АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ 

Кафедра теоретических основ электротехники 

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ 1

Конспект лекций

(для бакалавриата специальности 050702 – Автоматизация и управление)

  

Алматы 2008 

СОСТАВИТЕЛИ: В.И. Денисенко, С.Ю. Креслина. Теоретические основы электротехники 1. Конспект лекций (для студентов всех форм обучения специальности 050702– Автоматизация и управление). – Алматы: АИЭС, 2008.- 69 с. 

Конспект лекции содержит 13 лекций по 5 разделам: линейные электрические цепи постоянного тока, электрические цепи однофазного синусоидального тока, трехфазные цепи, электрические цепи однофазного несинусоидального тока, четырехполюсники.

Конспект лекций предназначен для студентов специальности 050702- Автоматизация и управление.

  

  Содержание

Введение…………………………………………...…………………………4

1 Лекция 1………………….………………………...……………………….5

2 Лекция 2………………………………………………………………….....9

3 Лекция 3…………………………………………………………...………11

4 Лекция 4…………………………………………………………...……....17

5Лекция 5……………………………………………………………...…….23

6 Лекция 6…………………………………………………………...………29

7 Лекция 7…………………………………………………………...……....35

8 Лекция 8…………………………………………………………….......…39

9 Лекция 9……………………………………………………………...........43

10 Лекция 10…………………………………………………………….......48

11 Лекция 11…………………………………………………...…………....54

12 Лекция 12……………………………………………………...………....58

13 Лекция 13………………………………...……………………….….......63

 Список литературы……………………...…………………………….…...67

 Введение

Дисциплина «Теоретические основы электротехники 1» является  основным базовым обязательным курсом для подготовки бакалавров в области автоматизации и управлении. Назначение дисциплины заключается в изучении и описании как с качественной, так и с количественной стороны электромагнитных процессов и явлений, происходящих в различного рода электротехнических установках, представленных эквивалентными схемами замещения с помощью основных элементов электрических цепей.

Предлагаемый конспект лекций включает пять основных разделов: линейные электрические цепи постоянного тока, электрические цепи однофазного синусоидального тока, электрические цепи однофазного несинусоидального тока, трехфазные цепи, четырехполюсники.

 В первом разделе рассмотрены основные свойства линейных электрических цепей постоянного тока, и на их примере произведено теоретическое обоснование и показано применение основных методов анализа и расчета электрических цепей, таких, как метод преобразований, метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод суперпозиции, метод активного двухполюсника.

Во втором разделе рассмотрены особенности описания цепей при синусоидальных токах и напряжениях, показано  применение метода комплексных амплитуд с использованием векторных и топографических диаграмм для анализа цепей синусоидального тока, представлены энергетические соотношения в цепи синусоидального тока, рассмотрено явление фазового резонанса в последовательной и параллельной цепях, показан расчет цепей при наличии взаимной индуктивности.

В третьем разделе рассмотрены основные понятия о трехфазных источниках и трехфазных цепях, расчет симметричных и несимметричных режимов трехфазных цепей, метод симметричных составляющих.

В четвертом разделе рассмотрены основные понятия о несинусоидальных э.д.с., напряжениях и токах; максимальные, действующие и средние значения несинусоидальных периодических э.д.с., напряжений и токов; расчет цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с., напряжениями и токами; высшие гармоники в трехфазных цепях.

В пятом разделе приведены основные понятия, схемы и системы уравнений четырехполюсников. Рассмотрены основы теории к-фильтров, фильтры НЧ и ВЧ. Даны основные понятия трансформаторов.

  Конспект лекций предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по специальности 050702 – Автоматизация и управление.

 

Линейные электрические цепи постоянного тока 

1 Лекция 1. Элементы электрических цепей и электрических схем, эквивалентные схемы для источников энергии, закон Ома для участка цепи с э.д.с. Эквивалентные схемы для источников энергии.

Цель лекции: познакомить с основными понятиями электрических цепей при постоянных токах и напряжениях. 

1.1            Элементы электрических цепей и электрических схем

Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической  и других видов энергии, если процессы, протекающие в устройствах, могут быть описаны при помощи понятий об электродвижущей силе (эдс), токе и напряжении. Основными элементами электрической цепи являются источники и приемники электрической энергии, которые соединяются между собой проводами.

В источниках электрической энергии (гальванические элементы, аккумуляторы т.п.) химическая, механическая, тепловая энергия или энергия других видов превращается в электрическую, а в приемниках электрической энергии (электрические лампы, резисторы т.п.), наоборот, электрическая энергия преобразуется в тепловую, световую, механическую и др. Электрические цепи, в которых получение электрической энергии в источниках, ее передача и преобразование в приемниках  происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называют цепями постоянного тока.                           

  Чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи, ее заменяют расчетной схемой замещения, т.е. идеализированной цепью, которая служит расчетной моделью реальной цепи. При этом пользуются понятиями двух основных элементов схемы: источника энергии с э.д.с.  и внутренним сопротивлением   и сопротивления приемников и проводов  (рисунок1.1).                                                                                                                            

  Электродвижущая сила Е (рисунок 1.1) численно равна разности потенциалов  или напряжению  между положительным и отрицательным зажимами 1 и 2 источника энергии при отсутствии в нем тока.

 

 

 

Рисунок 1.1

                                                                                (1.1)

Направление действия эдс (от отрицательного зажима к положительному) указывается на схеме стрелкой.

Если к зажимам источника энергии присоединить приемник (нагрузить), то в замкнутом контуре этой простейшей цепи возникает ток . При этом напряжение или разность потенциалов на зажимах 1 и 2 уже не будет равна эдс вследствие падения напряжения  внутри источника энергии, т.е. на его внутреннем сопротивлении. 

.

На рисунке 1.2 представлена внешняя характеристика, т.е. зависимость напряжения на зажимах нагруженного  источника энергии от тока. Развиваемая источником энергии мощность определяется равенством

                                              (1.2)

 

Сопротивление приемника  (рисунок 1.2) идеализированной цепи характеризует потребление электрической энергии, т.е. превращение электрической энергии в другие виды при мощности

                                                                                                                      (1.3)

 По закону Ома напряжение на сопротивлении

                                                                  .                                                 (1.4)

 

 

 

 

 Рисунок 1.2

Наряду с сопротивлением для расчета цепей вводят понятие проводимости .                                                                                                                                                                                                                                               

Если принять э.д.с. источников энергии, их внутренние сопротивления и сопротивления приемников, не зависящими от токов и напряжений, то внешние характеристики источников энергии  и вольт – амперные характеристики источников будут  линейными (рисунок 1.2). Электрические цепи, состоящие только из элементов с линейными характеристиками, называют линейными.

Простейшая электрическая цепь и ее схема замещения состоят из одного источника энергии с э.д.с.  и внутренним сопротивлением  и одного приемника с сопротивлением  (рисунок 1.3), где сопротивление соединяющих проводов не показано, если для этой цепи им можно пренебречь. Ток во внешней по отношению к источнику энергии части цепи, т.е. в приемнике или сопротивлении , принимается направленным от точки  с большим потенциалом  к точке  с меньшим потенциалом  .Покажем, что источник энергии с известными э.д.с.  и внутренним сопротивлением  может быть представлен двумя основными эквивалентными схемами.     

 

 

 

 

 

Рисунок 1.3

Как уже указывалось, напряжение на зажимах источника энергии меньше э.д.с, на падение напряжения внутри источника

                                   .                             (1.5)

С другой стороны, напряжение на сопротивлении

                                                     .                                       (1.6)

Ввиду равенства  и , из (1.5) и (1.6) следует, что  или

                                                                                                  (1.7)                         

и

                                                          .                                         (1.7а)

На эквивалентной схеме можно показать внутреннее сопротивление , соединенным последовательно с сопротивлением приемника .в зависимости от соотношения между напряжениями на этих сопротивлениях получим две разновидности первой эквивалентной схемы для источника энергии (рисунок 1.3).

На эквивалентной схеме рисунка 1.4,  с источником э.д.с,  напряжение  зависит от тока приемника и равно разности между  э.д.с.  источника энергии и падением напряжения . Источник энергии может быть представлен и одной из двух эквивалентных схем по рисунку 1.4. Чтобы обосновать эту возможность, разделим правую и левую части уравнения (1.7) на .

      

 

 

 

 

 

 Рисунок 1.4

В результате получим

                                                       ,                                             (1.8)

где  - ток при коротком замыкании источника энергии

(т.е. ток при сопротивлении );

 - некоторый ток, равный отношению напряжения на зажимах источника энергии к его внутреннему сопротивлению;

       - ток приемника;       - проводимость приемника.

 Полученному уравнению (1.8) удовлетворяет эквивалентная схема с источником тока (рисунок 1.4,а), при этом внутреннее сопротивление  включено параллельно сопротивлению приемника . Такой источник с внутренней проводимостью , обозначенный кружком с двойной стрелкой с разрывом внутри и буквой , называют идеальным источником тока (источником с заданным током). Ток источника тока  не зависит от сопротивления приемника .

 Источники э.д.с и источники тока называют активными элементами электрических схем, а сопротивления и проводимости - пассивными.  

1.2 Закон Ома для участка цепи с э.д.с.

Для однозначного определения потенциала любой точки электрической цепи необходимо произвольно выбрать потенциал какой – нибудь одной точки.

Ток во внешней части простейшей электрической цепи, а в общем случае в любом пассивном элементе цепи направлен от точки с более высоким потенциалом () к точке с более низким ().

Рисунок 1.5

Если принять за положительное направление тока  на участке направление от точки  к точке , то потенциал  определяется через потенциал  выражением

                                   .                           (1.9)

Из этого равенства следует

                             ,          (1.10)

          где     - суммарное сопротивление участка схемы;

 - разность потенциалов или напряжение между зажимами рассматриваемого участка, взятые по выбранному направлению тока;

 - алгебраическая сумма э.д.с., действующих на том же участке, причем каждая э.д.с., совпадающая по направлению с положительным направлением тока, записывается с положительным знаком, а не совпадающая - с отрицательным.

Формула (1.10) представляет собой закон Ома для участка цепи с э.д.с.  

2 Лекция 2. Распределение потенциала вдоль неразветвленной электрической цепи, применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей.

Цель лекции: познакомить с основными понятиями электрических цепей при постоянных токах и напряжениях.

2.1 Распределение потенциала вдоль неразветвленной электрической цепи

Распределение потенциала вдоль неразветвленной электрической цепи можно наглядно представить при помощи графика, который называют потенциальной диаграммой.

 На рисунке 2.1 изображена схема простейшей неразветвленной цепи с двумя э.д.с.  и  и внутренними сопротивлениями  и  и двумя сопротивлениями  и .Пусть э.д.с.  больше э.д.с. .

Действительный ток I совпадает по направлению с э.д.с. . Для однозначного определения потенциала каждой точки рассматриваемой цепи можно положить, например,   потенциал  точки , равным нулю (заземление на рисунке 2.1). Теперь легко найти потенциалы остальных точек.

                                  .                                                

 

 

 

 

Рисунок 2.1

                                                                                                (2.1)

 

Потенциал точки  меньше потенциала точки

.

При переходе через первый источник энергии потенциал повышается на значение э.д.с.  и понижается на внутреннее падение напряжения, так что потенциал точки

.

Для определения потенциала  точки  надо из потенциала  вычесть падение напряжения , т.е.

.

Наконец, при переходе через второй источник энергии потенциал понижается не только на значение э.д.с.  (по определению понятия э.д.с. ), но и на внутреннее падение напряжения, причем потенциал точки  должен быть равен нулю

.

Если по оси абсцисс отложить в выбранном масштабе сопротивления участков в той последовательности, в которой они включены в цепь, а по оси ординат - потенциалы соответствующих точек (рисунок 2.2), то получится график распределения потенциала вдоль неразветвленной цепи.

 

 

 

 

 Рисунок 2.2

Отношение напряжения к сопротивлению любого пассивного участка цепи равно току участка и на графике потенциала определяется в некотором масштабе тангенсом угла наклона соответствующей прямой к оси абсцисс. Поэтому одинаков наклон прямых (например,  и  на рисунке 2.2), определяющих изменение потенциала вдоль всех пассивных участков неразветвленной цепи с одним и тем же током.

2.2 Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных цепей

Ветвью электрической цепи называется такой ее участок, который состоит только из последовательно включенных источников э.д.с. и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трех и более ветвей.

При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям; при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рисунке 2.3 показана электрическая цепь с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с сопротивлениями без э.д.с. (ветвь ) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь ). Так как напряжение на зажимах ветви  равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек  и  одинаковы и оба узла можно объединить в один.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, т.е.

                                                         .                                                     (2.2)

 

 

 

 

 

Рисунок 2.3

в этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки.

Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В ряде случаев целесообразно  писать в одной части равенства (2.2) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части – алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов

                                                  ,                                                 (2.3)

где I – ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, а J – ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в уравнение (2.3) с положительным знаком, если направлен к узлу,  с отрицательным, если направлен от узла. 

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме э.д.с., т. е.

                                                         .                                            (2.4)

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и э.д.с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей, входящих в этот контур, равна нулю

                                                          .                                                   (2.5)

При этом положительные направления для напряжений на зажимах ветвей выбираются произвольно; в уравнении (2.5) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

 

3 Лекция 3. Метод контурных токов, метод узловых потенциалов.

 

Цель лекции: познакомить с основными методами расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях.

 

3.1  Метод контурных токов

Для расчета режима сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением лишь  независимых уравнений, составленных на основании второго закона Кирхгофа, воспользовавшись методом контурных токов; здесь  - число ветвей и  - число узлов. Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему на рисунке 3.1,а. Прежде чем составлять уравнения по второму закону Кирхгофа (рисунок 3.1), надо выбрать

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

Рисунок 3.1

взаимно независимые контуры так, чтобы одна из ветвей каждого контура входила только в этот контур. Например, в схеме рисунка 3.1,а первая, вторая и третья ветви входят соответственно только в контуры 1-2-4-1, 2-3-4-2 и 1-4-3-1.

Для схемы рисунка 3.1,а по первому закону Кирхгофа

                 (3.1)

На основании второго закона Кирхгофа

                                                              (3.2)

Пользуясь уравнениями (3.1), исключим из уравнений (3.2) токи  и  всех ветвей дерева, общих для нескольких контуров;

  в результате получим:      (3.3)

В соответствии с уравнениями (3.3) можно принять, что каждый из токов  и  замыкается через соответствующую ветвь связи в одном из контуров (рисунок 3.1 а и б) и назвать такие токи контурными. Напряжения на сопротивлениях любого контура равны алгебраической сумме напряжений, обусловленных токами своего и смежных контуров. Например, в контуре из сопротивлений  и  разность э.д.с.  равняется сумме трех напряжений: от собственного контурного тока  на всех сопротивлениях этого контура и от токов  и  соответственно на сопротивлениях  и . Действительные токи в ветвях, общих для нескольких контуров, равны алгебраическим суммам контурных токов

                        , , .              (3.4)

 

                          ,                    (3.5)

В этих уравнениях сопротивление вида  (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура , а сопротивление вида  (с двумя различными индексами) называется общим сопротивлением контуров  и . Правые части уравнений (3.5) называются контурными э.д.с. Каждая из контурных э.д.с. вида  равна алгебраической сумме э.д.с, всех источников в ветвях контура . Положительные знаки в каждом уравнении (3.5) должны быть взяты для токов и э.д.с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

 

3.2  Метод узловых потенциалов

Режим любой цепи полностью характеризуется уравне­ниями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех  ветвях необходимо составить и решить систему уравнений .

Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если пользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома.

Для выяснения сущности этого метода рассмотрим электрическую схему, показанную на рисунке 3.2. Пусть потенциал одного из узлов, например узла 3, принят равным нулю, т.е.. Такое допущение не изменяет условий задачи, так как ток в каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым присоединена ветвь, а от разности потенциалов между концами ветви.

 

Рисунок 3.2

Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 этой схемы при выбранных положительных направлениях токов

                                                                                   (3.6)

Токи в ветвях согласно закону Ома

                                                                     (3.7)

где - потенциалы узлов 1 и 2.

    После подстановки (3.7) в (3.6) и группировки членов получим

                                                                                (3.8)

В этих уравнениях - суммы проводимостей ветвей, присоединенных соответственно к узлам 1 и 2; - сумма проводимостей ветвей, соединяющих эти узлы.

Правая часть каждого из уравнений (3.8) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваемому узлу. Произведение вида Eg записывается с положительным знаком в том случае, если ЭДС направлена к узлу, для которого записывается уравнение, и с отрицательным, если ЭДС направлена от узла.

Уравнения (3.8) не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях.

Таким образом, можно написать уравнения для определения потенциалов узлов произвольной электрической цепи, не задаваясь положительными направле­ниями токов в ветвях, при этом потенциал одного из узлов надо принять равным нулю.

Если электрическая схема имеет в своем составе У узлов (У - любое целое число), а потенциал, например, У-го узла принят равным нулю, то для определения У - 1 потенциалов остальных узлов получается У - 1 уравнений

         (3.9)

Или в более общей форме для любого узла р при

                                              (3.10)

В этих уравнениях так же, как и в уравнениях (3.8), проводимость  (с двумя одинаковыми индексами) пред­ставляет собой суммарную проводи­мость ветвей, присоединенных к узлу р, и называется собственной узловой проводимостью этого узла; проводимость с двумя различ­ными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы j и р, и называется общей узловой проводимостью этих узлов. Правая часть каждого из уравнений содержит алгебраические суммы произведений эдс на соответствующие проводимости для всех ветвей, присоединенных к узлу р, ток J р равен алгебраической сумме токов всех источников тока, присоединенных к тому же узлу. В свою очередь, ток - узловой ток - равен алгебраической сумме и токов, определяемых источниками эдс, кото­рые присоединены к узлу р, при этом следует иметь в виду, что для замкну­тых поверхностей сумма всех узловых токов, как это вытекает из первого закона Кирхгофа, равна нулю. К узловым токам можно отнести и уже известные в каких-либо ветвях токи. Проводимости таких ветвей в выражения вида и не входят.

Решив уравнения (3.10), можно определить потенциалы узлов, а зная потенциалы, найти токи во всех ветвях по закону Ома.

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками эдс и сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (3.10) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие. Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной эдс из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений. В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются.

Для иллюстрации рассмотрим схему (рисунок 3.4), у которой сопротивление ветви 2-4 равно нулю, а эдс равна Е. Если в каждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включить источник напряжения с эдс, равной  Е и направленной от узла 2 (на рисунке 3.4, а эти эдс изображены штриховой линией), то токи во всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциа­лов между точками 1', 3', 4' будут так же, как и в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы, и их можно объединить в одну точку (рисунок 3.4,б). Для полученной схемы с  тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (3.10), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы, после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением r = О (рисунок 3.4,а) по первому закону Кирхгофа.

Рисунок 3.4

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предвари­тельного переноса эдс через узел в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рисунок 3.4, а) , то потенциал узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов нужно составить уравнения (3.10), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рисунок 3.4,б).

Рассмотрим применение уравнений (3.9) для частного случая схемы с двумя узлами и произвольным числом ветвей, все или часть которых содержат источники эдс. Требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено m ветвей (рисунок 3.5). Найдем напряжение , записав уравнение (3.9) для первого узла

Рисунок 3.5

                           откуда                       (3.11)

 где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений эдс на проводимость для всех ветвей, содержащих эдс (с положительным знаком записываются эдс, направленные к узлу 1), а знаменатель - арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.

Если между узлами 1 и 2 включены еще источники тока, то их значения следует добавить в числитель (3.11), причем со знаком плюс записываются токи, направленные к узлу 1.

 4 Лекция 4. Принцип наложения, входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей; коэффициенты передачи напряжений и токов. Теорема об активном двухполюснике и ее применение для расчета разветвленных цепей. Передача энергии от активного двухполюсника пассивному.

 Цель лекции: познакомить с основными преобразованиями линейных электрических цепей.

4.1  Принцип наложения

Каждая э.д.с.  в уравнении (3.5) представляет собой алгебраическую сумму э.д.с. во всех ветвях контура . Если в уравнении (3.5) заменить все контурные э.д.с. алгебраическими суммами э.д.с. ветвей, то получится выражение для контурного тока  в виде алгебраической суммы составляющих  токов,  вызванных  каждой  из  э.д.с ветвей  в отдельности.

 

 

 

  

 Рисунок 4.1

Это чрезвычайно важное свойство носит название принципа наложения и непосредственно следует из линейности уравнений  для цепей с линейными элементами.

В качестве примера, иллюстрирующего принцип наложения, рассмотрим электрическую схему, показанную на рисунке 4.3, для которой, пользуясь методом контурных токов, запишем следующие уравнения

                                                                              (4.1)

где

Из уравнений (4.1) вытекает

                                                                         (4.2)

где

Аналогично определяются токи  и .

Если в выражении (4.2) контурные э.д.с. заменить через э.д.с. ветвей, то получим

                                                       (4.3)

откуда и следует, что ток  равен алгебраической сумме составляющих токов, вызываемых каждой из э.д.с. в отдельности. Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения можно поочередно оставлять в схеме по одной э.д.с., считая все остальные э.д.с. источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления. Действительные токи ветвей определятся как алгебраические суммы токов, вызываемых каждой э.д.с.

 

4.2  Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей

Пользуясь принципом наложения, напишем уравнение для тока в любой ветви, например , линейной электрической цепи в виде

                                            (4.4)

В этом уравнении ток  обозначает ток ветви , а ,  и т. д. -э.д.с. соответственно в первой, второй и так далее ветвях. При этом если положительное направление для тока  выбрано совпадающим с направлением э.д.с. , то составляющие токов в той же ветви вида , создаваемые э.д.с. других ветвей, могут иметь отрицательные знаки.

В уравнении (4.4) множители при э.д.с. имеют размерность проводимости. Поэтому каждый из множителей с двумя одинаковыми индексами вида  называется входной проводимостью ветви , а величина, обратная входной проводимости, - входным сопротивлением  той же ветви. Любой из множителей с двумя различными индексами  называется взаимной проводимостью ветвей  и , а величина, обратная взаимной проводимости, - взаимным сопротивлением  тех же ветвей.

Численные значения входных и взаимных проводимостей и сопротивлений ветвей могут быть определены следующим путем. Приравняем в рассматриваемой схеме все э.д.с., кроме , нулю. Тогда ток , откуда

                                                                                          (4.5)

Следовательно, входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к э.д.с. в этой ветви при равных нулю э.д.с. в остальных ветвях, а входное сопротивление ветви обратно входной проводимости.

Электродвижущая сила , включенная в ветвь , вызывает в общем случае токи во всех ветвях и, в частности, в ветви . Ток в ветви  определяется по уравнению, аналогичному (4. 5), при равных нулю всех э.д.с., кроме , т.е. откуда

                                                                            (4.6)

Отметим, что , как это непосредственно следует из свойства взаимности.

Таким образом, взаимная проводимость двух любых ветвей определяется отношением тока в одной ветви к э.д.с., в другой при равных нулю э.д.с. в остальных ветвях, а взаимное сопротивление двух ветвей обратно взаимной проводимости тех же ветвей.

В общем случае входная проводимость некоторой ветви равна сумме взаимных проводимостей данной ветви и каждой из остальных ветвей, присоединенных к одному из двух узлов, к которым присоединена эта ветвь. 

4.3  Теорема об активном двухполюснике и ее применение для расчета разветвленных цепей

Выделим в электрической цепи одну ветвь  с сопротивлением , присоединенную в точках  к активному двухполюснику (рисунок 5.1). Покажем, что для расчета тока  в ветви  активный двухполюсник можно заменить источником э.д.с. и пассивным двухполюсником. Чтобы найти э.д.с. источника,разомкнем цепь между точками  и    (рисунок 4.3,а) и определим

 

 

Рисунок  4.2

разность потенциалов  опытным или расчетным путем. Затем подключим к точкам  и  источник с э.д.с. , направленной навстречу U_x (рисунок 4.3,б); ток в ветви  останется равным нулю, так как при этом разность потенциалов любых двух точек не изменилась. Схема, показанная на рисунке 4.3,б, отличается от заданной (рисунок 4.2) тем, что в ней между точками  и  включен источник э.д.с.  и ток в ветви  равен нулю. Эта схема будет эквивалентна заданной, если между точками  и  ввести еще одну э.д.с. , противоположно направленную э.д.с.  (рисунок 4.3, в).

 

 

 

 

 

 Рисунок 4.3

По принципу наложения ток  в ветви эквивалентной схемы (рисунок 4.3,е), а значит и заданной (рисунок 4.2), найдем как алгебраическую сумму токов, создаваемых каждым из источников. Но все источники, находящиеся внутри активного двухполюсника, совместно с источником э.д.с.  не вызывают тока в ветви (рисунок 4.3,б). Поэтому ток в ветви , создаваемый одним источником э.д.с.  (рисунок 4.3,г), равен действительному току в этой ветви (рисунок 4.2)

                                                                                                    (4.7)

где  - входное сопротивление пассивного двухполюсника, получающегося из заданного активного после того, как все э.д.с. источников напряжения и все токи источников тока приняты равными нулю. В частности, при , т. е. при коротком замыкании ветви , , т. е. входное сопротивление активного двухполюсника можно определить как отношение напряжения холостого хода к току короткого замыкания

Формулу (4.7) можно еще записать так

                                                                                                         (4.8)

Сопротивление  в общем случае может быть входным сопротивлением пассивного двухполюсника, присоединенного к зажимам  заданного активного двухполюсника.

Уравнение (4.8) представляет собой математическое выражение теоремы об активном двухполюснике, называемой также теоремой об эквивалентном генераторе. Эту теорему можно формулировать следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с э.д.с, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится. Остановимся теперь на применении теоремы об активном двухполюснике и принципа наложения для расчета разветвленных электрических цепей.

Рассмотрим схему на рисунке 4.4, в которой требуется определить токи во всех ветвях при заданных э.д.с. источников, напряжении  и сопротивлениях ветвей.    

  

 

 

 

  

Рисунок 4.4

Разомкнем ветвь с сопротивлением  (рисунок 4.5,а) и определим ток  из уравнения   и ток  из уравнения

Зная токи  и , вычислим напряжение  по формуле

 

 

 

 

 

Рисунок 4.5

Затем положим э.д.с.  и  и напряжение , равными нулю, и включим в ветвь с сопротивлением  источник с э.д.с.  (рисунок 4.5,б), а затем найдем токи во всех ветвях. Входное сопротивление двухполюсника  на зажимах  и  (ветви с сопротивлением )  .

Ток 

Токи в остальных ветвях

Токи в ветвях заданной схемы (рисунок 4.4)  определяются при помощи принципа наложения:

 

4.4 Передача энергии от активного двухполюсника пассивному

Для исследования передачи энергии от активного двухполюсника к пассивному вернемся к эквивалентной схеме, показанной на рисунке 4.3,д, и будем считать, что  - входное сопротивление активного двухполюсника (источника энергии) и  - эквивалентная э.д.с. - остаются постоянными, а -входное сопротивление пассивного двухполюсника - может принимать любое значение.

Мощность пассивного двухполюсника определяется выражениями

                                       ,                                     (4.9)

                                                                                                              (4.10)

где  - мощность, развиваемая эквивалентным активным двухполюсником;

                    - мощность потерь в сопротивлении .

Для определения тока , при котором мощность  максимальна, найдем производную от  по  из уравнения (4.9) и приравняем ее нулю

откуда искомый ток

[уравнением (4.10) пользоваться нельзя, так как его правая часть содержит две переменные:  и ]. Но в общем случае (рисунок 4.3,д) ток . Значит, мощность максимальна при             

                                                                                                                    (4.11)

т.е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников.

По формуле (4.10) при  мощность

                                                                                                  (4.12)

Отношение мощности  пассивного двухполюсника к мощности , развиваемой эквивалентным активным двухполюсником, называется к. п. д. эквивалентного активного двухполюсника

                                                                  (4.13)

Из выражения (4.13) следует, что при максимальной мощности пассивного двухполюсника к.п. д. равен 0,5. Более высокие значения к.п.д. будут при .

Электрические цепи однофазного синусоидального тока.

5 Лекция 5. Синусоидальные электрические величины, генерирование синусоидальной э.д.с., среднее и действующее значение функции. 

Цель лекции: усвоить основные понятия о синусоидальных токах и напряжениях. Усвоить особенности протекания тока в основных элементах    

5.1 Синусоидальные электрические величины

          Электромагнитный процесс в электрической цепи, при котором мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени, называется  периодическим. Наименьшее время, по истечении которого мгновенные значения периодической величины повторяются, называется периодом Т.

          Величина, обратная периоду, т. е. число периодов в единицу времени, называется  частотой

                                                                 .    

          Частота имеет размерность 1/сек, а единицей измерения частоты служит герц ( гц ); частота равна 1 гц, если период равен 1 сек.

          Преобладающим видом периодического процесса в электрических цепях является синусоидальный режим, характеризующийся тем, что все напряжения и токи являются синусоидальными функциями одинаковой частоты. На рисунке 5.1 изображена синусоидальная функция

                                                      ,                                              (5.1)

здесь - максимальное значение, или амплитуда;

 - скорость изменения аргумента (угла ), называемая угловой частотой; она равна произведению частоты на 2              

                                            , рад/сек ;                                                      (5.2)

- начальная фаза, определяемая величиной смещения синусоиды относительно начала координат; она измеряется абсциссой точки перехода отрицательной полуволны в положительную.Начальная фаза представляет собой алгебраическую величину. Угол  положителен и отсчитывается вправо к точке t = 0, когда синусоидальная функция смещена влево относительно  начала координат ( рисунок 5.1).

 

                                                       Рисунок 5.1

Среднее значение периодической функции  за период Т определяется по формуле

                                                        .                                     (5.3)

В случае синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю, так как площадь положительной полуволны компенсируется площадью отрицательной по­луволны синусоиды. Поэтому здесь пользуются понятием среднего значения функции, взятой по абсолютной вели­чине, или что то же, среднего полупериодного значения, соответствующего положительной полуволне синусоиды.

В соответствии с этим среднее значение синусоидаль­ного тока с амплитудой  А = Iт будет

             .                      (5.4)

           Аналогично среднее значение синусоидального напряжения

                                                  .                                               (5.5)                                       

Действующее значение периодической функции  вычисляется по формуле

                                                                                         (5.6)

       В соответствии с (5.6) действующее значение периодического тока

                                                                                                           (5.7)

Возведя (5.7) в квадрат и умножив обе части полученного выражения на rT, найдем                                                

Это равенство показывает, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоян­ному току, который, проходя через неизменное сопротив­ление r, за период времени Т выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.

Аналогично действующее значение периодического напряжения

                                                                                               (5.8)

При синусоидальном токе

                              

Следовательно, согласно (5.7)

                                                                                      (5.9)

аналогично действующее значение синусоидального напряжения

                                                                                      (5.10)

Номинальные токи и напряжения электротехнических устройств определяются, как правило, действующими значениями; поэтому действующие значения представля­ют наиболее распространенный электрический параметр.

 

5.2 Синусоидальный ток в сопротивлении    

Если синусоидальное напряжение  подвести к сопротивлению r (рисунок 5.2, а), то через сопро­тивление пройдет синусоидальный ток   

                                                

Рисунок 5.2

Следовательно, напряжение на зажимах сопротивле­ния и ток, проходящий через это сопротивление, имеют одинаковую начальную фазу или, как говорят, совпа­дают по фазе: они одновременно достигают своих амплитудных значений ии соответственно одно­временно проходят через нуль   (рисунок 5.2,б).

Разность начальных фаз двух синусоид, имеющих одинаковую частоту, называется фазовым сдви­гом. В данном случае фазовый сдвиг между напряже­нием и и током i равен нулю

При прохождении синусоидального тока через сопро­тивление r не только мгновенные значения напряжения на сопротивлении и тока в нем, но и амплитуды и соот­ветственно действующие значения напряжения и тока связаны законом Ома                           

Пользуясь величиной проводимости g =1/r, получаем

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление

                                      (5.11)

изменяется с угловой частотой, удвоенной по сравнению с частотой напряжения и тока, и колеблется в пределах от 0 до 2UI .

Среднее значение мощности за период Р =  называется активной мощностью и измеряется в ваттах. В рассматриваемом случае активная мощность Р = UI =r1².

5.3 Синусоидальный ток в индуктивности

Пусть через индуктивность L  (рисунок 5.3, а) проходит ток

Электродвижущая сила самоиндукции определяется по формуле

                                     (5.12)

Значит, напряжение на индуктивности

                                                                       (5.13)

Полученное выражение показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол максимум напряжения смещен влево относительно максимума тока на  (рисунок 5.3,б), когда ток проходит через нуль, напряжение достигает положительного   или отрицательного максимума, так как оно про­порционально скорости изменения тока (di/dt), которая в момент про­хождения тока через нуль максимальна (синусоида тока в этот мо­мент имеет наибольшую крутизну). Когда ток достигает максимума, скорость его изменения, а следовательно, и напряжение на    индуктивности обращаются в нуль.

Рисунок 5.3.

Фазовый сдвиг равен

          Амплитуда так же, как и действующие значения напряжения и тока, связаны соотношением, подобным закону Ома

                                                                                    (5.14)

          Величина , имеющая размерность сопротивления, называется индуктивным сопротивлением; обратная ей величина  называется индуктивной проводимостью

                                                                                                  (5.15)

     Индуктивное сопротивление представляет собой рас­четную величину, с помощью которой учитывается явле­ние самоиндукции.

Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет

.

Рисунок 5.4

Она колеблется по синусоидальному закону с угловой частотой  , имея амплитуду UI. Мгновенная мощность в данном случае равна скорости изменения энергии маг­нитного поля индуктивности.

Энергия магнитного поля индуктивности

                                                 (5.16)

изменяется периодически с угловой частотой  в пределах от 0 до     

Поступая от источника, энергия временно запасается в магнитном поле индуктивности, затем возвращается в источник при исчезновении магнитного поля. Энергия магнитного поля достигает максимума в момент перехо­да тока в индуктивности через амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при токе, рав­ном нулю.

Таким образом, происходит колебание энергии между источником и индуктивностью, причем активная мощ­ность, поступающая в индуктивность, равна нулю.

 

5.4 Синусоидальный ток в емкости

Пусть напряжение на емкости С (рисунок 5.5, а) сину­соидально:

Рисунок 5.5

 

      Ток в емкости

                                                     (5.17)

Изменение электрического заряда происходит по си­нусоидальному закону в соответствии с приложенным напряжением и. Величина тока определяется скоростью изменения заряда на емкости (dq/dt).

Выражение (5.17) показывает, что ток i опережает приложенное напряжение и на угол   (рисунок 5.5,б). Нулевым значениям тока соответствуют максимальные (положительные или отрицательные) значения напряже­ния и. Физически это объясняется тем, что когда электри­ческий заряд q и соответственно напряжение и = q/C до­стигают максимального значения (положительного или отрицательного), ток i равен нулю.

         Разность начальных фаз напряжения и тока, т. е. . Таким образом, в от­личие от цепи с индуктив­ностью, где , фа­зовый сдвиг тока относи­тельно напряжения в слу­чае емкости отрицателен ().

Амплитуды и соответственно действующие значения напряжения и тока связа­ны соотношением, подобным закону Ома

                                                                                   (5.18)

Величина , имеющая размерность сопротив­ления, называется емкостным сопротивлени­ем. Обратная ей величина  называется емко­стной проводимостью. Следовательно,

                                                                                                 (5.19)

Мгновенная мощность, поступающая в емкость,

                            (5.20)

колеблется синусоидально с угловой частотой  , имея амплитуду, равную UI; выражение   в рассматривае­мом случае аналогично выражению для .

          Мгновенная мощность, поступающая в емкость, равна скорости изменения энергии электрического поля емко­сти, которая равна

                                             (5.21)

и изменяется периодически с угловой частотой   в пределах от 0 до  

Рисунок 5.6

Поступая от источника, энергия временно запасается в электрическом поле емкости, а затем возвращается в источник при исчезновении электрического поля.

Энер­гия электрического поля достигает максимума при ам­плитудном значении напряжения на емкости. Затем она убывает и обращается в нуль при напряжении, равном нулю.

Таким образом, так же как в случае индуктивности, происходит колебание энергии между источником и ем­костью, причем активная мощность Р = 0.

 

6 Лекция 6. Основы комплексного метода расчета цепей синусоидального тока. Последовательное и параллельное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

Цель лекции: познакомиться с применением метода комплексных амплитуд.

6.1 Представление синусоидальных функций в виде векторов

Известно, что каждая точка на комплексной плоско­сти определяется радиус-вектором этой точки, т. е. вектором, начало которого совпадает с началом коорди­нат, а конец находится в точке, соответствующей задан­ному комплексному числу.

Рисунок 6.1

Пользуясь показательной или полярной формой запи­си комплексного числа, имеем

                                                             

здесь А - модуль;  - аргумент или фаза; .      Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи комплексного числа

или соответственно алгебраическую форму

где                                                 

Рисунок 6.2

 Очевидно,

                               

Вектор, вращающийся в положительном направле­нии, т. е. против хода часовой стрелки, с угловой скоро­стью  может быть выражен следующим образом

                                                                                                      (6.1)

где   - комплексная амплитуда, представляющая данный вектор в момент t = О (рисунок 6.2). Иначе говоря, это комплексная величина, не зависящая от времени, модуль и аргумент которой рав­ны соответственно амплитуде и начальной фазе заданной синусоидальной функции.

Записывая комплексную функцию (6.1) в тригономет­рической форме

                                             

заключаем, что синусоидальная функция  может рассматриваться как мнимая часть комплексной функции (6.1), взятая без множителя j, или что то же, как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

           Условно это записывается так                                 

                                                      

Символ Im обозначает, что берется мнимая часть комплексной функции.

Если синусоидальные функции имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим функциям векторы вращаются с одинаковой угловой скоростью и поэтому углы между ними сохраняются неизменными.

На рисунке 6.3, а показаны две синусоидальные функции:   и   имею­щие одинаковую угловую частоту   .  Функция  опережает по фазе функцию  ,  причем фазовый сдвиг равен разности начальных фаз

Рисунок 6.3

       Этот угол и образуют между собой векторы, показан­ные на рисунке 6.3, б.

При равенстве начальных фаз, т. е. при фазовом сдви­ге, равном нулю, векторы направлены в одну и ту же сторону (совпадают по фазе). При фазовом сдвиге 180⁰ векторы направлены в диа­метрально противоположные стороны (находятся в противофазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной ориентации по фазе, называется векторной диаграммой.

 

6.2 Последовательное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

Рисунок 6.4

Рассмотрим применение метода комплексных амплитуд в случае последовательного соеди­нения элементов r, L и С (рисунок 6.4).Положим, что в уравнении Кирхгофа

                                                                                                 (6.2)                                                        

заданными являются параметры r, L, С и синусоидаль­ное напряжение  на зажимах цепи, а искомой величиной является ток i. Ввиду того что здесь рассматривается установившийся режим цепи синусо­идального тока, решение этого дифференциального урав­нения должно дать синусоидальную функцию вида

                                                        

где  - пока неизвестные амплитуда и началь­ная фаза тока.

Пусть за­данное синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией ,а искомый синусоидаль­ный ток—комплексной функцией комплексные амплитуды напряжения и тока равны соответственно

                                                  

Сложение, дифференцирование и интегрирование си­нусоидальных функций в уравнении (6.2) заменяются теми же математическими операциями над комплексными функциями

                                                                  (6.3)

В результате сокращения всех частей уравнения (6.3) на множитель  получается алгебраическое комплекс­ное уравнение

                                                                                      (6.4)

Ток  может быть вынесен за скобки. При этом вво­дится условное обозначение для комплексного сопротивления рассматриваемой электрической цепи

                                                                                      (6.5)                                                         

Таким образом, получается уравнение

                                                                                                                (6.6)

выражающее закон Ома для комплексных амплитуд.

Разделив обе части уравнения (6.6) на , получим закон Ома для комплексных действующих значений

                                                                                                                    (6.7)

Следовательно, комплексное сопротивление электри­ческой цепи равно отношению комплексного напряжения на зажимах данной цепи к комплексному току в этой цепи.

Комплексное сопротивление Z представлено в выра­жении (6.5) в алгебраической форме. Та же величина в тригонометрической и показательной (полярной) фор­мах имеет вид

                                                                       (6.8)

Здесь  - модуль комплексного числа Z— представляет собой полное сопротивление цепи, а   — ар­гумент комплексного числа Z

                                                                                           (6.9)

На основании (6.6) комплексная амплитуда тока

                                                 

где   - начальная фаза тока. Следовательно, иско­мый ток в тригонометрической форме

                                       

На рисунке 6.5 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.4). Рисунок 6.5, а относится к случаю, когда реактивное сопротивление це­пи имеет индуктивный характер (х>0) и соответствен­но ток отстает по фазе от напряжения (>0). Рисунок 6.5,б относится к случаю, когда реактивное сопротивле­ние цепи имеет емкостный характер (х<0), и поэтому ток опережает по фазе напряжение (<0).

Рисунок 6.5

В случае чисто реактивной цепи (r = 0) ток отстает от напряжения по фазе на , если сопротивление цепи индуктивно, и опережает напряжение на   при емкост­ном сопротивлении цепи.

Как видно из векторных диаграмм, приведенных на рисунке 6.5,  — напряжение на сопротивлении r (сов­падает по фазе с током ), —напряжение на индуктивности L (опережает ток   на угол  ) и   — напряжение на емкости С (отстает от тока I на угол ).

Геометрическая сумма векторов   дает век­тор приложенного к цепи напряжения

6.3 Параллельное соединение сопротивления, индуктивности и емкости

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов r, L и С (рисунок 6.6), приложено синусоидальное напряжение , то синусоидальный ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме синусоидальных токов в парал­лельных ветвях (первый закон Кирхгофа):

Рисунок 6.6

Ток   в сопротивлении r совпадает по фазе с напря­жением и, ток    в индуктивности L отстает, а ток   в емкости С опережает напряжение на   (рисунок 6.7).

Следовательно, суммарный ток  i  в цепи равен

                                        (6.10)

Уравнение (6.10) представляет собой тригонометри­ческую форму записи первого закона Кирхгофа для мгно­венных значений токов. Входящая в него величина   называется реактивной про­водимостью цепи, которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b>0) или емкостный (b<0) характер. В отличие от реактивной проводимости Ь вели­чина g = 1/r, которая в данном случае называется ак­тивной проводимостью, всегда положительна.

Перейдем  к комплексной форме законов Ома и Кирхгофа для электрической цепи, состоящей из элементов r, L и С, соединенных параллельно.

Рисунок 6.7                                                             

                                                          (6.11)

здесь - ток в сопротивлении r (совпадает по фа­зе с напряжением  );   

           - ток в индуктивности (отстает от напряжения на );                                           

          - ток в емкости (опережает напряжение на ).

Выражение

                                                                           (6.12)

представляет  собой  комплексную  проводи­мость рассматриваемой цепи; g и b—активная и ре­активная проводимости цепи.   

Уравнение                                                                                    (6.13)

выражает закон Ома в комплексной форме. Следователь­но, комплексная проводимость электрической цепи рав­на отношению комплексного тока в данной цепи к комп­лексному напряжению на ее зажимах.

На рисунке 6.8 дана геометрическая интерпретация на комплексной плоскости уравнения (6.11). Рисунок 6.8, а относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет индуктивный характер (b>0) и соответственно ток отстает по фазе от напряжения . Рисунок 6.8, б относится к случаю, когда реактивная проводимость цепи имеет емкостный характер (b<0) и соответственно ток опережает по фазе напряжение ().

Рисунок 6.8

 

7 Лекция 7. Топографические диаграммы. Мощности в цепях синусоидального тока, баланс мощностей

Цель лекции: построение топографических диаграмм, изучить виды мощностей в цепях синусоидального тока

7.1 Топографические диаграммы

Топографическая диа­грамма представляет собой векторную диаграмму, на которой отложены комплексные потенциалы отдельных точек заданной цепи по отношению к одной точке, потен­циал которой принят за нуль. Таким образом, порядок расположения векторов падения напряжения на диаграм­ме строго соответствует порядку расположения элемен­тов цепи на схеме. Конец вектора напряжения на каждом последующем элементе примыкает к началу вектора на­пряжения предыдущего элемента. При таком построении векторной диаграммы напряжений каждой точке элект­рической цепи соответствует определенная точка на топографической диаграмме. Топографическая диаграмма позволяет весьма просто находить напряжения между любыми точками цепи: дей­ствующее значение и фаза искомого напряжения опре­деляются прямой, соединяющей соответствующие точки потенциальной диаграммы.

На рисунке 7.1 изображена схема неразветвленной элек­трической цепи и для нее построена топографическая диаг­рамма напряжений. Направления векторов напряжений на топографической диаграмме увязаны с произвольно вы­бранным направлением вектора тока .

Обход схемы ведется навстречу положительному на­правлению тока . В соответствии с порядком располо­жения в схеме элементов  на диаграмме изо­бражены векторы напряжений

Рисунок 7.1

Начала и концы векторов (рисунок 7.1,б) пронумерова­ны в соответствии с нумерацией точек, принятой на схе­ме (рисунок 7.1, а).

Напряжение между какими-либо двумя точками схе­мы, например, на участке 2—4 схемы, взятое в положи­тельном направлении тока , определяется по топографической диаграмме вектором  , соединяющим точки 2 и 4 диаграммы и направленным на диаграмме от точки 4 к точке 2. Это соответствует известному правилу вычита­ния векторов, согласно которому какой-либо вектор , представляющий собой разность напряжений (или потен­циалов) , направлен от конца вектора   к кон­цу вектора . Итак, вектор напряжения на диаграмме направлен к точке высшего (уменьшаемого) потенциала, а то же напряжение на схеме указывается стрелкой, направленной от высшего потенциала к низшему. Если при построении топографической диаграммы обход схемы совершался бы в положительном направлении тока  , то изменилась бы нумерация начала и конца каждого вектора напряжения на топографической диаграмме, что противоречило бы принятому правилу расстановки индексов при вычитании векторов.

 

7.2 Мощности в цепях синусоидального тока

Мгновенная мощность  в электрических цепях имеет вид

                                                                                                           .                                                            (7.1)

Приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим

 

Рисунок 7.2

                                   (7.2)

Итак, мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока. Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место ( рисунок 7.2), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсник источнику питания.

Среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью.

                                              .                                                (7.3)

Принимая во внимание, что  , из (8.3) получим

                                                                                                                                                           (7.4)

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому, т.е. на входе пассивного двухполюсника .

Интенсивность обмена энергии принято характеризовать наибольшим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора, которое называется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для реактивной мощности имеет вид:

                                                                                                    .                                                                                 (7.5)

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка-) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка-). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вольт-ампер реактивный (ВАр).

В частности, для катушки индуктивности имеем

                                                 ,                                             (7.6)

                                       .                                (7.7)

Из последнего видно, что реактивная мощность для идеальной катушки индуктивности пропорциональна частоте и максимальному запасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для идеального конденсатора.

                                                    .                                                  (7.8)

Помимо понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике широко используется понятие полной мощности

                                                                                                     .                                                          (7.9) 

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением

.                                                                 (7.10)

Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно, что коэффициент мощности  равен косинусу угла сдвига между током и напряжением. Итак,

                                                                                                           .                                                     (7.11)

Активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности

                                                                                ,                                                                                            (7.12) 

где  - комплекс, сопряженный с комплексом .

.

Комплексной мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (рисунок 7.3). Рисунок 7.3 соответствует   (активно-индуктивная нагрузка), для которой имеем:

Рисунок 7.3 

7.3 Баланс мощностей в цепях синусоидального тока

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить критерием правильности расчета электрической цепи.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых активных мощностей, т.е.

                                                                  .                           (7.13)

Баланс соблюдается и для реактивных мощностей

                                                                                  ,                               (7.14) 

где знак “+” относится к индуктивным элементам ,

                “-” – к емкостным .

Умножив (7.14) на “j” и сложив полученный результат с (7.13), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока для комплексных мощностей

                         (7.15)

или                                                                                      (7.16)

                      

8 Лекция 8.Резонанс напряжений, резонанс токов.

Цель лекции: изучить резонансные явления в последовательной и параллельной цепях.

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

8.1 Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

Для цепи на рисунке 8.1  имеет место

 

Рисунок 8.1

                                                    ,                         (8.1)

где

                                  ,                   .                      (8.2)

 

В зависимости от соотношения величин и  возможны три различных случая:

а) в цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке  8.2,а;

 

 Рисунок 8.2

б) в цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рисунке 8.2,б;

в)   - случай резонанса напряжений (рисунок 8.2,в).

Условие резонанса напряжений

                                                                                           .                                                 (8.3)

При этом, как следует из (8.1) и (8.2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0  его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности, в радиотехнике. Однако если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Как показывает анализ уравнения (8.3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (8.3) для резонансной частоты можно записать

                                                                                      .                                            (8.4)

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рисунке 8.3 приведены кривые I(f);  и  для цепи на рисунке 8.1 при U=const.

Рисунок 8.3

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе при резонансе  к входному напряжению и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности, его полосу пропускания .

                                                              ,                                 (8.5)

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

                                                                                       ,                                                       (8.6)

или с учетом (8.4) и (8.5) для можно записать

                                                                        .                                           (8.7)

8.2 Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)

Для цепи рисунка 8.4 имеем

Рисунок 8.4

            ,        (8.8)

где

                                        ; .               (8.9)

В зависимости от соотношения величин  и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

Рисунок 8.5

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке 8.5,а. В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рисунке 8.5,б.   - случай резонанса токов (рисунок 8.5,в).

Условие резонанса токов или

                                                                       .                                                            (8.10)

При этом, как следует из (8.8) и (8.9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности, при отсутствии в цепи на рисунке 8.4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (8.3) и (8.5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (8.4). Однако не следует использовать выражение (8.4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

 

9 Лекция 9. Основные понятия о трехфазных цепях, симметричные режимы трехфазных цепей.

          Цель лекции: рассмотреть основные понятия о трехфазных  цепях и способах их соединения, а также изучить методику расчета симметричных режимов трехфазных цепей.

 

9.1            Соединения звездой и треугольником

          Существуют два основных способа соединения обмоток генераторов, трансформаторов и приемников в трёхфазных цепях: соединение звездой и соединение треугольником. Например, соединение генератора и приемника звездой показано на рисунке 9.1, а соединение треугольником - на рисунке 9.2.

          При соединении звездой (рисунок 9.1) все “концы” фазных обмоток генератора соединяют в одну общую точку. Общие точки обмоток генератора и ветвей звезды приемника называют нейтральными или нулевыми точками, а соединяющий их провод - нейтральным или нулевым проводом. Остальные провода, соединяющие обмотки генератора с приемником, называют линейными.

Рисунок  9.1

Рисунок 9.2

          При соединении треугольником (рисунок 9.2)  фазные обмотки генератора соединяются последовательно таким образом, чтобы “начало” одной обмотки соединялось с “концом” другой обмотки. Общие точки каждой пары фазных обмоток генератора и общие точки каждой пары ветвей приемника соединяются проводами, носящими название линейных проводов.

  Лучи звезды или ветви треугольника приемника называют фазами приемника, а сопротивления фаз приемника - фазными сопротивлениями. Электродвижущие силы, наводимые в фазных обмотках генератора или трансформатора, напряжения на их зажимах, напряжения на фазах приемниках и токи в них называют соответственно фазными э.д.с., напряжениями и токами (Eф, Uф, Iф). Напряжения между линейными проводами и токи в них называют линейными напряжениями и токами (Uл, Iл). При соединении фаз звездой линейные токи равны фазным Iл = Iф. При соединении фаз треугольником линейное напряжение между проводами, присоединенными к одной и той же фазе приемника или источника питания, равно соответствующему фазному напряжению Uл = Uф. Положительные направления токов во всех линейных проводах выберем одинаковыми от источника питания к приемнику, а в нейтральном проводе - от нейтральной точки приемника к нейтральной точке источника питания. Положительные направления э.д.с. и токов в ветвях треугольника источника питания будем обычно выбирать в направлении АСВА, а напряжений и токов в ветвях треугольника приемника - в направлении АВСА (рисунок 9.2).

         Трёхфазную цепь и трёхфазный приемник называют симметричными, если комплексные сопротивления всех фаз одинаковы. В противном случае их называют несимметричными.

Если к симметричной трехфазной цепи приложена симметричная система напряжений, то получается симметричная система токов. Режим трёхфазной цепи, при котором трёхфазные системы напряжений и токов симметричны, называется симметричным режимом.

 

9.2             Симметричный режим трехфазной цепи

 На рисунке 9.3 приведены топографическая диаграмма и векторная диаграмма токов при симметричном режиме для схемы по рисунку 9.1 и индуктивном характере нагрузки (φ >0).

  Ток в нейтральном проводе отсутствует:

  Поэтому при симметричном приемнике нейтральный провод не применяют. Линейные напряжения определяются как разности фазных напряжений

(9.1)

          Из равнобедренного треугольника  АNB  имеем

 или                                     (9.2)

Рисунок 9.3

На рисунке 9.4 приведены векторные диаграммы напряжений и токов при симметричном режиме и  φ >0 для схемы рисунка 9.2.

Линейные токи определяются как разности фазных токов

(9.3)

(1-3)

 Причем                                                                                       (9.4)

Рисунок 9.4

Активная мощность симметричного трехфазного приемника

(9.5)

Принимая во внимание, что при соединении ветвей приемника звездой

а при соединении ветвей приемника треугольником  получим независимо от вида соединения

Следует помнить, что в этом выражении φ - сдвиг по фазе между фазным напряжением и фазным током.

Аналогично для реактивной и полной мощностей симметричного трехфазного приемника имеем

(9.6) (9.7)

 

9.3  Расчет симметричных режимов трехфазных цепей

Для ознакомления с расчетами симметричных режимов рассмотрим порядок расчета токов в симметричной цепи рисунке 9.5. Пусть напряжения на зажимах источника питания симметричны и заданы и пусть известны сопротивления всех-элементов цепи 1, 2, 3 и 4. Для выполнения расчета проще всего преобразовать схему, заменив соединения треугольниками источника питания и элементов  4  на соединения звездами. Сопротивления фаз симметричной звезды в 3 раза меньше сопротивлений фаз эквивалентного симметричного треугольника. Фазные напряжения эквивалентного источника  питания, соединенного звездой, в раз меньше заданных линейных напряжений. Таким образом, получим схему, показанную на рисунке 9.6. Все нейтральные точки в симметричном режиме имеют одинаковый потенциал. Поэтому, не нарушая режима схемы, соединим их проводом без сопротивления (показан пунктиром). Затем удалим из схемы две фазы, например В и С, и перейдем к схеме по рисунку 9.7. Это не изменит режима оставшейся фазы А.

Рисунок 9.5

Рисунок 9.6

Рисунок 9.7

 Действительно, уравнения, составленные по законам Кирхгофа, для узла А' и для контуров   АА'n₁N   и   А'n₂n₁А'  для схем, показанных на рисунках 2.2 и 2.3, одинаковы, а следовательно, токи и напряжения в фазе А обеих схем также одинаковы. Токи в фазе А легко рассчитывают по однофазной схеме (рисунок  9.7), например, методом ее дальнейшего преобразования - заменой параллельного соединения ветвей   А'n₂   и   А'n₁, эквивалентным сопротивлением. Токи в фазах В и С по модулю такие же, что и в фазе А. Токи в ветвях треугольника   4  в раз меньше токов в элементах 3 (в каждом из элементов любой из групп ток сдвинут по фазе по отношению к токам в других элементах той же группы на равные углы +  или ).

          Для расчета симметричных режимов в сложных разветвленных трехфазных цепях широко применяют моделирование соответствующих однофазных схем.

 

          9.4 Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей со статической нагрузкой

         Анализ процессов в трехфазных электрических машинах (двигателях и генераторах) при несимметричных режимах показывает, что для них справедливы более сложные эквивалентные схемы, не удовлетворяющие принципу взаимности.

          Пусть заданы несимметричные фазные напряжения U_А, U_В   и  U_С на зажимах несимметричного приемника  (рисунок 9.8).

Рисунок 9.8

        Определим токи. Заданные напряжения можно всегда приписать источникам э.д.с. (показаны пунктиром)

В схеме два узла, поэтому целесообразно применить для расчета метод узловых потенциалов. Обозначая напряжение между нейтральными точками приемника и источника питания через   U_nN, получаем

(9.8)

 где Y_A , Y_B , Y_C , Y_N - проводимости ветвей;

(9.9)

В предельном случае при имеем    и, следовательно, напряжения на фазах приемника равны фазным напряжениям источника питания. При этом условии ток в каждой фазе может быть подсчитан по закону  Ома независимо от токов остальных фаз.

          При отсутствии нейтрального провода расчет можно вести в таком же порядке. Изменится лишь выражение для напряжения   U_nN,  поскольку   Y_N = 0,  а именно:

(9.10)

          Однако обычно при отсутствии нейтрального провода бывают заданы не фазные, а линейные напряжения на зажимах цепи. Сумма линейных напряжений равна нулю, как сумма напряжений вдоль замкнутого контура, соединяющего зажимы А, В и С

          Учитывая эту связь, достаточно задать два линейных напряжения. Можно, например, их задать двумя источниками напряжения (рисунок 2.5) с э.д.с.

         

Рисунок 9.9

Тогда, принимая во внимание, что потенциалы точек   N   и   А   одинаковы, имеем

(9.11)

         

10  Лекция 10. Линейные и круговые диаграммы в трехфазных цепях. Метод симметричных составляющих

 

          Цель лекции: рассмотреть построение линейных и круговых диаграмм в трехфазных цепях, рассмотреть симметричные составляющие трёхфазной системы и их свойства.

 

10.1 Линейные и круговые диаграммы в трехфазных цепях

          Пусть приемник соединен звездой. Проводимости фаз

          Фазные напряжения при заданных линейных напряжениях определяются на топографической диаграмме положением нейтральной точки.

          Рассмотрим некоторые частные случаи.

Симметричный приемник при несимметричных линейных напряжениях.

При        вектор напряжения

Рисунок  10.1

равен одной трети диагонали параллелограмма (рисунок 10.1). Отсюда следует, что нейтральной точке на топографической диаграмме соответствует центр тяжести треугольника линейных напряжений.

 Приемник с однородными сопротивлениями фаз (Y_A=Y_B=Y_C), одно из которых изменяется.

          При проводимости Y_A, изменяющейся от 0 до , получим:

          В этом выражении все величины постоянны, кроме у_А. При изменении У_А аргумент Un_A остается неизменным, следовательно, направление вектора Un_A сохраняется, а длина его изменяется. Конец вектора Un_A описывает прямую линию (получается линейная диаграмма). Для построения этой прямой достаточно найти любые две точки, через которые она проходит.  При У_А=  (Z_A= 0)  имеем  Un_A= 0 и точка n совпадает на топографической диаграмме с точкой А (рисунок  10.2).

Рисунок  10.2

          При   у_А = 0 (Z_A=  )получим   I_A= 0;   I_B= -I _{C .}

Поэтому

          Отсюда видно, что U_Bn и U_Cn отличаются по фазе на 180^о, следовательно, точка n находится на отрезке, соединяющем точки В и С. Ее положение на этом отрезке определяется отношением  Z_B/Z_C (на рисунке 10.2 положение точки n при  У_А = О показано для случая, когда  Z_B/Z_C= 2). Прямая, соединяющая точки А и n (У_А = О), представляет геометрическое место, описываемое точкой n при изменении У_А  от 0 до .

Приемник с неоднородными сопротивлениями фаз , одно из которых изменяется. Пусть  y_B = y_C = g ,  y_A= ib_C причем b_C изменяется от  0 до .
                    Тогда

где 

         

Геометрическим местом, описываемым точкой   n  при изменении  b_C, будет круговая диаграмма. Выполним eе построение при симметричных линейных напряжениях.

Рисунок 10.3

На топографической диаграмме (рис.10.3) эти напряжения представлены равносторонним треугольником  АВС. Отложим хорду диаграммы  U_DA. Началом круговой диаграммы является точка А, она соответствует  b_C = , при этом вектор  U_nA обращается в нуль. Конец хорды находится в точке D. Хорда  АD  соответствует вектору   U_nA при значении переменного параметра  b_C = 0  аналогично тому, как вектор  М_o, представляет собой  М  при  n = 0. Выбрав масштаб для проводимостей m_y, отложим от начала хорды (точка А) по направлению к ее концу (точка D) отрезок   AF, равный  2g, и затем из точки F под углом -  =-90^o к  хорде  АD  проведем линию изменяющегося параметра  FL. Перпендикуляр, опущенный из начала диаграммы (из точки А) на линию изменяющегося параметра, совпадает с хордой и пересекается с перпендикуляром, восстановленным к середине хорды, в середине хорды.

Рисунок 10.4

Таким образом, центр круговой диаграммы находится в середине хорды, которая в данном случае является диаметром. На топографической диаграмме показано положение точки   n  в частном случае, когда   B_C = g.         

Напряжения   U_Bn  и  U_Cn  на одинаковых сопротивлениях в фазах   В и C  получаются неодинаковыми. Если в качестве сопротивлений взять лампы, то лампа в фазе В будет светить ярче, чем в фазе  С. Поэтому две лампы и конденсатор, включенные по схеме рисунок 10.4, а, применяют как указатель последовательности фаз. Напряжение на лампе, которая светит ярко, опережает по фазе напряжение на лампе, которая светит тускло.

                 

10.2 Симметричные составляющие трехфазной системы величин

Метод симметричных составляющих относится к специальным методам расчета трехфазных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с динамической нагрузкой. В основе метода лежит представление несимметричной трехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений ) в виде суммы трех симметричных систем, которые называют симметричными составляющими. Различают симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз. Симметричную систему прямой последовательности образуют ( рисунок 10.5,а) три одинаковых по модулю вектора и со сдвигом друг по отношению к другу на рад., причем отстает от , а - от .

Введя оператор поворота , для симметричной системы прямой последовательности можно записать

.

Симметричная система обратной последовательности образована равными по модулю векторами и с относительным сдвигом по фазе на рад., причем теперь отстает от , а - от ( рисунок 10.5,б). Для этой системы имеем.

 

    

                                                 Рисунок 10.5

        Система нулевой последовательности состоит из трех векторов, одинаковых по модулю и фазе           ( рисунок 10.5,в):

При сложении трех указанных систем векторов получается несимметричная система векторов. Любая несимметричная система однозначно раскладывается на симметричные составляющие.

;

(10.1)

 

;

(10.2)

 

.

(10.3)

Таким образом, получена система из трех уравнений относительно трех неизвестных , которые, следовательно, определяются однозначно. Для нахождения сложим уравнения (10.1)…(10.3). Тогда, учитывая, что , получим

(10.4)

Для нахождения умножим (10.2) на , а (10.3) – на , после чего полученные выражения сложим с (10.1). В результате приходим к соотношению

(10.5)

Для определения с соотношением (10.1) складываем уравнения (10.2) и (10.3), предварительно умноженные соответственно на и . В результате имеем:

(10.6)

Формулы (10.1)..(10.6) справедливы для любой системы векторов , в том числе и для симметричной. В последнем случае .

Рассмотрим четырехпроводную систему на рисунке 5.3.

Для тока в нейтральном проводе имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 10.6

Тогда

,

(10.7)

т.е. ток в нейтральном проводе равен утроенному току нулевой последовательности.

Если нейтрального провода нет, то и соответственно нет составляющих тока нулевой последовательности.

Поскольку сумма линейных напряжений равна нулю, то в соответствии с (10.7) линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

 

10.3 Сопротивления симметричной трехфазной цепи для токов различных последовательностей

Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательностей, то в ней возникает симметричная система токов прямой (обратной или нулевой) последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой (обратной или нулевой) последовательности к соответствующим симметричным составляющим токов называется комплексным сопротивлением прямой

,

обратной

и нулевой

последовательностей.

Исходной схеме на рисунке 10.7,а соответствуют расчетные однофазные цепи для прямой и обратной последовательностей (рисунок 10.7,б) и нулевой последовательности (рисунок 10.7,в).

Рисунок  10.7

 

11 Лекция 11. Несинусоидальные э.д.с., напряжения и токи, разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд.

 

Цель лекции: рассмотреть основные понятия  о несинусоидальных э.д.с., напряжениях и токах.

 

11.1 Несинусоидальные э.д.с., напряжения и токи. Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд.

На практике кривые э.д.с., напряжений и токов бывают обычно в большей или меньшей степени отличны от постоянных или синусоидальных. Зависимость тока или напряжения от времени может быть периодической, почти периодической и непериодической.

Явления в линейных цепях при периодических несинусоидальных сигналах проще всего поддаются исследованию, если кривую  разложить в тригонометрический ряд Эйлера – Фурье. Как известно, всякая периодическая функция , удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд

   (11.1)

где при k=0

 

 Первый член ряда  называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член  - основной синусоидой или первой гармоникой, а все остальные члены вида  при k>1 носят название высших гармоник;  - основная частота; Т – период несинусоидальной периодической функции.

    Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих, или гармоник, записывается и в иной форме

                                                 (11.2)

    Здесь  

    Коэффициенты ,  и  могут быть вычислены при помощи следующих интегралов

                                                        (11.3)

    Постоянная составляющая  равна среднему значению функции f(t) за ее период .

    Зная коэффициенты ряда (11.2), легко перейти к форме (11.1), подсчитывая

 и                                                   (11.4)

    Вводя условно отрицательные частоты, т.е. переходя к суммированию по k от  до , можно придать ряду (11.2) более компактный вид (где, по существу, каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):

                                               (11.2a)

    Постоянная составляющая в этом выражении получается при k=0 , что соответствует выражению (11.3), так как

   

11.2 Максимальные, действующие и средние значения несинусоидальных периодических э.д.с., напряжений и токов.

 Периодически изменяющаяся несинусоидальная величина  помимо своих гармонических составляющих характеризуется тремя величинами:

Максимальным значением за период , средним квадратичным за период или действующим значением

                                                                                      (11.5)

и средним по модулю значением

 

                                                                                  (11.6)

При несинусоидальных периодических процессах, как и при синусоидальных, обычно под значением э.д.с., тока или напряжения понимают действующее значение.

                                                                                          (11.7)

    Таким образом, действующее значение периодической несинусоидальной величины зависит только от действующих значений ее гармоник и не зависит от их фаз .

Если, например, напряжение и состоит из ряда гармоник , , и т.д., действующие значения которых , ,  и т.д., то действующее напряжение

                                    .                                    (11.8)

Аналогично для тока

                                  .                                            (11.9)

 

11.3 Расчет цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с. и токами

Если в линейной цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических э.д.с. или токов, то расчет такой цепи распадается на три этапа.

1.Разложение э.д.с. или токов источников на постоянную и несинусоидальные составляющие (получение дискретного спектра).

2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности.

3. Совместное рассмотрение решений,                               Рисунок 11.1

полученных для каждой из составляющих.

 Рассмотрим второй этап, представляющий собой основную часть расчета цепей с  несинусоидальными э.д.с. и токами.

Если, например, несинусоидальная э.д.с. представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих, то источник несинусоидальной э.д.с. можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной э.д.с. и источников синусоидальных э.д.с. с различными частотами. Так, если э.д.с. (рисунок 11.1, а)

                               (11.10)

то действие источника такой э.д.с. аналогично действию трех последовательно соединенных источников э.д.с. (рисунок 11.1,б)

                                                             (11.11)

Применяя принцип наложения и рассматривания действия каждой из составляющих э.д.с. в отдельности, можно найти составляющие токов во всех участках цепи.

Мгновенное значение тока в цепи равно сумме мгновенных значений составляющих токов. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые э.д.с. ,  и , соответственно равны ,  и , то общий ток

    ,                                                                         (11.12)

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными э.д.с. сводится к решению n задач с синусоидальными э.д.с., где n – число синусоидальных составляющих э.д.с. различных частот, и одной задачи с постоянным э.д.с.

При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для й гармоники в  раз больше, а емкостное, наоборот, в  раз меньше, чем для первой:

,                                        (11.13)

Чем больше , тем меньше по величине реактивное сопротивление емкости для этой гармоники. Поэтому при напряжении, близком к синусоидальному, ток в емкости может быть резко несинусоидальным из-за высших гармоник. С увеличением порядка  гармоники индуктивное сопротивление для этой гармоники возрастает. Поэтому  даже при резко несинусоидальной кривой напряжения форма кривой тока через индуктивность нередко приближается к синусоиде.

При расчете каждой из гармоник можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимо суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов различных гармоник.

 

11.4 Мощность периодических несинусоидальных токов

Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как средняя мощность за период

                                                                                             (11.14)

Если мгновенные значения напряжения и тока выразить в виде тригонометрических рядов, то получим

Так как среднее за период значение произведения мгновенных значений синусоид различной частоты равно нулю и тригонометрические ряды абсолютно сходятся при любых частотах , то

или после интегрирования

                                           (11.15)

где

 Из этого выражения следует очень важный вывод, что средняя мощность несинусоидального тока равна сумме средних мощностей отдельных гармоник (постоянная составляющая рассматривается как нулевая гармоника с )

                                                                                               (11.16)

Кроме понятия активной мощности , по аналогии с синусоидальными токами вводится понятие полной мощности , определяемой как произведение действующих значений тока и напряжения

                                                                               (11.17)

    Активная мощность меньше полной; исключение составляет только мощность в цепи, имеющей часто активное сопротивление, когда , и, следовательно, .

    Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности и иногда приравнивают косинусу некоторого условного угла

                                           .                                        (11.18)

Формально можно ввести понятие реактивной мощности, определяемой как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник

                                    .                                        (11.19)

    Для несинусоидальных токов в отличие от синусоидальных квадрат полной мощности обычно больше суммы квадратов активной и реактивной мощностей

                                                                                          (11.20)

 

12. Лекция 12. Четырехполюсники.

Цель лекции: рассмотреть основные понятия четырехполюсников. Расчет четырехполюсников.

 

  12.1 Уравнения четырехполюсника.

Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных зажима. Трансформатор, линию передачи энергии, мосто­вую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсники.

Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника, с выходящими из него концами (полюсами) тп и рд (рис. 12.1,а). Если четырехполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутствует, то это значит, что четырехполюсник пассивный.

Рисунок 12.1

Входной ток обозначают İ₁, входное напряжение U₁ ; ток и напряжение на выходе İ₂ , и U₂.

Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам тп, как правило, присоединяют источник питания, к выходным зажимами—нагрузку.

Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряжение на выходе при работе четырехполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырехполюсника и значения сопротивлений в ней остаются неизменными.

Четы­рехполюсник характеризуется двумя напряжениями U₁ и U₂ и двумя токами İ₁ и İ_2.  Любые две величины из четырех можно определить через остальные. Так как число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то возможны следующие 6 форм записи уравнений пассивного четырех­полюсника:

А-форма                   ,                                                     (12.1)

                                            ,                                                       (12.2)

Y-форма                   ,                                                    (12.3)

                                            ,                                                            (12.4)

Z-форма                  ,                                                      (12.5)

                                            ,                                               (12.6)

H-форма                   ,                                                (12.7)

                                             ,                                              (12.8)

G-форма                  ,                                                    (12.9)

                                             ,                                            (12.10)

B-форма                   ,                                               (12.11)

                                                .                                                                        (12.12)

Обратим внимание на попарную инверсию Y- и Z-форм, A- и В-форм, H- и G-форм.

Исторически сложилось так, что для A-формы (ее будем считать основной) положительные направления для токов и напряжений соот­ветствуют рис. 12.1,a; для Y-, Z-, H-, G-форм— рис. 12.1,б, В-форме—рис. 12.1, в.

Комплексные коэффициенты A, B,C,D в уравнениях (12.1) и (12.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты. Для каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или опытным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением

                                            АD-ВС=1.                                                             (12.13)                     

Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и нагрузки токи в источнике питания н нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике A=D. Уравнения (12.1) и (12.2) иногда записывают так

                                 =A₁₁+A₁₂İ_2,,                                                  (12.1^' )

                                             İ₁=A₂₁+A₂₂İ₂                                                  (12.2 ^' )             

 где A₁₁= A; A₁₂=В; A₂₁= С; А₂₂=D.

Коэффициенты А и D имеют нулевую размерность, коэффициент B имеет размерность Ом, коэффициент С- См.

 

12.2  Т- и П-схемы замещения пассивного четырехполюсника .

Функ­ция пассивного взаимного четырехполюсника как передаточного звена между источником питания и нагрузкой могут выполнять Т-схема (схема звезды рис. 12.2, а) или эквивалентная ей П-схема (схема треугольника рис. 12.2, б). Предполагается, что частота w фиксирована. Три сопротивления Т- или П-схемы подсчитывают с учетом того, что схема замещения должна обладать теми же коэффициентами A, B, C, D, что и заме­няемый ею четырехполюсник. Задача эта однозначна, так как схема замещения содержит три элемента и четырехполюсник характеризуется тоже тремя параметрами (одна связь между А,В, С,D задана уравнением АD-ВС= 1).

                                                     Рисунок. 12.2

Выразим напряжение U₁ и ток İ₁ Т-схемы (рис. 12.2, а) через напряжение U₂ и ток İ₂.

                     ,                                    (12. 14)

           .                      (12. 15)

Сопоставим (12. 1) с (12.14) и (12.2) с (12.15).

Следовательно,

                                                          Z₃=1/C,

                                                    Z₁=(A-1)/C,                                               (12. 16)

                                                          Z₂=(D-1)/C.

 

Формулы (12. 16) позволяют найти сопротивления Z₁, Z₂, и Z₃, (рис. 12.1, а) по коэффициентам четырехполюсника А, С, D. Ана­логичные выкладки для П-схемы (рис. 12.1,6) дают

        B=Z₄ ,            ,                     (12. 17)       

                               Z₄=B,                                                                                 (12. 18)

                               Z₅=B/(D-1),                                                                       (12. 19)

                               Z₆=B/(A-1).                                                                       (12. 20)

Если четырехполюсник симметричный, то А=D и в Т-схеме замещения  Z₁=Z₂, а в П-схеме Z₅=Z₆ .

 

12.3 Характеристические сопротивления четырехполюсников. Постоянная передачи и единицы измерения затухания.

 В случае несимметричного четырехполюсника (A≠D) говорят о двух  характеристических сопротивлениях Z_C1  и Z_C2, где Z_C1  - входное сопротивление со стороны зажимов тп,- когда нагрузка подключена к зажимам рq и равна Z_C2, (рисунок 11.2, а)

,                                                    (12.21)                                                                                             

Рисунок 12.3

Z_C2-входное сопротивление со стороны зажимов рq, когда нагрузка Z_C2 подключена к зажимам тп (рисунок. 12.3, б); при этом коэффициенты А и D меняются местами.                                (12.22)    Совместно решая (12.21) и (12.22), найдем:

                                                         (12.23)                                                                         

       Учитывая, что A/С=Z₁₀, B/D=Z₂, В/А =, D/С = Z₂₀, получим .

                                                     (12.24)                                                            

Если четырехполюсник симметричен (А = D), то Z_C1= Z_C2= Z_C , где Z_C равно входному сопротивлению четырехполюсника, когда он нагружен на Z_C (рис.11.2, в).

Для симметричного четырехполюсника, нагруженного на Z_C,

                       (12.25)

Комплексное число     полагают равным е^g, где

                           g=а +jb=- постоянная передачи.                         (12.26)

Из формулы U₁=U₂e^ae^jb İ₁= İ₂e^ae^jb следует, что модуль U₁ в е^a раз больше модуля U₂, а модуль İ₁ в е^a раз больше модуля İ₂. По фазе U₁ опережает U₂, на угол b, ток İ₁опережает İ₂ также на угол b.

Величина а характеризует затухание четырехполюсника. Едини­цами измерения затухания являются неперы (Нп) и белы (Б). Неперы определены на основе натуральных логарифмов, а белы—на основе десятичных. Затухание в неперах

                                                                                 (12.27)

Если U₁/U₂=e, то затухание равно 1 Нп. Затухание в децибелах

                       а_ДБ =20lg ú U₁/U₂ú .                                                                   (12.28)

Для симметричного четырехполюсника A-форму уравнений (12.1) и (12.2) записывают иногда через гиперболические функции от аргумента g, полагая А=D=сhg, В=Z_Cshg, С =shg/Z_C. При этом

AD-BC= сh²g- sh²g=1 и

                                        U₁=chgU₂+Z_Cshgİ₂,                                     (12.29)

                                                              

 

13 Лекция 13. Электрические фильтры. Назначение и типы фильтров, основы теории фильтров.Трансформаторы.

Цель лекции: изучить  теорию фильтров и трансформаторов и их назначение  в электрических цепях.

 

13.1 Основы теории k-фильтров

Под электрическими филь­трами понимают четырехполюсники, включаемые между источником питания и приемником (нагрузкой), назначение которых состоит в том, чтобы беспрепятственно (без затухания)—пропускать к приемнику токи одних частот и задерживать или пропускать, но с большим затуханием, токи других частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания, называют полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с затуханием,—полосой затухания.

Фильтры обычно собирают по симметричной Т- или -П-схеме .

Известно, что если нагрузка Z_н согласована с характеристическим сопротивлением Z_C четырехполюсника, то напряжение  и ток в нагрузке İ₂ связаны с напряжением U₁ и током İ₁ на входе четырехполюсника следующими соотношениями

Множитель е^-a определяет, во сколько раз модуль напряжения (тока) на выходе фильтра меньше модуля напряжения (тока) на входе фильтра.

Если а=0, то е^-a=е^о=1 и фильтр пропускает колебания без затухания. Таким образом, в полосе прозрачности а=0.

 

 

Рисунок 13.1                                                              Рисунок 13.2

В полосе затухания а>0. Множитель е^-jb , по модулю равный 1, свидетельствует о том, что напряжение       и ток İ₂; отстают соответ­ственно  от и İ₁ на угол b. 

Частоту, являющуюся граничной между полосой прозрачности и полосой затухания, называют частотой среза.

Необходимо отметить два важных положения.

1. С изменением частоты w меняются коэффициенты В и С четы­рехполюсника, поэтому изменяется и характеристическое сопротивле­ние  

               

 

2. В полосе прозрачности характеристическое сопротивление филь­тра всегда активное, а в полосе затухания — чисто реактивное (индук­тивное или емкостное).

Фильтрами НЧ (ФНЧ) называют фильтры, пропускающие в на­грузку лишь низкие частоты: с w₁ =0 до w₂. Полоса их затухания находится в интервале от w₂  до ∞.

Схемы двух ФНЧ приведены на рисунке 13.1, а, б. Характер измене­ния коэффициента затухания а и коэффициента фазы b качественно иллюстрируют кривые  рисунке 13.1, в.

Под фильтрами ВЧ (ФВЧ) понимают фильтры, пропускающие в нагрузку лишь высокие частоты: с w₁ до ∞. Полоса затухания их находится в интервале от 0 до w₁.

Схемы двух ФВЧ приведены на рисунке 13.2, а, б. Характер, изме­нения коэффициентов а и b для них иллюстрируется кривыми рисунка 13.2, в.

Рассмотрим вопрос об изменении величины характеристического сопротивления Z_C в полосе прозрачности для Т-фильтра НЧ (см. рисунок 13.1, а) и для Т-фильтра ВЧ (рисунок 13.2, а), а также для П-фильтров. С этой целью в выражение              подставим значения В и С .

Для Т-фильтра НЧ (смотри рисунок 13.1, а)

 

 

 

Для П-фильтра НЧ (смотри рисунок 13.1, б)

 

                            

Для Т-фильтра ВЧ         (рисунок 13.2, а)

 

 

Для П-фильтра ВЧ (рисунок 13.2, б)

Если фильтр предназначен для работы на частотах, находящихся внутри полосы прозрачности данного фильтра и относительно далеко отстоящих от значения w, при котором Z_C= 0, то сопротивление нагрузки Z_Н на выходе фильтров НЧ выбирают равным Z_C, которое соответствуетw=w₁=0.

Для фильтров ВЧ обычно нагрузку согласовывают со значением Z_C при w®¥.

В полосе (полосах) затухания Z_C  оказывается чисто реактивным для всех типов k-фильтров.

13.2 Трансформаторы

Трансформатор - электромагнитное устройство, служащее для передачи посредством магнитного поля электрической энергии из одной цепи переменного тока в другую без изменения частоты. Трансформатор может повышать его напряжение (повышающий трансформатор), понижать (например, измерительный трансформатор) или передавать энергию при том же напряжении, при каком он ее получил (разделительный трансформатор). Трансформаторы обладают высоким КПД: от 97% при небольших мощностях до свыше 99% при больших.

Трансформатор состоит из магнитопровода, представляющего собой набор пластин, которые обычно изготавливаются из кремнистой стали. На магнитопроводе располагаются две обмотки – первичная и вторичная.

Для анализа различных режимов работы  трансформатор представляют в виде электрической схемы замещения (рисунок 13.3), по которой определяют токи первичной и вторичной обмоток, мощность, потребляемую из сети, потери мощности, КПД и.т.п. В схеме замещения первичная и вторичная обмотки соединены электрически. Такое соединение в схеме становится возможным, если первичная и вторичная обмотка трансформатора имеют одинаковое количество витков. Так как число витков первичной  и вторичной  обмоток могут значительно отличаться, то в схеме замещения реальная вторичная обмотка заменяется некоторой обмоткой с числом витков . Такую вторичную обмотку называют приведенной, а  трансформатор – приведенным трансформатором. Число витков приведенной вторичной обмотки отличается от реального числа витков  в  (коэффициент трансформации) раз:

.                                           (13.1)

ЭДС  и напряжение вторичной обмотки трансформатора так же изменяются в  раз:

,                                                 (13.2)

.                                                  (13.3)

Полная мощность вторичной обмотки  в реальном и приведенном трансформатора не должны отличаться:

.                                          (13.4)

Из выражения (13.4) получим значение приведенного тока вторичной обмотки трансформатора:

.                                             (13.5)

Электрические потери мощности во вторичной обмотке реального и приведенного трансформатора так же должны быть одинаковыми:

.                                            (13.6)

Из (13.6) значение приведенного активного сопротивления вторичной обмотки:

                          .                                                 (13.7)

Приведенное индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки  найдем, исходя из равенства углов  между ЭДС и током во вторичной обмотке реального и приведенного трансформатора.

                                            .                                      (13. 8)

                          

При холостом ходе можно пренебречь падением напряжения в первичной обмотке (U_R1,U_X1). При коротком замыкании можно пренебречь намагничивающей составляющей первичного тока (I₀).

 

Список литературы 

1.К.С.Демирчян, Л.Р.Нейман, Н.В.Коровкин, В.Л. Чечурин. Теоретические основы электротехники. – том 1. – СПб.: Питер, 2003.-463с.

2.Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. Основы теории цепей.- М.: Энергоатомиздат, 1989.-528с.

3.Л.А.Бессонов. Теоретические основы электротехники. – М.: Гардарики, 1999.-638с.

4.Г.В.Бакалов, В.Ф.Дмитриков, Б.Е.Крук. Основы теории цепей.- М.: Радио и связь, 2000.-592с.

5.Л.Д.Бессонов, И.Г.Демидова, М.Е.Заруди и др. Сборник задач по теоретическим основам электротехники. - М.: Высшая школа, 2003.-543с.