                                                          Бумага типографская  №1

Объем  3,4  уч. – изд.л.                                              Заказ ___. Цена   1700 тг.

 

 

 

 

 

Копировально-множительное бюро

некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи»

050013, Алматы, ул. Байтурсынова, 126