АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра    промышленной  теплоэнергетики

      

 

 

 

 

 

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

 

Методические указания  к лабораторным работам

 (для студентов теплоэнергетических специальностей и бакалавриата по направлению «Теплоэнергетика»)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2005


 

 

СОСТАВИТЕЛЬ: Н.Г. Борисова Компьютерные технологии в  теплоэнергетических расчетах. Методические указания  к лабораторным работам  (для студентов теплоэнергетических специальностей и бакалавриата по направлению «Теплоэнергетика»).- Алматы: АИЭС, 2005.- 36с.

 

Методические указания содержат описания лабораторных работ по основным разделам курса «Компьютерные технологии в  теплоэнергетических расчетах». Даны краткие теоретические сведения о численных методах наиболее часто используемых в теплоэнергетических и теплотехнологических расчетах. Приведены  примеры расчетов, алгоритмов, программ. Даны  методические рекомендации по выполнению работ, обработке результатов  вычислительного эксперимента и оформлению отчета, контрольные вопросы и перечень рекомендуемой литературы для самостоятельной работы.

Ил. 1, табл. 3, библиогр: 5  назв.

 

 

 

 

 

 

 

Рецензент:  зав. кафедрой  ТЭУ, канд. техн. наук   А.А. Кибарин

 

 

 

 

 

 

 

 

Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на  2002 г.

 

 

 

 

© Алматинский институт энергетики и связи, 2005 г.

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Целью выполнения лабораторных работ по курсу «Компьютерные технологии в  теплоэнергетических расчетах» является формирование у студентов  умений и навыков  применения компьютерных технологий для  расчета процессов, установок и систем теплоэнергетики, закрепление теоретических знаний, полученных на лекционных и практических занятиях, и овладение методами:

-  расчета теплофизических свойств рабочих тел, используемых в теплоэнергетике и теплотехнологии;

-  приближения  функций и расчета теплотехнических таблиц;

-  численного решения нелинейных  алгебраических уравнений гидродинамики и теплообмена;

-  численного интегрирования, например, при определении поверхности теплообмена рекуперативного теплообменного аппарата;

-  конечно -  разностными,   для решения  задач теплопроводности;

-  решения задач конвективного теплообмена;

-  решения задач оптимизации в теплоэнергетике и  теплотехнике.

Кроме того, при выполнении лабораторных работ студенты  овладевают приемами создания и редактирования файлов;  алгоритмизации; закрепляют навыки использования языков программирования; приобретают навыки проведения вычислительного эксперимента, сопоставления результатов натурного и вычислительного эксперимента с теоретическими данными. Учатся обработке, анализу и представлению результатов вычислительного эксперимента.

Приобретенные  при выполнении работ знания, умения и навыки необходимы  в дальнейшем для изучения специальных дисциплин, в частности курса «Методы моделирования и оптимизации теплотехнологических установок и систем», при выполнении курсовых, дипломных работ, диссертационных работ бакалавра и магистра, проведения НИРС.

При выполнении работ в компьютерном классе необходимо строго соблюдать правила техники безопасности и использования средств вычислительной техники в  учебной лаборатории.

 

1        Лабораторная работа «Расчет теплофизических свойств рабочих тел, используемых в теплоэнергетике»

 

1.1  Цель лабораторной работы

 

Приобретение практических навыков оперативного расчета теплофизических характеристик рабочих тел:

-  знакомство со способами описания теплофизических характеристик для представления в ЭВМ;

-  приобретение навыков  составления алгоритма расчета;

-  приобретение навыков составления программы расчета;

-  выработка умения анализировать полученные результаты;

-  использование графического представления полученных результатов;

-  получение значений теплофизических величин рабочих тел в заданных интервалах температур и давлений.

 

1.2     Теоретические сведения

 

При выполнении  расчетов теплотехнологических процессов   и установок используются данные о теплофизических свойствах теплоносителей и рабочих веществ в широком диапазоне температур и давлений. Весьма важным в этом случае являются оперативность получения информации и компактность ее представления  в памяти РС. Использование табличного задания свойств при ограниченной оперативной памяти РС неэффективно, т.к. приходится  многократно приводить считывание участков  таблиц из внешней памяти. Сокращение объема таблиц можно осуществить запоминанием опорных табличных значений, промежуточные величины между которыми с достаточной точностью определяются интерполяционными полиномами невысокого порядка.

Более удобными являются описания обширных массивов экспериментальных значений на основе уравнений состояния. Основным требованием к уравнениям, описывающим  свойства веществ, являются высокая точность,  широкий интервал описания,  минимальное количество коэффициентов.

Наиболее распространенным рабочим веществом в теплоэнергетических установках является вода (водяной пар).

Создание моделей свойств воды и водяного пара проводится в двух направлениях. Первое - теоретическое обоснование модели на основе молекулярно-кинетической теории и статической механики - уравнение идеального газа, Ван-дер-Ваальса, Боголюбова, Майера и др. Второе направление – эмпирическое, т.е. получение уравнений состояния на основе обработки больших массивов экспериментальных данных.

          Большинство уравнений, описывающих свойства жидкостей и газов, представлено в виде полиномов вида

 

1.3     Описание компьютерных средств

 

Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее 256 МБ. Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, Borland Delphi, Pascal и т.п.

 

1.4  Порядок проведения работы

 

1.4.1.Получить от преподавателя задание в виде формулы зависимости теплофизического свойства рабочего тела (воды, водяного пара, продуктов сгорания и т.п.) по  [1] и занести в отчет по лабораторной работе соответствующую информацию.

          Например, уравнение для  энтропии  водяного пара соответствует  требованиям  точности и может использоваться в интервале параметров по  давлению от  Р = 0,0024 МПа до 40 МПа и  температур от линии  насыщения  до  t = 660оС

 

     S = S0+A4· p+ A5· p/2 - R·ln (1000·p), кДж/кг,                         (1.1)

 

где  S0 = (a1·lny + 2·a2·y - a3/y + a4) / 1000,                                      (1.2)

 

       A4 = - b1 + 2·b2/y3 + 2·b3/(y-b4)3 ,                                                (1.3)

 

       A5 = 8·c1/y8 + 14·c2/y13  ,                                                                   (1.4)

 

               Y = t/1000,

 

                R = 0,46151 кДж/кг К

 

 t - температура, 0С,

 р - давление, МПа.

 

 Значения коэффициентов ai ,bi ,ci приведены в таблице 1.

 

  Таблица 1

i

           ai

          bi

       ci

1

1.48285 · 103

25 · 104

-2.5993 · 10 -6

2

3.79026 · 102

-1.1354 · 10-3

-1.2604 · 10 -8

3

4.6174 · 101

-4.381 · 10-4

 

4

1.08161 · 104

0.21

 

 

1.4.2 Составить алгоритм расчета в виде блок-схемы  или в текстовой форме.

Например, алгоритм  расчёта энтропии по (1.1):

1.   Задаёмся  значениями  переменных  аi , bi ,ci  ( i = 1,2,3,4).

2.   Подставляем  значения  a1, a2 , a3 , a4 , у   в  формулу (1.2).

3.   Подставляем  значения  b1 , b2 ,b3 , b4 , y  в  формулу (1.3).

4.   Подставляем  значения  с1 , с2 , у  в  формулу (1.4).

5. Полученные значения из формул (1.2), (1.3), (1.4) подставляем в формулу (1.1).

При  этом давление  р = 20 МПа, температура t = 400оС, у = t/1000,

 R = 0,46151 кДж/(кг К)

1.4.3 Для выполнения расчета составить программу по алгоритму п.1.2.2 и указать  в тексте отчета путь к программе (гиперссылку).

Например, для того, чтобы произвести расчёт энтропии по (11), надо  перейти в документ Лаб.работа 1\Книга1.xls  ( Приложение А).

1.4.4 Произвести расчеты по программе.

1.4.5 Представить отчёт  о  проделанной работе в электронном виде.

 

1.5 Обработка результатов

 

1.5.1 Представить результаты расчетов в виде таблиц.

1.5.2 Представить результат в виде графической зависимости там, где необходимо.

1.5.3Проанализировать полученный результат, сопоставив с  известными значениями, оценить точность полученного результата, сделать выводы.

 

1.6   Оформление отчета по работе

 

Отчет по проделанной работе представляется в электронном виде.

Отчет   включает:

-цель и краткое содержание работы;

-задание;

-алгоритм  в виде блок-схемы или в текстовой форме;

-программу;

-таблицу с  исходными  данными;

-результаты вычислительного эксперимента;

-графики установленных закономерностей;

-анализ полученных результатов и выводы.

 

1.7   Контрольные вопросы

 

1.7.1 В каком виде чаще всего представляются теплофизические характеристики  рабочих тел?

1.7.2 Приведите примеры записи зависимостей теплофизических параметров воды или водяного пара от давления и температуры.

1.7.3 Поясните необходимость составления алгоритма расчета теплофизических параметров.

1.7.4 Чем ограничена точность полученного значения теплофизической величины?

 

Литература [1-3].

                  

2 Лабораторная работа «Интерполирование функций»

 

2.1  Цели лабораторной  работы:

 

 -приобретение навыка выполнения интерполяции сеточной (табличной) функции;

 -нахождение значения функции методом полиномиальной интерполяции с изменением положения начальной точки и числа членов полинома;

 -выполнение  сгущения таблиц методом  полиномиальной интерполяции;

-  приобретение навыков  составления алгоритма и программы расчета;

-  овладение компьютерными средствами.

 

2.2 Теоретическое введение

 

Одной из основных задач численного анализа является задача об интерполяции функций. Часто требуется восстановить функцию f(x) для всех значений х на отрезке  а≤х≤b, если известны  ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате наблюдений (измерений) в каком-то натурном эксперименте либо в результате вычислений. Кроме того, может оказаться, что функция f(x) задается формулой и вычисления ее значений по этой формуле очень трудоемки, поэтому желательно иметь для функции более простую (менее трудоемкую для вычислений) формулу, которая позволяла бы находить приближенное значение рассматриваемой функции с требуемой точностью в любой точке отрезка. В результате возникает следующая математическая задача.

          Пусть на отрезке а £ x £ b задана сетка ω ={х0 = а < х1 <¼< хn = b } и в ее узлах заданы значения функции у (х), равные у (х0) = у0, …, у(хi) = уi, …, у(хn) = уn. Требуется построить интерполянту – функцию f(х), совпадающую с функцией у(х) в узлах сетки

 

f (xi) = yi,   i = 0, 1, …, n                                   (2.1)

 

          Основная цель интерполяции – получить быстрый (экономичный) алгоритм вычисления значений f(x) для значений х, не содержащихся в таблице данных.

          Основной вопрос: как выбрать интерполянту f(х) и как оценить погрешность у(х)  - f(х) ? 

Интерполирующие функции f(х), как правило, строятся в виде линейных комбинаций некоторых элементарных функций:

f(x) =,                                            (2.2)

где {Ф(х)} - фиксированные линейно независимые функции;

       с0, с1, …, сn  - не определенные пока коэффициенты.

Из условий (2.1) получим систему n+1 уравнений относительно коэффициентов {с}

 

                                 (2.3)

 

В качестве системы линейно независимых функций {Ф(х)} чаще всего выбирают: степенные функции Ф(х) = х ( в этом случае f = Pn (x) – полином степени n ); тригонометрические функции { Ф (х) = соs kх,  sin kx} (f - полином тригонометрический). Используются также рациональные функции

                                       

и другие виды интерполирующих функций.

Рассмотрим интерполяционные полиномы.

2.2.1 Полиномиальная интерполяция

Известно, что любая непрерывная на отрезке [а, b] функция f(x) может быть хорошо приближена некоторым  полиномом Рn(х).

Будем искать интерполяционный полином в виде

                             Рn(x) =           ( 2.4 )

где с- не определенные  пока коэффициенты.

          В качестве базиса {Ф(х)} мы взяли базис из одночленов 1, х, х2, …, хn. Для вычислений более удобным является базис полиномов Лагранжа {l(x)} степени n  или коэффициентов Лагранжа

                                  

                   lк (xi)  =           1, если   i = k,

                                          0 , если   i ≠ k , i, k = 0, 1, …, n.                  (2.5)

                     

Нетрудно видеть, что полином степени n

 

l k (x) = l k (n) (x) =

  (2.6)

удовлетворяет этим условиям. Полином l k (x), очевидно, определяется единственным образом.

Полином l k (x) y k принимает значение у k в точке х k и равен нулю во всех остальных узлах хпри j ¹ k.

 

 

Отсюда следует, что интерполяционный полином

 

Рn(x) =             (2.7)

 

имеет степень не выше n и Рn (xi) = yi.

Формулу (2.7) называют формулой Лагранжа.

2.2.2 Интерполяционная формула Ньютона

При вычислениях на ЭВМ удобна интерполяционная формула Ньютона. Для ее записи надо ввести так называемые разделенные разности.

Разделенная разность первого порядка определяется так

 

у(xi, xJ) = [y (xi) - y(xJ)]/ (xi - xJ).                     (2.8).

 

Разделенная разность второго порядка –

 

y(xi,xJ,x) = [y(xi,xJ) - y(xJ,x)] / ( xi - x)           (2.9) и т.д.

 

Тогда интерполянта приобретает вид

 

f(x) = yo +  .   (2.10)

 

Уравнение (2.10) - полином Ньютона.

После того как вычислены разделенные разности, вычислять полином Ньютона удобно по схеме Горнера

 

                      f(x) = y(xo) + (x-xo) [y (xo,x1) + (х-х1) [y (xo,x1,x2) + …]] (2.11)

 

          Следует иметь в виду, что применение полинома высокой степени может приводить к трудным проблемам, связанным с погрешностями округления.

2.2.3 Применение интерполяции

Интерполяция применяется во многих задачах, связанных с  приближенными вычислениями.

          Обработка физического эксперимента – построение приближенных формул для характерных величин по табличным данным, полученным экспериментально.

          Построение приближенных формул по данным вычислительного эксперимента. Здесь возникают нестандартные задачи интерполяции, так как обычно пишутся формулы, возможно, более простой структуры.

          Субтабулирование - сгущение таблиц, применяется в тех случаях, когда непосредственное вычисление функций трудно или когда имеется мало экспериментальных данных. В память вводится небольшая таблица, а нужные при расчетах значения функции находятся по мере необходимости по интерполяционной формуле.

          Интерполяция применяется также в задаче обратного интерполирования: задана таблица уi = y(xi); найти хi  как функцию от уi. Примером обратного интерполирования может служить задача о нахождении корней уравнения.

          Интерполяционные формулы используются также при вычислении интегралов, при написании разностных аппроксимаций для дифференциальных уравнений на основе интегральных тождеств.

 

2.3 Порядок выполнения работы

 

2.3.1.Получить от преподавателя задание в виде таблицы экспериментальных данных и занести в отчет по лабораторной работе соответствующую информацию.

Например, в таблице 2 дана зависимость теплоты парообразования от температуры

                          Таблица 2

t ,oC

r , кДж/кг

10

147,7

20

142,2

30

136,2

      40

129,7

50

122,5

 

2.3.2 Найти методом  линейной  интерполяции и интерполяцией  полиномом (второго и третьего порядка) значение заданной величины в соответствующей  точке.

Изменить положение начальной точки и повторить расчет.

Например для заданного случая,  теплоту парообразования r при  t = 35оС.

2.3.3  Составить алгоритм расчета в виде блок-схемы  или в текстовой форме.

Например, алгоритм  расчёта теплоты  парообразования r методом линейной интерполяции:

- записать в таблицу исходные значения;

- значение теплоты  парообразования r при t = 350C найдем по формуле линейной интерполяции

r = (r 2 - r 1)·( t - t 1)/( t 2- t 1) +  r 1,

где t =35 0C – значение температуры,  для которой необходимо найти r ,

причем t 1tt 2 и r 1rr 2

При использовании полинома Ньютона:

- вычисляем разделенные разности первого порядка по формуле

r (t i, t j) = (r (t i) - r (t j))/( t i- t j);

- разделенные разности второго порядка найдем из выражения

r (t i, t j, t k) = (r (t i, t j) - r (t j, t k))/( t i- t k);

- разделенные разности третьего порядка

r (t i, t j, t k, t l) = (r (t i, t j, t k) - r (t j, t k, t l))/( t i- t l);

- разделенные разности четвертого порядка

r (t i, t j, t k, t l, t n) = (r (t i, t j, t k, t l)- r (t j, t k, t l, t n))/( t i- t n) и т.д.

 

Значение  r  при t =35 0C найдем по схеме Горнера

 

r (t)= r (t o) + (t - t o) · [r (t o, t 1) + (t - t 1) ·  [r (t o, t 1, t 2) + (t - t 2) ·

 

·  [r (t o, t 1, t 2, t 3)+( t - t 3) · [r (t o, t 1, t 2, t 3, t 4 ) + …]]]]                 (2.12)

 

2.3.4 Для выполнения расчета составить программу по алгоритму п.2.3.3 и указать  в тексте отчета путь к программе (гиперссылку).

Например, для  того, чтобы  произвести  расчёт  по (2.12), надо  перейти  в  документ Лаб.работа №2\Книга1.xls ( Приложение В).

2.3.4 Произвести расчеты по программе.

2.3.5 Представить отчёт  о  проделанной работе в электронном виде.

 

2.4 Описание компьютерных средств

 

Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее  256 МБ. Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, Borland Delphi, Pascal и т.п.

 

2.5 Обработка результатов

 

2.5.1  Представить результаты расчетов разделенных разностей в виде таблиц.

2.5.2 Представить окончательный результат в виде графической зависимости там, где необходимо.

2.5.3 Проанализировать полученный результат, сопоставив с  известными значениями, оценить точность полученного результата, сделать выводы.

 

  2.6  Оформление отчета по работе

 

Отчет по проделанной работе представляется в электронном виде.

Отчет   включает:

- цель и краткое содержание работы;

- задание;

- алгоритм  в виде блок-схемы или в текстовой форме;

- программу;

- таблицу с  исходными  данными;

- результаты вычислительного эксперимента;

- графики установленных закономерностей;

- анализ полученных результатов и выводы.

 

2.7  Контрольные вопросы

 

2.7.1 В каких случаях необходимо использовать приближение функций?

2.7.2 Приведите примеры базовых функций.

2.7.3 Сопоставьте и сделайте вывод о точности результата при использовании линейной и полиномиальной интерполяции.

2.7.4 Как влияет на точность искомой величины изменение положения начальной точки?

2.7.5 Как влияет на точность искомой величины изменение степени полинома?

2.7.6 Оцените точность полученного результата.

2.7.7 Приведите примеры применения интерполяции в теплотехнических расчетах.

 

Литература [1-2].

 

3 Лабораторная работа  «Нахождение  корней  трансцендентных  уравнений»

 

3.1 Цели лабораторной  работы:

 

-научиться применять методы нахождения  корней  трансцендентных  уравнений при решении теплоэнергетических и теплотехнических задач;

-получить представление о  скорости сходимости, точности и универсальности  методов; 

-  приобретение навыков  составления алгоритма и программы расчета;

-  овладение компьютерными средствами.

 

3.2 Теоретические сведения

 

В научной и инженерской практике часто приходится решать алгебраические уравнения. Методы таких решений определяются типом задачи.

Методы решения алгебраических уравнений делятся на прямые и итерационные.

Прямые методы – это, например, нахождение корня квадратного уравнения.

Итерационные методы - это когда процедура задаётся в виде многократного применения некоторого алгоритма.

При решении таких задач предполагается, что корни являются действительными. Отыскание корней уравнения состоит обычно из двух этапов. На первом необходимо выяснить существуют ли решения, каково их количество, оценить примерное значение, оценить количество и величину интервалов, на котором функция меняет знак. Второй этап – нахождение  корня в заданном интервале.

При решении задачи нахождения корня функции одной переменной вида f(x)=0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция, можно говорить только о приближенном вычислении корней уравнения, т. е. таких значений аргумента x = х*, при которых выполняется равенство f*) = 0.

Рассмотрим некоторые методы решения задач такого типа.

3.2.1 Метод половинного деления (дихотомия)

Алгоритм метода:

1.   Вычисляют значения функции через равные интервалы значений х до смены знака при переходе от f(xn) к f(xn+1).

2.   Вычисляют среднее значение аргумента и находят f(xср).

3.   Если знак f(xср) совпадает со знаком f(xn), то в дальнейших расчетах вместо f(xn) используют f(xcp). Если f(xcp) совпадает с f(xn+1), вместо последнего берут f(xcp).

4.    Интервал, в котором заключено значение корня, сужается. Если f(xcp)= 0, то процесс заканчивается за n итераций, при этом ширина интервала уменьшается в 2n раз.

3.2.2 Метод хорд

Алгоритм метода:

1.   Вычисляют значения функции через равные интервалы  значений х до смены знака при переходе от f (xn)  к f (xn+1).

2.   Прямая,  проходящая через эти две точки, пересекает ось  х в точке

 

х * = xnf (xn)( xn+1 - xn)/ (f (xn+1) – f (xn)).           (3.1)

 

3.   Находят значение  функции f (x*).  Сравнивают с известными  и   используют вместо того, с которым оно совпадает по знаку.

4.   Проверяют близость f (x*) к нулю.

2.3.3 Метод  Ньютона

Функция f(x) дважды дифференцируемая на отрезке [a, b], который содержит корень х*.   При этом f(x*) = 0.  Для определения интервала, в котором заключен корень,  не требуется находить  значения функции с противоположными знаками.

 Алгоритм метода:

1.      Находят значение xn+1, которое соответствует точке,  в которой касательная к кривой  в точке xn пересекает ось х

 

xn+1 = xn - f(xn)/f ′ (xn)                                             (3.2)

 

2. Процедуру повторяют до выполнения условия  близости функции к нулю с заданной точностью.

 

3.3 Порядок выполнения работы

 

3.3.1 Получить от преподавателя задание в виде алгебраического уравнения и занести в отчет по лабораторной работе соответствующую информацию.

3.3.2 Составить алгоритм расчета в виде блок-схемы  или в текстовой форме.

3.3.3 Для выполнения расчета составить программу и указать  в тексте отчета путь к программе (гиперссылку).

Найти  описанными  методами (не менее двух)  значения корня уравнения с заданной точностью ε.

Например. Найти  значение корня уравнения            0,1sinх + х3 -1 = 0    на интервале    [[ 0,8 ; 1]]    при       ε = 0,001   с помощью методов дихотомии и  Ньютона.

Алгоритм расчета     метода  дихотомии:

1)  a=0,8, b=1, ε =10-3;

2)  f (a) = 0,1sin a + a3 -1=-0,4163;

     f(b) = 0,1sin b + b3 -1=0,0841;

3)  xcp= (a+b)/2=0,9;

4)  f(xcp) = 0,1sin xcp + x3cр -1;

5)  если f(xcp) > 0, то а принимается равным его предыдущему значению,

      b=xcp;

     если f(xcp) < 0, то а принимается равным предыдущему значению xcp,

     b остается тем же;

6)  если f(xcp) ≈ ε, то вычисление  заканчивается.

Алгоритм расчета   метода Ньютона:

1.     Вычисляем  значение  функции  fn).

2.     Вычисляем  значение  первой  производной  функции fn).

3.     Находим  следующее  значение

хn+1 = хn - fn)/ f ′ (хn)

4. Находим  значение  функции  в  точке хn+1.

5.Проверяем  близость  функции  fn+1)  к  0.

6. Если f(xn+1) ≈ ε, то вычисление заканчивается.

Для  того, чтобы  произвести  расчёт,  надо  перейти  в  документ  Лаб.работа №3\Книга1.xls (Приложение С).

3.3.4 Произвести расчеты по программе.

3.3.5 Представить отчёт  о  проделанной работе в электронном виде.

 

 

 

3.4 Описание компьютерных средств

 

Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее  256 МБ. Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, Borland Delphi, Pascal и т.п.

 

3.5 Обработка результатов

 

3.5.1 По полученным значениям сопоставить скорость сходимости методов.

3.5.2 Представить результаты расчетов в виде графиков.

3.5.3Проанализировать полученный результат, оценить точность, сделать выводы.

 

 3.6  Оформление отчета по работе

 

Отчет по проделанной работе представляется в электронном виде.

Отчет   включает:

-цель и краткое содержание работы;

-задание;

-алгоритм  в виде блок-схемы или в текстовой форме;

-программу;

-таблицу с  исходными  данными;

-результаты вычислительного эксперимента;

-графики установленных закономерностей;

-анализ полученных результатов и выводы.

 

3.7  Контрольные вопросы

 

3.7.1 Опишите алгоритм метода половинного деления.

3.7.2 Опишите алгоритм метода хорд.

        3.7.3 Опишите алгоритм метода Ньютона.

3.7.4 Проведите сравнение методов по скорости сходимости, универсальности,  скорости реализации, чувствительности  к погрешностям вычислений.

 

Литература [1-5].

 

4 Лабораторная работа «Численное интегрирование»

 

4.1 Цели лабораторной  работы:

 

-приобрести навыки численного интегрирования функций;

-познакомиться с различными методами численного интегрирования;

-получить представление о  точности и универсальности  методов; 

-  приобретение навыков  составления алгоритма и программы расчета;

-  овладение компьютерными технологиями.

 
4.2 Теоретические сведения

 

Необходимость численного интегрирования часто возникает при анализе инженерных и научных данных. Например, численные методы вычисления применяют в тех случаях, когда интеграл не удается найти в аналитическом виде или когда  вид  интеграла сложен. Численное интегрирование применяют и тогда, когда нужно найти интеграл от табулированной функции, измеряемой в эксперименте.

     Например, для определения количества теплоты, передаваемого от одного теплоносителя к другому через поверхность теплообмена, необходимо воспользоваться уравнением теплопередачи вида

 

                                              dQ = k<Dt>dF .         (4.1)

 

Площадь поверхности теплообмена из (4.1) может быть найдена так

                                                              tx2

F=òdQ ¤  k<Dt> = òGхc рхdtх ¤  k<Dt>(tx ,tг ),

                                                              tx1  

т.е задача сводится к взятию интеграла, что не всегда это можно сделать аналитически.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла вида:

                                                     

где f(x) – заданная функция.

На отрезке [а,в] вводится сетка 

ω = {xi; x0 = а < x1 < x2 … < xn = b).

В качестве приближенного значения интеграла рассматривают число  I

                                                     (4.2)

где xi – узлы квадратурной формулы;

      f(xi) – значения функции в узлах;

сi – весовые или квадратурные множители (веса), которые зависят только от узлов  и не зависят от вида функции.

Уравнение  (4.2) – квадратурная формула.

Задача численного интегрирования будет состоять в отыскании таких узлов и таких квадратурных множителей, чтобы погрешность квадратурной формулы была минимальна

.

В зависимости от разбиения отрезка [а,в]  различают два подхода к построению квадратурных формул.

1.Местоположение и длина интервалов разбиения выбираются заранее.

В этом случае используется квадратурная формула Ньютона - Котеса (к этим методам относятся метод трапеции и метод Симпсона).

2.Местоположение и длина интервалов  заранее не задается, а подбирается, чтобы достичь наивысшей точности при заданном числе интервалов. В этом случае используется кусочно-постоянная  интерполяция  или  интерполяция степени ноль.

Определенный интеграл

                                                     b

                                              I =  ò f(x)dx

                                                     a

представляет собой площадь, ограниченную кривой  f(x),осью х и прямыми  х = a, х = b. Мы будем пытаться вычислить I, разбивая интервал от a до b на множество меньших интервалов, находя приблизительную площадь каждой полоски.

 


                            y

 

                                                   f (xi) f (xi+1)

                                                                               y = f (x)

 

 

                                                                    

 

     

                                                a    xi   xi+1              b                  x

                                                         Рисунок 1

 

4.2.1 Метод  трапеций

Формула  трапеции

 

I = ∑ сi · f (xi) = (h/2)·( y0 + 2y1 + 2y2 +... + yn ),               (4.3)

                       i

где h = (в-а)/ n; у0 = f (x0); у1 = f (x1)  и т.д.              

Оценим  погрешность  метода, для  чего  разложим  функцию  в  ряд  Тейлора  и  отбросим  соответствующие  члены  ряда, содержащие  h  в степени  больше  трех.   

          Локальная  погрешность  может  быть  определена  так

 

ei = - h3/12·f ′′ (xi).

 

Интегральная погрешность

 

ε = ∑ ei = - h2/12· (b-a ) · f ′′ ( ξ ),                   (4.4)

                                 i

где  ξ є [ a , b ].

                                     

4.2.2 Метод  Симпсона

Этот  метод  аналогичен  правилу  трапеций  в  той  части, где  интегрирование  производится  путём  разбиения  общего  интервала   на  множество  более  мелких  отрезков.

          Предположим, что  число  отрезков  чётное

 

n = (b-a) / h.

 

            Воспользуемся  методом  трапеции

 

I h= h/2· ( y0 + 2y1 + 2y2 +... + yn ).

 

 Увеличим  шаг  в  2  раза

 

k = 2h

 

I k= k/2· ( y0 + 2y2 + 2y4 +... + yn ).

 

          Отсюда  получаем  формулу  Симпсона

 

I = h/3·( y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 +... + yn ).     (4.5)

 

Ошибка  ограничения, допускаемая  в  методе  Симпсона

 

ei = - h4/180· f ′′ (xi),

 

ε = ∑ ei = - h3/180·(b-a )·f ′′ ( ξ ),                       (4.6)

                                                  i

где ξ є [ a , b ].

Метод  Симпсона  наиболее  часто  используется  при  численном  интегрировании, так как обеспечивает точность порядка h4.

 

4.3 Порядок выполнения работы

 

 4.3.1 Получить от преподавателя задание в виде интеграла некоторой функции и занести в отчет по лабораторной работе соответствующую информацию.

4.3.2Найти  описанными  методами численное  значение интеграла с заданной точностью ε.

4.3.3.Составить алгоритм расчета в виде блок-схемы  или в текстовой форме.

4.3.4 Для выполнения расчета составить программу по алгоритму п.4.3.3 и указать  в тексте отчета путь к программе (гиперссылку).

Например, вычислить значение интеграла

 

J =

 

методами трапеции и Симпсона.

Задается  точность расчета  ε = 10 – 3.

Алгоритм расчета методом  трапеции:

1. Выбираем  шаг h = 0,1 (0.01; 0.001).

2. Вычисляем  значение  функции  y(xi) =   в  начальной  точке х=1 и  в  последующих  точках  с  шагом  h   до   конечного  значения х=2.

3. Подставляем  полученные  значения  в  формулу  трапеции (4.3) и находим численное значение интеграла.

Алгоритм расчета методом  Симпсона:

1. Выбираем  шаг h = 0,1(0.01; 0.001).

2. Вычисляем  значение  функции  y(xi) =   в  начальной  точке х=1 и  в  последующих  точках  с  шагом  h   до   конечного  значения х=2.

3. Подставляем  полученные  значения  в  формулу  Симпсона (4.4) и находим численное значение интеграла.

Численное значение   интеграла, найденное по первообразной,

J = 0,467491.

4. Произведем расчеты по программе с изменением величины шага, проанализируем полученный результат, сопоставив полученные значения.

Таблица3

Шаг интегрирования, h

Значение интеграла I по методу

трапеций

Симпсона

0,1

0,441876

0,431780

0,01

0,465053

0,464225

0,001

0,467248

0,467167

 

Из полученных значений видно, что чем меньше величина шага, тем с большой точностью значения, полученные по методам трапеции и Симпсона, близки к значению, найденному  по  точной формуле  вычисления  интеграла.

Расчет погрешностей методов с расчетом производных высокого порядка требует дополнительных сложных вычислений. На практике для достижения требуемой точности используется метод последовательного удвоения числа шагов.

Для метода трапеций

                               .                               (4.7)

При h=0,0001 I=0,467491, при h=0,00005 I=0,467479

.

Если  (0,000004<10-3), то величина шага нас устраивает,  расчеты заканчиваются.

Для метода трапеций достаточно взять минимальный шаг h=0,001

Для метода Симпсона

                            .                                        (4.8)

 

При h=0,0001 I= 0,467167, при h=0,00005 I=0,467475

.

Если  (0,000002<10-3), то величина шага нас устраивает, расчеты заканчиваются.

Для метода трапеций достаточно взять минимальный шаг h=0,001

4.3.5Для  проведения  численного интегрирования необходимо воспользоваться  программой Borland Pascal (Приложение Д).

4.3.6 Произвести расчеты по программе с изменением величины шага интегрирования.

4.3.7 Представить отчёт  о  проделанной работе в электронном виде.

 

4.4 Описание компьютерных средств

 

Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее  256 МБ. Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, Borland Delphi, Pascal и т.п.

 

4.5 Обработка результатов

 

4.5.1Получить точное значение интеграла по первообразной.

4.5.2 Получить численное значение интеграла методом трапеции и  Симпсона. Повторить расчет, уменьшая величину шага на один -два порядка.

4.5.3 Проанализировать полученный результат, сопоставив точное значение интеграла с  рассчитанными значениями, оценить точность методов, сделать выводы.

 

4.6  Оформление отчета по работе

 

Отчет по проделанной работе представляется в электронном виде.

Отчет   включает:

-цель и краткое содержание работы;

-задание;

-алгоритм  в виде блок-схемы или в текстовой форме;

-программу;

-таблицу с  исходными  данными;

-результаты вычислительного эксперимента;

-графики установленных закономерностей;

-анализ полученных результатов и выводы.

 

4.7 Контрольные вопросы

 

4.7.1 Опишите алгоритм метода трапеций.

4.7.2 Опишите алгоритм метода Симпсона.

4.7.3Проведите сравнение методов по точности, универсальности,  скорости реализации, чувствительности  к величине шага и  погрешностям вычислений.

 

Литература [1-5].

 

5 Лабораторная работа   «Численные  методы  решения систем линейных уравнений»

 

5.1 Цели лабораторной  работы:

-приобретение умения решать  системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса;

-  приобретение навыков  составления алгоритма и программы расчета в MathCAD;

-  овладение компьютерными средствами.

 

5.2 Теоретические сведения

 

         С подобной задачей инженер сталкивается, пожалуй, чаще всего в своей практике. Уравнения, содержащие суммы целых степеней х называются  алгебраическими. К решению систем алгебраических уравнений приводят многие задачи анализа и синтеза физических явлений различной природы (механические, гидравлические и т.д.). 

         В общем случае система линейных уравнений имеет вид

                             a11 x1 + a22 x2 + . . . + a1n xn = b1

                             a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2

                             . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           .        ( 5.1 )

                             an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn

       

Систему (5.1) можно представить в векторно-матричной форме
, матрица коэффициентов будет иметь вид

                             a11 a12 . . . a1n

                             a21 a22 . . . a2n

               A =         . . . . . . . . . .     ,              

                             an1 an2 . . . ann

 

вектор - столбец свободных членов

                                               

                             b1

                             b2

               b =        . . .      ,

                             bn

 

 вектор – столбец неизвестных

                             x1                                                                     

                             x2

                x =       . . .

                             xn     .                                                            (5.2)                                                                          

                                                          

Свернем  (5.2)

                                       Ax = b.                                                (5.3)

 

       Для решения систем линейных алгебраических  уравнений (5.3) чаще всего используются численные методы, которые делятся на прямые (точные) и итерационные (приближенные). К прямым методам относится  метод Гаусса,  к приближенным - метод Зейделя.

Распространенной вычислительной задачей является нахождение решений систем n-нелинейных алгебраических трансцендентных уравнений с n-неизвестных, которые в общем виде можно записать так

 

                             f1(x1,x2, . . . xn) = 0

                             f2(x1,x2, . . . xn) = 0

                             . . . . . . . . . . . . . .           .                                ( 5.4 )

                             fn(x1,x2, . . . xn) = 0  

 

Решением такой системы называется множество значений x1,x2, . . . xn, одновременно удовлетворяющих каждому из уравнений системы.

 

 

 

 Введем векторы столбцы:

x1                              f1

x2                                   f2

                                         x =     . . .    ,         f  =   . . .   .

xn                                 fn

 

     

Тогда (5.4) примет вид

 

f(x)=0.                        ( 5.5 )

 

 Такие системы решаются только итерационными методами Ньютона и Зейделя.

         5.2.1 Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений  с выбором главного элемента (метод исключения)

Процесс решения методом Гаусса делится на два этапа. На первом этапе (прямой ход) последовательным исключением неизвестных составляется преобразованная, эквивалентная система уравнений с треугольной матрицей, в которой все элементы под главной диагональю равны нулю. При этом одно из уравнений в системе содержит только одну неизвестную, а в каждом следующем добавляется еще по одной неизвестной. На втором этапе (обратный ход) решается преобразованная система уравнений.  Метод Гаусса надежен, прост и широко применяется при решении на ЭВМ.

5.2 2 Метод Зейделя

Суть итерационного метода Зейделя состоит в том, что задаемся некоторым произвольным вектором х [0], являющимся началом приближения к искомому решению х* . Затем строят последовательность приближенных значений {x [k]}, где k=0,1,2,…, сходящихся к х*. Последовательность х[0],x[1],… ,x[k] сходится к х* в том случае, если для любого ε>0 существует натуральное число N=k+1, начиная с которого выполняется условие

                                                         x*-x[k]   < ε .

Можно показать, что с помощью метода Зейделя строится сходящаяся к точному решению последовательность векторов {x[k]}

                                                       lim x[k] = x*.

5.2.3 Сравнение метода Гаусса и Зейделя для решения систем линейных алгебраических уравнений

Выбор в каждом отдельном случае  конкретного метода решения определяется следующими факторами:

- особенностями матрицы коэффициентов системы А;

- порядком системы;

- быстродействием и объемом памяти компьютера.

Метод Гаусса наиболее универсален и эффективен, применение его целесообразно для систем общего вида с плотно заполненной матрицей коэффициентов А.

При решении систем уравнений высокого порядка (n≈103–106) с разреженной матрицей коэффициентов  целесообразно применять итерационный метод Зейделя. Ошибки округления в итерационных методах оказываются меньше, чем в прямых методах. Метод Зейделя является самоисправляющимся, так как ошибка, допущенная в вычислениях, не отражается на конечном результате, так как ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор. Важным преимуществом итерационных методов является удобство их программирования.

 

5.3 Порядок выполнения работы

 

5.3.1 Получить  индивидуальное задание у преподавателя.

5.3.2 Составить схему алгоритма метода Гаусса (Зейделя) решения системы линейных алгебраических уравнений.

5.3.3 Составить программу решения систем линейных уравнений.

5.3.4 Произвести расчеты по программе.

5.3.5 Для проведения расчета  воспользоваться  программой MathCAD.

5.3.6 Представить отчёт  о  проделанной работе в электронном виде.

 

5.4 Описание компьютерных средств

 

Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее  256 МБ. Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, Borland Delphi, Pascal и т.п.

 

5.5 Обработка результатов

 

 5.5.1Сопоставить полученные результаты с  точными  значениями.

 5.5.2Проанализировать полученный результат, оценить его точность, сделать выводы.

 

5.6  Оформление отчета по работе

 

Отчет по проделанной работе представляется в электронном виде.

Отчет   включает:

-цель и краткое содержание работы;

-задание;

-алгоритм  в виде блок-схемы или в текстовой форме;

-программу;

-таблицу с  исходными  данными;

-результаты вычислительного эксперимента;

-графики установленных закономерностей;

-анализ полученных результатов и выводы.

 

5.7 Контрольные вопросы

 

5.7.1 Приведите примеры  теплотехнических  задач, приводящих к решению систем линейных алгебраических уравнений.

5.7.2 Охарактеризуйте прямые и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

5.7.3 Опишите алгоритм метода Гаусса.

5.7.4 Опишите алгоритм метода Зейделя.

5.7.5 Проведите сравнение методов Гаусса и Зейделя по числу выполняемых операций, требуемой  оперативной памяти, погрешностям вычислений.

 

Литература [1-5]

 

6 Лабораторная работа  «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений численными методами»

 

6.1 Цели  лабораторной  работы:

 

-научиться применять численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

-получить представление о  методах Рунге-Кутты решения обыкновенных дифференциальных уравнений; 

-  приобретение навыков  составления алгоритма и программы расчета;

-овладение компьютерными средствами.

 
6.2 Теоретические сведения

 

Уравнение, содержащее одну или несколько производных, называют дифференциальным. Поскольку большинство физических законов науки и техники записано в форме дифференциальных уравнений, их решение является повседневной необходимостью. Задачи моделирования, связанные с движением массы или энергии, также неизбежно ведут к дифференциальным уравнениям. К сожалению, число уравнений, которые можно успешно решить аналитическими методами, очень ограничено. Поэтому при рассмотрении научных и инженерных задач особенно важен вопрос о решении дифференциальных уравнений с помощью персонального компьютера.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия заданы при одном значении независимой переменной, то такую задачу называют задачей с начальными условиями или задачей Коши. Если же условия заданы при двух значениях независимой переменной, задачу называют краевой. В задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче ¾ граничными.

          Дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию у = f (x),  независимые переменные x ,  производные неизвестной функции

 .      (6.1)

          Решить дифференциальное уравнение - это  найти его общий интеграл.

Численное решение – это построение таблицы приближенных значений у1,y2,  y3,…, yn. решения уравнения y = f (x) в точках x1,x2,x3,…xn.

          Чаще всего полагают xi = x0 + ih,  где i = 0,1,2…n. Точки xi носят название узлов сетки, а величина h – шаг сетки.

          Численные методы разделяются на одношаговые и многошаговые.

К одношаговым относятся методы Эйлера и методы Рунге-Кутты. К многошаговым – прогноза и коррекции.

6.2.1Метод Рунге-Кутты

          Рассмотрим метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности.

В этом методе значение величины yi+1  рассчитывается по формуле

,                             

где    ,

                 ,                                         (6.2)

                 ,

                .

          Погрешность метода на одном шаге сетки равна M · h5 , но поскольку на практике М оценить сложно, пользуются правилами Рунге удвоения шага.

Метод Рунге –Кутты  применим к системам уравнений первого порядка

 

1 = f (x, y1 , y2 , … , уn)

2 = f (x, y1 , y2 , … , уn)

уn ´ = f (x, y1 , y2 , … , уn),

 

а также к уравнениям любого порядка, которые можно свести к системам уравнений первого порядка путем замены переменных.

Метод Рунге-Кутты   для уравнения второго порядка имеет алгоритм.

Исходное уравнение задачи Коши

 

                                     y ´´= f (x, y, y´)                                           (6.3)

 

с начальными условиями y0 = у(х0) и y´0 = y´ (х0)

преобразуется к системе двух уравнений

 

y ´= z = g (x, y, y´),          при   0 = y´ (х0) = z (х0) = z0

                 z ´= f (x, y, y´),                   при y0 = у(х0).                              (6.4)

 

Далее 

                     у n+1 = у n  + К,                                                                  (6.5)

 

где   К = h (К1 + 2К2 +2К3 + К4)/6 , 

К1 = g (x n, y n, z n),

К2 = g (x n + h/2, y n  + К1h/2, z n  + L1h/2),

К3 = g (x n + h/2, y n  + К2h/2, z n  + L2h/2),

К4 = g (x n + h, y n  + К3h, z n  + L3h),

 

                     z n+1 = z n  + L ,                                                                (6.6)

 

где L = h (L 1 + 2 L 2 + L 3 + L 4)/6 , 

L 1 =  f (x n, y n, z n)

L 2 =  f (x n + h/2, y n  + К1h/2, z n  + L1h/2),

L 3 =  f (x n + h/2, y n  + К2h/2, z n  + L2h/2),

L 4 = f (x n + h, y n  + К3h, z n  + L3h).

 

6.3 Порядок выполнения работы

 

6.3.1.Получить от преподавателя задание в виде ОДУ второго порядка с начальными условиями  и занести в отчет по лабораторной работе соответствующую информацию.

6.3.2 Составить схему алгоритма метода Рунге – Кутты.

6.3.3 Для выполнения расчета  необходимо воспользоваться  программой Borland Pascal (можно составить программу в Excel)  по алгоритму и указать  в тексте отчета путь к программе (гиперссылку).

6.3.4Произвести расчеты по программе

6.3.5 Представить отчёт  о  проделанной работе в электронном виде.

 

6.4 Описание компьютерных средств

 

Для выполнения лабораторных работ необходим персональный компьютер типа Рentium – 4 с ОЗУ не менее  256 МБ. Инсталлированные Windows 98 или более поздние версии (ХР), MathCAD, Borland Delphi, Pascal и т.п.

 

 

 

6.5 Обработка результатов

 

6.5.1  Представить результаты расчетов в виде таблиц значений функции и ее производной.

6.5.2 Представить результат в виде графической зависимости.

6.5.3 Проанализировать полученный результат, сопоставив с  известными значениями, оценить точность полученного результата, сделать выводы.

 

  6.6  Оформление отчета по работе

 

Отчет по проделанной работе представляется в электронном виде.

Отчет   включает:

-  цель и краткое содержание работы;

-  задание;

- алгоритм  в виде блок-схемы или в текстовой форме;

- программу;

-  таблицу с  исходными  данными;

-  результаты вычислительного эксперимента;

- графики установленных закономерностей;

- анализ полученных результатов и выводы.

 

  6.7 Контрольные вопросы

 

6.7.1 Приведите примеры  теплотехнических  задач, приводящих к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

6.7.2 Охарактеризуйте суть одношаговых методов решения ОДУ.

6.7.3 Опишите алгоритм метода Рунге –Кутты четвертого порядка  для дифференциальных уравнений первого и более высоких порядков.

 

Литература [1-5]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = S0+A4*p+ A5*p*p/2 - R*ln(1000*p)

 

 

 

 

 

 

 

S0 = (a1·lny + 2·a2·y - a3/y + a4) / 1000

 

 

 

 

 

 

 

A4 = - b1 + 2·b2/y3 + 2·b3/(y-b4)3

 

 

 

 

 

 

 

 

A5 = 8·c1/y8 + 14·c2/y13 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y = T/1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 R = 0,46151 кДж/кг К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1

1482,85

 

S0 =

10,96054

 

 

 

 

 

 

a2

379,026

 

A4 =

-0,01102

 

 

 

 

 

 

a3

46,174

 

A5 =

-0,00017

 

 

 

 

 

 

a4

10816,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

6,972556

 

 

 

 

 

 

b1

0,00025

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

-0,001354

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b3

-0,0004381

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b4

0,21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1

-2,5993E-06

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

-1,2604E-08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

773

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

0,773

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

0,46151

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     х

 

 

     y(х)

 

 

 

       t , °C

 

 

 r , кДж/кг

 

 

           х0

10

 

        y(x0)

147,7

 

 

           х1

20

 

        y(x1)

142,2

 

 

           х2

30

 

        y(x2)

136,2

 

 

           х3

40

 

        y(x3)

129,7

 

 

           х4

50

 

        y(x4)

122,5

 

 

           x

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 r ( t=35°С) - ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейная  интерполяция:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      y(x=35)

132,9500

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполяция  полиномом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 вариант

           х0

10

 

        y(x0)

147,7

 

 

           х1

20

 

        y(x1)

142,2

 

 

           х2

30

 

        y(x2)

136,2

 

 

           х3

40

 

        y(x3)

129,7

 

 

           х4

50

 

        y(x4)

122,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделенные разности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x0,x1)

-0,55

 

 

 

 

 

y(x1,x2)

-0,6

 

 

 

 

 

y(x0,x1,x2)

-0,0025

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x2,x3)

-0,65

 

 

 

 

 

y(x1,x2,x3)

-0,0025

 

 

 

 

 

y(x0,x1,x2,x3)

-1,87928E-19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x3,x4)

-0,72

 

 

 

 

 

y(x2,x3,x4)

-0,0035

 

 

 

 

 

y(x1,x2,x3,x4)

-3,33333E-05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x0,x1,x2,x3,x4)

-8,33333E-07

 

y(x=35)

133,0109

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение приложения В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интерполяция  полиномом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 вариант

x0

50

 

        y(x0)

122,5

 

 

 

x1

40

 

        y(x1)

129,7

 

 

 

x2

30

 

        y(x2)

136,2

 

 

 

x3

20

 

        y(x3)

142,2

 

 

 

x4

10

 

        y(x4)

147,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделенные разности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x0,x1)

-0,72

 

 

 

 

 

 

y(x1,x2)

-0,65

 

 

 

 

 

 

y(x0,x1,x2)

-0,0035

 

 

 

 

 

 

y(x2,x3)

-0,6

 

 

 

 

 

 

y(x1,x2,x3)

-0,0025

 

 

 

 

 

 

y(x0,x1,x2,x3)

-3,33333E-05

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x3,x4)

-0,55

 

 

 

 

 

 

y(x2,x3,x4)

-0,0025

 

 

 

 

 

 

y(x1,x2,x3,x4)

-1,87928E-19

 

 

 

 

 

 

y(x0,x1,x2,x3,x4)

0

 

у(x=35)

133,0400

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение С

 

 

Найти корень уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в интервале [0,8;1 ]

 

 

 

 

 

 

 

точность ε = 0,001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод  дихотомии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xn

Xn+1

Хcp

                    f(Хcp)

 

 

 

 

 

 

1

0,8

 

 

-0,4163

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

0,0841

 

 

 

 

 

 

3

0,8

1

0,9000

-0,1927

 

 

 

 

 

 

4

0,9

1

0,9500

-0,0613

 

 

 

 

 

 

5

0,95

1

0,9750

0,0096

 

 

 

 

 

 

6

0,95

0,975

0,9625

-0,0263

 

 

 

 

 

 

7

0,9625

0,975

0,9688

-0,0084

 

 

 

 

 

 

8

0,9688

0,975

0,9719

0,0006

 

 

 

 

 

 

9

0,9688

0,9719

0,9704

-0,0038

 

 

 

 

 

 

10

0,9704

0,9719

0,9712

-0,0015

 

 

 

 

 

 

11

0,9712

0,9719

0,9716

-0,0004

 

 

 

 

 

 

12

0,9716

0,9719

0,9718

0,0002

 

 

 

 

 

 

13

0,9716

0,9718

0,9717

0,0001

 

 

 

 

 

 

14

0,9716

0,9717

0,9717

-0,0001

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжение приложения С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод  хорд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (Xn+1)

f (Xn)

Хn

Хn+1

X*

 

 

 

 

1

0,0841

-0,4163

0,8

1

0,9664

 

 

 

 

2

0,0841

-0,0153

0,9664

1

0,9715

 

 

 

 

3

0,0841

-0,0004

0,9715

1

0,9717

 

 

 

 

4

0,0841

0,0001

0,9717

1

0,9717

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод  Ньютона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xn

f(Xn)

f ' (Xn)

Xn+1

 

 

 

 

 

1

0,8

-0,4163

1,9897

1,0092

 

 

 

 

 

2

1,0092

0,1125

3,1087

0,9730

 

 

 

 

 

3

0,9730

0,0038

2,8965

0,9717

 

 

 

 

 

4

0,9717

0,0001

2,8890

0,9717

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корень уравнения х*= 0,9717 при заданной точности ε= 0,001

 

 

 

Приложение D

 

program ktvtr;

uses crt;

var a,b,h,x,y,n,I,Io,y1,i1:real;

k,l:integer;

 

function f1 (x:real):real;

begin

f1:=1/(x*(sqrt(sqr(x)+0.25)));

end;

 

begin

clrscr;

write('enter a=');

readln(a);

write('enter b=');

readln(b);

write('enter h=');

readln(h);

writeln(a,b,h);

readln(l);

Io:=(-2*ln((0.5+sqrt(sqr(b)+0.25))/b))-(-2*ln((0.5+sqrt(sqr(a)+0.25))/a));

writeln('Io=',Io:l:l);

x:=a+h;

n:=b-h;

k:=0;

y:=0;

while (x<=n)  do

              begin k:=k+1;

                   if (k mod 2 = 0) then y:=y+2*f1(x) else  y:=y+4*f1(x);

                    x:=x+h;

              end;

y:=y+f1(a)+f1(b);

I:=(h/3)*(y);

writeln('I=',I:l:l);

y1:=0;

x:=a+h;

n:=b-h;

begin

     while (x<=n)  do

      begin

             y1:=y1+2*f1(x);

             x:=x+h;

      end;

y1:=y1+f1(a)+f1(b);

I1:=(h/2)*y1;

writeln('I1=',I1:l:l);

end;

readln;

end.

 

Список литературы

 

1.Богатырев А.Ф., Панченко С.В., Стояк В.В., Шистер А.Г. Моделирование и оптимизация теплотехнологических процессов. – Алма-Ата.: КазПТИ, 1989. – 90 с.

2.Щуп Г.Е. Прикладные численные методы в физике и технике. – М.: ВШ, 1990. – 255с.

3.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах. - М.: МАИ, 2000.-374с.

4.Фурунжиев Р.И., Бабушкин Ф.М., Варавко В.В. Применение математических методов и ЭВМ: Практикум.-Мн.:ВШ,1988.-191с.

5.Теплоэнергетика и теплотехника. Общие вопросы: Справочник /Под. ред. А.В.Клименко и В.М.Зорина.-М.:МЭИ,1999.-528с.

 

 

Содержание

 

Введение …………………………………………………………………….

3

1 Лабораторная работа «Расчет теплофизических свойств рабочих тел, используемых в теплоэнергетике»…………………………………………

 

3

2Лабораторная работа «Интерполирование функций» …………………

7

3 Лабораторная работа «Нахождение  корней  трансцендентных  уравнений» …………………………………………………………………

 

12

4 Лабораторная работа «Численное интегрирование» ………………….

15

5 Лабораторная работа «Численные  методы  решения систем линейных уравнений» ………………………………………………………………….

 

21

6 Лабораторная работа  «Решение обыкновенных дифференциальных уравнений численными методами» ………………………………………..

 

25

Приложение А ………………………………………………………………

29

Приложение В ………………………………………………………………

30

Приложение С ………………………………………………………………

32

Приложение D ………………………………………………………………

34

Список литературы …………………………………………………………

35

 

 

 

 

 


 

Св. план 2002 г., поз 10

 

 

 

Нина Гавриловна Борисова

 

КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

 

Методические указания  к лабораторным работам (для студентов теплоэнергетических специальностей и бакалавриата по направлению «Теплоэнергетика»)

 

 

 

 

 

 

Редактор Сыздыкова Ж.А.

 

 

 

 

 

Подписано к печати ___________                              Формат 60х84  1/16

Тираж   50     экз                                                            Бумага типографская № 1

Объем   2     уч.-изд.л.                                                   Заказ ____ . Цена ____ тг.

 

 

 

 

 

 

 

Копировально-множительное бюро

 Алматинского института энергетики и связи

050013 Алматы, ул. Байтурсынова,126