Лекция 1 Введение

Некоммерческое акционерное общество общество

Алматинский институт энергетики и связи

Кафедра инженерной графики и прикладной механики

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

Конспект лекций

для студентов всех форм обучения специальности

5B070200 – Автоматизация и управление

Алматы 2010

СОСТАВИТЕЛИ: А.Д.Динасылов, Р.К.Койлыбаева. Прикладная механика. Конспект лекций для студентов всех форм обучения специальности 5B070200 – Автоматизация и управление. – Алматы: АУЭС, 2010. – 56 с.

В конспекте кратко приводятся основные положения, излагаемые в лекционном курсе дисциплины «Прикладная механика» для студентов специальности 5B070200 – Автоматизация и управление. В лекциях 1-4 излагаются основы статики и кинематики, в лекции 5 рассматриваются некоторые вопросы теории механизмов, в лекциях 6-7 изложены начала динамики точки и механической системы. В лекциях 8-12 рассматриваются основы расчетов элементов конструкций на прочность и жесткость.

Ввиду ограниченности объема конспекта многие положения приводятся без выводов, примеры решения задач не рассматриваются, хотя при чтении лекций материал излагается намного шире. Сведений, приведенных в конспекте, явно недостаточно для усвоения материала, поэтому предполагается, что при прослушивании лекций студенты будут вести более подробный конспект, а при проработке материала будут пользоваться материалом, излагаемым на практических занятиях, и дополнительной литературой, список которой приведен в конце конспекта.

Конспект лекций может использоваться студентами других специальностей, изучающих дисциплину «Прикладная механика» или «Механика».

Содержание

Лекция 1. Вводные понятия. Аксиомы статики. Сходящиеся силы	5
1.1 Основные понятия и аксиомы статики. Теорема о трех силах	5
1.2 Система сходящихся сил	7
Лекция 2. Момент силы относительно точки и оси. Пара сил. Приведение системы сил к заданному центру	8
2.1 Момент силы относительно точки и относительно оси	8
2.2 Сложение параллельных сил	9
2.3 Пара сил. Момент пары сил	10
2.4 Теорема о параллельном переносе силы	11
2.5 Приведение системы сил к заданному центру	11
Лекция 3. Условия равновесия систем сил. Трение. Центр тяжести	11
3.1 Условия равновесия системы сил	11
3.2 Равновесие системы тел. Статически определимые и статически неопределимые системы	12
3.3 Трение скольжения. Реакция шероховатой поверхности	13
3.4 Реакция связи при качении	14
3.5 Центр тяжести твердого тела	14
Лекция 4. Кинематика точки и простейших движений тела. Сложное движение точки	15
4.1 Введение в кинематику. Способы задания движения точки	15
4.2 Скорость и ускорение точки	16
4.3 Поступательное движение твердого тела и вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси	17
4.4 Плоскопараллельное движение твердого тела	18
4.5 Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей и о сложении ускорений	19
Лекция 5. Основные понятия о механизмах. Структурный и кинематический анализ плоских рычажных механизмов	20
5.1 Основные понятия. Структурные элементы механизмов	20
5.2 Основные виды механизмов. Структурные формулы	22
5.3 Понятия о структурном анализе и синтезе механизмов	22
5.5 Общие сведения о плоских рычажных механизмах	23
5.6 Кинематический анализ механизмов	24
Лекция 6. Динамика точки	25
6.1 Аксиомы динамики	25
6.2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки	26
6.3 Относительное движение материальной точки	26
6.4 Теорема об изменении количества движения и об изменении момента количества движения точки	27
6.5 Работа силы. Мощность силы. Теорема об изменении кинетической энергии точки. Принцип Даламбера для точки	28
Лекция 7. Основы динамики системы и твердого тела	29
7.1 Механическая система. Масса, центр масс и моменты инерции	29
7.2 Дифференциальные уравнения движения системы. Теорема о движении центра масс системы	30
7.3 Теорема об изменении количества движения системы	31
7.4 Теорема об изменении главного момента количеств движения	31
7.5 Теорема об изменении кинетической энергии системы	32
7.6 Принцип Даламбера для системы	32
7.7 Основное уравнение динамики вращающегося тела	33
Лекция 8. Введение в сопротивление материалов. Задачи и методы сопротивления материалов	33
8.1 Задачи сопротивления материалов. Расчетная схема	33
8.2 Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержня	34
8.3 Понятия о напряжениях, перемещениях и деформациях	35
8.4 Закон Гука. Принципы независимости действия сил и Сен-Венана	36
8.5 Общие принципы расчета элементов конструкции	36
Лекция 9. Растяжение и сжатие стержней	37
9.1 Продольная сила и нормальные напряжения	37
9.2 Удлинения стержня и закон Гука	38
9.3 Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии	38
9.4 Напряженное и деформированное состояния при растяжении	39
9.5 Диаграммы растяжения	40
9.6 Диаграммы сжатия	42
9.7 Условие прочности при растяжении-сжатии. Три вида задач	42
9.8 Концентрация напряжений	43
Лекция 10. Чистый сдвиг. Кручение стержня круглого поперечного сечения	43
10.1 Напряжения и деформации при чистом сдвиге	44
10.2 Кручение стержня с круглым поперечным сечением	44
Лекция 11. Геометрические характеристики поперечных сечений. Внутренние силовые факторы при изгибе	47
11.1 Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры	47
11.2 Моменты инерции сечения	47
11.3 Главные оси и главные моменты инерции	48
11.4 Изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе	49
11.5 Дифференциальные зависимости Журавского	50
Лекция 12. Прочность и перемещения при изгибе	50
12.1 Напряжения при чистом изгибе	50
12.2 Напряжения и расчеты на прочность при поперечном изгибе	52
12.3 Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня и его интегрирование	53
Список литературы	55

Лекция 1. Вводные понятия. Аксиомы статики. Сходящиеся силы

Содержание лекции: прикладная механика, как теоретическая база техники; вводные понятия и аксиомы статики, системы сходящихся сил и условия их равновесия.

Цели лекции: определить роль прикладной механики в подготовке бакалавров, сформулировать вводные понятия и аксиомы статики, рассмотреть упрощение и условия равновесия системы сходящихся сил.

«Прикладная механика» - дисциплина, лежащая в основе общетехнической подготовки бакалавров-системотехников. Прикладная механика является теоретической базой машиностроения и играет большую роль в повышении надежности, качества проектирования и правильной эксплуатации машин, механизмов и приборов. Дисциплина включает в себя взаимосвязанные разделы теоретической механики, теории механизмов и сопротивления материалов.

Теоретическая механика (ТМ) - наука об общих законах механического движения (МД) материальных тел. МД - изменение относительного положения материальных тел в пространстве с течением времени. Частным случаем МД является равновесие (это не только состояние покоя, но и равномерное прямолинейное движение). В механике изучаются механические взаимодействия тел, т.е. взаимодействия, в результате которых происходит изменение движения тел или их деформация. ТМ принято делить на статику, кинематику и динамику. Статикой называют раздел ТМ, в котором изучаются методы преобразования системы сил, а также условия их равновесия. В кинематике изучается движение тел без учета сил, в динамике - с учетом сил.

1.1 Основные понятия и аксиомы статики. Теорема о трех силах

Объектами изучения ТМ являются модели материальных тел, а именно, материальная точка (МТ), система МТ и абсолютно твердое тело (АТТ).

МТ называют тело, размерами которого можно пренебречь, считая, что масса сосредоточена в точке. Системой МТ называют совокупность МТ, положения и движения которых взаимосвязаны между собой. АТТ называют тело, в котором расстояния между любыми точками остаются неизменными. Все реальные тела в результате воздействий в определенной мере изменяют свои размеры и форму (деформируются). Эти деформации зачастую малы, и при решении ряда задач ими можно пренебречь, считая тело абсолютно твердым.

Состояние равновесия или движения тела зависит от характера его взаимодействий с другими телами, мерой которых является сила. Сила - вектор, характеризующийся численной величиной, направлением и точкой приложения; графически изображается направленным отрезком прямой. Прямую, вдоль которой направлена сила, называют ее линией действия (ЛД). Силу будем обозначать, например, как , тогда ‌F= -‌‌ ее модуль. Система сил – это совокупность сил, действующих на объект; обозначаем .

Если систему сил (СС), действующих на тело, можно заменить другой СС, не изменяя при этом состояния покоя или движения тела, то эти СС называют эквивалентными, ~. Если данной СС эквивалентна одна сила, то эта сила называется равнодействующей для этой СС. Если обозначить ее как ^*, то ^*~. Не каждая СС имеет равнодействующую. СС называют уравновешенной, если она, будучи приложенной к телу, не изменяет его состояния покоя или движения. Действие уравновешенной СС эквивалентно нулю, т.е. ~0. Силой, уравновешивающей СС, называют силу, которая, будучи присоединенной к этой СС, составит вместе с ней новую СС, эквивалентную нулю. Сила, приложенная к телу в одной точке, называется сосредоточенной.

В основе статики лежат 6 аксиом, рассматриваемых ниже.

1. Для равновесия 2 сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы силы были равны по величине и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей их точки приложения: F₁ = F₂, .

2. Не изменяя действия системы сил на твердое тело, можно к этой системе прибавить или отнять от нее уравновешенную СС. Следствие: не изменяя действия силы на АТТ, ее можно переносить в любую точку тела вдоль ее ЛД.

3. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, определяется диагональю параллелограмма, построенного на силах, т.е. .

4. Силы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны: F₂₁ = F₁₂, .

Прежде чем сформулировать 5-ю аксиому, введем несколько понятий. Если тело может получать любые перемещения в пространстве, то оно называется свободным, иначе - несвободным. Условия, ограничивающие свободу движения тела, называются связями. Тело, стремясь под действием сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, действует на нее с некоторой силой. Связь действует на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой, называемой реакцией связи. Силы, не являющиеся реакциями, называют активными. Реакция связи отличается от активных сил тем, что ее численная величина зависит от активных сил и наперед неизвестна. Направление реакции противоположно направлению, по которому связь препятствует движению тела. Рассмотрим примеры связей (опор):

а) гладкая поверхность (трением можно пренебречь) не препятствует скольжению по ней тела, но препятствует движению по нормали к поверхности. Поэтому ее реакция направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке;

б) гибкая нить или цепь. Здесь реакция направлена вдоль нити или цепи;

в) цилиндрический шарнир (подшипник) или шарнирно-неподвижная опора. Два тела, соединенные валом, проходящим через отверстия в этих телах, образуют шарнирное соединение. Осевая линия вала называется осью шарнира. Тело не может перемещаться по направлению, перпендикулярному к оси шарнира, но может поворачиваться вокруг оси. Поэтому реакция может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Обычно ее раскладывают на две составляющие;

г) опора типа катка или шарнирно-подвижная опора. Если пренебречь трением, то реакция направлена по нормали к поверхности качения;

д) сферический шарнир и подпятник. Здесь 1 точка тела закреплена так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве, при этом тело может как угодно поворачиваться вокруг этой точки. Реакция проходит через закрепленную точку, и ее раскладывают на три составляющие;

е) невесомый стержень, закрепленный с двух сторон шарнирами. Здесь реакции направлены вдоль прямой, проходящей через центры шарниров.

5. Несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями.

6. Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием данной СС, не нарушится, если считать его затвердевшим (абсолютно твердым).

Теорема о трех силах: если АТТ находится в равновесии под действием 3 непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

1.2 Система сходящихся сил

Различают следующие типы систем сил (СС): система сходящихся сил, система параллельных сил, произвольная СС. СС сил называется: сходящейся, если линии действия (ЛД) всех сил системы пересекаются в одной точке; параллельной, если ЛД сил параллельны между собой; произвольной - если ЛД сил не параллельны и не пересекаются в одной точке. Все указанные СС могут быть плоскими или пространственными. СС называется плоской, если ЛД всех сил лежат в одной плоскости; в противном случае СС - пространственная.

Пусть к телу в точках А, В, С, D приложены силы , ЛД которых пересекаются в точке О (см. рисунок 1.1,а). Перенесем силы вдоль их ЛД в точку О и будем последовательно складывать силы по правилу силового треугольника (см. рисунок 1.1,б). Сначала найдем равнодействующую сил и, затем для сил и и т.д. Получим: , , =. Если сил n, то

(1.1)

можно определить также, отложив вектор и приложив к его концу вектор , затем к концу - вектор , и т.д. Равнодействующая соединяет начало первого вектора с концом последнего. Т.о., равнодействующая системы сходящихся сил (ССС) равна векторной сумме сил, входящих в систему, и ее ЛД проходит через точку пересечения ЛД слагаемых сил. Чтобы найти равнодействующую геометрическим способом, надо построить в точке пересечения их ЛД силовой многоугольник на слагаемых силах; замыкающая силового многоугольника будет равнодействующей.

Рассмотрим аналитический способ определения равнодействующей ССС. Спроецируем (1.1) на оси прямоугольных координат и найдем проекции равнодействующей

, , . (1.2)

Модуль равнодействующей силы и направление определяются, как

(1.3)

, , . (1.4)

Для равновесия ССС необходимо и достаточно, чтобы или (условия равновесия в векторном виде). В геометрическом смысле: силовой многоугольник должен быть замкнут. В аналитическом виде: должны равняться нулю суммы проекций на три оси всех сил, входящих в систему,

, , . (1.5)

Для плоской ССС: , . (1.6)

Лекция 2. Момент силы относительно точки и оси. Пара сил. Приведение системы сил к заданному центру

Содержание лекции: момент силы относительно точки и оси; пара сил, свойства пар сил, приведение системы сил к центру.

Цели лекции: изучить свойства момента силы относительно точки и оси, свойства пары сил, упрощение и условия равновесия системы пар сил, упрощение произвольной системы сил.

2.1 Момент силы относительно точки и относительно оси

Моментом силы относительно точки О (см. рисунок 2.1) называется вектор , приложенный в точке О и равный

(2.1)

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А приложения силы .

Модуль вектора равен произведению модуля силы F на расстояние h от точки О до ЛД силы, которое называется плечом силы относительно точки О, т. е.

=F∙h. (2.2)

Момент характеризует вращательное действие силы относительно точки О. Радиус-вектор может быть проведен из точки О в любую точку, лежащую на ЛД силы . Момент силы относительно точки равен нулю, когда ЛД силы проходит через эту точку.

Для системы сил вектор

(2.3)

называется главным моментом системы сил относительно точки О.

В случае плоской СС вместо векторного момента силы относительно точки используют понятие алгебраического момента силы относительно точки, т.к. в этом случае векторные моменты всех сил параллельны друг другу. Алгебраическим моментом силы относительно точки называют величину

. (2.4)

Знак «плюс» берется, если сила стремится вращать тело относительно точки против часовой стрелки, «минус» – если по часовой стрелке.

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось векторного момента силы, взятого относительно любой точки на оси, т. е.

. (2.5)

Иначе: момент силы относительно оси - это алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятый относительно точки пересечения оси с плоскостью (см. рисунок 2.2)

. (2.6)

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости. Момент силы относительно начала координат равен

откуда получим моменты силы относительно осей координат

, , . (2.7)

2.2 Сложение параллельных сил

Две приложенные к АТТ и направленные в одну сторону параллельные силы имеют равнодействующую, параллельную им, равную по модулю сумме их модулей и направленную в ту же сторону. ЛД равнодействующей расположена между ЛД заданных сил и делит внутренним образом отрезок прямой между ЛД этих сил на части, обратно пропорциональные модулям сил. Обратно, любую силу можно разложить на две параллельные силы.

Две неравные параллельные силы, направленные противоположно, имеют равнодействующую, равную по модулю разности модулей сил, параллельную им и направленную в сторону большей силы. ЛД равнодействующей расположена за ЛД большей из них и делит внешним образом отрезок прямой между ЛД заданных сил на части, обратно пропорциональные модулям сил.

2.3 Пара сил. Момент пары сил

Парой сил, приложенной к АТТ, называют систему двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой (см. рисунок 2.3). Сумма сил пары равна нулю, но пара сил не уравновешена. Кратчайшее расстояние между ЛД сил пары называют плечом пары, а плоскость, в которой лежат силы пары - плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар сил, действующих на тело, называется системой пар сил. Пара не приводится к равнодействующей. Действие пары на тело характеризуется векторным моментом пары - это вектор , перпендикулярный плоскости действия пары и направленный в ту сторону, откуда видно, что пара стремится повернуть тело против часовой стрелки, и численно равный произведению модуля одной из сил пары на ее плечо F∙d. Пару сил можно переносить куда угодно в плоскости и в параллельную плоскость, изменяя модуль силы и плечо, но, сохраняя при этом неизменными модуль момента пары и направление, в котором она стремится вращать твердое тело, т.е. векторный момент пары сил есть свободный вектор.

Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны независимо от расположения и величин модулей сил и плечей пар.

Если пары расположены в одной плоскости, то моменты пар можно рассматривать как алгебраические величины. Момент пары считают положительным, если пара стремится вращать тело против часовой стрелки. Тогда для плоской системы пар сил

(2.8)

и . (2.9)

Теорема о сложении пар сил. Совокупность пар сил, действующих на тело, эквивалентна одной паре с моментом, равным сумме векторных моментов всех пар сил, . Условия равновесия системы пар имеют вид

. (2.10)

2.4 Теорема о параллельном переносе силы

Силу, приложенную к твердому телу, можно, не изменяя ее действия, перенести параллельно самой себе в любую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, в которую переносится сила (см. рисунок 2.4).

2.5 Приведение системы сил к заданному центру

Произвольную СС, действующих на АТТ, можно привести к какому-либо центру, заменив все силы одной силой, равной главному вектору системы сил , приложенному в этом центре, и одной парой сил с моментом , равным главному моменту СС относительно того же центра (см. рисунок 2.5)

(2.11)

. (2.12)

При этом не зависит от выбора центра приведения, а – зависит.

Две СС, приложенных к АТТ, эквивалентны, если их главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра одинаковы.

Сформулируем теорему Вариньона: если СС имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки или оси равен сумме моментов всех сил системы относительно той же точки или оси.

Лекция 3. Условия равновесия систем сил. Трение. Центр тяжести

Содержание лекции: условия равновесия систем сил; трение скольжения и качения; центр тяжести твердых тел.

Цели лекции: изучить условия равновесия пространственных и плоских систем сил, рассмотреть особенности решения задач при наличии трения, научиться определять центры тяжести тел.

3.1 Условия равновесия системы сил

Чтобы произвольная СС находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

, (3.1)

Эти условия эквивалентны аналитическим условиям равновесия в виде

, , ,

, , , (3.2)

т.е., для равновесия произвольной СС, приложенных к АТТ, необходимо и достаточно равенства нулю сумм проекций всех сил на оси декартовой системы координат и сумм моментов всех сил относительно этих осей.

Условия равновесия для пространственной системы параллельных сил (ось Oz параллельна ЛД сил) имеют вид

, , . (3.3)

Первая форма условий равновесия произвольной плоской СС: необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две оси и сумма алгебраических моментов сил относительно любого центра были равны нулю

, , . (3.4)

Вторая форма:

, , ( не перпендикулярна ). (3.5)

Третья форма

, , (А,В,С - не на 1прямой ) (3.6)

Условия равновесия для плоской системы параллельных сил имеют вид

, (не перпендикулярна силам) (3.7)

или , (силам). (3.8)

3.2 Равновесие системы тел. Статически определимые и статически неопределимые системы

Связи, соединяющие части системы тел, называют внутренними. Если внешние связи заменить силами, то условий равновесия недостаточно для их определения. Методы решения задач:

а) составляют дополнительные условия равновесия для части конструкции, например, уравнения равновесия относительно внутреннего шарнира;

б) мысленно расчленяют конструкцию на отдельные части, заменяя внутренние связи силами, и для каждой части составляют свои уравнения равновесия.

Если число неизвестных составляющих реакций связей равно числу независимых уравнений равновесия, то систему называют статически определимой, если больше - статически неопределимой (СНС). Определить реакции в СНС рассмотренными выше методами, невозможно; необходимо учитывать деформируемость тел и дополнительно составлять уравнения деформаций.

3.3 Трение скольжения. Реакция шероховатой поверхности

Законы трения скольжения (Кулона – Амонтона):

1) При стремлении сдвинуть одно тело относительно другого в плоскости их соприкосновения возникает сила трения , модуль которой 0≤F≤ F_max. Эта сила приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.

2) Максимальная сила трения равна произведению коэффициента трения f на силу нормального давления N

F_max=f∙N. (3.9)

f зависит от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел (шероховатость, температура, влажность и т. п.); определяется опытным путем. Значения f: дерево по дереву 0,4-0,7; металл по металлу 0,15-0,25.

Различают коэффициенты трения покоя и трения скольжения. Коэффициент трения покоя определяется по максимальной силе трения F_max, соответствующей предельному состоянию равновесия. Обычно он больше коэффициента трения скольжения. С увеличением скорости скольжения последний сначала несколько уменьшается, а затем практически остается неизменным.

3) F_max не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.

Реакцию шероховатой поверхности представляют в виде нормальной реакции (равна по модулю силе нормального давления) и силы трения (см. рисунок 3.1). Полная реакция отклонена на угол α (tg α = F/N).

Если тело лежит на горизонтальной шероховатой поверхности и на него не действуют никакие внешние силы, кроме силы тяжести, то F = 0, а полная реакция R = N и перпендикулярна опорной поверхности. Приложив к телу силу , мы стремимся вызвать его движение, но оно не происходит, так как возникает сила трения , причем F≤ F_max. С увеличением возрастает и . При F₁ = F_max наступит предельное состояние равновесия, при котором полная реакция отклонится от вертикали на угол α_max, называемый углом трения. Обозначив его через φ, находим tg φ= F_max/N=f . (3.10)

Полная реакция неидеальной связи при равновесии имеет направление в пределах угла трения. Равновесие тел с учетом сил трения скольжения рассматривают обычно для предельного состояния, когда сила трения достигает максимального значения.

3.4 Реакция связи при качении

На рисунке 3.2,а показано, что при качении цилиндр вдавливается в опорную плоскость и контактирует с ней по некоторой поверхности, которая образует дугу СD, сдвинутую в направлении качения.

Полная реакция опорной поверхности на цилиндр как сумма системы распределенных сил, вызванных деформацией поверхности, препятствует качению. Это сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого, называют трением качения. Нас интересует момент сопротивления качению (см. рисунок 3.2,б). Схематизируя явление, рассматривают качение по недеформируемой поверхности, а реакцию представляют в виде двух составляющих, приложенных в точке В, смещенной от точки А в сторону возможного качения на некоторую величину δ (см. рисунок 3.2,в). Сила - сила трения скольжения, а сила - нормальная реакция. Тогда

N = P, F = Q, Q_max∙r = δ∙N. (3.11)

Произведение δ∙N = (М_тр)_max называют моментом трения качения. Если Q мала, то смещение силы N мало; с увеличением Q оно возрастает. При Q_max достигается предельное равновесие, и реакция N отстоит от вертикали на предельном расстоянии δ, называемом коэффициентом трения качения. Он зависит от свойств материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел, его определяют опытным путем (колесо по рельсу δ = 0,005, в шариковом подшипнике δ = 0,001 см).

3.5 Центр тяжести твердого тела

Рассмотрим две параллельные силы и , приложенные к телу в точках А₁ и A₂ (см. рисунок 3.3). Равнодействующая , ее ЛД параллельна слагаемым силам и проходит через некоторую точку С, лежащую на прямой A₁ A₂,. Положение точки С найдем с помощью теоремы Вариньона , откуда

. (3.12)

Повернув силы и на угол α вокруг точек А₁, А₂, придем к выводу, что и равнодействующая поворачивается в ту же сторону на угол α и приложена в той же точке С, называемой центром параллельных сил. Аналогично - для любого числа сил.

Равнодействующую сил тяжести , ,…, , приложенных к частицам тела, обозначим (см. рисунок 3.4). Модуль этой силы называется весом тела и он равен

. (3.13)

Точка С является центром параллельных сил тяжести и называется центром тяжести тела. Т.о., центр тяжести АТТ - неизменно связанная с телом точка, через которую проходит ЛД равнодействующей сил тяжести, приложенных к частицам данного тела, при любом положении тела в пространстве. Координаты его определяются как

, , (3.14)

где , , – координаты точек приложения сил тяжести .

Лекция 4. Кинематика точки и простейших движений тела. Сложное движение точки

Содержание лекции: вводные понятия кинематики, кинематика точки, траектория, скорость, ускорение точки; поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение твердого тела; сложное движение точки.

Цели лекции: изучить кинематические параметры движения точки и простейших движений твердого тела и сложного движения точки.

4.1 Введение в кинематику. Способы задания движения точки

Под движением понимают изменение с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам, образующим вместе с системой координат систему отсчета (СО). Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство - трехмерное евклидово, время протекает одинаково во всех СО. В задачах кинематики время t принимают за аргумент, все другие переменные (расстояния, скорости и т. д.) рассматривают как функции от t. Отсчет времени ведется от некоторого начального момента.

Для решения задач надо, чтобы движение тела (точки) было кинематически задано, что означает задание положения тела (точки) относительно данной СО в любой момент времени. Изучение движения начинается с установления способов задания движения. Основная задача кинематики - зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин.

Непрерывную линию, описываемую точкой относительно данной СО, называют ее траекторией (прямолинейное и криволинейное движения).

Движение точки может быть задано 3 способами.

1. Векторный способ. Положение точки определяется ее радиус-вектором (см. рисунок 4.1)

. (4.1)

2. Координатный способ. Положение точки определяют ее координатами

. (4.2)

3. Естественный способ. Задают (рисунок 4.2) траекторию точки, начало отсчета на траектории с указанием направлений отсчета и закон движения в виде

. (4.3)

4.2 Скорость и ускорение точки

Доказывается (см. рисунок 4.3), что скорость есть первая производная от вектора по аргументу t

. (4.4)

Ускорением точки в данный момент времени t (см. рисунок 4.4) называют векторную величину

. (4.5)

Т.о., вектор ускорения точки равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.

Чтобы определить скорость точки при координатном способе задания движения, используем теорему: проекция производной от вектора на неподвижную ось равна производной от проекции вектора на ту же ось.

Тогда для проекций скорости имеем

(4.6)

или . (4.7)

Для проекций ускорения имеем

, , (4.8)

или . (4.9)

При естественном способе задания движения скорость и ускорение точки определяют по их проекциям на оси естественного трехгранника Мtnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею. Направления осей: Мt - по касательной к траектории в сторону положительного отсчета s; главная нормаль Мn - по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости, и направленной в сторону вогнутости траектории; бинормаль Mb - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовывала с ними правую систему осей.

Определим скорость точки

. (4.10)

Проекция скорости точки на касательную к ее траектории

. (4.11)

Очевидно, что и модуль скорости .

Для ускорения точки имеем

. (4.12)

Т.к. (ρ – радиус кривизны траектории точки), то

, (4.13)

т.е., ускорение равно сумме касательной и нормальной составляющих

. (4.14)

Вектор лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости Mtn. Проецируя обе части равенства (4.13) на оси Мt, Мn и Mb, получим

. (4.15)

4.3 Поступательное движение твердого тела и вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Поступательным называется такое движение АТТ, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной себе, при этом траектории его точек могут быть любыми кривыми. Справедлива теорема: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в любой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Здесь кинематика АТТ сводится к кинематике точки.

При вращении АТТ вокруг неподвижной оси, его точки, лежащие на оси, остаются неподвижными (АВ на рисунке 4.5). Через ось проведем две плоскости - неподвижную и подвижную, связанную с телом. Двугранный угол j между ними (угол поворота тела) считают положительным, когда он отсчитывается от неподвижной плоскости к подвижной против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси. Закон движения

j = j (t). (4.16)

Угловая скорость характеризует изменение j

w = dj/dt или . (4.17)

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора.

Угловое ускорение характеризует изменение ω с течением времени

e = dw/dt = d² j/dt² или . (4.18)

Если во все время движения w=const, то вращение называют равномерным. Из (4.17), интегрируя, найдем его закон

. (4.19)

При равномерном вращении, если , то

. (4.20)

Если e=const, то вращение называется равнопеременным, его закон

(4.21)

Если w и e одного знака, вращение - равноускоренное, если разного - равнозамедленное.

Определим скорости и ускорения точек вращающегося тела (см. рисунок 4.6). Имеем

, (4.22)

. (4.23)

Ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении, в обратную при замедленном), ускорение - по радиусу МP к оси. Полное ускорение точки и угол m (рисунок 4.6) определяются как

, (4.24)

. (4.25)

4.4 Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным (плоским) движением АТТ называют движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости (см. рисунок 4.7).

Для изучения движения тела достаточно изучить движение в плоскости Оху сечения S тела. Положение S определяется положением отрезка АВ (см. рисунок 4.8). Чтобы знать закон движения, надо знать

. (4.26)

Плоское движение можно рассматривать как сумму поступательного движения вместе с полюсом (т. А) и вращательного движения вокруг полюса. Теперь рассмотрим определение скоростей и точек плоской фигуры. Пусть поступательная составляющая движения характеризуется скоростью ( см. рисунок 4.9). Положение любой точки B фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором . Тогда , (4.27)

(4.28)

где w - угловая скорость вращательной составляющей движения.

Для любого движения тела справедлива теорема: проекции скоростей двух точек тела на соединяющую их прямую равны.

Ускорение любой точки B складывается из ускорений в поступательном и вращательном движениях

. (4.29)

При решении задач удобно представлять равенство (4.28) в виде

. (4.30)

4.5 Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и о

сложении ускорений

В ряде случаев удобно рассматривать движение точки по отношению к двум СО, из которых одна считается основной (условно неподвижной), а другая - движущейся по отношению к первой. Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной СО Oxyz, которая, в свою очередь, движется относительно неподвижной СО О₁х₁у₁z₁ (см. рисунок 4.10). Введем определения:

а) движение, совершаемое точкой по отношению к подвижной СО (к осям Oxyz), называется относительным;

б) движение, совершаемое подвижной СО Oxyz по отношению к неподвижной системе О₁х₁у₁z₁, для точки М является переносным движением. Скорость неизменно связанной с подвижными осями Охуz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М (), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М. Тогда , ; (4.31)

в) движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета О₁х₁у₁z₁, называют абсолютным или сложным.

Доказывается, что в случае сложного движения справедливо соотношение

. (4.32)

Направлены по касательным к соответствующим траекториям. Если угол между и равен a, то

. (4.33)

Для ускорений имеем

. (4.34)

Это - теорема Кориолиса о сложении ускорений: при сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений, относительного, переносного и поворотного (кориолисова). Доказывается, что

. (4.35)

Если переносное движение является поступательным движением, то

. (4.36)

Лекция 5. Основные понятия о механизмах. Структурный и

кинематический анализ плоских рычажных механизмов

Содержание лекции: задачи теории механизмов и машин, основные понятия, структурный анализ механизмов, кинематический анализ плоских рычажных механизмов графоаналитическим методом.

Цели лекции: определить круг задач, решаемых методами теории механизмов, изучить приемы анализа структуры механизмов и кинематики плоских рычажных механизмов графоаналитическим методом.

5.1 Основные понятия. Структурные элементы механизмов

Устройства для преобразования энергии и совершения полезной работы называются машинами. Механизм - часть машины, состоящая из взаимосвязанных тел, предназначенных для преобразования движения одного или нескольких тел в требуемые движения других тел. Механизм передает энергию или движение от источника к рабочим органам машины. Изучением механизмов занимается теория механизмов и машин (ТММ).

Механизм состоит из звеньев и кинематических пар (КП). Звено – часть механизма, движущаяся как единое целое. Звено может быть простым (одна деталь) или составным. Звенья различают по конструктивным признакам (вал, поршень и т.д.), по деформативности (жесткое и гибкое звено), по характеру движения. Звено, совершающее полнооборотное вращение вокруг оси, называют кривошипом, неполнооборотное - коромыслом; звено, движущееся возвратно-поступательно, - ползуном и т. д. Формирование механизма осуществляется с помощью КП - соединений (сопряжений) двух звеньев, допускающих их относительное движение. Конструктивно любая КП представляет собой подвижное сопряжение, в котором «силовой поток» от одного звена к другому передается за счет геометрического или силового замыкания. КП передают нагрузку и движение; они часто определяют работоспособность и надежность механизма и машины в целом. КП подразделяют на низшие (контактируют по поверхности) и высшие (контактируют по линиям или в точках).

По числу наложенных условий связи S или степеней подвижности Н относительных движений звеньев КП делят на классы; Н=6-S. При S=1 КП имеют 5 степеней подвижности (пятиподвижные), при S=2 - 4 степени подвижности (четырехподвижные) и т.д. В таблице 5.1 даны примеры КП 5-го класса (одноподвижные) - поступательная и вращательная.

Систему звеньев, соединенных с помощью КП (см. рисунок 5.1), называют кинематической цепью (КЦ). Различают замкнутые и незамкнутые КЦ. В замкнутой КЦ каждое звено входит не менее чем в две КП, в незамкнутой (открытой) цепи имеются звенья, входящие лишь в одну КП. Т.о., механизм - это

Т а б л и ц а 5.1
Класс пары	Число условий связи S	Название пары, рисунок	Условное обозначение


V	5
V	5

КЦ, в которой при заданном движении одного или нескольких звеньев относительно любого из них все остальные звенья движутся определенным образом. Звено, относительно которого оцениваются параметры движения (перемещения, скорости), называют стойкой; обычно это неподвижное звено. В КЦ различают входное и выходное звенья (может быть по нескольку). Входным называют звено, которому сообщается движение от двигателя, выходным - звено, реализующее движение, для выполнения которого предназначен механизм. КЦ подразделяется также на плоские и пространственные, на простые и сложные. Простой называют КЦ, у которой каждое звено входит в соединение с другим звеном с помощью одной или двух КП.

Строение механизма определяет его основные характеристики (виды движений, число степеней подвижности и др.). Отсюда - задачи структурного анализа (СА) механизмов: а) определение количества свобод движения механизмов в зависимости от геометрических форм сопряжений звеньев и их количества; б) разделение механизма на структурные группы; в) обеспечение заданных траекторий движения точек звеньев. Для СА используют структурную схему - простейшую расчетную модель механизма, описывающую принцип его действия. Механизм изображают с помощью условных обозначений звеньев и КП.

5.2 Основные виды механизмов. Структурные формулы

Исходя из кинематических, конструктивных и функциональных свойств, механизмы подразделяют на различные виды: рычажные, кулачковые, фрикционные, зубчатые, волновые и др.

Структурные формулы связывают число степеней свободы КЦ механизма H с числом звеньев, с числом и видом его КП. Если число степеней свободы механизма H совпадает с числом обобщенных координат, то разность между общим числом координат, определяющих положение всех звеньев, и числом независимых уравнений, связывающих эти координаты, дает H.

Каждое отдельно взятое звено имеет 6 степеней подвижности в пространстве, и для k звеньев общее число степеней подвижности (ЧСП) будет 6k. Соединение звеньев в КП накладывает связи на относительное движение звеньев. Эти ограничения зависят от класса КП, т. е. числа условий связи. Если число КП каждого класса обозначить через р_n, где индекс n - номер ее класса, то в общем случае в КЦ будет р₁пар 1-го класса, р₂ пар 2-го класса и т.д. Следовательно, из 6k степеней подвижности, которыми обладают свободные звенья, следует исключить степени подвижности, запрещенные в КП. Тогда ЧСП пространственной КЦ будет

H = 6k - 5р₅- 4р₄- 3р₃- 2р₂- р₁. (5.1)

Если одно из звеньев КЦ неподвижно (стойка), то степень подвижности КЦ (ЧСП относительно звена, принятого за неподвижное) будет

W = 6n - 5р₅- 4р₄- 3р₃- 2р₂- р₁. (5.2)

Для плоского механизма имем (П.Л.Чебышев, 1869 г.)

W = 3n - 2р₅- р₄. (5.3)

Структурные формулы (5.2) и (5.3) получены из предположения, что все уравнения связи независимы. В некоторых механизмах в общее число наложенных связей может войти q избыточных (повторных) связей. Тогда формулы (5.2) и (5.3) принимают вид

W = 6n - 5р₅- 4р₄- 3р₃- 2р₂– р₁+q, (5.4)

W = 3n - 2р₅- р_{4 1}+q. (5.5)

При q=0 механизм представляет собой статически определимую систему, и сборка его происходит без деформации звеньев (самоустанавливающийся механизм), а при q>0 - статически неопределимую систему. Сборка и движение такого механизма происходят при деформировании его звеньев, т.к. размеры звеньев невозможно изготовить с абсолютной точностью.

5.4 Понятия о структурном анализе и синтезе механизмов

Под структурным анализом механизма понимают определение количества звеньев и КП, классификацию КП, определение степени подвижности механизма, а также установление класса и порядка механизма. Структурным синтезом называется проектирование структурной схемы механизма, состоящей из неподвижного и подвижных звеньев, а также КП.

Для нахождения структурной схемы используется метод присоединения т.н. структурных групп Ассура к ведущему звену или основному механизму. Группой Ассура называют КЦ, которая при присоединении ее элементами внешних пар к стойке получает нулевую степень подвижности. Структурные формулы групп Ассура получаются из формулы (5.3): W=3n — 2p₅, откуда p₅ = 3n/2, где n - число подвижных звеньев. Отсюда следует, что число КП 5-го класса в группе - обязательно четное число. На рисунке 5.2 показано присоединение двух 2-хповодковых групп к ведущему звену.

Класс и порядок механизма определяются по входящей в состав механизма группе, которая имеет наивысший класс. Порядок группы определяется числом элементов, которыми группа присоединяется к основному механизму (см. рисунок 5.3). Класс группы определяется классом наивысшего по классу контура, входящего в его состав. Класс контура определяется количеством КП, в которые входят его звенья (см. рисунок 5.4). Номер класса группы равен числу КП, входящих в замкнутый контур, образованный внутренними КП, за исключением двухповодковой группы, которая условно относится ко второму классу. Класс и порядок механизма зависят от того, какое звено является ведущим.

5.5 Общие сведения о плоских рычажных механизмах

Наиболее распространены плоские четырехзвенные механизмы. Они могут иметь 4 шарнира (шарнирные четырехзвенники), 3 шарнира и 1 поступательную пару или 2 шарнира и 2 поступательные пары.

В зависимости от соотношений длин звеньев (правило Грасгофа) шарнирные четырехзвенники, показанные на рисунках 5.5,а,б,в, называют кривошипно-коромысловым, двухкривошипным или двухкоромысловым механизмом. Механизмы на рисунках 5.5,г,д,е,ж называют кривошипно-ползунным нецентральным, с качающимся цилиндром, центральным, с качающейся кулисой механизмом соответственно, на рисунке 5.12,и - синусным механизмом.

5.6 Кинематический анализ механизмов

Задача кинематического анализа (КА) механизма - определить параметры движения звеньев (перемещений, скоростей и ускорений) по заданному закону движения входного (ведущего) звена. Из анализа положений звеньев и траекторий их точек можно определить правильность работы механизма и соответствие траекторий точек рабочего органа технологическому процессу, а также найти пространство, требуемое для размещения механизма. Скорости (угловые и линейные) звеньев используют для определения кинетической энергии механизма при решении задач динамики и для оценки условий рабочего процесса в машине. По ускорениям находят инерционные нагрузки, которые используют для оценки прочности звеньев. КА выполняют по кинематической схеме, которая содержит размеры звеньев. Для выполнения КА используют аналитические, графические и экспериментальные методы. Ниже рассматривается графический метод, который, хотя и имеет низкую точность, обладает наглядностью. В графическом методе КА механизмов выполняют построение планов положений, скоростей и ускорений в соответствующих масштабах.

Планом положений механизма называется графическое изображение взаимного расположения звеньев, соответствующее выбранным моментам времени. С помощью плана можно наглядно проследить за движением его звеньев и точек. Рассмотрим кривошипно-шатунный механизм (см. рисунок 5.6), где 1- кривошип, 2 - шатун, 3 - ползун. Положение т.С на шатуне определяется длинами отрезков АС и СВ. Для построения траектории точек А, В и С необходимо построить ряд последовательных положений механизма. Плавная линия, проведенная через все одноименные точки, будет искомой траекторией точки звена.

Положение звена, от которого начинается отсчет его движения, называют начальным или крайним. Положение, в котором кривошип и шатун располагаются на одной прямой, называют мертвым.

Построение планов скоростей и ускорений основано на графическом решении векторных уравнений движения. Для их построения должны быть заданы кинематическая схема и закон движения ведущего звена.

Лекция 6. Динамика точки

Содержание лекции: вводные понятия и аксиомы динамики точки; дифференциальные уравнения движения; общие теоремы динамики точки.

Цели лекции: изучить понятия динамики, дифференциальные уравнения движения точки, научиться применять общие теоремы динамики точки для определения характеристик движения точки.

6.1 Аксиомы динамики

В динамике рассматривают движение материальных тел под действием приложенных к ним сил с учетом инерции. Инерция - свойство тела сохранять состояние движения или покоя при отсутствии действующих на него сил. Мерой инерции тела в поступательном движении является его масса m.

Основой динамики точки являются 4 аксиомы, изложенные ниже.

1. МТ, к которой не приложены силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные к ней силы не изменяют этого состояния. Движение МТ при отсутствии сил называют инерциальным. СО, в которой справедлива аксиома, называют инерциальной СО.

2. Ускорение МТ пропорционально приложенной силе и направлено так же, как сила. Основное уравнение . (6.1)

3. Две МТ действуют друг на друга с равными по модулю силами, лежащими на соединяющей их прямой и направленными противоположно.

4. Геометрическая сумма ускорений, которые сообщаются МТ отдельно каждой приложенной к ней силой, равна ускорению, которое МТ получит под действием на нее всех сил (6.2)

Под действием на любое тело сил тяжести у тела возникает одно и то же ускорение , которое называют ускорением силы тяжести (ускорением свободного падения). Если к МТ приложена только сила тяжести , то по (6.1)

. (6.3)

Масса тела не зависит от его местонахождения и от сил, приложенных к телу, а вес тела меняется с изменением ускорения силы тяжести в зависимости от географической широты места и расстояния от центра Земли.

6.2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Рассмотрим движение МТ под действием сил {} относительно инерциальной СО Оxyz, считая, что среди сил имеются реакции связей.

Проецируя (6.2) на декартовы оси координат или естественные оси, получаем дифференциальные уравнения движения (ДУД)

(6.4)

или (6.5)

ДУД применяют к решению двух основных задач динамики МТ:

а) по движению точки найти приложенную к ней силу;

б) по силам, приложенным к точке, найти ее движение.

6.3 Относительное движение материальной точки

Законы динамики справедливы только в инерциальной СО. Рассмотрим движение МТ относительно СО, которая движется произвольно относительно инерциальной СО. Рассмотрим движение точки P под действием сил {}. В инерциальной СО справедливо уравнение (6.2). По (4.34)

(6.6)

Подставим (6.6) в равенство (6.2) и преобразуем его

(6.7)

Примем обозначения , (6.8)

(6.9)

и называют переносной и кориолисовой силами инерции.

Равенство (6.7) можно записать в виде

(6.10)

(6.10) называют основным уравнением динамики относительного движения МТ.

Частные случаи основного уравнения относительного движения МТ:

а) при поступательном переносном движении

; (6.11)

б) при прямолинейном и равномерном переносном движении

(6.12)

Уравнения (6.12) и (6.2) совпадают, так как . Следовательно, данная система отсчета инерциальна. Механическими опытами невозможно установить, неподвижна ли система отсчета, или она движется поступательно, равномерно и прямолинейно (принцип относительности Галилея);

в) в относительном состоянии покоя

(6.13)

Это уравнение относительного равновесия МТ.

6.4. Теоремы об изменении количества движения и об изменении

момента количества движения точки

При решении многих задач динамики вместо интегрирования ДУД оказывается более эффективным использование т.н. общих теорем динамики.

Рассмотрим теорему об изменении количества движения точки. Количеством движения МТ называют величину . Элементарным импульсом силы называют величину Импульс силы за конечное время t₁ : . Модуль и направление импульса можно вычислить по его проекциям

. (6.14)

Основной закон динамики можно представить в виде

. (6.15)

Это теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна векторной сумме действующих на точку сил. Та же теорема в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех действующих на точку сил за этот промежуток времени

. (6.16)

При решении задач обычно пользуются уравнениями в проекциях.

Рассмотрим теорему об изменении момента количества движения точки. Моментом количества движения точки относительно центра О называют вектор

(6.17)

где — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и центр О, a .

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Оz, проходящей через центр О, равен проекции вектора на эту ось

(6.18)

где g — угол между вектором и осью Оz.

Теорема: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна векторному моменту действующей на точку силы относительно того же центра

. (6.19)

Теорема моментов относительно оси

. (6.20)

Из уравнения (6.19) следует, что если , то .

6.5 Работа силы. Мощность силы. Теорема об изменении кинетической энергии точки. Принцип Даламбера для точки

Элементарная работа силы , приложенной в точке М (см. рисунок 6.1), определяется, как

dW = F_t ∙ds (6.21)

где F_t — проекция силы на касательную Мt к траектории точки М, направленную в сторону перемещения точки;

ds — модуль элементарного перемещения точки М.

Т.к. ds = |d| (здесь d - вектор элементарного перемещения точки), то равенство (6.21) можно представить в виде

dW= . (6.22)

Т.е., элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Работа силы на конечном перемещении M₀M₁ определяется, как

, (6.23)

. ( 6.24)

Мощность есть работа, совершаемая силой в единицу времени,

, (6.25)

т.е., мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Кинетической энергией (КЭ) точки называют скалярную величину . Теорема: изменение КЭ точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

. (6.26)

Пусть на МТ с массой m действует система активных сил, равнодействующую которых обозначим , и реакция связи . Под действием этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной СО с некоторым ускорением .

Введем в рассмотрение величину

, (6.27)

называемую силой инерции. Тогда справедлив принцип Даламбера для движущейся МТ: если к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т. е.

. (6.28)

Лекция 7. Основы динамики системы и твердого тела

Содержание лекции: механическая система, ее масса, центр масс и моменты инерции; дифференциальные уравнения движения системы; общие теоремы динамики и принцип Даламбера для системы.

Цели лекции: изучить динамические характеристики системы, диффе-ренциальные уравнения движения, основные теоремы динамики для системы.

7.1 Механическая система. Масса, центр масс и моменты инерции

Механической системой (МС) называют совокупность взаимодействующих МТ или тел. Материальное тело является МС составляющих его частиц. Внешними силами , k= 1,2 …,n называют силы, c которыми на точки системы действуют тела, не принадлежащие к системе. Внутренними силами называют силы , k= 1,2 …,m, c которыми взаимодействуют точки системы. Главный вектор и главный момент системы внутренних сил равны нулю, но в общем случае внутренние силы не уравновешиваются, т.к. они могут вызывать перемещения точек системы (уравновешиваются в АТТ).

Массой системы называют сумму масс частиц системы

M=Σm_k. (7.1)

Положение центра масс системы (ЦМС) определяется по формулам

, (7.2)

. (7.3)

Для тела имеем , (7.4)

. (7.5)

В однородном поле силы тяжести центры масс и тяжести совпадают.

Моментами инерции МС относительно оси и точки называют величины

J_l=Σm_k∙h_k². (7.6)

J_O=Σm_k∙r_k² (7.7)

где h_k и r_k – расстояние точки тела с массой m_k от оси l и точки O.

Для твердого тела момент инерции относительно оси и точки

, (7.8)

. (7.9)

Моменты инерции относительно декартовых осей и начала координат

J_x=Σm_k∙(y_k²+z_k²), J_y=Σm_k∙(x_k²+z_k²), J_z=Σm_k∙( x_k²+y_k²), (7.10)

J_O=Σm_k∙r_k²= Σm_k∙( x_k²+y_k²+z_k²). (7.11)

Моменты инерции относительно координатных плоскостей равны

J_xy=Σm_k∙ z_k², J_yz=Σm_k∙x_k², J_xz=Σm_k∙y_k². (7.12)

Имеются зависимости 2J_O= J_x+ J_y+ J_z, (7.13)

J_O= J_xy+ J_yz+ J_xz. (7.14)

Для тела моменты инерции определяются интегралами по массе

, , . (7.15)

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции системы J_z относительно какой-либо оси z равен сумме момента инерции системы J_zCотносительно параллельной ей оси z_C, проходящей через центр масс, и произведения массы системы M на квадрат расстояния между осями d

. (7.16)

Среди семейства параллельных осей момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс - наименьший.

7.2 Дифференциальные уравнения движения системы. Теорема о движении центра масс системы

Для точек, входящих в МС, можно записать дифференциальные уравнения движения (ДУД) системы в векторной форме

(7.17)

Проецируя (7.17) на оси, получим ДУД в проекциях оси. Полное решение основной задачи динамики для системы состоит в том, чтобы проинтегрировать ДУД и определить закон движения каждой точки системы и реакции связей. Выполнить это аналитически удается лишь в частных случаях. Однако при решении многих задач бывает достаточным найти некоторые характеристики, определяющие движение системы в целом. Сложив почленно уравнения (7.17), получим

. (7.18)

С учетом формулы (7.2) можно получить соотношение

. (7.19)

Это теорема о движении центра ЦМС: ЦМС движется как МТ, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Проецируя обе части равенства (7.19) на координатные оси, можно получить ДУД ЦМС в проекциях. Из (7.19) следует, что поступательно движущееся тело можно рассматривать как МТ с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как МТ, когда допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения. При определении закона движения ЦМС можно исключать из рассмотрения все неизвестные внутренние силы. Следствие из теоремы (закон сохранения движения центра масс): внутренние силы не изменяют движение ЦМС.

7.3 Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения системы (КДС) называют величину

. (7.20)

Можно показать, что , (7.21)

т. е. КДС равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Если система движется так, что центр масс остается неподвижным, то КДС равно нулю (например, в случае тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс). Если же движение тела является сложным, то величина КДС не зависит от его вращательного движения вокруг центра масс (для катящегося колеса независимо от вращения).

Теорема об изменении КДС в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил

. (7.22)

В интегральной форме: изменение КДС за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени

. (7.23)

Следствие (закон сохранения КДС): внутренние силы не могут изменить КДС, и при решении задач внутренние силы можно не рассматривать.

7.4 Теорема об изменении главного момента количеств движения

Главным моментом количеств движения системы (ГМКДС) или кинетическим моментом относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра

. (7.24)

Аналогично имеем относительно координатных осей

, , . (7.25)

Теорема об изменении ГМКДС (теорема моментов): производная по времени от ГМКДС относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра

. (7.26)

Проецируя на неподвижные оси 0хyz, получим теорему в проекциях.

Теорема применяется для изучения вращательного движения тела, а также движения системы в общем случае, т.к. последнее слагается из поступательного и вращательного движения. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная - с помощью теоремы моментов. При этом из рассмотрения исключаются наперед неизвестные внутренние силы.

Для системы координат, движущейся поступательно вместе с телом, справедлива теорема моментов относительно его центра масс. Она имеет тот же вид, что и относительно неподвижного центра. Для моментов относительно осей такой системы также получаются схожие уравнения.

Следствие из теоремы (закон сохранения ГМКДС): внутренние силы не изменяют ГМКДС. При этом если система неизменяема, то она вращается с постоянной угловой скоростью, а если изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил расстояния отдельных ее точек от оси могут изменяться, что вызовет изменение угловой скорости.

7.5 Теорема об изменении кинетической энергии системы

Кинетической энергией (КЭ) системы называют скалярную величину

. (7.27)

КЭ является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. Отличие Т от и состоит в том, что КЭ является скалярной существенно положительной величиной, и на ее изменение влияет действие и внешних, и внутренних сил. КЭ тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях:

, (7.28)

, (7.29)

. (7.30)

Теорема об изменении КЭ сиcтемы в дифференциальной форме

(7.31)

В интегральной форме: изменение КЭ при некотором перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил

. (7.32)

7.6 Принцип Даламбера для системы

Силы инерции, действующие на точки МС, можно привести к главному вектору и главному моменту (точка O – неподвижный центр приведения). Тогда систему, находящуюся в движении, можно рассматривать как находящуюся в состоянии равновесия, включая в число и . Можно доказать, что при любом движении системы . Для АТТ, совершающего плоскопараллельное движение в плоскости материальной симметрии тела Oxy, силы инерции могут быть приведены к подвижному центру масс С. Тогда ось Cz - главная центральная ось инерции тела. Если - момент инерции относительно этой оси и ε – угловое ускорение, то .

7.7 Основное уравнение динамики вращающегося тела

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеем

(7.33)

где I_z– момент инерции тела вокруг оси вращения;

ε – угловое ускорение тела;

M_z – сумма моментов внешних сил относительно оси.

Лекция 8. Введение в сопротивление материалов. Задачи и методы сопротивления материалов

Содержание лекции: задачи сопротивления материалов, расчетная схема, допущения, внутренние силовые факторы, метод сечений, понятия о напряжениях, перемещениях, деформациях и о методах расчета.

Цели лекции: определить круг задач, решаемых методами сопротивления материалов, изучить основные понятия.

8.1 Задачи сопротивления материалов. Расчетная схема

Сооружения, машины, аппараты и приборы должны обладать прочностью и жесткостью. Прочность – способность твердых тел воспринимать действие сил без разрушения. Жесткость – способность твердых тел воспринимать действие сил без существенного изменения размеров и формы (без значительных деформаций). Для обеспечения прочности и жесткости элементы конструкций должны быть изготовлены из подходящего материала и иметь необходимые размеры. Сопротивление материалов (СМ) – наука о прочности и жесткости элементов конструкций. В СМ наиболее существенным является свойство деформируемости тел. Цель СМ – дать простые приемы расчета типичных элементов конструкций. В СМ используются приближенные методы, основанные на гипотезах, применение которых оправдано сопоставлением результатов расчета и эксперимента, а также результатов точного анализа.

Исследование вопроса начинается с выбора расчетной модели, иначе расчетной схемы (РС) – это описание объекта, освобожденное от несущественных факторов. В зависимости от требуемой точности и рассматриваемой стороны явления для одного объекта можно использовать несколько РС. С другой стороны, к одной и той же РС может быть сведен ряд объектов.

Выбор РС начинается со схематизации свойств материала. Принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду. Сплошная среда наделяется свойством упругости. Упругость – способность тела восстанавливать свои первоначальные размеры и форму после снятия внешних сил, вызвавших их изменение. В большинстве задач среда считается абсолютно упругой. Обычно в СМ среда рассматривается как изотропная.

Вводятся упрощения и в геометрию объекта; в СМ она приводится к схеме стержня или оболочки. Стержень – это тело, одно из измерений которого (длина) намного больше двух других (см. рисунок 8.1).

Упрощения вводятся и в системе сил. Так, вводится понятие сосредоточенной силы. В СМ различают внешние и внутренние силы. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на конструкцию заменяется силами, которые относят к внешним силам. В число внешних сил включают не только заданные (активные) силы, но и реакции связей, дополняющие систему сил до равновесной. Равновесную систему сил, включающую в себя активные и реактивные силы, обычно называют нагрузкой. Величина и характер распределения внешних сил зависят от того, где проходит граница между объектом и окружающими телами. Различают силы статические, динамические, повторно-переменные.

Силы, характеризующие взаимодействие между частями самого объекта, относят к внутренним силам. Внутренние силы возникают не только между отдельными частями объекта, но и между всеми смежными частицами объекта при его нагружении.

8.2 Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечном

сечении стержня

Пусть к стержню (см. рисунок 8.2,а) приложена нагрузка {F₁, F₂, …, F_n}. Внутренние силы, возникающие в стержне, выявляются, если рассечь его мысленно на две части, например, сечением А (это метод сечений). Т.к. связи между частями стержня устранены, необходимо действие правой части на левую и левой на правую заменить системой внутренних сил {F_А} в сечении (см. рисунок 8.2,б). Система сил, возникающих в плоскости А', обратна по знаку системе сил в плоскости А". Внутренние силы распределяются некоторым сложным образом по сечению. При этом условия равновесия для правой и левой частей стержня должны удовлетворяться по отдельности. Главный вектор и главный момент внутренних сил в сечении А могут определяться из условий равновесия любой из частей тела.

Из уравнений равновесия можно определить только статические эквиваленты внутренних сил (при условии, что внешние силы заданы). Приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор и главный момент (см. рисунок 8.3). Выберем систему координат, направив ось z по нормали к сечению, а оси х и у расположим в его плоскости. Спроецировав и на оси, получаем 3 силы и 3 момента, которые называют внутренними силовыми факторами (ВСФ) в сечении стержня. Составляющую N называют нормальной (продольной) силой, Q_x и Q_y - поперечными силами, М_к - крутящим моментом, а М_х и М_у - изгибающими моментами относительно осей х и у. При известных внешних силах все ВСФ определяются из шести уравнений равновесия.

Аналогично классифицируются основные виды нагружения (растяжение, сжатие, кручение, изгиб и др.). Для определения вида нагружения, необходимо воспользоваться методом сечений и выявить, какие ВСФ возникают в его сечениях. Результаты определения ВСФ представляют в виде графиков (эпюр).

8.3 Понятия о напряжениях, перемещениях и деформациях

Вектором полного напряжения в точке К в сечении S называют величину

(8.1)

где - элементарная площадка в окрестности точки K;

- равнодействующая внутренних сил на площадке.

Напряжение есть внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади (в паскалях). Полное напряжение р раскладывают на составляющие: по нормали к сечению (нормальное напряжение s) и по двум осям в плоскости сечения (касательные напряжения t). Если через т. К провести другое сечение, напряжение будет, вообще говоря, другим. Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через точку, образует напряженное состояние в точке.

Под действием внешних сил все тела деформируются. Это существенно влияет на распределение в теле внутренних сил, хотя деформации, как правило, незначительны. При деформировании точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец в той же точке деформированного тела, называют вектором линейного перемещения точки. Вводят также понятие углового перемещения. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после деформирования, то он поворачивается на некоторый угол.

Если на систему наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, то систему называют кинематически неизменяемой. Именно такие системы и рассматриваются, как правило, в СМ. В противном случае рассматривается только часть перемещений, обусловленная деформациями. Тогда для большинства систем перемещения любой точки являются малыми по сравнению с размерами тела. Поэтому согласно принципу начальных размеров при составлении уравнений статики не учитывают изменение размеров (есть исключения).

Чтобы характеризовать интенсивность изменения размеров и формы тела, рассмотрим тело до и после деформирования. Величину

(8.2)

называют линейной деформацией или просто деформацией в точке А по направлению АВ (порядок 10^-3). В той же точке в другом направлении деформация, вообще говоря, будет другой. В направлении осей х, у и z имеем e_х, e_у и e_z.

Рассмотрим прямой угол, образованный в теле двумя отрезками OD и ОС . После нагружения тела внешними силами этот угол изменится и примет значение C'O'D'. Величину

(8.3)

называют угловой деформацией или углом сдвига в точке О в плоскости COD.

В координатных плоскостях углы сдвига обозначают через g_уz, g_zx и g_ху.

8.4 Закон Гука. Принципы независимости действия сил и Сен-Венана

Во многих случаях перемещения в определенных пределах пропорциональны действующим силам (Гук, 1660 г.). Коэффициент пропорциональности зависит как от физических свойств материала, так и от геометрии системы. В современной трактовке закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением и деформацией, и тогда коэффициенты пропорциональности являются константами материала. Эта зависимость сохраняется как при возрастании, так и при убывании сил и отражает упругие свойства системы.

Можно доказать, что системы, для которых выполняется закон Гука, подчиняются принципу суперпозиции (принципу независимости действия сил): перемещения и внутренние силы в упругом теле, не зависят от порядка приложения внешних сил. Если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий от каждой силы.

При решении задач СМ используется принцип Сен-Венана. Предполагается, что если к телу приложена самоуравновешивающаяся система сил, то напряжения и деформации быстро убывают при удалении от места приложения нагрузки. Согласно этому принципу способ приложения нагрузки влияет только на деформацию тела в малом объеме, примыкающем к месту приложения нагрузки, и не влияет на деформацию тела вдали от точек ее приложения.

8.5 Общие принципы расчета элементов конструкции

Наиболее распространенным методом расчета на прочность является расчет по напряжениям: считается, что критерием надежности конструкции является напряжение (напряженное состояние) в точке. При этом на основании анализа конструкции выявляются наибольшие (расчетные) напряжения, которые сопоставляются с предельным значением для данного материала, полученным на основе испытаний; из сопоставления делается заключение о прочности.

Если необходимо добиться наименьших изменений формы конструкции, производится расчет на жесткость, что не исключает проверки системы на прочность. Существуют другие методы, связанные с такими явлениями, как устойчивость, эффект повторных нагрузок, динамическое воздействие и др. Вопрос же о степени надежности конструкции в конкретных условиях изучается в курсах деталей машин и в спецкурсах.

Лекция 9. Растяжение и сжатие стержней

Содержание лекции: нормальная сила, напряжения и деформации, перемещения, потенциальная энергия деформации, напряженное и деформированное состояния при растяжении (сжатии), диаграммы растяжения и сжатия, условие прочности при растяжении-сжатии.

Цели лекции: изучить механику растянутых (сжатых) стержней, ознакомиться с методикой проведения испытаний материалов на растяжение и сжатие, изучить основные механические характеристики материалов, изучить методику расчетов на прочность при растяжении-сжатии.

9.1 Продольная сила и нормальные напряжения

Растяжение - вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только нормальная сила N. При растяжении направление N совпадает с направлением внешней нормали к рассматриваемому сечению. Сжатие формально отличается от растяжения только направлением N, хотя имеются и существенные отличия (сжатие длинных стержней сопровождается изгибом, характер разрушения при растяжении и сжатии различен). Обычно растяжение или сжатие возникает при нагружении стержня осевыми силами. Эпюру N строят с использованием метода сечений, при этом N равна сумме проекций на продольную ось всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

N= ∑F_iz. (9.1)

Растягивающую силу N считают положительной, сжимающую – отрицательной. Тогда проекция внешней силы в правой части (9.1) должна браться со знаком «+», если сила направлена от сечения, и со знаком «-», если направлена к сечению. Зависимость между нормальной силой и напряжениями в этом сечении имеет вид

(9.2)

где σ – нормальное напряжение в произвольной точке сечения, принадлежащей малой площадке dA;

A – площадь поперечного сечения.

Из схемы деформирования стержня на рисунке 9.1 можно прийти к выводу, что напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы, так что

откуда (9.3)

Нормальное напряжение считается положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. В рассматриваемом примере имеем однородное напряженное состояние – во всех точках стержня напряженное состояние одно и то же. Если стержень имеет переменное сечение, то при таком же нагружении напряженное состояние неоднородно.

9.2 Удлинения стержня и закон Гука

Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от приложенных сил. Так, стержень на рисунке 9.2 удлиняется на величину ∆l, называемую абсолютным (полным) удлинением стержня. Т.к. здесь имеет место однородное напряженное состояние, то и линейная деформация (т.н. относительное удлинение) во всех точках одинакова и равна

. (9.4)

В случае неоднородного напряженного состояния

. (9.5)

В пределах малых ε для большинства материалов справедлив закон Гука (линейная зависимость между σ и ε)

σ=Е∙ε (9.6)

где E – модуль Юнга (модуль упругости I рода); определяется экспериментально.

Из (9.5) с учетом (9.3) и (9.4), получим после интегрирования

. (9.7)

Для стержня, имеющего постоянное сечение и нагруженного по концам силами F, имеем N=F=const, и абсолютное удлинение равно

. (9.8)

Здесь E∙А - жесткость стержня при растяжении-сжатии.

При воздействии температуры суммарная деформация определяется, как

(9.9)

где α – коэффициент температурного расширения материала;

∆t – приращение температуры.

При статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации U; при выполнении закона Гука

_. (9.10)

9.3 Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии

На рисунке 9.2,а показан кронштейн, состоящий из двух стержней. Продольные силы в стержнях можно определить с использованием способа вырезания узлов, записав уравнения равновесия в виде сумм проекций сил на 2 координатные оси, откуда несложно найти N₁ и N₂. Если в конструкцию добавить еще один стержень (см. рисунок 9.2,б), то она будет более прочной и жесткой, но определить усилия N₁ , N₂ и N₃ только из уравнений статики уже не удастся: неизвестных 3, а уравнений статики по-прежнему 2 (имеем 1 раз статически неопределимую систему). Система на рисунке 9.2,в 2 раза неопределима. Степенью статической неопределимости (СНН) называют разность между числом связей и числом независимых уравнений статики. Определение всех неизвестных сил (раскрытие статической неопределенности) возможно при использовании дополнительных уравнений.

В элементах статически определимых систем ВСФ и напряжения возникают только от действия внешней нагрузки, а в элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки, например, в результате изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

9.4 Напряженное и деформированное состояния при растяжении

Рассмотрим напряжения в наклонных сечениях стержня, составляющих угол α с поперечным сечением (см. рисунок 9.3,а). Если площадь поперечного сечения равна A, то площадь наклонного сечения равна A/cosα.

На рисунке 9.3,б видно, что p∙A_α= F и F=σ∙A, поэтому

р = F/ A_α= σ∙cosα. (9.11)

Разложим р на составляющие σ_αи τ_α (см. рисунок 9.5 в). Получаем

σ_α= р∙cosα = σ∙cos²α, (9.12)

τ_α= р∙sinα = σ∙sin2α. (9.13)

Отсюда имеем:

а) при α=0 получаем σ_α= σ_,τ_α=0;

б) при α=90ْ (в продольных сечениях) σ_α= 0_,τ_α=0, т.е., продольные слои не имеют силового взаимодействия;

в) при α=45ْ напряжение τ имеет наибольшее значение τ_max= σ/2;

г) для сечений с углом α и (α+90ْ) абсолютная величина τ одна и та же; это закон парности касательных напряжений, который выполняется всегда.

Рассмотрим деформации при растяжении. Опыт показывает, что в определенных пределах продольное удлинение стержня (см. рисунок 9.4) сопровождается поперечным сужением. Поперечная деформация ε´=∆а/а и

ε´=- µ∙ε (9.14)

где µ - коэффициент поперечной деформации (Пуассона); значения µ для металлов лежат в пределах 0,25… 0,35.

В стержне возникают также угловые деформации γ_α (см. рисунок 9.5). Можно доказать, что угол сдвига γ_α пропорционален напряжению τ_α на соответствующей площадке. Это - закон Гука для сдвига

τ=G∙γ (9.15)

где G – модуль сдвига или модуль упругости II рода.

Между параметрами упругости материала Е, G и µ имеется взаимосвязь . (9.16)

9.5 Диаграммы растяжения

Для изучения свойств материалов и установления значений предельных напряжений проводят испытания образцов материала вплоть до разрушения. Эксперимент ведут в стандартных условиях на специальных машинах. Наиболее распространены испытания на растяжение статической нагрузкой, т.к. они наиболее просты и дают возможность судить о поведении материала при других видах деформации.

Для испытаний применяют цилиндрические (см. рисунок 9.6) или плоские образцы. Обычно d₀=20 мм, l₀=10d₀ или l₀=5d₀. При испытании записывается диаграмма зависимости между F и Δl. Для возможности сравнения результатов по образцам различных размеров, диаграмму F-Δl рассматривают и как диаграмму σ-ε. Это не совсем верно, поскольку подразумевается, что σ=F/A₀ и ε=∆l/l₀ (A₀, l₀ –первоначальная площадь поперечного сечения образца и первоначальная длина образца). Т.к. истинные σ и ε должны определяться через текущие значения A и l, то такую диаграмму в координатах σ и ε называют условной диаграммой растяжения.

На рисунке 9.7 сплошной линией показана условная диаграмма растяжения малоуглеродистой стали. На участке ОА до некоторого напряжения σ_пц, называемого пределом пропорциональности, ε растет пропорционально σ, т.е. выполняется закон Гука (для стали Ст3 σ_пц≈ 200 МПа). Дальше диаграмма становится криволинейной, до величины σ_у, называемой пределом упругости, материал еще сохраняет упругие свойства. Значения σ_пц и σ_у близки (для Ст3 σ_у≈ 210 МПа), на практике их не различают.

При дальнейшем увеличении нагрузки наступает момент (т.С), когда деформации начинают расти без увеличения нагрузки. Горизонтальный участок СD называется площадкой текучести, соответствующее напряжение - пределом текучести при растяжении σ_тр (240…400 МПа для Ст3).

Далее диаграмма поднимается вверх. В т.Е достигается наибольшее условное напряжение, называемое пределом прочности или временным сопротивлением σ_вр (для Ст3 σ_вр=400…500 МПа). На образце появляется резкое местное сужение, т.н. шейка. Площадь сечения образца в шейке быстро уменьшается и, как следствие, падает усилие и σ. Разрыв образца происходит по наименьшему сечению. Предел прочности не есть напряжение, при котором происходит разрушение образца. Если относить растягивающую силу не к A₀, а к площади шейки, то в т.S в шейке перед разрывом σ_ист > σ_вр.

При испытании определяют также относительное остаточное удлинение при разрыве δ, являющееся характеристикой пластичности материала,

(9.17)

где l₀ – первоначальная расчетная длина образца;

l₁ – расчетная длина образца после разрыва.

Для Ст3 δ ≥24%, у высокопрочных сталей δ=(7…10)%. Это удлинение является усредненным, истинное удлинение возникает в месте разрыва.

Для изучения значительных пластических деформаций необходимо знать истинную диаграмму растяжения (кривая OCS на рисунке 9.7).

Рассмотренная диаграмма растяжения является характерной для т.н. пластичных материалов. К весьма пластичным материалам относятся медь, алюминий, латунь, малоуглеродистая сталь и др., к менее пластичным - дуралюмин и бронза, к слабо пластичным – большинство легированных сталей. Ряд пластичных материалов при растяжении дает диаграмму без площадки текучести; для них устанавливается т.н. условный предел текучести – это напряжение, которому соответствует определенная величина остаточной деформации. Условному пределу текучести σ_0,2 соответствует остаточная деформация 0,2%.

Противоположным свойству пластичности является хрупкость. К хрупким материалам (δ < 2-5%) относятся чугун, инструментальная сталь, камень, бетон, стекло и др.

Диаграмма растяжения образцов из хрупких материалов (рисунок 9.8) имеет ряд особенностей. Здесь отклонение от закона Гука начинается очень рано. Разрыв наступает внезапно при очень малых деформациях, без шейки. При испытании определяют только предел прочности σ_вр. При расчетах отклонение от закона Гука для хрупких материалов не учитывают, заменяя криволинейную диаграмму прямолинейной. Заметное влияние на σ_вр оказывают размеры образца, что оценивают масштабным коэффициентом.

9.6 Диаграммы сжатия

Используют образцы в форме кубиков или невысоких цилиндров (h≤ 3d) - иначе возникает изгиб. Применение очень коротких образцов также нежелательно, т.к. силы трения на торцах искажают картину. Вид диаграммы сжатия хрупких материалов такой же, как диаграммы растяжения. По диаграмме определяют σ_вси δ, при этом σ_всобычно больше σ_вр.

На рисунке 9.9 показана типичная диаграмма сжатия пластичного материала. Вначале она идет так же, как и диаграмма растяжения, а затем вверх – образец сплющивается и не разрушается. Пределы текучести при растяжении и сжатии для малоуглеродистых сталей практически одинаковы.

9.7 Условие прочности при растяжении-сжатии. Три вида задач

Наиболее распространен метод расчета на прочность по напряжениям. Расчет ведется по наибольшему напряжению, возникающему в конструкции, которое не должно превышать предельной для материала величины, σ_max<σ_пред, при этом необходимо предусмотреть некоторый запас прочности, так что должно выполняться условие прочности

σ_max≤[σ]. (9.18)

Здесь [σ] – допускаемое напряжение, которое определяется как некоторая часть от предельного напряжения,

(9.19)

где [n] – нормативное значение запаса прочности (зависит от степени ответственности конструкции, точности расчетной схемы, опыта проектирования, условий работы). При этом всегда [n]>1,0 и его значения для различных элементов конструкций приводятся в нормативных документах.

В качестве σ_пред для элементов конструкций, изготовленных из пластичных материалов обычно принимают σ_тр или σ_тс для того, чтобы избежать образования заметных остаточных деформаций в конструкции. Для хрупких, а в некоторых случаях и для умеренно пластичных материалов качестве σ_пред принимают σ_вр или σ_вс при растяжении или сжатии соответственно.

Другая форма условия прочности по этому же методу

n≥[n] (9.20)

где n – фактический (расчетный) запас прочности; n=σ_пред/ σ_max.

Т.о., при растяжении-сжатии условие прочности (9.18) принимает вид

. (9.21)

Пользуясь этим условием, можно решать 3 вида задач:

а) проверочный расчет. Здесь по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня определяют фактические напряжения и сравнивают их с допускаемыми, т.е., непосредственно проверяют выполнение условия (9.24). Перенапряжение недопустимо с точки зрения обеспечения прочности, а недонапряжение ведет к перерасходу материала;

б) проектный расчет. По известным нагрузке и допускаемому напряжению определяют размеры поперечных сечений стержней, требуемые по условию прочности ; (9.22)

в) определение предельной грузоподъемности (несущей способности). Здесь по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению определяют допускаемую продольную силу

, (9.23)

после чего, установив связь между продольной силой и нагрузкой (с помощью уравнений статики), определяют допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни, кроме расчета на прочность, должны рассчитываться на устойчивость, т.к. при определенном значении сжимающей силы происходит выпучивание (потеря устойчивости) стержня.

Отметим также, что критерий прочности, принятый в методе допускаемых напряжений (напряжения в точке), не всегда характеризует условие наступления разрушения конструкции. В ряде случаев за такой критерий правильнее принимать предельную нагрузку.

9.8 Концентрация напряжений

Расчет стержней переменного сечения производится так же, как и стержней постоянного сечения.

В тех случаях, когда сечение стержня меняется резко (около выточек, галтелей, отверстий и т.д.), распределение напряжений не соответствует простому растяжению (см. рисунок 9.10). Отступление от закона равномерного распределения напряжений, соответствующего простому растяжению, вблизи мест резкого изменения поперечного сечения называется концентрацией напряжений. Проявление концентрации напряжений:

а) σ в поперечных сечениях распределяются неравномерно, причем наибольшего значения они достигают у мест изменения сечения;

б) в поперечных и продольных сечениях имеют место как σ, так и τ.

Лекция 10. Чистый сдвиг. Кручение стержня круглого сечения

Содержание лекции: - чистый сдвиг, крутящий момент, напряжения и деформации при кручении, расчеты на прочность и жесткость.

Цели лекции: изучить особенности чистого сдвига и механику кручения стержней круглого и кольцевого поперечного сечения, получить формулы для расчетов на прочность и жесткость.

10.1 Напряжения и деформации при чистом сдвиге

Чистый сдвиг (ЧС) – это напряженное состояние, при котором на гранях выделенного из тела элемента возникают только касательные напряжения t (см. рисунок 10.1,а). Однородный ЧС имеет место при кручении тонкостенной трубки.

Можно доказать, что если из элемента, находящегося в условиях ЧС, вырезать элемент с гранями, наклоненными под углами в 45º к исходным граням, то на них касательных напряжений не будет, а будут иметь место только нормальные напряжения (см. рисунок 10.1,б), на одной паре противоположных граней напряжения - растягивающие (σ’=t), на другой – сжимающие (σ”=t).

Напряжения t связаны с угловой деформацией γ законом Гука

t=G∙γ. (10.1)

Испытания на ЧС тонкостенной трубки, закручиваемой моментами, дают условную диаграмму сдвига в координатах t и γ, которая сходна с диаграммой растяжения, при этом для пластичных металлов t_т=(0,5…0,55)σ_т.

Напряженное состояние, близкое к ЧС, возникает в заклепках, болтах (устанавливаемых без зазора), шпонках, шлицах, сварных швах.

10.2 Кручение стержня с круглым поперечным сечением

Под кручением понимается такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент М_кр. Кручение обычно возникает при нагружении стержня парами сил (скручивающими моментами), плоскости действия которых перпендикулярны продольной оси стержня. Эпюру крутящего момента строят с использованием метода сечений, при этом М_крравен сумме моментов относительно продольной оси стержня всех пар сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

М_кр= ∑M_i. (10.2)

Правило знаков: если наблюдатель со стороны внешней нормали к сечению видит момент М_кр направленным против часовой стрелки, то он считается положительным, иначе - отрицательным. Внешние моменты в (10.2) должны браться с противоположным правилом.

При расчете стержня (вала) обычно требуется определить напряжения и угловые перемещения в зависимости от величин внешних моментов. Методами СМ можно получить решение только для стрежня кругового или кольцевого поперечного сечения (будем рассматривать только этот случай) и для тонкостенных стержней. В случае кручения стержня с круговым поперечным сечением каждое сечение стержня поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое (гипотеза плоских сечений).

Рассмотрим стержень с круговым поперечным сечением, показанный на рисунке 10.2,а. В его поперечных сечениях возникает постоянный крутящий момент М_кр=M. Двумя поперечными сечениями, выделим из стержня элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и (r+dr) – элементарное кольцо, показанное на рисунке 10.2,в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. Тогда

. (10.3)

Угол g представляет собой угол сдвига цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений t. Величину

(10.4)

называют относительным углом закручивания. Это угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними.

Из рассмотрения (10.3) и (10.4) получим g = r∙θ. (10.5)

По закону Гука для сдвига τ=G∙r∙θ (10.6)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении стержня. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях (см. рисунок 10.4 г).

Очевидна (рисунок 10.3) зависимость . С учетом (10.6) получаем . Интеграл представляет собой геометрическую характеристику сечения и называется полярным моментом инерции сечения

. (10.7)

Т.о., получаем или

. (10.8)

Величину называют жесткостью стержня при кручении.

Из (10.8) с учетом (10.4) получим

. (10.10)

Если М_кр и по длине стержня постоянны, то из (10.10) найдем

. (10.10)

Подставляя (10.8) в (10.6) получим выражение для напряжений

. (10.11)

Т.о., касательные напряжения распределены вдоль радиуса по линейному закону и имеют максимальное значение в точках, наиболее удаленных от центра. При этом

или . (10.12)

Величина

(10.13)

называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения стержня. Формулы (10.10), (10.12) справедливы для кругового и кольцевого сечений.

Полярный момент инерции для круглого сечения найдем из (10.7), учитывая, что элементарная площадь пояска dA=2π∙ρ∙dρ (рисунок 10.3). Имеем

или . (10.14)

Полярный момент сопротивления для круглого сечения

. (10.15)

Для кольцевого сечения (с наружным D и внутренним d диаметрами) имеем

. (10.16)

. (10.17)

Условие прочности и условие жесткости при кручении имеют вид

, (10.18)

или (10.110)

где [τ], [φ], [θ] – допускаемое касательное напряжение, допускаемый полный и допускаемый относительный углы закручивания соответственно.

Лекция 11. Геометрические характеристики поперечных сечений. Внутренние силовые факторы при изгибе

Содержание лекции: статические моменты, центр тяжести, моменты инерции, главные оси и главные моменты инерции плоских фигур; внутренние силовые факторы при изгибе.

Цели лекции: изучить геометрические характеристики поперечных сечений стержня, используемые в теории изгиба стержней; изучить особенности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

11.1 Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим некоторую плоскую фигуру в системе координат x, y (рисунок 11.1). Интегралы

, (11.1)

называются статическими моментами фигуры относительно оси x и оси y соответственно.

Выясним, как изменяются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (см. рисунок 11.2). Очевидно, что x = x₁- a; y = y₁- b. Тогда ,

Величины а и b можно подобрать так, чтобы и были равны нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести фигуры; в системе координат (x₁, y₁) координаты центра тяжести равны

, . (11.2)

Отметим, что статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

11.2 Моменты инерции сечения

Возвращаясь к рисунку 11.1, рассмотрим три интеграла

, (11.3)

, (11.4)

. (11.5)

Первые два интеграла называют осевыми моментами инерции относительно осей x и y соответственно, третий - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Осевые моменты всегда положительны, центробежный может быть как положительным, так и отрицательным.

При параллельном переносе осей координат (см. рисунок 11.2) имеем

, (11.6)

, (11.7)

. (11.8)

Если x₁ и y₁ - центральные, то и тогда

, (11.9)

, (11.11)

. (11.11)

Т.о., при параллельном переносе осей в случае, когда одна из осей – центральная, осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями. В семействе параллельных осей момент инерции относительно центральной оси минимален.

11.3 Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рисунка 11.3 легко установить, что

u = y∙sina + x∙cosa; v = y∙cosa - x∙sina. (11.13)

Из выражений , , с учетом (11.13) после несложных преобразований получим

, (11.14)

, (11.15)

. (11.16)

Складывая первые два уравнения, получаем

(11.17)

т.е., сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей постоянна и равна полярному моменту инерции фигуры.

Т.к. с изменением угла a значения и изменяются, а их сумма остается постоянной, то существует такое значение a=a₀, при котором один из моментов или достигает своего максимального значения, другой – минимального. Значение a₀ найдем, исследуя на экстремум или . Найдем

. (11.18)

Оказывается, что при a=a₀ одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Они определяются с использованием (11.14), (11.15) и (11.18) как

. (11.19)

11.4 Изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе

Изгибом называют такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает изгибающий момент M. Если при этом все остальные ВСФ равны нулю, то имеем чистый изгиб. Чаще наряду с M возникает поперечная сила Q, и тогда имеем поперечный изгиб.

При решении задач изгиба важно уметь строить эпюры в.с.ф. Для этого используют метод сечений. Будем рассматривать изгиб стержня с горизонтальной в недеформированном состоянии осью, при котором все активные силы лежат в вертикальной плоскости (yz).

Поперечная сила в каком-либо сечении балки равна сумме проекций на вертикальную ось всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения (приложенных к части стержня, отсеченной рассматриваемым сечением)

. (11.20)

Правило знаков для поперечной силы: если проекция равнодействующей внешних сил, лежащих слева от сечения (см. рисунок 11.4,а), направлена снизу вверх, то Q положительна, в противоположном случае отрицательна. Для правой части – наоборот.

Изгибающий момент равен сумме моментов относительно поперечной оси рассматриваемого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения (приложенных к отсеченной части стержня)

. (11.21)

Правило знаков для изгибающего момента: эпюру M строят на сжатом волокне, т.е., ординату M откладывают в сторону вогнутости упругой линии стержня (см. рисунок 11.5,б). Если какая-либо сила (или пара сил) стремится изогнуть стержень относительно рассматриваемого сечения выпуклостью вниз, то ее момент в (11.21) следует брать со знаком «плюс», в противоположном случае – со знаком «минус».

11.5 Дифференциальные зависимости Журавского

Доказывается, что между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом имеют место зависимости

, , . (11.22)

Из (11.22), в частности, следует, что при q = const функция Q линейная, а функция M - квадратичная. Если на каких-то участках бруса распределенная нагрузка отсутствует (q = 0), то Q = const, а M - линейная функция от z.

В сечениях, где Q принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.

Лекция 12 Напряжения и расчеты на прочность при изгибе. Перемещения при изгибе

Содержание лекции: напряжения и расчеты на прочность при чистом и поперечном изгибе; перемещения и расчеты на жесткость при изгибе.

Цели лекции: сформулировать условия прочности при изгибе; получить дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня.

12.1 Напряжения при чистом изгибе

При чистом изгибе имеем Q=0, M=const. Под действием M стержень изгибается. Принимая гипотезу плоских сечений, деформации можно рассматривать, как результат поворота одного поперечного сечения относительно другого (см. рисунок 12.1). Рассмотрим два сечения, расположенных на расстоянии dz друг от друга. В результате поворота правого сечения относительно левого на угол dθ верхние слои удлинятся, нижние укоротятся. Существует слой, в котором удлинения отсутствуют – это нейтральный слой CD. Между радиусом кривизны нейтрального слоя ρ, углом dθ и длиной dz существует зависимость dz= ρ∙dθ. Деформация произвольно взятого отрезка AB длиной dz равна

. (12.1)

Согласно закону Гука

. (12.2)

Т.о., при чистом изгибе напряжения распределяются в поперечном сечении по линейному закону. Нейтральная линия (НЛ) – это геометрическое место точек, в которых σ=0; очевидно, она перпендикулярна плоскости кривизны изогнутого стержня.

Т.к. при чистом изгибе, то , т.е. НЛ проходит через центр тяжести поперечного сечения. Мы рассматриваем частный случай изгиба, при котором изогнутая ось стержня лежит в плоскости действия момента M . Тогда

, (12.3)

. (12.4)

Из (12.4) следует, что , т.е., изменение кривизны стержня в плоскости момента M имеет место тогда, когда плоскость M проходит через одну из главных осей инерции сечения. Такой изгиб называют прямым в отличие от косого, при котором плоскость M и плоскость кривизны стержня не совпадают.

Из (12.3) получаем выражение для кривизны стержня

. (12.5)

Здесь - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. Величина называется жесткостью стержня при изгибе.

Подставляя (12.5) в (12.2), получаем выражение для напряжения σ

. (12.6)

Напряжения максимальны в точках, наиболее удаленных от НЛ,

(12.7)

где - момент сопротивления сечения изгибу.

Условие прочности при чистом изгибе имеет вид

(12.8)

где - допускаемое напряжение.

Отметим, что в случае материала стержня, неодинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, бывает необходимым выполнять расчет на прочность как по максимальным растягивающим, так и по максимальным сжимающим напряжениям.

Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых при одинаковой площади получаются наибольшие значения - это, например, стандартные прокатные профили типа двутавров, швеллеров.

12.2 Напряжения и расчеты на прочность при поперечном изгибе

При поперечном изгибе Q≠0, M=vary, в поперечных сечениях стержней возникают не только нормальные напряжения σ, но и касательные τ. Возникновение τ сопровождается появлением угловых деформаций γ, и т.к. τ распределены по сечению неравномерно, поперечные сечения стержня не остаются плоскими. Однако на значениях σ это не очень сказывается, и формулы (12.5) и (12.6) можно считать справедливыми с достаточной точностью.

Считая, что по ширине b напряжения τ распределены равномерно, удобно их определить через парные им напряжения в продольном сечении, расположенном на расстоянии y от НЛ (см. рисунок 12.2). Записывая уравнения равновесия для отсеченной продольным сечением части элемента длиной dz, получаем формулу Журавского для касательных напряжений

(12.9)

где - статический момент относительно оси x части площади, расположенной выше продольного сечения.

Во многих случаях τ не сказываются на прочности стержней (исключая тонкостенные и короткие стержни). Тогда для стержней постоянного поперечного сечения, изготовленных из материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие, условие прочности при поперечном изгибе имеет вид

(12.10)

Пример 12.1 – Требуется проверить прочность показанной на рисунке 12.3,а балки прямоугольного сечения по условию (12.10), если F= 4 кН, l=1.2 м, b= 40 мм, h= 60 мм, [σ]= 160 МПа. Проанализировать влияние касательных напряжений на прочность балки.

Решение. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Поперечная сила постоянна по длине балки, а изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение в заделке (опасное сечение) =F∙l=4.8 кН∙м. Момент сопротивления изгибу W_x =b∙h²/6=2.4∙10⁴ мм³. Проверяем условие прочности

МПа>[σ]=200 МПа – условие прочности не выполняется.

Оценим влияние τ на прочность балки. Эпюра распределения σ по поперечному сечению показана на рисунке 12.3,в, в опасном сечении . Определим напряжения τ. Имеем . Касательные напряжения по (12.9) равны , эпюра показана на рисунке 12.3,г. Наибольших значений τ достигают в точках на НЛ, где , а σ нулевые. В наиболее удаленных от НЛ точках, где σ максимальны, напряжения τ нулевые. При этом отношение =4l/h, т.е. для длинной балки касательные напряжения пренебрежимо малы.

12.3 Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня и его интегрирование

При прямом изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок, точки оси получают поперечные перемещения v, а поперечные сечения поворачиваются относительно нейтральной оси. Углы поворота поперечных сечений θ равны углам наклона касательной к изогнутой оси балки (см. рисунок 12.4). Прогибы и углы поворота сечений являются функциями координаты z и их определение необходимо для расчета балок на жесткость. Совместив начало системы координат zy с левым концом балки, видим, что v(z)=y(z), tgθ(z)=y′(z), где y(z) – уравнение изогнутой оси стержня. Т.к. углы θ малы, то tgθ≈θ, так что θ(z)=y′(z). Т.о., задача определения v и θ сводится к определению уравнения изогнутой оси стержня y(z). Считаем, что справедлива зависимость (12.5). Для кривой y(z) кривизну можно выразить как . Т.к. <<1,имеем . Тогда получаем

. (12.12)

Интегрирование этого дифференциального уравнения в аналитическом виде возможно лишь для простых случаев. Получающиеся при этом постоянные интегрирования находят из граничных условий.

Пример 12.2 – Для балки, изображенной на рисунке 12.5, считая жесткость балки постоянной, определить уравнение изогнутой оси.

Решение. Имеем 2 участка, для которых последовательно записываем

1 участок, 0≤z≤a:	2 участок, a≤z≤(a+b):
,	,
,	,
,	,
.	.

Постоянные интегрирования определяем из граничных условий закрепления стержня и условий непрерывности прогибов и углов поворота сечений при переходе от первого участка ко второму участку: при z=0 y_I=0; при z=a+b=l y_II=0; при z=a y_I=y_II; при z=a y_I′=y_II′. Отсюда находим

, , , .

После преобразований получим

, .

Список литературы

1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В. И. Дронг, B. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.; Под общ. ред. К. С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. - 736 с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностр. и приборостроит. спец. вузов - М.: Высш. шк., 1990. - 607 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для студентов технических вузов - М.: Высш. шк., 2007. – 416 с.

4. Кирсанов М. Н. Решебник. Теоретическая механика /Под ред. А. И. Кириллова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 384 с.

5. Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Теоретическая механика. – Харьков: Изд-во Нац. ун-та внутр. дел, 2004. - 244 с.

6. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 2003. – 352 с.

7. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. – 592 с.

8. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для немашиностроит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1988. – 367 с.

9. Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов. – Харьков: Изд-во Нац. ун-та внутр. дел, 2001, 404 с.

10. Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с.

11. Агамиров Л.В. Сопротивление материалов: Краткий курс. Для студентов вузов. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2003. – 256 с.

12. Олофинская В.П. Техническая механика. Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий. – М.: Форум:Инфра-М, 2007. - 349 с.

13. Прикладная механика. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ /Сост. А.Д.Динасылов. – Алматы: АИЭС, 2006. – 37 с.

14. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. – М.: Высш. шк., 1994. – 206 с.

15. Динасылов А.Д. Прикладная механика. Основы расчетов на прочность и жесткость: Учеб. пособие. – Алматы: АИЭС, 2009. – 84 с.

16. Теория механизмов и машин: Учебник для втузов /К.В.Фролов и др. - М.: Высш. шк., 1987. – 496 с.