Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра электрических станций, сетей и систем

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И КОМПЬЮТЕРНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ

Методические указания к выполнению

лабораторных работ

для студентов очной формы обучения специальности
050718 – Электроэнергетика

Алматы 2007

СОСТАВИТЕЛИ: К.К. Тохтибакиев, К.В. Нефедов. Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике. Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов очной формы обучения специальности 050718 – Электроэнергетика. – Алматы: АИЭС, 2007. – 13 с.

Методические указания содержат общую программу курса с разбивкой по темам, варианты лабораторных заданий, с пояснениями по выбору необходимого варианта.

Лабораторные задания предусматривают возможность поэтапной проверки полученных результатов в ходе решения.

Методические указания предназначены для студентов специальности "Электроэнергетика" очной формы обучения.

Содержание

Введение 4

1 Цели и задачи лабораторных работ 4

2 Содержание лабораторных работ 4

3 Лабораторное задание № 1. Расчет параметров энергосистемы на основе матричных методов решения линейных уравнений 5

3.1 Цель работы 5

3.2 Задание 5

3.3 Выбор исходных данных 6

3.4 Теоретические основы решения линейных уравнений матричным методом 6

3.5 Порядок выполнения лабораторного задания 7

4 Лабораторное задание № 2. Расчет установившегося режима
энергосистемы на основе метода Зейделя 9

4.1 Цель работы 9

4.2 Задание 9

4.3 Выбор исходных данных 9

4.4 Теоретические основы решения установившегося режима методом Зейделя 9

4.5 Порядок выполнения лабораторного задания

Список литературы

Введение

Развитие энергосистем нашей страны требует неуклонного применения ЭВМ при расчетах как нормальных установившихся, так и аварийных переходных режимов. Большой объем расчетов и их многофакторность обусловливает применение совершенных математических методов и приемов. По курсу «Математические задачи и компьютерное моделирование в электроэнергетике» студент выполняет две лабораторные работы. Для выполнения лабораторных работ студент должен использовать теоретические и практические знания по курсам: высшая математика, теоретические основы электротехники. Приобретенные в процессе выполнения лабораторных работ знания усиливают теоретическую подготовку студентов и помогут им овладеть практическими методами решения задач расчета режимов электроэнергетических систем.

1 Цели и задачи лабораторных работ

Целью выполнения лабораторных работ является подготовка студентов в области применения современных математических методов для решения энергетических задач, в первую очередь, связанных с применением ЭВМ. Приобретенные в процессе обучения знания раскрывают возможность применения математического аппарата для решения задач эксплуатации, планирования развития и проектирования электрических систем.

Задачами изучения дисциплины являются:

- освоение основных способов записи и преобразования уравнений установившегося режима (УУР) электрической сети;

- приобретение навыков обращения с матричной записью УУР, познание основных свойств матричных преобразований;

- освоение способов решения линейных УУР, наиболее эффективных для реализации на ЭВМ;

- овладение основными способами решения нелинейных УУР, наиболее эффективно реализуемых на ЭВМ.

2 Содержание лабораторных работ

Для выполнения лабораторных работ студент должен изучить следующие разделы курса:

- основные задачи анализа установившихся и переходных режимов электрических систем [1];

- формирование и матричная запись уравнений установившегося режима электрической системы;

- уравнения условных напряжений (УУН) и их матричная запись. Матрица проводимостей, матрицы соединения и независимых контуров. Обращение матрицы проводимостей. Матрица условных сопротивлений [1];

- решение линейных уравнений узловых напряжений и контурных токов. Алгоритмы решения системы линейных уравнений для анализа установившегося режима [3];

- решение нелинейных уравнений установившегося режима. Основные методы решения систем нелинейных уравнений: метод простой итерации Зейделя, градиентный метод и метод Ньютона. Применение методов Ньютона, простой итерации Зейделя для решения нелинейных УУН электрической системы [2];

- аналитические методы анализа устойчивости сложных систем. Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) и динамические системы. Нормальная форма ЛДУ и методы приведения уравнений к нормальной форме. Матричная форма решения ЛДУ, характеристический определитель и характеристический многочлен. Корни характеристического многочлена и их связь с решением ЛДУ [6];

- структурные схемы и характеристики динамической системы. Передаточная функция, ее получение по структурной схеме системы. Связь передаточной функции и решение системы дифференциальных уравнений [4];

- понятие об устойчивости решения системы дифференциальных уравнений. Алгебраические критерии устойчивости. Частотные критерии устойчивости Михайлова и Найквиста. Выделение областей устойчивости. Метод Д-разбиений [6].

3 Лабораторная работа № 1. Расчет параметров энергосистемы на основе матричных методов решения линейных уравнений

3.1 Цель работы

Изучение матричных методов расчета сети с использованием коэффициентов токораспределения и применение метода для практических расчетов режима по выбранному варианту схемы. При выполнении лабораторной работы используется программа «MathCAD».

3.2 Задание

Для заданной электрической цепи (рисунок 1) с источником питания напряжением 110 кВ составить схему замещения без учета емкостной проводимости линий электропередач и сопротивления проводов. Выполнить расчет комплексных величин узловых напряжений и определить токи в ветвях матричным методом.

3.3 Выбор исходных данных

Исходные данные разделены на две группы. В данных первой группы задается нагрузка, которая выбирается по последней цифре номера зачетной книжки (таблица 1). В данных второй группы содержатся проводимости ветвей сети - по предпоследней цифре зачетной книжки (таблица 2).

Таблица 1- Данные первой группы

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
S1	20	24	42	34	37	54	50	43	54	24
S2	10	37	54	50	24	42	34	2	34	24
S3	40	42	34	20	24	42	34	37	23	42

Таблица 2 - Данные второй группы

Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
Y1	0,42	0,24	0,42	0,34	0,37	0,54	0,42	0,37	0,34	0,24
Y2	0,21	0,37	0,54	0,50	0,42	0,42	0,50	0,42	0,42	0,37
Y3	0,4	0,42	0,34	0,2	0,24	0,54	0,42	0,50	0,21	0,34
Y4	0,34	0,50	0,42	0,21	0,37	0,34	0,54	0,2	0,24	0,42
Y5	0,50	0,2	0,21	0,4	0,42	0,42	0,21	0,21	0,37	0,21

3.4 Теоретические основы решения линейных уравнений матричным методом

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений является прямым методом решения. К прямым относятся методы, позволяющие получить решение в результате конечного числа арифметических операций, зависящего только от вычислительной схемы, а также от порядка и структуры матрицы коэффициентов системы уравнений.

Матрица собственных и взаимных проводимостей – неособенная, т.е. ее определитель не равен нулю. Для всякой неособенной матрицы существует обратная. Обратной матрице является такая матрица

что произведение и равно единичной матрице. Матрицу называют матрицей собственных и взаимных сопротивлений узлов. Решение уравнений узловых напряжений с помощью обратной матрицы при напряжении базового узла , равном нулю, определяется выражением

(3.1)

.

Если , то решение уравнений узловых напряжений принимает вид:

(3.2)

где - вектор-столбец, каждый элемент которого равен напряжению базового узла.

Матрицу можно определить, например, методом единичных токов. Этот метод соответствует решению нескольких систем уравнений узловых напряжений с разными правыми частями. Также обратная матрица вычисляется с помощью метода, основанного на последовательной перестановке элементов столбцов неизвестных и правых частей в системе линейных алгебраических уравнений.

При расчетах режимов неоднородных сетей переменного тока используем обратную действительную матрицу

(3.3)

.

Активные и реактивные составляющие узловых напряжений определим из выражения

(3.4)

где и - векторы, каждый элемент которых равен U_аб или U_r_б, т.е. активной или реактивной составляющей .

3.5 Порядок выполнения лабораторной работы

3.5.1

Составляется схема замещения без учета емкостной проводимости линий электропередач и сопротивления проводов с одним источником и тремя узлами с нагрузкой. На основе схемы замещения составляется направленный граф сети (пример графа сети показан на рисунке 2). Источник является балансирующим узлом.

3.5.2 На основе полученного графа сети составляется первая матрица инциденций . – прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа, а число столбцов – числу ребер. Из нее выписывается матрица – матрица соединений без балансирующего узла.

3.5.3 По данным таблицы 3.2 в соответствии с вариантом составляется диагональная матрица проводимостей ветвей .

3.5.4 Полученная матрица проводимостей ветвей преобразуется в матрицу сопротивлений .

(3.5)

.

3.5.5 По данным таблицы 3.1 в соответствии с вариантом составляется матрица узловых токов вида

(3.6)

.

Если мощность нагрузки потребителя в узле постоянна, то узловой ток равен:

(3.7)

где S – мощность нагрузки.

3.5.6 Составляется матрица узловых проводимостей .

(3.8)

.

3.5.7 Полученная матрица узловых проводимостей преобразуется в матрицу узловых сопротивлений .

3.5.8 Определяется матрица узловых напряжений

(3.9)

где U₀ – заданное напряжение.

Матрица потерь напряжений:

(3.10)

.

3.5.9 Определяется матрица токов в ветвях.

(3.11)

.

3.5.10 Производится проверка выполнения первого закона Кирхгофа для заданной схемы сети по рассчитанным токам.

4 Лабораторная работа № 2. Расчет установившегося режима энергосистемы на основе метода Зейделя

4.1 Цель работы

Изучение итерационных методов расчета сети с использованием коэффициентов токораспределения и применение метода для практических расчетов режима по выбранному варианту схемы. При выполнении лабораторной работы используется программа «MathCAD».

4.2 Задание

Для заданной электрической цепи (рисунок 1) с источником питания напряжением 110 кВ составить схему замещения без учета емкостной проводимости линий электропередач и сопротивления проводов. Выполнить расчет комплексных величин узловых напряжений методом Зейделя и определить токи в ветвях.

4.3 Выбор исходных данных

Исходные данные ко второй лабораторной работе выбираются из таблиц 1 и 2. В данных первой группы задается нагрузка, которая выбирается по последней цифре номера зачетной книжки (таблица 1). В данных второй группы содержатся проводимости ветвей сети - по предпоследней цифре зачетной книжки (таблица 2).

4.4 Теоретические основы решения установившегося режима
методом Зейделя

Метод Зейделя – это итерационный метод решения линейных уравнений установившегося режима. К итерационным методам относятся методы, с помощью которых решение системы линейных алгебраических уравнений получается как предел последовательных приближений, вычисляемых посредством единообразных операций. В математике итерационные методы называются приближенными, поскольку даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, они позволяют получить решение системы лишь с заданной точностью.

Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации, отличие от которого заключается в том, что каждое приближение переменного напряжения используется сразу же для вычисления последующих приближений напряжения U.

Для сети переменного тока только с индуктивными связями при J_r = 0 и U_r_б = 0 уравнения узловых напряжений являются системой действительных уравнений порядка n. В этом случае напряжение k-го узла на (i+1)-м шаге по методу простой итерации определяется по выражению

(4.1)

где k = 1,…, n; .

(4.2)

Если каждое узловое напряжение в (i+1)-м шаге мало отличается от соответствующего узлового напряжения в предыдущем шаге , то часто считают, что итерационный метод сошелся. В этом случае условие сходимости состоит в том, чтобы все поправки по напряжению стали меньше наперед заданной величины ε, т.е.

Если (4.2) не выполняется, то значения принимаются в качестве нового приближения, и итерационный процесс продолжается. Обычно, более обоснованным критерием окончания итерационного процесса являются значения небалансов тока в узлах

(4.3)

причем для индуктивностей

Y_kk > 0; Y_kj < 0.

Если итерационный процесс сошелся, то все небалансы тока должны быть меньше заданной величины, т.е.

(4.4)

(k = 1, …, n).

4.5 Порядок выполнения лабораторного задания

4.5.1 Аналогично первой лабораторной работе составляется схема замещения без учета емкостной проводимости линий электропередач и сопротивления проводов с одним источником и тремя узлами с нагрузкой. На основе схемы замещения составляется направленный граф сети (пример графа сети показан на рисунке 2). Источник является балансирующим узлом.

4.5.2 На основе полученного графа сети составляется первая матрица инциденций . – прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин графа, а число столбцов – числу ребер. Из нее выписывается матрица – матрица соединений без балансирующего узла.

4.5.3 По данным таблицы 3.2 в соответствии с вариантом составляется диагональная матрица проводимостей ветвей .

4.5.4 Рассчитываются элементы матрицы коэффициентов , и . - нижняя диагональная матрица, элементы b₂₁, b₃₁ и b₃₂ которой находятся

(4.5)

где Y_kn – kn-ный элемент матрицы проводимостей.

Аналогично находятся элементы верхней диагональной матрицы b₁₂, b₁₃ и b₂₃.

Элементы матрицы (состоящей из одного столбца) находятся по
формуле

(4.6)

где I_H – ток нагрузки.

4.5.5 Расчет падения напряжения методом Зейделя. На первом шагу задается матрица (состоящая из одного столбца), все элементы которой равны нулю, и единичная матрица . Затем высчитывается матрица падений напряжений

(4.7)

.

Рассчитывается погрешность итерации (изменение напряжения) и матрица принимается равной матрице .

Расчет повторяется до тех пор, пока изменение напряжения () от итерации к итерации по всем узлам будет меньше заданного расчетного значения.

4.5.6 Определяется матрица токов в ветвях

(4.8)

.

4.5.7 Производится проверка выполнения первого закона Кирхгофа для заданной схемы сети по рассчитанным токам.

Список литературы

1. Электрические системы. Математические задачи энергетики, под ред. В.А. Веникова. - М. : Высшая школа, 1981. - 328 с.

2. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. -М. : Энергия, 1977. - 78 с.

3. Бромеллер А.М. и др. Слабозаполненные матрицы. - М. : Энергия, 1979. - 78 с.

4. Сигорский В.А. Математический аппарат инженера. - М. : Техника, 1975. -210 с.

5. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРГРАНЕ. - М. : Мир, 1977. - 582 с.

6. Блок В.М. Электрические сети и системы: Учебное пособие для электроэнергетических специальностей вузов. - М. : Высш.шк., 1986. - 430 с.