Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Автоматты Электр байланыс кафедрасы

 

 

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЯЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДЕГІ АҚПАРАТТАРДЫ ҚОРҒАУ

Курстық жұмысты орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар
(5В071900 – Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар мамандығының студенттері үшін)

 

Алматы 2013

 

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: А.С. Байкенов, Е.А Шкрыгунова., М.З. Якубова Телекоммуникациялық жүйелердегі ақпараттарды қорғау.  5В071900 – Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар мамандығының студенттері үшін курстық жұмысты орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар – Алматы; АЭжБУ, 2013 – 21 б.

 

Әдістемелік нұсқау курстық жұмыс жасауға арналған жалпы нұсқауларынан тұрады. Курстық жұмысты жасауға арналған мысалдар келтірілген. Ұсынылатын әдебиеттер тізімі келтіріледі. Әдістемелік нұсқау РЭТ мамандығының барлық оқу бөлімінің студенттеріне арналған.

Без. 3 , кесте 10, әдеб. көрсеткіші.- 3  атау.

 

Пікір берушілер: техн. ғыл. канд., проф. К.Х. Туманбаева.

                                        техн. ғыл. канд., проф. Г.С. Казиева.

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық

емес акционерлік қоғамының 2012 ж. баспа жоспары бойынша басылады. 

 

©  “Алматы энергетика және байланыс  университеті ”  ҚЕАҚ, 2013 ж.

 

Кіріспе

 

Курстық жұмыстың мақсаты – криптографиялық әдіспен телекоммуникациялық жүйелердегі ақпараттарды қорғау жүйесін математикалық негіз арқылы тұрғызуды студенттерге таныстыру. Курстық жұмыс мәліметтерді қорғауды жүзеге асырудың  әдістері мен принциптері  туралы студенттердің  жүйеленген ойының қалыптасуына   бағытталған.

Курстық жұмыс жабық кілтпен шифрлеу жүйесін оқытуға арналған. №1 тапсырма жабық кілтпен шифрлеуге арналған. RSA алгоритмдері қарастырылады, сонымен қатар хеш-функциялы қолдануы бар электронды қолтаңбалар бойынша есептеулер ұсынылады.

 №2 тапсырма ассиметриялық шифрлеуге немесе ашық кілт арқылы  шифлеуге арналған. Дифи –Хелман, Шамир, Эль-Гамаль алгоритмдері қарастырылады..

 

 

1  Тапсырма

 

1.1 Тапсырма. Симметриялы емес шифрлеу –дешифрлеу

 

Келесі таратуға арналған ақпаратты RSA  әдісі арқылы шифлеу керек.

Құпия кілтті екі нұсқамен, ұсынылған әдіспен және  кеңейтілген Эвклид алгоритмімен генерирлеу керек.

Тапсырманың нұсқасы студенттік билеттің соңғы сандарымен анықталады. I нөмірі арқылы  (соңғы санның алдындағы сан)  студент шифлеу үшін хабарды таңдайды, ал j –бойынша осы алгоритмнің жүзеге асуына керек  р және q  сандарын  таңдайды.

 

1.1 кесте -Бастапқы мәліметтер

i	0	1	2	3	4
Хабар	Принтер	Интеграл	Минус	Модуль	Плюс
j	0	1	2	3	4
p q	7.11	5.17	3.11	11.19	13.17

 

i	5	6	7	8	9
Хабар	Число	Дробь	Корень	Остаток	Степень
j	0	1	2	3	4
p q	7.17	5.11	7.13	11.17	5.13

 

Тапсырманы орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар

 

RSA алгоритмі қолданылатын, ашық кілтпен шифлеу әдісі - симметриялы емес шифрлеу-дешифлеу әдістерінің ең кең тараған түрі болып табылады.

Әртүрлі  АКЖ-нің (ашық кілт жүйесі)  саны көп болғанына қарамастан, 1977 жылы құрастырылған және өзінің құрастырушыларының Рона Ривест, Ади Шамир және Леонард Эйдельман есімдерімен аталған RSA  криптожүйесіәлдеқайда кең қолданысқа ие.  

Олар санау жағдайында  жай үлкен сандарды табу оңай жүзеге асатындығын қолданды, бірақ осындай екі санның нәтижесін көбейткішке жіктеу практикада мүмкін емес. RSA шифрінің ашылуы осындай жіктеуге эквивалентті екендігі дәлелденген  (теорема Рабина). Сондықтан шифрді ашу үшін кез келген кілт ұзындығына төмен бағалы операциялар санын беруге болады  және қазіргі компьютерлердің өнімділігін ескере отырып, оған кететін уақытты да бағалау керек.

Басқа он шақты АКЖ сұлбаларының қасында RSA алгоритмінің қорғалуын бағалауына кепілдік беруі, оның атақты болу себептерінің бірі.   Сондықтан RSA алгоритмі банктік компьютерлік желілерде, әсіресе жойылған клиенттермен (кредиттік карталарға қызмет көрсету) жұмыс істеу үшін қолданылады.

Осы алгоритмнің негізіне қойылған математикалық нәтижелерді қарастырайық.

 

1 Теорема. (Ферманың кіші  теоремасы.)

Егер р – жай сан, онда

                                                 x^p-1 = 1(mod p)                                    (1.1)

 

р-ға қатысты жай сан болатын, кез келген  х үшін   және

 

                                                  x^p = x(mod p)                                     (1.2)

 

кез келген  х  үшін.

Дәлелдеу. x^p  үшін (1) және (2) теңдеулерінің әділеттілігін дәлелдеу жеткілікті. Дәлелдеуді индукция әдісімен жүргіземіз.

 (3) теңдеу  х=0 және 1 болғанда орындалатындығы анық. Ары қарай

 

x^p = (x –1 + 1)^p = C(p,j)(x –1)^j = (x –1)^p + 1(mod 2),

 

0<j<р болғанда  C(р,j)=0(mod р). Осы теңсіздікті ескере отырып және дәлелдеу әдісінің ұсыныстарымен  индукция теоремасы дәлелденді.

Анықтама. Эйлер функциясы  φ(n) деп  теріс емес бүтін, кіші  n  және n ге қатысты жай сандарды айтамыз.

 

1.2 кесте – Бастапқы мәліметтер:

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
φ(n)	1	2	2	3	2	6	4	6	4	10	4

 

2 Теоремасы. Егер n = рq, (р және q – бір біріне қатысты жай сандар), онда

φ(n)=(р-1)(q-1).

 

3 Теорема. Егер n = рq, (және q – бір біріне қатысты жай сандар) және х –р және  q қатысты  жай сан, онда

x^φ(n) = 1(mod n).

 

Салдар. Егер  n = рq, (және q – бір біріне қатысты жай сандар) және е (n)-ге қатысты жай сан, онда өрнек

E_в,n : xx^в(mod n).

 

Zn-ге қатысты  өзара бірмәнді  болып табылады .

Егер е саны   f(n) санына  қатысты жай сан болса, онда келесі өрнекке тең болатын, бүтін d санынының бары  анық, 

 

                                               ed ≡ 1 (mod φ(n)).                                  (1.3)

 

RSA атақты алгоритмі осы математикалық фактілерге негізделген.

n = рq тең болсын, мұндағы  р және  q – әртүрлі жай сандар. Егер e және d онда Е_e,n және Е_d,n өрнектері Z_n-ге инверсті болып келеді. Егер e, d, р, q  сандары белгілі болса, Е_d,n өрнегі Е_e,n   сияқты  оңай есептеледі.

 Егер e және n сандары белгілі болып, бірақ р және q  сандары белгісіз болса,онда Е_e,n біржақты функция болады;  Е_d,_n-ды берілген n бойынша табу, n  жіктегенге тең болады. Егер р және q – жеткілікті түрде үлкен жай сандар болса, онда n-ді жіктеу мүмкін емес. Осы RSA шифрлеу жүйесінің  негізіне қойылған.

          RSA шифржүйесі

Қазіргі кезде ең кең таралған  ашық кілтпен шифлеу жүйесі RSA жүйесі болып табылады.

n = pq –    p, q  екі үлкен санның туындысы түрінде ұсынылатын бүтін сан болсын. Алгоритмнің шифленуі мен шифрді ажыратуын анықтайтын  e және d сандары сәйкесінше келесі шартқа жауап беруі керек

 

                                                ed ≡ (mod φ(n)),                                   (1.4)

 

мұндағы φ(n) = (p-1)(q-1) – n санына қатысты Эйлера функциясының мәні. k = (n,p,q,e,d) – k1 = (n,e)  ашық кілтінен және құпия  k2 = (n,p,q,d) кілтінен тұратын, таңдап алынған кілт болсын. M – ашық мәтіннің блогы  болып және C –шифрленген мәтін блогына сәйкес келетін болсын. Сонда шифлеу және шифрді ажырату ережелері келесі формулалармен анықталады:

 

                         С = E_k (M) =M^e (mod n), D_k(C) = C^d (mod n).            (1.5)

 

 (2) формуланың  D_k(C) = M өрнегімен сәйкес екендігін ескереміз.

(1) шартты қанағаттандыратын,  e және d мәндерін табу кезінде, е санын φ(n) санымен өзара жай болатындай етіп таңдайды, ал  d-ның мәнін келесі теңдеуден анықтайды

                                                 φ(n)x + ed = 1.                                    (1.6)

 

Жалпы жағдайда (3)  теңдеу  ax + by = c  түріне  сәйкес келеді (мұндағы a = φ(n), b = e, y = d)  және ол  Диафантты теңдеу деп аталады.

  Ол теңдеудің шешімі

                                   y = (–1)^μ · a_μ-1 · x = (–1)^μ+1 · b _μ-1.                                 (1.7)

 

 a/b қатынасын  тізбекті бөлшек түрінде жіктеу көмегімен  алуға болады:  

 

     ,

 

мұндағы μ – тізбекті бөлшектің реті, яғни қалдығы нөлге болатын, бөлшек коэффициентінің индексі,

            

                                                        (1.8)

үшіншіден бастап қалған мүшелерінің барлығына келесі теңдіктер орындалады   

 

  (1.9)

 

 

Осылай  (3)  теңдеуді шешу үшін a/b қатынасын бөлшекті тізбек ретінде ұсынып, r₀, r₁…r_μ және μ. мәндерін анықтау керек. Содан кейін (1.4)  – (1.6)  теңдіктердің сәйкес болуы арқылы a_i, b_i мәндері, сонымен қатар x және y мәндері анықталады.

Мысал:

p = 17, q = 31 қолдана отырып, RSA аббревиатурасын шифрлейік. Ол үшін n = pq = 527 және μ(n) = (p-1)(q-1) = 480 мәндерін  есептейік. e саны ретінде, μ(n) санымен өзара жай болып келетін санды таңдаймыз, мәселен, e = 7. μ(n)x + ey = 1 қатынасын қанағаттандыратын, бөлшек тізбегі арқылы бүтін  x  және  y  сандарын табамыз. 480x + 7y = 1 түрінде жазамыз.

 

              

сәйкесінше,

μ = 3, a₀ = 68, b₀ = 1, a₁ = 69, a₂ = 1·69 + 68 = 137, b₂ = 1·1 + 1 = 2.

осылай, x = –2, y = –137.

–137 (mod 480) = 343 тең болғандықтан, онда d = 343.

Тексеру

7 · 343 = 2401 = 1(mod 480).

Енді берілген хабарды 0…526 интервалында құралатын сандардың тізбегі ретінде ұсынамыз. Ол үшін R, S және A әріптерін бестік екілік векторлармен, яғни олардың алфавиттегі реттік номірлерінің екілік жазбасын қолданып, кодтаймыз:

  R = 18 = (10010), S = 19 (10011), A = 1 (00001).

Сонда RSA = (100101001100001). 0…526  берілген  интервалында жіктеліп, келесі көріністі аламыз:

  RSA = (100101001), (100001) = (M₁ = 297, M₂ = 33).

  Содан кейін M₁ және M₂ мәндерін шифлейміз:

  C₁ = E_k (M₁) = M₁^в = 297⁷ (mod 527) = 474

Мұнда біз мына  теңдікті қолдандық

 

 Нәтижесінде шифромәтінді аламыз: С₁ = 474, С₂ = 407.

  Шифрді ажырату кезінде келесі әрекеттердің тізбегін орындау керек. Біріншіден, есептеу керек

343 = 256 + 64 + 16 + 4 + 2 + 1 есептеуіне  қарағанда дәрежеге шығарып қолдану ыңғайлы екенін ескереміз. Осы айтылғанның негізінде келесі өрнектерді аламыз:

Осыған сәйкес

Және сол сияқты

Әріптік жазуға қайта оралып, RSA қайта шифлеуінен кейін аламыз. 2.2.тармақта шамир алгоритмінде толық суреттелген, Эвклид кеңейтілген алгоритмін қолдана отырып,  жабық кілттің генерациясын жүргізу керек.

 

1.2 Тапсырма. Хештау және құжаттардың сандық қолтаңбасы

 

1.1 тапсырмасының мәліметтерін қолдана отырып, МККТТ Х.509 ұсынысынан алынған Н хеш – функциясының  көмегімен М хабарламасы үшін  m хеш – кодын  есептеу. Н₀ инициализациялау векторын нөлге тең деп алу.

           Есептелген m хеш – коды мен құпия кілт d-ны қолданып, М электрондық құжатының астындағы сандық қолтаңбаны RSA әдісімен анықтау.

Сандық қолтаңбаның сұлбасын жұмыс істеуінің толық сипаттамасымен келтіру қажет.

 

МККТТ Х.509 хеш – функциясын келесі түрде жазамыз:

 

H_i=[(H_i-1 Å M_i)²] (mod n),

мұнда i=l,n, H₀ – инициализациялау векторы, М_i =М₁,М₂,М₃…,М_n - блок ұзындығы.

Барлық блоктарды ортасынан бөледі де әрбір жартыға тең бірлердің саны қосылады. Осылайша түрленген блоктармен интеграциялық амалдар орындалады. 

p=3, q=11 параметрлері бар Х.509 хеш – функциясының көмегімен ПРЕДЕЛ хабарламасының хеш – кодын алу.

Хеш-кодты анықтау реті:

а) n=pq= 3·11=33 модулінің мәнін есептеу;

б) хабарды орыс әліпбиінің әріптерінің саны ретінде ондық және екілік түрлерде келтіру:

              

               П                Р               Е                Д                Е              Л

    16                17             6                 5                  6              12

00010000, 00010001, 00000110, 00000101, 00000110, 00001100:

 

в) Байтты ортасынан бөліп, жартыбайттың басына бірлерді қосу және М_i хешталатын блоктарын алу:

 

1.3 кесте-Бастапқы мәліметтер

M1	M2	M3	M4	M5	M6
11110001	11110000	11110001	11110001	11110000	11110110
M7	M8	M9	M10	M11	M12
11110000	11110101	11110000	11110110	11110000	11111100

 

г) Интеративті қадамдарды орындау:

 

Бірінші интерация

М1	11110001
Å
Н0=0	00000000
Н0 Å М1	11110001=24110
[(H0Å M1)2] (mod 33)	2412 mod 33 = 10
Н1	1010=00001010

 

Екінші интерация

М2	11110000
Å
Н1	00001010
Н1 Å М2	11111010=25010
[(H1Å M2)2] (mod 33)	2502 mod 33 = 19
Н1	00010011

 

Үшінші интерация

М3	11110001
Å
Н2	00010011
Н2 Å М3	11100010=22610
[(H2Å M3)2] (mod 33)	2262 mod 33 = 28
Н3	00011100

 

Төртінші интерация

М4	11110001
Å
Н3	00011100
Н3 Å М4	11101101=23710
[(H3Å M4)2] (mod 33)	2372 mod 33 = 6
Н4	00000110

 

Бесінші интерация

М5	11110000
Å
Н4	00000110
Н4 Å М5	11110110=24610
[(H4Å M5)2] (mod 33)	2462 mod 33 = 15
Н5	00001111

Алтыншы интерация

М6	11110110
Å
Н5	00001111
Н5 Å М6	11111001=24910
[(H5Å M6)2] (mod 33)	2492 mod 33 =18
Н6	00010010

 

Жетінші интерация

М7	11110000
Å
Н6	00010010
Н6 Å М7	11100010 = 22610
[(H6Å M7)2] (mod 33)	2262 mod 33 = 28
Н7	00011100

 

Сегізінші интерация

М8	11110101
Å
Н7	00011100
Н7 Å М8	11101001= 233
[(H7Å M8)2] (mod 33)	2332 mod 33 = 2
Н8	00000010

 

Тоғызыншы интерация

М9	11110000
Å
Н8	00000010
Н8 Å М9	11110010 = 24210
[(H8Å M9)2] (mod 33)	2422 mod 33 = 11
Н9	00001011

 

Оныншы интерация

М10	11110110
Å
Н9	00001011
Н9 Å М10	11111101 = 253
[(H9Å M10)2] (mod 33)	2532 mod 33 = 22
Н10	00010110

 

 

Он бірінші интерация

М11	11110000
Å
Н10	00010110
Н10 Å М11	11100110 =23010
[(H10ÅM11)2] (mod 33)	2302 mod 33 = 32
Н11	00100000

 

Он екінші интерация

М12	11111100
Å
Н11	00100000
Н11 Å М12	11011100 = 22010
[(H11ÅM12)2] (mod 33)	2202 mod 33 = 22
Н12	00010110

 

Осылайша, бастапқы ПРЕДЕЛ хабарламасы m=22 хеш-кодына ие.

Сандық қолтаңбаны есептеу үшін келесі формуланы қолданамыз:

 

S=m^d (mod n) = 22³ mod 33 = 22.

 

(M, S) жұбы қабылдаушыға S сандық қолтаңбасы қойылған М электрондық құжаты ретінде жіберіледі, мұндағы қолтаңба S құпия кілт d-ның иесімен жасалған.

(M, S) жұбын алған соң қабылдаушы М хабарының хеш-кодын екі әдіспен анықтайды:

1) m’ хеш – кодын е ашық кілті көмегімен S  қолтаңбасының криптографиялық түрлендірілуін қолданып қалпына келтіреді:

 

m’=S^e (mod n) =22⁷ mod 33 = 22.

 

2) Сол хеш – функцияның көмегімен қабылданған хабардың хешталу нәтижесін табады: m=H(M) =22.

Есептелген m’ және m мәндері тең болса, онда қабылдаушы (M, S) жұбын түпнұсқа деп мойындайды.

 

Бақылау сұрақтары

1. Ашық кілтті шифрлеу жүйесін қолданатын құпия байланысты ұйымдастырудың принципиалды сұлбасын суреттеңіз.

2. Сандық қолтаңбамен расталған құжаттармен алмасуды ұйымдастырудың принципиалды сұлбасын суреттеңіз.

3. Құжаттардың сандық қолтаңбасын есептеу кезінде жарамды хеш-функцияларға қойылатын негізгі талаптарды атап өтіңіз.

 4. Түпнұсқалылығы сандық қолтаңбамен расталған шифрленген хабарларды  RSA  криптожүйесі арқылы таратуды қалайша ұйымдастыруға болады? Мысалдар келтіріңіз.

 

 

№2 Тапсырма

 

2.1 Тапсырма. Ашық кілтті  Диффи-Хеллман жүйесі

 

Диффи-Хеллман (DH) әдісімен бес абонент үшін құпия кілттерді генерациялаңыз. Ол үшін 1 кестеден құпия кілттің х мәнін алыңыз. Ашық кілттің сәйкес мәндерін анықтаңыз және нәтижелерді кестеге енгізіңіз. Тапсырманың нұсқасы i (соңғысының алдындағы сан) және j (сынақ кітапшасының соңғы саны) нөмірлері – бұл алгоритмді іске асыру үшін х саны. j саны – х санын таңдаудағы екінші абонент үшін бастапқы нөмір. Бес  абонентпен байланысу үшін х-ті сынақ кітапшасының соңғы санымен циклдік процедура бойынша таңдаймыз. Мысалы, сынақ кітапшасындағы сандар (15). Бірінші абонент үшін x=11 таңдаймыз, себебі i =1. Екінші абонент үшін екінші сан бойынша x =29, себебі j= 5. Үшіншісі үшін (j +1)=i формуласы бойынша x= 31 аламыз, себебі j =6. Төртіншісі үшін  x = 37, j =7. Бесіншіге x = 39 таңдаймыз, өйткені j=8.  Мысалы, егер соңғы сан (27)  бестен үлкен -  j =7 болсын. Онда x =  31,37, 39,41, 7 таңдаймыз.

Ұсынылатын мәндер p = 30803, g = 2.

 

2.1 кесте - Бастапқы  мәліметтер

I	0	1	2	3	4
x	7	11	31	17	19

 

I	5	6	7	8	9
x	29	31	37	39	41

 

Тапсырманы орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар

 

Ашық кілтті бірінші жүйе —Диффи-Хеллман жүйесі.

Бұл криптожүйені 70-жылдардың ортасында американдық ғалымдар Диффи (Whitfield Diffie) және Хеллман (Martin Hell-man) ашты және криптография мен оның практикалық қолданылуында нағыз революцияға әкелді. Бұл - қорғалған арналар бойынша таратылатын құпия кілттерді қолданбай-ақ ақпаратты қорғауға мүмкіндік берген бірінші жүйе. Мұндай жүйелерді қолданатын сұлбалардың бірін көрсету үшін N қолданушысы бар байланыс желісін қарастырайық, мұндағы N-үлкен сан. Олардың әрбір жұбы үшін құпия байланысты ұйымдастырғымыз келеді делік. Егер біз құпия кілттерді үлестірудің қарапайым жүйесін қоладанатын болсақ, онда абоненттердің әр жұбы өзінің құпия кілтімен қамтамасыз етілуі керек, яғни барлығы   кілт қажет болады.

Егер абоненттер 100 болса, онда 5000 кілт, егер 10⁴ абонент болса, онда 5·10⁷ кілт қажет болады. Көріп тұрғанымыздай, абоненттердің саны көп болғанда, оларды құпия кілттермен қамтамасыз ету жүйесі өте үлкен және қымбатқа түседі.

Диффи және Хеллман бұл мәселені  кілттерді ашық тарату және есептеу арқылы шешті. Енді олар ұсынған жүйені суреттейік.

А,В,С,... абонеттері үшін байланыс жүйесі құрылсын. Әрбір абоненттің өзінің құпия және ашық ақпараты бар. Бұл жүйені ұйымдастыру үшін үлкен жай сан р және {1, 2, ∙ ∙ ∙ ,р — 1} қатарындағы сандар g mod p – ның әртүрлі дәржесінде келтірілетін әлдебір g саны таңдалады, 1 < g < р-1 (g-ны табудың әр түрлі тәсілдері бар, солардың бірі төменде көрсетіледі). р мен  g сандары барлық абоненттерге белгілі.

Абоненттер құпияда сақталатын X_a,X_b,X_c үлкен сандарын таңдайды (әдетте мұндай таңдауды кездейсоқ сандар бергішін қолданып, кездейсоқ жасау ұсынылады). Әрбір абонент басқа абоненттерге ашық таратылатын сәйкес Ү санын анықтайды,

 

Y_А = g^Xa mod р ,

Y_B = g^Xb mod р..                                                                                       (2.1)

Yс = g^Xc mod р.

 

Нәтижесінде келесі кестені аламыз.

 

2.2 кесте - Диффи-Хеллман жүйесіндегі абонеттердің кілттері

Абонент	Құпия сан	Ашық кілт	Жабық кілт
A B C	XA XB XC	YA YB YC	ZAB, ZAC ZBA, ZBC ZCA, ZCB

 

А абоненті В абонентімен байланыс сеансын ұйымдастыруды шешті делік және екеуіне де 2 –кестедегі мәліметтер белгілі. А абоненті В – ға ашық арнамен хабар жіберетіндігін хабарлайды. Кейін А келесі мәнді есептейді

 

Z_AB = (Y_B)^ХА modp                                                     (2.2)

 

А-дан басқа ешкім мұны істей алмады, себебі Х_А саны құпия.

Өз кезегінде В абоненті

 

Z_BA = (Y_A)^XBmodp                                                       (2.3)

 

мәнін табады.

           1-суретте Диффи-Хеллман жүйесіндегі кілттерді алмасу сұлбасы көрсетілген.

           Енді жоғарыда айтылған р санын таңдау есебіне тоқталайық. Егер g еркін таңдалатын болса, онда бұл есеп g – 1 санын жай сандарға жіктеумен байланысты қиын есеп болуы мүмкін.   Мәселен, қарастырылған жүйенің жоғары тұрақтылығын қамтамасыз ету үшін g - 1 санында міндетті түрде жай үлкен көбейткіш болуы керек. Сондықтан келесі әдісті қолдану жиі ұсынылады.

р=2q+1 (мұндағы q- жай сан)

 

теңдігі орындалатындай р саны таңдалады және

 

1 < g < р - 1    и    g^q mod р 1

 

теңсіздігі қанағаттандырылуы қажет.

Жүйе криптоанализге тұрақты болуы үшін р санын өте үлкен етүп таңдау қажет.

 

 1 сурет - Диффи-Хеллман жүйесіндегі кілттермен алмасу сұлбасы

 

Мысал:  

g = 43 болсын. р параметрін таңдайық. q=17 401 алып көрейік.

Сәйкесінше р=2·17 401+1=34 803. Тексерейік: 43¹⁷⁴⁰¹ mod 34 803 = 17 746. Қажет шарттар орындалады, яғни мұндай р келеді. Сонымен, біз мы р = 34 803, g = 43 параметрлерін таңдадық. Енді әрбір абонент құпия санды таңдайды және оған сәйкес ашық санды есептейді. Х_A = 7, Х_B = 13 таңдалсын. Y_A = 43⁷ mod 34 803 = 11 689, Y_B = 43¹³ mod 34 803 = 14 479 анықтаймыз. А мен В ортақ құпия кілтті жасағылары келсін делік. Ол үшін А Z_AB = 14479⁷ mod 34 803=6 415, ал В Z_BA = 11 689¹³ mod 34 803 = 6 415 есептейді . Енді олар арнамен жіберілмеген 6 415 ортақ кілтіне.

 

Бақылау сұрақтары

1. Жабық кілтті басқа алгоритмдердің алдында  Диффи-Хеллман жүйесі қандай артықшылықтарға ие?

2. Диффи-Хеллман жүйесіне қысқаша сипаттама беріңіз.

3. Құпия кілттерді есептеуде қажетті р санын неліктен үлкен етіп таңдау қажеттілігін түсіндіріңіз?

 

2.2 Тапсырма. Шамир алгоритмі бойынша шифрлеу

 

3-кестеден m хабарының және р-ның мәндерін алып, үш абонент үшін Шамир алгоритмі бойынша хабарды шифрлеу. і нөмірі бойынша (соңғысының алдындағы сан) студент шифрленетін хабарды, j бойынша – осы алгоритмді іске асыруға арналған р санын таңдайды. Басқа абоненттер үшін мәліметтерді (I + 1) және (G + 1) процедурасына сәйкес циклді жүргізу.  Мысалы, сынақ кітапшасының соңғы сандары - (26). Үш абонент үшін (хабар,р) - (16,49), (18,51), (20,53) таңдаймыз.

 

2.3 кесте  – Бастапқы мәліметтер

I	0	1	2	3	4
Хабар	12	14	16	18	20
G	0	1	2	3	4
p	29	31	37	41	43

 

I	5	6	7	8	9
Хабар	22	24	26	28	30
G	5	6	7	8	9
p	47	49	51	53	57

 

Тапсырманы орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар

 

Шамир (Adi Shamir) ұсынған бұл шифр қорғалған арналары және құпия кілттері жоқ, әрі мүмкін, ешқашан бірін-бірі көрмеген адамдарға ашық байланыс желісі бойынша құпия хабарларды алмасуды ұйымдастыруға мүмкіндік беретін болды. (Естеріңізге сала кетейік, Диффи-Хеллман жүйесі тек құпия сөзді жасауға мүмкіндік береді, ал хабарды тарату үшін ол кілт болып қолданылатын басқа шифрді қолдануды қажет етеді).

Жүйені сипаттауға өтелік. А және В абоненттері байланыс желісі арқылы байланыссын. А абонентті В абонентіне ешқандай басқа абонент мазмұнын білмейтіндей етіп, m хабарды бергісі келеді. А кездейсоқ үлкен жай сан р таңдайды және  оны В ға ашық түрде береді. Содан соң А екі санды с_А  және d_A таңдайды, олар

с_Аd_A mod (р - 1) = 1                                                (2.4)

 

болуы тиіс.

Бұл сандарды А құпияда сақтайды және В абонентіне жібермейді. В да екі құпия санды с_в және d_в таңдайды, олар 

 

с_вd_в mod (p - 1) = 1                                              (2.5)

 

Бұдан соң А үшсатылы протоколды қолданып өзінің m хабарын береді. Егер m < р (m сан ретінде қарастырылады) болса, онда т хабары лезде жіберіледі. Ал егер  m  р болса, онда хабар m₁, m₂,..., m_t түрінде беріледі. Мұндағы m_i < р, және m₁, m₂,..., m_t тізбектеліп  беріледі. Осыған байланысты әрбір m_i кодалау үшін кездейсоқ жаңа жұпты таңдаған дұрыс – қарсы жағдайда жүйенің сенімділігі төмендейді. Қазіргі кезде  ереже ретінде мұндай шифр сандарды жіберу үшін қолданылады. Мысалы: құпия кілт р-дан аз делік. Сонымен, біз m < р жағдайды ғана қарастырамыз.

Хаттаманы сипаттау.

1 қадам.  А   х₁ =m^СА mod p  (2.6) санын есептеп шығарады. Мұнда  m —бастапқы хабар, және х₁ –ді В ға жібереді.

2 қадам.   х₁ хабарды алған В х₂ = х₁^CB mod p (2.7) санын есептеп шығарады және х₂ ні А ға береді. 

3 қадам.  А х₃ = х₂^dA mod p (2.8) есептеп шығарады және оны В ға береді.

4 қадам.  х₃ хабарды алған В  х₄ = x₃^dB mod p (2.9) санын есепеп шығарады.

Шамир алгоритмі бойынша кілт алмасу сұлбасы 2-суретте көрсетілген.

 

 2 сурет – Шамир жүйесіндегі кілт алмасу сұлбасы

Бекіту (Шамир протоколының қасиеттері):

1)   х₄ = m, яғни протоколды тарату барысында шынында да А және В дан бастапқы хабар беріледі;

2) Қиратушы қандай хабар берілгенін біле алмайды.    

Дәлелдеу. Алғашында кез келген е  0 бүтін сан, е = k(р — 1)+r түрінде берілетінін байқайық, мұнда r = е mod (p - 1).  Сондықтанда Ферма теоремасына негізделген.

 

      (2.6)

 

Бекітудің бірінші пункті келесі теңдiк тізбегінен пайда болады.

 

 

(соңғының алдыңғы теңдік 2.6 жалғасы, ал соңғысы (2.4) және (2.5)  күшпен орындалады).

 

Бекітудің екінші пунктін дәлелдеу келесі пайымдауға негізделген, m  хабарды анықтамақ болған қиратушыға келесі стратегиядан басқа тиімдірек стратегия жоқ. Алғашында ол  (2.7)ден C_B-ны есептеп шығарады, сосын d_B-ны табады және соңынан (2.9) бойынша Х₄ = m есептеп шығарады. Бұл стратегияны жүзеге асыру үшін  қиратушы  тәжерибеде р-ның үлкен мәні кезінде мүлде шешілмейтін дискретті логарифмдеу (2.7)  есебін шешу керек.  

(2.4) және (2.5)ні қанағаттандыратын c_A,d_A мен с_B,d_B, жұптарын табу әдістерін сипаттау. В абонентінің іс-әрекеті өте ұқсас болғандықтан, А абонентінің іс-әрекетін ғана сипаттау жеткілікті.  с_A  санын р-1 санымен өзара жай сан болатындай етіп кездейсоқ таңдаймыз (тақ сандар ортасынан мақсатқа лайықты санды енгізу, р-1 жұп болатындай етіп). Сосын жинақталған Евклид алгоритмі көмегімен d_A есептеп шығарамыз.

Мысал:

 А В-ға  m = 10 хабар бергісі келеді делік. А р = 23, с_А = 7 (gcd(7,22) = 1) таңдап, d_A = 19 есептеп шығарады. Соған сәйкес В c_B = 5  (22-мен өзара жай сан) d_B = 9 параметрлерін таңдайды. Шамир протоколына көшелік.

1 қадам. x₁ = 10⁷ mod 23 = 14.

2 қадам. х₂ = 14⁵ mod 23 = 15.

3 қадам. x₃= 15¹⁹ mod 23 = 19.

4 қадам. х₄ = 19⁹ mod 23 = 10.

Осылайша В абоненті берілген m = 10 хабарды алады.

 

Бақылау сұрақтары

1. Шамир алгоритмі бойынша шифрлеу жүйесіне қысқаша сипаттама беріңіз.  

2. Берілген алгоритмде бір хабарды тарату үшін екі абонент арасында қанша жіберулерді істеу керек?

 3. Шамир жүйесі басқа алгоритмдерге  қарағанда қандай артықшылыққа ие? 

 

2.3 Тапсырма. Эль-Гамал алгоритмі бойынша шифрлеу

 

№4 кестесі бойынша m хабарды және құпия кілт х-ті таңдау және бес абонент үшін Эль-Гамал әдісі бойынша шифрлеу жүргізу. Тапсырма нұсқасы студенттік билеттің соңғы санымен анықталады. і нөмері  (соңғының алдыңғы саны)  бойынша студент шифрлейтін хабарды таңдайды, j (соңғы сан) бойынша осы алгаритмде тарату үшін қажетті құпия кілт х. Қалған төрт құпия  х кілт үшін бастапқы мәліметтер (i+1) және (j+1) процедурасы бойынша циклді түрде таңдалады. Мысалы соңғы сан 24. Бес абонент үшін  (хабар, x)-(9,37), (11,43), (13,47), (3,51), (15,29) таңдаймыз. Нәтижесі «абонент – құпия кілт – ашық кілт» сұлбасы бойынша кестеге енгізіледі.  Соған сәйкес №5 кесте. Ұсынылатын мәндер p = 30803, g = 2.

 

2.4 кесте  – Бастапқы мәліметтер

I	0	1	2	3	4
Хабар	5	7	9	11	13
G	0	1	2	3	4
X	29	11	13	7	19

 

I	5	6	7	8	9
Хабар	3	15	11	15	13
G	5	6	7	8	9
X	31	37	43	47	51

 

Тапсырманы орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар

 

Ешқандай байланыс каналы қорғалмаған А,В,С,...., абоненттері бір-біріне шифрленген хабар жібермек болды делік. Эль-Гамальмаен ұсынылған шифр Шамир шифріне қарағанда бұл есепті тек бір хабар жіберу арқылы ғана шешеді. Негізінде мұнда бір-біріне хабар жіберетін екі абонент үшін ортақ құпия кілт ұйымдастыруға Диффи-Хеллман үлгісі қолданылады және содан кейін хабар осы кілтке көбейту жолымен шифрленеді. Әрбір келесі хабар үшін құпия кілт жаңадан есептеп шығарылады.

Әдісті тиянақты түрде сипаттауға өтейік.

Барлық топтағы абоненттер үшін, әртүрлі  g дәрежесінің мәні  әртүрлі р модульдегі санға  сәйкес келетін, кейбір жай үлкен р саны мен  g сандарын таңдалады. р  және g сандары абоненттерге ашық түрде беріледі (олар желідегі барлық абоненттерді пайдалана алады)

Сосын топтағы әрбір абонент өзінің құпия санын c_i таңдайды, 1 < с_i < р – 1, және соған сәйкес d_i ашық санын есептеп шығарады.

 

d_i=g^cimodp.                                                              (2.7)

 

Нәтижесі  3.3-кестеде көрсетілген.  

р  және g сандарын келесі талаптарға сай келетіндей етіп таңдау керек:

                 g^q mod p 1,      мұнда  p=2q+1.

          2.5 кесте – Эль-Гамал жүйесіндегі пайдаланушы кілттері

Абонент	Құпия кілт	Ашық кілт
А	сА	dA
В	сВ	dB
С	сD	dC

 

А абоненті В-ға қалай хабар беретінін көрсетейік. Шамир шифрін сипаттаған сияқты хабар m < р сан түрінде беріледі деп болжайық.

1 қадам. А кездейсоқ сан к-ны қалыптастырады, 1  к  р-2.  

 

r = g^k mod p,                                                    (2.8)

 

      e = m d_B^k mod p                                                (2.9)

 

сандары есептеп шығарылады  және    (r, е)  сандар жұбын В абонентіне береді.                                                                                    

2 қадам.  (r,е) санын қабылдаған В

 

m' = е r^p-1-c_Bmod р.                                       (2.10)

 

есептеп шығарады.

Эль-Гамал алгоритмі бойынша кілт алмасу сұлбасы 3-суретте көрсетілген.        

3 Сурет  – Эль-Гамал жүйесіндегі кілт алмасу сұлбасы

Желідегі барлық абоненттер ұқсас сұлбалар бойынша хабар тарата алатыны түсінікті. В абонентінің ашық кілтін білетін кез келген абонент d_B ашық кілті арқылы шифрленген  хабарды қайта жібере алады. Басқа емес  В абоненті ғана өзіне белгілі с_В құпия кілті арқылы бұл хабарларды дешифрлейді. Ескеретін тағы бір жайт, шифр көлемі хабар көлемінен екі есе үлкен, бірақ бір ғана мәліметтерді беру талап етіледі (ашық кілт кестесі барлық абоненттерге алдын-ала белгілі болса).

 

 Бақылау сұрақтары

1. Шамир алгоритмі бойынша шифрлеу жүйесіне қысқаша сипаттама беріңіз.  

2. Қайта жіберу үшін қанша құпия кілт генерацияланады, мысалы, А және В абоненті арасындағы үш хабар?

 3. Бұл жүйесі басқа алгоритмдерге  қарағанда қандай артықшылыққа ие?

Әдебиеттер тізімі

 

1.Романец Ю. В. Защита информации в компьютерных системах и сетях. /Под ред. В.Ф. Шаньгина. – М.: Радио и связь, 1999.

2.Петраков А.В. Основы практической защиты информации. 2-е издание Учебн. Пособие. – М.: Радио и связь, 2001.

3. Рябко Б. Я., Фионов А.Н. Криптографические методы защиты информации. – М.: Горячая линия - Телеком, 2005.

 

 

Мазмұны

 

Кіріспе 

1 Тапсырма 

1.1 Тапсырма

Тапсырманы орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар 

1.2 Тапсырма 

2 Тапсырма  

2.1 Тапсырма  

Тапсырманы орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар 

2.2 Тапсырма 

Тапсырманы орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар

2.3 Тапсырма 

Тапсырманы орындауға  арналған  әдістемелік нұсқаулар

Әдебиеттер тізімі