Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра электроники

 

 

 

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ

 

Методические указания на выполнение расчетно-графических работ №1 и 2 для магистрантов по специальности 6M0719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации

.

Алматы 2010

СОСТАВИТЕЛЬ: С.Н.Петрищенко. Цифровая обработка сигналов. Методические  указания на выполнение  расчетно – графических работ №1 и 2 для магистрантов специальности 6M0719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации. - Алматы: АИЭС, 2010.– 16 с. 

В методической разработке приводятся задания на выполнение  расчетно-графических работ №1 и 2 и методические указания к их выполнению. Первое задание посвящено  анализу БИХ–фильтра  второго порядка, представленного  в виде передаточной функции, второе – оценке параметров цифровой системы по заданным величинам динамического диапазона и отношения сигнала/шум.

 

Введение 

Основной целью расчетно-графических  работ (РГР) является закрепление и углубление знаний как по математическому описанию линейных дискретных систем, так и по вопросам квантования сигналов в цифровых системах.

Расчетно-графическая работа №1 связана с анализом на z – плоскости, временном и частотным анализами БИХ-фильтра второго порядка, представленного в виде передаточной функции, а расчетно-графическая работа №2 – с оценкой разрядности аналого-цифрового преобразователя (АЦП) по заданным величинам динамического диапазона и отношения сигнала/шум. 

1 Задание к расчетно-графической работе 1

По заданной в таблице 1 передаточной функции  ненормированного БИХ-фильтра 2-го порядка необходимо выполнить следующие действия:

1) изобразить карту нулей и полюсов;

2) записать формулу импульсной характеристики и рассчитать по ней 5 отсчетов импульсной характеристики;

3) изобразить график импульсной характеристики (5 отсчетов);

4) записать формулу амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и рассчитать по ней значения АЧХ на нормированных чacтoтax 0; 0,25; 0,5 и , где - нормированная частота, соответствующая углу , на которой приблизительно находится максимум АЧХ;

5) при наличии комплексно-сопряженных нулей определить точку АЧХ, на которой приблизительно находится ее минимум или нуль, то есть определить нормированную частоту , которая соответствует углу .

6) построить график АЧХ ненормированного фильтра на интервале нормированных частот   и определить избирательность фильтра;

9) выполнить нормировку фильтра;

10) построить график АЧХ нормированного фильтра на интервале нормированных частот .

Многочлены передаточной функции цифрового фильтра  , выбираются по заданному варианту таблицы 1, в зависимости от предпоследней ( N пред ) и последней ( N посл ) цифр номера зачетной книжки студента.

  

Т а б л и ц а  1

N пред

  N посл

0

1 – Z - 1

0

1 – 1,8 Z –1 + 0,97 Z -2

1

1 – 3 Z - 1

1

1 – 0,4 Z –1 + 0,1 Z -2

2

1 – 2 Z – 1 + Z - 2

2

1 + 0,86 Z –1 + 0,43 Z -2

3

1 + 1,2 Z – 1 + 0,81Z - 2

3

1 – 0,66 Z –1 + 0,7 Z -2

4

0,1 + 0,1 Z - 1

4

1 – 0,37 Z –1 + 0,86 Z -2

5

0,003 – 0,003 Z - 2

5

1 – 1,7 Z –1 + 0,92 Z -2

6

1 + 0,53 Z – 1 + Z - 2

6

1 – 1,32 Z –1 + 0,85 Z -2

7

1 + Z - 2

7

1 + 0,9 Z –1 + 0,81 Z -2

8

1 – Z – 2

8

1 – 0,8 Z –1 + 0,64 Z -2

9

1 + Z - 1

9

1 +  0,25 Z –1 + 0,34 Z -2

 

2 Методические указания к выполнению РГР 1

Для нахождения нулей и полюсов используйте следующие формулы:

- в случае вещественных нулей

 

                ;

 

- в случае комплексно-сопряженных нулей

 

, где  , ;

 

- в случае комплексно-сопряженных полюсов

 

, где  , .

 

Формула импульсной характеристики состоит из трех составляющих:

 

 где  n = 0, 1, 2, … …
 

 где  n = 1, 2, 3, …

 
 

 
 

 

 где  n = 2, 3, 4, …

 
 

 

Формула    амплитудно-частотной  характеристики (АЧХ) имеет следующий вид

 

                                

Для полного описания частотной характеристики фильтра с вещественными коэффициентами достаточно задать ее в основной полосе  нормированных частот

Для оценки АЧХ и ФЧХ звена второго порядка можно использовать формулы экспресс-анализа для  , которые имеют следующий вид

 

     ;   ;  .

 

Максимум АЧХ приблизительно будет находиться на  нормированной частоте  , которая соответствует углу    положения полюса в z- плоскости

 

 Для нормировки фильтра достаточно умножить коэффициенты числителя передаточной функции на нормирующий множитель

 

 

где  – максимальное значение АЧХ на интервале

При наличии комплексно-сопряженных нулей нужно определить минимум АЧХ, который будет приблизительно находиться на частоте , что соответствует углу положения нуля в z – плоскости

 

 Если в точке значение  то  будет не максимум, а нуль.

Рассмотрим пример задания передаточной функции в виде следующих многочленов:

 

 

 

Тогда  будет иметь следующий вид:

 

 

Изобразим карту нулей и полюсов, для этого преобразуем передаточную функцию к виду без отрицательных степеней

 

.       .

 

Из числителя передаточной функции видно, что  имеет два вещественных нуля  и . Два комплексно-сопряженных полюса определяем по квадратному уравнению знаменателя по формуле

 

где ,

    

 

Карта нулей и полюсов имеет вид, представленный на рисунке 1.

                               

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1

 

Расчет импульсной характеристики производится по следующей формуле:

                                                                                

Произведем расчет пяти точек составляющей импульсной характеристики :

 

 

 

Произведем расчет пяти точек составляющей импульсной характеристики :

 

Расчет пяти произведенных отсчетов импульсной характеристики сводим в таблицу 2.

Т а б л и ц а  2

№

0

1

2

3

4

H0,n

1

-0.2

-0.3

0.128

0.076

H1,n

0

-1

0.2

0.3

-0.128

1

-1.2

-0.1

0.428

-0.052

 

График импульсной характеристики представлен на рисунке 2.

 

Рисунок 2

 

Общая формула амплитудно-частотной характеристики для фильтра второго порядка будет иметь следующий вид:

 

 

Преобразуем ее в формулу заданного фильтра:

 

.

 

Используя формулы экспресс-анализа произведем расчет трех значений АЧХ на нормированных частотах :

 

 

 

.

 

При       максимум АЧХ будет приблизительно находиться на частоте

.

 

Произведем расчет этого максимума по формуле

 

 

График АЧХ, построенный по четырем расчетным точкам представлен на рисунке 3.

Рисунок 3

 

Из графика видно, что  максимум АЧХ приблизительно находится на частоте . Фильтр является полосовым, полоса пропускания которого сдвинута в сторону высоких частот.

Для того, чтобы представить график АЧХ в нормированном виде, необходимо определить нормирующий множитель  и умножить его на числитель передаточной функции .

Нормирующий множитель определяется по формуле

 

.

 

Тогда передаточная функция нормированного фильтра будет равна

 

 .

 

 Произведем расчет трех значений АЧХ нормированного фильтра на нормированных частотах: .

 

 

 

 

.

На рисунке 4 представлен график АЧХ нормированного фильтра, построенного для диапазона частот    [ 0, 1 ]. 

 

 

Рисунок 4

Как видно из рисунка 4, для полного описания АЧХ достаточно задать ее в основной полосе частот     [ 0, 0,5 ].

 

3 Задание к расчетно-графической работе 2

Цифровой фильтр с передаточной функцией, согласно варианту таблицы 3, реализуется на базе цифрового устройства со следующими характеристиками:

а) разрядность элементов памяти ;

б) разрядность регистров умножителей и сумматоров ;

в) при представлении чисел используется дополнительный код;

г) при квантовании сигналов используется округление.

Необходимо определить требуемую разрядность АЦП для обеспечения заданных величин динамического диапазона  при определенном отношении сигнал/шум  .

Т а б л и ц а 3

Тип фильтра

Базовый рекурсивный фильтр первого порядка

Рекурсивный фильтр первого порядка

 

Коэффициенты

-0,3

-0,5

-0,7

-0,9

-0,6

-0,8

-0,9

-0,5

-0,7

-0,9

Диапазон, дБ

40

40

70

90

40

70

90

40

70

80

Сигнал/шум, дБ

5

15

10

15

10

10

20

20

15

15

N варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

Вариант   индивидуального    задания   определяется   по   последней цифре номера студенческого билета.

 

4 Методические указания к выполнению задания 2

На выходе цифрового фильтра полезный сигнал всегда присутствует на фоне шумов. Важной характеристикой цифрового фильтра является отношение сигнал/шум.

Под отношением сигнал/шум понимается отношение мощности собственного шума выходного сигнала к мощности шума на выходе фильтра

 

Динамическим диапазоном D цифрового фильтра является отношение максимальной амплитуды  к минимальной амплитуде  входного сигнала, при котором обеспечивается определенное отношение  сигнал/шум на выходе фильтра:

 

 

при                     

 

где - мощность выходного сигнала на нижней границе динамического диапазона (при амплитуде входного сигнала, равной ); -  мощность выходного шума; - разрядность АЦП.

На практике, при проектировании систем ЦОС, часто требуется определить требуемую разрядность АЦП для обеспечения определенного динамического диапазона D и заданного отношения сигнал/шум .

 Рассмотрим методику расчета разрядности АЦП на следующем примере.  Допустим,  что   цифровой   фильтр  имеет  передаточную функцию

.Определить требуемую разрядность АЦП для обеспечения динамического диапазона = 40 дБ и отношения сигнал /шум  = 20 дБ.

1. Определяем разрядность АЦП () и число числовых разрядов , требуемые для обеспечения заданного динамического диапазона ( без учета получения требуемой величины  )

 

         

где  - наименьшее целое число, но не меньшее числа в скобках..

2. Определим допустимую величину мощности выходного шума, при которой обеспечивается заданная величина , по формуле

 

где - дисперсия (мощность) выходного шума.

3. Для оценки дисперсии собственного шума фильтра составим его линейную модель, которая представлена на рисунке 5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 5

Как видно из рисунка 5 шумовые сигналы eу(n) с математическим ожиданием  и дисперсией  описывают эффекты квантования на выходах умножителей. Используя свойство линейности системы три источника шума можно заменить одним эквивалентным с дисперсией .  Оценка дисперсии собственного шума фильтра определяется как

 

 

где  - шаг квантования, определяемый весом младшего числового разряда элементов памяти; - коэффициент знаменателя заданной передаточной функции.

4. Оценим допустимую величину дисперсии составляющей выходного шума, обусловленную шумом АЦП, по формуле

 

 

5. Рассчитаем разрядность аналого-цифрового преобразователя , которая обеспечивает требуемую величину   по формуле

где   -  сумма квадратов отсчетов импульсной характеристики, определяемая по формуле

 

 

Сравнивая величины и можно отметить, что 7-разрядное АЦП () обеспечивает заданную величину D, но не обеспечивает требуемое отношение сигнал/шум .

6. Окончательно определяем разрядность АЦП по формуле  

 

 

 

Для выбранного 8-разрядного АЦП производим перерасчет  и D.

7. Величину  рассчитаем по формуле

 

 

где ;

 - входной шум, создаваемый 8-разрядным АЦП;

 - количество числовых разрядов в отсчетах входного сигнала.

8. Величину порогового отношения сигнал/шум определяем по формуле

 

14,8 дБ.

 

9. Динамический диапазон АЦП рассчитаем по формуле

 

 дБ.

 

Таким образом, в данной системе ЦОС D < DАЦП , а  > .

 

Список литературы

 

1. Солонина А.И., Улахович Д.А., Арбузов С.М., Соловьева Е.Б. Основы цифровой обработки сигналов: курс лекций. / Изд. 2-е испр. и перераб.– СПб.: БХВ - Петербург, 2005. - 768 с.

2. Ланне А.А., Матюшкин Б.Д., Улахович Д.А. Основы цифровой обработки сигналов. Часть 3. Эффекты квантования сигналов в цифровых системах. / Учебное пособие. СПб: СПбГУТ, 1995. – 96 с.

3. Айфичер Эммануил, Джервис Барри. Цифровая обработка сигналов: практический подход. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.- 992 с.

4. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования.- СПб.: Политехника,  1999.- 592 с.

5. Петрищенко С.Н. Цифровая обработка сигналов. Конспект лекций для магистрантов специальности 6M0719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации. - Алматы: АИЭС, 2009. –  36 с.

  

Содержание

 

Введение

1 Задание к РГР №1                                                                                       3

2 Методические указания к выполнению РГР № 1                                    4

3 Задание к РГР № 2                                                                                    11

4 Методические указания к выполнению РГР № 2                                  12

          Список литературы                                                                                      14