(для студентов теплоэнергетических специальностей и бакалавриата по
направлению «Теплоэнергетика»)
Алматы 2005
СОСТАВИТЕЛЬ: Н.Г. Борисова
Компьютерные технологии втеплоэнергетических расчетах. Методические указанияк лабораторным работам (для студентов теплоэнергетических специальностей и бакалавриата по
направлению «Теплоэнергетика»).- Алматы: АИЭС, 2005.- 36с.
Методические указания
содержат описания лабораторных работ по основным разделам курса «Компьютерные
технологии втеплоэнергетических
расчетах». Даны краткие теоретические сведения о
численных методах наиболее часто используемых в теплоэнергетических и теплотехнологических
расчетах. Приведеныпримеры расчетов,
алгоритмов, программ. Даныметодические
рекомендации по выполнению работ, обработке результатоввычислительного эксперимента и оформлению
отчета, контрольные вопросы и перечень рекомендуемой литературы для
самостоятельной работы.
Целью выполнения
лабораторных работ по курсу «Компьютерные технологии втеплоэнергетических расчетах» являетсяформирование у студентовумений и навыковприменения компьютерных технологий длярасчета процессов, установок и систем теплоэнергетики, закрепление
теоретических знаний, полученных на лекционных и практических занятиях, иовладение методами:
-расчета
теплофизических свойств рабочих тел, используемых в теплоэнергетике и
теплотехнологии;
-приближенияфункций и расчета теплотехнических таблиц;
-численного решения
нелинейныхалгебраических уравнений
гидродинамики и теплообмена;
-численного
интегрирования, например, при определении поверхности теплообмена
рекуперативного теплообменного аппарата;
-решения задач
оптимизации в теплоэнергетике итеплотехнике.
Кроме того, при выполнении
лабораторных работ студентыовладевают
приемами создания и редактирования файлов;алгоритмизации; закрепляют навыки использования языков программирования;приобретают навыки проведения вычислительного
эксперимента, сопоставления результатов натурного и вычислительного
эксперимента с теоретическими данными. Учатся обработке, анализу и
представлению результатов вычислительного эксперимента.
Приобретенныепри выполнении работ знания, умения и навыки
необходимыв дальнейшем для изучения
специальных дисциплин, в частности курса «Методы моделирования и оптимизации теплотехнологических
установок и систем», при выполнении курсовых, дипломных работ, диссертационных
работ бакалавра и магистра, проведения НИРС.
При выполнении работ в
компьютерном классе необходимо строго соблюдать правила техники безопасности и
использования средств вычислительной техники вучебной лаборатории.
1Лабораторная
работа «Расчет теплофизических свойств рабочих тел, используемых в
теплоэнергетике»
1.1Цель лабораторной работы
Приобретение практических
навыков оперативного расчета теплофизических характеристик рабочих тел:
-знакомство со способами описания теплофизических характеристик
для представления в ЭВМ;
-использование
графического представления полученных результатов;
-получение значений теплофизических величин рабочих тел в
заданных интервалах температур и давлений.
1.2Теоретические
сведения
При
выполнениирасчетов
теплотехнологических процессови
установок используются данные о теплофизических свойствах теплоносителей и
рабочих веществ в широком диапазоне температур и давлений. Весьма важным в этом
случае являются оперативность получения информации и компактность ее
представленияв памяти РС. Использование
табличного задания свойств при ограниченной оперативной памяти РС неэффективно,
т.к. приходитсямногократно приводить
считывание участковтаблиц из внешней
памяти. Сокращение объема таблиц можно осуществить запоминанием опорных
табличных значений, промежуточные величины между которыми с достаточной
точностью определяются интерполяционными полиномами невысокого порядка.
Более
удобными являются описания обширных массивов экспериментальных значений на
основе уравнений состояния. Основным требованием к уравнениям, описывающимсвойства веществ, являются высокая
точность,широкий интервал
описания,минимальное количество
коэффициентов.
Наиболее
распространенным рабочим веществом в теплоэнергетических установках является
вода (водяной пар).
Создание
моделей свойств воды и водяного пара проводится в двух направлениях. Первое -
теоретическое обоснование модели на основе молекулярно-кинетической теории и
статической механики - уравнение идеального газа, Ван-дер-Ваальса, Боголюбова,
Майера и др. Второе направление – эмпирическое, т.е. получение уравнений
состояния на основе обработки больших массивов экспериментальных данных.
Большинство уравнений, описывающих свойства жидкостей и
газов, представлено в виде полиномов вида
1.3Описание компьютерных средств
Для выполнения лабораторных
работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее 256 МБ.
Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD,
BorlandDelphi, Pascal и т.п.
1.4Порядок проведения работы
1.4.1.Получить от
преподавателя задание в виде формулы зависимости теплофизического свойства
рабочего тела (воды, водяного пара, продуктов сгорания и т.п.) по[1] и занести в отчет по лабораторной работе соответствующую
информацию.
Например,
уравнение дляэнтропииводяного пара соответствуеттребованиямточности и может использоваться в интервале параметров подавлению отР = 0,0024 МПа до 40 МПа итемператур от линиинасыщениядоt = 660оС
Отчет по проделанной работе представляется в
электронном виде.
Отчетвключает:
-цель и краткое содержание
работы;
-задание;
-алгоритмв виде блок-схемы или в текстовой форме;
-программу;
-таблицу сисходнымиданными;
-результаты вычислительного
эксперимента;
-графики установленных
закономерностей;
-анализ полученных результатов
и выводы.
1.7Контрольные вопросы
1.7.1 В каком виде чаще всего представляются
теплофизические характеристикирабочих
тел?
1.7.2 Приведите примеры записи зависимостей
теплофизических параметров воды или водяного пара от давления и температуры.
1.7.3 Поясните необходимость составления
алгоритма расчета теплофизических параметров.
1.7.4 Чем ограничена точность полученного
значения теплофизической величины?
Литература [1-3].
2 Лабораторная работа «Интерполирование функций»
2.1Цели лабораторнойработы:
-приобретение навыка выполнения интерполяции сеточной (табличной)
функции;
-нахождение значения функции методом полиномиальной интерполяции с
изменением положения начальной точки и числа членов полинома;
-выполнениесгущения
таблиц методом полиномиальной
интерполяции;
-приобретение
навыковсоставления алгоритма и
программы расчета;
-овладение
компьютерными средствами.
2.2 Теоретическое введение
Одной из основных задач
численного анализа является задача об интерполяции функций. Часто требуется
восстановить функцию f(x) для всех значений х на отрезкеа≤х≤b, если известныее значения в некотором конечном числе точек
этого отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате наблюдений
(измерений) в каком-то натурном эксперименте либо в результате вычислений.
Кроме того, может оказаться, что функция f(x) задается формулой и вычисления ее
значений по этой формуле очень трудоемки, поэтому желательно иметь для функции
более простую (менее трудоемкую для вычислений) формулу, которая позволяла бы
находить приближенное значение рассматриваемой функции с требуемой точностью в
любой точке отрезка. В результате возникает следующая математическая задача.
Пусть
на отрезке а £ x £ b задана сетка ω ={х0 = а < х1<¼< хn = b } и в ее узлах заданы значения функции у (х),
равные у (х0) = у0, …, у(хi) = уi,
…, у(хn) = уn. Требуется построить интерполянту – функцию
f(х), совпадающую с функцией у(х) в узлах сетки
f (xi) = yi,i = 0, 1, …, n(2.1)
Основная цель интерполяции – получить
быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(x) для значений х, не
содержащихся в таблице данных.
Основной
вопрос: как выбрать интерполянту f(х) и как оценить
погрешность у(х)- f(х) ?
Интерполирующие функции f(х),
как правило, строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных
функций:
f(x) =,(2.2)
где {Ф(х)} - фиксированные линейно
независимые функции;
с0,
с1, …, сn- не определенные пока коэффициенты.
Из условий (2.1) получим
систему n+1 уравнений относительно коэффициентов {с}
(2.3)
В качестве системы линейно
независимых функций {Ф(х)} чаще всего выбирают:
степенные функции Ф(х) = х ( в этом случае f = Pn (x) – полином
степени n ); тригонометрические функции { Ф (х) = соs kх,sin kx} (f - полином
тригонометрический). Используются также рациональные функции
и другие виды интерполирующих
функций.
Рассмотрим
интерполяционные полиномы.
2.2.1 Полиномиальная
интерполяция
Известно, что любая
непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) может быть хорошо
приближена некоторымполиномом Рn(х).
Будем искать
интерполяционный полиномв виде
Рn(x) = ( 2.4 )
где с- не определенныепока коэффициенты.
В
качестве базиса {Ф(х)}мы взяли базис из одночленов 1, х, х2, …,
хn. Для вычислений более удобным является базис
полиномов Лагранжа {l(x)} степени nили коэффициентов Лагранжа
lк (xi)=1, еслиi = k,
0 , еслиi ≠ k , i, k = 0, 1, …,
n.(2.5)
Нетрудно видеть, что полином степени n
lk (x) = l k(n)(x) =
(2.6)
удовлетворяет
этим условиям. Полином lk
(x), очевидно, определяется единственным образом.
Полином lk
(x) yk принимает значение уk
в точке хk и равен нулю во всех
остальных узлах хпри
j¹k.
Отсюда следует, что
интерполяционный полином
Рn(x) = (2.7)
имеет степень не выше n и Рn (xi)
= yi.
Формулу (2.7) называют
формулой Лагранжа.
2.2.2 Интерполяционная формула Ньютона
При вычислениях на ЭВМ удобна интерполяционная
формула Ньютона.Для ее записи надо
ввести так называемые разделенные разности.
Разделенная разность первого порядка определяется
так
у(xi, xJ) = [y (xi) -y(xJ)]/ (xi-xJ).(2.8).
Разделенная разность второго
порядка –
y(xi,xJ,x) = [y(xi,xJ) -y(xJ,x)]/(xi-x)(2.9) и т.д.
Тогда
интерполянта приобретает вид
f(x)
= yo +.(2.10)
Уравнение
(2.10) - полином Ньютона.
После того как вычислены разделенные разности,
вычислять полином Ньютона удобно по схеме Горнера
Следует
иметь в виду, что применение полинома высокой степени может приводить к трудным
проблемам, связанным с погрешностями округления.
2.2.3 Применение интерполяции
Интерполяция применяется во многих задачах,
связанных сприближенными вычислениями.
Обработка
физического эксперимента – построение приближенных формул для характерных
величин по табличным данным, полученным экспериментально.
Построение приближенных формул по данным вычислительного
эксперимента. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно
пишутся формулы, возможно, более простой структуры.
Субтабулирование
- сгущение таблиц, применяется в тех случаях, когда непосредственное вычисление
функций трудно или когда имеется мало экспериментальных данных. В память
вводится небольшая таблица, а нужные при расчетах значения функции находятся по
мере необходимости по интерполяционной формуле.
Интерполяция
применяется также в задаче обратного интерполирования: задана таблица уi
= y(xi); найти хiкак функцию от уi. Примером обратного
интерполирования может служить задача о нахождении корней уравнения.
Интерполяционные формулы используются также при вычислении
интегралов, при написании разностных аппроксимаций для дифференциальных
уравнений на основе интегральных тождеств.
2.3 Порядок
выполнения работы
2.3.1.Получить от
преподавателя задание в виде таблицы экспериментальных данных и занести в отчет
по лабораторной работе соответствующую информацию.
Например, в таблице 2 дана
зависимость теплоты парообразования от температуры
Таблица 2
t
,oC
r
, кДж/кг
10
147,7
20
142,2
30
136,2
40
129,7
50
122,5
2.3.2 Найти методомлинейнойинтерполяции и интерполяциейполиномом (второго и третьего порядка) значение заданной величины в
соответствующейточке.
Изменить положение начальной
точки и повторить расчет.
Например для заданного случая,теплоту парообразования r
приt = 35оС.
2.3.3Составить алгоритм
расчета в виде блок-схемыили в
текстовой форме.
Например, алгоритмрасчёта
теплотыпарообразования r
методом линейной интерполяции:
- записать в таблицу
исходные значения;
- значение теплотыпарообразования r при t = 350C найдем
по формуле линейной интерполяции
r = (r 2 - r 1)·( t - t 1)/( t 2- t 1) +r 1,
где t =35 0C –
значение температуры,для которой
необходимо найти r,
причем t 1≤ t
≤ t 2 и r 1≤ r
≤ r 2
При использовании полинома Ньютона:
- вычисляем разделенные разности первого порядка по
формуле
r (t
i, t j) = (r (t
i) - r (t j))/( t
i- t j);
- разделенные разности второго порядка найдем из
выражения
r (t
i, t j, t k) =
(r (t
i, t j) - r (t j, t
k))/( t i- t k);
- разделенныеразноститретьегопорядка
r (t
i, t j, t k, t l) = (r (t i, t j, t k) - r (t j, t k, t
l))/( t i- t l);
- разделенныеразностичетвертогопорядка
r (t
i, t j, t k, t l, t
n) = (r (t i, t
j, t k, t l)- r (t j, t k, t l, t
n))/( t i- t n) ит.д.
Значениеrпри t =35 0C найдем
по схеме Горнера
r (t)= r (to) + (t - to)
· [r (to, t 1) + (t - t 1) ·[r (to,
t 1,
t 2)
+ (t - t 2) ·
·[r (to,
t 1,
t 2,
t 3)+(
t - t 3) · [r (to,
t 1,
t 2,
t 3,
t 4
) + …]]]](2.12)
2.3.4 Для
выполнения расчета составить программу по алгоритму п.2.3.3 и указатьв тексте отчета путь к программе
(гиперссылку).
Например, длятого, чтобыпроизвестирасчётпо (2.12), надоперейтивдокумент Лаб.работа №2\Книга1.xls
( Приложение В).
2.3.4 Произвести расчеты по программе.
2.3.5 Представить отчётопроделанной работе в электронном виде.
2.4 Описание компьютерных средств
Для выполнения лабораторных
работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее256 МБ. Инсталлированные Windows
98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, BorlandDelphi, Pascal и
т.п.
2.5 Обработка результатов
2.5.1Представить результаты расчетов разделенных
разностей в виде таблиц.
2.5.2 Представить окончательный результат в
виде графической зависимости там, где необходимо.
-научиться применять методы
нахождениякорнейтрансцендентныхуравнений при решении теплоэнергетических и теплотехнических
задач;
-получить представление
оскорости сходимости, точности и
универсальностиметодов;
-приобретение
навыковсоставления алгоритма и
программы расчета;
-овладение
компьютерными средствами.
3.2 Теоретические сведения
В научной и инженерской практике часто
приходится решать алгебраические уравнения. Методы таких решений определяются
типом задачи.
Методы решения алгебраических уравнений
делятся на прямые и итерационные.
Прямые методы
– это, например, нахождение корня квадратного уравнения.
Итерационные
методы - это когда процедура задаётся в виде многократного применения
некоторого алгоритма.
При решении таких задач предполагается, что корни
являются действительными. Отыскание корней уравнения состоит обычно из двух
этапов. На первом необходимо выяснить существуют ли решения, каково их
количество, оценить примерное значение, оценить количество и величину
интервалов, на котором функция меняет знак. Второй этап – нахождениекорня в заданном интервале.
При решении задачи
нахождения корня функции одной переменной вида f(x)=0, где f(x) –
алгебраическая или трансцендентная функция, можно говорить только о приближенном
вычислении корней уравнения, т. е. таких значений аргумента x = х*,
при которых выполняется равенство f (х*) = 0.
Рассмотрим некоторые методы
решения задач такого типа.
3.2.1 Метод половинного деления
(дихотомия)
Алгоритм метода:
1.Вычисляют
значения функции через равные интервалы значений х до смены знака при переходе
от f(xn) к f(xn+1).
2.Вычисляют
среднее значение аргумента и находят f(xср).
3.Если
знак f(xср) совпадает со знаком f(xn), то в дальнейших
расчетах вместо f(xn) используют f(xcp). Если f(xcp)
совпадает с f(xn+1), вместо последнего берут f(xcp).
4.Интервал, в котором
заключено значение корня, сужается. Если f(xcp)= 0, то процесс
заканчивается за n итераций, при этом ширина интервала уменьшается в 2n
раз.
3.2.2 Метод хорд
Алгоритм метода:
1.Вычисляют
значения функции через равные интервалызначений х до смены знака при переходе от f (xn)к f (xn+1).
2.Прямая,проходящая через эти две точки, пересекает
осьх в точке
х
* = xn – f (xn)( xn+1 - xn)/ (f (xn+1) – f (xn)).(3.1)
3.Находят
значениефункции f (x*).Сравнивают с известнымиииспользуют вместо того, с которым оно совпадает по знаку.
4.Проверяют
близость f (x*) к нулю.
2.3.3 МетодНьютона
Функция f(x)
дважды дифференцируемая на отрезке [a, b], который содержит корень х*.При
этом f(x*) = 0.Для
определения интервала, в котором заключен корень,не требуется находитьзначения функции с противоположными знаками.
Алгоритм метода:
1.Находят значение xn+1, которое
соответствует точке,в которой
касательная к кривойв точке xn
пересекает ось х
xn+1 = xn - f(xn)/f′ (xn)(3.2)
2.
Процедуру повторяют до выполнения условияблизости функции к нулю с заданной точностью.
3.3 Порядок
выполнения работы
3.3.1 Получить от
преподавателя задание в виде алгебраического уравнения и занести в отчет по
лабораторной работе соответствующую информацию.
3.3.2 Составить алгоритм расчета в виде
блок-схемыили в текстовой форме.
3.3.3 Для выполнения расчета составить
программу и указатьв тексте отчета
путь к программе (гиперссылку).
Найтиописаннымиметодами (не менее двух)значения корня уравнения с заданной точностью ε.
Например. Найтизначение корня уравнения0,1sinх + х3 -1 =
0на интервале[[ 0,8 ; 1]]приε =
0,001с помощью методов дихотомии
иНьютона.
Алгоритм расчетаметодадихотомии:
1)a=0,8, b=1, ε =10-3;
2)f (a) = 0,1sin a + a3
-1=-0,4163;
f(b) = 0,1sin b + b3
-1=0,0841;
3)xcp= (a+b)/2=0,9;
4)f(xcp) = 0,1sin xcp
+ x3cр -1;
5)если f(xcp) > 0, то а принимается
равным его предыдущему значению,
b=xcp;
если f(xcp) < 0, то а принимается
равным предыдущему значению xcp,
3.3.5 Представить отчёто проделанной работе в электронном виде.
3.4 Описание компьютерных средств
Для выполнения лабораторных
работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее256 МБ. Инсталлированные Windows
98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, BorlandDelphi, Pascal и
т.п.
3.5 Обработка результатов
3.5.1 По полученным
значениям сопоставить скорость сходимости методов.
3.5.2 Представить результаты расчетов в виде
графиков.
3.5.3Проанализировать полученный результат,
оценить точность, сделать выводы.
3.6Оформление
отчета по работе
Отчет по проделанной работе представляется в
электронном виде.
Отчетвключает:
-цель и краткое содержание работы;
-задание;
-алгоритмв виде блок-схемы или в текстовой форме;
-программу;
-таблицу сисходнымиданными;
-результаты вычислительного эксперимента;
-графики установленных закономерностей;
-анализ полученных результатов и выводы.
3.7Контрольные вопросы
3.7.1 Опишите алгоритм
метода половинного деления.
3.7.2 Опишите алгоритм
метода хорд.
3.7.3
Опишите алгоритм метода Ньютона.
3.7.4 Проведите сравнение
методов по скорости сходимости, универсальности,скорости реализации, чувствительностик погрешностям вычислений.
-познакомиться с
различными методами численного интегрирования;
-получить
представление оточности и
универсальностиметодов;
-приобретение
навыковсоставления алгоритма и программы
расчета;
-овладение
компьютерными технологиями.
4.2 Теоретические сведения
Необходимость численного
интегрирования часто возникает при анализе инженерных и научных данных.
Например, численные методы вычисления применяют в тех случаях, когда интеграл
не удается найти в аналитическом виде или когдавидинтеграла сложен.
Численное интегрирование применяют и тогда, когда нужно найти интеграл от
табулированной функции, измеряемой в эксперименте.
Например, для определения количества теплоты, передаваемого от одного
теплоносителя к другому через поверхность теплообмена, необходимо
воспользоваться уравнением теплопередачи вида
dQ = k<Dt>dF
.(4.1)
Площадь поверхности теплообмена из (4.1) может быть
найдена так
tx2
F=òdQ¤k<Dt> = òGхcрхdtх¤k<Dt>(tx ,tг ),
tx1
т.е задача
сводится к взятию интеграла, что не всегда это можно сделать аналитически.
Задача численного интегрирования состоит в
нахождении приближенного значения интеграла вида:
где f(x) – заданная функция.
На отрезке [а,в] вводится сетка
ω = {xi; x0 = а < x1 < x2 … < xn= b).
В качестве приближенного значения интеграла
рассматривают числоI
(4.2)
где xi – узлы квадратурной
формулы;
f(xi) – значения функции в узлах;
сi – весовые или квадратурные
множители (веса), которые зависят только от узлови не зависят от вида функции.
Уравнение(4.2) – квадратурная формула.
Задача численного
интегрирования будет состоять в отыскании таких узлов и таких квадратурных
множителей, чтобы погрешность квадратурной формулы была минимальна
.
В зависимости от разбиения отрезка [а,в]различают два подхода к построению
квадратурных формул.
1.Местоположение и длина
интервалов разбиения выбираются заранее.
В этом случае используется
квадратурная формула Ньютона - Котеса (к этим методам относятся метод трапеции
и метод Симпсона).
2.Местоположение и длина
интерваловзаранее не задается, а
подбирается, чтобы достичь наивысшей точности при заданном числе интервалов. В
этом случае используется кусочно-постояннаяинтерполяцияилиинтерполяция степени ноль.
Определенный интеграл
b
I =òf(x)dx
a
представляет
собой площадь, ограниченную кривойf(x),осью
х и прямымих = a, х =
b. Мы будем пытаться вычислить I, разбивая интервал от a до
b на множество меньших интервалов, находя приблизительную площадь каждойполоски.
y
f (xi) f (xi+1)
y = f
(x)
axixi+1bx
Рисунок 1
4.2.1 Методтрапеций
Формулатрапеции
I =
∑ сi · f (xi) = (h/2)·( y0 + 2y1
+ 2y2 +... + yn ),(4.3)
3. ПодставляемполученныезначениявформулуСимпсона (4.4) и находим численное значение интеграла.
Численное значениеинтеграла, найденное по первообразной,
J = 0,467491.
4. Произведем расчеты по программе с изменением величины шага,
проанализируем полученный результат, сопоставив полученные значения.
Таблица3
Шаг интегрирования, h
Значение
интеграла I по методу
трапеций
Симпсона
0,1
0,441876
0,431780
0,01
0,465053
0,464225
0,001
0,467248
0,467167
Из полученных значений
видно, что чем меньше величина шага, тем с большой точностью значения,
полученные по методам трапеции и Симпсона, близки к значению, найденномупоточной формулевычисленияинтеграла.
Расчет погрешностей методов с расчетом производных
высокого порядка требует дополнительных сложных вычислений. На практике для
достижения требуемой точности используется метод последовательного удвоения
числа шагов.
Для метода трапеций
.(4.7)
При h=0,0001 I=0,467491,
при h=0,00005 I=0,467479
.
Если (0,000004<10-3),
то величина шага нас устраивает,расчеты заканчиваются.
Для метода трапеций достаточно взять минимальный шаг
h=0,001
Для метода Симпсона
.(4.8)
При h=0,0001 I=
0,467167, при h=0,00005 I=0,467475
.
Если (0,000002<10-3),
то величина шага нас устраивает, расчеты заканчиваются.
Для метода трапеций достаточно взять минимальный шаг
h=0,001
4.3.5Дляпроведениячисленного интегрирования необходимо воспользоватьсяпрограммой BorlandPascal
(Приложение Д).
4.3.6 Произвести расчеты по программе с изменением величины шага
интегрирования.
4.3.7 Представить отчётопроделанной работе в электронном виде.
4.4 Описание компьютерных средств
Для выполнения лабораторных
работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее256 МБ. Инсталлированные Windows
98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, BorlandDelphi, Pascal и
т.п.
4.5 Обработка результатов
4.5.1Получить точное
значение интеграла по первообразной.
4.5.2 Получить численное
значение интеграла методом трапеции иСимпсона. Повторить расчет, уменьшая величину шага на один -два порядка.
4.5.3 Проанализировать полученный результат,
сопоставив точное значение интеграла срассчитанными значениями, оценить точность методов, сделать выводы.
4.6Оформление отчета по работе
Отчет по проделанной работе представляется в
электронном виде.
Отчетвключает:
-цель и краткое содержание работы;
-задание;
-алгоритмв виде блок-схемы или в текстовой форме;
-программу;
-таблицу сисходнымиданными;
-результаты вычислительного эксперимента;
-графики установленных закономерностей;
-анализ полученных результатов и выводы.
4.7 Контрольные вопросы
4.7.1 Опишите алгоритм
метода трапеций.
4.7.2 Опишите алгоритм метода Симпсона.
4.7.3Проведите сравнение
методов по точности, универсальности,скорости реализации, чувствительностик величине шага ипогрешностям
вычислений.
Литература [1-5].
5 Лабораторная работа«Численныеметодырешения систем линейных уравнений»
5.1 Цели лабораторнойработы:
-приобретение умения
решатьсистемы линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса;
-приобретение
навыковсоставления алгоритма и
программы расчета в MathCAD;
-овладение
компьютерными средствами.
5.2
Теоретические сведения
С подобной задачей инженер сталкивается, пожалуй, чаще
всего в своей практике. Уравнения, содержащие суммы целых степеней х
называютсяалгебраическими. К решению
систем алгебраических уравнений приводят многие задачи анализа и синтеза
физических явлений различной природы (механические, гидравлические и
т.д.).
В
общем случае система линейных уравнений имеет вид
Систему (5.1) можно представить в векторно-матричной
форме , матрица
коэффициентов будет иметь вид
a11 a12 . . . a1n
a21 a22
. . . a2n
A=. . . . . . . . .
.,
an1 an2
. . . ann
вектор
- столбец свободных членов
b1
b2
b =. . .,
bn
вектор – столбец неизвестных
x1
x2
x =. . .
xn.(5.2)
Свернем(5.2)
Ax = b.(5.3)
Для
решения систем линейных алгебраическихуравнений (5.3) чаще всего используются численные методы, которые
делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные). К прямым методам
относитсяметод Гаусса,к приближенным - метод Зейделя.
Распространенной
вычислительной задачей является нахождение решений систем n-нелинейных
алгебраических трансцендентных уравнений с n-неизвестных, которые в
общем виде можно записать так
f1(x1,x2,
. . . xn)=0
f2(x1,x2,
. . . xn)=0
. . . . . . . . . . . . . ..( 5.4 )
fn(x1,x2, . . . xn) = 0
Решением такой системы называется множество значений
x1,x2, . . . xn, одновременно удовлетворяющих каждому из уравнений системы.
Введем векторы столбцы:
x1f1
x2f2
x =. . .,f=. . ..
xnfn
Тогда (5.4) примет вид
f(x)=0.( 5.5 )
Такие
системы решаются только итерационными методами Ньютона и Зейделя.
5.2.1 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравненийс выбором главного элемента (метод
исключения)
Процесс
решения методом Гаусса делится на два этапа. На первом этапе (прямой ход)
последовательным исключением неизвестных составляется преобразованная,
эквивалентная система уравнений с треугольной матрицей, в которой все элементы
под главной диагональю равны нулю. При этом одно из уравнений в системе
содержит только одну неизвестную, а в каждом следующем добавляется еще по одной
неизвестной. На втором этапе (обратный ход) решается преобразованная система
уравнений.Метод Гаусса надежен, прост
и широко применяется при решении на ЭВМ.
5.2 2 Метод Зейделя
Суть
итерационного метода Зейделя состоит в том, что задаемся некоторым произвольным
вектором х [0], являющимся началом приближения к искомому решению х* . Затем
строят последовательность приближенных значений {x [k]}, где k=0,1,2,…,
сходящихся к х*. Последовательность х[0],x[1],… ,x[k] сходится к х* в том
случае, если для любого ε>0 существует натуральное число N=k+1, начиная
с которого выполняется условие
x*-x[k]< ε .
Можно
показать, что с помощью метода Зейделя строится сходящаяся к точному решению
последовательность векторов {x[k]}
limx[k] = x*.
5.2.3 Сравнение метода Гаусса и
Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений
Выбор в
каждом отдельном случаеконкретного
метода решения определяется следующими факторами:
- особенностями матрицы коэффициентов системы А;
- порядком системы;
- быстродействием и объемом памяти компьютера.
Метод Гаусса
наиболее универсален и эффективен, применение его целесообразно для систем
общего вида с плотно заполненной матрицей коэффициентов А.
При решении
систем уравнений высокого порядка (n≈103–106) с
разреженной матрицей коэффициентовцелесообразно применять итерационный метод Зейделя. Ошибки округления в
итерационных методах оказываются меньше, чем в прямых методах. Метод Зейделя
является самоисправляющимся, так как ошибка, допущенная в вычислениях, не
отражается на конечном результате, так как ошибочное приближение
рассматривается как новый начальный вектор. Важным преимуществом итерационных
методов является удобство их программирования.
5.3 Порядок
выполнения работы
5.3.1 Получитьиндивидуальное задание у преподавателя.
5.3.2 Составить схему алгоритма
метода Гаусса (Зейделя) решения системы линейных алгебраических уравнений.
5.3.3 Составить программу решения
систем линейных уравнений.
5.3.4 Произвести расчеты по
программе.
5.3.5Для проведения расчетавоспользоватьсяпрограммой MathCAD.
5.3.6 Представить отчётопроделанной работе в электронном виде.
5.4 Описание компьютерных средств
Для выполнения лабораторных
работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее256 МБ. Инсталлированные Windows
98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, BorlandDelphi, Pascal и
т.п.
5.5 Обработка результатов
5.5.1Сопоставить полученные результаты сточнымизначениями.
5.5.2Проанализировать полученный результат, оценить его точность,
сделать выводы.
5.6Оформление отчета по работе
Отчет по проделанной работе представляется в
электронном виде.
Отчетвключает:
-цель и краткое содержание работы;
-задание;
-алгоритмв виде блок-схемы или в текстовой форме;
-программу;
-таблицу сисходнымиданными;
-результаты вычислительного эксперимента;
-графики установленных закономерностей;
-анализ полученных результатов и выводы.
5.7 Контрольные вопросы
5.7.1 Приведите примерытеплотехническихзадач, приводящих к решению систем линейных алгебраических
уравнений.
5.7.2 Охарактеризуйте прямые и итерационные
методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
5.7.3 Опишите алгоритм метода Гаусса.
5.7.4 Опишите алгоритм метода Зейделя.
5.7.5 Проведите сравнение методов Гаусса и
Зейделя по числу выполняемых операций, требуемойоперативной памяти, погрешностям вычислений.
-научиться применять численные
методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;
-получить представление
ометодах Рунге-Кутты решения
обыкновенных дифференциальных уравнений;
-приобретение
навыковсоставления алгоритма и
программы расчета;
-овладение компьютерными
средствами.
6.2
Теоретические сведения
Уравнение, содержащее одну или несколько
производных, называют дифференциальным. Поскольку большинство физических
законов науки и техники записано в форме дифференциальных уравнений, их решение
является повседневной необходимостью. Задачи моделирования, связанные с
движением массы или энергии, также неизбежно ведут к дифференциальным
уравнениям. К сожалению, число уравнений, которые можно успешно решить
аналитическими методами, очень ограничено. Поэтому при рассмотрении научных и
инженерных задач особенно важен вопрос о решении дифференциальных уравнений с
помощью персонального компьютера.
Чтобы решить
обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой
переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой
переменной. Если эти дополнительные условия заданы при одном значении
независимой переменной, то такую задачу называют задачей с начальными условиями
или задачей Коши. Если же условия заданы при двух значениях независимой
переменной, задачу называют краевой. В задаче Коши дополнительные условия
называют начальными, а в краевой задаче ¾ граничными.
Дифференциальное
уравнение содержит неизвестную функцию у = f (x),независимые переменные x ,производные неизвестной функции
.(6.1)
Решить
дифференциальное уравнение - этонайти
его общий интеграл.
Численное решение – это построение таблицы
приближенных значений у1,y2, y3,…, yn. решения уравнения y = f (x) в
точках x1,x2,x3,…xn.
Чаще
всего полагают xi= x0 + ih,где i = 0,1,2…n. Точки xi носят название узлов сетки, а величина h – шаг сетки.
Численные
методы разделяются на одношаговые и многошаговые.
К одношаговым относятся методы Эйлера и методы
Рунге-Кутты. К многошаговым – прогноза и коррекции.
6.2.1Метод Рунге-Кутты
Рассмотрим
метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности.
В
этом методе значение величины yi+1рассчитывается по формуле
,
где,
,(6.2)
,
.
Погрешность метода на одном шаге сетки
равна M · h5 , но поскольку на практике М оценить сложно,
пользуются правилами Рунге удвоения шага.
Метод Рунге –Куттыприменим к системам уравнений первого
порядка
y´1 = f (x,
y1 , y2 , … , уn)
y´2 = f (x,
y1 , y2 , … , уn)
…
уn ´ = f
(x, y1 , y2 , … , уn),
а также к уравнениям любого
порядка, которые можно свести к системам уравнений первого порядка путем замены
переменных.
Метод Рунге-Куттыдля уравнения второго порядка имеет алгоритм.
Исходное
уравнение задачи Коши
y ´´= f (x, y,
y´)(6.3)
с начальными условиями y0 = у(х0)
и y´0 = y´ (х0)
преобразуется к системе двух уравнений
y ´= z = g (x, y,
y´),приy´0 = y´ (х0)
= z (х0) = z0
z ´= f (x, y,
y´),при y0
= у(х0).(6.4)
Далее
у n+1 = у n+ К,(6.5)
гдеК = h
(К1 + 2К2 +2К3 + К4)/6 ,
К1 = g (x n, y n, z
n),
К2 = g (x n + h/2, y n + К1h/2, z n + L1h/2),
К3 = g (x n + h/2, y n + К2h/2, z n + L2h/2),
К4 = g (x n + h, y n + К3h, z n + L3h),
z n+1 = z n+ L ,(6.6)
где L = h (L 1 + 2 L 2 + L 3
+ L 4)/6 ,
L 1 =f (x n, y n, z n)
L 2 =f (x n + h/2, y n + К1h/2, z n + L1h/2),
L
3 =f (x n + h/2, y
n + К2h/2, z n + L2h/2),
L
4 = f (x n + h, y n + К3h, z n + L3h).
6.3 Порядок
выполнения работы
6.3.1.Получить от
преподавателя задание в виде ОДУ второго порядка с начальными условиямии занести в отчет по лабораторной работе
соответствующую информацию.
6.3.2 Составить схему алгоритма
метода Рунге – Кутты.
6.3.3 Для
выполнения расчетанеобходимо
воспользоватьсяпрограммой BorlandPascal (можно составить
программу в Excel)по алгоритму и указатьв тексте отчета путь к программе
(гиперссылку).
6.3.4Произвести расчеты по программе
6.3.5 Представить отчётопроделанной работе в электронном виде.
6.4 Описание компьютерных средств
Для выполнения лабораторных
работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее256 МБ. Инсталлированные Windows
98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, BorlandDelphi, Pascal и
т.п.
6.5 Обработка результатов
6.5.1Представить результаты расчетов в виде
таблиц значений функции и ее производной.
6.5.2 Представить результат в виде
графической зависимости.