МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

 

Алматинский институт энергетики и связи

 

 

 З.И. Жолдыбаева, Е.Х. Зуслина

 

 

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1

Примеры расчета установившихся процессов

в линейных электрических цепях

Учебное пособие

 

Алматы 2009

 

В пособии представлены типовые задачи с подробными решениями и пояснениями, примеры применения основных методов расчета электрических цепей в установившемся режиме.

Предназначается для студентов специальности 050704 – «Вычислительная техника и программное обеспечение».

 

Введение 

Теории электрических цепей являются базовым курсом, на который опираются профилирующие дисциплины радиотехнических специальностей вузов. В соответствии с новыми учебными  планами курс ТЭЦ изучается в течение двух семестров. При этом существенно увеличен объем самостоятельной работы студентов (до 60% от общего числа часов) и в частности, возросло количество выполняемых расчетно-графических работ.

Цель настоящего учебного пособия состоит в оказании помощи студентам в их самостоятельной работе. Поэтому все задачи даны с подробными решениями, пояснениями, методическими указаниями, приведены основные положения теории и необходимые расчетные формулы.

В пособии рассмотрено применение основных методов расчета электрических цепей на примере цепей постоянного тока, приводится расчет разветвленных цепей однофазного синусоидального тока, резонансных режимов, расчет четырехполюсников. Показан расчет цепей при  несинусоидальном  воздействии.

 

1 Расчет простейших электрических цепей постоянного тока

  

          1.1 Методы преобразования

Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

Замена последовательных сопротивлений одним эквивалентным

Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из «n» последовательно соединенных сопротивлений

 

                                                                                                 (1.1)

 

Напряжение при последовательном соединении распределяется прямо пропорционально этим сопротивлениям. Например, для двух последовательно соединенных сопротивлений (см. рисунок  1.1)

 

                                              ;

                                  ;                                  (1.2)

 

 

Рисунок 1.1

 

Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным

Сопротивления соединены параллельно, если они присоединены к одной паре узлов.

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из «n» параллельно соединенных сопротивлений

 

                                                                                                (1.3)

Токи в ветвях с параллельным соединением сопротивлений, на примере двух параллельно соединенных сопротивлений (см. рисунок  1.2).

 

                                        

                                                 (1.3)

 

Рисунок 1.2

 

Замена смешанного соединения сопротивлений одним эквивалентным

 Смешанное соединение – это сочетание последовательного и паралелльного соединения сопротивлений (см. рисунок  1.3)

 

Рисунок 1.3

 

                      .                             (1.4)

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (см. рисунок  1.4, а) в эквивалентную звезду сопротивлений и наоборот (см. рисунок  1.4, в).

                             а)                                                           в)

Рисунок 1.4

                            (1.5)

 

                 (1.6)

 

Закон Ома

Закон Ома применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи. При написании закона Ома следует прежде всего выбрать положительное направление тока.

Закон Ома для ветви

 

                                                                                        (1.7)

 

где - напряжение на ветви, отсчитываемое по    

                            выбранному положительному направлению тока;

                   - алгебраическая сумма ЭДС ветви, со знаком «+» - ЭДС

                           совпадающие с током, со знаком «-» - противоположные току;

                - арифметическая сумма сопротивлений ветви.

Закон Ома для одноконтурной схемы

 

                                                                                       (1.8)

 

где  - алгебраическая сумма ЭДС, действующих в схеме;

                 - арифметическая сумма сопротивлений контура.

 

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма – это график распределения потенциала вдоль участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс откладываются сопротивления участков в той последовательности, в которой они включены в цепь, а по оси ординат потенциалы соответствующих точек.

 

 Пример 1.1.  Ом.

Определить эквивалентное сопротивление цепи между точками а и в при разомкнутом и замкнутом ключе «К» (см. рисунок  1.5, а).

 

       а)                                                  в)                                        с)

Рисунок 1.5

 

При разомкнутом ключе заданная схема изображена на рисунке 1.5, в.

Искомое сопротивление

                         Ом

 

При замкнутом ключе схема имеет вид, изображенный на рисунке 1.5, с.

Искомое сопротивление

 

                                             ,

 

где   Ом,  , откуда  Ом,  

таким образом    Ом.

Пример 1.2. В схеме (см. рисунок  1.6)  

Определить напряжение .

 

 

Рисунок 1.6

 

Задавшись положительным направлением тока по часовой стрелке, на основании закона Ома, имеем

                                              

 

Напряжение можно найти по закону Ома для участка amb:

                                               

 

откуда . Такой же результат можно получить для участка вnа:

                                                 ,

 откуда  .

Пример 1.3. Определить токи в ветвях цепи (см. рисунок  1.7). B, Oм, Ом, Ом.

 

Рисунок 1.7

 

Определить эквивалентное сопротивление всей цепи

 

                                  .

ток в неразветвленной части цепи

                                                    

токи ветвей

                                    ,

                                  

Пример 1.4. Построить график изменения потенциала вдоль цепи (см. рисунок  1.8).  В,  В,  В,  В,  Ом,  Ом,  Ом, Ом.

Задавшись положительным направлен ием тока, по закону Ома найдем

 

.

 

 

Рисунок 1.8

 

2.     Вычислим потенциалы всех точек схемы.

 

 

На рисунке 1.9 приведена потенциальная диаграмма.

 

 

Рисунок 1.9 – Потенциальная диаграмма

 

1.2 Метод наложения

 

В некоторых случаях расчет линейных электрических цепей можно провести относительно просто, используя принцип наложения. Ток в любой ветви схемы, содержащей несколько источников электрических энергии,  можно рассчитать как алгебраическую сумму частичных токов от действия каждого источника в отдельности. При этом остальные источники ЭДС заменяют короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока размыкаются.

Порядок расчета:

2.  На  основе исходной схемы составляют частные расчетные схемы, в каждой из  которых действует только одна ЭДС или один источник тока. Остальные ЭДС и источники тока исключаются, оставляя их внутренние сопротивления.

3.  Любым методом определяются частичные токи в частных схемах.

4.  Алгебраическим сложением (наложением) частичных токов определяют токи в исходной схеме.

 

Пример 1.5. Для цепи (см. рисунок  1.10, а) определить токи методом положения. В,  В,  Ом,  Ом,  Ом, Ом.

Определим частичные токи от действия  В (см. рисунок  1.10, в).

 

       а)                                             в)                                           с)

 

Рисунок 1.10

 

Сопротивление между точками 1-2 и 2-4 по данным задачи одинаковые

 

 

Поэтому                               

Токи в ветвях

 

Определить частичные токи от действия  (см. рисунок 1.10, с).

 

 

Напряжения на участках схемы:

 

Токи в схеме

 

Токи в исходной схеме (см. рисунок  1.10, а) найдем по принципу наложения, учитывая направление в частных схемах.

 


 т.к.

 т.к. .

 

2 Расчёт сложных  разветвленных электрических цепей постоянного тока

  

2.1 Методы расчёта разветвленных электрических цепей  постоянного тока

 

Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю: . Со знаком «+» записываются токи, направленные к узлу, со знаком «-» записываются токи, направленные от узла (или наоборот). Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно , где - число узлов в цепи.

Второй закон Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур равна алгебраической сумме ЭДС: . Напряжения  записываются со знаком «+», если положительное направление тока   совпадает с направлением обхода контура, со знаком «-», если направление тока противоположно направлению обхода контура; ЭДС , направления, которых совпадают с направлением обхода контура, записываются со знаком «+», а ЭДС , направленные против обхода контура – со знаком «-». Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно: , где  - число ветвей,  - число источников тока.  Число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа равно числу неизвестных токов в ветвях цепи и равно: .  Порядок составления уравнений по законам Кирхгофа:

а) выбирают произвольно положительные направления токов в ветвях цепи и записывают уравнения для узлов цепи по первому закону Кирхгофа;

б) выбирают независимые контуры  (контуры независимы, если каждый последующий контур имеет не менее одной новой ветви), не содержащие источников тока, произвольно выбирают направления обхода этих контуров, затем записывают уравнения для этих контуров по второму закону Кирхгофа.

 Метод контурных токов (МКТ). Метод контурных токов позволяет уменьшить число уравнений системы до числа  . МКТ основан на том, что  в каждом независимом контуре электрической цепи вводится контурный ток. По любой ветви электрической цепи должен проходить хотя бы один контурный ток. Для определения контурных токов составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Ток в любой ветви можно представить в виде алгебраической  суммы контурных токов, протекающих по этой ветви. Если электрическая цепь содержит  источников тока, то  рекомендуется выбирать  контурных токов так, чтобы  каждый из этих контурных токов проходил через один источник тока (через ветвь с источником тока может проходить только один контурный ток!), тогда эти контурные токи совпадают с токами источника тока, которые обычно задаются условиями задачи и для этих токов уравнения не составляются. Уравнения контурных токов записываются в виде:

 

                              (2.1)

 

где  - собственное сопротивление контура m, равное сумме   

                 сопротивлений ветвей, входящих в контур m;

               - общее сопротивление контуров m и  р, равное сопротивлению   

                       общей  ветви контуров m и р (, если направления

                       контурных токов, протекающих по этой ветви, одинаковы,   

                      , если направления контурных токов, протекающих по

                      этой ветви, противоположны; для цепи, содержащей только   

                      независимые источники );

            - напряжение на сопротивлении  общей ветви контура р и n

                       контура, содержащего источник тока  (, если    

                       направления токов  и  , протекающих по этой ветви,

                      одинаковы, , если направления токов   и  ,  

                      протекающих по этой ветви, противоположны);

            -  алгебраическая сумма ЭДС контура « р », со знаком «+»  

                     записываются ЭДС, направление которых совпадает с                     

                     направлением контурного тока , в противном случае ЭДС  

                     записывается со знаком «-».

Метод узловых потенциалов (МУП). Метод узловых потенциалов позволяет уменьшить число уравнений системы до числа . Суть МУП заключается в определении потенциалов узлов электрической цепи, токи рассчитываются по закону Ома. При составлении уравнений узловых потенциалов, потенциал одного из узлов принимают равным нулю, для определения потенциалов оставшихся узлов составляются уравнения:

                                (2.2)

 

где  – собственная узловая проводимость узла « р », равная сумме  

               проводимостей ветвей, присоединенных к узлу  р ;

           – общая узловая проводимость узлов р и m, равна сумме   

                   проводимостей ветвей соединяющей узлы р и m (для цепи,    

                   содержащей только независимые источники gmp=gpm);

          - алгебраическая  сумма  произведений   ЭДС   ветвей,   

                  присоединённых к узлу р на проводимости  этих ветвей;

                  со знаком « + » записываются ЭДС, направленные к узлу р,

                  со знаком  « - » ЭДС, направленные от узла р;

          - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединённых                                              

                   к узлу р, со знаком « + » записываются токи, направленные к

                   узлу р, со знаком  « - » записываются токи, направленные от

                   узла р.

Если в электрической схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками ЭДС, то число уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается и равно: , где  - число ветвей, содержащих только идеальные источники ЭДС. Если электрическая схема содержит только одну ветвь с идеальным источником ЭДС Е и  с сопротивлением равным нулю, то при составлении уравнений по методу узловых потенциалов к нулю приравнивается потенциал одного из узлов, к которому присоединена данная ветвь. Тогда потенциал другого узла, присоединенного к этой же ветви, будет равен Е (задача 2.2).

Метод эквивалентного генератора (МЭГ). Метод эквивалентного генератора основан на теореме об активном двухполюснике, и позволяет определить ток в  какой-либо одной ветви электрической цепи.  Различают два  варианта  теоремы об активном двухполюснике:  а) теорема об эквивалентном источнике напряжения; б) теорема об эквивалентном источнике тока. Рассмотрим  теорему об эквивалентном источнике напряжения: ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник (электрическая цепь с двумя выводами), к которому  присоединена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения с  ЭДС    равной  напряжению      на   зажимах    разомкнутой  ветви (см. рисунок  2.1 в, режим х.х.) и внутренним сопротивлением  равным входному сопротивлению  пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви (см. рисунок  2.1 г). Пассивный двухполюсник получается из активного приравниванием к нулю всех ЭДС независимых источников напряжения (на схеме идеальный источник ЭДС заменяется короткозамкнутым участком) и всех токов независимых источников тока (ветвь с идеальным источником тока размыкается). Сопротивлением  можно также рассчитать по формуле: , где  - ток короткого замыкания (см. рисунок  2.1, д). Ток в ветви с сопротивлением R определяют по закону Ома:  или  , если  выделенная ветвь содержит источник ЭДС Е. Со знаком «+» записывают ЭДС, направления которых совпадают с направлением тока в этой ветви, со знаком «-» записывают ЭДС, направления которых противоположны направлению тока в этой ветви.

 

Рисунок 2.1

 

Баланс мощностей.  В любой  замкнутой электрической цепи сумма мощностей всех источников энергии равна сумме мощностей, расходуемых в приёмниках: , где  -  алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС и источников тока; - мощность источника ЭДС , , если направление ЭДС  и положительное направление тока   одинаковые (см. рисунок  2.2,а), , если направление ЭДС ЕК и положительное направление тока   противоположны (см. рисунок  2.2,б); - мощность источника тока; - напряжение на зажимах источника тока; , если  и направлены так, как показано на рисунке 2.2, в; , если  и направлены так, как показано на рисунке 2.2, г. - арифметическая сумма мощностей, расходуемых в приёмниках.

 

 

Рисунок 2.2

 

2.2 Расчет разветвленных электрических цепей с независимыми   

     источниками

 

Задача 2.1. Для электрической цепи (см. рисунок  2.3), содержащей независимые источники ЭДС В, В, В, B, независимый источник тока А,  резистивные сопротивления Ом, Ом Ом, Ом, Ом,  выполнить следующее:

а) записать уравнения по законам Кирхгофа;

б) рассчитать токи во всех ветвях методом контурных токов (МКТ);

в)  рассчитать токи во всех ветвях методом узловых потенциалов

    (МУП);

г) определить ток в ветви с сопротивлением R4 методом эквивалентного  

    генератора (МЭГ);

д) проверить баланс мощностей.

 

                                   

          

Рисунок 2.3                                         Рисунок 2.4

 

Решение. Схема содержит: узлов , ветвей , источников тока . Число неизвестных токов равно 5.

Составление уравнений по законам Кирхгофа. Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Выберем  произвольно положительные направления токов в ветвях цепи (см. рисунок  2.3). Токи направленные к узлу примем положительными, а токи направленные от узла – отрицательными. Число уравнений равно . Для узлов 1, 2, 3 уравнения по первому закону Кирхгофа имеют вид:

 

                

                                                                     (2.3)

                          

                 

Составим уравнения по второму  закону Кирхгофа. Выберем независимые контура, не содержащие источников тока (см. рисунок  2.3). Число уравнений равно , Уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 1-4-2 и 1-3-2 (см. рисунок  2.3)  имеют вид:

 

                                                       (2.4)

                                   

                                                                  

Число уравнений системы, составленных по законам Кирхгофа, равно 5.

Расчет токов методом контурных токов. МКТ позволяет уменьшить число уравнений системы до 2. Один контурный ток выберем так, чтобы он проходил через источник тока, тогда этот контурный ток совпадёт с током источника тока . В двух других независимых контурах цепи (не содержащих источник тока!) введем контурные токи  ,  (cм. рисунок 2.4).

Для двух неизвестных  контурных токов ,  составим уравнения:

 

                                       (2.5)

 

Перенесём  в правую часть уравнения, получим:

                       (2.6)

Подставим числовые значения:

 

         (2.7)

Уравнение контурных токов в матричной форме имеет вид:

 

                            .                                 (2.8)

 

Решая систему уравнений (2.7), или уравнение контурных токов в матричной форме (2.8),  определим  контурные  токи:  ,

.  Токи в ветвях представим в виде алгебраической суммы контурных токов протекающим по этим же ветвям: 

 

        

   

 

Если  в результате решения значение какого-либо тока получилось отрицательным (токи  и ), то это означает, что действительное направление этого тока противоположно направлению, принятому за положительное.

Расчет токов методом узловых потенциалов. МУП позволяет уменьшить число уравнений системы до 3. Примем  и запишем уравнения для определения потенциалов :

 

                                (2.9)

 

где 

Подставим числовые значения:

 

 

Получим:

                  

Уравнения узловых потенциалов в матричной форме:

 

Решая уравнения узловых потенциалов, найдём потенциалы узлов электрической цепи:

Токи определим по закону Ома:

 

 

 

 

 

 

Методом эквивалентного генератора. Рассчитаем ток  методом эквивалентного генератора. Заменим электрическую цепь, к которой присоединена выделенная ветвь с током , эквивалентным источником с ЭДС , равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви  (направление напряжения  выбирают совпадающим с направлением искомого тока )  и сопротивлением  (см. рисунок  2.5).

 

 

    Рисунок 2.5                       Рисунок 2.6                                     Рисунок 2.7

 

Ток  найдём по формуле: 

 

                                   (2.10)

 

 

 

Для определения  разомкнем в заданной схеме ветвь с сопротивлением , получим схему (см. рисунок  2.6). По схеме (см. рисунок  2.6) найдём напряжение :

 

                                      (2.11)

 

Токи определим по МКТ. Составим уравнение для расчёта неизвестного контурного тока  для схемы (см. рисунок  2.6):

 

 

Отсюда определим контурный ток :

 

 

Токи  равны:  

Рассчитаем напряжение, подставив в уравнение (2.11) числовые значения:

Определение сопротивления . Сопротивление  равно входному сопротивлению  пассивной электрической цепи со стороны разомкнутой ветви (см. рисунок  2.7):

Найдем искомый ток  по закону Ома:

 

Метод расчета

, A

, A

, A

, A

, A

МКТ

0,080756

-0,4450172

0,580756

0,9450172

-0,36426

МУП

0,080605

-0,4453917

0,580604

0,9449475

-0,36398

МЭГ

-

-

-

0,9450172

 

Погрешность вычислений,%

0,2

0,08

0,03

0,007

0,08

           (2.12)

Погрешность вычисления токов МКТ,  МУП, МЭГ не превышает 0,2 % (таблица 2.1).

 

Т а б л и ц а  2.1

 

Баланс мощностей. Составим уравнение баланса мощностей для рассматриваемой  цепи (см. рисунок  2.3). Алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС и источника тока равна:

        (2.13)

Определим напряжение на зажимах источника тока:

                                     (2.14)

 

Подставим числовые значения, получим:

 

 

 

Мощность, расходуемая в сопротивлениях, равна:

 

                                (2.15)

 

Проверка баланса мощностей показала:

  

Задача 2.2. Электрическая схема содержит ветвь с идеальным источником ЭДС  и с сопротивлением равным нулю (см. рисунок  2.8).

Записать уравнения для определения токов в ветвях цепи методом узловых потенциалов.

 

Рисунок 2.8

Решение. При составлении уравнений методом узловых потенциалов  приравняем к нулю потенциал одного из узлов, к которому присоединена данная ветвь, например потенциал узла , тогда потенциал узла . Для  определения двух неизвестных потенциалов  запишем уравнения узловых потенциалов (2.16):

 

                          (2.16, а)

 

Учтем, что и перенесем  в правую часть уравнения:

 

                      (2.16, б) 

             

 Токи , , ,   найдём по  закону Ома, ток  в ветви с идеальным источником ЭДС   определим по первому закону Кирхгофа:

    

 

2.3 Расчет электрических цепей с зависимыми источниками

 

При расчете цепей, содержащих электронные приборы (транзисторы, операционные усилители и т.п.), применяются эквивалентные схемы с зависимыми источниками. Различают четыре типа зависимых источников: источник напряжения, управляемый  напряжением  (ИНУН) (см. рисунок  2.9, а); источник   напряжения, управляемый током (ИНУТ) (см. рисунок  2.9, б);  источник тока,  управляемый      напряжением   (ИТУН) (см. рисунок  2.9, в);  источник  тока,       управляемый  током     (ИТУТ)  (см. рисунок  2.9, г).

Для расчета цепей с зависимыми источниками применимы все методы, расчета цепей с независимыми источниками: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора.

 

 

                                      

 

Рисунок 2.9

Задача 2.3. Для электрической цепи (см. рисунок  2.10), содержащей независимые источники ЭДС  независимый источник тока  зависимый источник напряжения , управляемый током (ИНУТ), с коэффициентом В/А и резистивные сопротивления Ом, ОмОм, Ом, Ом, выполнить следующее:

а) записать уравнения по законам Кирхгофа; б) рассчитать токи во всех ветвях методом контурных токов (МКТ); в) рассчитать токи во всех ветвях методом узловых потенциалов (МУП); г) определить ток в ветви с сопротивлением  методом эквивалентного генератора (МЭГ); д) проверить баланс мощностей.

 

                

Рисунок 2.10                                         Рисунок 2.11

 

Решение. Схема содержит: узлов , ветвей , источников тока . Число неизвестных токов равно .

Составление уравнений по законам Кирхгофа. Для составления уравнений по законам Кирхгофа выберем положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи  (см. рисунок  2.10). Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа. Токи, направленные к узлу примем положительными, а токи, направленные от узла - отрицательными (можно наоборот). Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа равно . Уравнения по первому закону Кирхгофа имеют вид:

 

                                        

                                                                                    (2.17)

                                           

                  

Составим уравнения по второму  закону Кирхгофа, выберем независимые контуры, не содержащие источник тока и зададимся направлениями обхода контуров (см. рисунок  2.10). Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа . Уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 1-2-3; 1-4-3 имеют вид:

 

                                       

                                                          (2.18)

 

Подставим в уравнения (2.18) , получим:

 

                                    (2.19)

 

Расчет токов методом контурных токов. МКТ позволяет уменьшить число уравнений системы до 2. Один контурный ток выберем так, чтобы он проходил через источник тока, тогда этот контурный ток совпадёт с током источника тока . В двух других независимых контурах цепи (не содержащих источник тока!) введем контурные токи ,  (см. рисунок  2.11).

Для двух неизвестных  контурных токов ,  составим уравнения:

 

                 (2.20)

 

Выразим зависимый источник  через контурные токи: , и подставим в систему уравнений контурных токов (2.20):                              

                            (2.21)

 

Подставим числовые значения:

 

         (2.22)

 

Матричное уравнение контурных токов имеет вид:

 

             .                               (2.23)

 

Решая систему  уравнений (2.22) или (2.23), получим контурные токи 

А и А. Токи в ветвях представим в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающим по этим же ветвям: А; А;

;  А;   A.

Если  в результате решения значение какого-либо тока получилось отрицательным (токи  и ), то это означает, что действительное направление этого тока противоположно направлению, принятому за положительное.

Расчет токов методом узловых потенциалов. МУП позволяет уменьшить число уравнений системы до 3.

Примем , уравнения для определения потенциалов  имеют вид:

                          (2.24)

 

где

     

Выразим зависимый источник  через потенциалы узлов цепи:

 и подставим в систему уравнений узловых потенциалов (2.24). После приведения подобных членов, имеем:

 

          (2.25)

 

Подставим числовые значения:

 

получим:

                                      (2.26)      

                      

Уравнение узловых потенциалов в матричной форме имеет вид:

 

Решая уравнения узловых потенциалов, определим потенциалы узлов электрической цепи:

Токи в ветвях найдем по закону Ома:

     

 

 

 

Метод эквивалентного генератора. Рассчитаем ток  методом эквивалентного генератора. Заменим электрическую цепь, к которой присоединена выделенная ветвь с током , эквивалентным источником с ЭДС , равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви  и сопротивлением  (см. рисунок  2.12).

 

   

Рисунок 2.12          Рисунок 2.13                              Рисунок 2.14

 

 

 

Ток I2 найдём по  закону Ома:

 

                                (2.27)

 

Для определения  разомкнем в заданной схеме ветвь с сопротивлением  (см. рисунок  2.13). По схеме (см. рисунок  2.13) найдём напряжение :

Токи  определим МКТ. Составим уравнение для расчёта неизвестного контурного тока  для схемы (см. рисунок  2.13):

 

              (2.28)

 

Выразим зависимый источник через контурные токи: , подставим в уравнение контурных токов (2.28), получим:        

Отсюда определим контурный ток :

 

 

Токи  равны:   

Рассчитаем напряжение :

 

 

Сопротивление  определим по формуле:

 

                                        (2.29)        

 

ток короткого замыкания  (см. рисунок  2.14) рассчитаем  МКТ.                                    

Уравнения контурных токов для схемы (см. рисунок  2.14) имеют вид:

 


                                              (2.30)

 

Выразим зависимый источник  через контурные токи: , и подставим в систему уравнений контурных токов (2.30):

                                 (2.31)

Подставим в уравнения числовые значения, получим:

                                                           (2.32)

 

Решая систему уравнений (2.32), определим  и   

А, A, A.

Сопротивление  равно:

 

Найдем искомый ток  по закону Ома:

 

 

Погрешность вычисления токов МКТ,  МУП, МЭГ не превышает 0,07 % (таблица 2.2).

 

Метод расчета

, A

, A

, A

, A

, A

МКТ

0,257576

-0,242425

-0,757576

0,515151

0,01515

МУП

0,25758

-0,242436

-0,757543

0,515156

0,01516

МЭГ

-

-0,242423

-

-

-

Погрешность,%

0,002

0,004

0,004

0,001

0,07

Т а б л и ц а 2.2

 

Баланс мощностей. Уравнение баланса мощностей:

 

.

 

Алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС и источника тока равна:

                        (2.33)

    

 

где  .

 

Напряжение на зажимах источника тока:

 

 

Подставим числовые значения, получим:

 

 

Мощность, расходуемая в сопротивлениях, равна:

 

Проверка баланса мощностей показала:   получили тождество: .

Задача 2.4. Для электрической цепи (см. рисунок  2.15), содержащей независимые источники ЭДС , , , , зависимый источник тока , управляемый напряжением (ИТУН), и резистивные сопротивления , , , , , выполнить следующее: а) записать уравнения по законам Кирхгофа;

б) записать уравнения по методу контурных токов; в) записать уравнения по методу узловых потенциалов; г) определить ток в ветви с сопротивлением  методом эквивалентного генератора.

 

                        Рисунок 2.15                                 Рисунок 2.16   

 

Решение. Схема содержит: узлов , ветвей , источников тока .

Составление уравнений по законам Кирхгофа. Для составления уравнений по законам Кирхгофа выберем положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи  (см. рисунок  2.15).

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа. Токи направленные к узлу примем положительными, а токи направленные от узла – отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа равно . Для узлов 1, 2, 3 уравнения по первому закону Кирхгофа имеют вид:

                                                   

                                    (2.34)

                                                     

 

Подставим в уравнения (2.34) , получим:

 

                                                   

                                            (2.35)              

                                               

 

Составим уравнения по второму  закону Кирхгофа, выберем независимые контуры, не содержащие источник тока и зададимся направлениями обхода контуров (см. рисунок  2.15). Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа . Уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров 1-3-2; 1-2-3-4 имеют вид:

                                                            (2.36)

                                   

          

Метод контурных токов. Один контурный ток выберем так, чтобы он проходил через источник тока, тогда этот контурный ток совпадёт с током источника тока . В двух других независимых контурах цепи (не содержащих источник тока!) введем контурные токи . Для двух неизвестных  контурных токов  составим уравнения по методу контурных токов (см. рисунок  2.16):

 


            (2.37)

Выразим зависимый источник  через контурные токи: ,           и подставим в систему уравнений (2.37).

 

                 (2.38)

Решив систему уравнений (2.38), определим контурные токи ,  и токи в ветвях цепи по формулам: , , , , .

Метод узловых потенциалов. Примем  и запишем уравнения для определения потенциалов узлов 1, 2, 3 методом узловых потенциалов

 

                    (2.39)

 

Выразим зависимый источник  через потенциалы узлов цепи:

 

и подставим в систему уравнений узловых потенциалов (2.39):

                (2.40)

 

Решив систему уравнений (2.40), определим потенциалы узлов электрической цепи, токи в ветвях найдём по закону Ома:

 

    

Метод эквивалентного генератора. Рассчитаем ток  методом эквивалентного генератора. Заменим электрическую цепь, к которой  присоединена выделенная ветвь с током , эквивалентным источником с ЭДС  и сопротивлением (см. рисунок  2.17).

Ток  найдём по закону Ома:                              (2.41)

Рисунок 2.17               Рисунок  2.18                         Рисунок 2.19

Разомкнем в заданной схеме ветвь с сопротивлением R3 (см. рисунок  2.18), и определим :  

Методом контурных токов определим

 

                               (2.42)   

                            

Выразим зависимый источник  через контурный ток: так как  то  подставим  в уравнение (2.42) и найдем контурный ток :

 

                                        (2.43)

 

Токи   равны:   

Сопротивление  определим по формуле:                        (2.44)                     

Ток  определим методом контурных токов (см. рисунок  2.19):               

 


     (2.45)                       

 

Здесь зависимый источник                

Решая систему уравнений (2.45), определим  и . Ток  рассчитаем по формуле (2.41).

 


3 Расчет простейших цепей однофазного синусоидального тока

 

 

Расчет линейных электрических схем гармонического тока в установившимся режиме аналогичен расчету электрических цепей постоянного тока, только все параметры записывают в комплексной (символической) форме. Таким образом, можно перейти от интегро-дифференциальных уравнений, составленных относительно мгновенных значений к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексных значений.

Представим напряжение на активном сопротивлении, индуктивности и емкости относительно мгновенных и комплексных значений.

 

1.

                                           

 

2.

                                            

где - индуктивное сопротивление в комплексной форме.

3.


                                         

 

 

 

 

где - емкостное сопротивление в комплексной форме.

Все методы расчета и вытекающие из них соотношение для цепей постоянного тока применимы для цепей синусоидального тока, если величины выражены в комплексной форме.

Например, закон Ома для участка цепи:

                                            (3.1)

где - комплексное напряжение на участке цепи, взятое в    

              направление тока;

- алгебраическая сумма комплексов ЭДС участка;

- комплексное сопротивление участка.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов токов в узле равна нулю.

                                                   (3.2)

 

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексов падений напряжений на участках замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексов ЭДС, действующих в этом контуре.

 

                                        (3.3)

Комплексная мощность равна произведению комплекса напряжение на сопряженный комплекс тока.

                               (3.4)

 

где знак «+» соответствует активно – индуктивному характеру нагрузки;

      знак «-» соответствует активно – емкостному характеру.

Пример 3.1. Для цепи рисунок 3.1 Ом, Гн, , Гц. Рассчитать ток, активную, реактивную, полную мощности, построить векторную диаграмму.

 

 

Рисунок  3.1

 

Реактивное сопротивление индуктивности:

 

Модуль полного сопротивление контура:

 

.

 


Сдвиг по фазе между напряжением и током:

 

 

Ток в цепи:                    .

 

Аналогичный расчет тока может быть произведен в комплексной форме. Комплекс полного сопротивления контура

 

,

 

где  , .

Комплексное значение тока:

 

где сдвиг по фазе

 

Активная мощность:

                       Вт.

 

Реактивная мощность:

                      .

 

Полная мощность:

.

 

Падения напряжения на участках:

 

,

      .

Построим векторную диаграмму:  (см. рисунок  3.2). Напряжение   совпадают по фазе с током, напряжение  опережает по фазе ток на 90°.

 

 

Рисунок 3.2

 

Пример 3.2. Для цепи рисунок 3.3.  Ом,  мкФ, .

Рассчитать ток, построить векторную диаграмму

 

 

Рисунок 3.3

 

Расчет проведен в комплексной форме.

Реактивное сопротивление конденсатора:

 

.

 

Комплекс полного сопротивления контура:

 

.

Комплексное значение тока:

,

где .

Сдвиг по фазе: .

Комплексы падений напряжения на участках:

 

 

Построим векторную диаграмму (см. рисунок  3.4)  . Напряжение на сопротивлении  совпадает по фазе с током, напряжение на емкости  отстает по фазе тока на 90°.

 

 

Рисунок 3.4

 

Пример 3.3. Для цепи рисунок 3.5.  Ом,  Ом,  Ом,  Рассчитать ток, построить векторную диаграмму.

 

Рисунок 3.5

Расчет произведем в комплексной форме.

Комплексное сопротивление контура

 

Комплексное значение тока.     .

Комплексы падений напряжений на участках:

 

 

Построим векторную диаграмму (см. рисунок  3.6)  

 

Рисунок 3.6

 

Пример 3.4. Для цепи (см. рисунок  3.7)    Определить токи ветвей, активные и реактивные мощности всей цепи и отдельных ветвей. Построить векторную диаграмму.

 

 

Рисунок 3.7

 

Комплексные сопротивления ветвей:

Полное сопротивление цепи:

Ток в неразветвленной части цепи.

Токи в параллельных ветвях могут быть выражены по теореме разброса:

 

Найдем активные мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:

Проверка показывает, что .

Определим реактивные мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:

Проверка показывает, что .

Для построение векторной диаграммы (см. рисунок  3.7) рассчитаем падения напряжений на участках схемы:

 

Перед построением векторной диаграммы выбирать масштабы по току и по напряжению:  .

При построении векторной диаграммы учитываем, что:

 

 

Рисунок 3.8

4 Разветвленные электрические цепи однофазного синусоидального  тока

  

4.1 Методы расчёта разветвленных электрических цепей  однофазного синусоидального тока

 

Законы Кирхгофа в дифференциальной форме

Законы Кирхгофа в дифференциальной форме записываются  для мгновенных значений  переменных токов и напряжений. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле схемы равна нулю:

 

Со знаком «+» записываются токи , положительные направления которых направлены к рассматриваемому узлу, со знаком «-» записываются токи , положительные направления которых направлены от данного узла (или наоборот).

Второй  закон  Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре  схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура:

                             

 

Второй закон Кирхгофа записывается для независимых контуров схемы, независимые контуры выбираются, так же как и для цепей постоянного тока. Со знаком «+»  записываются мгновенные напряжения, если положительные направления токов  и направление обхода контура совпадают, в противном случае  напряжения записываются со знаком «-». Мгновенные ЭДС  записываются со знаком «+», если положительные направления  и направление обхода контура совпадают, в противном случае  записываются со знаком «-».

 

Законы Кирхгофа в символической форме

Законы Кирхгофа в символической (комплексной) форме записываются для комплексных амплитуд или комплексных действующих значений токов, напряжений, ЭДС. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в узле схемы равна нулю:   

Со знаком «+» записываются токи , направленные к рассматриваемому узлу, со знаком «- » записываются токи , направленные от данного узла (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре  схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура:

 

  или  

 

Здесь   

                    комплексное напряжение на активном       

                                      сопротивлении;

                    комплексное напряжение на  

                                                      индуктивности;

                    комплексное напряжение на  

                                                             емкости.

 

Напряжения  записываются со знаком «+», если положительные направления токов  и направление обхода контура совпадают, в противном случае  напряжения записываются со знаком «-». ЭДС   записываются со знаком «+», если положительные направления  и направление обхода контура совпадают, в противном случае  записываются со знаком «-».

Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока: , , аналогичны  уравнениям, выражающим законы Кирхгофа для цепей постоянного тока:

 

.

 

Следовательно, расчет цепей синусоидального тока комплексным методом  полностью аналогичен расчету цепей постоянного тока. Все методы расчета цепей постоянного тока (МКТ, МУП, МЭГ и т.п.) применяют для расчета цепей синусоидального тока,  только ЭДС, напряжения, токи  и сопротивления входят в уравнения в виде комплексных величин: ,,,. Такая полная аналогия расчетов цепей постоянного и синусоидального токов имеет место только при отсутствии индуктивных связей.

Расчет разветвленных цепей с взаимной индуктивностью

Для расчета цепей с индуктивными связями применяются уравнения, составленные по законам Кирхгофа и метод контурных токов. Метод эквивалентного генератора можно применять, если между внешней по отношению к активному двухполюснику, ветвью  и ветвью, входящей в состав двухполюсника, нет индуктивной связи.  Метод узловых потенциалов непосредственно применить нельзя.

Законы Кирхгофа для цепей с взаимной индуктивностью. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа ЭДС взаимной индукции учитывается как соответствующее напряжение  на элементе К, обусловленное током в элементе S. Напряжение записывается с положительным знаком «», если направление обхода элемента К и положительное направление тока в элементе S одинаковы относительно одноимённых выводов и со знаком минус в противном случае «». Пример составления уравнений по законам  Кирхгофа для цепей с взаимной индуктивностью приведен в задаче 4.1.

 

Мощности в цепи синусоидального тока. Баланс мощностей

Активная мощность. Активной мощностью называется среднее значение мгновенной мощности за период:  Для синусоидального тока активная мощность равна: , где U, I-действующие значения напряжения и тока,  - разность фаз напряжения и тока. Единицы измерения активной мощности – ватты (Вт).

Реактивная мощность. Реактивная мощность определяется так:

 где реактивные сопротивление и проводимость. Единицу измерения реактивной мощности называют ВАр.

Полная мощность. Полной мощностью называется величина: .

Единицу измерения полной мощности называют ВА (вольт-ампер).

Для синусоидального тока активная, реактивная и полная мощности связаны соотношением: .

Комплексная мощность. Комплексной мощностью называют величину:

 где - комплекс тока, сопряженный с комплексным током . Другие выражения для комплексной мощности: .

 Баланс мощностей. Уравнение баланса комплексных мощностей:

    или   

где  комплексное сопротивление к-й ветви,

 напряжение на источнике тока;

 комплекс тока, сопряженный току источника тока;  

комплекс тока, сопряженный току к-й ветви .

-  комплексная мощность источника ЭДС,  , если    

            направление ЭДС и положительное направление тока  

            одинаковые, в противном случае  (см. рисунки   

           4.1.а, б);

- комплексная мощность источника тока; > 0,  если  и   

          направлены так, как показано на рисунке 4.1,в; ,

          если  и  направлены так, как  показано на рисунке 4.1,г.  

      - арифметическая сумма комплексных мощностей                      

                     приёмников.

 

        

                                              

Рисунок 4.1

 

Топографическая диаграмма. Топографическая диаграмма – это диаграмма комплексных потенциалов. Каждой точке схемы соответствует точка на топографической диаграмме. Точке, потенциал которой принят равным нулю, на топографической диаграмме соответствует начало координат. По топографической диаграмме можно судить о напряжениях  между точками схемы. Векторы напряжений относительно точек на топографической диаграмме направлены противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек на схеме. Для построения топографической диаграммы определяются комплексные потенциалы точек схемы и откладывают полученные значения на комплексной плоскости. Пример построения топографической диаграммы приведен в задаче 4.1.

 

4.2 Расчет разветвленных цепей синусоидального  тока

 

В задаче 4.1 рассмотрены различные методы расчета разветвленных электрических цепей синусоидального тока.

Задача 4.1. Электрическая цепь (см. рисунок  4.2) содержит синусоидальные источники ЭДС

 

  и синусоидальный источник тока

 

              

 

Параметры цепи: Ом,  Ом, Ом,  Ом,  Ом, Ом,  Ом,  Ом, Ом.

 

                        

                                              

Рисунок 4.2

 

Выполнить следующее:

а) составить уравнения по законам Кирхгофа, используя две формы записи: дифференциальную и символическую;

б) рассчитать комплексные токи во всех ветвях схемы методом контурных токов;

в) рассчитать комплексные токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов;

г) записать мгновенные значения токов во всех ветвях;

д) определить ток   методом эквивалентного генератора; ж) проверить баланс мощностей;

з) построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов;

и) записать уравнения по второму закону Кирхгофа в символической форме с учетом индуктивных связей.

Решение. Составление уравнений по законам Кирхгофа, используя две формы записи: дифференциальную и символическую

 Запишем уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений в дифференциальной форме. Произвольно выберем положительные направления токов в ветвях электрической цепи (см. рисунок  4.3)  Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа  равно =3-1=2, так как схема содержит три узла (примечание: уравнения по первому закону Кирхгофа запишем  для 1 и 2 узлов).                                        

Для записи уравнений по второму закону Кирхгофа выберем  независимые контуры, не содержащие идеальных источников тока, и направления обхода этих контуров (см. рисунок  4.3). Число уравнений по второму закону Кирхгофа равно , где  – число ветвей, - число источников тока. Система уравнений, составленная по законам Кирхгофа, в дифференциальной форме имеет вид:

 

         (4.1)

 

            

Рисунок 4.3                                       Рисунок 4.4

 

Для записи уравнений в символической (комплексной) форме заменим мгновенные значения  ЭДС, токов, напряжений изображающими их комплексными величинами (эквивалентная схема показана на рисунке 4.4) и получим систему уравнений, составленных по законам Кирхгофа, в символической форме:

 


         (4.2)

 

где  

Решая полученную систему уравнений, можно определить комплексные действующие значения токов в ветвях электрической цепи. Наиболее просто эту задачу можно решить, используя методы контурных токов и узловых потенциалов.

 

Расчет комплексных токов в ветвях цепи методом контурных токов

МКТ позволяет уменьшить число уравнений системы до 2.

Определим комплексные сопротивления каждой ветви: Ом,  Ом,

Ом, Ом, и получим эквивалентную схему (см. рисунок  4.5). В независимых контурах цепи введем неизвестные контурные токи ; один контурный ток выберем проходящим через источник тока, тогда этот контурный ток совпадёт с током источника тока .

Рисунок 4.5

 

Для двух неизвестных  контурных токов  составим уравнения:

 

                            (4.3)

 

Перенесём  в правую часть уравнения, получим:

 

                                             (4.4)

 

где   комплексные действующие значения ЭДС

 

 

                  

комплексное действующее значение тока источника тока

                  -

Подставим в уравнения (4.4) числовые значения:

 

                                  (4.5)

 

Уравнение контурных токов в матричной форме имеет вид:

 

            .                     (4.6)

 

Решая систему уравнений (4.6), определим контурные токи: (0,7029+j1,538)А, (-0,4653-j1,1762)А.

Токи в ветвях представим в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этим же ветвям:

 

 

Расчет комплексных токов методом узловых потенциалов

Примем потенциал цепи (см. рисунок  4.5)  и запишем систему уравнений по методу узловых потенциалов:

 

                                 (4.7)

 

где комплексные проводимости

       См,    

       См,   

      См,

      См 

комплексный ток

,А;

,А;

А;

-

 

Подставим в уравнения (4.7) числовые значения:

 

      (4.8)

 

Уравнение контурных токов в матричной форме имеет вид:

 

    .

 

Решая систему уравнений (4.8), определим узловые потенциалы:

,B; , B

Токи рассчитаем по закону Ома:

 

 

Расчет тока  методом эквивалентного генератора (МЭГ)

Заменим электрическую цепь, к которой присоединена ветвь с током  эквивалентным источником ЭДС  , равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви , и сопротивлением , равным входному сопротивлению пассивной электрической цепи относительно зажимов, к которым присоединена данная ветвь с током  (см. рисунок  4.6). Пассивная электрическая цепь получается из активной электрической цепи при равенстве нулю ЭДС всех независимых источников напряжения и токов всех независимых источников тока. На схеме идеальный источник ЭДС заменяется короткозамкнутым участком, ветвь с идеальным источником тока размыкается (см. рисунок  4.8).    

 Рисунок 4.6                            Рисунок 4.7                      Рисунок 4.8

 

Ток  определяют по закону Ома:  .                            (4.9)

Для определения  разомкнем в заданной схеме ветвь с током , получим новую схему (см. рисунок  4.2.6). По схеме (см. рисунок  4.7) найдём напряжение

                              .                          (4.10)

 

Токи  рассчитаем МКТ. Составим уравнение для расчёта неизвестного контурного тока  для схемы (см. рисунок  4.7):

 

                        (4.11)

и найдем ток :

 

Определим токи :

Подставим  в уравнение (4.2.10) и рассчитаем

Определим  по электрической схеме (см. рисунок  4.8):

 

 

Подставим найденные значения и  в уравнение (4.9) и определим ток :

 

 

Погрешность вычисления токов МКТ, МУП и МЭГ (см. таблицу 4.1) не превышает 0,46%.

 

Т а б л и ц а 4.1

Метод расчета

, A

, A

, A

, A

МКТ

МУП

МЭГ

-

-

-

Погрешность вычислений,%

0,24

0,46

0,18

0,2

 

Баланс мощностей:  

                                         (4.12)

 

Комплексные мощности источников в цепи (см. рисунок  4.5):

 

                               (4.13)

 

где  - комплексы токов, сопряженные соответствующим

                             токам в ветвях цепи;

        - комплекс тока, сопряженный току источника тока;

        - комплекс напряжения на зажимах источника тока.

 

 

Подставим в уравнение (4.13) числовые значения и рассчитаем комплексные мощности источников:

Комплексные мощности приемников в цепи (см. рисунок  4.5):

 

где действующие значения токов

                   

Погрешность расчета:

  .

 

Составление уравнений по законам Кирхгофа в комплексной форме   

с учетом взаимной индуктивности

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для схемы (см. рисунок  4.9). Между третьей и четвертой катушками индуктивности существует индуктивная связь с взаимной индуктивностью . Одноименные зажимы обозначены «*».  ЭДС  взаимной индукции  на третьей катушке учитывается как напряжение взаимной индукции , а на четвертой катушке: , где  Напряжение взаимной индукции  третьей катушки  входит в уравнение со знаком «-», так как направление обхода в третьей катушке и положительное направление тока  в четвертой катушке  различны относительно одноименных зажимов. Аналогично, напряжение взаимной индукции  четвертой катушки  входит в уравнение со знаком «-», так как направление обхода в четвертой катушке и положительное направление тока  в третьей катушке  различны относительно одноименных зажимов.

 

          (4.14)

 

                        

Рисунок 4.9                                        Рисунок 4.10

Построение топографической диаграммы,  совмещенной

с векторной диаграммой токов

Для построения топографической диаграммы определяются комплексные потенциалы точек схемы и откладывают полученные значения на комплексной плоскости. Примем потенциал точки 3 (см. рисунок  4.10) равным нулю:  и рассчитаем комплексные потенциалы остальных точек схемы:

 

 

Отложим на комплексной плоскости рассчитанные  комплексные потенциалы точек электрической цепи, соединим полученные точки на комплексной плоскости отрезками прямых в соответствии с их последовательностью на схеме (см. рисунок  4.10). Полученная топографическая диаграмма представлена на рисунке 4.11. На топографической диаграмме показаны векторы напряжений элементов схемы и ЭДС. На этом же рисунке построена векторная диаграмма токов (токи отложены в масштабе 1:50)

 

                                     

Рисунок 4.11

 

 

 

 

 

 


5 Резонанс в электрических цепях

 

 

Резонансом называют явление в электрической цепи, содержащей участки индуктивного и емкостного характера, при котором разность фаз напряжения и тока на входе цепи равно нулю.

В режиме резонанса входное сопротивление – чисто активное, а напряжение и ток на входе совпадают по фазе. Различают резонанс напряжений и резонанс токов.

 

5.1     Резонанс напряжений

 

Резонанс напряжений возникает в последственном колебательном контуре (см. рисунок  5.1) при условии равенства нулю входного реактивного сопротивления:

 

            или                                   (5.1)

 

 

Рисунок 5.1

 

При резонансе максимальный ток в цепи

                                                     .                                                     (5.2)

Сопротивление контура – минимальное

 

                                          .                                                      (5.3)

В режиме резонанса

Добротность резонансного контура

 

                           ,                                (5.4)

где  - характеристическое сопротивление контура.

Резонансная частотность

                                   или     .                             (5.5)

Векторные диаграммы (см. рисунок  5.2):

а) до резонанса, когда       

в) после резонанса, когда    

с) при резонансе, когда          

 

  

           а)                                      в)                                              с)

Рисунок 5.2

 

Частотные характеристики контура приведены на рисунке 5.3.

 

Рисунок 5.3

 

Резонансные кривые последовательного колебательного контура приведены на рисунке 5.4.

 

Рисунок 5.4

                             

5.2     Резонанс токов

 

Резонанс токов возникает в параллельном колебательном контуре (см. рисунок  5.5, а), при условии, что входная реактивная проводимость равна нулю:

                              или                            (5.5)

 

                                   а)                                                             в)

 

Рисунок 5.5

Векторная диаграмма, соответствующая резонансному режиму приведена на рисунке 5.5, в.

Резонансная частота

 

                                    ,                                             (5.6)

 

Соотношения между параметрами контура, при которых резонансная частота является вещественным числом:

 

   а)           или         

 

   б)  

 

    в) , т.е. резонанс наблюдается при любой частоте.

Для идеального  контура (см. рисунок  5.6, а) векторная диаграмма которого приведена на рисунке 5.6, в, резонансная частота

 

                                                                                     (5.7)

 

 

                                             а)                                                             в)

Рисунок 5.6

 

Частотные характеристики и резонансная кривая  идеального контура приведена на рисуноке 5.7.

 

 

 

Рисунок 5.7

 

Пример 5.1. Последовательный колебательный контур (см. рисунок  5.8) подключенный к , имеет параметры R=10 Ом, L=100 мкГн, С=100 Ф. Необходимо сделать следующее:

- определить резонансную частоту ; характеристическое сопротивление ,  добротность Q и затухание d; ток, расходуемую мощность и напряжения на индуктивности  и конденсаторе   в режиме резонанса; абсолютную полосу пропускания , частоты на границе полосы пропускания  и , сдвиг по фазе между напряжениями на контуре и током в режиме резонанса;

- при частоте  рассчитать расстройки контура; реактивное, полное сопротивления цепи; ток и расходуемую мощность;

- построить амплитудночастотные и фазо-частотные характеристики коэффициента передачи по току для двух значений сопротивления R=10 Ом, и R=20 Ом и показать, как изменится полоса пропускания при изменении сопротивления контура.

 

Рисунок 5.8

Резонансная частота

,

 

.

 

Характеристическое сопротивление

 

.

 

Добротность и затухание контура.

 

 .

Ток в контуре в режиме резонанса

.

Мощность, расходуемая в цепи

 

.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе

 

.

 

Абсолютная полоса пропускание контура.

 

.

 

Частоты на границах полосы пропускания:

Нижняя граничная частота

 

.

 

Верхняя граничная частота

 

.

 

Сдвиг фаз между током и напряжением на контуре в режиме резонанса

 

.

 

Так как .

 

,

 

.

 

Вычислим абсолютную, относительную и обобщенную расстройки при частоте источника   

 

,

 

,

 

.

 

Реактивное и полное сопротивление контура

 

,

 

.

Ток в цепи и расходуемое в цепи мощность.

 

,

 

.

Построение амплитудночастотной и фазо-частотной характеристик коэффициента передачи по току производится на основании выражений

 

,

.

Для удобства расчеты сведены в таблицу 5.1

Т а б л и ц а 5.1

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,447

0,5

0,577

0,707

1

0,707

0,577

0,5

0,447

-760

-71,60

-63,40

-450

0

45-0

63,40

71,60

760

 

По данным таблицы 5.1 построим требуемые кривые в зависимости от  (см. рисунки 5.9, 5.10).

При R=20 Ом изменилась добротность контура, она равна . Расчеты сведены  в  таблицу  5.2 и  по  ее  данным  построены  графики  (см. рисунок  5.9, 5.10.)

 

Т а б л и ц а 5.2

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,577

0,632

0,707

0,816

1

0,816

0,707

0,632

0,577

-63,40

-56,30

-450

-26,60

0

26,60

450

56,30

62,40

 

Рисунок 5.9

 

При уменьшении добротности полоса пропускания контура увеличивается. При Q=50

Полоса пропускания контура может быть найдена и графически. Для этого по оси ординат откладывается значение  а на оси абцисс находим соответствующее значение полосы пропускания (см. рисунок  5.9)

При Q=100, .

При Q=50, .

 

Рисунок 5.10

 

Пример 5.2. Параметры параллельного колебательного контура (см. рисунок  5.11) R1=9 Ом, R2=1 Ом, L=100 мкГн, C=100 пФ,  U=200 B.

Рассчитать:

- характеристическое сопротивление контура, добротность, полосу пропускания и сопротивление контура при резонансе;

- токи в ветвях и потребляемую мощность при резонансе;

- эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления контура и токи ветвей, если вследствие расстройки частота станет  на 0,2% больше резонансной.

 

Рисунок 5.11

Характеристическое сопротивление

 

.

 

Добротность контура

.

 

В данном случае потери малы (Q»1), поэтому резонансную частоту можно определить по приближенной формуле.

 

;

 

.

 

Сопротивление контура при резонансе

 

.

 

Абсолютная полоса пропускания контура.

 

.

 

Токи в каждой ветви      ,

 

                 ,

 

                 .

 

Мощность, потребляемая цепью.

 

 

Произведем расчеты при . Найдем абсолютную, относительную и обобщенную расстройки и искомые сопротивления.

 

 

 

 

 

ХЭ имеет емкосной характер.

 

;

 

.

 

Токи в ветвях               

 

 

 

При небольшой расстройке (0,2%) в полном сопротивлении контура появилась значительная реактивная составляющая ХЭ, вследствие чего есть сдвиг по фазе  между током I и напряжением U. Ввиду небольшого изменения частоты реактивные сопротивления ветвей и токи в них почти не изменялись.


6 Расчет входных и передаточных частотных характеристик  

   электрических цепей

 

 

6.1 Расчет входных характеристик электрических цепей

 

Под входной характеристикой понимают зависимость . Как всякую комплексную величину   можно представить:

 

 

где - модуль входной характеристики называется

                                   амплитудночастотной характеристикой (АЧХ);

- аргумент входной характеристики называется фазо-частотной

          характеристикой цепи (ФЧХ).

Пример 6.1. Для цепи RL (см. рисунок  6.1) R=6Ом, L=1мГн, пределы изменения угловой частоты от 0 до . Построить графики  и .

 

 

Рисунок 6.1

 

Входная характеристика цепи

 

 

АЧХ:                             

ФЧХ:                          

 

Результаты расчета введены в таблицу 6.1 и представлены в виде графиков на рисунке 6.2.

с-1

,

Ом

,

град

 

с-1

,

Ом

,

град

 

с-1

,

Ом

,

град

0

0

90

 

4×103

3,3

56,3

 

8×103

4,8

36,9

103

0,99

80,5

 

5×103

3,8

50,2

 

9×103

5,2

33,7

2×103

1,9

71,6

 

6×103

4,2

45,0

 

10×103

5,11

31

3×103

2,7

63,4

 

7×103

4,7

40,6

 

 

 

 

Т а б л и ц а 6.1

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6.2

 

Пример 6.2. Для цепи RC (см. рисунок  6.3) R=12 Ом, C=5 мкФ, пределы изменения угловой частоты от 0 до 104 с-1. Построить графики  и .

                           

Рисунок 6.3

Входная характеристика цепи

 

Выделим АЧХ и ФЧХ входной характеристики цепи

 

По результатам расчетов (см. таблицу 6.2) построим графики  и (см. рисунок  6.4).

 

Т а б л и ц а 6.2

с-1

,

Ом

,

град

 

с-1

,

Ом

,

град

 

с-1

,

Ом

град

0

12

0

 

4×103

11,7

-13,5

 

8×103

10,8

-25,6

103

11,98

-3,4

 

5×103

11,5

-16,7

 

9×103

10,6

-28,4

2×103

11,9

-6,8

 

6×103

11,3

-19,8

 

104

10,3

31

3×103

11,8

-10,2

 

7×103

11,1

-22,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6.4, а, б

6.2 Расчет передаточных характеристик электрических цепей

 

Комплексная передаточная функция (КПФ)  определяется как отношение комплексной величины реакции цепи к комплексной величине входного воздействия.

В зависимости от типа входного воздействия и реакции цепи различают следующие виды КПФ:

1. Комплексная передаточная функция по напряжению

                                                  (6.1)

где - комплексные действующие значения напряжения   

                 воздействия на входе и напряжения реакции на выходе.

2. Комплексная передаточная функция по току

                                                (6.2)

где - комплексные действующие значения токов воздействия и тока

               реакции.

3. Комплексное передаточное сопротивление

                                                (6.3)

4. Комплексная передаточная проводимость

                                                 (6.4)

Как всякую комплексную величину  можно представить:

 

где  - АЧХ   КПФ;  - ФЧХ  КПФ.

Пример 6.3. Для цепи (см. рисунок  6.5)   построить графики изменения АЧХ и ФЧХ комплексной передаточной функции по напряжению. Пределы изменения угловой частоты от 0 до 2×104с-1.

 

Рисунок 6.5

Выразим комплексную передаточную функцию по напряжению

.

 

Выделим АЧХ и ФЧХ:       

,

 

.

По результатам расчетов (см. таблицу 6.3) построим графики  и  (см. рисунок  6.6).

 

Т а б л и ц а 6.3

с-1

,

град

 

 

с-1

,

град

 

 

с-1

,

град

0

0

90

 

8×103

0,55

56,4

 

16×103

0,8

37

2×103

0,16

84,7

 

10×103

0,64

50,3

 

18×103

0,83

33,8

4×103

0,31

71,6

 

12×103

0,71

45,1

 

20×104

0,86

31,1

6×103

0,45

63,5

 

14×103

0,76

40,7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 6.6

 

7 Расчет электрических цепей с несинусоидальными  периодическими источниками питания

 

 

Расчёт линейных электрических цепей с  несинусоидальными периодическими источниками питания распадается  на три этапа:

а) разложение несинусоидальных периодических функций (ЭДС и токов источников тока) в тригонометрический ряд Фурье:

 

 

 где  – постоянная составляющая или нулевая гармоника;

  – основная или первая гармоника;

 при – высшие гармоники;

– основная угловая частота;

– период несинусоидальной периодической функции.

 

б) применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для  каждой из гармонических составляющих в отдельности. При расчете цепи для каждой синусоидальной составляющей можно пользоваться комплексным методом, но недопустимо сложение комплексных токов и напряжений различных синусоидальных составляющих. Индуктивное и емкостное сопротивления для k-й гармоники равны:

 

  ,        ;                      (7.1)

 

в) совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из гармонических составляющих.

 

 Задача 7.1. Электрическая цепь (см. рисунок  7.1) подключена к источнику несинусоидальной периодической ЭДС (см. рисунок  7.2). Максимальное значение ЭДС , основная частота ЭДС  Гц. Параметры цепи: Ом, Ом, мГн, мГн, мГн, мкФ. Требуется: а) определить гармонический состав несинусоидальной периодической ЭДС; б) найти мгновенные значения несинусоидальных токов во всех ветвях цепи; в) рассчитать действующие значения ЭДС и токов во всех ветвях цепи; г) определить активную, реактивную, полную мощности и мощность искажения; д) построить график мгновенного  значения тока ; ж) построить амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры тока .

 

         

            Рисунок 7.1                                       Рисунок 7.2

 

 Решение. Разложим несинусоидальную ЭДС (см. рисунок  7.2) в ряд Фурье, ограничимся первыми тремя гармоническими составляющими:

 

      (7.2)

 

Подставим  в выражение (7.1.1) числовые значения, получим:

 

                 (7.3)

 

Расчет постоянных составляющих токов

Постоянная составляющая ЭДС: . Для постоянной составляющей тока индуктивное сопротивление равно 0 и индуктивность в эквивалентной схеме заменяется короткозамкнутым участком, а  ёмкостное сопротивление равно  и ветвь с ёмкостью размыкается (см. рисунок  7.3).

 

    

 

Рисунок 7.3                                Рисунок 7.4                                 Рисунок 7.5

 

Постоянные составляющие токов равны:

 

                    (7.4)

 

 

Расчет токов первой гармоники

Первая гармоника ЭДС: ,

комплексное действующее ЭДС:

 

                        (7.5)

 

Индуктивные и емкостные сопротивления для токов первой гармоники:   

  

Ом,

 Ом,

 Ом,

 Ом.

 

Комплексные сопротивления ветвей  для токов первой гармоники равны:

 

Ом, 

Ом,

Ом.

 

Эквивалентная схема для расчета токов первой гармоники представлена на рисунке 7.4. Определим входное комплексное сопротивление  и комплексные токи первой гармоники, используя закон Ома и формулы разброса:

 

                (7.6)

 

                 (7.7)

 

                     (7.8)

 

                         (7.9)

 

Мгновенные значения токов первой гармоники записываются в виде:

 

 

                                                            (7.10)

 

Расчет токов второй гармоники

Вторая гармоника ЭДС:

 

,

 

комплексное действующее ЭДС:

 

 

Индуктивные и емкостные сопротивления для токов второй гармоники:  

 

 Ом,      Ом,    

 Ом,       Ом.

 

Комплексные сопротивления для токов второй гармоники равны:

 

Ом,   

Ом,

Ом.

 

Эквивалентная схема для расчета токов второй  гармоники представлена на рисунке 7.5. Определим комплексное входное сопротивление цепи:

 

            (7.11)

 

Найдём комплексные токи второй гармоники, используя закон Ома и формулы разброса:

 

               (7.12) 

       

                     (7.13)

 

                       (7.14)

 

Мгновенные значения токов второй гармоники записываются в виде:

 

                                       

                            (7.15)

                                    

 

Мгновенные значения токов в ветвях электрической цепи равны сумме мгновенных токов нулевой, первой и второй гармоник:

 

 

         7.16)

                               

 

Определение действующих значений ЭДС и токов

Действующее значение несинусоидальной ЭДС равно:

 

,         (7.17)

 

где  - действующие ЭДС  нулевой, первой и второй

                             гармоник.        

Аналогично определяются действующие значения несинусоидальных токов:

 

                   

                                              (7.18)       

 

Определение активной, реактивной, полной мощностей и мощности  

искажения всей цепи

Активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник:

 

 ;                                       (7.19) 

                                          

 

 

Реактивная мощность несинусоидального тока равна сумме реактивных мощностей отдельных гармоник:

 

;                                                (7.20)

 

 

Полная мощность несинусоидального тока рассчитывается по формуле:

 

                            (7.21)   

      

В цепях несинусоидального тока , это обусловлено различием форм  несинусоидальных кривых  напряжений и токов. Мощностью искажения Т называется величина:

 

        (7.22)

 

График мгновенного тока

 

 

 где ,

 

 

 

получается суммированием графиков токов отдельных гармоник (см. рисунок  7.6).

 

Рисунок 7.6

 

На рисунках 7.7 и 7.8 приведены амплитудночастотный (зависимость  от частоты  и фазо-частотный (зависимость начальной фазы от частоты спектры тока .

 

Рисунок 7.7                                           Рисунок 7.8

8   Четырёхполюсники

 

 

Четырёхполюсником называется электрическая цепь или её часть, имеющая две пары зажимов (полюсов), для подключения к источнику и приемнику электрической энергии (см. рисунок  8.1).

 

 

Рисунок 8.1

 

Уравнения определяющие зависимость между  называются уравнениями передачи четырёхполюсника:

 

}         (8.1)               }            (8.2)                             

}          (8.3)                }           (8.4)             

}          (8.5)

 

Параметры четырёхполюсника:

Y – параметры: ;

Z – параметры:;

А – параметры: ;

Н – параметры:  

Параметры  четырехполюсника являются комплексными величинами, определяются только схемой четырёхполюсника и её элементами; между различными системами параметров четырехполюсника существует однозначная связь.

Для пассивного четырёхполюсника

 

, , .

 

Для симметричного четырёхполюсника:

 

Характеристические параметры четырёхполюсника: характеристические сопротивления и характеристическая постоянная передачи. Характеристические сопротивления:

 

                     (8.6)

  

где ;

        - параметры холостого хода (х.х.)

                                                              и короткого замыкания (к.з.).

Характеристическая постоянная передачи:

 

.                                                 (8.7)

    

Характеристическую постоянную передачи можно выразить через

А-параметры и параметры холостого хода и короткого замыкания:

 

.          (8.8)

 

Подставим в уравнение (8.7)

 

,

 

получим:

,                 (8.9)               

 где  – характеристическое (собственное) ослабление

                четырёхполюсника:

,  единица измерения  в масштабе натуральных логарифмов называется непером (Нп). На практике принято измерять  в децибелах (дБ);

 – фазовая постоянная четырёхполюсника, измеряется в радианах    

         или градусах:

.

 

Симметричный четырёхполюсник:

,   ,   .

Уравнения передачи четырехполюсника в характеристических параметрах (с гиперболическими функциями):

 

   (8.10)

                                                    

 

Задача 8.1. Заданы два Г- образных четырёхполюсника (см. рисунки 8.2, а, б), параметры которых R1=20 Ом,  R2=30 Ом,  R3=15 Ом, хC1=10 Ом,  хC2=20Ом, хL2=10 Ом, хL3=20 Ом. Сопротивление нагрузки Ом.

 

                    

                                                  Рисунок 8.2

 

Требуется выполнить следующее:

а) определить комплексные сопротивления  и А-параметры заданных Г-образных четырёхполюсников;

б) соединить каскадно заданные Г-образные четырёхполюсники  и  получить Т- образный четырехполюсник,  определить его комплексные сопротивления () и А-параметры, используя матричные методы расчёта;

в) по найденным А-параметрам определить H-параметры Т- образного четырехполюсника;

г) определить характеристические сопротивления , Т- образного четырехполюсника, используя А-параметры и параметры холостого хода и короткого замыкания;

д) определить характеристическую постоянную передачи , характеристическое ослабление АС, фазовую постоянную ВС Т-образного четырехполюсника;

ж) в режиме согласованного включения четырёхполюсника определить комплексное входное сопротивление , напряжения  и токи , если действующее напряжение генератора ; з) определить передаточные функции нагруженного четырёхполюсника (сопротивление нагрузкиОм):        

Решение. Определим комплексные сопротивления заданных Г-образных четырёхполюсников. Комплексные сопротивления  четырёхполюсника (см. рисунок  8.2, а):

 

 Ом ;    Ом.

 

Комплексные сопротивления четырёхполюсника (см. рисунок  10.2, б):

 

 Ом;    Ом.

 

Заданные Г- образные четырёхполюсники могут быть представлены в виде эквивалентных схем (см. рисунки 8.3, а, б):

 

                                               Рисунок 8.3

         

Определим          А-параметры        Г-образных          четырёхполюсников

(см. рисунки 8.3, а, б), используя уравнения, составленные по законам Кирхгофа и представляя решения этих уравнений в виде уравнений передачи четырёхполюсника в форме А. Для четырёхполюсника (см. рисунок  8.3, а) запишем уравнения по законам Кирхгофа и подставим в первое уравнение системы выражение для тока :

 

  },        (8.11) 

  

Представим решения этих уравнений в виде уравнений передачи четырёхполюсника в А-параметрах:

 

}                     }          (8.12)

       

 

 

 

и получим А-параметры  Г-образного четырёхполюсника (см. рисунок  8.3, а):

                                     (8.13)

 

Запишем уравнения по законам Кирхгофа для четырёхполюсника (см. рисунок  8.3,б)  и подставим во второе уравнение системы выражение для  :

 

},                                   (8.14)

 

Представим решения этих уравнений в виде уравнений передачи четырёхполюсника в А-параметрах:

 

}       (10.15)       }     (8.16)  

 

и получим А-параметры  Г-образного четырёхполюсника (см. рисунок  8.3, б):

                          (8.17)

 

Определим А-параметры четырёхполюсников по значениям напряжений и токов в режимах холостого хода и короткого замыкания.

В режиме холостого хода на выводах  ток I2=0 и

 

,                                              (8.18)

 

  (8.19); в режиме короткого замыкания выводов 2- напряжение U2=0 и

                                               (8.20)    

                                                             (8.21)

 

                                              

Рисунок 8.4

 

Для Г-образного четырехполюсника (см. рисунок  8.3,а) в режиме холостого хода на выводах  (см. рисунок  8.4,а) найдем ток  и напряжение :        .

 

Подставим  и  в выражения (8.18; 8.19) и определим:

 

 

В режиме короткого замыкания выводов  (см. рисунок  8.4,б), найдем токи  . Подставим   в выражения (8.20; 8.21) и определим: 

 

Таким образом, А-параметры  четырёхполюсника (см. рисунок  8.3, а) равны:

              

                            

Матрица  имеет вид:  =   .                                (8.22)

Подставим числовые значения:

 

           =    =     .

 

Проверим соотношение :

 

 

Для Г-образного четырехполюсника (см. рисунок  8.3,б) в режиме холостого хода на выводах  (см. рисунок  8.4, в) найдем ток и напряжение :

    .

 Подставим  и  в выражения (8.18;8.19) и определим:    

В режиме короткого замыкания выводов  (см. рисунок  8.4,г), найдем токи  

   

 

 Подставим  в выражения (8.20; 8.21) и определим:

 

 

 

Таким образом, А-параметры  четырёхполюсника (см. рисунок  8.3, б) равны:                                                

Матрица  имеет вид:

=   .                                  (8.23)  

                

Подставим числовые значения:

 

 =    =     .

 

Проверим соотношение ∆А=1:

 

 

Соединим каскадно заданные  Г-образные четырёхполюсники  и  получим Т- образный    четырехполюсник:

 

                                              

Рисунок 8.5

 

Определим комплексные сопротивления полученного Т- образного четырехполюсника :

 

                          

;                               (8.24)

                        

 

Найдем А-параметры Т-образного четырехполюсника, используя матричные методы расчёта. При каскадном соединении четырехполюсников матрица результирующего четырехполюсника равна произведению матриц соединяемых четырехполюсников:

 

       =

=     =

 

=                  

 

А- параметры Т-образного четырехполюсника равны:

 

 

Проверим соотношение:

 

  .

 

Определение H-параметров Т-образного четырехполюсника по найденным А- параметрам. Уравнение передачи четырехполюсника в

Н-параметрах имеет вид:

 

}                                    (8.25)

 

Решим систему уравнений передачи в А-параметрах относительно неизвестных и :

 

}      (8.26)          }           (8.27)   

           

Для решения системы (8.26) применим правило Крамера:

 

      

 

  

 

   

 

      

 

Подставим в выражения, определяющие и , значения определителей :

}                                    (8.28)

 

где  - определитель системы уравнений (8.26).

Сравним систему уравнений (8.28) с системой уравнений передачи в Н- параметрах (8.25), получим  Н- параметры через А- параметры:

 

                          (8.29)

 

Для пассивного четырехполюсника , отсюда получим, что . Подставим числовые значения:

 

 

Аналогично можно выразить Z,Y-параметры через А- параметры.

Определение характеристических сопротивлений ,. Характеристические сопротивления четырехполюсника можно выразить через А- параметры:

 

 

 

Определим характеристические сопротивления ,  Т-образного четырехполюсника, используя параметры холостого хода и короткого замыкания:

.

 

Сопротивление со стороны выводов 1-1/ при разомкнутых выводах 2-2/ (см. рисунок  8.6, а) равно:

 

) Ом;

 

Сопротивление со стороны выводов 1-1/ при коротком замыкании выводов 2-2/ (см. рисунок  8.6, б) равно:

 

=Ом.

 

                                       

Рисунок 8.6

Сопротивление со стороны выводов 2-2/ при разомкнутых выводах 1-1/  (см. рисунок  8.7, а) равно:

 

) Ом;

 

Сопротивление со стороны выводов  при коротком замыкании выводов 1-1/ (см. рисунок  8.7, б) равно:

 

=Ом.

 

 

                                          Рисунок 8.7

 

Определим характеристические сопротивления,:

 

 ;   

 

Значения характеристических сопротивлений , Т- образного четырехполюсника, найденные двумя методами получились одинаковыми.

Определение характеристической постоянной передачи: .

Выразим характеристическую постоянную передачи  через А-параметры:

 .

 

Подставим числовые значения:

 

 

где  =1,69 Нп – характеристическое ослабление четырёхполюсника;

      =68,850=1,2рад.- фазовая постоянная четырёхполюсника.

 

В режиме согласованного включения четырёхполюсника (см. рисунок  8.8, а) определить комплексное входное сопротивление , напряжения  и токи , если напряжение генератора , действующее напряжение генератора .

При согласованной нагрузке четырехполюсника , входное сопротивление  со стороны входных выводов 1-1/ равно характеристическому сопротивлению :  Четырехполюсник вместе с сопротивлением нагрузки можно заменить  и получить эквивалентную схему (см. рисунок  8.8, б).

 

 

Рисунок 8.8

 

Ток и напряжение  найдем по закону Ома, для эквивалентной схемы:

 

Запишем уравнение передачи четырехполюсника с гиперболическими функциями:

.                                  (8.30)

 

При согласованной нагрузке  и  Подставим  в уравнение (8.30); учтем, что  получим:

 

                                     (8.31)

 

Подставим числовые значения:

 

     

 

Определение передаточных функций нагруженного на  Ом.

четырёхполюсника:       

 

 

 


Список литературы

 

1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1986. - 544с.

2. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.-М.: Высшая школа,1981. - 333с.

3. Основы теории цепей. Учебник для вузов /Г.В.Зевеке и др.- М.: Энергоиздат,1989. - 528с.

4. Теория линейных электрических цепей. /Под редакцией  И.Г.Кляцкина.- Высшая школа,1975.

5. Зернов И.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей.-Л.:Энергия, 1972.

6. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник теории линейных электрических цепей: Учебное пособие для вузов.-М.: ВШ, 1990.-544с.

7. Основы теории цепей: Учебник для вузов./ В.П.Бакалов и др. -М.:2000. - 592с.

8. Попов В.П. Основы теории цепей: Учебник для вузов. - М.: 2000. -576с. 

 

                                          Содержание

 

 

Введение

3

1

Расчет простейших электрических цепей постоянного тока

4

2

Расчёт сложных  разветвленных электрических цепей постоянного тока

13

3

Расчет простейших цепей однофазного синусоидального тока.

34

4

Разветвленные электрические цепи однофазного синусоидального тока

42

5

Резонанс в электрических цепях

56

6

Расчет входных и передаточных частотных характеристик электрических цепей

67

7

Расчет электрических цепей с несинусоидальными  периодическими источниками питания

72

8

Четырёхполюсники

79

 

Список литературы

 

92