Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра инженерной кибернетики

 

 

 

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Конспект лекций

для студентов всех форм обучения 050702 - специальности «Автоматика и управление»

                                                                        

 

Алматы 2009

СОСТАВИТЕЛЬ: Ибраева Л.К. Моделирование и идентификация объектов управления. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальности 050702 - «Автоматика и управление». – Алматы: АИЭС, 2009. –  84 с. 

Конспект лекций составлен в соответствии с типовой программой по дисциплине «Моделирование и идентификация объектов управления» для студентов специальности «Автоматизация и управление» и содержит 20 лекций. Конспект предназначается в помощь студентам при изучении теоретического материала и для подготовки к экзаменам, лабораторным занятиям, выполнении курсовой и самостоятельных работа по дисциплине.

 

Содержание

 

 

Cтр

Введение

5

1 Лекция 1. Понятие моделирования. Цели моделирования        

6

2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании.   

   Виды математических моделей

       2.1 Основные термины в математическом моделировании

       2.2. Основные виды математических моделей

 

10

10

11

3 Лекция 3. Этапы процесса моделирования. Общие принципы построения моделей

       3.1 Этапы процесса моделирования

       3.2 Общие принципы построения моделей

 14

14

15

4 Лекция 4. Аналитические методы определения характеристик объектов

       4.1 Основные уравнения динамики

       4.2 Упрощение уравнений динамики

       4.3 Линеаризация уравнений

 18

18

20

21

5 Лекция 5. Аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами

 22

6 Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами

 26

7 Лекция 7. Объекты с сосредоточенными параметрами. Динамика теплообменных процессов

 29

8 Лекция 8. Аналитические методы определения характеристик тепловых объектов

 33

9 Лекция 9. Моделирование объектов с распределенными параметрами

 37

10 Лекция 10.Общие сведения о проблеме идентификации

       10.1 Основные понятия

       10.2 Классификация методов идентификации

41

41

42

11 Лекция 11. Постановка задачи идентификации

       11.1 Объект идентификации

       11.2 Постановка задачи идентификации

45

45

46

12 Лекция 12.Идентификация линейных динамических  объектов. Прямые методы

       12.1 Прямые методы определения динамических характеристик

       12.2 Идентификация с помощью переходной функции

 49

49

50

13 Лекция 13. Идентификация линейных динамических  объектов. Прямые методы

       13.1 Графическая идентификация с помощью переходной функции процессов второго порядка

       13.2 Графическая идентификация с помощью импульсной переходной функции

       13.3 Идентификация с помощью частотной характеристики

 53

 53 

54

54

14 Лекция 14. Параметрическая идентификация линейных объектов

       14.1 Статические детерминированные линейные модели

       14.2 Динамические детерминированные модели

57

57

29

15 Лекция 15. Непараметрическая идентификация линейных динамических  объектов. Корреляционные функции

       15.1 Общий подход к определению непараметрической модели

       15.2 Определение корреляционных функций сигналов

 61

61

62

16 Лекция 16. Непараметрическая идентификация линейных динамических  объектов. Уравнение Винера-Хопфа

       16.1 Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции

       16.2  Алгебраический метод решения уравнения Винера-Хопфа

 65

 35

66

17 Лекция 17. Методы идентификации, основанные на аппроксимации характеристик объектов и сигналов

       17.1 Краткие сведения об аппроксимации функций

       17.2 Сглаживание дискретных значений импульсной переходной функции

       17.3 Метод идентификации, основанный на предварительной аппроксимации импульсной переходной функции

 

68

68

 69

 71

18 Лекция 18. Методы идентификации, основанные на аппроксимации характеристик объектов и сигналов

       18.1 Метод идентификации, основанный на совместной аппроксимации импульсной переходной и корреляционных функций

       18.2 Метод идентификации, основанный на аппроксимации сигналов

 72

 

72

 73

19 Лекция 19. Идентификация нелинейных объектов

       19.1 Особенности идентификации нелинейных динамических объектов

       19.2 Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов

       19.3 Идентификация нелинейных функций априорно известного вида

       19.4 Идентификация объекта с нелинейностями общего вида

            19.4.1 Функциональные модели

            19.4.2 Модели, линейные относительно оцениваемых параметров.

76

 76

 76

 77

78

79

 79

20 Лекция 20. Алгоритмы предварительной обработки и оценки идентичности

20.1 Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта

       20.2 Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту

 80

80

 81

Список литературы

84

Введение

  Инженерная деятельность связана, прежде всего, с проектированием технических объектов. Проектирование - процесс получения описания, по которому будет изготавливаться изделие.  В качестве проектируемых объектов в различных областях техники могут фигурировать изделия или процессы. Прогресс науки и техники неизбежно приводит к появлению все более сложных технических объектов состоящих из большого количества взаимодействующих элементов. При проектировании, разработке и создании сложных объектов (к которым относятся и объекты управления) требуются знания о количественных и качественных закономерностях, свойственных рассматриваемым объектам. Осуществить практическую проверку тех или иных закономерностей, присущих сложным объектам, не представляется часто возможным по ряду соображений. Кроме того, это потребовало бы больших материальных затрат и затрат времени. В связи с этим приобретает большое значение изучение свойств и закономерностей рассматриваемых сложных объектов на базе методов моделирования.

Наш опыт об окружающем нас мире основан на восприятии. Эта информация, однако, не используется напрямую. Обычно она переводится во множество простых свойств, которые мы используем для изучения и описания объекта. Свойства могут быть с качественной позиции хорошими, плохими, тяжелыми и т.д., но для целей моделирования мы часто используем только количественные свойства, которые можно измерить. Изучение возможно в том случае, когда изучаемые величины проще тех, которые действительно присутствуют на объекте. Не все свойства рассматриваются в одно и то же время. Обычно мы интересуемся некоторым подмножеством из множества свойств. В качестве примера можно привести ксерокопию документа. Множество из его свойств изменяется при копировании: бумага, да и формат могут быть другими. Несмотря на это мы удовлетворяемся копией, так как важная информация – содержание документа получена. Модель намеренно упрощается, чтобы рассмотреть только необходимое минимальное множество свойств. 

Следует ясно понимать, что исчерпывающе полной модель быть не может. Она всегда ограничена и должна соответствовать целям моделирования, отражая ровно столько свойств исходного объекта и в такой полноте, сколько необходимо для конкретного исследования. На этапе исследования модели выполняется воспроизведение поведения моделируемой системы на интервале модельного времени при фиксированных значениях параметров модели, то есть «прогон», «выполнение» («execution») модели. В большинстве случаев однократного прогона модели оказывается недостаточно для достижения искомого результата. Успех исследования во многом зависит от возможности автоматизировать вычислительный эксперимент. Современные пакеты моделирования организуют его, опираясь на концепцию виртуального стенда.

 

1 Лекция 1. Понятие моделирования. Цели моделирования

 

Содержание лекции:

-         понятие моделирования; виды моделей; цели моделирования. 

Цель лекции:

- изучить основные понятия моделирования и виды моделирования.  

В научном исследовании большую роль играют гипотезы – определенные предсказания, основанные на небольшом количестве опытных данных, наблюдений. При формулировании и проверке правильности гипотез большое значение в качестве метода суждения имеет аналогия – суждение о каком-либо частном сходстве двух объектов. Гипотезы создаются обычно по аналогии с проверяемыми на практике научными положениями. Таким образом, аналогия связывает гипотезу с экспериментом. Гипотезы и аналогии, отражающие реальный мир, должны обладать наглядностью и сводиться к удобным для исследования логическим схемам. Такие логические схемы, упрощающие рассуждения и логические построения или позволяющие проводить эксперименты, уточняющие природу явлений, называют моделями. То есть модель – это объект-заместитель объекта-оригинала. Процесс построения объекта-модели называют моделированием. Моделирование позволяет изучать свойства объекта-оригинала с помощью объекта-заместителя.

Моделирование – один из наиболее распространенных способов изучения различных процессов и явлений. Сложность этих процессов проявляется в значительном числе и многообразии параметров, определяющих течение процессов, многочисленных внутренних связях между параметрами, их взаимном влиянии. Мы вынуждены уменьшать эту информацию и ограничить число возможностей, между которыми делается выбор. Это достигается изучением процессов с помощью модели - упрощенной системы, которая отражает отдельные, ограниченные в нужном направлении, характеристики изучаемого процесса. Суть моделирования заключается в переходе от непосредственного изучения исходного явления, процесса или технической системы к другому явлению, процессу или технической системе, именуемой моделью. Основная цель такого перехода – облегчить исследование, сделать доступным определение интересующих нас величин, искусственно воспроизвести исследуемые явления.

Итак, моделью объекта будем называть любой другой объект, отдельные свойства которого полностью или частично совпадают со свойствами исходного.

Модель создается ради исследований, которые на реальном объекте проводить либо невозможно, либо дорого или просто неудобно. Можно выделить несколько целей, ради которых создаются модели и ряд основных типов исследования:

- модель как средство осмысления помогает выявить взаимозависимости переменных, характер их изменения во времени, найти существующие закономерности. При составлении модели становится более понятной структура исследуемого объекта, вскрываются важные причинно-следственные связи. В процессе моделирования постепенно происходит разделение свойств исходного объекта на существенные и второстепенные с точки зрения сформулированных требований к модели. Мы пытаемся найти в исходном объекте только те черты, которые имеют непосредственное отношение к интересующей нас стороне его функционирования. В определенном смысле вся научная деятельность сводится к построению и исследованию моделей природных явлений;

- модель как средство прогнозирования позволяет научиться предсказывать поведение объекта и управлять им, испытывая различные варианты управления модели. Экспериментировать с реальным объектом часто неудобно, а иногда и просто опасно или невозможно в силу ряда причин: большой продолжительности эксперимента, риска повредить или уничтожить объект, отсутствия реального объект (в случае, когда он еще проектируется);

- построенные модели могут использоваться для нахождения оптимальных соотношений параметров, исследования особых (критических) режимов;

- модель также может в некоторых случаях заменять исходный объект при обучении, например, использоваться в качестве тренажера при подготовке персонала к последующей работе в реальной обстановке, или выступать в качестве исследуемого объекта в виртуальной лаборатории. Модели, реализованные в виде исполняемых модулей, применяются и как имитаторы объектов управления при стендовых испытаниях систем управления, и, на ранних стадиях проектирования, заменяют сами будущие аппаратно- реализуемые системы управления.

Модели можно условно разделить на две группы: материальные и идеальные, и соответственно, различать предметное и абстрактное моделирование. Основными разновидностями предметного моделирования являются физическое и аналоговое моделирование.

Физическим принято называть такое моделирование (макетирование), при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенная или уменьшенная копия. Эта копия создается на основе теории подобия по критериям подобия, выведенным из общих законов, характеризующих исследуемое явление, что и позволяет утверждать, что в модели сохранились требуемые свойства. В физических моделях помимо геометрических пропорций могут быть сохранены и другие свойства исходного объекта, необходимые для конкретного исследования (например, материал или цветовая гамма объекта). Например, при проектировании самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами. При выборе физической модели необходимо исходить прежде всего из того, что работа с моделью должна быть простой, менее трудоемкой и безопасной, допускала использование более мощных методов анализа, чем работа с самой системой.

Для сравнительно простых систем (например, гидравлических или тепловых с однофазным потоком) принцип подобия и физическое моделирование оправдывают себя, так как приходится иметь дело с ограниченным числом критериев. Основной недостаток физического моделирования – необходимость построения для каждого варианта объекта своей модели, что зачастую требует больших затрат материальных ресурсов и труда. Поэтому физическое моделирование имеет ограниченную сферу применения и  основным методом исследования сложных систем является математическое моделирование.

Аналоговое моделирование основано на замене исходного объекта объектом другой физической природы, обладающим аналогичным поведением. Например, колебания и резонанс можно изучать и с помощью механических систем, и с помощью электрических цепей. При аналоговом моделировании важно увидеть в объекте-заменителе нужные черты, и правильно их интерпретировать.

И физическое, и аналоговое моделирование в качестве основного способа исследования предполагают проведение натурного эксперимента с моделью, но этот эксперимент оказывается в каком-то смысле более привлекательным, чем эксперимент с исходным объектом. В свое время очень широко использовались аналоговые вычислительные машины. Моделирование с их помощью основано на том, что электрические явления сходны с очень многими явлениями другой физической природы. Например, колебания тока в электрической цепи аналогичны угловым колебаниям ракеты, а экспериментировать с электрической цепью дешевле и безопаснее, чем с летящей ракетой. Электрические колебания, воспроизводимые на аналоговых машинах, можно было наблюдать с помощью специальных приборов – осциллографов и тем самым «видеть» поведение модели.

Идеальные модели – это абстрактные образы реальных или воображаемых объектов. Различают два типа идеального моделирования: интуитивное и знаковое.

Об интуитивном моделировании говорят, когда не могут даже описать используемую модель, хотя она и существует, но берутся с ее помощью предсказывать или объяснять окружающий нас мир. В этом смысле, например, жизненный опыт каждого человека может считаться его интуитивной моделью окружающего мира. Как справляется мозг с задачей принятия решений в различных ситуациях, мы просто пока не знаем.

Знаковым называется моделирование, использующее в качестве моделей знаки или символы: схемы, графики, чертежи, тексты на различных языках, включая формальные, математические формулы и теории. Обязательным участником знакового моделирования является интерпретатор знаковой модели (чаще всего человек). Чертежи, тексты и формулы сами по себе не имеют никакого смысла без того, кто понимает их и использует в своей повседневной деятельности.

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование. Абстрагируясь от физической природы объектов, математика изучает идеальные объекты. Математическое моделирование основано на ограниченности числа фундаментальных законов природы и принципе подобия, означающем, что явления различной физической природы могут описываться одинаковыми математическими зависимостями. Например, с помощью теории дифференциальных уравнений можно изучать уже упомянутые электрические и механические колебания в наиболее общем виде, а затем полученные знания применять для исследования объектов конкретной физической природы.

Математическое моделирование – формализованное описание системы с помощью математических соотношений или алгоритмов. Любое математическое выражение, в котором фигурируют физические величины, можно рассматривать как математическую модель процесса. В отличие от физического моделирования математическая модель позволяет изучать только те параметры оригинала, которые имеют математическое описание и связаны математическими соотношениями в уравнениях, относящихся как к математической модели, так и к оригиналу. При этом физика исследуемого процесса не сохраняется, моделирование здесь основано на способности одних и тех же уравнений описывать различные по своей природе явления и выявлять различные функциональные связи отдельных сторон поведения объекта без полного описания его поведения. Следовательно, математическая модель реального объекта есть некоторый математический объект, поставленный в соответствие данному физическому объекту. Естественно, должны быть известны соотношения, которые выражаются в виде математических зависимостей реальной физической связи. В дальнейшем мы будем говорить только о математическом моделировании.

Важнейшая разновидность математического моделирования – компьютерное моделирование. Компьютерная модель – это программная реализация математической модели, дополненная различными служебными программами (например, рисующими и изменяющими графические образы во времени). Компьютерная модель проявляет свойства физической модели, когда она интерпретируется  физическим устройством, компьютером. Компьютерная модель как физическое устройство может входить в состав испытательных стендов, тренажеров и виртуальных лабораторий. Этот специальный вид моделей, сочетающих в себе и абстрактные, и физические черты, обладает уникальным набором полезных свойств. Главным из них является простота создания и модификации модели. Следует учесть высокую точность получаемых результатов, неограниченную функциональную сложность моделей. Поэтому в настоящее время под моделированием почти всегда понимают компьютерное моделирование.

 

  2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей

 

Содержание лекции:

-                     основные понятия математического моделирования; виды математических моделей.

 

Цель лекции:

- изучить основные понятия математического моделирования и виды математических моделей.

 

2.1 Основные термины в математическом моделировании

Каждая математическая модель представляет собой упорядоченную комбинацию таких составляющих как компоненты, переменные, параметры, функциональные зависимости.

Под компонентами модели понимают составные части, которые при соответствующем объединении образуют систему. Компоненты могут быть либо неделимые структурные образования ("элементы" модели), либо составные части, являющиеся "подсистемами".

Обычно входы и выходы системы называют переменными, остальные величины – параметрами. Эти допущения приняты условно. Без каких-либо дополнительных соглашений ответить невозможно, где переменные, а где параметры. В качестве такого соглашения может быть принят, например, класс функций. Деление переменных на входные и выходные тоже не является абсолютным. Это справедливо по отношению к определенной системе. Надо исходить из конкретной характеристики всей изучаемой системы. Входы системы (экзогенные переменные) порождаются вне изучаемой системы и являются результатом действия внешних причин. Выходы (эндогенные переменные) возникают в системе в результате действия на нее экзогенных переменных.

Главные составляющие модели – функциональные зависимости, которые описывают поведение переменных и параметров системы или компонента. Обычно они устанавливают внутренние отношения между экзогенными (х) и эндогенными (у) переменными либо между переменными и зависимыми от них параметрами (р):

а) y = φ(p,x),                  

б) р = ψ(x,y). 

Функции φ часто называют операторными (или просто операторами), а функции ψ – параметрическими. Закон функционирования системы, может быть задан аналитически, графически, таблично и т.д.

          Последняя составляющая моделей – ограничения. В простейшем случае к ограничениям относят область изменения вектора аргументов модели  xÎDx. Параметры модели тоже могут задаваться на некотором разрешенном множестве  pÎDp.

Чаще всего считается, что моделируемая система не оказывает действия на окружающую среду. Вопрос о допустимости пренебрежения внешней средой должен быть обоснован.

 

2.2. Основные виды математических моделей

          Создание некоторой универсальной модели, отвечающей различным аспектам ее применения, практически невозможно. Для получения информации, отражающей те или иные свойства управляемого объекта, необходима классификация моделей. В основе классификации лежат особенности оператора φ. Все многообразие объектов управления, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на следующие классы: статические или динамические; линейные или нелинейные; непрерывные или дискретные во времени; стационарные или нестационарные; процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические моделии являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы. Полное наименование модели может включать в себя совокупность перечисленных признаков. Эти признаки послужили основой названия соответствующих типов моделей.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:

Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных  воздействий.

Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в  этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и   оцениваются средние характеристики.

Стационарные и нестационарные модели. Модель называется   стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во   времени, то есть, когда справедливо

φ[p(t),x]= φ[p(t+τ),x], т.е.  y= φ(p,x).                            

Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является

  параметрически нестационарной

y= φ[p(t),x].                                                                             

          Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент

y= φ(p,t,x).                 

Статические и динамические модели. В основе такого разделения типов моделей лежат особенности движения  исследуемого объекта как материальной системы.

Говоря о моделях с позиций задач управления, надо отметить, что под пространством здесь понимается не геометрическое пространство, а пространство состояний – координат состояний выходных переменных у. Элементами вектора y являются обычно контролируемые технологические параметры (расход, давление, температура, влажность, вязкость и т.д.). Состав элементов вектора y для самого объекта может быть шире, чем для модели этого объекта, так как при моделировании требуется изучение только части свойств реальной системы. Движение объекта управления в пространстве состояний и во времени оценивается с помощью векторного процесса y(t).

Модель системы называется статической, если состояние системы не изменяется, то есть система находится в равновесии, но движение связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии. Математическое описание в статических моделях не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференциальных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. Статические модели обычно являются нелинейными. Они точно отражают состояние равновесия, вызванное переходом объекта от одного режима к другому.

  Динамическая модель отражает изменение состояния объекта во времени. Математическое описание таких моделей обязательно включает производную во времени. Динамические модели используют дифференциальные уравнения. Точные решения этих уравнений известны только для некоторого класса дифференциальных уравнений. Чаще приходится прибегать к использованию численных методов, являющихся приближенными.

Для целей управления динамическую модель представляют в виде передаточной функции, связывающей входные и выходные переменные.

Линейные и нелинейные модели. Математически функция L(x) – линейна, если 

L1x12x2)=λ1L(x1)+λ2L(x2).

  Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора модели есть нелинейные операции, то модель является нелинейной, в противном случае модель – линейна.

Модели с сосредоточенными и распределенными параметрами. Следует отметить, что с учетом введенной терминологии было бы корректнее в названии модели вместо слова «параметры» употреблять понятие «координата состояния». Однако это сложившееся название, которое часто встречается во всех работах по моделированию технологических процессов.

Если основные переменные процесса изменяются как во времени, так и в пространстве (или только в пространстве), то модели, описывающие такие процессы, называются моделями с распределенными параметрами. В этом случае вводится геометрическое пространство  z=(z1,z2,z3)  и уравнения имеют вид:

y(z)=φ[p(z),z,x)], p(z)=ψ[y(z),z,x].

Их математическое описание включает обычно дифференциальные уравнения в частных производных, либо обыкновенные дифференциальные уравнения в случае стационарных процессов с одной пространственной координатой.

Если можно пренебречь пространственной неравномерность значений координат состояний объекта, т.е. градиент , то соответствующая модель – модель с сосредоточенными параметрами. Для них масса и энергия как бы сосредоточены в одной точке.

Трехмерность пространства не всегда обязательна. Например, модель  змеевика с нагреваемым рабочим телом и с тонкостенной оболочкой обычно исходит из одномерности объекта – учитывается только длина змеевика. В то же время процесс передачи тепла в ограниченный объем рабочего тела через толстую стенку может быть описан одномерной моделью, учитывающей только толщину оболочки и т.п.  Для конкретных объектов форма соответствующих уравнений требует обоснований.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):

y(t)=φ[p(t),x(t)], p(t)=ψ[y(t),x(t)].

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени. Если введем квантование по времени с шагом ∆t, то рассматривается дискретная шкала , где  i=0,1,2…- приобретает смысл относительного времени. И дискретная модель:

y(i)=φ[p(i),x(i),∆t]; p(i)=ψ[x(i),y(i),∆t].

 При правильном выборе шага  t можно ожидать от дискретной модели результата с наперед заданной точностью. При изменении ∆t должны быть пересчитаны и коэффициенты разностного уравнения.

          Дискретно-непрерывные модели используются для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

Требования, предъявляемые к математическим моделям: точность – свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с их истинными значениями; экономичность затрат машинного времени; универсальность – применимость к анализу группы однотипных объектов.

         3 Лекция 3. Этапы процесса моделирования. Общие принципы построения моделей

 

Содержание лекции:

 - основные этапы процесса моделирования; общие принципы построения моделей.

 

Цель лекции:

- изучить этапы процесса моделирования и общие принципы построения моделей.

 

3.1 Этапы процесса моделирования

В общем случае процесс моделирования состоит из нескольких этапов:

1.       Описание объекта моделирования. Для этого изучается структура явлений, составляющих реальный процесс. В результате этого изучения появляется содержательное описание процесса, в котором требуется по возможности четко представить все необходимые закономерности. Из этого описания следует постановка прикладной задачи. Постановка задачи определяет цели моделирования, перечень искомых величин, требуемую точность. Причем постановка может и не иметь строгой математической формулировки.

Содержательное описание служит основой для построения формализованной схемы – промежуточного звена между содержательным описанием и математической моделью. Она разрабатывается не всегда, а когда из-за сложности исследуемого процесса непосредственный переход от содержательного описания к математической модели оказывается невозможным. Форма представления материала может быть тоже словесной, но здесь должна быть точная математическая формулировка задачи исследования, характеристик процесса, системы параметров, зависимостей между характеристиками и параметрами.

2.       Выбор модели, хорошо фиксирующей существенные свойства оригинала и легко поддающейся исследованию. Преобразование формализованной схемы в математическую модель осуществляется математическими методами без притока дополнительной информации. На этом этапе все соотношения записываются в аналитической форме, логические условия – в виде неравенств, аналитическая форма придается по возможности всем сведениям. При построении математического описания используются уравнения различных видов: алгебраические (стационарные режимы), обыкновенные дифференциальные уравнения (нестационарные объекты), дифференциальные уравнения в частных производных используются для математического описания динамики объектов с распределенными параметрами. Если процесс имеет как детерминированные, так и стохастические свойства – используются интегро-дифференциальные уравнения).

3.   Исследование модели. При этом все действия производятся над моделью и направлены непосредственно на получение знаний об этом объекте, на установление законов его развития. Важным преимуществом исследования модели является наличие возможности повторять многие явления для различных исходных условий и с различным характером их изменения во времени.

4.   Интерпретация результатов. На этом этапе рассматривается вопрос о переносе значений, полученных на математической модели, на реальный объект изучения. Исследователя интересуют свойства объекта, который замещается моделью. Возможность такого перевода знаний существует  благодаря наличию определенного соответствия элементов и отношений модели элементам и отношениям оригинала. Эти связи устанавливаются в процессе моделирования. При использовании математической модели следует иметь в виду вопрос о точности результатов – степени адекватности описания объекта.

          Успешность применения математического моделирования зависит от того, насколько удачно была построена модель, адекватности, степени изученности модели, удобство оперирования с ней. Применение компьютеров в математическом моделировании дает возможность исследования в любых условиях варьирования параметров и показателей внешних факторов для получения любых условий, в том числе и не реализуемых в натурных экспериментах. Отсюда следует возможность получения ответов на многие вопросы, возникающие на стадии разработки и проектирования объектов без применения других, более сложных методов.

 

3.2 Общие принципы построения моделей

Жизненный цикл систем управления включает в себя несколько основных периодов, таких как проектирование, эксплуатация, модернизация. Отличительной особенностью процесса проектирования систем управления является его совмещение во времени с разработкой и изготовлением технологических агрегатов. А это означает, что единственной возможностью получения информации о свойствах еще не созданной технической системы является аналитическое описание процессов, характерных для элементов такой системы. Привлечение теоретических положений физики (иногда и химии) в приложении к конкретным особенностям изучаемого объекта является основой таких аналитических методов. Это дает основания приписывать аналитическим моделям свойство априорности. Важно подчеркнуть, что применительно к задачам проектирования систем управления математические модели должны удовлетворять основному их назначению – обеспечивать информацией процесс принятия решения о структуре системы управления. Вопрос об оптимизации параметров элементов этих систем возникает только на заключительной стадии проектирования – это внедрение. И по своим отличительным особенностям (с позиций моделирования) внедрение можно рассматривать как начало эксплуатации. При проектировании технологических агрегатов требования к моделям связаны с необходимостью принятия решения не только о структуре объекта, но и по параметрам его элементов (например, выбор длины труб, их относительного шага и т.п.).

Процесс эксплуатации системы управления накладывает свои условия на математические модели объектов, которые по своему назначению необходимы для получения текущей (оперативной) информации:

- о неконтролируемых с помощью измерительных приборов координатах технологических процессов;

- о свойствах некоторых участков технологических процессов, изменяющихся во времени под действием  различных режимных факторов.

Оба выделенных класса моделей должны обеспечить прогноз их отклика с необходимой для эксплуатации агрегатов точностью.

Таким образом, существует два принципиально различных подхода к построению математических моделей.

Первый подход основан на выборе моделей с учетом основных физико-химических закономерностей, определяющих течение исследуемого процесса. Такие модели называются аналитическими моделями процесса. То есть при выводе уравнений используются фундаментальные законы сохранения вещества и энергии, уравнения выводятся на основе теоретического анализа физических и химических процессов, происходящих в объекте. Здесь не требуется проведения экспериментов, поэтому эти методы пригодны на стадии проектирования объектов, процессы в которых хорошо изучены – для определения статических и динамических характеристик. При достаточно полном описании объекта решение полученной системы получить сложно.

Второй базируется на концепции "черного ящика", то есть постулируется, что внутренняя структура объекта неизвестна, да и не должна интересовать исследователя. Вся информация получается только в результате наблюдений за объектом при пассивном и активном эксперименте, то есть считается достаточным описание свойств процесса через отношения "вход-выход". Допустимые классы моделей в этом случае обычно выбираются в виде линейных относительно идентифицируемых параметров рядов по какой-либо удобной системе функций. Полученные таким образом модели называются эмпирическими (экспериментальными). Достоинством экспериментальных методов является простота получаемого математического описания при достаточно точном описании свойств объекта в узком диапазоне изменения параметров. Основной недостаток – невозможность установления функциональной связи между входящими в уравнения параметрами и характеристиками объекта. Кроме того, эти модели нельзя распространить на другие однотипные объекты.

Между аналитическими и эмпирическими методами существуют принципиальные различия как по их информативности, так и по области применения. Аналитические методы могут дать ответ на два вопроса: как ведет себя объект и почему именно так. Модели второго типа – только на вопрос "как?". Эмпирические методы приспособлены только для автоматизации и оптимизации конкретных действующих установок.

Общность аналитических методов по сравнению с эмпирическими и фундаментальность результатов, полученных с их помощью, не даются даром. Они гораздо сложнее, причем существенные трудности возникают уже на этапе построения аналитических моделей. Если для описания объекта в виде "черного ящика" достаточно знаний из области статистики и теории автоматического управления, то для создания аналитических моделей требуется привлечение более разнообразного математического аппарата и знаний из различных областей физики, химии, гидродинамики и т.д. В то же время все эти трудности полностью окупаются той огромной информационной емкостью, которой обладают аналитические модели.

          Одна из разновидностей эмпирических моделей – имитационные модели. При моделировании процессов не обязательно преобразовывать математическую модель в специальную систему уравнений относительно искомых величин. Имитационное моделирование – воспроизведение явлений, описываемых математической моделью, с сохранением их логической структуры, последовательности чередования во времени, выполняемое при помощи специальных моделирующих установок или средств вычислительной техники. В противоположность аналитическому методу содержание операций, выполняемых при имитационном моделировании, слабо зависит от того, какие величины выбраны в качестве искомых. Для оценки искомых величин может быть использована любая подходящая информация, циркулирующая в модели, если только она доступна регистрации и последующей обработке. В случае аппаратурного моделирования для исследования процесса используются специальные моделирующие установки, принцип работы которых опирается на аналогии между механическими, электрическими, гидравлическими, тепловыми и другими явлениями. Моделирование на компьютере является специальным видом аппаратурного моделирования. Для моделирования процесса на компьютере необходимо преобразовать его математическую модель в специальный моделирующий алгоритм. В соответствии с этим алгоритмом в машине вырабатывается информация, описывающая элементарные явления исследуемого процесса с учетом их связей и взаимного влияния. Определенная часть этой информации используется для определения тех характеристик процесса, которые требуется получить в результате моделирования. Название «имитационная модель» не означает наличия физического сходства между процессом-оригиналом и процессом в компьютере. Они близки с точки зрения состава и характера информации, описывающей поведение реальной системы и информации, обрабатываемой компьютером по ходу моделирования.

   

 4 Лекция 4. Аналитические методы определения характеристик объектов

 

Содержание лекции:

-  использование основных уравнений динамики процессов для построения математических моделей.

 

Цель лекции:

- изучить основные уравнения динамики, приемы упрощения сложных уравнений; применение процедуры линеаризации моделей. 

 

4.1 Основные уравнения динамики

Аналитические модели являются познавательными моделями. Существенной особенностью этих моделей является отражение механизма явления в структуре оператора модели, то есть всех причинно-следственных связей, имеющихся у объекта.

Построение любой математической модели начинают с физического описания объекта моделирования. При этом выделяют "элементарные" процессы, протекающие в объекте моделирования, которые подлежат отражению в модели, и формулируют основные допущения, принимаемые при их описании. "Элементарные" здесь не означает "простейший", а лишь то, что эти процессы являются составляющими более сложных процессов. Обычно под  "элементарным" понимается процесс, относящийся к определенному классу явлений, например, массообмен, теплопередача и т.д. Обычно принимаются во внимание следующие "элементарные" процессы: движение потоков фаз, массообмен между фазами, теплопередача, изменение агрегатного состояния, химические превращения.

 Перечень учитываемых элементарных процессов определяет совокупность явлений, описывающих объект, которые включают в математическую модель.

 Основная технология теплоэнергетической промышленности базируется на физических процессах, элементарными составляющими которых являются:

-  механические процессы – механическая обработка твердых материалов;

-  гидродинамические процессы (транспорт жидкости и газа);

-  тепловые процессы (нагрев и охлаждение);

-  массообменные процессы (испарение и конденсация).

Закономерности протекания всех этих процессов тесно связаны с условиями движения среды, в которой они происходят, и которые определяются законами гидро-, газодинамики. Кроме того, они базируются (кроме первого) на элементарных процессах переноса вещества и энергии между отдельными частями системы. Закономерности такого переноса изучает термодинамика. (Изучение механических процессов базируется на законах теории упругости и механики твердого тела). То есть общей теоретической основой для моделирования большей части технологических процессов является гидро- и термодинамика. Общность научных основ элементарных стадий технологических процессов определяет и общность принципов их анализа и последующего построения допустимого класса их моделей.

Задача построения математической модели объекта в общем случае сводится к определению оператора системы, определяющего изменение выходной величины при произвольном изменении входного воздействия. Аналитические методы определения характеристик объектов регулирования основаны на составлении их дифференциальных уравнений. Составление дифференциального уравнения базируется на использовании основных физических законов: сохранения массы, энергии и количества движения.

Состояние систем обычно выражают посредством законов термодинамики. Первый закон термодинамики имеет единую математическую и физическую формулировку: Изменение во времени субстанции в элементарном объеме равно сумме притока и стока субстанции через его поверхность.

Этот закон формулирует неуничтожимость материи и ее движения и записывается через совокупность законов сохранения массы, энергии, количества движения.    

Закон сохранения массы. Это основной закон классической механики: масса любой части материальной системы, находящейся в движении, не зависит от времени и является постоянной величиной.

Закон сохранения количества движения:скорость изменения количества движения любой части материальной системы, находящейся в движении, равна сумме всех внешних сил.

Закон сохранения энергии: при бесконечно  малом подводе тепла δQ к изолированной системе и совершении этой системой бесконечно малой работы δA, энергия системы изменяется на величину de = δQ – δA.

Все эти законы математически можно описать дифференциальными уравнениями. Они должны быть  дополнены уравнением состояния F(p, v, T)=0.                                                                   

Вместе с краевыми условиями эти уравнения полностью описывают поведение динамической системы в любой момент времени.

          Общим для всех математических моделей является то, что число уравнений, включаемых в математическое описание, должно быть равно числу переменных, находимых в результате моделирования.

Важной особенностью математического описания, содержащего обыкновенные дифференциальные уравнения, является необходимость задания начальных условий. Для уравнений в частных производных наряду с начальными нужно также задавать граничные условия, в общем случае являющиеся функциями времени (так как параметры распределены по нескольким координатам).

В ряде случаев вместо описания объекта дифференциальными уравнениями используют его описание системой конечно-разностных уравнений.  При подобных преобразованиях возникает погрешность, которую необходимо учитывать при оценке результатов моделирования.

4.2 Упрощение уравнений динамики

Системы уравнений динамики, как правило, существенно нелинейны, и аналитическое решение их в общем виде невозможно. Поэтому в зависимости от специфики задач проводятся упрощения, направленные на исключение отдельных связей, накладываемых уравнениями и краевыми условиями. При этом должны сохраняться существенные черты процесса.

          Наиболее простой (в смысле математического решения) является статическая задача. Производные по времени и координатам равны 0, и система дифференциальных уравнений сводится к алгебраической (стационарные режимы объектов с сосредоточенными параметрами).

          Следующей по сложности является стационарная задача. В уравнениях производная по времени равна нулю, следовательно, уменьшается количество независимых координат (мы не рассматриваем анализ таких задач).

          Упрощение математической формулировки нестационарных задач достигается за счет сокращения числа взаимодействующих систем, уменьшения количества уравнений, исключения некоторых связей в отдельных уравнениях, снижения числа пространственных координат и линеаризации уравнений.

          Всякое исключение какого-либо дифференциального уравнения снижает порядок системы. То есть с математической точки зрения система оказывается незамкнутой. Исключенное уравнение необходимо заменить алгебраической зависимостью, приближенно отражающей ход процесса. Например, соответствующие параметры могут быть приняты постоянными.

          Во многих практических случаях закономерности движения реального потока находятся на основе экспериментальных данных. При экспериментальном исследовании определяются некоторые коэффициенты, так или иначе отражающие реальную структуру потока, то есть распределения скорости, температуры, плотности и другие параметры. Это коэффициенты трения, теплоотдачи, относительные скорости фаз в двухкомпонентных смесях и т.д. Все они представляют собой интегральные характеристики потока, которые с определенным приближением отражают обмен количеством движения, теплотой, веществом, существующий в реальном потоке. С помощью указанных коэффициентов и усредненных по сечению потока параметров, выражаются передача теплоты, гидравлическое сопротивление, распределение фаз. Связи между ними также находятся из опыта.

          Использование эмпирических коэффициентов и упомянутых зависимостей позволяет отказаться от учета реальной трехмерности потока и одни уравнения упростить, а другие – исключить совсем. Такие упрощения допустимы, так как эмпирические зависимости в определенной мере отражают реальную трехмерность потока.

     В результате указанных посылок для расчета динамических характеристик можно использовать одномерную модель, а в некоторых случаях – и модель с сосредоточенными параметрами.

В одномерных моделях параметры изменяются лишь вдоль одной координаты, направленной вдоль оси потока. По сечению канала параметры постоянны и равны среднему значению.

В моделях с сосредоточенными параметрами все параметры системы не зависят от пространственных координат и являются лишь функциями времени. Производные по пространственной координате заменяются отношением разности значений функций между входом и выходом к полной длине канала.

  В устойчивых системах переходные процессы протекают одинаково во всех однотипных параллельно включенных элементах. Это дает возможность при исследовании переходных процессов рассматривать не всю систему в целом, а один из элементов. Например, при исследовании динамики многоканальных теплообменников рассматривать движение в одном канале.

 

4.3 Линеаризация уравнений

Одним из путей упрощения модели является линеаризация полученного уравнения, то есть переход к линейной математической модели объекта.

          Конечной целью моделирования динамики процессов является использование моделей в системах управления для определения динамических характеристик. Поэтому любым способом надо найти решение уравнений. Линейные дифференциальные уравнения решаются сравнительно легко. Однако не всегда возможно описать поведение объекта линейным уравнением. Поэтому применяется аппроксимация нелинейных связей в заданном диапазоне аргументов линейными соотношениями. Другими словами, в заданном диапазоне входных аргументов нелинейные уравнения заменяются линейными – линеаризуются. В линейных объектах связи входных и выходных сигналов легко описываются с помощью передаточной функции.

Линеаризация обычно проводится путем разложения нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности исходного стационарного режима с сохранением только линейных частей разложения и последующим вычитанием уравнений статики. С помощью этой процедуры получаются уравнения модели не относительно ее переменных, а относительно отклонений переменных от исходного стационарного режима. Такое преобразование дает возможность легко применить преобразования Лапласа для записи модели объекта в виде передаточных функций.

Полученная таким образом линейная модель объекта справедлива лишь при малых отклонениях от исходного стационарного режима. Решение уравнения при ступенчатом или импульсном изменении входной величины позволяет получить соответственно переходные функции (кривые разгона) или импульсные временные характеристики объекта. Решение часто   проводится в области изображений Лапласа или Фурье. В этом случае получают соответственно передаточные функции или амплитудно-фазовые характеристики.

5 Лекция 5. Аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами

 

Содержание лекции:

-    аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

 

Цель лекции:

-   изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

 

При составлении дифференциальных уравнений объектов с сосредоточенными параметрами обычно исходят из уравнений материального и теплового баланса.

Согласно первому из них изменение массы вещества в замкнутом объеме в единицу времени равно алгебраической сумме входных и выходных потоков

                                                                  (5.1)

здесь: Di (i=1,k) – массовый расход входного i-го потока, Dj (j=1,r) -  массовый расход выходного j-го потока, G – масса вещества в рассматриваемом объеме, t - время.

Аналогично, изменение энтальпии какого-либо тела в единицу времени равно алгебраической сумме тепловых потоков, подводящих (или отводящих) тепло к рассматриваемому телу

                                                                   (5.2)

где Qi (i=1,k) – i-ый входной поток тепла, Qj (j=1,r) -  j-ый выходной поток тепла, I – энтальпия тела.

 Дать законченную теорию моделирования всех разновидностей процессов в их различных проявлениях не представляется возможным. Для иллюстрации применения основных естественнонаучных законов сохранения массы, движения, энергии в наиболее характерных процессах рассмотрим несколько примеров.

 Пример 5.1. Моделирование объекта регулирования уровня жидкости в резервуаре.

Объектом исследования является резервуар с независимым Gn(t) притоком жидкости и зависимым стоком Gc(t). Последний определяется величиной уровня над сливным отверстием H и площадью проходного сечения сливного отверстия fc.

 

При составлении уравнений математической модели объекта используются:

-   уравнение материального баланса системы:

                                                              (5.3)

-   уравнение, отражающее закон  сохранения движения; Gс  не является независимой переменной, это функция М. В соответствии с законом гидродинамики поток из выходного отверстия определяется законом

                                                           (5.4)

здесь   μ – кэффициент расхода, fc - площадь поперечного сечения выходного отверстия,   g  - ускорение свободного падения, H   - уровень жидкости в резервуаре.

а) Требуется изучить поведение объекта в условиях равновесия, под которым будем понимать неизменность координат состояния (здесь Н и Gc) во времени. Нетрудно видеть, что при равновесии в резервуаре не будет происходить изменения количества вещества, то есть          Следовательно, уравнение материального баланса будет выражено очевидным соотношением

                            

С другой стороны, понятие равновесия с математической точки зрения выражается равенством нулю всех производных координат состояния

                                   отсюда имеем .

А это, в свою очередь, означает, что

                                 или .

В итоге можно записать

                                                                                      (5.5)

Подставляя (5.4) в (5.5) получим возможность вычислять положение уровня жидкости в баке

                             .

Таким образом, математическая модель системы, находящейся в равновесии, может быть представлена в виде

                                  или   

где - x1 = Gn, x2 = fc; y1 = Gc, y2 = H - переменные, P =  - параметр модели.

Эта модель – статическая, название связано со статичным состоянием объекта, находящегося в равновесии.

б) Требуется изучить поведение бака с жидкостью в общем случае, снимая условия равновесия.

Количество жидкости в резервуаре, находящейся над плоскостью сливного отверстия, определяется из соотношения:

                              ,                                                                     

где F – площадь поперечного сечения резервуара, ρ – плотность.

Считая F  и  ρ  постоянными, то есть  принимая F=F0, ρ= ρ0  и подставляя вместо его выражение (5.4), получим дифференциальное уравнение:

                             .                                   (5.6)

Это уравнение в обобщенной форме может быть записано следующим образом:

                   .

Соотношение (5.4) можно привести к обобщенной форме

                             .

В итоге система двух уравнений с двумя неизвестными:

                                                                                   (5.7)

является динамической моделью резервуара с жидкостью. При этом динамика связывается с изменением состояния системы.

В этом примере статическая модель является частным случаем динамической модели. Это обстоятельство не является обязательным. Чаще всего, два этих типа моделей дополняют друг друга.

в) Требуется получить линеаризованную динамическую модель резервуара с жидкостью, считая, что исходное состояние равновесия системы соответствует времени t0  .

Для оценки значений координат состояния в начальном состоянии равновесия можно воспользоваться статической моделью. Тогда

                              

                             .

Основную нелинейность в систему уравнений вносит соотношение (5.4). Разложим его в ряд Тейлора, ограничиваясь только линейными членами:

                          (5.8)

Определим коэффициенты ряда:

  .

Принимая во внимание исходное состояние равновесия, будем в модели изучать только отклонения переменных от своих начальных значений, то есть:

                                                                            (5.9)

Тогда:

                             .

Это уравнение является первым уравнением линеаризованной модели. Подставим результат линеаризации (5.8) в (5.6) и, имея в виду, что

                                   и                       

получим:

           .

Используя обозначения:

y1 = ΔGс,   y2 = ΔΗ,   x1 = ΔGn    и    x2 = Δfc,

линеаризованную динамическую модель бака с жидкостью можно представить следующей системой уравнений:

в которой

.

Коэффициенты уравнений ki и T, являющиеся параметрами линеаризованной модели, зависят от состояния равновесия, предшествующего переходному процессу. Поэтому модель требует перенастройки ее параметров в случае изменения исходных состояний () моделируемого объекта.

В случае необходимости моделирования объекта при существенном изменении крутизны характеристик переходят к их кусочно-линейной аппроксимации. При этом нелинейный объект описывается совокупностью линейных зависимостей и логических соотношений, определяющих зону действия каждого линейного выражения.

6 Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами

 

Содержание лекции:

-                     примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

 

Цель лекции:

-   изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

 

  Пример 6.1. В продолжение примера 5.1 запишем уравнения для системы в виде каскада из двух резервуаров (см. рисунок 6.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6.1 - Каскад резервуаров

 
 


Здесь М1 и М2 – объемы,   Q1, Q2, Q3  - потоки жидкости,  F1   и    F2 - площади поперечного сечения резервуаров, f1, f2 - площади выходных отверстий, μ1, μ2 - коэффициенты расхода, H1, H2  - уровни, ρ - плотность вещества.

В этом случае вместе с балансовыми соотношениями

                             ,                                                                        (6.1)

                                                                        (6.2)

имеют место следующие зависимости

                                                                          (6.3) 

                                   (6.4) 

                                                                                                     (6.5) 

                                                                                                       (6.6) 

          Эти уравнения являются уравнениями каскада резервуаров. Однако часто надо найти зависимости между конкретными переменными.

Пусть надо найти связь между выходом Q3 и входом  Q1. Тогда надо избавиться от переменных Q2, M1, M2, H1, H2  и оставить в уравнениях только Q1 и Q3.

Из  (6.3)  и  (6.6)  получим

                                                                   (6.7)

а из  (6.4), (6.5)   и  (6.7)      

.                                                   (6.8)

Принимая во внимание  (6.7), из (6.2) получим

или

                             .                                                       (6.9)

Подставив в (6.1)  М1 и  Q2,  из (6.8), (6.9) получим:

.

          Это нелинейное уравнение второго порядка,  Q1 и Q3  - функции времени, остальные – константы.

Порядок уравнения определяется числом емкостей в каскаде.

Если помимо ускорения свободного падения на поток в замкнутом резервуаре действует внешнее давление Р, тогда вместо выражения  в качестве начального соотношения используется  здесь   ρ - плотность жидкости.

Пример 6.2. Динамика материальных потоков. Пусть дана система из двух емкостей для сыпучих материалов. Поток из первой емкости конвейером или насосом переносится во вторую емкость. Состояние системы характеризуется следующими переменными: входной поток вещества в первую емкость Q1, выходной поток первой емкости , входной поток вещества во вторую емкость , выходной поток системы Q3 и количество вещества в емкостях M1 и М2 (см. рисунок 6.2). 

Составим уравнения этой системы. Для каждой емкости можем написать уравнения материального баланса:

 

Чтобы связать эти два уравнения, нужно рассмотреть зависимость между .

 

 

 

 

 

 

 


        Рисунок 6.2 - Определение уравнений динамики системы из двух емкостей

          Если перенос вещества выполняется с постоянной производительностью, тогда выходной поток первой емкости  с запаздыванием полностью поступает во вторую емкость. Время запаздывания τ зависит от расстояния между емкостями и от скорости движения потока по ленте конвейера или по трубе. Значение  в момент τ равно значению   в момент t - τ, то есть:

.

Тогда уравнения системы преобразуются следующим образом:

 .               

          Это общая форма записи модели рассматриваемого объекта. Если необходимо провести эксперименты с моделью или выполнить конкретные расчеты, естественно, необходимо задать законы изменения входного и выходного потоков. Например, пусть требуется получить в числовом виде уравнения системы бункер-конвейер. Освобождение бункера от вещества выполняется конвейером длиной l=50 м, скорость ленты θ=1 м/с=3600м/час, входной поток Q1 = 100т/час=const.

Уравнение бункера:  (М – масса вещества в бункере). Уравнение конвейера: Q3 (t)= Q2 (t – τ) = Q2 (t – 50/3600)   или   Q2 (t)= Q3(t + 50/3600). Избавившись от промежуточной переменной Q2, получим искомое уравнение:

.

 

7 Лекция 7. Объекты с сосредоточенными параметрами. Динамика теплообменных процессов

 

Содержание лекции:

-   аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами.

 

Цель лекции:

-   изучить на примере моделирования процессов в теплообменнике процедуру применения уравнения теплового баланса, а также эмпирических зависимостей.                    

Как отмечалось ранее, во многих практических случаях закономерности движения реального потока находятся на основе экспериментальных данных. Использование этих зависимостей позволяет отказаться от учета реальной трехмерности потока и одни уравнения упростить, а другие – исключить совсем. Такие упрощения допустимы, так как эмпирические зависимости в определенной мере отражают реальную трехмерность потока. В результате указанных посылок для расчета динамических характеристик можно использовать одномерную модель, а в некоторых случаях – и модель с сосредоточенными параметрами. Для иллюстрации сказанного, рассмотрим динамику процессов в теплообменнике.

Пример 7.1. Рассмотрим теплообменник с интенсивным смешиванием, в который поступает поток Q1 жидкости с температурой θ1 (см. рисунок 7.1).

Среднее количество вещества в теплообменнике V. Из теплообменника вытекает поток Q2 с температурой θ2.

Количество вещества в теплообменнике постоянное: теплообменник  герметично закрыт, то есть расход вещества восполняется входным потоком или, если вещество выталкивается какими-то силами, уровень в теплообменнике поддерживается   другими автоматами.  

Так как V=const, то Q1= Q2= Qс р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


         Рисунок 7.1 - Теплообменник                

Так как вещество интенсивно перемешивается, температура в объеме θ    и температура выходного потока θ2 равны, т.е. θ = θ2.

Выведем уравнения модели теплообменника в предположении, что входная величина  H1 - входной поток тепла, выходная величина θ2 – температура выходного потока. Изменение входной величины  H1 может зависеть от изменения потока Q1, а также от его температуры.

В связи с этим рассмотрим следующие постепенно усложняющиеся ситуации:

а) теплообменник идеально изолирован, то есть нет теплообмена с окружающей средой.

При интенсивном смешивании, можно принять объект как объект с сосредоточенными параметрами и использовать следующее балансовое уравнение:

                                                                                           (7.1)

здесь ρ - плотность материала, т/м2;

С – теплоемкость материала стенок,   Мкал/(т, град);

Hi  - количество тепла, подводимое к теплообменнику за единицу времени (положительная величина) или отводимое от него (отрицательная величина).

          Входной поток  Q1 соответствует количеству подводимого тепла

H1= ρ·с ·θ1 ·Q1.                                                                     (7.2)

C потоком  Q2 теряется  выходное количество тепла

    H2= ρ·с ·θ2 ·Q2.                                                                                                                (7.3)    

Подставив H1 и H2 в уравнение теплового баланса, получим

                                           (7.4)

или

                    ,  

                              .                             

Имея в виду, что θ = θ2, получим:

                            

или

                            

здесь - постоянная времени, час; 

- коэффициент передачи, град*час/Мкал;

б)  есть теплообмен с окружающей средой по закону

                        H3 = h·S· (θθc),                                                                      (7.5)                   

здесь  h - коэффициент теплопередачи, Мкал/(час, м2, град), S  - поверхность теплообменника, м2,   θc  - температура внешней среды, 0С. 

          В этом случае балансовое уравнение имеет вид:

    (7.6)

После преобразований:

                                       (7.7)

          .                                    

Окончательно получим:

.                                      (7.8)

Здесь   .

По сравнению со случаем а)  постоянная времени Т уменьшилась, так как величина  всегда положительная.

          Если температура внешней среды постоянная, переместив начало координат температуры в точку θc, член можно убрать, в противном случае θc  можно рассматривать как внешнее воздействие;

          в) надо принять во внимание толщину стенок теплообменника, поэтому надо учитывать теплоемкость стенок.

          Поток тепла из объема V на стенки  H31 =hм ·S· (θθм),

здесь hм – коэффициент теплопередачи от потока к стенкам;

θм - температура стенок.

          Поток тепла от стенок во внешнюю среду

H4= hc·S·(θM - θ2),

здесь hc – коэффициент теплопередачи от стенок в окружающую среду.

Поскольку стенки теплообменника обладают теплоемкостью, запишем два уравнения (для потока и для стенок):

           (7.9)

.      (7.10)     

Избавимся от промежуточной переменной θм.

Для этого, имея ввиду, что θ = θ2, Q2 = Qср, выразим θм из первого уравнения:

                   (7.11)

и подставим это выражение во второе уравнение:          (7.12)

После преобразований получим:

                       (7.13)

Выходная величина -  θ1, входные величины - H  и  θс.

Если  θс = const, переместив начало координат в точку θс, можно избавиться от членов с величиной θс. Тогда останутся переменные Q и H1  и  последнее уравнение  можно записать в виде

                          (7.14)

где ai и bi определяют коэффициенты модели.

Получили уравнение второго порядка, так как в объекте есть две сосредоточенные емкости: область теплообменника и область стенок. 

 

 

 

8 Лекция 8. Аналитические методы определения характеристик тепловых объектов

 

Содержание лекции:

-   аналитические методы моделирования тепловых объектов с сосредоточенными параметрами..

 

Цель лекции:

-   изучить на примерах основные методы аналитического моделирования тепловых объектов с сосредоточенными параметрами.

 

Рассмотрим конкретные теплоэнергетические объекты. Исходными уравнениями являются приведенные выше уравнения материального и теплового баланса.

Пример 8.1. Необогреваемый участок парогенератора (коллектор, соединительный паропровод). Входная величина – температура среды на входе в участок, выходная - температура среды на выходе из участка. Давление среды в участке предполагается постоянным, отвод тепла в окружающую среду отсутствует.

Примем обозначения: Dc – расход среды; – энтальпия среды на входе и выходе; Qм – тепловой поток к металлу участка; Ic – энтальпия среды участка; Iм – энтальпия металла участка; Gc и Gм – масса среды и металла на участке; iм – энтальпия металла; α2 – коэффициент теплоотдачи на внутреннюю поверхность H2 участка;  и – температура среды на входе и выходе участка; – температура металла; ср  и см – удельные теплоемкости среды и металла.

Уравнение теплового баланса для рабочей среды:

.  

Уравнение теплового баланса для металла:

.

         Учитывая, что Ic = i’’c· Gc, Iм = iм· Gм, Qм = α2·H2· (Θ’’c - Θм), i = с·∆ Θ,

после перехода к отклонениям переменных и вычитания уравнений стационарного режима, получим дифференциальные уравнения для линейной модели участка:

                      (8.1)          .                                                             (8.2)

Преобразуем по Лапласу уравнения (8.1), (8.2). Для этого обе части уравнения умножим на e-st и проинтегрируем от 0 до , имея ввиду, что изображения функции и ее производной (при нулевых начальных условиях) связаны следующим свойством

y(t)÷Y(s), y'(t)÷sY(s).

Примем ∆Θ’’c ÷ Z(s), ∆Θ’c ÷Y(s) , Qм ÷X(s). Тогда

                   Из второго уравнения: .

Из первого уравнения:

                    .

Разделим на Dccp. Получим

             .

Отсюда                                                                                                                             .

Постоянная времени физически соответствует времени заполнения средой участка при данном расходе среды и обычно мала. В практических расчетах ее принимают равной 0, и передаточная функция принимает более простое выражение:

      где      .

          Пример 8.2. Теплообменник смешения (коллектор впрыска). Входными переменными являются расход и температура среды на входе, расход впрыскиваемой воды; выходная величина – температура среды на выходе. Расход среды на выходе равен сумме расходов среды на входе и расхода среды на впрыск, температура впрыскиваемой воды предполагается постоянной.

Уравнение теплового баланса для рабочей среды

где   - расход среды на входе и выходе участка,   - расход воды на впрыск,     - энтальпия впрыскиваемой воды.

Аналогично предыдущему после перехода к отклонениям переменных и вычитания уравнения стационарного режима получим линейное дифференциальное уравнение для рабочей среды

                       (8.3)

где  - расход среды на входе и выходе  участка в стационарном режиме, - энтальпия среды на входе участка в стационарном режиме, - энтальпия впрыскиваемой воды в стационарном режиме.

Для металла сохраняется в силе уравнение (8.2).

Из уравнений (8.2) (8.3) после преобразований по Лапласу и аналогичных предыдущему упрощений получим передаточные функции по различным каналам:

а) найдем передаточную функцию по каналу :                  Отсюда

где .

Поделив на     и принимая, что постоянная времени   мала, имеем:

         где    

          б) передаточная функция по каналу

         равна       где    ;

          в) по каналу

         равна        где .

Пример 8.3. Паровая емкость. Предполагается, что сопротивление емкости сосредоточено на ее выходе и энтальпия среды в переходном процессе остается без изменения. Давление среды за емкостью    поддерживается постоянным с помощью регулятора, задание которому может изменяться. Изменение давления среды в емкости не влияет на расход подводимого вещества. Входными величинами являются расход среды на входе и давление среды на выходе, выходными – расход среды на выходе и давление в емкости.

Уравнение материального баланса для среды

.                                                                      (8.4)

Расход среды через сосредоточенное сопротивление определяется выражением

                                                               (8.5)

где    - давление среды перед сопротивлением и за ним.

После перехода к отклонениям переменных и линеаризации с учетом, что Gcc ·V   и   , получим уравнения линейной модели системы

;                                      (8.6)

                                         (8.7)

где V - объем среды в участке, ρc - плотность среды,     - давление среды перед и за сопротивлением в стационарном режиме, - расход среды в стационарном режиме.

После преобразования по Лапласу из последних уравнений можно получить передаточные функции по каналам

,  

(рекомендуется студентам получить самостоятельно).

 

 

 

9 Лекция 9. Моделирование объектов с распределенными параметрами

 

Содержание лекции:

-                     аналитические методы моделирования объектов с

распределенными параметрами.

 

Цель лекции:

-   изучить на примерах основные методы аналитического моделирования объектов с распределенными параметрами.

 

 Существуют объекты, для которых некоторые координаты состояния (технологические параметры) требуют ориентации в геометрическом пространстве. Например, температура факела в различных точках топочного пространства различна. Модели таких объектов являются распределенными по параметрам и необходимо вводить в оператор модели геометрические координаты z = (z1, z2, z3).

К наиболее важным теплоэнергетическим объектам с распределенными параметрами относятся теплообменники с однофазным и двухфазным теплоносителем. При аналитическом исследовании динамических свойств распределенных теплообменников, обычно поток рабочей среды считается одномерным, то есть физические параметры среды по сечению трубы предполагаются постоянными. При рассмотрении обычно также пренебрегают изменением кинетической и потенциальной энергии движущейся среды, поскольку эти величины малы по сравнению с изменениями тепловой энергии, имеющими место в период переходных процессов. С учетом этих замечаний основные уравнения для рабочей среды, которые принимаются исходными при аналитическом исследовании распределенных теплообменников, значительно упрощаются.

Пример 9.1. Дан участок трубопровода длиной L с постоянным сечением f, по которому движется несжимаемый поток (жидкость), характеризуемый расходом G, давлением Р и температурой q, относящимися к каждому из сечений трубопровода. Трубопровод не изолирован, то есть процесс изотермический. Изучим связи физических характеристик потока во входном (1) и выходном (2) сечениях.

Изучаемый объект является распределенным по длине (z), параметры среды считаются одинаковыми по сечению (одномерный объект).

Запишем основные уравнения:

- уравнение сохранения количества вещества

                                                                              (9.1)

 

 

- уравнение сохранения количества движения

          ;                                                             (9.2)

         - уравнение состояния рабочего тела (для r)

                       .                                                                             (9.3)

Эта система является исходной формой представления модели трубопровода. Аналитическое решение системы возможно только при упрощающих допущениях. Такое допущение может состоять в том, что трубопровод разбивают на ряд элементарных отрезков, каждый из которых представляет собой сосредоточенный объект. Приближение к реальной системе тем лучше, чем меньше размер элементов. Первое приближение получают, заменяя систему одним элементом и составляя уравнения модели сосредоточенного объекта. Лучшее приближение получается при замене системы несколькими элементами.

Рассмотрим различные случаи:

а) будем рассматривать динамику давлений и расходов не в любом сечении (то есть не при любом z), а только связь входного и выходного сечений (это соответствует начальной постановке задачи). Тогда вместо исходной схемы трубопровода можно рассматривать ее эквивалент, отличающийся выделением сосредоточенного объема , а также гидравлического сопротивления, приведенного к выходному сечению:

                       

где  p - суммарный коэффициент местных сопротивлений трубы;  - коэффициент трения рабочей среды о стенки трубы.

Кроме того, пренебрежем ускорением потока, вызванным динамикой изменения давления по длине трубопровода, т.е. примем

    

Тогда (9.2) примет вид:

                                                           (9.4)

Поскольку вся масса рабочей среды сосредоточена в эквивалентном объеме V, находящемся под давлением p1, то вместо (9.3) принимаем

                              r1 = r (p1, q).                                                                     (9.5)          Уравнения сохранения (9.1) преобразуем с учетом длины трубопровода:

     или               (9.6)

Вместо (9.4) аналогично

                        или                                          (9.7)

Считая характер течения потока докритическим, используем известное из гидравлики соотношение, определяющее величину потерь на трение

                                                                                                   (9.8)

Отсюда выразим G2 и используя (10.6), получим уравнение сохранения количества движения

            .                                          (9.9)

Таким образом,  (9.5),  (9.6), (9.9) - система относительно шести физических характеристик потока G1, G2, P1, P2, r1, q.

Дальнейшее преобразование зависит от деления характеристик на экзогенные и эндогенные переменные. Наиболее распространенным является следующее деление: пусть независимые переменные - G1, P2, q. Тогда система должна разрешиться относительно G2, P1, r1. Обычно ограничиваются изучением поведения измеряемых координат состояния объекта, то есть G2, P1. Тогда уравнение состояния (9.5) используется для исключения r1

;

.                                                      (9.10)

Эта система и является сосредоточенной нелинейной динамической стационарной моделью трубопровода.

б) рассмотрим линеаризованную модель, получающуюся применением ряда Тейлора к нелинейным соотношениям.

В частности, записывая систему уравнений в приращениях переменных относительно исходного состояния, отмеченного дополнительным индексом «0» у переменных, получим:

 

 

 

.

Окончательно:

 

где

 

.

При необходимости может быть получена эквивалентная модель, образованная совокупностью шести каналов «вход-выход». Определение характеристик каждого из каналов может быть выполнено в соответствии с известными в теории автоматического управления правилами эквивалентирования.

в) условия задачи аналогичны примеру из п.а). Отличие заключается в том, что по трубопроводу перемещается сжимаемый поток. Здесь основное допущение состоит в том, что свойства сжимаемого потока близки к свойствам идеального газа. Это дает основание использовать известные из термодинамики соотношения для определения свойств сжимаемой среды. В частности, для изотермического процесса 

Тогда в (9.6) вместо r1 можно подставить конкретное выражение:

.

 

 

10 Лекция 10. Общие сведения о проблеме идентификации

 

Содержание лекции:

 - понятие идентификации; виды идентификации; классификация методов идентификации.

 

Цель лекции:

- изучить основные понятия теории идентификации.

 

10.1 Основные понятия

Рассмотренные ранее модели являются познавательными. Существенной особенностью этих моделей является отражение механизма объекта или явления в структуре оператора модели, то есть всех причинно-следственных связей, имеющихся у объекта. При не учете этих связей познавательная сторона модели существенно пострадала бы, так как для познания необходимо знать не только как, но и почему. Теперь мы будем изучать класс моделей, которые строятся с единственной целью – с целью использования их для решения задач управления. Для целенаправленного управления необходимо знать характеристики объекта управления, чтобы правильно построенный сигнал управления мог перевести объект из некоторого начального состояния в требуемое состояние.

Определением характеристик объекта по результатам измерений входных и выходных сигналов занимается одно из важнейших направлений теории автоматического управления, которое называют идентификацией. Модели, построенные с помощью методов теории идентификации, могут и не отражать внутренних механизмов явления, что необходимо для познавательной модели. Им достаточно лишь констатировать наличие определенных формальных связей между входами и выходами объекта. Характер и особенности этой связи и составляют основу модели, полученной в процессе идентификации объекта управления.

          Идентификация есть процесс построения математической модели объекта, адекватной объекту с точностью до заданного критерия. Еще одно определение: идентификация – процесс установления взаимнооднозначного соответствия между моделью и объектом. В теории управления чаще используется следующее определение: идентификация – определение характеристик объектов по данным экспериментальных исследований.

          Специфика идентификации определяется целями управления. В любом алгоритме управления всегда присутствует модель объекта, которая позволяет определить наиболее эффективное воздействие на объект управления с точки зрения поставленной задачи. Дрейф характеристик модели, неизбежный в каждой реальной системе, иногда изменяет не только его параметры, но и структуру. Это требует коррекции модели. Поэтому прежде чем синтезировать управление, необходимо откорректировать модель, то есть снова идентифицировать объект. Одним словом управление разбивается на два этапа: на первом этапе цель – синтез адекватной модели объекта; на втором цель – синтез управления на основе этой модели. Итак, идентификация не является самостоятельной задачей, она подчиняется целям управления и входит составной частью в задачу управления. Однако часто идентификация представляется как самостоятельная цель – из чисто методологических соображений, так как методы синтеза моделей существенно отличаются от методов синтеза управления. Это обстоятельство позволило сделать идентификацию отдельным разделом теории управления.

  В зависимости от объема априорной информации  о системе различают идентификацию в широком и узком смыслах. Идентификация в широком смысле – процесс определения структуры оператора модели (поэтому иногда используется термин структурная идентификация).  Понятие "структура" не имеет четкого определения и понимается разными авторами по-разному. Будем понимать под структурой модели вид оператора  модели с точностью до его коэффициентов. Идентификация в узком смысле – оценивание параметров математической модели при заданной ее структуре по результатам измерений входных и выходных сигналов. При идентификации в широком смысле априорная информация о системе либо незначительна, либо отсутствует вообще. При идентификации в узком смысле  априорная информация о системе достаточно обширна.

В случае, когда оператор модели задается с точностью до вектора параметров, мы имеем задачу параметрической идентификации. Она формулируется таким образом: на основе экспериментальных данных указать значения вектора параметров, при которых модель наилучшим образом (или достаточно точно) в определенном смысле аппроксимирует оператор объекта.

Если оператор модели содержит неизвестные функции (например, ядра интегральных операторов), идентификация в терминах таких операторов называется непараметрической.

Всегда надо иметь в виду следующее: ни один из обсуждаемых методов идентификации не годится для идентификации всех видов систем, каждый из них имеет свою область применения; получение математической модели исследуемого процесса не является самоцелью, надо всегда знать с какой целью строится математическая модель.  (отсюда будут и выбор метода, и грамотная интерпретация конечного результата); восстановленная математическая модель является относительной, поэтому необходимо выделять ограниченную область применения математической модели системы.

 

10.2 Классификация методов идентификации

          Классификация методов идентификации проводится по-разному, в зависимости от того, какой основной признак положен в основу, поэтому любая классификация относительна.

Классификация методов идентификации в зависимости от класса, к которому относится исследуемая система:

- методы идентификации линейных и нелинейных систем, причем линейные системы легче идентифицировать, т.к. они обладают свойством суперпозиции;

  -  методы идентификации стационарных и нестационарных систем. Системы могут считаться стационарными, если их параметры меняются медленно по сравнению со временем, которое требуется для точной идентификации;

-  методы идентификации дискретных и непрерывных систем;

- методы идентификации систем с одним или несколькими входными воздействиями;

  - идентификация детерминированных и стохастических процессов. При идентификации стохастических процессов ориентируются, в основном, на вероятностные представления о точном состоянии системы. На практике все результаты измерений засорены шумом, и для точной идентификации необходимо осуществлять фильтрацию или сглаживание. При идентификации детерминированных систем обычно предполагается, что фильтрация уже была проведена.

   В основу перечисленных способов классификации положена по существу степень сложности идентификации. В процессе выбора структуры модели следует иметь в виду, что, учитывая трудности, вполне можно «снизить» модель, то есть сделать ее значительно проще объекта. Так, поведение заведомо динамического объекта можно описывать статической моделью, если динамика объекта не слишком ярко выражена; нелинейный объект можно аппроксимировать линейным и т.д.  Разумеется, при этом эффективность управления, построенного на основе такой модели, снизится. Но если это снижение невелико, а выигрыш в идентификации значителен, то такой выбор следует считать оптимальным.

Поскольку задача идентификации сводится к определению структуры модели объекта и восстановлению ее параметров, в качестве основы для классификации задач и методов идентификации целесообразно выбрать степень предварительной изученности объекта. Это наиболее важный, но трудно осуществимый вариант – классификация методов идентификации в зависимости от наличия априорной информации о системе. Здесь можно все объекты разделить на следующие группы:

- объекты, для которых описывающие их уравнения известны вплоть до приближенных значений коэффициентов; задача идентификации для таких объектов отсутствует, она сводится к уточнению приближенных значений параметров;

- объекты, для которых описывающие их уравнения известны, а численные значения коэффициентов неизвестны; для таких объектов процесс идентификации представляет собой восстановление неизвестных параметров модели известной структуры;

- объекты, для которых конкретный вид уравнения и численные значения параметров неизвестны, но имеется априорная информация (например, объект линеен, переходные процессы в нем носят монотонный характер и т.д.). Структура модели в этом случае выбирается на основании имеющейся априорной информации и может быть уточнена в процессе проведения экспериментов, после чего решается задача восстановления параметров;

- объекты, относительно которых отсутствуют какие-либо априорные сведения («черный ящик»).

          Провести четкую границу между любой парой смежных групп довольно затруднительно.

Все экспериментальные методы исследования динамики процесса основаны на обработке информации, содержащейся в его входных и выходных координатах. По методу проведения эксперимента на объекте можно выделить активные, пассивные и смешанные методы идентификации.

          Активные методы идентификации характерны тем, что на входы исследуемого объекта подают заранее заданные пробные воздействия и исследуют выходной сигнал, причем эти пробные воздействия могут являться импульсными, периодическими или случайными функциями времени. Во многих случаях нарушение нормального функционирования объекта искусственными пробными воздействиями недопустимо. В этих случаях применяются пассивные методы идентификации, как правило, статистические (например, корреляционные), в которых используются случайные естественные колебания входного сигнала. Для эффективного использования этих методов необходим большой интервал наблюдения, что требует применения компьютеров. Отсутствие пробного воздействия устраняет нежелательное влияние аппаратуры идентификации на процесс управления, но точность идентификации уменьшается, особенно при малом уровне управляющей величины. Поэтому рекомендуется хотя бы в этих случаях проводить активный эксперимент или увеличить интервал наблюдения в пассивном эксперименте. Входные сигналы должны содержать все характеристические частоты объекта. Вопрос, что является более приемлемым, непростой и зависит от свойств конкретного объекта, требуемой точности идентификации и вида пробного сигнала

Помимо предложенной классификации методы идентификации могут различаться и по следующим признакам. По способу представления характеристик объекта (во временной или частотной области); по принятому критерию подобия объекта и модели; по методам восстановления неизвестных параметров модели (неитерационные  или итерационные).

Полученное математическое описание должно отражать закономерности, действующие в реальном объекте, с точностью, определяемой требованиями решаемой задачи управления. От этого зависит качество управления.

 

 

 

11 Лекция 11. Постановка задачи идентификации

 

Содержание лекции:

-  постановка задачи идентификации; функционал невязки.

 

Цель лекции:

- познакомиться с постановкой задачи идентификации; изучить метод минимизации функционала невязки.

 

11.1 Объект идентификации

          В любой реальной системе на выходные переменные действуют в той или иной степени много различных факторов. Эти факторы могут иметь природу помех (шума), а могут быть параметрами, о которых мы не имеем представления. Объект идентификации будем представлять в следующем виде (см. рисунок 11.1).

 

 

 

 

                                    Рисунок 11.1  - Объект идентификации

где Х = (x1…хn) – наблюдаемые входы объекта; Е = (e1ek) – его ненаблюдаемые входы; У = (y1ym) – наблюдаемые выходы объекта.

Входные и выходные сигналы объекта являются источниками информации при идентификации динамических объектов. Данные о помехе Е, как правило, отсутствуют. Все входы объекта представляют собой воздействия внешней среды на объект и являются какими-то определенными функциями состояния среды и времени. Входы объекта часто являются случайными функциями времени, статистические свойства которых в общем случае неизвестны, однако известны наблюдения входа и выхода объекта, то есть реализации функций Х(t) и Y(t) в непрерывной или дискретной форме.

Идентификация затрудняется наличием шумов, которыми могут быть чистые помехи, неизмеряемые сигналы, коррелированные с измеряемыми, ошибки измерения и преобразования и т.д. Относительно ненаблюдаемого входа E(t) предполагается известной его структура, то есть характер этой случайной функции. Обычно ограничиваются случаем, когда E(t) является нормальным случайным процессом, непосредственное наблюдение которого невозможно. Без потери общности можно все эти шумы привести к выходу и представить одной векторной величиной (см. рисунок 11.2).

Все сведения об объекте, которые необходимо иметь для того, чтобы начать процедуру идентификации, подразделяются на два вида: априорные и апостериорные.

 

                                                                                  

 

 

                   Рисунок 11.2  - Классическое представление динамической системы

Априорная информация, которой необходимо располагать еще до наблюдения входов и выходов объекта, определяет структуру идентифицируемого объекта. Например, можно выделить четыре признака (хотя структура не исчерпывается ими): динамичность, стохастичность, нелинейность, дискретность. Естественно, представления о виде модели могут измениться после анализа апостериорной информации, то есть после наблюдения за поведением входа и выхода объекта.

Апостериорная информация имеет количественный характер, то есть это результат (протокол) наблюдений входа и выхода объекта. Для непрерывных объектов имеем записи непрерывных функций: X(t) – результаты всех измерений входов объекта и Y(t) – результаты измерений его выходов за тот же период наблюдений (интервал 0<=t<=T). Протокол записывается в виде: (<X(t), Y(t)>, 0<=t<=T). Это означает, что поведение объекта зарегистрировано в виде n+m  различных кривых: x1(t),…, xn(t); y1(t),…, ym(t) в этом интервале.

В дискретном случае имеем X = (X1,…, XN), Y = (Y1, …, YN) и протокол записывается в виде (<Xi Yj>, i=1,…, N; j = 1,…,N), где Xi = (x1i,…,xni), Yi = (y1i ,…, ymi). Этот протокол представляет собой таблицу из  n+m столбцов и N строк

x11

x21

xn1

y11

y21

ym1

x12

x22

xn2

y12

y22

ym2

 

 

 

 

 

 

 

 

x1N

x2N

xnN

y1N

y2N

ymN

         

11.2 Постановка задачи идентификации

Задан объект, в процессе нормального функционирования которого одновременно могут быть измерены его входная  x(t) и выходная y(t) функции (в общем случае это – случайные функции). По результатам измерений x(t) и y(t) необходимо построить модель заданного объекта, то есть найти оператор, ставящий в соответствие выходную y(t)  и входную x(t) функции. Точнее при идентификации ставится задача определения не самого оператора модели, а его приближенного значения, его оценки. То есть, строим оператор модели, который в определенном смысле близок к оператору объекта.

Пусть характеристику объекта представляет оператор А0, который ставит в соответствие произвольному входному сигналу x(t) выходной сигнал y(t):

y(t)=A0{x(t)}.

Задача идентификации заключается в определении некоторой оценки А, которая используется в качестве приближения оператора А0, то есть

yм(t) = A{x(t)}

A0 – характеристика объекта, A – характеристика модели.

Говорить о соответствии между моделью и объектом можно только в том случае, если оценка оператора А близка в некотором смысле его истинному значению. "Близость" весьма относительна, так как операторы А и А0 могут иметь разную структуру, могут быть сформулированы на разных языках, иметь различное число входов. Поэтому близость операторов оценить трудно, а то и невозможно, так как оператор А0 неизвестен. В связи с этим естественно оценить близость операторов по их реакции на одно и то же входное воздействие x(t), то есть по выходам y(t) и yм(t).

 

 

 

 

 

Рисунок 11.3 - Схема процедуры идентификации

В общем случае вводится функция ρ(y,yм), которая зависит от y, yм и не зависит от А, и называется функцией потерь или функцией невязки (несоответствия). Эта функция обладает следующими свойствами:

1)     ρ(y,yм)>=0 для любых y,yм; 2) ρ(y,yм)= 0 тогда и только тогда, когда y=yм;

3)  ρ(y,yм) – непрерывна и выпукла вниз, то есть эта функция всегда лежит не выше отрезка прямой, соединяющей две любые точки y,yм.

Если мы хотим, чтобы y,yм были близки на всем интервале наблюдения, а не только в каждой точке, то должны ввести единую меру близости на всем интервале. Такой мерой может быть следующий функционал:

                 .                                                            (11.1) 

          Если по физическому смыслу задачи важность информации в различные моменты времени неодинакова, то целесообразно ввести функцию веса h(t)>0

с естественным нормированием

                                                                                                 (11.2)

  и, тогда

                                                                           (11.3)

Выбор функции h(t) определяется ценностью информации.

Для дискретного случая функционал Q записывается таким образом:

                                ,                                                                          (11.4)

                                      i= 1

где hi >0 (i=1,…,N, ∑ hi =N) – вес информации в момент i.

          Функционал Q называется невязкой, этот функционал зависит от А. Таким образом, степень невязки (степень несоответствия) операторов модели и объекта можно выразить в виде функционала (3) или (4), зависящих явно от оператора модели А. Естественно процесс идентификации строить так, чтобы минимизировать невязку, то есть решать задачу минимизации функционала Q по оператору А: 

 

           Этот функционал минимизируем, варьируя оператором А не произвольно, а в некотором определенном классе операторов Ω. Результатом является оператор А* (не обязательно единственный), обладающий свойством

                                       ,                                                     (11.5)

то есть невязка на этом операторе минимальна. Использование процедуры минимизации для решения задачи идентификации является важным обстоятельством.

Критерий качества идентификации представляет собой средние  потери. Чем меньше средние потери, тем выше качество идентификации. Улучшение качества идентификации осуществляется надлежащим выбором структуры настраиваемой модели и изменением ее параметров. Изменение осуществляется алгоритмом идентификации. Алгоритм идентификации определяется функцией потерь и структурой настраиваемой модели. По наблюдениям входного воздействия и выходных величин объекта и настраиваемой модели алгоритм идентификации изменяет параметры последней так, чтобы средние потери достигали с ростом n минимума. Эти условия соответствуют идентификации в режиме нормальной работы объекта.

Трудности идентификации. Первая заключается в определении класса оператора Ω, в котором ищется решение задачи идентификации. Преодоление этой трудности едва ли в настоящее время возможно формальным образом. Решение о классе оператора Ω пока может принимать только человек. При этом следует учесть следующее: структуру объекта как объекта управления; механизм работы объекта (влияющий на цели управления); цель управления; алгоритм управления. Последние два пункта связывают класс Ω с будущим управлением, для которого и идентифицируется объект.

          Вторая трудность заключается в решении задачи минимизации с наименьшим ущербом для потребителя. Алгоритм идентификации должен решать поставленную задачу в определенном смысле наилучшим образом. То есть должен быть определен критерий эффективности процесса идентификации.

12 Лекция 12. Идентификация линейных динамических  объектов. Прямые методы

 

Содержание лекции:

-   методы идентификации линейных объектов;  идентификация с помощью сигналов специального вида.

 

Цель лекции:

-   изучить методы идентификации линейных объектов  с помощью переходной функции.

 

Рассматриваются методы идентификации объектов, которые являются линейными или с достаточной точностью аппроксимируются линейными моделями.

Экспериментальные методы определения динамических характеристик можно разбить на три основные группы. К первой относятся так называемые прямые методы, которые позволяют определить последовательности дискретных значений оператора связи. Методами этой группы определяются следующие характеристики: в частотной области – амплитудные и фазовые характеристики, во временной области – импульсная переходная и переходная функции. Методы этой группы требуют подачи пробных сигналов специального вида, что иногда недопустимо. Методы восстановления параметров модели с известной структурой образуют вторую группу. К третьей группе относятся методы, базирующиеся на аппроксимации неизвестных динамических характеристик объекта аналитическими выражениями, которые выбираются на основе имеющейся в распоряжении исследователя априорной информации об объекте.

 

 12.1 Прямые методы определения динамических характеристик

 Прямые методы подразумевают идентификацию с помощью сигналов специального вида. Первые реализованные в системах управления методы идентификации были основаны на использовании частотных, ступенчатых и импульсных воздействий. Большинство этих методов ограничивается применением для линейных процессов. Они могут быть использованы и в линеаризованных системах, если уровни сигналов невелики. Эти методы требуют специальных входных сигналов, а именно: ступенчатых сигналов для идентификации по переходной функции (ступенчатой переходной функции), импульсных входных сигналов для идентификации по импульсной переходной функции и синусоидальных входных сигналов с различными частотами для определения частотной характеристики. Поскольку вместо входных сигналов, соответствующих нормальному режиму работы, требуются указанные выше специальные сигналы, то, очевидно, что эти методы предполагают идентификацию вне процесса управления. Поэтому указанные методы применимы только к линейным стационарным процессам, где отношения вход/выход, полученные для одного типа входных сигналов, сохраняются для всех других типов входных сигналов.

Из трех типов входных сигналов, о которых говорилось выше, ступенчатый входной сигнал является наиболее простым для применения, тогда как для подачи синусоидального входного сигнала требуется формирование синусоидальных воздействий и изменение частоты в соответствующем диапазоне.  При идентификации по импульсному воздействию часто возникают технические трудности, связанные с формированием и использованием импульсных входных сигналов. Этот метод нельзя применить к линеаризованным  системам, так как амплитуда импульса по определению не может быть малой.

 

  12.2 Идентификация с помощью переходной функции

          Простейшим входным сигналом, используемым при идентификации, является ступенчатый сигнал. Такой сигнал на входе системы может быть сформирован, например, путем внезапного открывания (или закрывания) входного клапана, включения (или выключения) управляющего напряжения или тока и т.д., так как это почти всегда возможно без применения специальной аппаратуры. У идеального ступенчатого сигнала время нарастания сигнала равно нулю, что физически невозможно, так как при этом скорость нарастания должна быть бесконечно большой. Следовательно, любой реальный ступенчатый входной сигнал является лишь аппроксимацией идеального ступенчатого сигнала. Однако, если время нарастания сигнала гораздо меньше периода высшей гармоники, то ошибка идентификации становится незначительной. В процессах с помехами или в случаях, когда измерения содержат шум (что обычно имеет место на практике), необходима соответствующая фильтрация шума.

Идентификация с помощью переходной функции проводится автономно, вне процесса управления, и поэтому применима только к стационарным процессам. Однако, поскольку ступенчатые возмущения воздействуют на многие системы во время включения или в процессе нормальной работы, то переходные функции можно записать, не нарушая нормального режима работы системы. В этом заключается дополнительное преимущество рассматриваемого метода. Очевидно, что при этом необходимо предположить, что система стационарная, так как результаты идентификации считаются достоверными и после приложения ступенчатого сигнала. Кроме того, предполагается, что в диапазоне амплитуд ступенчатого сигнала система линейна.

Во многих случаях для определения передаточной функции системы можно использовать запись ее переходной функции. Такой способ применим к большинству типов линейных систем (1 и 2 порядков и к апериодическим системам высшего порядка). Наиболее корректно графический метод идентификации с использованием переходных функций применяется  к процессам первого порядка.

Дан график переходного процесса. В момент времени t0=0 входная величина x скачком изменяется на величину a. Надо записать уравнение объекта. Искомое уравнение для объекта первого порядка имеет вид

  или   .                                                   

Надо определить параметры уравнения T и k.

Рассмотрим несколько методов определения этих параметров:

а) вначале найдем аналитическое решение уравнения при заданных начальных условиях. В это решение войдут T и k. Сравнивая графическое и аналитическое решения. получим параметры аналитического выражения решения. Для начальных условий: y=0 при t=0 и x=a при t>0, общее выражение для решения этого уравнения запишется в следующем виде:

 .                                                                       

Возьмем на графике две точки (этого достаточно). Подставив координаты этих точек в выражение решения, получим два уравнения для определения двух неизвестных T и k

 .

Однако эти уравнения трансцендентные, поэтому вычислить из них T и k очень трудно. К тому же точность решения мала, так как использовались только две точки графика;

б) для получения более точного решения, разделим график на ординаты y1, y2 , y3,… с шагом t. Используя общее решение, для полученных точек можно записать:

             

и так далее. Имеем

,   ,     и т.д.

Обозначим   , тогда

,    и т.д.

Имеем

         и т.д.

Разница в значениях q обусловлена ошибками эксперимента и определения значений y(t). Вычислив среднее арифметическое  полученных значений qi, можем получить уточненное значение постоянной времени из следующего выражения: (из , ).

Аналогично, вычислив

     и т.д.,

определяем уточненное среднее значение ;

в) на практике чаще используется следующий более простой метод.

При t, стремящемся к ∞ имеем y(t) = k*a, то есть через ординату асимптоты (ордината асимптоты b=ka) можно определить k. Коэффициент k представляет собой соотношение между установившейся величиной выходного сигнала системы и амплитудой входного сигнала.

При t = T функция

y (t)=b· = b· (1-e-1) = b· (1-0.37) = 0.63·b.

 То есть, постоянная времени T системы первого порядка равна отрезку времени, за которое переходная функция достигает 63% своей установившейся величины. Отметив на графике 63% установившейся величины переходного процесса, определяем абсциссу этой точки (параметр Т);

г) постоянную Т можно также определить следующим образом. Продифференцируем решение и устремим t к 0, тогда

,                                          

здесь α – угол наклона касательной к графику функции при t = 0.

Тогда .  Итак, величина T  - отрезок оси, равный расстоянию от начала координат до точки, в которой касательная пересекается с асимптотой (т.к. - угловой коэффициент касательной). Это решение самое простое, однако, не самое точное, так как очень трудно провести точно касательную и определить точно ординату асимптоты b.

Если переходная функция запаздывает на время τ, то есть равна 0 в течение промежутка времени τ после приложения ступенчатого возмущения, то система имеет чисто временное запаздывание, для которого преобразование Лапласа есть e-τs. Следовательно, если переходная функция системы равна

                                       

то передаточная функция системы получается в виде .   

          13 Лекция 13. Идентификация линейных динамических  объектов. Прямые методы

 

Содержание лекции:

-   идентификация с помощью сигналов специального вида.

 

Цель лекции:

-    изучить методы идентификации линейных объектов  с помощью переходной, импульсной переходной функции и частотной характеристик.

 

13.1 Графическая идентификация с помощью переходной функции процессов второго порядка

          Объект второго порядка описывается уравнением

                                                                         (13.1)

Входное воздействие является ступенчатой функцией х = а. Вычислим постоянные T1, T2, k при условии, что при t>0  входное воздействие является единичным воздействием x=a=1.

Как и в предыдущем случае, вначале запишем общее решение уравнения:

                   .                                                (13.2)

Так как при t=0, y=0,  то из этих начальных условий найдем постоянные интегрирования

          ,

          .

Отсюда  

Тогда искомое частное решение:

           .                               (13.3)

Теперь подставив в это выражение координаты трех точек графика можно получить 3 уравнения для нахождения искомых величин. Эти уравнения трансцендентные, потому найти численное решение очень трудно. Можно опять применить метод, который был применен для объекта первого порядка (использовать не две, а несколько точек графика)..

13.2 Графическая идентификация с помощью импульсной переходной функции

          Процедура идентификации линейных систем с использованием их импульсных переходных функций очень похожа на процедуру идентификации с помощью переходных функций. Для такой идентификации требуется приложить импульсный сигнал (дельта-функцию) на вход идентифицируемой системы. Поэтому идентификация проводится вне процесса управления.

Преобразование Лапласа для единичного импульса равно 1: X(s) = 1. Тогда преобразование Лапласа для выхода Y(s) = W(s) и

Y(t) = L-1[Y(s)] = L-1[W(s)] = g(t).

То есть импульсная переходная функция линейной системы идентична обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции. Этот результат очень важен для идентификации.

Систему первого порядка можно описать передаточной функцией       

            .

Тогда импульсная переходная функция записывается в виде

                       .                                                                   (13.4)

Параметры T и K определяются по графику: в начальной точке  ,   а время, при котором g(t) достигает, равно T

.                                                             (13.5)

Постоянную  T можно получить также, проводя касательную из начала графика g(t) до ее пересечения с осью времени, поскольку, согласно уравнению

 имеем  и при t = T  получим    (из уравнения касательной).

На практике входной сигнал в системе является некоторым приближением к импульсу, и g(t) никогда не начинается с величины . В этом случае  максимальный наклон в окрестности  t=0 экстраполируется в обратном направлении к t=0 так, чтобы была достигнута величина .

 

13.3 Идентификация с помощью частотной характеристики

Частотные характеристики широко используются для анализа и синтеза систем регулирования. Но они также дают возможность определения уравнений объекта. Частотный метод использует амплитудно-частотные характеристики. Идентификация с помощью частотной характеристики основана на применении  синусоидальных сигналов или сигналов, аппроксимирующих синусоидальные, частота которых изменяется в рассматриваемом интервале.

Эти методы обладают рядом преимуществ: большой точностью, так как гармонические входные сигналы ортогональны в разных точках измерения и, таким образом, каждая точка частотных характеристик определяется независимо от других; простотой обработки; возможностью проведения измерений в замкнутой системе; малым влиянием шумов.

Недостатки: сложность и большое количество оборудования для проведения измерений на низких частотах; большое время измерения; необходимость преобразования сигналов; условия измерения и параметры исследуемого объекта успевают измениться за время наблюдения.

Как известно, при преобразовании по Фурье отношения входа и выхода, имеем

                   Y() = W(X()

где W() – передаточная функция системы при частоте ω. Это комплексная величина

W() = α(ω) + j·β(ω);

W()│= ;

φ(ω) = arg[W()]= .

          Если на вход объекта подается синусоидальное воздействие A0sin(ωt) на различных частотах, то установившееся измеренное значение выходного сигнала

y(t) = A1sin[ωt + φ(ω)] + n(t),

где n(t)  - ошибка измерения, =│W(jω)│, φ = Arg[W(jω)].

Частотная характеристика W(jω) определяется путем подачи синусоидальных входных сигналов A0sin(ωt) на различных частотах ω и записи соответствующих выходных сигналов A1sin[ωt + φ]. С целью получения необходимой частотной характеристики, величины A1/A0 и φ определяются для каждой рассматриваемой частоты ω. То есть по записям входного и выходного сигналов определяют отношение амплитуд на частоте ωi и получают |W(jωi)|. Фазовый сдвиг φ(ωi) получают из сравнения положения максимумов кривых x(t) и y(t).

Рассмотрим на примере процедуру идентификации объекта, в частности, определение передаточной функции на основе экспериментальных частотных характеристик. В результате проведенных экспериментов, измерив входные и выходные сигналы, а затем определив, как описано выше  амплитудные А(ω)  и фазовые φ(ω) характеристики объекта, можем записать

P(ωi) = A(ωicosφ(ωi), Q(ωi) = A(ωisinφ(ωi)

для каждой рассматриваемой частоты.

Напомним, что структурные параметры модели (в данном случае порядок уравнения) определяются на стадии структурной идентификации. Задаемся некоторым (предполагаемым) порядком уравнения. Для определенности предположим, что объект третьего порядка. Тогда

                                                         (13.6)

Необходимо определить коэффициенты передаточной функции ai, bj.                        Заменим p на и запишем передаточную функцию в виде суммы действительной и мнимой частей   

.

Отсюда

           .

Приравнивая коэффициенты при мнимых и действительных частях этих комплексных выражений, получим:

           

          .

Эти уравнения справедливы для всех значений ω.

Подставляя в эти уравнения различные значения частот ωi и соответствующие им P(ωi), Q(ωi), получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов передаточной функции. Так как в экспериментальных измерениях, а следовательно, и в функциях P(ωi), Q(ωi), вычисленных на основе этих измерений, имеются ошибки, то вычисленные коэффициенты отличаются от действительных. Для уточнения значений коэффициентов, вычисления повторяются для других частот, и берется среднее из двух вычислений.

Если порядок объекта выше предполагаемого, то в повторных вычислениях значения коэффициентов будут сильно отличаться от первых. То есть сильная разница коэффициентов указывает на то, что порядок объекта занижен (но не указывает на ошибку эксперимента).

При применении  полигармонических входных сигналов возрастает помехоустойчивость. Так как спектр частот входного сигнала известен, по измеренным значениям входного и выходного сигналов могут быть получены коэффициенты Фурье для всех интересующих гармоник.

 

 

14 Лекция 14. Параметрическая идентификация линейных объектов

 

Содержание лекции:

-         параметрическая идентификация линейных объектов

 

Цель лекции:

-    изучить методы параметрической идентификации линейных объектов (статические и динамические детерминированные объекты).

 

Рассматриваем линейные объекты или объекты, которые с достаточной мерой приближения можно принять за линейные. В параметрическом случае модель определяется набором параметров, которые необходимо оценить в процессе идентификации. Чтобы уяснить процедуру минимизации функционала невязки, рассмотрим вначале статический детерминированный случай.

 

14.1 Статические детерминированные линейные модели

Модель линейного объекта с n входами и m выходами имеет единственную структуру и описывается системой линейных алгебраических уравнений

          

Идентифицируются m(n+1) коэффициентов cij, i =1,..., m; j = 0,…, n.

В векторном виде эта система имеет вид

где   X = (x1, x2,,…, xn) - вход; Y = (y1, y2,,…, yn) – выход; C0 = (c10, …,cm0);

                   

Информацию об объекте можно представить в виде {Xj, Yj k}, k =1,…,m, .

Идентифицируются C0 и C.

Рассмотрим случай n>1, m=1. Случай m>1 сводится к m-кратному повторению рассматриваемого случая.

Итак,  или

(n+1) неизвестных коэффициента подлежат оценке на основе информации {Xj, Yj}, j =1,…,N, где Xj=(x1j, x2j, …, xnj)  - j-е состояние входа, Yj – реакция на этот вход.

Обычный подход к решению этой задачи - приравнивание выходов объекта и модели

           ,                                                                  (14.1)

Получили N уравнений с (n+1) неизвестными (систему уравнений идентификации). Эта система имет единственное решение, если ранг матрицы

равен  (n+1).

 

 
                                                                                       (14.2)   

Это возможно в  том случае, если найдены (n+1) линейно-независимых строк этой матрицы. Поэтому из N пар следует выбрать (n+1) линейно-независимую строку:

            .

В этом случае решение (14.1) определяет точное значение идентифицируемых параметров (если объект действительно линеен).

Однако при этом методе не используется вся исходная информация. Используем ее. Введем невязку:

                                                                                  (14.3)

где  - локальная невязка (на i-той паре).

Задачу оценки параметров С можно теперь представить как задачу минимизации невязки (14.3), то есть свести к системе линейных алгебраических уравнений:

                                          (14.4)

Определитель этой системы не равен нулю, если ранг (14.2) равен (n+1).

Решения систем (14.1) и (14.4) совпадают. Зачем же использовать этот более сложный метод, тем более, что (14.1) требует лишь (n+1) точку? Зачем остальные N – (n+1) точек? Если объект действительно детерминированный и линейный, то эти точки не нужны и второй способ не стоит применять. Однако, возможно, что объект почти линеен. Тогда по двум точкам получается очень грубая модель. Второй способ как бы «спрямляет» объект.

Если же ранг системы (14.4) меньше (n+1)? В этом случае:

       1. Повторить измерения (может быть, вначале состояния системы были недостаточно разнообразны). Если опять не получится, то изменить структуру модели.

2.   Понизить число идентифицируемых параметров, то есть исключить рассмотрение одного из входов, например, того, который мало изменяется. И до тех пор, пока ранг (14.2) не совпадет с ее размерностью.

14.2 Динамические детерминированные модели

          В одномерном случае связь между входной величиной x = x(t) и выходом  y = y(t) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение:

,    (14.5)                    

вместе с начальными условиями для 

Модель определяется (p+l+1) параметрами c = (a0,…,ap-1,b0,…,bl).

Для описания динамики объектов, которые характеризуются дискретными значениями входных и выходных сигналов, вместо дифференциальных уравнений можно воспользоваться разностными уравнениями. Обозначив дискретные значения входного и выходного сигналов     соответственно xk-j = x[(k-j)] и yk-j = y[(k-j)], разностное уравнение (аналог дифференциального) запишем в виде

                                (14.6)

Необходимо также задать начальные условия. Структурными параметрами модели являются p и l, которые должны быть выбраны в процессе структурной идентификации.

Модель (14.5) часто удобно записывать в виде системы дифференциальных уравнений. Обозначим y1 = y,  y2 = y(1), y3 = y(2),… , yk = y(k-l). Тогда (14.5) в виде системы имеет вид:

    (14.7)

(14.5) сводится к (14.7), но (14.7) в общем случае не сводится к (14.5).

Можно записать в обобщенной форме

               

Тогда векторная форма системы: ,

где Y = (y1,…, yp) – вектор состояний, X’=(x, x(1), …, x(l)) – вектор возмущений, A – квадратная матрица коэффициентов, B – прямоугольная матрица коэффициентов.

Итак, исходной информацией для построения процедуры идентификации является вид идентифицируемой модели (14.5) и наблюдения {Xt, Yt} в промежутке [0,T]. Надо определить ai, bj. В общем случае при подстановке  наблюдений в уравнение модели (14.5) равенство в этом уравнении не выполняется. Надо подобрать ai, bj таким образом, чтобы в уравнении (14.5) правая и левая части отличались друг от друга наименьшим образом.  

Строим функцию невязки в виде среднего квадрата разности правой и левой части уравнения (14.5) при подстановке туда функций Xt, Yt – наблюдений объекта

                     .                                              (14.8)

  Минимизируем (14.8) по ai и bj:  Результат минимизации – с* дает значения идентифицируемых параметров. c*=(a0*,…,ap-1*, b0*,…,bl*) – решение.

          Приравнивая нулю производные функции (14.8) по всем неизвестным параметрам (так как функция гладкая), получим систему линейных уравнений, решение которой является решением задачи минимизации.

          Полученную систему можно решить стандартными вычислительными методами. Однако для вычисления коэффициентов системы необходимо знать производные входного xt  и выходного  yt сигналов объекта. Если эти сигналы заданы в аналитической форме – нет никаких проблем. В противном случае надо выбрать метод получения производных; это зависит от конкретных условий и должен определяться каждый раз специально:

1)                 можно использовать численное дифференцирование, то есть использовать точечную оценку производных:

             (14.9)

- интервал, характеризующий базу оценок. Этот метод обладает двумя недостатками. Во-первых, точность оценки производных быстро падает с ростом порядка производных. Практически хорошо оценить производные выше второго порядка не удается. Во-вторых, для оценки i-той производной при t=0 необходимо иметь значения функции при t<0, то есть z(-∆t), z(-2∆t), …, z(-i*∆t). Так как этих значений нет в измерениях, то приходится в (14.8) брать пределы интегрирования не [0, T], а [i*∆t, T], где i – номер максимальной производной функции;

2) можно использовать аппарат сглаживания функции с весом ρ(t); либо   

3) разложение в ряд по заданной системе функций (из-за наличия операции сглаживания, ошибки в определении производных будут значительно меньше).

Для того чтобы задача идентификации имела решение, необходимо, чтобы определитель системы, полученный в результате решения задачи минимизации, был отличен от 0. Если это условие не выполняется, то следует взять другую реализацию входов и выходов объекта, либо уменьшить количество идентифицируемых параметров (то есть p и l), то есть уменьшить порядок модели. Первая мера не всегда приводит к цели, а вторая – при последовательном применении – всегда.       

 

15 Лекция 15. Непараметрическая идентификация линейных динамических  объектов. Корреляционные функции

 

Содержание лекции:

-  непараметрическая идентификация линейных динамических  объектов.

 

Цель лекции:

-    ознакомиться с проблемой непараметрической идентификации линейных объектов; изучить методы определения корреляционных функций сигналов.

 

          15.1 Общий подход к определению непараметрической модели

Ранее отмечалось, что в параметрическом случае модель определяется набором параметров, которые необходимо оценить в процессе идентификации. Непараметрическая модель определяется в общем случае непрерывной функцией, но она может быть задана точками или в виде разложения в ряд по какой-либо системе функций, и тогда мы будем иметь параметрический случай.

          Специфика линейного динамического объекта однозначно определяется его реакцией на единичное импульсное воздействие. Это обстоятельство и лежит в основе определения непараметрической модели, которая характеризуется импульсной (весовой) переходной функцией.

Преимущества определения переходной функции: простота измерения, малое время измерения, простота обработки сигнала, простота пробного сигнала. Недостатки: низкая точность.

На практике чаще используется импульсная переходная функция. В стационарном случае (рассматриваемом нами) эта функция зависит только от одного переменного – времени:

                                        g = g(t),  0 <= t <∞.

Задание этой функции однозначно определяет поведение линейной системы y(t)  при возмущении x(t) следующим образом:

                                                                                                                  (15.1)

где x(t) = 0 при t < 0 (Это выражение носит название интеграла свертки).

          Из формулы (15.1) видно, что для определения импульсной переходной функции g(t), строго говоря, необходимо иметь измерения входа объекта x(t) за все время его существования, то есть в пределах от t=0 до t=∞. Однако весовая функция устойчивых систем, которые целесообразно рассматривать, обладает следующим очевидным свойством:

                              lim g(t) = 0.

                              t      ∞

Физически это означает, что устойчивая система после импульсного воздействия всегда возвращается в исходное состояние. Поэтому нет необходимости интегрировать в (15.1) до бесконечности, достаточно до Tg, для которого имеем

                                  при     t>Tg ,         

то есть весовая функция, начиная с момента Tg, не выходит из 100α-процентного коридора (обычно α = 0.05).

          Теперь интеграл свертки можно записать в виде:

                                                                   

            Ранее рассматривались методы определения динамических характеристик исследуемого объекта при помощи подачи на вход искусственного возмущения определенного типа (импульсного, ступенчатого, синусоиды) и замера реакции.

Эти методы часто неприменимы по следующим причинам:

-     нежелательность или невозможность подать на вход объекта возмущающего воздействия специального вида, так как это ведет к нарушению нормального хода процессов в объекте;

-     очень часто на эти воздействия накладываются неконтролируемые возмущения, поэтому невозможно определить динамические характеристики по типовым входным сигналам.

Поэтому рассмотрим метод, основанный на статистических представлениях. Статистический метод позволяет в качестве источника информации использовать случайные естественные сигналы идентифицируемого объекта. При этом может возникнуть ряд погрешностей, так как вероятность того, что случайные сигналы имеют необходимый частотный спектр, очень мала. Для реализации статистического метода требуется большой объем вычислений, что вызывает необходимость применения компьютеров.

   При статистическом методе идентификации широко используются корреляционные и спектральные функции. Имеются и другие характеристики описания случайных функций (функции распределения), но их применение к задачам идентификации объектов ограничено.

 

   15.2 Определение корреляционных функций сигналов

Для оценок корреляционных функций надо выполнить большое число экспериментов, записать в каждом из них реализации случайной функции, затем в каждом сечении t  определить среднее значение случайной функции. То есть определить среднее по реализациям.

Желательно определять статистические характеристики случайных процессов в результате  не многих, а одного опыта, то есть оценить в среднем по времени на [0, T].

          Стационарная случайная функция, для которой среднее по времени совпадает со средним по множеству, называется эргодической (по отношению к математическому ожиданию или корреляционной функции). Гипотеза эргодичности позволяет заменить усреднение по ансамблю усреднением одной реализации по времени.

Среднее значение произведения значений двух случайных процессов в различные моменты времени  t1 и t2 = t1 + τ называют корреляционной (иногда автокорреляционной) функцией. Для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит лишь от  τ = t2 - t1:

                                     (15.2)

причем Rxx(τ) = Rxx(-τ) .

Корреляционная функция характеризует степень связи между значениями случайного процесса в различные моменты времени. По мере увеличения интервала времени τ корреляционная функция убывает – связь между более удаленными друг от друга во времени значениями случайного процесса уменьшается. При τ = 0 (t1 = t2) для центрированного случайного процесса значение корреляционной функции равно дисперсии.

Среднее значение произведения значений двух случайных процессов для различных моментов времени t1 и t2 = t1 + τ называют взаимной корреляционной функцией. Для стационарных случайных процессов взаимная корреляционная функция зависит только от τ = t2 - t1:

                                         (15.3)

Взаимная корреляционная функция характеризует степень связи между значениями двух случайных процессов в различные моменты времени. С увеличением интервала τ значение взаимной корреляционной функции также убывает.

          Ввиду того, что объем измерений ограничен вместо этих функций используют их оценки:

                                                   (15.4)

где 0≤τTR, TR – период времени, который определяется из условия, что при

τ > TR корреляционная функция не выходит из заданного (обычно 5%) коридора:  │R(τ )│ ≤ 0.05Rmax  (корреляцию меньше 5% естественно считать несущественной).

Очевидно, что TR различно для Rxx(τ) и Rxy(τ). Но так как нас интересуют динамические свойства объекта, а они отражаются в Rxy(τ), то можно считать, что TR =TRxy. Таким образом, исходная информация преобразуется к паре корреляционных функций: < , ,    0≤τTR>.

При вычислениях с помощью компьютеров, интервал T разбивается на N  равных отрезков длиной ∆t,  τ и  принимают дискретные значения, кратные ∆t:

τ = k·t,  k = 0, 1, 2, 3…,  t = kt  ·∆, kt =1, 2, 3…

Тогда интеграл можно заменить приближенно следующей суммой:

         .

Чаще используется следующая формула:

                     (15.5)

k=0,1,…, N, – интервал сдвига (k=0, …, N-1), N – число измеряемых координат корреляционной функции, x – среднее значение х на интервале.

Точность определения корреляционной функции по (15.5) определяется длительностью интервала наблюдения T, максимальным временем  корреляции τmax, шагом квантования по времени ∆t, числом ординат корреляционной функции, определяемых на интервале 0<=τ<=τmax. Под максимальным временем корреляции понимается такое τ, начиная с которого

                                              |R(τ)|<= 0,05·Rmax.

          Общая схема определения корреляционной функции:

1.   Реализации исследуемых случайных процессов центрируются.

2.   Производится предварительный частотный анализ, в результате которого грубо оценивается высшая fmax и низшая fmin гармоники в исследуемых сигналах.

3.   Определяется максимальное время корреляции сигнала:

                                         τmax=.

Выбирается интервал вычисления корреляционной функции в соответствии с требуемой точностью. Так, для определения корреляционной функции с точностью 2% для центрированных реализаций случайного процесса

                                         T ≈16· τmax 

На основании теоремы Котельникова выбирается шаг квантования по времени:

                                         ∆t  <= .

Выбирается количество уровней квантования. Для точности 2% - 14 уровней.

4.   Оценивается число вычисляемых координат  .

5.   Выполняется расчет по алгоритму (15.5).

 

 

 

16 Лекция 16. Непараметрическая идентификация линейных динамических  объектов. Уравнение Винера-Хопфа

 

Содержание лекции:

-  непараметрическая идентификация линейных динамических  объектов.

 

Цель лекции:

-    изучить методы непараметрической идентификации линейных динамических  объектов.

 

16.1 Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции

          Для объекта с одним входом и одним выходом, описываемого линейным уравнением с постоянными коэффициентами, входное воздействие  x(t) и реакция y(t) связаны уравнением свертки

                                                                                 (16.1)

x(t) = 0  при  t <0, y(t) = v(t)+εy(t), x(t) = u(t)+ εx(t), v(t)  и u(t) – истинные значения сигналов, εx(t),  εy(t)  - помехи, возникающие при эксперименте.

Определение импульсной переходной функции непосредственно из уравнения свертки нежелательно в силу следующих причин: интегральные уравнения вида (16.1) являются уравнения Вольтерра (первого или второго рода), которые плохо обусловлены и для получения корректного решения необходимо применение специальных методов регуляризации. Кроме того, в результате измерений значения случайных процессов на входе и выходе объекта получаются с большими погрешностями, которые необходимо сгладить. 

При стационарном случайном возмущении исходным уравнением для получения статистическим методом импульсной переходной функции является уравнение, аналогичное (16.1), но связывающее корреляционные функции. Выведем это уравнение.

  Автокорреляционная функция входа

                                                          (16.2)

И взаимно-корреляционная функция входа и выхода

                                                           (16.3)

Будем считать, что корреляции помех во входах и выходах отсутствуют, помехи εx(t),  εy(t)  независимы и являются белым шумом. Тогда можно не считаться с наличием помех измерений, то есть Rxx(τ) ≈ Ruu(τ), Rxy(τ) ≈ Ruv(τ).

Ради этого и рассматривается корреляционный подход, который позволяет минимизировать влияние помех. Напомним, что мы ищем оператор объекта по минимуму среднеквадратичного отклонения, которое является математическим ожиданием функции потерь. Корреляционная функция – тоже второй центральный момент.

Имеем выражение (16.3), но y(t) связан с x(t) уравнением (16.1):

   

Отсюда

                                   (16.4)

-         уравнение Винера-Хопфа.

 Это уравнение можно интерпретировать как уравнение (16.1), если рассматривать Rxx(t) как входное воздействие, а Ryx(t) - как реакцию. Идентификация сводится к решению уравнения (16.4) в промежутке [0,T].  Но так как g(t) – затухающая функция, то есть  при то, начиная с некоторого момента времени Tg ее значения неинформативны. Обычно Tg определяют до идентификации. Например, можно определить время TR, начиная с которого |R(τ)|<= 0.05Rmax . Это TR различно для Rxx(t) и Ryx(t) . Но так как нас интересуют динамические свойства объекта, а они отражаются в Ryx(t) , то TR определяют по Ryx(t).

          Таким образом, задача определения динамических характеристик разбивается на следующие этапы:

1.   Запись случайных процессов на входе и выходе объекта.

2.   Вычисление корреляционной функции входного сигнала и взаимно-корреляционной функции входного и выходного сигналов.

3.   Определение параметра TR.

4.   Решение интегрального уравнения (16.4).

Итак, привели задачу определения импульсной переходной функции к решению уравнения Винера-Хопфа. Рассмотрим методы решения уравнения Винера-Хопфа.

 

    16.2  Алгебраический метод решения уравнения Винера-Хопфа

  Один из методов решения уравнения (16.4) – алгебраический. Представим (16.4) в виде системы линейных алгебраических уравнений. Для этого перейдем к дискретному времени, интеграл запишем в виде суммы. Интервал разбивается на m равных интервалов t, 2t, …, mt и интеграл записывается приближенно в виде суммы:

                                           (16.5)

Обозначим gi = g(it) и полагая τ = t, 2t,..., mt, получим систему:

                             Rx·G=Q                                                                                (16.6)

где G = [g1, g2,…,gm]T, Q= [q1, q2…, qm]T, ,

Rx – квадратная симметричная матрица mхm:

       .

Таким образом, получили систему m линейных уравнений для определения m значений ординат весовой функции g(τ)  в точках t, 2t,…, mt.   

 В реальных объектах обычно g(0) = 0, поэтому в правых частях уравнений (16.6) можно убрать первые слагаемые. Кроме того, чтобы сохранить диагональную симметричность определителя системы, часто  сдвигают на один шаг , то есть систему (16.6) рассматривают не с первой строки, а со  второй. Если отрезок ∆ достаточно мал, ошибка будет незначительна.

          Уравнение Винера-Хопфа является плохо обусловленным: даже малые вариации в исходных значениях корреляционных функций приводят к большим вариациям решений. К тому же вместо истинных значений корреляционных функций использовались их оценки. Поэтому решение уравнения Винера-Хопфа получается с большими погрешностями. Хотя полученные таким образом импульсные переходные функции имеют малую среднеквадратичную ошибку, близкую к минимуму, ценность их невелика, так как эти функции не соответствуют физическому смыслу процессов в объекте. Физический смысл имеют гладкие решения.

          Один из методов регуляризации плохо обусловленных уравнений основан на том, что решение ищется в виде линейной комбинации собственных функций интегральных операторов (в случае интегральных уравнений) или собственных чисел линейных операторов (в случае систем линейных алгебраических уравнений). При решении задачи идентификации собственные функции оператора свертки, как правило, неизвестны. Однако, например, разложение решений уравнения Винера-Хопфа по некоторой системе гладких функций, соответствующих реальному протеканию процессов в идентифицируемом объекте, обладает хорошими регуляризующими свойствами. Это относится и к сглаживанию входящих в уравнение Винера-Хопфа корреляционных функций.

          17 Лекция 17. Методы идентификации, основанные на

аппроксимации характеристик объектов и сигналов

 

Содержание лекции:

- методы сглаживания импульсной переходной функции

 

Цель лекции:

-    изучение методов непараметрической идентификации объектов, основанные на аппроксимации неизвестных характеристик объектов и сигналов.

 

          При практической реализации методов идентификации широко используются процедуры аппроксимации, обладающие сглаживающими свойствами.

 

          17.1 Краткие сведения об аппроксимации функций

          Задача аппроксимации – это задача приближения функции по какой-либо системе функций. Пусть рассматриваемая функция f(t) абсолютно интегрируема на интервале [0,T]. На практике это требование, обычно, выполняется. Эта функция разлагается по некоторой системе аппроксимирующих функций {φ(t)}, абсолютно интегрируемых на том же интервале времени

.                                                                    (17.1)

          Вид системы аппроксимирующих функций выбирается исходя из априорной информации об аппроксимируемой функции. Коэффициенты аппроксимации выбираются таким образом, чтобы минимизировать некоторый заранее выбранный критерий приближения. Можно воспользоваться одним из следующих видов приближения: равномерным, интерполяционным, квадратичным. Для точного решения задачи с использованием двух первых видов приближения не существует конечного алгоритма для вычисления коэффициентов разложения на бесконечном интервале (который чаще всего входит в алгоритмы идентификации). Это обстоятельство, а также алгоритмическая простота реализации квадратичных приближений обусловили их широкое распространение. Коэффициенты разложения в этом случае могут быть получены из системы алгебраических уравнений. Вводя обозначения для скалярных произведений

                       (17.2)

получим искомую систему:

a00, φ0) + a10, φ1) + … + aN0, φN) = (φ0, f);

…………………………………………………                                    (17.3)

a00, φN) + a11, φN) + … + aNN, φN) = (φN, f).

Условием единственности решения системы (17.3) является неравенство нулю ее определителя. Определитель не равен нулю тогда и только тогда, когда выбранная система аппроксимирующих функций является линейно-независимой.

Если не предъявлять к аппроксимирующей системе функций больше никаких требований (кроме абсолютной интегрируемости), система (17.3) решается совместно. И при изменении длины отрезка N нужно заново вычислять все коэффициенты an. Кроме того, для решения системы надо определить N(N+1)/2 интегралов вида (17.2). Для достижения независимости определения коэффициентов аппроксимации an и упрощения решения системы (17.3) функции {φ(t)} целесообразно выбрать ортогональными на интервале [0,T], то есть удовлетворяющими условию

                                           (17.4)

  где   cn  - некоторая постоянная.

          Если функции {φ(t)} ортогональны, определитель системы (17.3) становится диагональным и формулы для вычисления коэффициентов упрощаются до вида

                           .

Если постоянные cn=1, система функций {φ(t)} является ортонормированной, выражения для формул упрощаются до вида широко известных формул Фурье, а сами коэффициенты в этом случае называются коэффициентами Фурье (по аналогии с рядом Фурье, члены которого также представляют собой ортонормированные на [0,T] функции. Иногда выбирают функции, ортогональные с некоторым весом w(t)

.                                              (17.5)

Функция веса выбирается таким образом, чтобы выделить ошибку на интересующем интервале изменения независимой переменной.

Недостатком рассмотренного выше алгебраического метода является необходимость решения системы Винера-Хопфа. Некорректность исходного интегрального уравнения приводит к плохой обусловленности этой системы. Есть несколько способов получения плавной импульсной переходной функции, которые выбираются на основе имеющейся априорной информации об объекте.

 

          17.2 Сглаживание дискретных значений импульсной переходной функции

          Наиболее простой и появившейся ранее других формой сглаживания является аппроксимация полученного решения системы алгебраических уравнений, эквивалентных уравнению Винера-Хопфа.

          В результате решения системы уравнений (16.5) численным методом, получим дискретные значения g0, g1,…, gm импульсной переходной функции g(t) в равноотстоящих точках 0, 1,…, n. Полученную последовательность дискретных величин представим с помощью какого-либо аппроксимирующего полинома

                                                                                                        (17.6)

          где   {φk(τ)}- какая-либо система аппроксимирующих ортогональных функций.

          Коэффициенты аппроксимации определяются как

                             .                                                                   (17.7)

          Основные требования, предъявляемые к аппроксимирующей системе функций:

          - функции {φk(τ)}должны быть абсолютно интегрируемы;

          - функции {φk(τ)}должны быть достаточно гладкими для регуляризации решения уравнения идентификации;

          - система функций {φk(τ)} должна быть  линейно-независимой;

          - система функций {φk(τ)} должна быть ортогональной;

          - система функций {φk(τ)} должна гарантировать быстроту

аппроксимации с ростом степени полинома N;

          - функции {φk(τ)} должны быть просто реализуемы с помощью

несложных вычислений.

          Возникает вопрос о выборе степени N аппроксимирующего полинома. Этот вопрос очень сложен и в настоящее время не решен до конца. При решении этой задачи возможны следующие подходы:

          1. В ряде случаев характер импульсной переходной функции известен. Это позволяет определить степень N аппроксимирующего полинома (17.6) с учетом конкретного вида аппроксимирующих функций {φk(τ)}.

          2. Если известна дисперсия ошибки измерения взаимно-корреляционной функции Ryx значение N можно определить по широко принятому в математической статистике критерию χ2.

          3. Если дисперсия ошибки измерения Ryx неизвестна, значение N можно определить по известному из математической статистики критерию Фишера.

          Однако следует отметить, что при больших значениях N в силу ошибок вычисления критерии Пирсона и Фишера становятся малонадежными.

          4. Довольно общий подход к определению степени аппроксимирующего полинома N основан на принципе Гаусса. Значение N находится из условия минимума по N функционала

                                                                                     (17.8)

где - результат подстановки полинома (17.7) в систему уравнений (17.6) вместо импульсной переходной функции g(t). То есть минимизируется дисперсия Ryх.

 

          17.3 Метод идентификации, основанный на предварительной аппроксимации импульсной переходной функции

          Более эффективный метод решения задачи идентификации состоит в предварительной аппроксимации импульсной переходной функции объекта g(t) и последующем определении коэффициентов Фурье этого разложения по результатам наблюдений за входными и выходными сигналами. Аппроксимируем импульсную переходную функцию суммой (17.6), где {φk(τ)} - ортогональны. Коэффициенты разложения пока неизвестны. Минимизируем отклонение выходных сигналов объекта y(t) и модели y*(t), где y*(t) определяется из уравнения свертки

                                      .                                                       (17.9)

Подставив в это уравнение выражение для импульсной переходной функции (17.6), имеем

         (17.10)

Критерий идентификации имеет вид

  .                 (17.11)

Отсюда

.                  (17.12)

Наилучший выбор имеет место при .

В итоге получим систему

      (17.13)

для определения неизвестных коэффициентов разложения.

Как правило, на практике N<<m, то есть система (17.13) имеет существенно меньший порядок, чем (16.5)  и хорошо обусловлена в силу гладкости системы функций {φk(τ)}. Однако проблема выбора степени N аппроксимирующего полинома остается.

 

18 Лекция 18. Методы идентификации, основанные на аппроксимации характеристик объектов и сигналов

 

Содержание лекции:

- методы сглаживания импульсной переходной функции

 

Цель лекции:

-    изучить методы непараметрической идентификации, базирующиеся на аппроксимации неизвестных динамических характеристик объекта аналитическими выражениями.

 

18.1 Метод идентификации, основанный на совместной аппроксимации импульсной переходной и корреляционных функций

Регуляризующего эффекта можно достичь за счет предварительного сглаживания корреляционных функций сигналов объекта с помощью какого-либо аппроксимирующего полинома. В соответствии с этим методом импульсная переходная функция аппроксимируется выражением (17.1), где коэффициенты (17.2). При этом правая часть системы алгебраических уравнений (16.5), эквивалентных уравнению Винера-Хопфа, также аппроксимируется теми же функциями

                                                                                      (18.1)

причем, для получения системы с числом уравнений, равным числу неизвестных, число аппроксимирующих функций N в выражениях (17.1) и (18.1) выбирается одинаковым.

В выражении (18.1) в отличие от (17.1) коэффициенты

                                                                                        (18.2)

можно считать заданными, так как значения взаимной корреляционной функции Ryx(t) в узлах заданы, а функции {φ(τ)}известны.

Подставим в систему алгебраических уравнений (16.5), эквивалентных уравнению Винера-Хопфа, выражения (17.1) для импульсной переходной функции и (18.1) для взаимной корреляционной функции; умножим обе части      на φj(τ) и суммируем от τ=0 до τ=m:

                  .                   (18.3)

В силу ортогонормированности функций {φj(τ)} приходим к системе линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов ak:

                                                                                            (18.4)

где                                   (18.5)

Решив эту систему, найдем оценку импульсной переходной функции по выражению (17.1). Система уравнений (18.4) имеет существенно меньший порядок, чем исходная система, и хорошо обусловлена в силу гладкости{φj(τ)}и невысокого порядка. Это позволяет получать достаточно точные оценки импульсных переходных функций путем простых вычислений. В процессе решения возникают трудности, связанные с выбором количества аппроксимирующих функций, о которых упоминалось и ранее.

 

18.2 Метод идентификации, основанный на аппроксимации сигналов

Если входные и выходные сигналы объекта могут быть аппроксимированы каким-либо аналитическим выражением, импульсная переходная функция может быть получена из интеграла свертки или из уравнения Винера-Хопфа также в аналитическом виде.

Рассмотрим реализацию этого подхода. Входные и выходные сигналы объекта аппроксимируются на интервале наблюдения линейной комбинацией некоторых функций. Искомую импульсную переходную функцию также аппроксимируют этой же системой функции. Например, пусть сигналы разложены в ряды ортогональных полиномов {pi(t)}:

                                                                            (18.6)                                          

где   ,    а pij - коэффициенты полинома.

То есть сигналы представляются в виде степенных рядов

                                                                                   (18.7)

где коэффициенты связаны с коэффициентами разложения     соотношениями:

                               .                                                               

Импульсную переходную функцию тоже ищем в виде степенного ряда

                                                                                                (18.8)

Подставляя  (18.7)  и (18.8) в интеграл свертки, получаем

                               .                                        (18.9)

Приравнивая коэффициенты при равных степенях, получим систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов gi  в выражении (18.8). В результате имеем:

    .            

  Представляет интерес аппроксимация сигналов в комплексной области, то есть представление их рядами ортогональных функций, легко преобразуемых по Лапласу. Такими функциями, являются, например, функции Лагерра L(t).  В этом случае имеем:

                                                                                       (18.10)

Соотношения (18.10) в комплексной плоскости запишутся как

                                                                                           

а передаточная функция объекта имеет вид:

                 .                  

Между коэффициентами {an} и {ck} имеют место следующие соотношения:          

                              

Можно получить аналогичные соотношения между {bi} и {di}.

Если сигнал, подаваемый на вход объекта, носит кусочно-постоянный характер или может быть аппроксимирован кусочно-постоянной функцией с достаточной степенью точности, алгоритмы идентификации упрощаются. Для j-го интервала входного сигнала с постоянным значением можно записать

                      ,  где h(t) - переходная функция.

Разложим ее по некоторой ортнормированной системе функций:

                      .                                                                                   

В этом случае, разложив выходной сигнал по той же системе функций, можно записать:

                   ,  откуда следует:    .                                                                                                

Аналогичным образом можно поступить и в том случае, если входной сигнал может быть аппроксимирован кусочно-линейной функцией.

Аппроксимирующие функции обычно выбираются таким образом, чтобы достичь хорошего приближения при небольшом их числе. Приведем некоторые полиномы, широко использующиеся при решении задач идентификации.

Исходные полиномы Лагерра ортонормальны с весом ω(t) = e-t на интервале (0, ∞). Полином Лагерра  n-го порядка имеет вид

                                ,                                                             (18.11)

а выражения для первых трех полиномов соответственно равны

                                .                                               

 Полиномы Лагерра ортогональны таким образом, что

                                 .                                                   

После нормировки выражение (18.11) примет вид:

                                 .                                                           

Другим важным типом аппроксимирующих функций являются полиномы Лежандра, ортогональные на интервале [-1,1]. n–ый полином Лежандра описывается выражением

.                                                                    Первые полиномы Лежандра, таким образом, имеют вид:

                                                          

Полиномы Чебышева ортогональны на интервале [-1,1] с весом

                                                                              

Полином Чебышева n -го порядка имеет вид:

                                                                                            

Выражения для первых полиномов:

               

А коэффициенты разложения функции f(x) по системе полиномов Чебышева имеют вид:

                                 .                                                                       

Аппроксимация произвольной функции полиномами Чебышева позволяет добиться равномерного распределения погрешности и избежать ее накопления к концу интервала.

19 Лекция 19. Идентификация нелинейных объектов

 

Содержание лекции:

-  особенности идентификации нелинейных объектов; методы решения задачи идентификации нелинейных объектов.

 

Цель лекции:

-    изучить методы идентификации нелинейных объектов.

 

          19.1 Особенности идентификации нелинейных динамических объектов

          Как статические, так и динамические процессы могут обладать нелинейными характеристиками, которые нельзя игнорировать. Как следует из ранее изложенного, даже идентификация линейных динамических объектов представляет собой весьма сложную задачу. При идентификации нелинейных динамических объектов трудности несоизмеримо возрастают. Одной из основных трудностей является зависимость переходного процесса нелинейного объекта не только от формы, но и от амплитуды входного сигнала, что выдвигает сложные и противоречивые требования к выбору пробного сигнала при активной идентификации. Другим серьезным препятствием служит бесконечное разнообразие типов нелинейных операторов, описывающих объекты. Эти, а также ряд других обстоятельств являются причиной того, что почти все предложенные к настоящему времени методы идентификации нелинейных динамических объектов пока далеки от практического применения.      

 

          19.2 Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов

Методы линеаризации представляют наиболее развитую группу методов идентификации нелинейных систем. В нашем курсе мы неоднократно встречались с такими задачами. Напомним идею метода. Она состоит в замене нелинейной зависимости линейной.

Уравнение объекта в общем случае имеет вид:

L[y(t)] = f[x(t)],                                                                      

где L – линейный дифференциальный оператор.

Разложим в степенной ряд в окрестности рабочей точки x0:

f(x) = a0 + a1(x - x0) + a 2 (x - x0)2 + …

Обозначив приращения переменных через  и введя обозначение y0=f(х0), получим оператор (1) в приращениях:

причем, коэффициент линеаризации K=a1.

          Простота и достаточная в ряде случаев точность обеспечили преимущественное развитие этих методов. Однако, рассмотрение объектов в линейном приближении является часто недостаточным.

 

19.3 Идентификация нелинейных функций априорно известного вида

Если имеется априорная информация о типе нелинейности, то параметры «истинных» нелинейных функций могут быть идентифицированы. В таких случаях можно использовать один из следующих приемов:

а)  произвести замену переменных в исходном аналитическом выражении, затем, выполнив линеаризацию, получить линейную модель объекта.  Рассмотрим процесс, описываемый выражением

                                    (19.1)

Для идентификации этого процесса введем сначала следующие новые переменные:

                                                                (19.2)

В итоге получим:

                     .                                    (19.3)

          Линеаризуем теперь уравнение (19.3) в предположении, что приращения его переменных малы:

   (19.4)

Вводя обозначения

     (19.5)

получим

                    .                     (19.6)

Очевидно, b1, b2,…,b5 могут быть идентифицированы методом линейной регрессии. Замечая, что  можно определить  а5, поскольку   и   доступны для измерения. Подставляя выражение для а5  в формулу (19.5) для , получаем . Член  непосредственно определяется величиной  согласно (19.5).  Члены ,можно найти из выражений (19.5) для , следующим образом. Значение  находим из выражения  где  переменная  доступна для измерения. Наконец,  определяется подстановкой  в выражение (19.5) для .

          По аналогии с описанной выше методикой идентификации процесса (19.1) может быть идентифицировано много других видов нелинейных зависимостей;

          б) экспоненциальные зависимости вида   могут быть идентифицированы, если преобразовать их путем логарифмирования к соотношению вида:              Обозначая  получим  где А и В легко вычисляются методом минимума среднеквадратичной ошибки.

          Аналогично в процессах вида   можно использовать логарифмирование, получая выражение , из которого а  и в вычисляются так же, как и в предыдущем случае.

Однако, в некоторых случаях последний метод непригоден или для его применения необходима некоторая дополнительная информация. Например, этот метод непригоден для системы

                                                ,                                                                               

в которой требуется идентифицировать            

Используя метод малых возмущений, получим Здесь коэффициент  может быть идентифицирован с помощью среднеквадратичного критерия  однако это не дает решения для .  Можно, конечно, использовать вторые и высшие частные производные (или возмущения второго и последующих порядков), но на практике это обычно не имеет смысла, поскольку здесь значимость производных мала, особенно если измерения зашумлены.

 

          19.4 Идентификация объекта с нелинейностями общего вида

Модель в простейшем одномерном случае выражается нелинейным дифференциальным уравнением:

                                                                                                          

где- нелинейная скалярная функция p+l+1 аргументов, которую необходимо идентифицировать по наблюдениям .

В векторной форме это уравнение имеет вид:

                                   

где  - векторная функция двух  векторных аргументов.

Наблюдения сведем к   

(дифференцируя исходные функции и используя аппарат сглаживания).

          19.4.1 Функциональные модели

Пусть F является известной функцией с неизвестными параметрами. В этом случае система уравнений

                                                                                                                                

интегрируется численно (например, методами Рунге-Кутта) при заданных начальных условиях и фиксированных значениях идентифицируемых параметров .  

Полученное решение  сопоставляется с наблюдениями  и получается функция невязки

                                                                                                                 

минимизация которой решает задачу идентификации.

Если структура модели выбрана в классе дифференцируемых функций, то эту задачу решает система трансцендентных уравнений (решение которой тоже непростая задача):

                                ,                                                             

где [,] – скалярное произведение.

В противном случае можно использовать поисковые методы минимизации. Для этого строится рекуррентная процедура

                               

  где  - шаг, определяемый алгоритмом поиска. 

Для реализации поиска необходимо лишь значение функции F при различных , поэтому есть возможность создавать модель F не только в классе аналитических описаний (поэтому такой подход называется функциональным).

 

19.4.2 Модели, линейные относительно оцениваемых параметров

Они являются частным случаем функциональных моделей и образуются в результате разложения искомой функции по заданной системе функций:

                                                                                                                    

где - заданная система функций, она определяется на стадии структурной идентификации. Аппроксимацию можно провести, например, с помощью полиномов. Однако, во всех случаях идентификацию можно проводить только в предположении некоторого специфического типа нелинейной аппроксимирующей функции, параметры которой подлежат идентификации. Задача поиска коэффициентов разложения решается известными методами.

 

 

20 Лекция 20.  Алгоритмы предварительной обработки и оценки идентичности

 

Содержание лекции:

- оценивание свойств изучаемого объекта; оценка степени идентичности модели реальному объекту

 

Цель лекции:

-    изучить алгоритмы  оценки стационарности и линейности объекта; степени идентичности модели реальному объекту.

 

20.1 Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта

  Для корректного использования алгоритмов идентификации требуется предварительная оценка таких свойств объекта, как стационарность/ нестационарность, линейность/нелинейность. Эти задачи решаются с помощью алгоритмов предварительной обработки данных. В общем случае исходными данными служат массивы «выборки» квантованных значений входных и выходных сигналов объекта, измеренных через определенные интервалы дискретизации во времени. Длина реализации, подвергающейся испытанию на стационарность должна быть достаточной, чтобы в ней отразился возможный тренд (нестационарность).

Объект исследования считается стационарным, если стационарному случайному сигналу объекта соответствует стационарный сигнал на его выходе. Как известно, случайный процесс  называется строго стационарным, если для любых t1,…,tn и τ распределение случайного вектора (x[t1+τ],…,x[tn+τ]) не зависит от τ . Для большинства реальных приложений достаточно проверить слабую стационарность процесса, то есть тот факт, что средние значения и автокорреляционная функция не зависят от времени. 

Опишем алгоритм проверки стационарности:

1.     Для оценки стационарности процесса реализацию разбивают на n интервалов равной длительности. Подсчитывают средние значения и средний квадрат для каждого из n интервалов и поученные значения располагают в порядке возрастания номеров интервалов:

<1x>, <2x>, … , <nx>, <1x2>, <2x2>, … , <nx2>,                  

где < > - осреднение по времени.

2.     Каждый из этих последовательностей испытывают на тренд известными методами серий и тренда или методами разложения функциональных рядов.

3.     Hа основе анализа результатов, полученных при применении этих методов, принимается решение о стационарности объекта с уровнем значимости 5%.

Вначале проверке на стационарность подвергается реализация входного сигнала. Если он оказывается нестационарным, дальнейшая статистическая обработка не производится. В противном случае на стационарность проверяется реализация выходного сигнала и делается суждение о стационарности или нестационарности объекта.

Суждение о линейности объекта осуществляется на основании оценки вида закона распределения реализаций, исходя из следующих положений:

- из теории прохождения сигнала через линейную систему известно, что если входной сигнал подчиняется нормальному закону распределения, то и выходной сигнал тоже распределен нормально;

- линейная динамическая система обладает свойством нормализации закона распределения выходного сигнала в тех случаях, когда распределение сигнала на входе отличается от нормального;

- при прохождении нормально распределенного сигнала через нелинейную систему закон распределении искажается.

Описанные ситуации отражены в следующей таблице:

Закон распределения сигнала

Тип объекта

Входной сигнал

Выходной сигнал

Нормальный

Нормальный

Линейный

Нормальный

Отличный от нормального

Нелинейный

Отличный от нормального

Нормальный

Линейный

Таким образом, задача оценки линейности объекта сводится к проверке гипотезы о нормальности законов распределения исходных реализаций. В случае, когда входные и выходные сигналы объекта имеют распределение, отличное от нормального, вывод о линейности или нелинейности объекта сделать нельзя. В этом случае оценка линейности объекта осуществляется на этапе идентификации.

Проверка закона распределения на нормальность проводится стандартными методами математической статистики.

 

20.2 Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту

При построении математической модели приходится учитывать только основные, определяющие факторы и отбрасывать второстепенные. К основным факторам относят те входные переменные, которые оказывают доминирующее влияние на выходную переменную. Естественно, что полученное математическое описание всегда беднее реального объекта и отражает только те его основные закономерности, которые необходимы для решения конкретной задачи. Причем для решения различных задач одного и того же объекта могут быть построены различные математические описания.

Кроме того, математическое описание различных процессов может быть одинаковым, несмотря на то, что физическая природа этих объектов различна. Например, одними и теми же дифференциальными уравнениями описываются различные физические, химические, механические и т.д. системы. Тогда можно говорить о степени изоморфности (соответствия, подобия, адекватности) модели объекту. Так как мы рассматриваем модели, построенные методами идентификации, будем использовать термин «степень идентификации».

Реальные процессы представляют собой сложные объекты с большим количеством взаимосвязанных переменных, причем учесть все невозможно. Поэтому возникает вопрос, какие и сколько переменных должно быть включено в модель, а какими можно пренебречь. Включение каждого фактора связано с большим объемом исследований по получению реализаций и статистической обработке, это требует значительных затрат времени и средств. Степень идентичности должна обеспечивать решение конкретной задачи, то есть нам необходимо из всех возможных видов описания объекта выбрать такой, который был бы максимально простым в смысле его реализации и, с другой стороны, давал бы возможность решить поставленную задачу. Например, если идет речь об управлении качеством какого-либо изготавливаемого продукта, который характеризуется дисперсией выходных переменных, то очевидно, модель, полученная при идентификации, должна давать возможность рассчитывать выходную переменную с точностью, которая характеризуется этой дисперсией.

Оценку точности определения выходной переменной производят по дисперсии условного математического ожидания или математическому ожиданию условной дисперсии (остаточной дисперсии). Значит, эта характеристика может быть использована в качестве характеристики степени соответствия, идентичности модели объектов. Но дисперсия может принимать значения от нуля до бесконечности, что неудобно для практического применения. Естественно ввести ограничения и потребовать, чтобы количественная мера степени идентичности принимала значения от 0 до 1 (0  полное несоответствие, 1– полное соответствие, то есть функциональная зависимость). Поэтому в качестве меры степени идентичности применяют отношение дисперсии условного математического ожидания выходной переменной y(t) относительно входной переменной x(t) к дисперсии выходной переменной y(t).

В одномерном случае оптимальный по критерию минимума среднеквадратичного отклонения оператор дает условное математическое ожидание y(t) относительно совокупности значений x(t):

                                                     (20.1)

Тогда в качестве оценки степени идентичности модели (20.1) объекту

                                                                            

принимают отношение

,                            (20.2)

где - дисперсия условного математического ожидания значения выходной переменной y(t) относительно значения входной переменной x(t) при соответствующих значениях аргумента t, то есть относительно совокупности значений х при всех аргументах s в T; D{y(t)} - дисперсия выходной переменной y(t).

В (20.2) по определению

                       

то есть математическое ожидание квадрата отклонения поверхности регрессии выходной переменной y(t) в момент t относительно совокупности значений входной функции x(s) для всех s от математического ожидания y(t).

Дисперсия условного математического ожидания характеризует ту часть общей дисперсии выхода y(t), которая вызвана влиянием всей совокупности значений входа x(s) для всех s из T.

Общая дисперсия может быть представлена таким образом

                   (20.3)

Имеем

                               

Из (20.2), учитывая (20.3) получим

.                                             

Тогда

                                             (20.4)

- количественная характеристика степени неидентичности модели объекту.

Из определений (20.2), (20.4), учитывая (20.3), имеем

Действительно, если модель построена на основе учитываемой информации x(t), которая не связана или слабо связана с y(t), что характеризуется большими значениями по сравнению с D{M{y/x}}, то степень идентичности будет мала или равна нулю, а степень неидентичности значительна или равна единице.

Мера степени идентичности дает количественную оценку степени наших знаний об объекте, степени его формализации.  

 

Список литературы

  1. Дейч А.М. Методы идентификации динамических объектов. – М.:Энергия, 1979.

  2. Гроп Д. Методы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1979.

  3. Сейдж А., Мелса Дж. Идентификация систем. – М.: Наука, 1974.

         4. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры.- М.: Сов. Радио, 1980.

 5. Рабинер Л., Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов – М., Мир,1978.

  6. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. – М.: Мир, 1983.

  7. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. – М.: Наука, 1984.

         8. Химмельблау Д, Анализ процессов статистическими методами. – М., Мир, 1973.

   9. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М., Мир, 1986.

  10. Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. – М., Мир, 1977.

 11. Серов, Е.П., Корольков Б.П. Динамика парогенератора. - М., Энергия, 1977.

 12. Плютинский В.И., Погорелов В.И. Автоматическое управление и защита  теплоэнергетических установок АЭС. - М., Энергоатомиздат, 1983.

 13. Кафаров В.В., Перов В.А., Мешалкин В.П. Принципы математического моделирования химико-технологических систем. - М.,  Химия, 1976.

 14. Профос П. Регулирование паросиловых установок. = М.: Мир, 1976.

 15. Лазарев Ю. MatLab 5.x – К.: Изд.группа ВHV, 2000.

 16. Бенькович Е., Колесов Ю., Сениченков Ю. Практическое

моделирование динамических систем. – СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

 17. MATLAB 6.5 SP1/7.06 Simulink 5/6 в математике и моделировании. – М.: СОЛОН-Пресс, 2005.

 18. Ибраева Л.К. Основные приемы работы в среде MatLab. Методический практикум – Алматы: АИЭС, 2004.

19. Ибраева Л.К. Моделирование и идентификация объектов управления.     Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности «Автоматизация и информатизация систем управления» - Алматы: АИЭС, 2005.

20. Ибраева Л.К. Моделирование и идентификация объектов управления.

Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов специальности «Автоматизация и управление» - Алматы: АИЭС, 2007.

21. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. – М.: Физматгиз, 1960.