АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ

 И СВЯЗИ

 

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ И ЭКСПЕРИМЕНТЕ

 

Программа курса, методические указания и контрольные задания для студентов факультета заочного обучения и переподготовки специалистов

по специальности 210440 - Электроснабжение (по отраслям)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2004

 

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра электроснабжения промышленных предприятий

 

 

                                                                     УТВЕРЖДАЮ

                                                     Проректор по учебно-методической работе

                                                   ______________________

                                                   “___”_________________2004 г.

 

 

 

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ

И ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Программа курса, методические указания и контрольные задания для студентов факультета заочного обучения и переподготовки специалистов

по специальности 210440- Электроснабжение (по отраслям)

 

 

 

 

 

 

 

СОГЛАСОВАНО                                         Рассмотрено и одобрено на

Начальник УМО                                                    заседании кафедры ЭПП

________________                                               Протокол № _______

“___”___________2004г.                                     от “___”___________2004г.

 

                                                                                 Зав. кафедрой ЭПП,

                                                                                 д.т.н., профессор

                                                                                 _____________А.В. Болотов

 

Редактор                                                                Составитель:

________________                                               Старший преподаватель                         кафедры ЭПП

“___”___________2004г.                                     ___________А.С. Алданова

                                                          

 

 

 

 

Алматы 2004

 

СОСТАВИТЕЛЬ: А.С. Алданова. Применение ЭВМ в электроэнер-гетических расчетах и эксперименте. Программа курса, методические указания и контрольные задания для студентов факультета заочного обучения и переподготовки специалистов по специальности 210440 - Электроснабжение (по отраслям). – Алматы: АИЭС, 2004. -  17 с.

 

    

 

 

 

          Данная разработка включает в себя рабочую программу курса, контрольные задания для студентов–заочников и указания на его выполнение, а также список необходимой литературы.

 

         

          Ил. 3  , табл.8, библиогр. - 15 назв.

 

 

 

 

 

          Рецензент: д-р. техн. наук, проф. В.Н. Мукажанов

 

 

 

 

 

 

 

 

          Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2004 год.

 

 

 

 

 

 

 

 

                                    Алматинский институт энергетики и связи 2004г.

                                       

 

 

 

Содержание

 

 

 

    Введение. ...............................................................………….                   4      

1 Программа курса ……………………………………………           4

2 Задания на выполнение контрольной работы          

2.1 Задание № 1.  Определение максимальной электрической

нагрузки предприятия и места расположения ее центра …….        6

2.2 Задание № 2.  Статистический анализ результатов

экспериментальных исследований с использованием гистограмм          9       

2.3 Задание № 3. Аппроксимация данных однофакторного эксперимента…………………………………………………………          13       

                     

                

    Список литературы...................................................……………..           19       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Согласно учебному плану студенты специальности 210440 – Электроснабжение (по отраслям) изучают курс «Применение ЭВМ в электроэнергетических расчетах и эксперименте», включающий следующий объем часов: аудиторные занятия - 20 часов, самостоятельная работа – 40 часов. В данном курсе предусмотрена контрольная работа из трех заданий, предполагающая самостоятельное закрепление студентами пройденных разделов дисциплины.

          К сдаче зачета по курсу студенты допускаются после успешного выполнения и защиты контрольной работы.

 

1 ПРОГРАММА КУРСА

 

1.1   Содержание курса

 

1.1.1 Введение

Применение ЭВМ в электроэнергетических расчетах и практической деятельности инженера-электрика. Принципы организации ЭВМ

/4, гл.2, гл.3; 5, гл.1, гл.3.; 10, гл.1, гл.6/

 

1.1.2 Основные численные методы и алгоритмы решения задач на ЭВМ

Классификация численных методов и алгоритмов. Погрешности вычисления на ЭВМ. Алгоритмы вычисления значений функций.

/1, гл.1 § 1-6, 2, гл.1, §  1.1-1.4, 4, гл.8/

 

1.1.3     Решение систем линейных алгебраических уравнений

Алгоритм итерационных методов решения СЛАУ. Метод Гаусса. Метод итераций. Метод Зейделя.

/1, гл.6, § 1-13, 2, гл.3, § 3.1-3.6, 4 § 8.5, 5 с.55-60, 6 гл.10, 9 § 2.1-2.4, 11      § 2.4, 12 § 3.2-3.4, 13 § 2.2-2.6/

 

1.1.4     Решение нелинейных уравнений

Метод половинного деления. Метод хорд. Метод касательных (Метод Ньютона). Метод простой итерации. Решение систем нелинейных уравнений.

/1, гл.7, § 1-6, 2 гл.4 § 4.1-4.4, 4 § 8.4; 6, гл.10, с.63-70; 11, § 2.5, 12 § 3.3/

 

1.1.5     Интерполирование функций

Постановка задачи интерполяции. Линейная, квадратичная интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционный многочлен Ньютона. Обратная и многоинтервальная интерполяция. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов. Аппроксимация многочленом.

/1, гл. 2, § 1-14; 2, гл.5, § 5.1-5.6; 4, § 8.3; 5, с.37-43; 12, § 1.2, 1.3; 11, § 8.2, 8.3/

1.1.6     Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Методы численного дифференцирования. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Метод неопределенных коэффициентов. Конечно-разностные методы. Метод прогонки.

/1, гл.2, § 15, 16,  гл.8, § 2-5; 2, гл.6, 6.1, 6.2, гл.9, § 9.1-9.5; 6, гл. 10, 11      § 4.3, 4.7, 4.8; 12, § 4.1-4.4, 5.2/

 

1.1.7     Численное интегрирование

Метод прямоугольников. Метод Симпсона. Метод трапеций. Квадратурные формулы Гаусса.

/1, гл.3 § 1-17; 2, гл.6, § 6.3-6.5; 4, § 8.6; 5, с. 46-55; 6, гл.10; 11, § 4.3, 4.7, 4.8; 12, § 2.1-2.3/

 

1.1.8     Применение ЭВМ для обработки результатов эксперимента

Статистический анализ и построение гистограммы с использованием ЭВМ. Методика подбора эмпирических формул, регрессионный анализ. Метод наименьших квадратов. Определение коэффициентов уравнения регрессии и анализ полиномиальной модели при планировании эксперимента.

/8, § 6.3-6.5; 11, § 8.3; 14, гл.8/

 

1.1.9     Применение ЭВМ для решения оптимизационных задач в электротехнических расчетах

Методы одномерного поиска. Методы многомерного поиска. Метод покоординатного спуска. Прямые методы. Градиентные методы. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Комплексный метод. Алгоритм метода штрафных функций.

/4, § 9.2; 9, § 3.1-3.4; 11, § 6.3, 6.4, 7.1, 7.2, 7.6, 7.11, 7.13/

 

1.2           Методические указания к изучению теоретических вопросов

 

1.2.1     При изучении раздела 1.1.1 обратить внимание на возможности применения ЭВМ для решения уравнений состояния электрической системы.

1.2.2      При изучении раздела 1.1.2 обратить внимание на особенности классификации численных методов и принципы составления алгоритмов вычисления значений функций.

1.2.3      При изучении раздела 1.1.3 обратить внимание на отличительные особенности  метода Гаусса, метода итераций, метода Зейделя.

1.2.4     При изучении раздела 1.1.4 обратить внимание на отличительные особенности метода половинного деления, метода касательных и метода простой итерации.

1.2.5     При изучении раздела 1.1.5 обратить внимание на отличительные особенности, преимущества и недостатки метода наименьших квадратов.

1.2.6     При изучении раздела 1.1.6 обратить внимание на преимущества и недостатки методов Эйлера и Рунге-Кутта.

1.2.7     При изучении раздела 1.1.7 обратить внимание на отличительные особенности метода прямоугольников и метода Симпсона.

1.2.8     При изучении раздела 1.1.8 обратить внимание на проведение статистического анализа и построение гистограммы с использованием ЭВМ.

1.2.9     При изучении раздела 1.1.9 обратить внимание на особенности решения оптимизационных задач с помощью ЭВМ в электроэнергетических расчетах.

 

1.3           Содержание лабораторных работ

 

1.3.1     Решение простейших задач, описываемых нелинейными уравнениями (Метод половинного деления).

1.3.2     Решение простейших задач, описываемых нелинейными уравнениями (Метод касательных).

1.3.3     Решение простейших задач, описываемых нелинейными уравнениями (Метод простой итерации).

1.3.4     Определение мощности батарей конденсаторов, необходимой для компенсации реактивной мощности в узле нагрузки.

1.3.5     Расчет годовых потерь активной и реактивной мощности и энергии в двухобмоточных трансформаторах.

1.3.6     Выбор сечений жил кабелей по нагреву расчетным током.

1.3.7     Построение скоростных характеристик двигателя постоянного тока независимого возбуждения.

1.3.8 Численное интерполирование функций экспериментальных данных.

 

 

2 КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

 

2.1 Задание № 1

Определить расчетную максимальную электрическую нагрузку промышленного предприятия и место расположения его условного центра электрических нагрузок (ЦЭН). Исходные данные выбираются по таблицам 1 и  2 по последней цифре номера зачетной книжки.

 

2.1.2. Краткие теоретические сведения

При решении многих задач электроэнергетики необходимо производить обработку статистических данных. Например, при проектировании систем электроснабжения важно правильно определить ожидаемую электрическую нагрузку. Значения электрических нагрузок обусловливают выбор всех элементов проектируемой системы электроснабжения и ее технико-экономические показатели. Современное промышленное предприятие имеет многочисленные электроприемники. Существует понятие расчетной нагрузки пред­приятия, которая не равна простой сумме номинальных мощностей отдельных нагрузок или потребленной электроэнергии.

Для правильного определения нагрузки необходимо собрать статисти­ческие данные о работе электроприемников на аналогичных предприятиях, а затем рассчитать ожидаемую нагрузку цехов и всего проектируемого предприятия. Такие расчеты сопровождаются обработкой больших числовых массивов, поэтому целесообразно для ее автоматизации применять ЭВМ.

Расчетная максимальная нагрузка S_м предприятия используется для выбора мощности трансформаторов и отключающей аппаратуры главной понизительной подстанции (ГПП), сечения проводников линии электропередач, питающей эту подстанцию и т.д. Максимальная нагрузка пред­приятия определяется по расчетным максимальным нагрузкам отдельных цехов с учетом коэффициента разновременности максимумов (К_рм)   и потерь в цеховых трансформаторах (ΔP_Т, ΔQ_T).

Расчет ведется по формулам:

;                                                       (1)

;                                                        (2)

,                                                            (3)
где P_мi, Q_мi – максимальные расчетные нагрузки i-го цеха; n – количество цехов.

Проектирование систем электроснабжения (СЭС) промышлен­ных предприятий осуществляется на основе генерального плана (рисунок 1), на который наносятся все цеха и участки.

                 

                        Рисунок 1 - Генеральный план предприятия

 

Подстанция является одним из основных звеньев СЭС любо­го промышленного предприятия, поэтому правильное расположение подстанций является основой рационального построения схемы распределения электроэнергии. Местоположение подстанций выби­рается таким образом, чтобы трансформаторные и преобразователь­ные подстанции всех мощностей и напряжений располагались по возможности ближе к центру питаемых ими групп нагрузок. Отс­тупление от этого принципа приводит к увеличению длины про­водов и кабелей и к росту потерь электроэнергии. Поэтому оп­ределение ЦЭН является важной задачей при проектировании СЭС. Существует ряд математических методов, позволяющих аналити­чески определить условный ЦЭН предприятия или отдельных его цехов. При определении ЦЭН цеха используется план цеха с расположением его отдельных электроприемников, а при определе­нии ЦЭН предприятия используется его генеральный план, и в качестве отдельных электроприемников рассматриваются цеха предприятия. Наибольшее распространение получил метод, исполь­зующий некоторые положения теоретической механики. Если считать нагрузки цеха (или всего предприятия) равномерно распределенными по его площади, то ЦЭН условно можно принять сов­падающим с центром тяжести фигуры, изображающей цех (предприятие) в плане. Проводя аналогию между массами и электри­ческими нагрузками цехов S_i, координаты их центра для предприятия можно определить следующим образом:

;                                                                            (4)

,                                                                              (5)
где S_мi – мощности нагрузок цехов; X_i и Y_i – координаты отдельных цехов, совпадающих с их геометрическим центром; n – количество цехов на данном предприятии.

 

 

Таблица 1 – Исходные данные

№ цеха	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Sм, кВА	750	714	933	1000	646	490	349	889	227	725
Pм, кВт	600	500	700	900	620	450	300	800	200	660
Qм, квар	450	510	617	436	181	192	173	388	108	300
Cos φ	0,8	0,7	0,75	0,9	0,96	0,92	0,86	0,9	0,88	0,91
x, км	0,5	1,8	2,7	0,9	1,8	3	3,2	2	0,2	2,3
y, км	2	2,2	2,2	0,7	1,3	1,5	0,3	0,2	1,3	1,3

 

 

Таблица 2 – Исходные данные

Последняя цифра номера зачетной книжки	Задано	Номера цехов	ΔPТ, кВт	ΔQT, квар	Крм
1	Pм, Qм	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9	110	550	0,94
2	Pм, Cos φ	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10	100	510	0,96
3	Sм	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	120	600	0,98
4	Pм, Qм	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10	105	540	0,93
5	Pм, Cos φ	1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10	96	480	0,95
6	Sм	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10	115	610	0,97
7	Pм, Qм	1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10	107	604	0,93
8	Pм, Cos φ	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10	123	615	0,95
9	Pм, Qм	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	98	495	0,96
0	Pм, Cos φ	1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	101	530	0,94

 

 

 

 

2.2 Задание № 2

 

Произвести статистический анализ результатов экспериментальных исследований с использованием гистограмм и вероятностных характеристик. Исходные данные выбираются по таблицам 6 и 7 по последней и предпоследней цифре номера зачетной книжки соответственно.

 

2.2.1 Краткие теоретические сведения

Как известно из теории вероятностей для математического описания случайных процессов необходимо иметь большое количес­тво статистической информации по изучаемому явлению. Однако при большом числе наблюдений простая статистическая совокуп­ность перестает быть удобной формой записи статистического ма­териала, т.к. становится громоздкой и не наглядной. Для прида­ния большому объему статистической информации компактности и наглядности строится так называемый статистический ряд. Ста­тистический ряд - это таблица, в которой приведены разряды в порядке их расположения вдоль оси абсцисс и соответствующие частоты попадания случайной величины в данный разряд (таблица 3).

 

Таблица 3

Разряды	x1, x2	x2, x3	…	xi, xi+1	…	xk, xk+1
Частоты	p1	p2	…	pi	…	pk

 

Частоты определяются как

,                                                                                     (6)
где M_i - количество значений случайной величины, по­падающих в i-тый разряд;   

       n            - общее число наблюдений случайной величины.

Число разрядов, на которые следует группировать статисти­ческую информацию, не должно быть слишком большим, т.к. в этом случае ряд становится невыразительным и в нем трудно про­следить закономерность. С другой стороны, число разрядов не должно быть слишком малым, т.к. при этом свойства распределе­ния случайной величины описываются слишком грубо. Практика показывает, что рационально выбирать число разрядов от 8 до 20. Длины разрядов могут быть как одинаковыми, так и различными, однако чаще всего их берут одинаковыми.

Статистический ряд часто оформляется графически в виде так называемой гистограммы, что придает ему большую нагляд­ность и удобство применения. Гистограмма - это графическое приближенное представление плотности распределения вероятнос­тей случайной величины, построенное по выборке конечного объе­ма. Она строится следующим образом. По оси абсцисс откладывают­ся разряды, и на каждом из разрядов на их основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте данного разряда. Для построения гистограммы нужно частоту каждого разряда раз­делить на его длину и полученное число взять в качестве высо­ты прямоугольника. Если все разряды по длине равны, то высоты прямоугольников пропорциональны соответствующим частотам. Пол­ная площадь гистограммы равна единице, что вытекает из спосо­ба её построения. Рассмотрим методику построения   гистограмм на примере случайной величины отклонения напряжения.

Отклонение напряжения - это величина, равная разности между действительным и заданным значениями напряжения, выраже­нная в абсолютных единицах или в процентах номинального значе­ния. Отклонение напряжения является одним из показателей ка­чества электроэнергии и регламентируется ГОСТ-13109-97 «Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения». Согласно ему, нормально-допустимое отклонение напряжения в сетях напряжением до 1 кВ не должно превышать ±5%, а максимально допустимое (в послеаварийном режиме работы электрической сети) - не более  ±10 %.

Для контроля соответствия действительного режима напря­жения в сети требованиям ГОСТ 13109-97 применяются гистограм­мы отклонений напряжения. Гистограмма отклонений напряжения - это зависимость вероятности попадания значений напряжения в определенный интервал. Их получают с помощью специальных при­боров, таких как статистический анализатор качества напряже­ния (САКН), измеритель отклонений напряжения 43203, измеритель­но-вычислительный комплекс "Качество". Гистограммы отклоне­ний напряжения позволяют обслуживающему персоналу принимать решения организационно-технического характера с целью приве­дения режима напряжения в сети в соответствие с требованиями ГОСТ 13109-97 (например, регулирование величины напряжения в конкретных узлах схемы, установка стабилизаторов напряжения, соответствующие изменения в схеме и т.д.).

Методику построения гистограмм отклонений напряжения рас­смотрим на примере замеров, полученных прибором САКН. Он имеет восемь разрядов, каждому из которых соответствует счет­чик импульсов, который фиксирует и на длительное время запо­минает число попаданий отклонений напряжения в тот или иной диапазон за весь период измерений. В результате намерений по­лучаем статистический ряд (таблица 4)

 

Таблица 4

Разряды	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7	V8
Замер 1	n1	n2	n3	n4	n5	n6	n7	n8
Замер 2	m1	m2	m3	m4	m5	m6	m7	m8

 

Число попаданий отклонений напряжения в i-тый интер­вал определяется как

.                                                                              (7)

Вероятность попадания отклонений напряжения в интервал определяем следующим образом

.                                                                                 (8)

В результате для построения гистограммы получаем таблицу 5

 

Таблица 5

Разряды	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7	V8
Вероятность	p1	p2	p3	p4	p5	p6	p7	p8

 

Построенная гистограмма дана на рисунке 2

     

Рисунок 2 - Гистограмма

Обработка гистограммы отклонений напряжения дает возможность получить следующие вероятностные характеристики, позволяющие оценить режим напряжения в сети:

математическое ожидание – среднее ожидание значения случайной величины (отклонения напряжения от номинального)

;                                                                            (9)

неодинаковость отклонений напряжения

;                                                                               (10)

дисперсия случайной величины – рассеяние значений отклонений напряжения

;                                                                                 (11)

среднеквадратичное отклонение случайной величины

.                                                                                   (12)

 

Таблица 6

Пред-последняя цифра номера зачетной книжки	Показания счетчиков
1	замер 1 замер 2	9986 9986	1765 3063	0898 2643	0957 2047	3868 5395	0369 1224	5998 8686	7820 7930
2	замер 1 замер 2	5078 5083	1690 1974	0628 0874	5051 5778	5294 5638	2042 2237	8919 8919	5313 5313
3	замер 1 замер 2	5083 5084	1974 2076	0874 1233	5778 6654	5638 6957	2237 2632	8919 8919	5313 5313
4	замер 1 замер 2	9986 9986	1101 1651	2373 2543	5435 5866	7346 8272	6771 7441	3344 3510	7669 7669
5	замер 1 замер 2	0635 0637	0147 0246	0152 1907	1314 9391	2371 3742	2101 4077	3294 3391	3790 3790
6	замер 1 замер 2	9980 9980	0967 1101	2194 2373	5000 5435	7067 7346	6714 6771	3344 3344	7569 7569
7	замер 1 замер 2	0635 0635	0147 0153	0152 0776	9361 9552	2371 3450	2101 2950	3294 3754	9790 9976
8	замер 1 замер 2	5083 5086	1974 2331	1874 2744	5778 7784	5638 8499	2237 4082	8919 8929	5313 5313
9	замер 1 замер 2	5078 5083	1690 1974	0628 0874	5051 5778	5294 5638	2042 2237	8919 8919	5313 5313
0	замер 1 замер 2	9980 9980	0967 1101	2194 2373	5000 5435	7067 7346	6714 6771	3344 3344	7569 7569

Таблица 7

Послед-няя цифра номера зачетной книжки	Разряды
1	-4,5	-3,75	-2,5	-1,25	+1,25	+2,5	+3,75	+4,5
2	-10	-7,5	-5,0	-2,5	+2,5	+5,0	+7,5	+10
3	-4,0	-3,0	-2,0	-1,0	+1,0	+2,0	+3,0	+4,0
4	-2,0	-1,5	-1,1-0	-0,5	+0,5	+1,0	+1,5	+2,0
5	-15	-11,25	-7,5	-3,75	+3,75	+7,5	+11,25	+15
6	-1,0	-0,75	-0,5	-0,25	+0,25	+0,5	+0,75	+1,0
7	-8,0	-6,0	-4,0	-2,0	+2,0	+4,0	+6,0	+8,0
8	-4,8	-3,6	-2,4	-1,2	+1,2	+2,4	+3,6	+4,8
9	-15	-11,25	-7,5	-3,75	+3,75	+7,5	+11,25	+15
0	-4,5	-3,75	-2,5	-1,25	+1,25	+2,5	+3,75	+4,5

 

 

2.3 Задание № 3

 

Составить алгоритм расчета с использованием программы Microsoft Excel для аппроксимации однофакторного эксперимента. Функция y(x) задана таблицей экспериментальных значений:

Применяя метод наименьших квадратов, провести аппроксимацию функции y(x)  при помощи полинома вида

.

Составить на отрезке [a_1, a₂] с шагом h таблицу значений функций f(x), выбрать наилучшее приближение y(x) полиномом f(x) при изменении его степени m.

Исходные данные выбираются по таблице 8 по последней цифре номера зачетной книжки.

 

2.3.1 Метод наименьших квадратов (МНК)

При проектировании осветительных установок (построение кривых силы света, расчет многократных отражений светового потока и т.п.) часто возникает необходимость нахождения зависимости f(x), аппроксимирующей (сглаживающей) экспериментальные значения функций y(x) при условии, чтобы отклонения расчетных значений f(x) от экспериментальных значений y(x) в каждой точке не превышали бы погрешности эксперимента.

Сущность МНК заключается в следующем: по заданной таблице значений y_i(x_i) требуется найти полином f(x) степени m≤n такой, чтобы значение величины среднеквадратического отклонения (СКО) ε было наименьшим

                                           (13)

Геометрическая величина ε² есть среднее арифметическое квадратов длин отрезков ε_i* (рисунок 3). Т.е. искомый полином f(x) - это полином, который дает наименьшее СКО от всех значений y_i,  среди всех возможных полиномов степени m≤n. В качестве аппроксимирующей функции f(x) можно выбрать любую функцию, линейную относительно своих коэффициентов.

Рассмотрим МНК при использовании аппроксимирующей функции степени m≤n

.                           (14)

      

Рисунок 3 - Экспериментальные данные и аппроксимирующая функция

 

В этом случае величина СКО в формуле (13) есть функция коэффициентов регрессии ε = F(b₀, b₁, … , b_m).

Чтобы найти минимум функции ε, нужно взять частные производные по всем аргументам b₀,…, b_k, … , b_m и приравнять их нулю. Для простоты дальнейших преобразований произведем упрощение

,
тогда обобщенное условие минимума функции ε' имеет вид

                                      (15)

Преобразуем выражение (15) следующим образом:

                                                        (16)

Таким образом, получена система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из (m+1) уравнений с (m+1) неизвестными b₀, b₁, … , b_m

      (17)

Вводя обозначения, получаем:

,                             (18)
где

;                                                                           (19)

;                                                                           (20)
;      k=0, 1, 2, …, m;    j=0, 1, 2, …, m;     k+j=0, 1, 2, …, 2m.

В матричной форме система (18) имеет вид:

.                           (21)
или ,

где [C] – матрица коэффициентов при неизвестных b_j; [B] – вектор неизвестных (коэффициентов аппроксимирующего полинома); [D] – вектор свободных членов (правых частей).

Решая СЛАУ одним из численных методов – итерационным (метод простой итерации, метод Зейделя) или прямым (метод Гаусса, метод вращения), - получим коэффициенты b_j. Итерационные (приближенные) методы дают приближенное решение, число операций у них зависит от заданной погрешности вычислений. Прямые (точные) методы при отсутствии ошибок округления приводят к точному решению после конечного числа арифметических операций.

Иногда таблицу экспериментальных значений y_i(x_i),  разбивают на несколько частей и подбирают аппроксимирующую кривую для каждой части.

 

2.3.2 Решение СЛАУ методом Гаусса

Одним из важнейших точных (прямых) методов решения СЛАУ является метод Гаусса.

Решение СЛАУ вида

[A]·X=B                                                                                     (22)
по методу Гаусса состоит из двух этапов, называемых прямой и обратный ход. На прямом ходе осуществляется преобразование матрицы коэффициентов [A] к треугольному виду (к верхней треугольной матрице).

При прямом ходе уравнение делится на а₁₁ и последовательно вычитается из остальных i-уравнений (). При этом оно каждый раз умножается на а_i1, чтобы получить в первом столбце  а₂₁, ..., а_n1=0.

В результате первого шага (k = 1) получаем систему

;                                     (23)

,        ;                                        (24)

,        ;                                             (25)

Шаг k = 2: второе уравнение делится на а₂₂ и последовательно вычитается из остальных уравнений, каждый раз умножается на а_i2. Последующие шаги выполняются аналогично. На каждом i-том шаге пересчитываются коэффициенты уравнений от k до n. В результате n шагов получается система

.                         (26)

Алгоритм прямого хода

      (27)

На обратном ходе, начиная с предпоследнего уравнения, определяются значения x_i, 

                                         (28)

Алгоритм метода Гаусса достаточно прост, однако для его применения необходимо, чтобы все ведущие элементы , расположенные на главной диагонали матрицы [A], были отличны от нуля, т.е. .

Кроме того, если коэффициенты близки к нулю, то точность решения сильно ухудшается из-за ошибок округления.

В этом заключается недостаток простейшей модификации метода Гаусса, рассмотренный выше. В связи с этим был предложен метод Гаусса с выбором главного элемента. В данном методе перед проведением операции исключения из элементов преобразуемой матрицы [A] на каждом  - шаг прямого хода выбирается наибольший по модулю элемент , отличный от нуля и называемый главным элементом. Это исключает деление на ноль и повышает точность вычислений при наличии ошибок округления. Стоящее при главном элементе неизвестное исключается по вышеописанному правилу.

Для удобства вычислений перед исключением этого неизвестного делают перестановку уравнений и неизвестных так, чтобы главный элемент занял левый верхний угол преобразованной матрицы.

Если на k - шаге главный элемент выбирается только среди элементов i  - столбца (строки), то схема называется схемой выбора главного элемента по столбцу (строке).

 

2.3.3 Методические указания

Степень аппроксимирующего полинома f(x) следует принимать в пределах 1 ≤ m ≤ 4, т.е. наилучшее приближение y(x) выбирается путем сравнения результатов аппроксимации по четырем полиномам f(x).

Разрабатывая программу, необходимо использовать автоматический выбор степени полинома. Сначала задается степень m = 1 (линейная регрессия). После нахождения всех b_i,  с помощью выражения (13) вычисляется СКО ε, которое сравнивается со средней погрешностью Δ* табличных значений y_i. Значение Δ* определяется следующим образом (при предположении, что значения x_i являются точными, а y_i заданы приближенно)

,                                                                           (29)

где  - абсолютная погрешность результата измерения

      y_i, δ_i = 2,5 ÷ 5 % - относительная погрешность результата измерения y_i.

Если ε > Δ, степень полинома увеличивается на единицу m = m + 1. Счет прекращается при достижении условия ε ≤ Δ*.

 

Таблица 8 - Варианты задания исходных данных (y_i)

i	xi	Последняя цифра зачетной книжки
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	0,5	1,0	10,2	10,1	1,7	6,4	0,4	9,9	9,9	5,2	11,2
2	1,0	2,0	10,4	10,2	3,2	6,7	1,0	9,8	9,7	5,8	7,6
3	2,0	4,0	10,6	10,5	5,8	7,4	2,2	9,5	9,4	6,4	8,4
4	3,0	6,0	11,0	10,7	7,6	8,1	3,3	9,4	9,0	10,3	8,7
5	4,0	8,0	11,5	11,1	9,3	8,8	4,5	9,1	8,5	8,6	9,7
6	5,0	10,0	12,0	11,4	10,5	9,5	5,8	8,8	7,8	9,2	6,2
7	6,0	12,0	12,9	11,7	11,7	10,2	7,2	8,5	7,1	6,3	9,1
8	7,0	14,0	13,0	12,0	12,6	10,9	8,6	8,2	6,1	7,7	8,7
9	8,0	16,0	15,2	12,4	13,5	11,6	10,1	7,8	4,8	8,3	10,2
0	10,0	20,0	17,0	13,1	15,2	13,0	13,5	7,1	1,0	11,5	9,5

 

Список литературы

 

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

2. Поршнев С.В. Вычислительная математика. Курс лекций: – С.Пб.: БХВ-Петербург, 2004.

3. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

4. Каранчук В.П., Сваровский И.Н., Суздальницкий И.Д. Основы применения ЭВМ. – М.: Радио и связь, 1988.

5.Фурунжиев Р.И., Бабушкин Ф.М., Варавко В.В. Применение математических методов и ЭВМ: Практикум. –Мн.: Вышэйшая школа, 1988.

6. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах / Под ред. А.В. Петрова. – М.: Высшая школа, 1984.

7. Веников В.А., Веников Г.В. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики). –М.: Высшая школа, 1984.

8. Новицкий П.В., Зограф Н.А. Оценка погрешностей результатов измерений. –Л.: Энергоатомиздат, 1985.

9. Применение цифровых вычислительных машин в электроэнергетике / Под ред. О.В. Щепачева, А.Н. Зейлигер, К.П. Кадомской и др.- Л.: Энергия, 1980.

10. Щукин Б.Д., Лыков Ю.Ф. Применение ЭВМ для проектирования систем электроснабжения. –М.: Энергоиздат, 1984.

11. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982.

12. Алгоритмизация инженерных задач энергетики / Под ред. Ю.А. Дубинского, Н.В. Кислова и др. – М.: МЭИ, 1984.

13. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. –М.: Энергоатомиздат, 1988.

14. Бабуров Э.Ф., Куликов Э.Л., Маригодов В.К. Основы научных исследований. – К.: Высшая школа, 1988.

15. ГОСТ-13109-97 «Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения».

 

     Доп. план 2004 г., поз. 9

 

 

 

Айгуль Сапаровна Алданова

 

 

 

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ И ЭКСПЕРИМЕНТЕ

Программа курса, методические указания и контрольные задания для студентов факультета заочного обучения и переподготовки специалистов

по специальности 210440- Электроснабжение (по отраслям)

 

 

 

 

 

 

Редактор                        В.В. Шилина

 

 

 

 

Подписано в печать _____               Формат 60х84 1/16

Тираж 150 экз.                                   Бумага типографская №1

Объем 1,25  уч.-изд.л.                       Заказ ____.Цена     тг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Копировально-множительное бюро

 Алматинского института энергетики и связи

480013 Алматы, Байтурсынова, 126