Коммерциялық емес  акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Инженерлік кибернетика кафедрасы 

 

 

 

 

ОҚУ-ТАНЫСУ ІС-ТӘЖІРИБЕСІ 

5В070200-Автоматтандыру және басқару мамандығы

бойынша оқитын  студенттер үшін тапсырмаларды орындауға

арналған әдістемелік нұсқау 

 

 

 

Алматы 2010

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: М.Д. Ешпанова, А.Т. Ибрашева. Оқу-танысу іс-тәжірибесі. 5В070200- Автоматтандыру және басқару мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін тапсырмаларды орындауға арналған әдістемелік нұсқау.- Алматы: АЭжБУ, 2010. - 38 б.

Мұнда 5В070200- Автоматтандыру және басқару мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін оқу-танысу іс-тәжірибесінің тапсырмаларын орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар келтірілген. Әдістемелік нұсқауда жеті тапсырма бар. Әрбір тапсырманың сипаттамасы орындауға қажетті ақпараттан тұрады және ұқсас есептерді шешу мысалдары келтірілген.

 

Мазмұны 

Кіріспе                                            

4

1 Тапсырма. Қорытынды теңдеулерді жуықтап шешу                

4

2 Тапсырма. Сандық интегралдау әдістері       

11

3 Тапсырма. Кіші квадраттар әдісі

16

4 Тапсырма. MS Excel көмегімен дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу әдістері

20

5 Тапсырма. Бет тұрғызу                                                    

24

6 Тапсырма. Надстройки-Поиск решения көмегімен оптималдау есептерін шешу    

27

7 Тапсырма. Просмотр и ссылки функциялары                                    

33

Әдебиеттер тізімі

37

Кіріспе 

Студенттердің оқу-танысу іс-тәжірибесі олардың оқу барысында алынған білімдерін практикалық есептерді шешеуде қолдануға негізделген.  Іс-тәжірибе өту барысында  студенттер инженерлік есептерді сандық шешу әдістерін оқып және оларды қолдануды үйренуі керек: трансценденттік теңдеулерді шешу әдістері, сандық интегралдау әдістері,  дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері.

Студенттер әртүрлі мысалдарды орындау кезінде  MS Excel-дің математикалық,  экономикалық және басқа да есептерді шешеуге арналған көптеген мүмкіндіктерін оқиды. Әдістемелік нұсқауда келтірілген тапсырмалар кестелік процессордың және программалық құралдарды құрудың жетілдірілген ортасының мүмкіндіктерін тереңдетіп меңгеруге арналған.

Іс-тәжірибе өту барысында  студент әрбір орындалған тапсырма бойынша жазбаша есептеме тапсыруы керек. Есептеме құрамы келесідей:

-    есептің қойылуы;

-    әдістің сипаттамасы;

-    программалау тілдерінің бірінде жазылған программа және (немесе) есептеу кестесі;

-    программа  жұмысының нәтижесі.

Әрбір жұмыстың сипаттамасы сәйкес курстан алынған орындауға арналған ақпараттан және ұқсас есепті орындау мысалынан тұрады. Кейбір тапсырмалар MS Excel-мен қатар алгоритмдеу тілін қолдануға негізделген. Сонымен қатар әдістерді және функцияларды қолдану мысалдары келтіріледі.

1 Тапсырма. Қорытынды теңдеулерді жуықтап шешу

Жұмыс мақсаты – есептеу математикасының инженерлік тәжірибеде көп кездесетін типтік есептерін – алгебралық және трансценденттік теңдеулерін орындауды үйрену.

Теңдеулерді сандық шешу қарастырылады

f(x)=0                                                                         (1.1)

мұнда f – берілген функция.

Егер  (1.1) теңдеу  келесі түрде болса:

A 0 + A 1 x  + A 2 x 2 +  .  .  .  + A n x n = 0

мұнда A i –белгілі коэффициенттер.

Онда ол n-дәрежелі алгебралық теңдеу деп аталады. Барлық басқа жағдайларда (1.1) теңдеу трансценденттік теңдеу деп аталады.

(1.1) түрдегі теңдеулерді шешудің ең тиімді шешу әдістері: Ньютон әдісі, дихотомия әдісі, хордалар әдісі, қарапайым итерация әдісі.

Ньютон әдісі. Теңдеудің түбіріне кезекті жуықтау келесі формула бойынша жүреді

хn+1=xn-f(xn)/f 1(xn).

Дихотомия әдісі (кесіндіні қақ бөлу әдісі). Әрбір  итерация сайын [a,b] кесіндісі қақ бөлінеді. Келесі итерация үшін кесіндінің ұштарында f(x) функциясының әртүрлі таңбалы болатын кесінді таңдалады.

Хордалар әдісі. Кезекті жуықтау төмендегі формула бойынша жүреді

хn+1=xn- (xn – xn-1)* f (xn)./ (f(xn)-  f(xn-1)). 

Қарапайым итерация әдісі. Кезекті жуықтау төмендегі формула бойынша жүреді

xn= w(xn-1),

бастапқы жуық түбірді график көмегімен табуға болады. Егер түбір төңірегінде  |w1(х)| <1 болса әдіс анықталған.

(1.1) теңдеудің сандық шешімін әдетте өрескел шешімді табудан – бастапқы жуықтаудан бастайды.

Мысал.

Келесі теңдеу  берілген

х3-17х+12=0.                                          (1.2)

Теңдеуді сандық әдіспен шешу алдында оны стандартты түрге келтіру керек. Екі  стандартты түрін қарастырайық.

1.1 Кесте

Түрі

Мысал

Қолданылатын әдістер

Оң бөлігі 0-ге тең теңдеу 1

х3-17х+12=0

Графикалық әдіс, хордалар әдісі, дихотомия әдісі, Поиск решения пакеті

Сол бөлігі белгісіз шамадан тұратын теңдеу 2

Ұяшықтағы итерация әдісі

 

Берілген мысалды шешу үшін келесі әдістерді қарастырамыз:

1)     теңдеу түбірін график көмегімен іздеу (бастапқы жуықтау ретінде қарастыруға болады);

2)     итерация әдісі;

3)     теңдеуді Надстройки-Поиск решения көмегімен шешу.

4)     Паскаль тіліндегі программа көмегімен шешу (қақ бөлу әдісі – дихотомия).

1.1       Түбірді іздеу үшін графикалық әдісті қолдану

Түбірді іздеу үшін графикалық әдісті қолданғанда теңдеудің бірінші түрі ыңғайлы, оның барлық мүшелері бір бөлігінде орналасқан.

Теңдеу мына түрде жазылады

                                                  f(x)= х3-17х+12.                                                (1.3)

Электрондық кестеге -5<=x <=5 интервалындағы х мәндерінің бағанын толтырамыз, әрбір х үшін f(x) мәні есептеледі. f(x) функциясының графигі орнатылған нүктелік диаграмма тұрғызамыз.

 

 

1.1 Сурет

 

Графикте түбірлер х=0,8, х=3,7жәнех=-4,5 нүктелерінің жанында орналасқаны көрініп тұр. Түбірлерді графикалық әдіспен табу қарапайым, бірақ дәлдігі төмен.

Түбірлерді жоғары дәлдікпен табу үшін сандық итерациялық әдістер қолданылады. Бұл әдістерді қолдана отырып, бастапқы жуық мәнді көрсету керек, ал графикалық әдіс осы жуық мәнді табу үшін өте қолайлы.

 

1.2 Итерация әдісі

Қарапайым  итерация әдісінде (тура орнына қою әдісі) – алдыңғы жолда есептелген мәнді келесі итерация үшін болжанған мән ретінде қолданады. Ол үшін 2 стандартты форманы қолдану қажет         

                                                 (1.4)

Теңдеудің сол бөлігіне шығарылған айнымалы есептелетін мән деп аталады. Оны хв деп белгілейік. Теңдеудің оң бөлігіндегі х айнымалысы болжамды мән. Ол хп  деп белгіленеді.   

                                             (1.5)

А4 ұяшығына бастапқы болжамды мән енгізіледі – х=0,8. В4 ұяшығында (1.5) формуласы бойынша есептеулер жүргізу үшін А4 ұяшығындағы болжамды мән қолданылады.

А бағанындағы әрбір жаңа болжамды мән В бағанындағы алдыңғы қадамның есептелген мәніне тең болады. Мысалы, А5 ұяшығына (=В4) формуласы енгізіледі.

Енді жаңа есептелетін мән алу үшін  В4 ұяшығындағы формуланы В5 ұяшығына көшіру қажет.

Қажеттілік болса келесі итерация үшін ұяшықтар 5-нші жолдан төменгі жолға көшіріледі.  С бағанындағы айырма әдістің қиылсуын бағалауға мүмкіндік береді.

 

1.2 Сурет

 

1.2 суреттен қарапайым итерация әдісі көмегімен х=0,7286 түбірін бірнеше қадам ғана жасап тез табылғаны көрінеді.

х=0,8 аумағында w1(x)= 3*х2 /17 <1 болғандықтан әдістің қиылысуына қажетті шарт орындалған.

Қарапайым итерация әдісінің артықшылығы – ол электрондық кестеде оңай іске асырылады.

Кемшілігі: кейде әдіс қиылыспайды – оның көмегімен барлық түбірлер табыла алмайды.

 

1.3 Түбірді іздеу үшін Надстройка-Поиск решения қолдану

Бұл мәселені шешу үшін MS Excel программасы басқа әдісті ұсынады – надстройка-Поиск решения.

Ескерту: бұл надстройка MS Excel программасында келісім бойынша орнатылмайды және активтендірілмейді. Надстройка-Поиск решения іске қосу үшін Сервис – Надстройки-Поиск решения белгісін орнату қажет.

Теңдеу 1-нші формада жазылады. В3 ұяшығына бастапқы жуықтау енгізіледі  -  х= (0.8), ал В4 ұяшығына – =В3^3-17*В3+12 формуласы орнатылады (1.3 суретті қара). Ары қарай Сервис – Поиск решения қолданылады.

 

1.3 Сурет

Установить целевую ячейку өрісінде мақсатталған ұяшық ретінде формула қойылған В4 ұяшығы қолданылады. Надстройка-Поиск решения мақсатталған ұяшық 0-ге тең болғанға дейін шешімін іздеуді жалғастырады (өйткені теңдеудің оң бөлгінде 0 тұр).

Ол үшін ауыстырғышты по значению: күйіне қойып, ал сәйкес өріске 0 мәнін енгізу керек. Изменяя ячейки: өрісінде жобаланған мән орналасқан -  В3 ұяшық адресі енгізіледі. Барлық көрсеткіштер енгізілгеннен кейін Выполнить кнопкасын шертіңіз.

Надстройка-Поиск решения көмегімен 0,73-ке тең түбір табылды. Басқа түбірлерді табу үшін жобаланған мәнді өзгертіп Надстройка-Поиск решения командасын қайта жіберу керек.

Надстройка-Поиск решения артықшылығы: қолдануы қарапайым және теңдеудің барлық түбірлерін табуға мүмкіндік береді.

 

1.4 Кесіндіні қақ бөлу алгоритмі (дихотомия әдісі).

Берілген e оң мәнінен аспайтын қателікпен түбірдің мәнін табу қажет. Кесіндіні қақ бөлу әдісін қолдануға болады.

Түбір орналасқан [a,b] кесінді ортасын алып  (яғни координатасы с=(а+b)/2 нүктесін) түбірді іздеу диапазонын кішірейтуге болады: f(с) таңбасына байланысты [a,b] кесіндісінен [a,c] кесіндісіне немесе [c,b] кесіндісіне өту керек: егер f(a)f(c)<0, онда [а,с] кесіндісіне өтеді, егер  f(a)f(c)>0, онда [c,b] кесіндісіне өтеді. Егер содан кейін кесіндінің ортасын тауып және ол үшін f(x) функциясының мәнін есептесе, онда тағы да іздеу диапазонын кішірейтуге болады және ары қарай тура солай жүреді. Бірнеше қадамнан кейін ұзындығы берілген e санынан  кіші болатын кесінді табылады.

Бұл әдісті қолдану С++ алгоритмдік тілінде жазылған программада көрсетілген.

Әдістің артықшылығы: электронды кестеде, алгоритмдеу тілдерінде  оңай іске асады. Алгоритмдеу тілдерінде  бардық түбірлерді табуға мүмкіндік береді.

Әдістің кемшілігі:  f(x) өте кіші болса және  f(x) мәнін есептеу қателігі оның мәнінен үлкен болғанда  f(x)-тің жуық мәні бойынша әрқашанда  f(x)<= 0 теңсіздігінің дұрыс екенін табу мүмкін емес.

Бұл алгоритмді іске асыратын  программаның сұлбасы: a және b айнымалылары үшін a<b теңсіздігі орынды және f(a)f(b)<0. fa мәні f(a), с – [a,b] кесіндісінің ортасын білдіреді, fc - f(c)  тең.

Бұл программа бір түбірді табуға мүмкіндік береді. Сондықтан  алдын-ала а және b шекараларын сол кесіндіде тек бір түбір ораналасатындай етіп  дәл анықтау керек (графикалық әдісті қолдануға болады). Бұл әртүрлі а және b мәндерін көрсете отырып әртүрлі түбірледі табуға мүмкіндік береді. Нақты бір f(x)=x3-17*x+12 функциясы үшін, түбірлерінің бірі [0,2] кесіндісінде жатса а=0,b=2 программа келесі түрде болады

 

#include<iostream.h>

#include<conio.h>

#include<math.h>

float f(float x)                 // нақты бір функция мәнін есептейтін функция

{float ff;

ff=x*x*x-17*x+12;

return (ff);}

void main()                                       // Негізгі  функция

{float a,b,c,fa,fc,eps;  int n=0;

clrscr();

cin>>a>>b>>eps;

fa=f(a);

do

    {

c=(b+a)/2;

         fc=f(c);

         if (fa*fc<0) b=c;

             else

                {

                a=c;fa=fc;

                }

cout<<c<<endl;n=n+1;

      } 

while (b-a>eps) ;

cout<<a<<endl;

cout<<n<<endl;

}

 

1.5 Практикалық мысал. Деталь ауданын есептеу

Қандай да бір механизм құрастырылуда, ол үшін ауданы берілген деталь қажет, оның формасы шеңберлік сегмент болуы керек. Шешімі формула (r және s-ке тәуелді өрнек) емес сан болуы керек. Ол түбірдің нақты мәнінен өте кіші мәнге ғана ерекшелігі болуы керек.

Радиусы r және радианда берілген орталық бұрышы А болатын шеңберлік сегмент ауданы s=r2(А-sinА)/2. Радиусы r және ауданы  s  заттың орталық бұрышын табу есебін қарастырсақ келесі теңдеуді аламыз

x-sin x – 2s/r2=0.                                    (1.6)

Есеп мағынасы бойынша 0<x<2p және 0<s<pr2.. (1.6) теңдеуі – бұл  трансценденттік теңдеу.

Бұл теңдеуді шешу үшін дәл аналитикалық формула табу қиын. Бірақ  осы түрдегі теңдеулерді шешу үшін сандық әдістерді қолдануға болады.

Осы есепті өздігіңізше шешіңіздер.

 

1.6 Бақылау сұрақтары

1.5.1 Теңдеулерді сандық шешу әдістерін атап өтіңіздер.

1.5.2 Теңдеулерді сандық шешу әдетте неден басталады?

1.5.3 Қарапайым итерация әдісінің мағынасы неде?

1.5.4 Қарапайым итерация әдісі қиылысуы үшін қандай шарт орындалуы қажет?

1.5.5 Қарапайым итерация әдісінің артықшылығы және кемшілігі неде?

1.5.6 Қақ бөлу әдісінің мағынасы неде?

1.5.7 Қақ бөлу әдісін қолданғанда қандай шарттар орындалуы қажет?

1.5.8 Поиск решения әдісінің мағынасы неде?

1.7 Тапсырма нұсқалары

Нақты оң таңбалы е саны берілген. Кесіндіні қақ бөлу әдісімен,  итерации әдісімен және Поиска решения көмегімен  f(x)=0 теңдеуінің  жуық шешімін табыңыздар. Табылған мәннің абсолютті қателігі е санынан аспауы керек. Теңдеу жанында түбір орналасқан кесінді (квадрат жақша ішінде) немесе бастапқы жуық мән де келтірілген. Егер көрсетілмесе, онда теңдеудің бір түбір орналасқан кесіндіні алу үшін немесе түбірге бастапқы жуықтау үшін функция графигін зерттеу керек. MS Excel қолданып тапсырмаларды орындау және  программалау тілдерінің бірінде программасын жазу (C++  немесе Pascal).

 

 

№

Теңдеу

Кесінді немесе бастапқы жуық мән

№

Теңдеу

Кесінді немесе бастапқы жуық мән

1

x+ln(x+0.5)-0.5=0

хÎ[0, 2]

14

(4+x2) (ex –e  - x)-18

хÎ[1.2,1.3]

2

x5 – x -  0.2=0

хÎ[1, 1.1]

15

 + 1 = cos(0.5x)

 

3

x4 + 2x3 – x-1=0

хÎ[0, 1]

16

x*2x-1=0

хÎ[0, 1]

4

x3–0.2x2–0.2x-1.2=0

хÎ[1, 1.5]

17

x2-1.3*ln(x+0.5)-2.8*x+1.1=0

хÎ[2.1,2.5]

5

x*2x – 1=0

хÎ[0, 1]

18

x4+cos x -2=0

хÎ[0, 2]

6

x2 – sin5x = 0

хÎ[0.5,0.6]

19

tg x – x =0

х»4.67

7

5x – 8* ln x = 8

х»4.32

20

1.8*x4 – sin 10*x = 0

х»0.22

8

3 x2 – cos 2x–1 =0

 

21

x – sin x = 0.25

х»1.17

9

2 ln x – 1/x +0.5=0

 

22

3*x – sin x-7=0

 

10

x2 cos 2x + 1=0

хÎ[0, pi/2]

23

x – cos x -1 =0

 

11

2 x – cos x = 0

хÎ[0, pi/2]

24

x2 – sin5x = 0

хÎ[0.5,0.6]

12

0.9 x–sin√ x–0.1=0

хÎ[0, 1.5]

25

2 x – cos x = 0

хÎ[0, pi/2]

13

tg x - = 0

хÎ[0, ]

 

 

 

 

 

 

2 тапсырма. Сандық интегралдау әдісі

 

Жұмыс мақсаты – сандық интегралдау әдісін зерттеу, практикалық есептерді шешуде қолдану инженерлік есептеулер үшін қолдану.

 

Көптеген қарапайым функциялардың интегралдары қарапайым функциялар арқылы көрсетілмейді. Сонымен қатар, интегралдауға қажетті функция тек формула емес басқа да түрде берілуі мүмкін. Интегралдар жақсылап зерттелген және күрделі «арнайы» функциялар арқылы көрсетілуі мүмкін, мысалы, қателіктер функциясы, интегралдық синус және интегралдық косинус. Кез келген әдіспен, әсіресе кестелік түрде берілген функциялардан алынатын интегралдауда қолданылатын әмбебап  әдістердің бірі сандық интегралдау әдісі. Егер  интегралданатын функцияның интегралдау интервалындағы кейбір нүктелеріндегі мәндері белгілі болса, онда сандық интегралдау формулалары ол интегралдың жуықтаған мәнін береді.

Сандық интегралдаудың келесі әдістері қарастырылады:

1)     Ауданды тіктөртбұрыштарға бөлу арқылы жуықтап есептеу. 

мұнда n – бөлінген кесінділердің саны; y0 бy1,…  yn  –  функцияның кесінді соңдарындағы мәні.    

2)     Ауданды трапецияларға бөлу арқылы жуықтап есептеу.      

I= f(x)dx=     (y0+2y1+…+2yn-1+yn),

мұнда n- бөлінген кесінділердің сан;    y0 , y1,  yn  –  функцияның кесінді соңдарындағы мәні.

3)     Симпсон әдісі.

I=f(x)dx=(y0+4y1+2y2+…+4y 2n-1+y 2n),

мұнда 2n- бөлінген кесінділердің саны; y0 , y1,  y 2n –  функцияның кесінді соңдарындағы мәні.

Симпсон әдісін нүктелер саны жұп болса және абсцисса өсі бойынша нүктелер бірдей ара қашықтықта, яғни интервал тұрақты болса ғана қолдануға болады. Интегралдау қадамы көршілес екі интервалдан тұрады.

Трапециия формуласын қолданғанда қателік реті h2 болады, Симпсон формуласы үшін – h4, мұнда h – интервал – берілген екі нүктенің арақашықтығы. Интервалды h кішірейткенде дәлдік жоғарылайды.

Әдістер 0-ден дейінгі интервалында у=соs(х) функциясын сипаттайтын мәліметтер мысалында көрсетіледі.

соs(х)dx=sin(   )-sin(0)=1                             (2.1)

Есептеу процесін келесі кезеңдерге бөлуге болады:

1)     Мәліметтерді енгізу.

2)     Бір тіктөртбұрыштың немесе трапецияның ауданын есептеу үшін  формула енгізу.

3)     Формуланы барлық интервалдарға көшіру (оның саны мәліметтер нүктесінің санына тең болмауы мүмкін екеніне көңіл аударыңыз).

4)     Бөлшектеуден пайда болған фигуралардың ауданының қосындысын есептеу.

2.1 Тіктөртбұрыштарға бөлу арқылы интегралды есептеу

Электронды кестеге х-тің онбір мәнін енгізіп (2.1 суретті қара), осы нүктелердегі у мәнін есептеу керек.

Sпр бағанына әрбір тіктөртбұрыштың ауданын есептейтін формуланы енгізу керек; тіктөртбұрыштың биіктігі интервалдың сол жағындағы функцияның мәніне тең.  Суммарлық ауданды есептеу қажет.

Тура осыған ұқсас тіктөртбұрыштың биіктігі интервалдардың оң жағындағы функцияның мәніне тең болған кездегі интегралды табыңыз. Интегралдың табылған мәндерін салыстырыңыздар.

 

2.1 Сурет

2.2 Трапецияларға  бөлу арқылы интегралды есептеу

Бір трапецияның ауданын табу үшін формуланы енгізу.

Трапецияның ауданын келесі формуламен өрнектеледі:

Sтрап=(уо+ус)*(хо-хс)/2;

у-тің есептеліп қойған мәндерін қолданып әрбір трапецияның ауданыны есептеу керек. Трапецияның суммарлық ауданын есептеу қажет. Табылған үш нәтижені салыстырыңыздар.

Мысал:  С++ тілінде орындалған сандық интегралдау

 

 

 

Float f(float x)       //интеграл астындағы өрнеукті есептеу

 {float c;

    c=cos(x);

       return c;}

float integ(float a,float b, int n)             // интегралды есептеу

{float s,h;

int i;

h=(b-a)/n;

s=(f(a)+f(b))/2;

for(i=1;i<n;i++)

s=s+f(a+h*i);

return s*h;}

void main()                             //бас функция

{float a,b,i;

int n=10;

i=integ(0, 1.57,n);

cout<<”integral value=”<<i<<endl;}

2.3 Практикалық мысал. Бетоннан жасалған тіректік қабырға

Күрделі формадағы бетоннан жасалған тіректік қабырғаның жобасы жасалған, оның қалыңдығы 20 см. Бетонға тапсырыс беру үшін қабырғаның өлшеміне қарай оның көлемін анықтау қажет. Қабырғаның түрі графикте көрсетілгендей.

Бұл есепті келесі қадамдарға бөлейік:

1)     электрондық кестеге қабырғаның өлшемдерін енгізейік;

2)     қабырғаның жоғарғы бөлігінің бүйір бетінің ауданын табайық;

3)     қабырғаның төменгі бөлігінің ауданын табайық;

4)     бүйір бетінің суммарлық ауданын табайық;

5)     табылған нәтижені қабырғаның қалыңдығына көбейтіп қажет көлемді аламыз.

 

2.2 Сурет

 

 

Өздігіңізше келесі практикалық мысалдарды орындау керек:

1)     Пружинаны созуға шығындалатын жұмыс мөлшері. 2.3 суретте көрсетілген құрылғы көмегімен пружинаны созуға шығындалатын жұмыс мөлшерін анықтауға болады. Құрылғы пружинадан,  динамометр және сызғыштан тұрады. Созылмаған пружина ұзындығы 1,3 см. Пружинаны ақырындап созылады. Оны 0,4 сантиметрге созған сайын динамометр көрсетілуі жазылып отырған, нәтижесінде 2.2 кестеде көрсетілген мәліметтер алынды. Пружинаны созуға қажет жұмыс мөлшері келесі формуламен есептеледі:

А=                                    (2.2)

мұнда х –пружинаның ұзаруы.

Пружинаны 0-ден 3.6 сантиметрге созуға шығындалатын жұмыс мөлшерін табу керек.

2.3 Сурет

 

2.1 Кесте - Пружинамен жүргізілген тәжірибе нәтижелері

Ұзындық (см)

Бастапқы ұзындық (см)

Ұзаруы (см)

Күш (Н)

1.3

1.3

0.0

0.0

1.7

1.3

0.4

0.88

2.1

1.3

0.8

1.76

2.5

1.3

1.2

2.64

2.9

1.3

1.6

3.52

3.3

1.3

2.0

4.4

3.7

1.3

2.4

5.28

4.1

1.3

2.8

6.16

4.5

1.3

3.2

7.04

4.9

1.3

3.6

7.92

 

2) Газды қыздыруға қажет энтальпия. n моль газды  Т1-ден Т2 температураға дейін қыздыру үшін кететін энтальпия газдың жылусыйымдылығы арқылы есептейтін  формула бойынша табылады: 

                                                                                         (2.3)

Бірақ жылусыйымдылық температураға тәуелді. Бұл тәуелділікті сипаттау  үшін  оң жағында Т-ға қатысты үшінші реттік полиномы бар теңдеу жиі қолданылады:               

                                                                             (2.4)

a,b,c,d   коэффициенттерінің мәнін біле отырып белгілі бір газдың кез-келген Т үшін (2.4 теңдеу орындалатын шектерде) жылусыйымдылығын анықтауға болады. 2.2 кестеде бірнеше кең тараған газдың коэффициенттері  келтірілген (температура Цельсий градусында).

 

2.2 Кесте - Жылусыйымдылықты есептеу  үшін  қолданылатын коэффициенттер

Газ атауы

a

b

c

d

Қолдану интервалы

Ауа

28.94х10-3

0.4147х10-5

0.3191х10-8

-1.965х10-12

0 – 1500 0С

СО2

36.11х10-3

4.233х10-5

-2.877х10-8

7.464х10-12

0 – 1500 0С

СН4

34.31х10-3

5.469х10-5

0.3661х10-8

-11.00х10-12

0 – 1500 0С

Н2О

33.46х10-3

0.6880х10-5

0.7604х10-8

-3.593х10-12

0 – 1500 0С

(нұсқалары:   ауа,  СО2, СН4,  Н2О)

а) 200-ден 800 0С температура диапазонында  20 0С қадаммен газдың жылусыйымдылығын есептеу.

б) сандық интегралдау әдісінің көмегімен  100 моль газды 200-ден 800 0С-қа қыздыруға қажетті энергияны (энтальпия өзгеруі) есептеу.

с) б) тармағында алынған нәтижені аналитикалық жолмен есептелген нәтижемен салыстыру. Ол үшін (2.3) теңдеудегі интегралға жылусыйымдылықтың полином түріндегі (2.4) өрнегін орату керек.

2.4 Бақылау сұрақтары

2.4.1     Сандық интегралдау формулаларын атаңыз.

2.4.2     Интегралды есептеу үшін тіктөртбұрыш формуласын қолданып қанша мән алуға болады? Бұл неге байланысты?

2.4.3     Трапеция әдісінің мағынасы неде?

2.4.4     Сандық интегралдау әдістерінің қайсысының дәлдігі жоғары?

2.4.5     Трапеция әдісін қолданғанда қателіктің реті қандай?

2.4.6     Симпсон әдісінің ерекшелігі неде? Симпсон әдісін қолданғанда қандай шарттар қойылады?

2.4.7     Симпсон әдісін қолданғанда қателіктің реті қандай?

2.4.8     «Көршілес нүктелердің арасындағы интервал» және «интегралдау қадамы» дегеніміз не?

2.4.9 Симпсон әдісінің интегралдау қадамы неге тең?

2.5 Тапсырма нұсқалары

Ұсынылған әдістерді қолданып тапсырмаларды MS Excel-де орындау және программалау тілдерінің бірінде программасын жазу (C++  немесе Pascal). Нәтижелерін салыстыру керек.

1

10

19

2

11

20

3

12

21

4

13

22

5

14

23

6

15

24

7

16

25

8

17

 

 

9

18

 

 

 

3 Тапсырма. Кіші квадраттар әдісі

 

Жұмыс мақсаты – тәжірибе, сынақтар және статистикалық бақылаулар  нәтижелерін математика-статистикалық және компьютерлік өңдеу әдістерін оқу.

Көптеген табиғи құбылыстарды оқу барысында заңдылықтарды орнату үшін тәжірибелер жүргізеді немесе зерттеу нысаны жайлы статистикалық мәліметтерді жиналады. Осыдан кейін сол құбылысты сипаттайтын таңдалған көрсеткіштер арасындағы функционалдық тәуелділікті анықтау керек. Мұндай операцияны аппроксимация деп, алынған функцияны аппроксимациялаушы функция деп, ал оның графигін  аппроксимациялаушы сызық деп атайды.

x және y айнымалыларының арасындағы байланыс зерттелсін делік;  ол үшін осы айнымалылардың тәжірибе немесе мәліметтерді жинау нәтижелесінде алынған мәндерінің кестесі қарастырылады:

A=(                 (3.1)

B=( ).                                       (3.2)

3.1 Тапсырма

Температураның уақытқа тәуелдігі қарастырылады. 3.1 кестесінің х және у бағанына енгізілген мәліметтер жиынын ең жақсы сипаттайтын түзу сызықтың коэффициенттерін табу қажет. а және в (3.1), (3.2) формулалары бойынша есептеледі.

 

3.1 Сурет

 

1) А3:A12 ұяшықтарына уақыт мәндері енгізіледі, В3:В12 ұяшықтарына температура. Е4 ұяшығында (3.1) формула бойынша а коэффициенті есептеледі, ал F4  - (3.2)  формула бойынша в коэффициенті.

2)     а бұрыштық коэффициентін анықтау үшін Excel-де  регрессиялық  анализ амалдарын қолданамыз, сызыққа  НАКЛОН функциясы арналған, в мәні ОТРЕЗОК функциясының көмегімен табылады.

3)     Курсорды  Е5(F5) ұяшығына қою керек .

Вставка-Функции-Статистические-НАКЛОН (ОТРЕЗОК) – қолданғанда у(В3:В12) бағаны, содан кейін х(А3:A12) бағаны ерекшеленеді.

 

  3.2 Тренд сызығының көмегімен сызықтық регрессияны орындау

Мәліметтерді графикалық түрде көрсету қажет:

Мәліметтерді А3:В12 ерекшелеп, Вставка–Диаграмма–Точечный график қолдану керек. Сол батырмамен – графикте маркер пайда болады, ал оң  батырмамен – тренд сызығын қою керек. Сызық түрін таңдап (линейная), параметры қосымшасының көмегімен Установить – Показать  уравнение на диаграмме және Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации, прогноз атты тармақтарды қолданыңыздар.

Графикте (3.1 суретті қара) тренд сызығы,  регрессия теңдеуі  және анықтық (достоверность) шамасы көрсетілген.

Аппроксимацияның анықтық шамасы диаграммада көрсетуге қажетті көрсеткіштердің бірі. Осы шама бойынша регрессия теңдеулерінің осы немесе басқа теңдеуін қолданудың дұрыстығы жайлы сөз қозғауға болады.

Егер коэффициент 0,9-1 диапазонында жатса, онда бұл  тәуелділікті нәтижені жобалау үшін қолдануға болады. Корреляция коэффициенті 1-ге жуыған сайын қолданылатын үлгі анықталған болады.

Жиі еркін таңдау аппроксимациясы үшін дәрежелік полиномиалды теңдеу қолданылады. Бірақ осындай сызықтардың теңдеулерін болжау кезінде мәліметтерде және болжамда үлкен қателіктер болуы мүмкін екенін ескеру керек. Егер жақында корреляция коэффициенті 1-ге жақын болатын бір функция орналасса, онда оны регрессия теңдеуі ретінде қарастыру қажет.

Барлық үш табылған нәтижені салыстыру керек.

Берілген әдістің алгоритмі келесідей:

-         алғашқы мәліметтерді енгізу – X, Y бірөлшемді массивтер;

-         формулалар бойынша қосындыны табу үшін қарапайым цикл;

-         ізделетін  коэффициенттерді формулалар бойынша есептеу.

Егер аппроксимациялаушы функция түрі y = a x 2 + b x + c болса, онда бұл жағдай квадраттық аппроксимация деп аталады. Бұл жағдайда a, b, c үш белгісіз көрсеткіштерді анықтау үшін U функциясының минимумдық шартынан үш алгебралық теңдеулер жүйесі алынады.

 

3.3 Практикалық мысал: шығын өлшегіш құралды қайта калибрлеу

Құрастырушы зауыттан шығын өлшегіш құрал өндіріске түседі,  оның құрамына стандартты заттарға (әдетте ауа немесе су) арнап құрылған градуирлеу кестесі кіреді. Бірақ калибрлеуді тексеру қажет, өйткені қандай да бір уақыт қолданғаннан кейін оның көрсетулері дәл екеніне көз жеткізу керек.

Айналмалы шығын өлшегішті сатып аларда оның градуирлеу кестесі (3.3) теңдеумен сипатталған болады, ол шығын өлшегіш көрсетулерін (жиілік Герц бойынша) су ағынының жылдамдығымен (м/с) байланыстырады.

V=0.0023+0.0674f                                          (3.3)      Бір жыл өткеннен кейін ол құралды қайта калибрлеу үшін қолданыстан шығарды. Алдын ала тестілеу өткізілген, нәтижесі 3.1 кестеде.

Келесіні анықтау қажет:

1)     Құралды қайта калибрлеу қажет пе?

2)     Егер қажет болса, онда жаңа калибрлеу теңдеуі қандай болады?

Біріншіден, 3.3 теңдеумен болжанатын ағын жылдамдығының мәндерін есептеп алуға және график көмегімен осы теңдеу табылған мәндерді қаншалықты жақсы сипаттайтынын тексеруге болады.     

3.1 кестеде жылдамдықтың тәжірибелік және болжанған (3.3 формула бойынша есептелген) салыстырмалы мәндері келтірілген. Тәжірибелік және болжанған жылдамдықтар үшін бөлек графиктер салу керек.

Тәжірибелік мәндердің теңдеу көмегімен есептелгендерден біршама айырмашылығы бар.  Бұл қайта калибрлеуді өткізудің уақыты келгенін растайды. Диаграммада түзу сызық түріндегі тренд сызығын тұрғызайық та, оның теңдеуін көрсетейік.

 

 

 

3.1 Кесте

Жиілік (Гц)

Тәжірибелік жылдамдық (м/с)

Болжанған жылдамдық (м/с)

0,8

0,05

0,1

4,2

0,27

0,3

8,2

0,53

0,6

10,9

0,71

0,7

13,1

0,86

0,9

16,8

1,1

1,1

20,5

1,34

1,4

23

1,5

1,6

26,6

1,74

1,8

28,4

1,85

1,9

32,9

2,15

2,2

35,6

2,33

2,4

38,5

2,52

2,4

42,1

2,75

2,8

 

3.4 Бақылау сұрақтары

3.4.1     Түзу сызықтың бұрыштық коэффициентін анықтауға қажетті, мәліметтерді ең жақсы сипаттайтын функция қандай?  

3.4.2      Диаграммада тренд сызығын қалай тұрғызуға болады?

3.4.2      Диаграммада регрессия теңдеуін көрсетуге болады ма?

3.4.3      Регрессия сызығының қандай үлгілері бар?

3.4.4      Диаграммаға аппроксимация анықтығының шамасын қалай орнатуға болады?

3.5      Тапсырма нұсқалары

х және у екі бақыланатын шама, мысалы, қандай да бір өнімді бірнеше ай бойы тұтыну көлемі (х – ай, у – тұтыну көлемі) болсын. бақыланатын шамаларды ең жақсы сипаттайтын математикалық үлгіні табу қажет. Сай келетін  математикалық үлгі туралы қорытынды. Тапсырманы MSExcel-де орындау.

 

Нұсқалары 1-5

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

87

80

75

80

70

65

68

62

57

54

 

Нұсқалары 6-10

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

76

134

155

167

153

152

148

130

148

178

 

Нұсқалары 11-15

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

98

54

108

65

54

63

87

90

92

78

Нұсқалары 16-20

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

9

16

20

27

34

39

44

52

58

64

 

Нұсқалары 21-25

х

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

у

12

35

23

65

34

67

24

34

87

90

 

4 Тапсырма. MS Excel көмегімен дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу әдістері

 

Жұмыс мақсаты – дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу әдістерімен танысу және осы әдістерді инженерлік есептерде қолдануға дағдылану.

 

Физикалық процесстердің математикалық үлгілері жиі дифференциалдық теңдеулер тілінде құрылады. 

Y1=f(x,y)  на [a,b]; y(a)=y0;                                       (4.1)

Қарастырылатындар

1) Эйлер әдісі: түйіндік нүктелердегі мәндер келесі формуламен есептеледі:

yi+1 =f(xi,yi)h+yi  [a,b]; y(a)=y0;                                  (4.2)

2)     Рунге-Кутта әдісі: түйіндік нүктелердегі мәндер келесі формуламен есептеледі:

yi+1 = yi +h/6(k1+2k2+2k3+k4)   I=0, 1, 2,…                                   (4.3)

мұнда

k1=f(xi, yi);   k2=f(xi+h/2, yi+h 1k1/2);

k3=f(xi+h/2, yi+hk2/2);      k4=f(xi+h, yi+hk3).

 

4.1       Тапсырма: бастапқы шарттары берілген бірінші реттік  дифференциалдық теңдеуді шешу

Y1 =x+y,  [0,  1.4],  h=0.02  y(0)=0;

Шешу үшін Эйлер формуласы қолданылады:

 f(x,y)=x+y;  yi+1 =(xi  +yi)h+yi                                              (4.4)

[0, 1.4] аралығында; y(a)=y0;

A3:A73 ұяшықтарына 0,02 қадаммен х мәндері енгізіледі.  B3 ұяшығына y(0)=0 бастапқы шарты енгізіледі; B4 ұяшығына формула (4) енгізіледі -  B4(=(A3+B3)*0.02+B3); Маркер автозаполнения–тетігін тартқанда барлық түйіндік нүктелердегі мәндер есептеледі.

4.1 Сурет

 

4.2 Практикалық мысал. Ауа температурасына байланысты дене температурасының өзгеру есебі

Жылу шығару заңдылығына сәйкес ауадағы дене температурасының өзгеруі ауа және дене температурасының айырмасына тура пропорционал:

                                                                                                        (4.5)

мұнда x(t) – t уақыт моментіндегі дене температурасы;

u(t) – осы t уақыт моментіндегі ауа температурасы; 

 - дене қасиетімен анықталатын оң коэффициент.

Мысалы, егер  және ауа температурасы t теуелділігі болса 20-1/(1+t2), онда теңдеу келесідей жазылады

                                                                                    (4.6)

Жоғарыда жазылғандарды қолданып келесі есептерді шешу керек.

1 Қандай да бір уақыт моментінде ауа температурасы 300 болсын делік, ал кейінірек әрбір секунд сайын 0.010 төмендеді, онда  болғанда u(t)=30-0.01t орындалады. Қарастырылатын дене үшін .

t =0 уақыт моментінде температурасы 1000 болатын дене 900-қа дейін суыну үшін  қанша уақыты кететінін анықтау қажет.

2 Дене   температурасының өзгеруінің теңдеуі қарастырылады. Қарастырылатын дене үшін  ұйғарылған.  болғанда u(t)=30-0.1+5sint орындалсын. Осы есепті шешудің  программасының бір  нұсқасын жазу керек. Дәлдік бақылауға қажетті шаралар қолданылсын. Бастапқыда есептеулерді h=1 қадаммен жүргізіп, содан кейін h=1/2 қадаммен тексеріліп және тағы кішірейтіле береді. х(5) нүктесіндегі жуық екі  шаманың айырмасының модулі берілген eps санынан кіші болғанда тоқтатылады.

3 Айналып тұрған резервуардан инертті материалды жуып шығаратын процесті сипаттайтын дифференциалдық теңдеу қарастырлады:

                                                                                  (4.7)

мұнда С-контейнердегі  және осы контейнерден шыққан ағындағы инертті материалдың (А компоненті) концентрациясы (мг/мл);

Свход –контейнерге кіретін ағындағы А компонентінің концентрациясы (мг/мл);

 – жүйедегі ағынды лас суды өңдеудің ұзақтығы ();

V – контейнер көлемі (константа) (мл);

V` – кіретін және шығатын ағынның жылдамдығы (мл/с);

Компоненттің резервуардағы бастапқы концентрациясы, жүйе көрсеткіштері: кіріс ағындағы А компонентінің концентрациясы, резервуар көлемі және ағынның жылдамдығы 4.1 кестеде келтірілген.

4.1 Кесте -Жүйе көрсеткіштері

Көрсеткіштің атауы

Көрсеткіштің мәні

А компонентінің резервуардағы бастапқы концентрациясы

100 мг/мл

А компонентінің шығыстағы концентрациясы

0 мг/мл

Резервуар көлемі

10 л

Ағын жылдамдығы

100 мл/с

 

Дифференциалдық теңдеуді сандық әдіспен шеше отырып әрбір уақыт моментіндегі компоненттің концентрациясы табу, график тұрғызу керек. Табылған нәтижені аналитикалық шешіммен салыстыру қажет.

4.3 Бақылау сұрақтары

4.3.1      Дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін сандық әдістерді қандай жағдайда қолданады?

4.3.2      Дифференциалдық теңдеулерді шешудің белгілі әдістерін атаңыздар.

4.3.3      Эйлер әдісінің маңызы неде? Бұл әдістің артықшылығы және кемшілігі неде?

4.3.4      Рунге-Кутта әдісінің маңызы неде? Бұл әдістің артықшылығы және кемшілігі неде?

4.3.5      Дифференциалды теңдеумен сипатталатын физикалық заңдылыққа мысал келтіріңіз.

4.3.6      Келесі құбылыстың математикалық бейнесін көрсетіңіз: дене температурасының ауада өзгеруінің жылдамдығы ауа және дене температураларының айырмасына пропорционал.

4.3.7      Ньютонның екінші заңының математикалық түрдегі көрінісін беріңіз: денеге әсер ететін күш дене массасын осы күш тудыратын үдеуге көбейтіндісіне тең. Күш уақытқа байланысты белгілі заң бойынша  өзгереді және тұрақты түзу сызық бойымен бағытталған.

4.3.8      «Бастапқы шарт» терминіне түсініктеме беріңіз?

 

4.4 Тапсырма нұсқалары

MS Excel пакетінің және программалау тілінің көмегімен дифференциалдық теңдеулерді сандық шешу алгоритмін іске асырып  және  Эйлер және Рунге-Кутта әдістерімен жуықтап шешудің графиктерін тұрғызыңыздар, нәтижелерін салыстырыңыздар.

Кестеде теңдеулерден кейін жақша ішінде есептеуге қажетті бастапқы берілгендері көрсетілген:

x0 -  аргументтің бастапқы мәні;

y0 – функцияның x0 –дегі бастапқы мәні;

жақша іші– теңдеу шешілетін кесінді;

h – қадам.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

 

5 тапсырма. Бет тұрғызу

 

Жұмыс мақсаты– MS Excel-де беттерді тұрғызу әдістемесімен және беттерді тұрғызуға дағдылану.

 

Информатика курсында графиктерді тұрғызу қарастырылған – ол сызықтық, екі координата қолдану. Бірақ жиі беттерді тұрғызу қажеттілігі туындайды – үш координата қолданылады.

 

5.1 Беттерді тұрғызу

Беттерді тұрғызуда келесі әдістемелерді қолдану жорамалданған:

1)     Функциияның өзгеру диапазонын екі координата бойынша дайындау, бір координатаның өзгеруін бағана бойынша төмен жіберіп, ал екіншісін  жол бойымен оңға қарай жіберу.

2)     Координаталар қиылысына бетті тұрғызуға қажетті формуланы енгізіп және Маркер автозаполнения көмегімен барлық облыс бойынша формуланы тарату.

3)     Дайын мәліметтерді ерекшелеп және диаграммаларды тұрғызу  мастерін қолдану (диаграмма типі – Поверхность).

 

5.2      Тапсырма 1. Бет тұрғызу                                

.                                       (5.1)

         Шешуі:

1)     Функцияның өзгеру диапазонын дайындау: -1-ден 1-ге дейін. 

2)     z мәнін есептеу формуласы С3 ұяшығына енгізілген:  =($B3^3/2-(C$2+2)^2.

Дайындалған диапазон және тұрғызылған бет  5.1-суретте келтірілген.

 

5.3       Екінші реттік беттерді тұрғызу (үшінші координата квадратталған беттің теңдеуіне кіреді)

 

Екінші реттік беттерді тұрғызу үшін келесі әдістемелер қолданылады:

1)     Функцияның өзгеру диапазонын екі координата бойынша дайындау, бір координатаның өзгеруін бағана бойынша төмен жіберіп, ал екіншісін  жол бойымен оңға қарай жіберу.

2)     Координаталар қиылысына бетті тұрғызуға қажетті формуланы енгізіп және Маркер автозаполнения көмегімен барлық облыс бойынша формуланы тарату. Формулада есептеу облысындағы квадрат түбірдің оң және теріс мәндеріне қойылатын түзетулерді ескеру керек.

3)     Дайын мәліметтерді ерекшелеп және диаграммаларды тұрғызу  мастерін қолдану (диаграмма типі – Поверхность).

 

5.1 Сурет

 

5.4  Тапсырма 2. Сфера тұрғызу

.                                           (5.2)

Шешуі:

1)     Функцияны анықтау облысының диапазонын дайындау. B5:B46 диапазонына -1-ден 1-ге дейін 0,1 қадаммен мәндер енгізіледі, және де әрбір мән екі рет қайталданады. Осыған ұқсас  C4:AR4 диапазонына мәндер енгізіледі. 5.2 суретте диапазон көрсетілген.

2)     А6:А47 диапазонына 2 және 3 қайталанатын сандарды енгізу (формулада қолдану үшін).

3)     С5 ұяшығындағы формула:

4)     =(1-$B5*$B5-D$4*D$4)^(1/2)* ЕСЛИ(ОСТАТ($A6;2)=0;1;-1)

5)     В4:AR46 диапазонын ерекшелеп диаграммаларды тұрғызу  мастерін қолдану (диаграмма типі – Поверхность). Нәтижесінде сфера тұрғызылады (5.3 суретті қара).

 

 

 

5.2 Сурет

 

 5.3 Сурет

 

5.5 Бақылау сұрақтары

5.5.1     Беттерді тұрғызу әдістемесі қандай?

5.5.2     Беттерді тұрғызғанда диаграмманың  қандай типін таңдау керек?

5.5.3     Екінші реттік беттерді тұрғызғанда квадрат түбірдің оң және теріс мәндеріне қойылатын түзетулерді қалай ескеру керек?

 

 

5.6            Тапсырма нұсқалары

1

16

 екі жолақты гиперболоид

2

3

17

конус

4

5

18

   эллипстік параболоид

6

7

19

 гиперболалық параболоид

8

 екі жолақты гиперболоид

9

 екі жолақты гиперболоид

20

  

эллипстік цнемесендр

10

21

 

гиперболалық цнемесендр

11

12

22

    

 параболалық цнемесендр

13

23

14

 екі жолақты гиперболоид

24

15

 бір жолақты гиперболоид

25

конус

 

6 Тапсырма. Надстройки-Поиск решения көмегімен оптималдау есептерін шешу

 

Жұмыс мақсаты – оптималдау есептерінің қойылуымен танысу, MSExcel-ді  қолданып осы есептерді шешуге дағдылану.

 

Өндірістің жоспарлау және болжау мәселелері оптималдау есептеріне кіреді. Оларды шешу үшін математикалық әдістер қолданылады.  Мысалы: өнім ассортименті – осы өнімге кететін шикізат шектелген  жағдайда өнім шығаруды максимал орындау; тауарларды тасымалдауды жоспарлау – тауарларды тасымалдау шығындарын минималдандыру; штаттық кесте (расписание) – аз шығынмен жоғарғы нәтижелерге жету үшін  штаттық кесте құру; осындай типтегі есептерді шешу үшін  сызықтық программалау қолданылады. Бұл экстремум нүктелерін (минимум немесе максимум) табуға негізделген математиканың бір бөлімі. Ол кіріс айнымалыларға қосымша шарттар қойылатын, сызықтық теңдеулермен сипатталатын есептерді шешу үшін арналған. Сызықтық программалау есептері графикалық және аналитикалық жолмен шешілуі мүмкін.

MS Excel-дің  бірнеше кіріс мәндер болса және нәтижесіне бірнеше шарт қойылған жағдайда да Надстройки-Поиск решения көмегімен тиімді шешімін табу мүмкіндігі бар.

Жалпы жағдайда сызықтық программалау есебін келесідей қоюға болады:

Мақсаттық функцияның экстремумын табу

F =с1х1+с2х2….+сnxn ->max (min);                            (6.1)

Теңдік түріндегі шектеулер қойылған жағдайда

a11x1 +a12x2+…........+a1n xn=b1;

.......................................................                        (6.2)

an1xn +an2x2+...........+ann xn=bn;

Теңсіздік түріндегі шектеулер қойылған жағдайда

a11x1 +a12x2+…........+a1n xn <b1;

.......................................................                           (6.3)

an1xn +an2x2+...........+ann xn <bn;

және кіріс шамалар теріс таңбалы болмау шарты болса.

Оптималдау есебін кесте түрінде келесідей қоюға болады.

6.1 Кесте - Жалпы жағдайда оптималдау есебінің қойылуы

№

Атауы

Математкалық жазылуы

Сипаттамасы

1

Мақсаттық функция (оптималдау критериі)

F=f(xj)- max(min,const)

J=1,n

Қандай жағдайда шешім тиімді болады, яғни ең жақсы болатынын көрсетеді. Мақсаттық функцияның үш мүмкін түрі бар: максималдау, минималдау, берілген мәннің қызметі.

2

Шектеулер

Gi(xj)<=(=;>=)bi,

i=1,m, j=1,n.

Xj=1,m<=k<=n – бүтін сандар ( бүтін  сандарды есептерді программалау үшін)

Айнымалылар арасандағы тәуелділікті орнатады. Тәуелділіктер бір бағыттағы және екі бағыттағы болады. Есептерді шешкенде екі жақтан шектеулер екі бір бағыттағы шектеулер түрінде жазылады.

3

Шектік шарттар

dj<=xj<=Dj,j=1,n

Тиімді шешім үшін ізделіп отырған айнымалылардың мәні қандай шектерде болуы керек екенін көрсетеді.

6.1 кестеде келтірілген есептің барлық шектеулер мен шектік шарттарды қанағаттандыратын шешімі мүмкін шешім деп аталады.    

Оптималдау есебінің маңызды сипаттамасы – оның өлшемі, ол  n айнымалылар санымен және m шектеулер санымен анықталады. n<m болғанда есептердің шешімі жоқ.

Оптималдау есептерінің қажетті талабының шарты n>m. Теңдеулер жүйесі үшін n=m болса, онда оларды бір рұқсат етілген шешімі бар оптималдау есебі деп қарастырады.

Демек, егер есеп екі талапты қанағаттандырса, оның тиімді шешімі бар дей аламыз:

- бір шешімнен көп болса, яғни рұқсат етілген шешімдері бар;

- қандай жағдайда шешім тиімді болады, яғни ең жақсы болатынын көрсететін көрсеткіші бар.

Настройка - Поиск решения меню Сервис – Поиск решения командасымен қосылады.

Қажетті опциялар 6.2 кестеде келтірілген.

 

6.2 Кесте - Поиск решения терезесінің опциялары

Опциялар

Сипаттамасы

Мақсаттық ұяшықты орнату

Қарастырылып отырған есептің мақсаттық функциясы орналасқан ұяшық көрсетіледі (оптималдау критериі)

Теңдік

Шешім және мақсаттық ұяшық арасындағы байланыс типін көрсететін үш ауыстырғыштың біреуін таңдау керек (максимал мән, минимал мән, мәні)

Шектеулер

Есеп айнымалыларына қойылатын шарттар көрсетіледі. Теңдік, теңсіздік түріндегі шектеулер, айнымалылар бүтіндігі талабы рұқсат етілген. Шектеулер бір бірден Добавить батырмасы арқылы енгізіледі.

Параметры батырмасы

Қарастырылатын есептің шешімін іздеудің шарттарын және  нұсқаларын өзгертуге мүмкіндік береді және де тиімді үлгіні жүктеп, сақтауға мүмкіндік береді. Келісім бойынша (по умолчанию) қолданылатын басқару элементтерінің мәндері және күйі көптеген есептерді шешу үшін қолдануға болады.   

 

6.1 Тапсырма: құрылыс материалдарын шығаруды жоспарлау

Фирма екі типтегі құрылыс материалдарын шығарады: А және В. Екі түрдегі материал сатылымға түседі. Материалдарды шығару үшін  екі белгісіз өнім  қолданылады: I және II. Бұл өнімдердің максимал тәуліктік қоры сәйкесінше 7 және 9 тонна. I және II өнімдердің 1 тонна материалға кететін шығыны 5.3 кестеде көрсетілген. Нарықтық сұраныстарды зерттеу бойынша В материалына деген тәуліктік сұраныс ешқашан А материалына деген сұраныстан 1 тоннадан аспайды. Сонымен қатар А материалына деген сұраныс тәулігіне 3 тоннадан аспайды. Бір тонна материалдың көтерме бағасы:  В үшін – 4000 ш.б.  А үшін – 3000 ш.б. Сатылудан пайда максимал болу үшін фабрика материалды қандай мөлшерде шығаруы қажет.

6.3 Кесте - Ресурстар шығыны

Белгісіз өнім

Белгісіз өнім шығындары, т (1 тонна материалға)

Максимал мүмкін болатын қоры, т

Материал А

Материал В

I

3

2

7

II

2

3

9

 

Шешуі:

1) Есептің математикалық үлгісінің қойылуы:

-  есепті шешуге қажетті айнымалылар: х1 – А материалын өндірудің тәуліктік көлемі, х2 – В материалын өндірудің тәуліктік көлемі;

- мақсаттық функцияны анықтау (оптималдау критериін). х1-А материалы және х2-В материалын өндіруден түсетін суммарлық тәуліктік пайда:

F=4000*х2+3000*х1.

- фабрика мақсаты – материалды өндіруден келетін суммарлық пайданы F максимал қылатын х1 және х2-нің барлық мүмкін мәнін табу керек:

F=4000*х2+3000*х1.  – max.

- айнымалыларға қойылатын шектеулер:

өндіру көлемі теріс таңбалы болмайды, яғни:

х2>=0, х1>=0;

- өндіруге қажетті белгісіз өнімнің шығыны сол өнімнің максимал мүмкін қорынан аспауы керек, яғни:

2*х2+3*х1<=7;

3*х2+2*х1<=9;

- материалға деген сұранысқа шектеулер:

х1-х2<=1;

х1=<3;

Келесі математикалық үлгі шығады:

- функция максимумын табу керек

F=4000*х2+3000*х1 – max;                             (6.4)

- келесі шектеулермен

2*х2+3*х1<=7;

3*х2+2*х1<=9;

   х1-х2<=1;                                                   (6.5)

х1=<3;

х2>=0, х1>=0.

 

 

2)     Есептеулер үшін MSExcel жұмыс кітабын дайындау:

-   х1 және х2 айнымалылары сәйкесінше С3 және С4 ұяшықтарында орналасқан;

-   мақсаттық функция (6.1) С6 ұяшығында орналасқан және формуласы   = 4000*С4+3000*С3;

-   есепке қойылатын шектеулер (6.5) С8:D11 ұяшықтарында ескерілген (теріс еместік шарты кірмейді).

3) Надстройка-Поиск решения командасымен жұмыс:  Сервис – Поиск решения қолданылып, қарастырылып отырған есепке қажетті мәліметтер енгізіледі.

 

6.2 Бақылау сұрақтары

6.2.1 Қандай есептер сызқты программалау есептеріне жатады?

6.2.2 «Мүмкін шешім» термині нені білдіреді?

6.2.3 Оптималдау есептеріне қойылатын талаптар.

6.3.4 Мүмкін шешімдердің облысының шектері қалай беріледі?

6.3.5 Сызқты программалау бөлімі қандай типтегі есептерді шешуге арналған?

6.3.6     Оптималдау есебінің математикалық түрі.

6.3.7     Оптималдау есептерін шешу үшін қандай Надстройка қолданылады?

6.3.8     Поиск решения терезесінің опцияларын атаңыздар.

 

6.3 Тапсырма нұсқалары

1-5. Өндіріс орны П1-П4 төрт түрдегі өнім шығарады, оны дайындау үшін үш түрдегі ресурс қолданылады: еңбек, шикізат және құрылғылар. Әрбір өнімнің бір бірлігіне кететін әрбір ресурс шығынының нормасы  кестеде келтірілген.

6.4 Кесте

Ресурстар

Өнім түрі

Ресурс көлемі

П1

П2

П3

П4

Еңбек

1

1

1

1

16

Шикізат

6

5

4

3

110

Құрылғылар

4

6

10

13

100

 

Бір өнімді сатқаннан келетін пайда:  П1 өнімі үшін – 60 ш.б.,  П2 өнімі үшін – 70 ш.б.,  П3 үшін – 120 ш.б.,   П4 үшін  – 130 ш.б. Өнеркәсіптің пайдасын максималдандыруға қажетті өнімнің әрбір түрінің оптималды өндіріс жоспарын анықтау керек.

6-10. Дүкен  П1, П2, П3 үш түрдегі өніді сатады. Ол үшін екі шектелген ресурс қолдданлады – ғимараттың пайдалы ауданы, ол айналымдылық коэффициентін ескергенде 450м2 болады және дүкен жұмысшыларының жұмыс уақыты – 600 адам/сағат. Тауар айналым 240000 ш.б. кем болмауы керек. Максимум пайда келтіретін тауар айналым жоспарын жасау керек. Өнімді сатуға кететін ресурс шығыны және  келетін пайда 6.5 кестеде келтірілген.

6.5 Кесте

Ресурстар

Сатуға кететін ресурстар шығыны, мың. ш.б.

Ресурстар көлемі

П1

П2

П3

Пайдалы аудан, м2

1,5

2

3

450

Жұмыс уақыты,

адам/сағат

3

2

1,5

600

Пайда, мың. ш.б.

50

65

70

 

 

11-15. Өнеркәсіпке таңдауы бойынша үш бұйым шығару ұсынылған, солардың есебінен тура сол ресурстар қорын қолданып өнеркәсіптің өнім атауларын кеңейтуге болады. Ресурстар шығынының нормасы және осы бұйымдардың біреуін сатудан келетін пайда 6.6 кестеде келтірілген.

 

6.6 Кесте

Ресурстар

Шартталған ресурстар

Бір бұйымға кететін ресурстар шығыны

А

Б

В

Еңбек

40/3

6

4

2

Шикізат

0

2

1

3

Құрылғылар

20/3

3

1

2

Бір бұйымның пайдасы

 

80

70

45

 

16-20. А1 және А2 типтегі бұйымды дайындау қойма 80кг-нан аспайтын металл бөле алады. Зауыт тәулігіне А1 типтегі деталь дайындайды, ол 30 данадан аспайды, ал А2 типтегі – 40 данадан аспайды. А1 типтегі бір бұйымның бағасы 3 ш.б., А2 типі – 5 ш.б. А1 типтегі бір бұйымды дайындау үшін 2 кг металл кетеді, А2 типіне – 1 кг. Зауытқа максимал пайда келтіретін бұйымды шығару жоспарын табу керек.

21-25. 6.7 кестеде келтірілген ақпаратқа сүйеніп пайдасы максимал болатын өндіріс жоспарын құру керек.

6.7 Кесте

Ресурстар

Бір бұйымға кететін ресурстар шығыны

Ресурстар қоры

А

В

Еңбек

2

4

2000

Шикізат

4

1

1400

Құрылғылар

2

1

800

Бір бұйымның пайдасы

40

60

 

7 тапсырма. Просмотр и ссылки функциялары

 

Жұмыс мақсаты – ақпаратты өңдеу функцияларымен танысу – Просмотр и ссылки функциялары (Вставка – Функции – Ссылки и массивы) және осы функцияларды практикада қолдануға дағдылану.

 

ВПР() және ГРП () функциялары тікбұрышты кестелерден ақпарат іздеу үшін арналған. Ол функциялардың синтаксисі келесідей:

=ВПР (ізделетін_мән; кесте; бағана_нөмірі; қарап шығу_типі);

=ГПР (ізделетін_мән; кесте; жол_нөмірі; қарап шығу_типі);

мұнда:

-       ізделетін_мән – бұл кестенің бірінші бағанадан (жолдан) ізделетін мән;

-       кесте – мәліметтер орналасқан кестені көрсететін массив немесе диапазон аты. Бірінші бағанадағы (жол) текстік мәліметтер алфавиттік ретпен немесе сандық мәліметтердің өсуі бойынша реттелуі керек, күн/уақыт үшін де тура солай;

-       бағана_нөмірі (жол_нөмірі) – қайтарылатын мәнді қай бағанадан (жолдан) таңдау керектігін көрсетеді;

-       қарап шығу_типі – сәйкестік типін көрсету үшін логиклаық мәнін көрсетеді: дәл немесе жуықтаған.

 

7.1. Тапсырма

Жалақы тізімін құру керек. Онда өтілге берілетін қосымша ақша  жұмыс істеген жыл санына сәйкес берілетін қосымшаға байланысты анықталады.

Шешуі:

1) Суретте көрсетілгендей жалақы тізімін және қосымша кесте құру керек;

2) D2 ұяшығына : = C2*ВПР (B2; $F$16:$B$20;2) формуласын енгізу керек;

мұнда:

В2 – табу  ізделетін мән (жұмысшы стажы), оны $F$16:$B$20 диапазонымен анықталатын кестенің соңғы сол бағанасынан іздеу керек;

2 индексі қайтарылатын мәнді алатын бағананың нөмірі (біздің жағдайда – қосымша ақша %);

С2 – жұмысшының еңбекақы мөлшері;

Е2 ұяшығына =С2+D2 формуласын енгізіп, формуланы сәйкес  диапазондарға көшіріп, кестелерді форматтау керек.

 

7.2 Бақылау сұрақтары

7.2.1  ВПР функциясы не үшін?

7.2.2 Қосымша кестенің бірінші бағанасына қандай шарт қойылады?

7.2.3 «Ізделетін_мән» дегеніміз не?

7.2.4 Таблица өрісін толтырғанда нені ескеру керек?

7.2.5 Номер столбца өрісінде қай кестенің бағанасының нөмірі көрстіледі?

 

7.3 Тапсырма нұсқалары

 

MS Excel-де негізгі және қосымша кестені құру. Есептеулер үшін қосымша кестенің мәліметтерін қолдану. 

Осы тапсырманы С++ тілінде де орындау (Структура қолдану).

 

Нұсқалары 1-5

№

Аудан типі

1 кв.м құны

Қажетті аудан

Ай бойынша қорытынды

 

1

Офис

 

15

 

2

Өнеркәсіп

 

250

 

3

Автотұрақ

 

210

 

4

Қойма

 

60

 

 

Аудан типі

Офис

Өнеркәсіп

Қойма

Автотұрақ

1 кв.м құны

3000

500

400

450

 

Нұсқалары 6-10

 

№

Өнеркәсіп атауы

Металл түрі

1т кететін  э/энергия мөлшері

Балқыту көлемі

э/энергияны тұтыну

1

Казахмыс

Мыс

 

15000

 

2

ПАЗ

Алюминий

 

2500

 

3

Казцинк

Мырыш

 

2100

 

4

УКСЦК

Қалайы

 

3500

 

5

УКСЦК

Мырыш

 

4500

 

6

Балхашмедь

Мыс

 

7000

 

 

Металл түрі

1т кететін  э/энергия мөлшері

Алюминий

300

Мыс

200

Қалайы

250

Мырыш

190

  

Нұсқалары 11-15

 

Күн

Бағыт

Код

Ұзақтығы

Бағасы

Сумма

15.02.06

Ксеll

 

3

46,9

 

13.03.06

Kmobile

 

4

46,9

 

21.03.06

Астана

 

5

10

 

09.04.06

Kcell

 

3

46,9

 

30.04.06

Калининград

 

3

53

 

11.05.06

Зона Интернет

 

35

4

 

20.05.06

Астана 

 

2

10

 

31.05.06

Интернет зонасы

 

22

4

 

 

Бағыт

Код

Kcell

300

Kmobile

333

Астана

317

Калининград

401

Интернет зонасы

750

 

Нұсқалары 16-20

 

Материалдар және балқыту өнімдері

Салмағы, кг  

Температура, С 

Жылу сыйымдылығы, ккал/кг*С

Жылу мөлшері

Ыстық штейн

100

1100

 

 

Ауа

99

60

 

 

Шлак

111

1200

 

 

Қара мыс

29,6

1200

 

 

Қара мыс

50

1200

 

 

Ыстық штейн

200

1100

 

 

Шлак

210

1000

 

 

 

Материалдар және балқыту өнімдері

Жылу сыйымдылығы, ккал/кг*С

Ыстық штейн

0,2

Шлак 

0,295

Ауа

0,31

Қара мыс

0,108

Жылу мөлшері мына формуламен есептеледі: 

Q=c*m*t.

мұнда

Q – жылу мөлшері;

с – жылу сыйымдылық;

m – материал мөлшері;

t – температура.

 

Нұсқалары 21-25

Металл атауы

1 т металлды өңдеуге кететін э/энергия мөлшері

Металл мөлшері (т)

Э/энергия шығыны 

Бағасы

Медь черновая

 

3000

 

 

Титан

 

500

 

 

Цинк 

 

2000

 

 

Магний

 

1500

 

 

Цинк

 

1700

 

 

Титан

 

200

 

 

Медь черновая

 

4000

 

 

Магний

 

1200

 

 

Цинк

 

1900

 

 

Итого

 

 

 

 

 

Металл атауы

1 т металлды өңдеуге кететін э/энергия мөлшері

Цинк

100

Титан

250

Магний

140

Медь

95

  

Әдебиеттер тізімі 

1.     Агальцов В.П., Волдайская И.В. Математические методы в программировании. – М.: Форум, 2008.

2.     Бараненков Г.С., Демидович Б.П и др. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.: Наука, 1970.

3.     Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1964.

4.     Павловская Т.А., Щупак Ю.А. С/С++. Структурное программирование. –Санкт-Петербург: Питер, 2005.

5.     Рональд У. Ларсен. Инженерные расчеты в Excel. – М.: Вильямс, 2002.