АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ ИСВЯЗИ

Кафедра Инженерной Кибернетики

 

Прикладная теория информации

Методические указания к выполнению расчетно-графических работ

для студентов всех форм обучения специальности

050702 - «Автоматизация и управление»

 

Алматы 2008

 

СОСТАВИТЕЛИ: Ю. В. Шевяков, Ш. M. Байматаева. Прикладная теория информации. Методические указания к выполнению расчетно-графических работ для студентов всех форм обучения специальности 050702 - Автоматизация и управление.- Алматы: АИЭС, 2008.-20 с.

 

В методических указаниях по курсу «Прикладная теория информации» предлагаются задания и указания к выполнению расчетно-графических работ. Ил. 21, табл. 4, библиогр. - 6 назв.

 


Введение

Для студентов специальности «Автоматизация и управление» всех форм обучения предусмотрены три расчетно-графические работы:

1.Расчет спектральных характеристик периодических сигналов.

2.      Расчет аналоговых фильтров.

3.      Эффективное кодирование.

Определение варианта задания. В каждом задании по 25 вариантов. Вариант задания определяется по следующему правилу: если число из последних двух цифр номера зачетной книжки находится в интервале - от 1 до 25, то выполняется соответствующий вариант. Если последние две цифры 00, то выполняется вариант 25. Если число из последних двух цифр номер зачетной книжки находится в интервале - от 26 до 99, то вариант определяется остатком от деления этого числа на 25. Например: последние две цифры зачетной книжки 47. Остаток от деления на 25 равен 22, следовательно, выполняется вариант 22. Если остаток от деления равен 0, то выполняется вариант 25 — для чисел 50 и 75. Если последние две цифры - 89, то остаток от деления на 25 равен 14, следовательно, выполняется вариант 14.

1 Расчетно-графическая работа №1. Расчет спектральных характеристик

периодических сигналов

1.1 Задание

1.1.1 Определить спектры амплитуд и фаз периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью τ=t2t1, периодом Т и амплитудой  , следующих частотой . Исходные данные для расчета выбираются из таблицы 1.1.

Таблица 1.1

 

№ варианта

t1, c

t2,c

Т/τ

uo,B

1

0

1

2

6

2

0

2

2

5

3

0

3

2

4

4

0

4

3

3

5

0

5

3

2

6

0

6

3

6

7

0

7

4

5

8

0

1

4

4

9

0

2

4

3

10

0

3

5

2

11

0

4

5

6

12

0

5

5

5

13

0

6

2

4


Продолжение таблицы 1.1

14

0

7

2

3

15

0

1

3

2

16

0

2

3

6

17

0

3

3

5

18

0

4

4

4

19

0

5

4

3

20

0

6

4

2

21

0

7

5

6

22

0

1

5

5

23

0

2

5

4

24

0

3

4

3

25

0

4

3

5

1.1.2 Вычислить двенадцать первых составляющих ряда Фурье для данной последовательности прямоугольных импульсов и проследить, как их сумма сходится к указанному ряду.

1.2 Указания к выполнению

Функция u(t), описывающая периодическую последовательность прямоугольных импульсов длительностью τ, периодом Т и амплитудой u0 (рисунок 1.1), может быть задана в виде

(1.1)

Рисунок 1.1- Последовательность прямоугольных импульсов

 

Амплитуды гармоник спектра, включая постоянную составляющую, равную А0/2, определяются из выражения

                                         , k=0,1,2,…,                         (1.2)        

при                                                   .                                        (1.3)

Огибающая спектра амплитуд определяется видом функции

   (1.4)

 

Диаграмма спектра амплитуд для случая  показана на рисунке 1.2




 

 

 

 

 

Рисунок 1.2 - Спектр амплитуд последовательности прямоугольных

импульсов

Запишем выражение для спектра фаз

                                                (1.5)

 

где п - номер интервала частот  , отсчитываемого от ω = 0.

          На рисунке 1.3 приведена диаграмма спектра фаз для случая Т/τ=3; t1=0:

 

 

 


 

Рисунок 1.3 - Спектр фаз последовательности прямоугольных

импульсов

Исходный сигнал можно представить в виде ряда Фурье

                                            .                           (1.6)

 

Определим пять первых составляющих ряда Фурье (1.6) для периодической последовательности прямоугольных импульсов. Примем также t1=0. Воспользуемся результатами предыдущих вычислений. По формуле (1.3) определим постоянную составляющую Ао, а по формулам (1.2) и (1.5) - амплитуды и фазы первых пяти гармоник. Данные расчетов сведены в таблицу 2.1.

 

Т аб л и ц а 2.1

 

Составляющие

0

0

0

0


 

Суммируя указанные последовательности получим результаты, показанные на рисунке 1.4.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


           

 

 

 

 

 

   

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Рисунок 1.4 - Составляющие ряда Фурье и их результирующая


2 Расчетно-графическая работа №2. Расчет аналоговых фильтров

2.1 Задание

2.1.1 Рассчитать ФНЧ-прототип и преобразовать его к нужному типу
фильтра с заданными частотами среза. Данные к расчету выбираются из
таблицы 2.1 согласно варианту. Исходными данными для расчета являются:

-   частота дискретизации fд;

-   граничная частота полосы пропускания fГП;

-   граниная частота полосы задерживания fГЗ;

-   неравномерность рабочего затухания в полосе пропускания Δа;

-   гарантированное затухание в полосе задерживания а0.

2.1.2 Построить графики АЧХ и характеристики затухания фильтра.

Таблица 21.

Таблица

2.1

 

 

 

 

 

варианта

Тип

фильтра

fд, кГц

fГП,

кГц

fГЗ, кГц

Δа, дБ

а0, дБ

1

ФНЧ(В)

7

1

3

0,01

20

2

ФНЧ(Т)

8

2

4

0,04

25

3

ФНЧ(I)

9

2

5

0,1

30

4

ФНЧ(С)

10

3

5

0,3

35

5

ФВЧ(В)

7

5

3

1

40

6

ФВЧ(Т)

8

5

2

1,25

45

7

ФВЧ(I)

9

4

2

0,01

50

8

ФВЧ(С)

10

3

1

0,04

50

9

ФНЧ(В)

7

3

5

0,1

45

10

ФНЧ(Т)

8

2

5

0,3

40

11

ФНЧ(I)

9

2

4

1

35

12

ФНЧ(С)

10

1

3

1,25

30

13

ФВЧ(В)

10

3

1

0,01

25

14

ФВЧ(Т)

9

4

2

0,04

20

15

ФВЧ(I)

8

5

2

0,1

20

16

ФВЧ(С)

7

5

3

0,3

25

17

ФНЧ(В)

10

3

5

1

30

18

ФНЧ(Т)

9

2

5

1,25

35

19

ФНЧ(I)

8

2

4

0,01

40

20

ФНЧ(С)

7

1

3

0,04

45

21

ФВЧ(Т)

10

3

1

0,1

50

22

ФВЧ(Т)

9

4

2

0,3

45

23

ФВЧ(В)

8

5

2

01

40

24

ФВЧ(В)

7

5

3

1,25

35

25

ФВЧ(I)

8

2

1

0,01

40

Здесь    Тип В - фильтры Баттерворта;

Тип Т - фильтры Чебышева;

Тип С - фильтры Кауэра;

Тип I - Инверсные фильтры Чебышева.

2.2 Указания к выполнению

2.2.1 Одной из часто возникающих на практике задач является создание фильтров, пропускающих сигналы в определенной полосе частот и задерживающих остальные частоты.

В теории аналоговых фильтров разработан ряд методов аппроксимации прямоугольных АЧХ. Кроме того, рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в фильтр высоких частот (ФВЧ), полосовой, либо режекторный фильтр с заданными параметрами. Поэтому расчет аналогового фильтра начинается с расчета так называемого фильтра-прототипа, представляющего собой ФНЧ с частотой среза, равной 1 рад/с. Далее применяются функции преобразования частоты среза и преобразования типов фильтров.

Фильтр Баттерворта. Функция передачи фильтра-прототипа Баттерворта не имеет нулей, а ее полюсы равномерно расположены на s-плоскости в левой половине окружности единичного радиуса (см. рисунок 2.1).

 

 

 

 

 

Рисунок 2.1

 

Формула для АЧХ фильтра Баттерворта

                                                                                   (2.1)

где    - частота среза (для фильтра прототипа она равна 1 рад/с);

        n - порядок фильтра.

Фильтр Чебышева первого рода. Функция передачи фильтра Чебышева первого рода также не имеет нулей, а ее полюсы расположены в левой половине эллипса на s- плоскости (см. рисунок 2.2).


 

 

 


Рисунок 2.2

АЧХ фильтра Чебышева первого рода описывается следующим образом

,                                   (2.2)

где   - частота среза;

Tn(x)  - полином Чебышева n-го порядка;

 - параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания.

Фильтр Чебышева второго рода. Функция передачи фильтра Чебышева второго рода в отличие от предыдущих случаев, имеет и нули, и полюсы (см. рисунок 2.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.3

Функция передачи фильтра Чебышева второго рода связана с функцией передачи фильтра Чебышева первого рода следующим образом:

,                                           (2.3)

где H1(s) и H2(s) - функции передачи фильтров прототипов Чебышева первого и второго рода соответственно.

Полюсы функции передачи фильтров-прототипов Чебышева первого и второго рода (р1i и р2i соответственно) связаны друг с другом соотношением

                                                                   p2i=1/p1i                                                 (2.4)

     

По  этой  причине   фильтры  Чебышева  второго  рода  называют  еще инверсными фильтрами Чебышева.

АЧХ фильтра Чебышева второго рода описывается следующим образом

                                         ,                                       (2.5)

где    - частота среза, Тп(х) - полином Чебышева n-го порядка;

 n - порядок фильтра;

- параметр, определяющий величину пульсаций    АЧХ в полосе задерживания.

Эллиптический фильтр. Эллиптические фильтры в некотором смысле объединяют в себе свойства фильтров Чебышева первого и второго рода, поскольку АЧХ эллиптического фильтра имеет пульсации заданной величины как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. За счет этого удается обеспечить максимально возможную (при фиксированном порядке фильтра) крутизну ската АЧХ, то есть переходной зоны между полосами пропускания и задерживания.

Функция передачи эллиптического фильтра имеет как полюсы, так и нули (см. рисунок 2.4).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.4

АЧХ эллиптического фильтра описывается следующей формулой

.                                          (2.6)

где   - частота среза;

n - порядок фильтра;

       Rn(...)- рациональная функция Чебышева n - го порядка;

       и L- параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задерживания.


2.2.2 Преобразования фильтров-прототипов

Следующий этап после расчета фильтра-прототипа - его преобразование с целью получения фильтра заданного вида с требуемыми частотами среза. Изменение частоты среза ФНЧ-прототипа сводится к простому масштабированию частотной оси и выполняется путем следующей замены переменной s в выражении для функции передачи

                                                                                                                 (2.7)

 

где   - требуемая частота среза ФНЧ.

Преобразование ФНЧ-прототипа в ФВЧ требует инверсии частотной оси и выполняется путем следующей замены переменной s в выражении для функции передачи

                                                                                                                   (2.8)

где   - требуемая частота среза ФВЧ.

2.2.3 Синтез аналоговых фильтров с помощью System View

В разделе Analog выполняется синтез аналоговых фильтров пяти типов:

Bessel - Фильтры Бесселя;

Butterworth - Фильтры Баттерворта;

Chebyshev - Фильтры Чебышева;

Elliptic - Эллиптические фильтры;

Linear Phase - фильтры с линейной фазовой характеристикой.

Фильтры каждого типа могут быть ФНЧ (Lowpass), ФВЧ (Highpass), ПФ (Bandpass) или РФ (Bandstop). Нажатием кнопки Analog на поле FilterDesign открывается показанное на рисунке 2.5 диалоговое окно выбора типа аналогового фильтра.

               

Рисунок 2.5 - Выбор типа аналогового фильтра

 

После выбора в графе Filter Type типа аппроксимирующего полинома и типа фильтра в графе Filter Pass-Band вводят требования к характеристикам фильтра, состав которых зависит от его типа.

Например, для полосового фильтра Чебышева указывают порядок фильтра ВР Filter Qrder (не более 9), значения нижней и верхней граничных частот полосы пропускания по уровню - ЗдБ Low Cutoff, Hi Cutoff в герцах и выбирают значение неравномерности АЧХ в полосе пропускания Inband Ripple в децибелах.

При     этом     центральная     частота     фильтра     определяется  как

среднегеометрическое значение граничных частот, а форма АЧХ - заданным порядком фильтра: чем больше порядок, тем уже переходная полоса частот и выше ее коэффициент прямоугольности.

Значение затухания в полосе задерживания (Rejection) контролируется в эллиптических фильтрах, а отклонение фазы от линейной зависимости (Phase Ripple) - в фильтрах с линейной фазовой характеристикой. В результате синтеза рассчитываются коэффициенты полиномов дробно-рациональной передаточной функции H(z), используемой при моделировании фильтра (расчет производится для принятой в системе частоте дискретизации, однако частоту взятия выборок для моделирования данного фильтра можно изменить в строке Filter Input Sample Rate, но она не должна превышать частоту дискретизации в системе Sample Rate).

Коэффициенты полиномов дробно-рациональной передаточной функции H(s) в s области рассчитываются после нажатия на кнопку Convert То Laplace, показанное на рисунке 2.6


 



 

Рисунок 2.6 - Окно Laplace Design

 

Синтез производится после нажатия на кнопку Finish.

Выполним,  например,   синтез   низкочастотного   фильтра   Чебышева. Зададим частоту дискретизации в системе  1  МГц. В разделе Analog для


задания типа фильтра в диалоговом окне 2.3 нажимаем кнопки Chebyshev и Bandpass. Далее, выберем седьмой порядок фильтра, неравномерность в полосе пропускания 0,1 дБ, нижнюю и верхнюю граничные частоты 10 и 200 кГц. По завершении ввода данных нажимается кнопка Finish, и можно просмотреть результаты синтеза.

Так на рисунке 2.7 представлены частотные характеристики фильтра, выведенные выбором панели Bode Plot.




Рисунок 2.7- Частотные характеристики полосового фильтра Чебышева

Расчетно-графическая работа №3. Эффективное кодирование

3.1 Задание к выполнению работы

3.1.1   Произвести кодирование данных для длин блоков по Шеннону  и Хаффмену (таблица   вариантов). Определить для каждого случая средний размер одного разряда и среднюю длину кодового слова.

Средняя длина кодового слова Lср= Σ li*pi. Средний размер одного разряда   1 = Lср/n .

3.1.2 Построить кодовое дерево для каждого метода.

3.1.3    Провести   анализ   эффективности   способов   кодирования   для
заданного варианта. Варианты заданий указаны в таблице 3.1.

            Т а б л и ц а 3.1

 

№ варианта

Число разрядов в блоке

по Шеннону

по Хаффмену

1

2,3,4

2,3

2

3,4,5

2,4

3

2,4,5

2,5

4

2,3,4

3,4


           Продолжение таблицы 3.1

5

3,4,5

4,5

6

2,4,5

3,5

7

3,4,5

2,5

8

2,3,4

3,4

9

2,4,5

3,5

10

2,3,4

2,4

11

3,4,5

3,4

12

4,5,6

3,5

13

3,4,5

2,3

14

3,5,6

3,4

15

3,4,5

2,3

16

2,4,5

3,5

17

3,4,5

3,4

18

3,4,5

4,5

19

3,4,6

3,4

20

2,4,5

2,5

21

3,4,5

3,4

22

2,4,5

3,5

23

4,5,6

3,4

24

3,4,5

2,3

25

3,4,6

3,5

3.2 Указания к выполнению

3.2.1 Эффективное кодирование

Имеется источник (src), вырабатывающий последовательность нулей и единиц, которая несет некоторую информацию о каком-либо объекте, причем заранее известны вероятности появления единицы и нуля. В целях упрощения принимается, что отдельные нули и единицы в этой последовательности друг от друга не зависят (см. рисунок 3.1).


 Рисунок 3.1

Например, на выходе такого источника может быть последовательность: ...00 1010010 1...

Легко заметить, что здесь вероятность единицы р = 4/10 = 0,4, а вероятность нуля q = 1- р = 0,6.

Создаваемая последовательность передается по каналу связи и принимается приемником dst. Чтобы обеспечить максимальную скорость

передачи данных следует попытаться уменьшить длину передаваемой последовательности, сохранив при этом информацию, которую она несет. Одним из способов достижения этой цели является кодирование, основные принципы которого изучаются в работе.

Для уменьшения длины последовательности с сохранением передаваемой информации поступим следующим образом:

Разделим последовательность на блоки, в каждом из которых n разрядов (см. рисунок 3.2)

  

 

Рисунок 3.2

 

         Обозначим все возможные варианты блоков через . Теперь

можно считать, что последовательность состоит не из нулей и единиц, а из слов длиной в n разрядов (см. рисунок 3.3).

 

Рисунок 3.3

 

Теперь мы представляем передаваемую информацию в виде случайного набора слов. Каждому х соответствует строго определенная последовательность нулей и единиц длины п. Но слова в передаваемом сообщении распределены неравномерно: некоторые появляются часто, некоторые реже, а некоторые, вообще, почти никогда не передаются.

Обозначим слова через другой двоичный код так, чтобы часто встречающиеся слова были обозначены короткой последовательностью, а редко - более длинной. Тогда суммарная длина передаваемой последовательности сокращается, хотя ее придется декодировать при приеме.

Рассмотрим два таких способа: метод Шеннона-Фано и метод Хаффмена. Сначала изложим общие для этих методов действия.

Перечислим все возможные варианты слова {X} в порядке убывания вероятности появления, для большего удобства представим это в виде таблицы (см. рисунок 3.4).

Рисунок 3.4

 

Примечание: вероятность блока легко определить по теореме умножения

вероятностей, например, для последовательности '0100 1’ вероятность будет равна р =

 qpqqp, где р - вероятность единицы, q = 1-р - вероятность нуля.

 

Дальнейшие действия зависят от выбранного метода.

 

3.2.2      Алгоритм кодирования по методу Шеннона-Фано

Разделим таблицу на две части так, чтобы сумма вероятностей в верхней и нижней части были примерно одинаковы. Затем разделим по такому же принципу сначала верхнюю часть, затем нижнюю. Затем каждый новый блок снова делим на две части по равенству вероятностей. Когда делить будет нечего, поставим в каждой верхней части  единицу, а в нижней  - нуль (см. рисунок 3.5).

 

 

Рисунок 3.5

Если теперь читать таблицу слева-направо можно получить коды для всех X, Например, для X0 кодом будет 11, для X1 - 10, X2 - 011, ... , X7 - 0000. Полученные таким образом коды удовлетворяют основному условию - где вероятность больше (X0) - код короче, где меньше (X7) - длиннее.

 

3.2.3 Алгоритм кодирования по методу Хаффмена

Вернемся снова к исходной таблице. Объединим два последних элемента (Х6 и Х7) в один новый, который поставим на место предпоследнего элемента (Х6), а последний (Х7) вообще удалим. В результате получим новую последовательность {X}, похожую на исходную, но на один элемент меньше. Упорядочим полученные элементы в порядке убывания вероятности и снова объединим два последних, заменив их на один. Снова сортируем и объединяем до тех пор, пока не объединим все элементы (см. рисунок 3.6).

 

 

Рисунок 3.6

Теперь будем читать полученное дерево от последней точки к ХО, затем к XI, Х2 и т.д. Причём, если идем по развилке вверх, то добавляем к коду 1, если по нижней - то 0. Если развилки нет, код не меняем. Например, для ХО получим код 11, для XI - 00, ... , для Х7 -0010. Совет: удобно идти не от корня дерева к Хn, а наоборот, от Хn к корню, но затем нужно перевернуть строку кода.

 

3.3 Работа с программой в режиме эффективного кодирования

3.3.1 Для ввода данных используйте диалоговую панель "Данные" (см. рисунок 3.7)

Рисунок 3.7

3.3.2 Другим вариантом является выбор из меню "Кодирование" пункта "Данные" (см. рисунок 3.8):

            

Рисунок 3.8

При этом на экране возникнет диалоговое окно, в котором можно будет ввести те же самые данные (см. рисунок 3.9).

Рисунок 3.9

После нажатия на кнопку "ОК" программа выполнит расчеты. Для этого перейдите к вкладке "Таблица" (рисунок 3.10)

 

Рисунок 3.10

Здесь в табличной форме представлены результаты кодирования, т.е. каждому блоку сопоставлен его однозначный код и указаны все необходимые параметры.


Список литературы

1.  Лазарев Ю.Ф. MatLAB 5.x. - К.: Издательская группа BHV, 2000
(Серия «Библиотека студента»).

2.       Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002.

3.       Гультяев А.К. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде
Windows: Практическое пособие. - СПб.: КОРОНА принт, 1999.

4.   Потемкин   В.Г.   Система   MatLAB:   Справочное   пособие.   -   М.:
ДИАЛОГ-МИФИ, 1997.

5.      Медведев B.C., Потемкин В.Г. Control System Toolbox. MatLAB 5 для
студентов. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999.

6.      Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и
связь, 1994.

Содержание

1   Расчетно-графическая работа №1. Расчет спектральных характеристик
периодических сигналов                                                                                 
3

2   Расчетно-графическая работа №2. Расчет аналоговых фильтров                 7

3   Расчетно-графическая работа №3. Эффективное кодирование                   13
Список литературы                                                                                          19