Коммерциялық емес акционерлік қоғамы 

Алматы энергетика және байланыс институты

Инженерлік кибернетика кафедрасы

 

 

 

 

БЕЙСЫЗЫҚТЫ АВТОМАТТЫ БАСҚАРУ ЖҮЙЕЛЕРДІҢ ТЕОРИЯСЫ 

5В0702 - Автоматтандыру және басқару” мамандығы үшін

зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар

 

 

Алматы 2010

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Хисаров Б.Д., Аталыкова А.К., Бойко В.М. Бейсызықты автоматты басқару жүйелердің теориясы. 5В0702 - Автоматтандыру және басқару” мамандығы үшін зертханалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар.– Алматы: АЭжБИ, 2010. –  19 б. 

Екінші ретті сызықты жүйелердің фазалық суреттерін зерттеу, айнымалы құрылымы бар жүйелерді зерттеу, бейсызықты автоматты басқару жүйелеріндегі автотербелістерді зерттеу сұрақтары қарастырылады.

 

 

1 №1 зертханалық жұмыс. Екінші реттік жүйелердің фазалық траекторияларын зерттеу

 

Жұмыс мақсаты: бейсызықты жүйелердің фазалық жазықтықтағы  зерттеу әдісімен танысу; екінші реттік жүйелердің түбірлер және өтпелі сипаттамалар мен фазалық траекториялар арасындағы байланыстарды зерттеу.

 

1.1 Жалпы мәліметтер

  Бейсызықты жүйелерді де сызықты жүйлер сияқты зерттеу үшін фазалық траекториялар әдісін қолдануға болады.  Мысалға сызықты жүйені сипаттайтын екінші реттік дифференциалды теңдеуді қарастырайық

                                             ( 1.1)

мұндағы х – шығыстағы реттелетін шаманың тепе-теңдік күйінен ауытқуы.

Фазалық координаталарын еңгізейік  және (1.1) теңдеуін келесі түрде жазайық    

                                                                            (1.2)                           

яғни (х1, х2) жазықтықта жүйенің тепе-теңдік күйіне координат басы жатады.

(1.2) теңдеулерді интегралдайтын болсақ, фазалық траекториялардың теңдеулерін анықтаймыз

                                                       (1.3)

Функцияның түрі  коэффициенттеріне байланысты. Сонымен бірге бұл коэффициенттер осы жүйенің сипаттаушы теңдеудің түбірлерін анықтайды

                                     (1.4)

сондықтан,  түбірлер және 2-реттік жүйенің фазалық траектория арасында бір қалыпты тәуелділік.

Сонымен қатар оның келесідегідей алты жағдайы бар:

1)     түбірлер нақты және теріс таңбалы

            

 - жүйе орнықты;

2)     түбірлер комплексті және нақты теріс бөлшегі бар

             

- жүйе орнықты;

3)     түбірлер тек қана жорамал

           

- жүйе орнықтылық шекарасында;

4)     түбірлер комплексті және оң таңбалы нақты бөлшегі бар

             

- жүйе орнықсыз;

5)     түбірлер оң таңбалы нақты

            

- жүйе орнықсыз;

6)     түбірлер нақты және әртүрлі таңбалы

             

- жүйе орнықсыз.

Осы жағдайларды қарастырайық:

1) жүйеде апериодты түрде өшетін өтпелі сипаттама болады және (1.1) теңдеудің шешімі мынадай

                                             (1.5)

Уақыт бойынша екінші фазалық координата келесідегідей болады

                              (1.6)

Фазалық жазықтықта барлық траекториялар координат басына тоғысады және келесі екі асимптота бар болады:

      және  ;                                   (1.7)

2) өшетін тербелмелі процесс бар:

                                                    (1.8)

                                                      (1.9)

                                            (1.10)

                                                         (1.11)

(1.8), (1.10) теңдеулер фазалық жазықтықта спиралдар үйірін береді;

3) келесі шешім бар болады

                                                           (1.12)

,  яғни өшпейтін тербелістер болады.

Екінші фазалық координата мынадай

                                                     (1.13)

Фазалық траектория үшін теңдеу келесідегідей болады

                                                                       (1.14)

яғни фазалық траекториялар эллипстер болады;

4) теңдеудің шешімі келесідегідей:

                                            (1.15)

          

яғни шексіз өсетін амплитудалары бар тербелістер болады. Фазалық траекторияжайылмалы спираль;

5) теңдеудің шешімі келесідегідей:

                                                  (1.16)

                                     (1.17)

яғни шығу шама шексіз өседі. Фазалық жазықтықта екі асимптота пайда болады:

және                                           (1.18)

6) өтпелі сипаттама апериодтық болады, бірақ фазалық траектория алдынғысынан ерекше. Мысалы а1=0. Онда (1.2) теңдеу мынадай түрде жазылады:

                                                  (1.19)

яғни             

                                                                     (1.20)

(1.20)-ны интегралдайтын болсақ, фазалық траектория гиперболар түрінде болады:                  

                                                                 (1.21)

    Гиперболардың асимптоталары  түзу: , мұндағы ;

бір асимптота – тоғысатын, екінші - тоғыспайтын.

        

   1.2 Зертханалық жұмысқа тапсырмалар

  1.2.1 Сипаттаушы теңдеудің түбірлерін әртүрлі нұсқалары үшін (келтірілген жағдайлар үшін) жүйенің параметрлерінің мәндерін таңдаңыз.

  1.2.2 х0 мен х00 әртүрлі бастапқы мәндері үшін өтпелі сипаттамалар мен фазалық траекторияларды анықтаңыз.

     1.2.3 VisSim бағдарламада келесі тапсырмаларды орындаңыз:

    - (1.1), (1.2) теңдеулерге сәйкес құрылымдық сұлбаны құрастырыңыз.

 - a 0, a1, a2  мәндерін бірінші жағыдай үшін таңдаңыз,  және  анықтап, k1 және  k2  коэффициенттерді сұлбаға орнатыңыз;

- әртүрлі бастапқы шарттар үшін х1 өтпелі процесстерді алып және  өтпелі процестің  tпп  уақытына әсер ететін коэффициентін анықтаңыз;

- х1 және х21 координаталарды қолданып жүйенің фазалық траекторияларын анықтаңыз:

 1.2.4 Алдынғы пункттердегі тапсырмаларды барлық (2, 3, 4, 5, 6) жағдайларға өткізіңіз. 

 

  1.3 Зертханалық жұмыс бойынша есеп беру

     Жұмыс бойынша есеп беруде жүйенің cұлбасы,  таңдалған коэффициенттер және сипаттаушы теңдеудің түбірлері, өтпелі процестердің және фазалық траекториялардың графиктері болуы керек.

 

  1.4 Бақылау сұрақтары

1.4.1 Фазалық әдістің мағынасын түсіндіріңіз.

1.4.2 Екінші реттік сызықты жүйенің сипаттаушы теңдеулерінің түбірлері мен фазалық суреттері арасында қандай байланыс бар?

1.4.3 Тұрақты жүйенің фазалық координатасы қандай болады?

1.4.4 Егер де жүйеде өшетін тербелістер болса, фазалық координата қандай болады?

1.4.5 Егер де жүйеде өшпейтін тербелістер болса, фазалық координата қандай болады?

1.4.6 Егер де жүйенің шығу шамасы шексіз өсетін болса фазалық координата қандай болады?

 

2 №2 зертханалық жұмыс. Айнымалы құрылымымен жүйені зерттеу

 

Жұмыстың мақсаты: 2-реттік айнымалы құрылымымен жүйенің фазалық траекториясын тұрғызу және зерттеу

 

 2.1 Жалпы мәліметтер

 Алдыңғы жұмыста 2-реттік жүйенің өтпелі сипаттамаларымен фазалық траекторияларын зерттегенде орнықсыз шешімдер бар екүйендігін анықтадық.. 

  Іс жүзінде басқару объекттісынің кейбір  параметрлері үшін жүйе орнықты болмайтын жағдайлар бар. Бірақ сол жағдайда бейсызықты жүйелердің фазалық траекторияларын үйлестіру әдісімен зерттеуге болады. Бұл әдіс бойынша фазалық траекторияны бөлшек-бөлшек етіп тұрғызады, әр бөлшекке сызықты сипаттаманың бөлшегі сәйкес келеді және соңындағы бөлшектің фазалық координаталарының мәндері келесі бөлшек үшін шешілетін теңдеудің бастапқы шарт болып есептеледі. Табылған жеке бөлшектердің фазалық траекторияларын бір-бірімен «тігуімен» жүйенің толық фазалық суреті анықталады.

Бұл жұмыста сызықты бөлімнен және берілген басқару алгоритм бойынша құрылымды ажыратып қосуды ұйымдастыратын, бейсызықты элементтен тұратын тұйықталған бейсызықты жүйенің фазалық суретін тұрғызу керек (2.1 суреті).

Айнымалы құрылымы бар жүйе үшін автоматты реттеудегі әртүрлі керек болған процестерді   іске асыру үшін үйлестіру әдісі қолданылуы мүмкін.

 Жұмыста екі жүйе зерттелу керек:

1)     орындаушы мехазанизм және реттелетін объектінің төменгі беріліс функциясы бар болған жүйенің өтпелі процесін қарастырайық.

                                                                                                      (2.1)

 

 

 

 

 

 

 

2.1 Сурет –  Бекітілген сызықты емес жүйенің сұлбасы

 

  Бірінші және екінші буынның k1 және k2 коэффициенттері болсын. Онда тұйықталған жүйенің динамикасын сипаттайтын теңдеу келесідей болады:    

- болғанда

                                                                                        (2.2)

- болғанда

                                                                                                     (2.3)

Бұл теңдеулер орнықсыз жүйеге сәйкес келеді (өшпейтін тербелістер бар).

  Ал жүйенің фазалық суреті келесідей болады (2.2а) және (2.3б) суреттер.

     болсын. Ажыратып қосудың келесі заңын еңгізейік:

          болғанда

                                                                                     (2.4)

     болғанда

                                                                                         (2.5)

 

 

 

 

 

 

 

Подпись: а)

 

Подпись: 2.2 Сурет – Жүйенің фазалық суреттері            

 

                        

Егер (2.4) және (2.5) заңдарын қолданса, өшетін тербелмелі өтпелі процесті алуға болады, яғни жүйенің құрылымы айнымалы болған кезде жүйе орнықты болып шығады (2.3 суреті).

 

 

 

 

 

 

 

                            2.3 Сурет – Орнықты жүйе

         Екінші реттік жүйенің келесі теңдеуін қарастырайық

                                                      (2.6)

 


            

                                                                                                                    (2.7)

                                                                                                                    (2.8)

                                                                                                       (2.9)

                                                                     (2.10)

                       сонымен бірге

Онда фазалық траекториялар келесідей болады (2.4 сурет – а) және б) жағдайлары).

Келесі өрнектен

                                                                         (2.11)

мұндағы λ1,2 – (2.8) теңдеудің түбірлері

      S=x2-cx1                                                                                                       (2.12)

  S- ажыратып қосқыштың жолы, (2.10) теңдеуден S және х1=0 ажыратып қосудың жолдары болғаны көрініп тұр.

 

 


                                                                                       

    2.4 Сурет – Екінші реттік жүйенің фазалық траекториялары

 

  Жұмыста үш келесі режимдерді зерттеу керек:

1)                      ажыратып қосу режимін (с>λ); фазалық траектория 2.5 суреттегідей болады;

2) керекті траектория бойынша қозғалыс режимі; мұндағы  S қайта қосы сызығы  S1  (орнықты) асимптотамен бірдей болады, яғни көрсету нүктесі фазалық жазықтықта кезкелген нүктеден басталып S жолына түседісодан кейін орнықты асимптота бойынша координаталар басына ұмтылады. Мұндағы пайда болатын өтпелі сипаттаманың бір ғана асыра реттеу болады (2.6 сурет).

3) «жылжымалы» режим; с<λ болған  жағдай. Мұндағы ерекшелігі - S жолда барлық фазалық траекториялар бір біріне   қарама-қарсы келеді. Идеалды жағдайда  көрсету нүктесі S жолда шексіз жиілікпен ажыратылып қосылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             2.5 Сурет – Ажыратып қосу режимдегі фазалық сурет      

 

Бұл режимде қозғалыс мынадай теңдеуге бағынады S=x2-cx1. Сонымен, жүйенің айнымалы құрылымы арқылы орнықты қозғалыстарды іске асыруға болады (2.7 суреті).

 

 

 

2.6 Сурет – Берілген траектория бойынша қозғалу режимі

      

 2.2 Зертханалық жұмысқа тапсырма

2.2.1 VisSim бағдарламада (2.1) және (2.2) жүйелердің құрылымдық сұлбаларын жинаңыз.

  2.23.2 (2.1) жүйе үшін әртүрлі k1 және k2 үшін өтпелі сипаттамалар мен фазалық траекторияларды тұрғызыңыз.

  2.2.3 tпп=t(k1,k2, k1/k2) тәуелділікті зерттеңіз.

  2.2.4 (2.2) жүйе үшін  (2.10) ажыратып қосу заңын зерттеңіз.

        3.2.5 с>λ, с=λ және с<λ режимдерді зерттеп, өтпелі сипаттамалар мен фазалық сүреттерін алыңыз. «Жылжымалы» режим үшін а1, а2, в параметрлері өзгергендегі процестерді зерттеңіз.

 

 

 

 

2.7 Сурет -  Айнымалы құрылымы бар жүйе көмегімен тұрақты қозғалыстарды іске асыру

 

2.3 Зертханалық жұмыс бойынша есеп беру

Жұмыс бойынша есеп беру келесілерден тұрады:

-  құрылым сұлбалары;

-  таңдалынған коэффициенттердегі фазалық траекториялар;

- өтпелі сипаттамалар;

- өткізілген зерттеулер бойынша қорытындылар.

 

3 №3 зертханалық жұмыс. Гармоникалық баланс әдісімен бейсызықты жүйеде автотербелістерді зерттеу

 

Жұмыс мақсаты; гармоникалық баланс әдісімен танысу және автотербелістердің параметрлерін анықтау

 

3.1 Жалпы мәліметтер

     Бейсызықты жүйелер үшін  кейбір шарттар орындалғанда автотербелістер режимі типтік болып саналады. Бұл режим іс жүзінде өте маңызды, мысалы екі позициялы реттеуіштер үшін. Сондықтан автотербелістер бар екендігін анықтағанымен олардың амплитудасы мен жиілігін анықтау қажет.

    Автотербелістер параметрлерін тура анықтау үшін күйлер кеңістігі немесе периодты шарттарды қолдануға болады. Іс жүзінде жуықталған әдістер қолданылады – көбінесе бейсызықты жүйелерде пайда болатын тербелістердің гармоникалары сызықты буындар көмегімен басылады, яғни сызықты буындар төменгі жиіліктік фильтр болады.

         Егер де статикалық сызықты емес элемент кірісіне y=f(x) сипаттамасымен x(t)=Asinωt гармоникалық сигналды берсек, шығуда периодты тербелістер орнатылады; оларды Фурье қатарымен көрсетуге болады

         Екіншісінен бастап, барлық гармоникаларда біріншіге қарағанда амплитудалары өте аз деп санап, оларды есепке алмаймыз.

         Онда теңдеу келесі түрде жазылады

Симметриялық емес бейсызықтықтар үшін а0=0 болады, сонда

 

y(t)-ні  x(t)-мен салыстырып, сызықты жиілік жүйелердің сипаттамалары сияқты сипаттамаларды енгізуге болады 

 

 

         Бейсызықты жүйені келесі түрде көрсетуге болады (3.1 сурет).

         Егер де сызықты емес элемент кірісіне ω1 жиілігі бар гармоникалық сигналды берсе, бекітілген жүйеде өшірілмейтін тербелістер пайда болады.

 

 


 

3.1 Сурет – Сызықты емес жүйе

 

         Сондықтан, жүйе тұрақтылық шегінде орнатылған болады, ол келесі шартқа сәйкес

Егер де (2.13) және (2.14) теңдеулерінің нақты оң таңбалы (ωа, Аа) шешімі болса, онда жүйеде жиілігі ωа мен амплитудасы Аа автотербелістер пайда болуы мүмкін.

(2.13), (2.14) жүйесін графикалық шешуге болады. Ол үшін комплексті жазықтықта Wл(jω) сызықты бөліктің АФС-ын және бейсызықты Zнэ). элементтің инверсті АФС-ын құрады. Wл(jω) және Zнэ(А) годографтарының қиылысу нүктесі Аа амплитудамен ωа жиілікті анықтайды. Егер де годографтар

 

 

қиылыспаса, жүйеде автотербелістердің пайда болуы мүмкін емес. Және осы әдіс бойынша автотербелістер тұрақты болатынын шеше аламыз.

Мысалы, тербеліс амплитудалары өскенде Wл(jω) және Zнэ(А) қисықтар орналасуы  Zнэ(А) қисық бойынша оң жаққа қозғалуды анықтайды (3.2 суретті қараңыз). Онда Wл(jω) және Zнэ(А)  нүктесі автотербелістерге сәйкес. Егер әсер себебінен тербелістер амплитудасы өссе (Аа+ΔАа), онда бейсызықты элементтің жаңа күйіне М1 нүктесі сәйкестенеді, бұл нүкте АФС-ан тыс орнатылған. Сонымен бірге Wл(jω) < Zнэ(А), немесе Wраз (jω, А)<1, сондықтан бұл күйде жүйе тұрақтыға айнала  бастайды, яғни тербелістер амплитудасы кеміп, бір уақыттан кейін бастапқы Аа шамаға тең болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Егер де әсерлер себебінен автотербелістер амплитудасы Аа-ден кем болса, жүйенің жаңа күйіне М2 нүкте сәйкестенеді, бұл нүктеде жүйе тұрақсыз. Сонымен амплитуда өсе бастап, бастапқы Аа мәніне қайтады.

 

 

 

 

 

3. 4 Сурет – Тепе-теңдік күйдің тұрақтығы

 

Мысал ретінде құрылымдық сұбасы 3.4 суретте келтірілген жүйенің тепе-теңдік күйінің тұрақтылығын зерттейік. Жүйе параметрлері В=1 В;  k1 k2 =10 c-1T1=10 cT2=1 c.

Сызықты бөліктің теңдеуін жазамыз

                                (3.15)

Сызықты  емес элемент үшін

                       u1(t)=q(A)u(t)                                                                 (3.16)

мұндағы

                                                                                                       (3.17)

 (3.16) және (3.17) өрнектерін (3.15) теңдеуге қойып, аламыз

                                                     (3.18)

Бастапқы нөлдік шарттарда (3.18) теңдеуге Лаплас түрлендіруін қолданып , келесіні жазамыз

                                                       (3.19)

 (3.19) теңдеуден сипаттама теңдеуін анықтаймыз

                                                   (3.20)

Теңдеудің периодты шешімінің болатынын Михайлов критерийімен тексереміз. Ол үшін (3.20) теңдеуге s=jω қойып, келесіні табамыз

                                      (3.21)

Нақты және жорамал бөліктерін нөлге теңестіріп, келесіні аламыз

                                                                  (3.22)

Екінші теңдеуден периодты шешімнің жиілігін анықтаймыз

,                                   

Біріншіден келесіні аламыз

 

                                                                      (3.23)

Дайын q(а)=  графигін қолданып (3.5 сурет), периодты шешімнің а амплитудасын табамыз.

 

 

 

 

 

Шешімнің тұрақтылығын анықтау үшін (3.22) өрнектердің туындыларын табу керек

Критерий қанағаттандырылады. Сондықтан, автотербелістер болады. q(а)=<k есепке алып (3.5 сурет), (3.23) теңдеуден автотербелістердің бар болатынының шарттары шығады

     немесе                                                          (3.24)

мұнда К = k1k2kжалпы күшейту коэффициенті. Гурвиц критерийы бойынша (3.24)  жүйенің тұрақты болмауының шарты болып табылады. Тұрақты болу шегі

                                 

сонымен бірге  автотербелістер шегі болып табылады.

 

3.2 Зертханалық жұмысты орындауға тапсырма

3.2.1 Автоматты басқару жүйесінің шығуындағы автотербелістердің амплитудасы мен жиілігінің жүйе сызықты бөлігінің күшейту коэффициентінен тәуелдігін есептеп, графиктерін құру.

3.2.2. Гармоникалық сызықтандыру шарттарының орындалатынын тексеру.

3.2.3  Vissim немесе MathLab жүйелерінде 3.4 суретте келтірілген  математикалық моделін құрастыру.

Сызықты емес элементтердің сипаттамаларын мұғалім береді, буындар параметрлері 3.1 кестеде орнатылған.

3.2.4   Тәжірибелерді жасап, сызықты емес элементтің статикалық сипаттамасы мен шығудағы сипаттамаларды алу.

 

З.1 К е с т е Түйіндер параметрлері

№ в.

Т1

Т2

ТЗ

ВидНЭ

В

в

tg а

1

1

0.1

0.1

сурет

50

-

-

2

1

1

0.1

сурет

70

-

-

3

0.2

0.1

0.1

сурет

60

-

-

4

1

0.1

0.1

26 сурет

50

10

-

5

1

1

0.1

сурет

80

8

-

6

1

0.5

0.1

сурет

50

5

-

7

1

0.5

0.1

сурет

-

10

1

 

 

3.3 Зертханалық жұмыс бойынша есеп беру

Зертханалық  жұмыс бойынша есеп беру келесілерден тұрады: модельдің құрылымдық сұлбасы;

-   тәжірибелік мәліметтер;

-   орындалған есептеулер;

-   жұмыс бойынша қорытынды.

 

4. Әдебиеттер тізімі

       4.1 Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -  «Наука», 1975, 2005г.

4.2    Методы классической современной теории автоматического управления. Под ред. К.А. Пупкова. В 5 ти – томах. М., 2004.

4.3  Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. -  М., 1974.

4.4  Душин С.Е. Теория систем автоматического управления. – М.: Высшая школа, 2003.

  

Мазмұны

 

бет

1 №1 зертханалық жұмыс. Екінші реттік жүйелердің фазалық траекторияларын зерттеу

3

2 №2 зертханалық жұмыс. Айнымалы құрылыммен жүйені зерттеу

7

3 №3 зертханалық жұмыс. Гармоникалық баланс әдісімен бейсызықты жүйеде автотербелістерді зерттеу

12

Әдебиеттер тізімі

18