ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Алматы  энергетика  және  байланыс  институты

 

 

М. Ш. МҰҚАШЕВ,   С. А. ДҮЙСЕНОВ,  Б. З. ҚАЛИЕВ

 

ИНЖЕНЕРЛІК  ЖӘНЕ МАШИНАЛЫҚ ГРАФИКА

 

 

СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯ

 

ОҚУ ҚҰРАЛЫ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АЛМАТЫ  2003

 

 

УДК 744(075)

 Инженерлік және машиналық графика I-бөлім.

Сызба геометрия. Оқу құралы/ М.Ш.Мұқашев, С.А. Дүйсенов, Б.З. Қалиев

АЭжБИ. Алматы, 2004. - 81 б.

 

 

     Оқу құралында сызбаларды тұрғызудың теориялық негіздері және геометриялық инженерлік есептерді графикалық жолмен шығару мысалдары келтірілген. Студенттер өз бетімен варианттар бойынша орындайтын  есептер комплектісі және типтік тест сұрақтары берілген.

       Оқу құралы Алматы энергетика және байланыс институтының I курс студенттеріне арналған. Сонымен қатар оқу құралы  техникалық лицей мен колледж оқушыларына пайдалы.

         Безенд. - 88,  кесте - 1,  библиогр. - 8 атау.

 

 

 

 

 

 

ПІКІР БЕРУШІ:

АЭжБИ, ИГжҚМ кафедрасы, техн. ғыл. канд., доцент Э.А. Яхъяев.

 

 

 

 

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым министрлігі 2003 жылғы баспа жоспары бойынша басылады

 

 

 

ISBN………………………….

 

©     Алматы энергетика және байланыс институты, 2004ж

 

 

 

МАЗМҰНЫ

 

       Кіріспе ................................................................................................................4

1               Кескіндер салудың теориялық негіздері.....................................................5

    1.1     Проекциялау әдістері. ..............................................................................5

              Центрлік және параллель проекциялау.

 1.2     Проекциялаудың негізгі қасиеттері........................................................6

    1.3     Тік бұрышты проекциялау.......................................................................7

    1.4     Сызбаның қайтымдылығы.......................................................................7

           1.5     Екі өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау.............................8

             1.6     Үш өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау. ...........................9

                       Нүктенің      координаталары.

           1.7     Түзудің сызбасы.......................................................................................10

    1.8     Жазықтықтың сызбасы............................................................................11

    1.9     Дербес жағдайдағы түзулер....................................................................12

    1.10   Дербес жағдайдағы жазықтықтар..........................................................16

    1.11   Нүкте, түзу, жазықтыққа байланысты позициялық есептер...............17

    1.12   Қисық сызықтар туралы жалпы мәліметтер.........................................25

    1.13   Беттер........................................................................................................26

    1.14   Жазықтық пен беттерге байланысты позициялық есептер.................29

    1.15   Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілі..................................37

           1.16   Айналдыру тәсілі.....................................................................................42

2       Сызба геометрия есептерін шығару мысалдары.............................................43

                2.1     Сызба жұмысын үйымдастыру...............................................................43

         2.2     Типтік есептердің шығарылу мысалдары..............................................43

3       Сызба геометриядан есептер комплектісі........................................................72

              3.1     Есептерді шығару жүйесі........................................................................72

      3.2     Есептердің шарттары...............................................................................72

4       Сызба геометриядан типтік тестер жинағы.....................................................76

      Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.....................................................................81 

 

 

 

 

 

 

                                

К І Р І С П Е

 

Геометрияныњ басќа бµлімдері сияќты сызба геометрия математикалыќ ѓылым болып табылады. Сонымен ќатар сызба геометрия инженерлік білімніњ негізін ќалаушы пєндердіњ бірі болып есептеледі.

Сызба геометрия пєні негізінен тµмендегідей  мєселелерді ќарастырады:

- єрт‰рлі кењістік ќалыптарын жазыќтыќта кескіндеу тєсілдерін зерттеу;

- єрт‰рлі заттардыњ (денелер, механизмдер жєне т.б.) сызбаларына ќарап,    олардыњ кењістік ќалыптарын д±рыс т‰сіну;

- т‰рлі инженерлік есептерді графикалыќ жолмен шешу;

- адамдардыњ кењістіктік елестету мен ќисынды ойлау ќабілеттерін дамыту.

       Ѓылым ретінде  сызба геометрияныњ  ќалыптасуында  єйгілі француз геометрі Гаспар Монж (1746-1818) аса зор рµл атќарды. 1798 жылы жарыќ кµрген “Geometrik descriptive” (сызба геометрия) деген шыѓармасында ол кењістік пішіндерін  жазыќтыќта  кескіндеудіњ жалпы єдісін ж‰йелі т‰рде баяндады.

   Сызба геометрияныњ орыс тіліндегі алѓашќы кітабын (“Сызба геометрияныњ негіздері” деген курсты) 1821 ж. Я.А.Севостьянов жазып шыѓарды, ал 1824 ж. оѓан сызба геометрияныњ т±њѓыш профессоры деген атаќ берілді.

    Ќазаќ ѓалымдарынан проф.Ж.М.Есм±хановты, К.К.Ќонаќбаевты атауѓа болады. Олар т±њѓыш ќазаќ тілінде  сызба геометрия оќулыѓын жазды.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Кескіндер  салудың теориялық  негіздері

 

                   1.1 Проекциялау єдістері. Центрлік жєне параллель проекциялау

 

Пішінніњ белгілі бір ереже бойынша жазыќтыќќа (бетке) т‰сірілген  кескіні проекция деп аталады. Нєрсе кескінін алу ‰шін жасалатын єрекетті проекциялау дейді.

        Н‰ктеніњ проекциясын т±рѓызу ‰шін сол н‰кте   арќылы µтетін проекциялаушы сєуленіњ  проекциялар жазыќтыѓымен ќиылысу н‰ктесін табу ќажет (1.1 сурет): [SA) ∩ p1=A1.

             

                 1.1 – сурет                                                             1.2 - сурет

м±нда

S проекция центрі;

А –кењістіктегі н‰кте;

SAпроекциялаушы сєуле;

p1-проекциялар жазыќтыѓы;

А1- А н‰ктесініњ p1-дегі проекциясы.

        S н‰ктесі шекті қашыќтықта жатса, онда ол меншікті, ал шексіз ќашыќтыќта                  

жатса  меншіксіз деп аталатыны белгілі.

       Егер S н‰ктесі меншікті н‰кте болса, онда проекциялау центрлік проекциялау (1.1 - сурет), ал егер меншіксіз болса, онда ол параллель проекциялау деп аталады (1.2 - сурет).

 

 

 

1.2  Проекциялаудыњ негізгі ќасиеттері

 

а) Проекциялаудыњ кез келген т‰ріне тєн екі ќасиет бар:

-     н‰ктеніњ проекциясы н‰кте болады;

-     т‰зудіњ проекциясы жалпы жаѓдайда т‰зу болады.

   SA жєне SB т‰зулері жазыќтыќты ќ±райды, ал жазыќтыќтардыњ ќиылысу сызыѓы єрќашанда - т‰зу  (1.1 - сурет).

ә) Параллель проекциялауѓа тєн ќасиеттер:

-     т‰зудіњ бойынан алынѓан н‰ктеніњ проекциясы сол т‰зу проекциясыныњ бойында жатады (1.1 – суретте D  н‰ктесі);

-     егер екі т‰зу кењістікте µзара параллель болса, онда олардыњ проекциялары да µзара параллель болады (1.3 - сурет): α жєне b жазыќтыќтары µзара параллель, сондыќтан А1В1 ôô С1D1;

                  

                                1.3 – сурет                                        1.4 – сурет

 

 

-     егер н‰кте кењістіктегі кесіндіні белгілі  бір ќатынаста бµлетін болса, онда н‰ктеніњ  проекциясы кесіндініњ проекциясын да сондай ќатынаста бµледі (1.4 - сурет):

СС1 ôôВВ1, сондықтан DАВВ1 ~ DАСС1.Ал егер ұшбұрыштар  конгурентті болса, онда

АС = А1С1

СВ     С1В1  .

1.3   Тік б±рышты проекциялау

 

     Н‰ктеніњ тік б±рышты проекциясын т±рѓызу ‰шін сол н‰кте арќылы проекциялар жазыќтыѓына т‰сірілген перпендикулярдыњ табанын тапса жеткілікті.

Тік бұрышты прекциялау әдісі паралель проекциялау әдісінің дербес бір түрі болып табылады: проекциялаушы сәулелер проекциялар жазықтығына перпендикуляр болған соң өзара параллель болады (1.5 - сурет).      

     Жоғарыда аталған проекциялау әдістерін талдай келе, мынандай қорытындылар жасауға болады:

1) Центрлік проекциялар заттарды көрнекті етіп кескіндегенімен, олардың нақты қалпыларын және өлшемдерін айтарлықтай бұрмалайды;

2) Паралель  проекциялар  пішіндердің кейбір қасиеттерін (түзулердің өзара параллельдігін,   т. с. с.)    сақтай     отырып,      

1.5 - сурет                           олардың нақты қалыптарын және өлшемдерін      

                                            едәуір  кем  бұрмалайды.  Алайда,    параллель

проекциялау тәсілі кішігірім өлшемді объектілерді кескіндеуде аса қолайлы. Ал, центрлік проекциялау негізінен сәулет өнері мен құрылыс сызбаларында қолданылады.

 

                   1.4   Сызбаның қайтымдылығы

 

Заттың кескінін проекциялау әдісімен салуда үш элементті ажыратқан дұрыс:  а) проекциялау аппараты- p1, S1 l;   ә) заттың өзі- түпнұсқа; б) заттың проекциясы.

  Сызба геометрияда осы үш элементтің екеуі беріледі де, үшіншісін табу керек болады.

    Берілген заттың проекциясын салу – сызба геометрияның тура есебі, ал проекциясы берілген заттың өзін (түпнұсқасын) табу кері есебі деп  аталады.

 

 

 

   Сызба геометрияның тура есебін шешуге әрқашан да болатынын біз жоғарыда көрсеттік.

      Тек бір проекциядан тұратын кескінді пайдаланып, сызба геометрияның кері есебін шешуге болмайды. Мысалы, 1.6а - суреттегі А нүктесі қай жерде орналасқанын анықтау мүмкін емес , себебі А - ға l түзуінің кез келген нүктесі проекцияланады (1.6 а , ә - сурет).

               

               1.6 а  - сурет                                                 1.6 ә - сурет

 

          Түпнұсқаның бір проекциясынан тұратын кескіндер қайтымсыз болады.

          Қайтымды кескіндер алу тәсілдері көп- ақ. Солардың көп тараған түрлері мыналар:

1)    Аксонометриялық проекциялар;

2)    Перспектива;

3)    Сандық белгілері бар проекциялар;

4)    Монж эпюрі.

 

      1.5   Екі өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау

 

     Монж әдісін қолданғанда өзара перпендикуляр екі жазықтық алынады (1.7 - сурет): p1- горизонталь проекциялар жазықтығы; p2- фронталь проекциялар жазықтығы.

 

Сонда,   А1 – А  нүктесінің горизонталь проекциясы;

               А2- А нүктемінің фронталь проекциясы,

 

               Х- проекциялар осі;

               Ах – А нүктесінің х осіндегі проекциясы болады.

       Фронталь проекциялар жазықтығын енгізудің арқасында біз сызбаның қайтымдылығын қамтамасыз еттік.

     Монж эпюрін Алу үшін p1 жазықтығы p2 – мен х осі төңірегінде айналдыру көмегімен беттестіріледі. Сонда, нүктенің горизонталь және фронталь проекциялары х осіне перпендикуляр бір түзудің бойында жататын болады.

   А2А1 сызығын байланыс сызығы деп атайды (1.8 - сурет).

            

                     1.7 – сурет                                                            1.8 - сурет

 

        1.6  Үш өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау.

      Нүктенің координаталары

 

     Кейде объектінің екі проекциясы оның қалпы мен өлшемдері туралы керекті мәліметтерді білуге жеткілікті бола алмайды, сондықтан 1.7- суретте көрсетілген p1-мен p2 жазықтықтар жүйесіне қосымша оның екеуіне де перпендикуляр p3 жазықтығын енгізейік. Сонда (1.9- сурет) проекциялар жазықтықтарының қиылысу сызықтары- проекциялар осьтері үшеу болады: х- абцисса, у- ордината, z- аппликата.

 

                   1.9 – сурет                                                 1.10 - сурет

 

          Осьтердің тоғысу нүктесі (0) координаталар басы деп аталады. А нүктесінің төмендегідей координаталары болады:

  А (ХА; YА; ZА) , суретте Х=3,  Y = 4,  Z= 6, сондықтан А(3;4;6).

А3 профиль проекциялар жазықтығы p3 – те пайда болған А нүктесінің  профиль проекциясы деп аталады.

      Нүктенің фронталь және профиль  проекциялары z осіне перпендикуляр түзудің бойында жататынына назар аударыңыздар (1.10- сурет).

   Нүктенің профиль проекциясының оның горизонталь проекциясымен қалай байланысқаны 1.10- суретте анық көрсетілген. k0 – ді комплекс сызбаның тұрақты түзуі дейді.

                                    

1.7  Түзудің сызбасы

 

        Кеңістіктегі түзу сызық өзінің екі нүктесімен немесе бір нүктесімен және бағытымен анықталады. Сондықтан оның сызбасын салу үшін осы түзуді анықтайтын екі нүктенің проекцияларын немесе бір нүктесінің прекциясын  және проекциялардың бағыттарын білу керек.

         Егер түзу проекциялар жазықтықтарының ешқайсысына не параллель, не перпендикуляр болмаса, онда ол жалпы жағдайдағы түзу деп аталады.

  АВ- жалпы жағдайдағы түзу, сондықтан êАВ ê>êА2В2 êÙ çABç> çA1B1ç (1.11- сурет).  

                                                  а)                                                      ә)

 

1.11 - сурет

                                                                                                

1.8   Жазықтықтың сызбасы

Жазықтықтар 5 түрлі әдіспен берілуі мүмкін:

     1  Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы ;

     2  Екі өзара параллель түзу арқылы ;

     3  Екі өзара қиылысқан түзу арқылы;

     4  Түзу және оның бойында жатпайтын нүкте арқылы;

     5  Кез келген жазық пішін арқылы.

    Сондықтан сызбада ол осы элементтер проекцияларымен анықталады. Мысалы 1.12- суретте aêêb) , b(mêên), g(D ABC).

   Егер берілген жазықтық проекциялар жазықтықтарының ешқайсысына  параллель немесе перпендикуляр болмаса, онда ол жалпы жағдайдағы жазықтық деп аталады.

1.12 – сурет

 

1.9  Дербес жағдайдағы түзулер

        Барлық дербес жағдайдағы түзулер екі топқа бөлінеді:

а) екі проекциялар жазықтығына параллель, яғни үшіншісіне перпендикуляр түзулер – проекциялаушы түзулер.

- p1 –ге перпендикуляр түзулер горизонталь проекциялаушы түзулер деп аталады

        (АЕ)ççp2Ç(АЕ)ççp3®(АЕ) ^ p1   (1.13- сурет);

1.13 - сурет

-     p2-ге перпендикуляр түзулер фронталь проекциялаушы түзулер деп аталады

       (DN) ççp1Ç(DN)ççp3® (DN) ^ p2  (1.14- сурет);

 

1.14 – сурет

 

-     p3-ке перпендикуляр түзулер профиль проекциялаушы түзулер деп аталады

        (АВ) ççp2Ç (АВ)ççp1®(АВ) ^ p3 (1.15- сурет);       

1.15 - сурет

 

ә) бір проекциялар жазықтығына параллель түзулер – деңгейілік түзулер:

-         p1 – ге параллель түзулер горизонталь түзулер деп аталады және һ деп белгіленеді.

Һ- тың проекцияларының ерекшеліктері (1.16- сурет):

1.16 - сурет

 

   1)   фронталь проекциясы һ2 әрқашанда х осіне параллель һ2êêх

2)      бұл түзудің кесінділері p1-ге нақты шамалармен проекцияланады

                А1В1 = êAB ê

3)  һ  түзуінің  p2-ге   көлбеулік бұрышы оның горизонталь проекциясы һ1   

  1В1) мен х осінің арасындағы бұрышқа тең

                     (АВ^p2)=  1В1^x)

- p2-ге параллель түзулер  фронталь түзулер деп   аталады  және f   деп белгіленеді

f-тың проекцияларының ерекшеліктері  (1.17- сурет):

            1)    f1   êêx;

   2)    A2B2= êAB ê;

   3)    (AB^p1)=(A2B2^  x).

1.17 - сурет

-p3- ке параллель түзулер   профиль түзулер  деп аталадыжәне р деп белгіленеді.    

p-ның проекцияларының   ерекшеліктері  (1.18 - сурет):

1.18 - сурет

 

1)                А1В1 ^ x ^ А2В2 ^ x;

2)                А3В3  =  ÷АВ÷;

3)                (АВ^p1)=( А3В3^U1);

        (АВ^p2)=( А3В3^Z).       

 

         1.10  Дербес  жағдайдағы жазықтықтар

 

     Дербес жағдайдағы жазықтықтар екіге бөлінеді:

а) бір   проекция жазықтығына параллель жазықтықтар  деңгейлік  жазықтықтар деп  аталады:

-  p1-ге параллель   жазықтық горизонталь жазықтық деп  аталады.

Горизонталь   жазықтық проекцияларының ереекшеліктері (1.19  -  сурет):

                    1.19 – сурет                                                1.20 - сурет

 

1)             фронталь проекциясы  х  осіне  параллель түзу a2   ½½   х   

2)             бұл  жазықтықта     жатқан  кесінділер   p1-ге     өздерінің нақты шамаларымен проекцияланады: D А1В1С1 =  ½DABC½

 

     Көбіне     дербес жағдайдағы  жазықтықтар бір  ғана  проекциясымен  беріледі (1.20 -  сурет). Бұл проекциясының жинаушылық қасиеті бар,  яғни осы  жазықтықтың  бойында жататын кез  келген пішін бір түзудің бойына проекцияланады.

- p2-ге   параллель  жазықтық фронталь жазықтық деп   аталады.

Проекциялар  ерекшеліктері (1.21  -  сурет):

 

    1)  b1½½х

    2)  ½m2* n2½=  ½m* n½

 3)  b1   жинаушылық  қасиетін  иеленеді

                   1.21 – сурет                                                     1.22 – сурет

 

 -  p3-ке  параллель  жазықтық  профиль  деп      аталады.

ә) тек  бір  ғана     проекция     жазықтығына перпендикуляр  жазықтықтар проекциялаушы  жазықтықтар деп   аталады:

 -  p1-ге перпендикуляр   жазықтық горизонталь проекциялаушы  жазықтық деп  аталады,  a ^ p1.

     Проекциялар ерекшеліктері (1.22 - сурет)

1)   a1   жинаушылық қасиетін   иеленеді

2)   (a ^ p2) = (a1 ^  х )            

- p2-ге   перпендикуляр  жазықтық фронталь   проекциялаушы  жазықтық,    b ^  p2.                 

     Проекциялар ерекшеліктері  (1.23  -  сурет):                    

1)  b2     жинаушылық   қасиетін  иеленеді

2) (b ^ p1)=(b2 ^ x)

-  p3-ке перпендикуляр   жазықтық профиль проекциялаушы  жазықтық.

 

                       

 

 

                   1.23 – сурет

 

 

     1.11  Нүкте,  түзу, жазықтыққа байланысты позициялық  есептер

 

     Кеңістіктің геометриялық модельдерінің (пішіндерінің)  өзара  қалай орналасқанын анықтауға арналған есептер позициялық  есептер деп аталады.  Мұндай есептер екі   топтан  тұрады:

а) өзара  меншіктілікті     анықтауға   арналған  есептер;

ә) өзара   қиылысуы   есептері.

 

     1.11.1  Екі  түзудің   өзара  орналасуы

 

Екі  түзу  кеңістікте қиылысуы, айқасуы   немесе  параллель  болуы  мүмкін.

а)   қиылысатын  түзулер       -   бір  ортақ  нүктесі  бар   түзулер.  Мұндай  түзулердің проекциялары  қиылысады және   де  қиылысу  нүктелері бір байланыс сызығы бойында жатады   (1.24 - сурет):

   m Ç n = M ® m1 Ç n1 =M1,

                           m2 Ç n2 =M2.

  

                       1.24 – сурет                                              1.25 - сурет

        

ә) параллель түзулер   -    бір - бірімен  шексіздікте қиылысатын түзулер. Параллель  түзулердің    аттас  проекциялары  өзара   параллель  болады  (1.25 – сурет):

 

с½½ d   ® с1½½ d1,

с2½½ d2,   с3½½ d3.  

б) айќас т‰зулер – ортаќ н‰ктелері жоќ т‰зулер. Айќас т‰зулердіњ проекциялары ќиылысуы м‰мкін, біраќ ќиылысу н‰ктелері бір байланыс сызыѓы бойында жатпайды (1.26 - сурет):        

     

                     

 

 

 

  

                   1.26 - сурет      

             

    1.11.2  Жазыќтықтаѓы н‰кте

 

     Н‰кте жазыќтыќта жатуы ‰шін ол осы жазыќтыњ кез келген т‰зуініњ бойында жатуы ќажет. Мысалы (1.27 - сурет):

                  

  Б. ( Берілгені ): a (АВС), D2

   Т. к. (Т±рѓызу керек):

   D1, {D Ì  a (ABC)}

   ЕША (Есептіњ шыѓару алгоритмі):

1)    L1 Ì D1, L2 Ì a (ABC)

2)    L2Ì B2C2 = l2

3)    ↕ l1

4)    A1È l1 = L1

5)    ↨D1 Ù D1 Ì L1

                    1.27 – сурет

 

       1.11.3  Жазыќтықтаѓы т‰зу

 

а) егер т‰зу мен жазыќтыќтыњ екі ортаќ н‰ктесі болса, онда т‰зу жазыќтыќта жатады.

ә) егер т‰зу жазыќтыќта бір н‰кте арќылы  µтіп жєне осы жазыќтыќта жатќан немесе осы жазыќтыќќа параллель кез келген бір т‰зуге параллель болса, онда б±л т‰зу осы жазыќтыќта жатады.Мысалы (1.28 – сурет ):

                    

Б. a (m Ç n), L2

Т. к. L1, {L2Ì (m Ç n )       

ЕША                                                                    

1)      L2 Ç m2 = 12  

   2)   L2 Ç n2 = 22  ;

   3)    11 ^ 2 1

   4)  11È21= L1

 

    

                    

                      1.28 – сурет

 

     1.11.4  Жазықтықтың ерекше түзулері

 

     Жазықтықтың ерекше түзулері деп, осы жазықтықтың бойында жататын және проекциялар жазықтарының біріне параллель түзулерді атайды. 1.29- суретте жазықтың екі ерекше түзуі – горизонталь мен фронталь көрсетілген.

 

а) жазықтықтың горизонталі

   h÷÷ p1

1)    h Î (ABC)

2)    h ÷÷ p1 ® h2 ÷÷ x

3)    h1

 

ә) жазықтың фронталі f ÷÷  p2

1)    f Î(ABC)

2)    p2 ® f1 ÷÷ x

3)    ↕ f2

                          1.29 - сурет

  1.11.5  Түзу мен жазықтықтың параллельдігі

 

   Егер жазықтықтан тысқары алынған түзу осы жазықтықта жатқан түзулердің біріне параллель болса, онда ол түзу жазықтыққа параллель болады (1.30- сурет).

                

Б. b (m Ç n), L2 , А

{L÷÷ b (m Ç n)}

Т. к. L1

ЕША

1)  t2 Ç L2 ,t Î b;

2)    t1

3)  L1ÉA1^  L1÷÷ t1                       

                                  

 

 

                    1.30 - сурет

 

   1.11.6  Өзара параллель жазықтықтар

 

    Егер бір жазықтықтың өзара қиылысқан екі түзуі екінші жазықтықтың өзара қиылысқан екі түзуіне параллель болса, онда мұндай жазықтықтар өзара параллель (1.31 - сурет).

Б. a (DABC), D

 Т. к. b (m Ç n), {( m Ç n)É,

            (m Ç n)÷÷ (DABC)

 

    ЕША

1)     môô BC ®m2 ÷÷ B2 C2, m1÷÷B1C1

2)     nôô AC ®n2 ÷÷ A2 C2, n1÷÷ A1C1

3)     (m Ç n ) úú (DABC) – параллель проекциялаудың қасиеті бойынша

                      1.31 – сурет

     1.11.7 Жалпы жағдайдағы жазықтықтың дербес жағдайдағы жазықтықпен қиылысуы

 

      Егер екі жазықтықтың ортақ түзуі болса, мұндай жазықтықтар өзара қиылысады. Өзара қиылысушы жазықтарды қарастырғандағы мақсат, олардың қиылысу түзуін тұрғызу. Ол үшін берілген жазықтықтарға ортақ екі  нүктені тапса жеткілікті.

  Егер қиылысушы жазықтықтардың бірі дербес жайдағы жазықтық болса, онда қиылысу түзуін осы жазықтықтың  проекцияларының бірінің жинаушылық қасиетін қолданып тұрғызамыз.

   Мысалы (1.32 - сурет):

Б. a (АВС),b

 Т. к.t, {t = a Ç b, bôôp1

ЕША

1) bôôp1®b2ôôx

2) t2 º b2, себебі b2 – нің жинаушылық қасиеті бар

3) ↕ t1

 

 

 

 

 

                

                1.32 – сурет

 

        1.11.8  Түзудің дербес жағдайдағы жазықтықпен қиылысуы

 

Түзудің дербес жағдайдағы жазықтықпен қиылысу нүктесі де аталған жазықтықтың проекцияларының бірінің жинаушылық қасиетін қолдану арқылы табылады.

 Мысалы (1.33- сурет):

 

                 

 

Б. a (môôn ), L

 Т. к. K {K = a ÇL, a^p1}

ЕША

1) K1=L2 Ç a1

2) ↕ K2         

 

                  

 

 

 

 

                    

 

                   1.33 - сурет

 

         1.11.9  Түзудің жалпы жағдайдағы жазықтықпен қиылысуы

 

     Түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесін табу үшін (1.34 - сурет):

1)    b É LL түзуі  арқылы b жазықтығын жүргізу қажет.

     Бұл жерде тұрғызуды жеңілдету үшін b дербес   

     жағдайдағы жазықтықтың бірі болғаны дұрыс.

2)    12=aÇb- аталған жазықтықтардың қиылысу түзуін тұрғызамыз.

3)    К =12ÇL- қиылысу түзуі мен берілген түзудің қиылысу нүктесі К- ны табамыз. Бұл берілген түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі болып табылады: К=LÇ a

                 

                 

                 1.34 – сурет

 

 Мысалы (1.35- сурет):

 

                 

 Б. a (АВС), l

 Т. к.K, {K = a ÇL

ЕША

1)  b É L, b ^p2® b2 º L2

2)  12 22 º b2, 12= a Ç b,

      себебі b2 – нің жинаушылық қасиеті бар

3)  ↕ 1121

4)  К1 L1 1121

5)  ↕ К2

            

    1.11.10  Жазықтыққа перпендикуляр түзу

 

     Түзу    жазықтыққа  перпендикуляр болу    

 үшін      ол    осы      жазықтықтың      өзара     

                       1.35 – сурет                       қиылысқан  екі түзуіне перпендикуляр

                                                                  болуы қажет.    

     Ол үшін комплекс сызбада түзудің горизонталь проекциясы жазықтық горизонталінің горизонталь  проекциясына,    ал фронталь проекциясы жазықтық фронталінің фронталь проекциясына перпендикуляр болуы қажет және жеткілікті. Мысалы (1.36 – сурет):

Б. a (АВС), D

 Т. к. n, {n ÉD, n ^a}

ЕША

 1) h Ì (ABC)

 2) n1 ÉD1, n1 ^ h1

 3) f Ì (ABC)

 4) n2 É D2, n2 ^ f2     

   

         1.11.11   Өзара   перпендикуляр  жазық -                        

          тықтар

 

     Жазықтықтар    өзара  перпендикуляр,             

                      1.36 – сурет                          егер  олардың бірі екінші  жазықтыққа                                                                 

перпендикуляр түзу арқылы өтсе. Мысалы (1.37 - сурет):

1.37 – сурет

 

Б. a (m Ç n), DE

 Т. к. b, {bÉ DE,

               b ^ a}

ЕША

1) h Ì a

2) L1 ^ h1, L1 ÉD1

3) f Ì a

4) f2 ^ L2, L2 É D2 

5)(LÇ DE) ^ a, (L Ç DE) ºb

      

      1.12  Қисық сызықтар туралы жалпы мағлұматтар

 

     Сызба геометрияда қисық сызық кеңістіктегі белгілі бір заңдылықпен үздіксіз қозғалыстағы нүктенің ізі (траекториясы) ретінде қарастырылады.

     Қисық сызықтар мынандай түрге бөлінеді:

а) жазық немесе кеңіс қисық сызықтар

   Егер қисық сызықтың барлық нүктелері бір жазықтықта  жататын болса, онда қисық сызық жазық сызық деп аталады (мысалы, эллипс, шеңбер, т.с.с.).

ә) алгебралық немесе трансцендент қисық сызықтар.

      Жазық алгебралық сызықтар дәрежелі бойынша бөлінеді:

1-ші, 2-ші,… т.с.с. Сызықтың дәрежесі графикалық жолмен осы сызықтың түзумен қиылысу нүктелерінің санымен анықталады.

 

          1.13  Беттер

 

          1.13.1  Жалпы түсініктер

 

Жасаушы деп аталатын сызықтың бағыттаушы деп аталатын сызықтың бойымен үздіксіз қозғалғандағы орындарының жиыны бет деп аталады (1.38 - сурет):

              

m- бағыттаушы сызық

l- жасаушы;

Ф- бет.

 

   Сызбада беттерді көрсету үшін 2 түрлі әдіс қолданылады: қаңқа арқылы және кинематикалық.

     Кинематикалық әдіс қолданғанда бет өзінің анықтаушысымен беріледі. Анықтаушы деп бетті бір мәнді анықтайтын бір-біріне тәуелсіз шарттар жиынтығын  атайды.  Жалпы жағдайда бет     берілді     деп     есептеледі,      егер                                 

                  1.38 - сурет                               Кез келген нүктесінің бетке тиісті  немесе                                                                    

                                                                    тиісті еместігін анықтай алсақ.

 

         1.13.2  Беттердің жіктемесі

 

а) барлық беттер жасаушылары тұрақты немесе тұрақсыз беттер деп екіге бөлінеді;

ә) Жасаушылары түзу сызық болатын беттер түзу сызықты қисық беттер деп аталады;

б) түзу сызықты қисық беттердің өзі екіге бөлінеді: жазылатын немесе жазылмайтын беттер. Жазылатын беттер үшеу: торс, конустық және цилиндрлік беттер.

1.13.3  Техникада көп тараған беттердің сызбасы

 

        1.13.3.1  Жақты беттер

 

     Түзу жасаушының сынық бағыттаушы сызықтың бойымен қозғалғанда  пайда болған бетті жақты бет деп атайды (1.39 - сурет).

 

1.39 - сурет

 

     Жақты бет жақтары деп аталатын жазық көпбұрыштардан тұрады.                   

     Көпбұрыштың қабырғалары беттің қырлары деп аталады. Көпбұрыштың төбелері көпжақтың төбесі деп аталады.Тұйық жақты бет – көпжақ деп аталады (пирамида, призма, призматоид).

   Комплекс сызбада көпжақтардың проекцияларын салу үшін олардың  төбелері  мен қырларының проекцияларын тұрғызып, көрінетін және көрінбейтін бөліктерін анықтаса жеткілікті (1.40- сурет).

 

1.13.3.2  Цилиндрлік бет

  Цилиндрлік бет түзу жасаушы L-дың қисық бағыттаушы m- ның бойымен қозғалғанда пайда болады. Бұл жерде жасаушы Алдан ала берілген бір бағыт S- ке әр уақытта параллель болуы керек (1.41- сурет).   

                           

               1.40 – сурет                                                                      1.41 – сурет

                  

1.13.3.3  Конустық бет

 

      Конустық бет түзу жасаушы L-дың қисық бағыттаушы m –ның бойымен қозғалысынан пайда болады. Бұл жерде жасаушының бір нүктесі әр уақытта қозғалмайды, ол конустық беттің төбесі – S нүктесі (1.42 - сурет).

1.41 - сурет

                                                                           

           1.13.3.4 Торс 

 

        Торс деп кеңіс сызыққа жүргізілген жанамалардың жиынынан тұратын бетті атайды (1.43 - сурет).

 

а - беттің кері қайту қыры;

L- жанама

 

            1.13.3.5  Айналу беттері

 

    Түзу немесе қисық сызықты жасаушылар - 

                      1.43 – сурет                     дың тұрақты осьтері төңірегінде айналуынан   

                                                               пайда болған қисық беттерді айналу беттері деп атайды. Айналу   кезінде   жасаушының   әрбір нүктесі  айналу   осі   арқылы  шеңбер  сыза  қозғалады және бұл шеңбердің жазықтығы айналу осіне перпендикуляр орналасады.

   Айналу беттері техникада өте көп тараған. Мысалы, конустық және цилиндрлік айналу беттері, сфера , тор, айналу эллипсоиды, айналу параболоиды, т. с. с.

 

1.14  Жазықтық пен  беттерге байланысты позициялық есептер

 

        1.14.1  Жалпы түсініктер.

 

   Кез келген беттің жазықтықпен қиылысуынан қима деп аталатын жазық сызық пайда болады. Бұл сызықтың бірнеше нүктесін тауып, оларды өзара қосу арқылы тұрғызады.

 

        1.14.2   Жақты беттің жазықтықпен қиылысуы

 

  Беттің жақтары жазықтықтардың бөліктері болғандықтан, олар қиюшы жазықтықпен түзулер  арқылы қиылысады. Бұл жағдайда қиылысу сызығы тұйық немесе тұйық емес сынық сызық болады.

   Қиылысу сызығын тұрғызу үшін беттің қырларының қиюшы жазықтықпен қиылысу нүктелерін тауып , оларды өзара көріну не көрінбеуін ескеріп қосса жеткілікті.

    Мысалы  (1.44 - сурет) :

 

                  

 

         a ÇSA= 1 (12, 11);

         a ÇSB= 2  (22, 21);

         a ÇSC= 3  (32, 31);

         a Ç (SABC)= 123

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   1.44 – сурет

 

     1.14.3   Сфераның жазықтықпен қиылысуы

 

     Бұл жағдайда қиылысу сызығы шеңбер болады:

а) қиюшы жазықтық деңгей жазықтығы  (1.45а- сурет);

ә) қиюшы  жазықтық проекциялаушы жазықтық (1.45ә- сурет).

                      

      1.14.4  Айналу цилиндр бетінің жазықтықпен қиылысуы

 

  Бұл жағдайда мынадай қиылысу сызықтары пайда болуы мүмкін (1.46.- сурет):

а) шеңбер, егер қиюшы жазықтық і- ге перпендикуляр болса;

ә) эллипс, егер қиюшы жазықтық беттің барлық жасаушыларын қиса, немесе і- ге перпендикуляр немесе параллель болмаса;

б) екі жасаушы ( түзулер ), егер қиюшы жазықтық і –ге параллель болса.

                             а                                                                      ә

1.45 – сурет

 

1.46 - сурет

 

     1.14.5  Айналу конусы бетінің жазықтықпен қиылысуы

 

     Бұл жағдайда мынадай сызықтар пайда болуы мүмкін (1.47- сурет):

                                     

                                     а)                                                                   ә)

    

                                      б)                                                                    в)

1.47 - сурет

 

 

                               

а) шеңбер, егер қиюшы жазықтық і-ге перпендикуляр болса;

ә) эллипс, егер қиюшы жазықтық беттің бірде - бір жасаушысына параллель болмаса немесе барлық жасаушыларын қиса;

б) парабола, егер қиюшы жазықтық беттің тек 1 жасаушысына параллель болса;

в) гипербола, егер қиюшы жазықтық беттің 2 жасаушысына параллель болса;

г) екі жасаушы (түзулер ), егер қиюшы жазықтық конустық беттің төбесі арқылы өтсе.  

                      

    1.14.6   Беттердің қиылысуы

 

                1.47 г - сурет                           1.14.6.1  Беттегі нүкте

               

     Нүкте беттің бойында жатады, егер ол осы беттің кез келген сызығының бойында жатса. Мысалы (1.48 - сурет):

                      

Б. a, А2, В1

   {A Ì a, B Ì a}

Т. к. А1 ,В2  

 

    ЕША

І.   1)   а2ÉА2, а2úú х

    2)    а1

      3) ↨ А1 , {A Ì a}.

ІІ.  1) S1ÈB1= T1

      2) ↕ S2, T2

    3) ↕ B2, B2ÌS2, T2.

 

 

 

                    1.48 – сурет

     1.14.6.2  Беттердің қиылысуы

 

     Негізгі мақсат беттердің өзара қиылысу сызығын тұрғызу. Бұл сызық қос нүктелердің немесе екі бетке де ортақ нүктелердің жиыны. Беттердің қиылысу сызығын тұрғызу әдісінің негізі (1.49 - сурет):                                                                               

 а) берілген беттерді көмекші бір бетпен немесе жазықтықпен қиямыз. Қиюшы бетті (g)  қабылдаған кезде, оны берілген беттермен жәй сызықтар (түзулер , шеңберлер) арқылы қиылысатындай қылып алу қажет;

ә) қиюшы беттің немесе жазықтықтың берілген беттермен қиылысу сызықтарын тұрғызамыз: а =aÇg, b=bÇg;

б) қиылысу сызықтарының қиылысу нүктелерін табамыз 2, 3 = a Çb;

в) (g- ға ұқсас бірнеше көмекші бет немесе жазықтықтар жүргізіп, 2, 3 нүктелеріне ұқсас бірнеше нүкте табамыз;

г) сонан соң табылған нүктелерді өзара қосып, беттердің қиылысу сызығын тұрғызамыз.

1.49 – сурет

 

  Қиюшы жазықтықтар тәсілін қолданып беттердің қиылысу сызығын тұрғызу мысалы 1.50- суретте келтірілген.  

 

                                              

1.50 - сурет

                                              

   1.14.6.3   Ортақ осьтері бар айналу беттерінің қиылысуы

 

   Осьтері ортақ ( осьтес) айналу беттері өзара  әрқашан да шеңбер бойынша қиылысады және шеңбердің беті айналу осіне перпендикуляр болады.

  Қиылысу шеңберлерінің саны, беттер нұсқаларының осьтің бір жағында жатқан қиылысу нүктелері санына тең.                            

 

      1.14.6.4  Бір  центрлі сфералар тәсілі

 

  Егер сфералардың центрлері бір нүктеде орналасса, онда мұндай сфералар бірцентрлі сфералар, ал өзге жағдайда  - әрцентрлі сфералар деп аталады.

  Беттердің қиылысу сызығын тұрғызуға бірцентрлі сфералар тәсілін қолдану үшін мынадай шарттар орындалуы қажет:

 а) беттің екеуі де айналу беттері болуы қажет;

 ә) бұл беттердің айналу осьтері қиылысуы қажет;

б) айналу осьтері проекциялар жазықтықтарының біріне параллель болуы қажет (қосымша шарт). Егер бұл шарт орындалмаса, проекциялар жазықтырын алмастыру әдісін қолданып, айналу осьтерін проекциялар жазықтықтарының біріне параллель ету қажет.

      Бір центрлі сфералар тәсілінің қолданылу мысалы 1.52 – суретте келтірілген

1.52 - сурет

Б. a, b

Т. к. g = aÇb

   ЕША  

1)  g- центрі осьтердің қиылысу нүктесі 0- да

2)  a= gÇa,

     b=gÇa

3)  аÇb= 4, 4' ;

     4)  Æ{1…4,…n}Ì g

                  

       1.15 Проекциялар жазықтарын алмастыру тәсілі

 

     1.15.1  Тәсілдің мәнісі

      Бұл тәсіл бойынша, кеңістікте берілген обьектіні өзгертпей қалдырады да, проекциялар жазықтықтарының кез келгенін бізге қолайлы болып табылатын басқа жазықтықтармен алмастырып, обьекті проекцияларын қайта тұрғызады. Жаңадан алған проекциялар жазықтығы ескі (алмастырылған) проекциялар жазықтығына перпендикуляр болып алынады (1.53 - сурет).

     π2-ні π 4-ке  алмастырамыз. А нүктесінен π4-ке перпендикуляр түсіріп, А4   нүктесін табамыз:

π 4 – жаңа проекциялар жазықтығы;

π 2  - алмастырылатын (ескі) проекциялар жазықтығы;

π 1 – алмастырылмайтын проекциялар жазықығы.

А4 Ах14 = АА1 = А2Ах

  Қорытындылар:

а) нүктенің жаңа проекциясы (А4) және ескі алмастырылмайтын проекциясы (А1) жаңа проекция осіне (Х14) перпендикуляр бір түзудің бойында жатады

А4А1^ Х14;

ә) нүктенің жаңа проекциясынан (А4 ) жаңа осіне (Х14) дейінгі қашықтық (А4 Ах14), сол нүктенің ескі алмастырылатын проекциясынан (А2) ескі осіне (Х12) дейінгі  қашықтыққа тең А4 Ах14= А2 Ах12

                           

     1.15.2  Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілін кейбір метрлік есептерді шығаруда қолдану

 

     1.15.2.1 Екі нүктенің ара қашықтығын табу

 

Мысалы (1.54 - сурет):

 

                      

Б. А,В

Т.к. [АВ]

ЕША

1)      π 2 π 4 Х14 ││А1В1

2)      А4В4=[АВ]           

 

       1.15.2.2 Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу

 

       Шығарудың жалпы схемасы:

                       1.54 – сурет                        Проекциялар жазықтықтарын  алмастыру   

                                                                   тәсілін   қолданып, эпюрде  берілген жалпы  жағдайдағы жазықтықты дербес (проекциялаушы) жағдайға келтіреміз. Ол үшін осы  жазықтықтың горизонталін жүргізіп     π 4 –ті  соған перпендикуляр етіп жүргіземіз.Мысалы (1.55 - сурет):

1.55 – сурет

 

Б. a (АВС), D

Т.к. [D α (АВС)]

ЕША

     1)  һ Ì α (АВС)]

     2)  π 4 ^ һ → Х14 ^һ1

     3)  D4, A4, B4,C4

     4)  D4K4 ^ A4B4

     5)  D4K4 = [ D ∙ α].

                           

       1.15.2.3  Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу

 

     Шығарудың жалпы схемасы:

     Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілін қолданып, берілген түзуді жалпы жағдайдан проекциялаушы түзу жағдайына келтіреміз.

Мысалы (1.56 - сурет):

Б. А,ВС

Т.к. [А (ВС)]

ЕША

1)    π 4││ВС →Х14││В1С1

2)    А4, В4, С4

3)    π 5 ^ВС →^Х54 В4, С4

4)    А5, В5, С5

5)    А5В5 = [A ∙ (BC)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            1.56 – сурет

          1.15.2.4  Жазық пішінінің  ауданының  нақты шамасын табу

 

     Шығарудың жалпы схемасы:

     Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілін қолданып, берілген жазықтықты  проекциялар жазықтығына параллель жағдайға келтіреміз.

Мысалы: (1.57 - сурет)

1.57 – сурет

 

Б. α (АВС)

  Т.к. [АВС]     

     ЕША

1)  h Ì a

2)  p4 ^ h ®x14 ^ h1

3)  A4, B4, C4

4)  p5ôô(DABC)®x45ôôA4B4C4

5)  D (A5B5C5)= [DABC]

 

1.15.2.5     Параллель түзулердің ара қашықтығын табу

 

     Егер берілген түзулердің бірінің бойынан кез келген нүктені алсақ , онда ол есеп нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу есебіне айналады.

 

1.15.2.6     Айқас түзулердің ара қашықтығын табу

 

     Шығарудың жалпы схемасы.

     Айқас түзулердің ара қашықтығы оларға ортақ перпендикулярдың ұзындығына тең. Эпюрді түрлендіру арқылы түзулердің бірін проекциялаушы жағдайға келтіреміз.

     Мысалы ( 1.58 - сурет):

 

Б. AB, DE

Т. к . [(AB)·(DE)],{(AB) (DE)}

        ЕША

1)  p4êêDE®x14êêD1E1

2)  A4B4, D4E4

3)      p5^DE®x45^D4E4

4)      D5E5, A5B5

5)      D5K5 ^ A5B5

6)      D5K5 = [(AB)·(DE)].                                

 

    1.15.2.7 Параллель жазықтықтар -дың ара қашықтығы

 

     Берілген жазықтықтардың бірінен нүкте    аламыз.   Сонда      бұл     есеп 

                          1.58 - сурет                       нүктеден      жазықтыққа      дейінгі               қашықтықты табу есебіне айналады.

 

                 1.15.2.8  Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш

 

    Бұл есепті шығару үшін  түзудің бойынан нүкте (К) аламыз да, сол нүктеден жазықтыққа перпендикуляр тұрғызамыз. Сонан соң түзумен перпендикулярдың арасындағы бұрышты (b0) табамыз. Сонда іздеп отырған бұрышымыз: 

  a0= 900 ─ b0

 

    1.16 Айналдыру тәсілі

 

    Бұл тәсіл бойынша белгілі бір осьтен айналдыру арқылы кеңістіктің геометриялық модельдерінің орындары өзгертіліп, берілген проекциялар жазықтықтарының жүйесінде дербес жағдайға келтіріледі.

   Кез келген нүкте осьтен айналғанда шеңбер сызатыны және бұл шеңбер жазықтығы осы оське перпендикуляр екені белгілі.

   Сондықтан, айналу осьтері ретінде проекциялаушы немесе деңгейлік түзулерді қабылдасақ, онда нүктелердің айналу жазықтықтары проекция жазықтықтарына параллель немесе перпендикуляр болады. Мысалы (1.60 - сурет ):

       Горизонталь проекциялаушы түзу (і) төңірегінде айналдырған кезде А нүктесінің горизонталь проекциясы А1 шеңбер бойымен қозғалады, ал фронталь проекциясы А2- осьтің фронталь проекциясына перпендикуляр түзудің бойымен қозғалады.

       Айналдыру тәсілімен кесіндінің нақты шамасын табу үшін (1.61-.сурет), айналу осін (і) кесіндінің шеткі нүктелерінің бірі арқылы өтетін қылып алу қажет.

            Сонда айналдырғанда

`А2О2Ú `А2В2êêх ®êВ1`А1 ê=  êABê.

            Сонымен қатар түзудің көлбеулік бұрышы да  табылады

            a=(АВ Ù p2). 

                 1.60 – сурет                                     

       2   Сызба  геометрия есептерін шығару мысалдары

 

       2.1. Сызба жұмысын ұйымдастыру

 

        Сызу жұмыстарын орындау үшін төмендегідей аспаптар мен жабдықтар қажет: сызба тақтасы ( өлшемі 700 х 1000 мм – ден кем емес) ; сызба қағаздары ; рейсшина (ұзындығы 900 мм – ден кем емес );  сызбалық бұрыштықтар (біреуінің бұрыштары 900, 600 және 300 болатын); сызғыш; лекалолар; готовальня; қарындаштар;( қаттылықтары 2М, М, ТМ, Т, 2Т); резеңке; бүркеншікті шегелер.

        Қарындаштарды ұштау үшін өткір бәкі немесе арнаулы ұштағыш және тақтайшаға желімдеген зімпара  қағаз керек.

        Сызба салынатын қағаз ақ және тығыз болуы керек. Ондай қағаз ватман деп аталады.

        Сызба салынатын қағазға жарық сол жақ жоғарыдан түсуі қажет. Сонда ас- пап пен қолдың көлеңкесі жұмыс істеуге кедергі жасамайды.

        Сызба тақтасында тек осы жұмыстарға қажетті аспаптарды ғана қалдыру керек.

 

2.2  Типтік есептердің шығарылу мысалдары 

 

        1 – есеп.       α (m║n)  жазықтығында А нүктесі арқылы берілген екі түзуге параллель  l  түзуін жүргізу керек (2.1 – сурет).

        

        Шығаруға нұсқаулар.                                                                                                                               

                                                                                                              

Есепте  (2.1 – сурет) А нүктесінің бір проекциясы берілген, бірақ нүкте α  жазықтығында болғандықтан проекциялау- дың қасиеті бойынша (түзудің бойынан алынған нүктенің проекциясы сол түзу проекциясының бойында жатады)  l  түзуінің проекциялары А нүктесінің аттас проекциялары арқылы өтеді.                                                  

        Сондықтан, алдымен А нүктесінің жетіспейтін проекциясын салу керек. Ол α  жазықтығында жататын қосымша бір түзудің                     2.1 - сурет

көмегімен салынады. Бұл жерде жазықтықтағы түзу мен нүктенің төмендегі қасиеттері  қолданылады:  стереометрияның  3–аксиомасы                                                                     

бойынша түзудің екі нүктесі жазықтықта жатса,  ол түзудің өзі де сол жазықтықта жатады және берілген нүкте жазықтықта жатуы үшін бұл нүкте сол жазықтықтың кез – келген түзуінің бойында жатуы керек.

        Енді  l  түзуін жүргізуге болады. Ол үшін параллель проекциялардың тағы бір қасиетін қолдануымыз керек: кеңістіктегі екі параллель түзудің проекциялары да өзара параллель болады.

 

        Салу жүйесі :

 

Берілген А нүктесі арқылы өтетін және  α  жазықтығында жататын  b  түзуінің проекцияларын саламыз. Ол үшін сызбада (2.2 – сурет)  А нүктесінің А2 проекциясы арқылы түзудің фронталь проекциясын  b2  жүргізіп, оның  m мен n түзулерінің проекциялары m2, n2 -мен қиылысқан жерлерін 1 мен 2 нүктелерінің проекциялары 12, 22  деп белгілейміз. Вертикаль байланыс сызықтары арқылы 1 мен 2 нүктелерінің горизонталь  проекциялары 11  және 21 – ді  табамыз. Бұл табылған проекциялар арқылы  b  түзуінің  горизонталь проекциясы  b1 – ді саламыз. Берілген А2 проекциясынан вертикаль байланыс сызығын жүргізіп  b1-  дің бойынан А нүктесінің горизонталь проекциясы А1 – ді табамыз. Енді  l  түзуін жүргізуімізге болады. Ол үшін А1 және А2 арқылы m, n  түзулерінің аттас проекцияларына параллель  l1 мен l2 – ні жүргізсек жеткілікті (2.2 – сурет). 

        Яғни, 2.2 – суретте көрсетілген  l1 мен  l2 , берілген А нүктесі арқылы m  және  n  түзулеріне параллель жүргізілген  α  жазықтығындағы  l  түзуінің проекциялары болып табылады.

 

Шығару алгоритмі :

 

1)   b2 A2 ;                                                            4)   b1 = 11 21 ; 

  2)   12 = b2 ∩ m2 ;                                                     5)     A1 ;  

         22 = b2 ∩ n2 ;                                                     6)   A1 l1 l1║ m1 ║ n1 ;

 

  3)      11 ⊂ m1 21 n1;                                           A2 l2 l2║ m2 ║ n2 .

 

                                  а)                                                                   ә)

 

   

                                б)                                                                  в)                   

 

2.2 - сурет

 

        2–есеп. Берілген β(a∩b)   жазықтығы-ның К нүктесі арқылы  жазықтыққа перпендикуляр тұрғызып, оның бойына ұзындығы  40  KN   кесіндісін салу керек

(2.3 – сурет).

 

        Шығаруға нұсқаулар :

 

        Берілген  β  жазықтығы жалпы жағдайдағы жазықтық  болғандықтан, оған  перпендикуляр түзу жалпы жағдайдағы түзу.                     2.3 - сурет

Түзу    жазықтыққа   перпендикуляр   болса,

ол осы   жазықтықта жатқан барлық түзулерге де перпендикуляр екені белгілі, яғни жазықтықтың горизонталі мен фронталіне де перпендикуляр.                                                                                               

        Сондықтан, түзу жазықтыққа перпендикуляр болуы үшін комплексті сызбада (эпюрде) түзудің горизонталь проекциясы жазықтық горизонталінің горизонталь проекциясына, ал түзудің фронталь проекциясы жазықтық фронталінің фронталь проекциясына перпендикуляр болуы қажетті және жеткілікті (жазық тік бұрыштың проекциясы туралы теореманы қараңыз).

           Ұзындығы  40   KN   кесіндісін салу үшін перпендикулярдың бойынан кез-келген нүктені алып (мысалы  F  нүктесі) пайда болған кесіндісінің бойына   KN0 =  40  салу керек.

Кесіндінің нақты шамасын тік бұрышты үшбұрыш тәсілін қолданып табуға болады. Эпюрде кесіндінің нақты ұзындығы тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасымен өлшелінеді. Бұл үшбұрыштың бір катеті кесінді проекцияларының біріне тең, ал екінші катеті кесіндінің екінші проекциясының шеткі нүктелерінен проекцияның тиісті өсіне дейінгі қашықтықтардың алгебралық     айырымына    тең     болуы  қажет.      Эпюрде  N   нүктесінің 

 N1 ,  N2   проекцияларын табу үшін параллель проекциялаудың бір қасиетін қолдануымызға болады: егер нүкте кеңістікте кесіндіні белгілі бір қатынаста бөлетін болса, онда нүктенің проекциялары кесіндінің проекцияларын сол қатынаста бөледі.

       

         Салу жүйесі :

                

        Комплексті сызбада (2.4 – сурет)   β (a∩b)   жазықтығының горизонталінің проекциялары   h1β   мен   h2β  - ні саламыз. Ол үшін жазықтық горизонталінің қасиеттерін пайдалану қажет. Горизонталь  π1  проекциялар жазықтығына параллель болғандықтан, оның фронталь (h2β)  проекциясы  х  өсіне параллель. Сондықтан  β  жазықтығында   h2β – ні  х өсіне параллель жүргізіп, оның  a2  және  b2  - мен қиылысқан нүктелері  12 , 22 – ні белгілейміз. Вертикаль байланыс сызықтарының көмегімен  11 және  21 – ді тауып, осы нүктелер арқылы горизонтальдің горизонталь проекциясы   h1β – ді жүргіземіз.

        Жазықтың фронталі  π2  проекциялар жазықтығына параллель, сондықтан оның горизонталь проекциясы  f1β  x   өсіне параллель болады. Осы қасиетті пайдаланып, жоғарыда көрсетілген жолмен  β  жазықтығының фронталінің   f1β ,   f2β   проекцияларын жүргіземіз.

        Сонан соң   К1  нүктесі арқылы   h1β – ге перпендикуляр   l1 , ал   К2  нүктесі арқылы h2β – ге перпендикуляр l2 түзулерін жүргіземіз. Аталған түзулер  К нүктесі арқылы β жазықтығына тұрғызылған перпендикулярдың проекциялары болып табылады. Осы перпендикулярдың бойына   KN = 40  кесіндісін салу үшін оның бойынан  F  нүктесін алып, проекцияларын  ( F1 ,  F2 ) саламыз. Тік бұрышты үшбұрыш тәсілін қолданып, KF кесіндісінің нақты шамасын табамыз. Ол үшін кесіндінің K1F1 проекциясын тік бұрышты ұшбұрыштың бір катеті ретінде алып, ал екінші катеті ғылып   F1   нүктесінен оған перпендикуляр   ZF-K   кесіндісін саламыз.   ZF-K   кесіндісі   F2    және   К2  нүктелерінен  х  өсіне дейінгі қашықтықтың алгебралық айырымына тең. Пайда болған тік бұрышты үшбұрыштың  K1F0  гипотенузасы   KF   кесіндісінің нақты шамасын береді. Дәл осындай тік бұрышты үшбұрышты K2F2   проекциясын пайдаланып тұрғызуға болады.

        Табылған   KF0   кесіндісінің  бойына   KN0 = 40  саламыз. Сонан соң параллель проекциялаудың жоғарыда көрсетілген қасиетін қолданып,   N0   нүктесінен  F1F0 – ға параллель түзу жүргізіп  N  нүктесінің горизонталь проекциясы   N1   нүктесін табамыз. Вертикаль байланыс сызығын жүргізіп   N    нүктесінің фронталь проекциясы   N2 – ні табамыз. Сонымен, сызбадағы   K1N1   мен   K2N2    кесінділері   К   нүктесі арқылы β(а∩b) жазықтығына тұрғызылған ұзындығы  40  перпендикуляр кесіндісінің горизонталь және фронталь проекциялары болып табылады (2.4 – сурет).

                                                   а)                                                            ә)

                               б)                                                             в)

2.4 – сурет

        Шығару алгоритмі :

 

1)      h2β β(a∩b), h2β ║ x0;                               10)  l2K2, l2f2β; 

2)  12 = h2β ∩ a2 22 = h2β ∩ b2 ;                      11)  F1 l1;

   3)   ↨ 11 a1 21 b1 ;                                 12)    F2l2;

   4)    h1β = 21 11;                                              13)   F1F0F1, F1F0l1F1F0=      

   5)    f1β β(a∩b), f1β ║ x0;                                        = ZF-K = ZF – ZK ;             

   6)    31 = f1β ∩ a1 41 = f1β ∩ b1;                      14)   F0K1 = F0K1F0K1 = |FK|

   7)     32a2 42b2;                                    15)  N0F0K1, N0K1 = |NK| = 40

   8)   f2β = 3242;                                                  16)  N1K1F1;

  9) l1K1, l1h1β;                                             17)  ↨ N2 K2F2.

 

3 – есеп.   Тік дөңгелек конустың бетінде жатқан А  нүктесінің горизонталь проекциясын салу керек. Проекция жазықтықтарына қатынасты нүкте көрінеді  (2.5 – сурет ).

        Шығаруға нұсқаулар:

       

        Нүкте бетте жатады, егер ол осы беттің

кез–келген сызығының бойында жатса. Сол сияқты, сызбада нүктенің проекциялары осы сызықтың аттас проекцияларының бойында жатады. Сондықтан, есепті шығару үшін беттің бойында жататын және берілген нүкте арқылы өтетін кез–келген сызықтың проекцияларын тұрғызу керек. Сонда нүктенің іздеп отырған проекциясы осы сызықтың аттас проекциясының бойынан табылады. Негізінде тұрғызуларды жеңілде- ту үшін, проекциялары графикалық қара- пайым сызықтар болатын, беттердің   жазық                       2.5 - сурет  

 

қималарының сызықтары қолданылады (шеңберлер, түзулер, т. с. с.).

                                                                                                                                                                                                                                                                                           

         Салу жүйесі:

                              

        Берілген бет  (β)  айналу беті. Айналу өсі  ( )  горизонталь проекциялаушы түзу де, жасаушы  (  )  түзу сызық. Сондықтан, көмекші сызықтар ретінде конустың бетінде жататын шеңберлерді немесе түзулерді алуымызға болады.

        А  нүктесі арқылы горизонталь деңгей жазықтығы  α – ны жүргіземіз  ). Бұл жазықтық конустың бетін шеңбер арқылы қияды. α  жазықтығы  π2 – ге перпендикуляр болғандықтан, оның фронталь проекциясы  2)  түзу ретінде жүргізіледі (2.6 – сурет). α  жазықтығының айналу өсі   - мен қиылысқан жерінен қимада пайда болған шеңбердің центрін  (0 нүктесі)  тауып, комплексті сызбада оның проекцияларын  01  мен  02 – ні белгілейміз.                               

        Комплексті сызбада  12  кесіндісінің фронталь проекциясы  1222  пайда болған шеңбердің  а   фронталь проекциясы  а2 – ні береді. 1222  кесіндісінің ұзындығы а шеңберінің диаметрінің нақты шамасына тең. Горизонталь проекция жазықтығына шеңбер өзінің нақты шамасымен проекцияланады  (себебі α║π1∧аα).

              

                                  а)                                                                 ә)

2.6 – сурет

Енді  А2 – ден проекция байланыс сызығын жүргізіп, а1-дің бойынан іздеп отырған  А  нүктесінің горизонталь проекциясы  А1-ді табамыз   (2.6 – сурет).

 

Шығару алгоритмі :

         

       1)   α ,     αА ;                                            4)  а1 = β1α1 ;

       2)  O1 = α1O2 = α2 ;                              5)  ↨ A1, A1a1.    

       3)  1222 = β2α2 ,   a2 = β2α2 ,   1222 = a2 ;

 

        4 – есеп.  Берілген   b  түзуінің   γ (АВС)  жазықтығымен қиылысу нүктесін табу керек. γ  жазықтығын мөлдір емес деп есептеп,  b  түзуінің көрінетін және көрінбейтін бөліктерін анықтау керек (2.7 – сурет).

       

Шығаруға нұсқаулар :

 

        Түзу сызық пен беттің ортақ геометриялық элементі нүкте болып табылады (бір немесе бірнеше). Бұл нүктелердің  әрқайсысы берілген түзу сызықтың беттің кейбір сызығымен қиылысқан  жерінде   жатады.   Беттің                            2.7 – сурет

түзумен қиылысатын сызығын алдын –

ала анықтау үшін, әдетте беттің берілген түзу арқылы өтетін жазықтықпен қиылысу сызығы тұрғызылады. Есептің шығаруын жеңілдету үшін, қиюшы жазықтықты қима сызықтарының проекциялары графикалық қарапайым сызықтар болатындай етіп қабылдайды.

        Сонымен, осы типтес есептерді төмендегідей жүйемен шығару керек:

 а)  берілген түзу арқылы көмекші жазықтық  жүргізіледі;

 ә)   беттің көмекші жазықтықпен қиылысу сызығы тұрғызылады;

 б)   тұрғызылған сызықтың берілген түзумен  қиылысу нүктелері табылады.                  

                                                                                                                                                                                                  

        Салу жүйесі:

       

        Бұл есепте  b  түзуі беттің ең қарапайым түрі жазықтықпен қиылысқан. Ал екі жазықтық өзара түзу арқылы қиылысатыны бізге геометриядан белгілі. Сонымен қатар, егер  b  түзуі арқылы өтетін көмекші жазықтық ретінде дербес жағдайдағы жазықтықты алатын болсақ, онда есептің шығаруы едәуір жеңілдейді.

        Берілген  b  түзуі арқылы фронталь проекциялаушы   α   жазықтығын жүргіземіз. Оның фронталь проекциясы b түзуінің фронталь проекциясымен беттесетін түзу сызық болады (α2≡b2) (2.8 – сурет).  α  жазықтығының барлық геометриялық элементтерінің фронталь проекциялары осы түзудің бойында жатады (проекциялаушы  жазықтықтар дың қасиеттерін еске түсіріңдер). Сондықтан, α  және  γ  жазықтықтарының қиылысу сызығының фронталь проекциясы да  α2 –нің бойында жатады (m2 ≡ α2).

        Жазықтықтардың қиылысу сызығы  m-ның горизонталь проекциясы 

m1-ді табу үшін,  m2-нің бойынан  12  және  22  нүктелерін белгілейміз (12=m2∩A2C222=m2∩B2C2). Проекция байланыс сызықтарының көмегімен  11  мен  21 – ді тауып, олар арқылы  m1-ді жүргіземіз.

        Тұрғызылған  m  түзуімен берілген   b  түзуі бір көмекші жазықтық   α – нің бойында жатқандықтан өзара қиылысады  (K=m∩b).

        Сызбада әуелі қиылысу нүктесінің горизонталь проекциясы  К1- ді табамыз (K1=m1∩b1). Сонан соң, проекция байланыс сызығының көмегімен  b2 – нің бойынан   К2 – ні табамыз.

        Табылған  К  нүктесі іздеп отырған  b түзуінің   γ (АВС)  жазықтығымен қиылысу нүктесі, себебі екінші жағынан  К  нүктесі  m  түзуінің бойында, ал  m  түзуі   γ  жазықтығында жатады.

        Енді  b  түзуінің көрінетін және көрінбейтін бөліктерін анықтауымыз керек, себебі  γ  жазықтығы мөлдір емес деп есептеледі.  К  нүктесі  b  түзуінің

проекциялар жазықтықтарына қатысты көрінетін және көрінбейтін екі бөлікке бөледі. Осы бөліктерді анықтау үшін бәсекелес нүктелер әдісі қолданылады. Бұл әдістің мәні мынада: түзудің көрінетін бөлігінің нүктелері, жазықтықтың олармен бәсекелес нүктелеріне қарағанда проекциялар жазықтығынан әрқашан да қашық тұрады.

        Фронталь проекциялаушы түзудің бойында жатқан  1 және  3  бәсекелес нүктелерінің жұбын қарастыралық  (2.8 – сурет).

        Әуелі, өзара айқас  b  және  АС  түзулерінің фронталь проекцияларының қиылысқан жерінен бәсекелес нүктелердің фронталь проекцияларын белгілейміз (12, 32). Сонан соң, проекция байланыс сызықтарының көмегімен олардың горизонталь проекцияларын табамыз  (11А1С131b1). 11 және  31  проекцияларының орналасуынан, біз  1  нүктесінің  3  нүктесіне қарағанда   π2 – ден қашық орналасқанын көреміз. Сондықтан, фронталь проекциялар жазықтығына қатысты  1  нүктесі көрінеді, ал  3  нүктесі көрінбейді. Сол себепті,  b  түзуінің  3  нүктесі орналасқан  К нүктесіне дейінгі бөлігінің фронталь проекциясы комплексті сызбада көрінбейді, екінші бөлігі көрінеді.                                          

                              а)                                                                      ә)

                             б)                                                                    в) 

2.8 - сурет

        b  түзуінің горизонталь проекциясының көрінетін және көрінбейтін бөліктерін,  4  және  5  бәсекелес нүктелерінің көмегімен жоғарыда көрсетілген жолмен анықтаймыз  (2.8 – сурет). 

 

       Шығару алгоритмі :

 

1)   α b, απ2α2 ≡ b2 ;                                     5)   m1 = 1121 ;

2)    m = αγ, m2  α2≡ b2 ;                                  6)  K1 = b1∩m1 ;  

3)   12 = m2 A2C2 22 = m2 B2C2 ;                7)   ↨ K2b2 ;

4)   ↨ 11A1C121B1C1 ;                                    8)   K = b∩γ (ABC).

 

        5 – есеп. Берілген  α  түзуінің тік дөңгелек конустың бетімен қиылысу нүктелерін тұрғызу керек (2.9 – сурет).

 

        Шығаруға нұсқаулар :

       

        Есептің жалпы шығару жүйесі  4-есепте келтірілген .

        Конустың беті түзу сызықты беттерге жатады, сондықтан оны жазықтықпен қиған кезде қимада түзу сызықтар (беттің жасаушылары) пайда болуы мүмкін. Ол үшін қиюшы жазықтық конустың төбесі арқылы өтуі қажет. Шын мәнінде ондай жазықтық сызбада  конустың төбесі және онымен қиылысушы түзу  арқылы берілген–γ(a, S). γ жазықтығын көмекші жазықтық ретінде алып, оның конустың бетімен қиылысқанда пайда болатын жасаушыларды анықтау керек. Сонда іздеп отырған    қиылысу   нүктелері   берілген    а                       

 түзуінің   осы  жасаушылармен   қиылысқан                       2.9 - сурет

 жерлерінен табылады.

                                                                                                   

       Салу жүйесі :                                               

 

        Берілген  а  түзуінің фронталь сурет  проекциясы  а2-нің бойынан көмекші  М  және  N  нүктелерінің фронталь проекциялары  M2,  N2 –ні белгілейміз. Проекция байланыс сызықтарының көмегімен  а1- дің бойынан  М1,  N1- ді табамыз. Конустың төбесінің проекцияларынан табылған нүктелердің проекциялары арқылы  S2M2,  S2N2  және S1M1,  S1N1  түзулерін жүргіземіз. Осы түзулердің проекциялар жазықтықтары  π1  және   π2- мен қиылысу нүктелерін (іздерін) табамыз (А1, А2, В1, В2)  (2.10 – сурет).

        А1  және  В1  нүктелері арқылы түзу жүргіземіз, ол көмекші  γ  жазықтығының горизонталь ізі  γh – ты береді. Бұл түзу конустың табанының шеңбері   κ –мен   Е1  және   F1   нүктелерінде қиылысады. Осы нүктелерді конустың төбесінен проекциясы   S1 –мен қоссақ , біз   SE   және  SF  жасаушыларының горизонталь проекцияларын аламыз. Бұл жасаушылар жоғарыда айтып кеткен γ–мен конустың бетінің қиылысушы                                                                       жасаушылары.  S1E1  және  S1F1- дің   а1 – мен қиылысқан жерінен іздеп отырған нүктелеріміздің горизонталь проекциялары   11  мен  21 – ді табамыз. Олардың фронталь проекцияларын проекция байланыс сызықтары арқылы немесе жасаушылардың фронталь проекцияларын тұрғызу арқылы табуға болады.

Сонымен, табылған  1  және  2  нүктелері, берілген  а  түзуінің конустың бетімен қиылысу нүктелері (2.10 – сурет).

 

Шығару алгоритмі :

 

1)   М2а2        N2a2 ;                                             6)   γh = A1B1;

2)   ↨ M1, N1;                                                               7)   E1F1 = γhκ;

3)   S2M2 = S2M2, S2N2 = S2N2;                          8)   S1E1 = S1E1S1F1 = ……;

      S1M1 = S1M1, S1N1 = S1N1;                          9)   11 = S1E1a121 = S1F1a1;

4)   A2 = S2M2π1, A2XO;                                     10)   ↨ 1222a2;

      B2 = S2N2π1, B2XO;                                      11)   12 = αa.

5)   ↨ A1S1M1B1S1N1;

 

 

2.10 а - сурет

2.10 ә - сурет

6 – есеп .  α(а║b)  мен  β(сb)  жазықтықтарының қиылысу сызығын тұрғызу керек (2.11 - сурет).

2.11 – сурет

 

Шығаруға нұсқаулар :

 

        Екі жазықтық өзара түзу сызық арқылы қиылысады. Қиылысу түзуін тұрғызу үшін, екі жазықтыққа да ортақ екі нүкте тапса болғаны. Бұл нүктелер бір жазықтықтың түзуімен екінші жазықтықтың түзуінің қиылысқан жерінен табылады. Өзара қиылысқан түзулердің жұптарын анықтау үшін берілген жазықтықтарды көмекші жазықтықтармен    қию қажет. Көмекші жазықтықтар етіп деңгейлік немесе проекциялаушы жазықтықтарды қабылдау керек.

        Сонымен, есепті төмендегідей жүйемен шығару қажет:

     1)   екі көмекші жазықтықтар жүргізіледі ;

     2)   көмекші жазықтықтардың берілген жазықтықтармен қиылысу сызықтары                        

           тұрғызылады;

  3)  өзара жұптас тұрғызылған түзулердің қиылысқан жерлерінен жазықтықтардың     

        қиылысу сызығын анықтайтын екі нүкте табылады.

 

Салу жүйесі :

 

        Көмекші жазықтар етіп горизонталь деңгейлік жазықтықтар  γl  және  γ’’- тарды аламыз.  γ’ жазықтығы берілген  α  және  β   жазықтарын  κ  және  l  түзулері арқылы қияды.  γ’  деңгейлік жазықтық болғандықтан, оның фронталь проекциясы қиылысу сызықтарының фронталь проекцияларымен беттеседі (γ’2≡κ2≡l2). κ2 мен  l2- нің  α2 және  β2-мен қиылысқан жерлерінен l2,  22  және  32,  42  нүктелерін белгілейміз. Проекция байланыс сызықтарын жүргізіп,  κ1  және  l1- ді табамыз.Осы екі сызықтың қиылысу нүктесі  А1, іздеп отырған нүктелеріміздің бірінің горизонталь проекциясы.  γ’2- тың бойынан проекция байланыс сызығының көмегімен  А2 – ні табамыз (2.12а,ә - сурет).

        Жазықтықтарға ортақ екінші нүктені табу үшін   γ’’- ты жүргіземіз.   γ2’’- тың  α2  және   β2- мен қиылысқан жерінен   m2(52)  және   n2(62) – ні табамыз. m1 және  n1-ді жүргізу үшін, осы нүктелердін берілген жазықтықтармен ортақ бір-бір нүктелерін тапса жеткілікті. Себебі, γ’║ γ’’ болғандықтан,   m║κ  және   n║l . Сондықтан,  5 және  6 нүктелерінің горизонталь проекцияларын  (51,  61)  тауып, осы нүктелер арқылы  m1║κ1  және   n1║l1  жүргіземіз. m1- мен      l1- дің қиылысқан жерінен іздеп отырған екінші нүктеміздің горизонталь проекциясы   В1- ді табамыз. Проекция байланыс сызығы арқылы   γ2’’- тың бойынан   В2- ні белгілейміз.

        А  және  В  нүктелері арқылы жүргізілген  t (t1, t2)  түзуі, берілген   α  және  β  жазықтарының қиылысу сызығы болады (2.12а,ә – сурет).

2.12а - сурет

2.12ә – сурет

 

Шығару алгоритмі :

 

  1)  γ2’║x0,   γ’║π1;                                   9)  m2 ≡ n ≡γ2’’,

  2)  κ2 = γ2α2 t2 = γ2β2,                      m2 = γ2’’α2 n2 = γ2’’β2;

        κ2 ≡ l2γ2’;                                       10)  52 = m2a2 62 = n2с2;

  3)  l2 = κ2a2 22 = κ2b2,                  11)  ↕ 51a1 61с1;

        32 = l2с242 = l2d2;                   12)  m151, m1κ1n161,

  4)  ↕ l1a1, 21b1,                                        n1║l1;

        31с1, 41d1;                                   13)  B1 = m1n1;     

  5)  κ1 =l121l1 = 3141;                    14)  ↕ B2γ2’’;

  6)  A1 = κ1l1;                                        15)  t = AB, t = αβ.

  7)  ↕ A2γ2’;

  8)  γ2’’║ x0, γ’’║π1;  

7 – есеп. А   және   В  нүктелері арқылы өтуші                      

түзудің бойына, А нүктесінен бастап  В  нүктесінің бағытында ұзындығы   40 мм кесінді салу керек (2.13 – сурет).

 

        Шығаруға нұсқаулар :      

        Есепті шығару үшін, алдымен  А  және  В  нүктелерінің арасындағы түзудің кесіндісінің нақты шамасын                                                   табу керек.  Түзудің    кесіндісінің                                 2.13 - сурет

нақты     шамасын     төмендегідей

әдістермен табуға болады: тік бұрышты үшбұрыш әдісімен                                                          (1–есепті қараңыз); проекция жазықтықтарын алмастыру арқылы; кесіндіні проекциялаушы түзу арқылы проекция жазықтықтарының біріне параллель жағдайға дейін айналдыру арқылы.                                                 

                                                                                                                                       

        Салу жүйесі :

       

        а)     тік бұрышты үшбұрыш әдісі.

        Түзудің бойындағы   АВ   кесіндісінің нақты шамасын табамыз. Ол үшін тік бұрышты үшбұрыш тұрғызамыз. Оның бір катеті ретінде  АВ  кесіндісінің горизонталь проекциясы   А1В1 – ді аламыз. Үшбұрыштың екінші катеті   А2  және   В2  нүктелерінен  х0 осіне дейінгі қашықтықтың алгебралық айырмасына тең   В2В  кесіндісі. Тұрғызылған үшбұрыштың гипотенузасының бойына  А1- ден бастап ұзындығы  40 мм – ге тең кесінді саламыз. Табылған  С                                       2.14а - сурет

нүктесінен А1В1 – ге перпендикуляр түсіріп   С1 – ді табамыз. Ал  С2  проекция байланыс сызығының көмегімен табылады. Табылған  А1С1 және   А2С2  ұзындығы  40 мм – ге тең іздеп отырған кесіндіміздің горизонталь және фронталь проекциялары (2.14 а – сурет).

 

        Шығару алгоритмі :

          

1)    ∆ А1В1,  В2 = В1 = |ZAZB|,

          А1В1В1;

2)    СА1В, [A1C] = 40;

3)    C1A1B1, CC1A1B1;                                                      

4)    ↕ C2A2B2.                                                                        

                                                                                                                                                            

        ә)   проекция жазықтықтарын алмастыру әдісі

        Егер кеңістікте түзудің кесіндісі проекция жазықтығына параллель орналасса, онда осы жазықтыққа өзінің нақты шамасымен проекцияланады. Сондықтан, түзудің бойындағы  АВ  кесіндісінің нақты шамасын табу үшін, осы түзуге параллель қосымша проекция жазықтығы   π4 – ті жүргіземіз (π4║АВπ4π1). Сонда π4 – ке  АВ  түзуі өзінің нақты шамасымен проекцияланады.

        Комплексті сызбада (2.14ә – сурет) жаңа проекция осі  Х14 – ті  А1В1 – ге параллель жүргіземіз. Түзудің проекциясын тұрғызу үшін осы түзудің екі   нүктесінің  проекцияларын    тапсақ                           2.14ә – сурет

жеткілікті. Ол үшін  А1  және  В1

 нүктелерінен Х14–ке перпендикуляр байланыс сызықтарын жүргіземіз. π2π1 – ге және π4π1-ге болғандықтан, осы нүктелердің алмастырылатын проекцияларынан (А22)  Х12 –ге дейінгі қашықтық, жаңа проекцияларынан   А4, В4  жаңа проекция өсі  Х14 – ке дейінгі қашықтыққа тең ([A2Ax14] = [A4Ax14][B2Bx12] = [B4Bx14]). Проекция байланыс сызықтарының бойына   Х14 – тен осы кесінділерді өлшеп салып  А4  және  В4 – ті табамыз. Табылған нүктелер арқылы түзудің жаңа проекциясы   А4В4 – ті жүргіземіз.  А4  нүктесінен түзудің бойына ұзындығы   40 мм – ге тең кесінді салып  С  нүктесін табамыз. Проекция өстеріне перпендикуляр байланыс сызықтарын жүргізіп, С нүктесінің проекциялары  С1  және  С2 – ні анықтаймыз.  А1С1  және   А2С2  іздеп отырған ұзындығы  40 мм  АВ  түзуінің бойындағы кесіндінің проекциялары (2.14ә – сурет).

 

        Шығару алгоритмі:                      

                                   

1)  π4║AB, X14║A1B1                                                                     

  2)  A4B4, [A2Ax12]=

     [A4Ax14][B2Bx12] = [B4Bx14];

     3)  A4B4 = A4 B4 ;

     4)  CA4B4, [A4C] = 40;

     5)  ↕ C1A1B1, CC1X14;                                    

     6)  ↕ C2A2B2, C1C2X12.                                           

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

б)    проекциялаушы түзу арқылы бұру (айналдыру) әдісі

Бұл әдіс бойынша түзу кесіндісінің нақты шамасын анықтау үшін оны проекция жазықтықтарының біріне параллель жағдайға дейін бұру қажет. Бұру немесе айналдыру өсі ретінде әдетте деңгейлік не проекциялаушы түзу қабылданады. Сонымен қатар, есептің шығаруын жеңілдету үшін айналу өсі кесіндінің шеткі бір нүктесі арқылы жүргізіледі.

Айналу өсі ретінде  А  нүктесі арқылы өтетін горизонталь проекциялаушы  i  түзуін аламыз (5.14б – сурет). Сондықтан, комплексті сызбада  А  нүктесі қозғалмайды да,  В  нүктесінің жаңа жағдайдағы проекциялары тұрғызылады.

5.14б – суретте айналу өсінің проекциялары   i1,  i2 – ні жүргіземіз.

В  нүктесі (түзудің кез-келген нүктесі сияқты) шеңбердің бойымен қозғалады және ол шеңбер  (а)  айналу осі  i – ге перпендикуляр  α  жазықтығында жатады. Айналу өсі горизонталь проекциялаушы түзу болғандықтан, α  жазықтығы  π1- ге параллель болады. Сондықтан   а  шеңбері   π1 – ге өзінің нақты шамасымен проекцияланады.

 

2.14б - сурет

 

Комплексті сызбада берілген түзуді  А1≡ i1  нүктесі арқылы   х0  осіне параллель жағдайға дейін айналдырамыз.  В2  нүктесі арқылы  α  жазықтығының фронталь проекциясы   α2 – ні  i2 – ге перпендикуляр жүргіземіз.  а  шеңбері  α – нің бойында жатқандықтан  1 – ден вертикаль проекция байланыс сызығын жүргізіп, оның α2 – мен қиылысқан жерінен  2 – ні белгілейміз. Түзудің жаңа проекциясы А22 – нің бойына   А2   нүктесінен бастап ұзындығы  40 мм түзудің кесіндісін салып   С   нүктесін табамыз.  С  нүктесінің проекциялары  С1  мен   С2 – ні тұрғызу жолдары 2.14б – суретте көрсетілген. Табылған   А2С2,  А1С1  кесінділері іздеп отырған түзу кесіндісінің проекциялры.

 

        Шығару алгоритмі :

 

1)    iA,   iπ1;                                   4)   2α2;                                                           

2)    A11 = A1B1, A11║x0;                   5)   CA22,  [A2C] = 40;

3)    αi,  α2║x0;                                    6)   ↕ C2A2B2, CC2║x0;

                                                                           7)   ↕ C1A1B1,  C2C1x0.

 

        Бұл есеп  3 түрлі әдіспен шығарылды. Сондықтан есептің шығарылуының дұрыстығын тексеру үшін  5.14а, б және в суреттерін өзара салыстырып, талдау жасап көріңдер.

 

        8–есеп. АВ кесіндісінің проекциялар жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын табу керек (2.15 – сурет).

 

        Шығаруға нұсқаулар:

       

Егер кесінді горизонталь проекциялар жазықтығына параллель болса, онда оның горизонталь проекциясымен проекция

өсінің арасындағы бұрыш кесіндінің фронталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.                                   

        Егер кесінді фронталь проекциялар жазықтығына параллель                       болса, онда оның фронталь проекциясымен       проекция      өсінің                                2.15 - сурет

арасындағы        бұрыш         кесіндінің

горизоталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.                                                                                                  

        Тік бұрышты үшбұрыштың кесіндінің горизонталь проекциясы болатын катетімен нақты шамасы болатын гипотенузасының арасындағы бұрыш осы кесіндінің горизонталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.

        Тік бұрышты үшбұрыштың кесіндінің фронталь проекциясы болатын катетімен нақты шамасы болатын гипотенузасының арасындағы бұрыш осы кесіндінің фронталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.

 

        Салу жүйесі :

                                                                                            2.16 - сурет

        Жоғарыда көрсетілгендей комплексті сызбада  В2А2  және   А1В1 тік бұрышты үшбұрыштарды тұрғызамыз (2.16 – сурет).

        2.16 – суретте  α  бұрышы   АВ кесіндісінің горизонталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышы, ал  β  бұрышы- фронталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышы.

 

        Шығару алгоритмі:                                                    

                                                                                                   

1)  ∆B2A2∆A1B1;         2)  α0 = ([AB]π1);           3)  β0 = ([AB]π2).

                                                                                                                                                                                       

9 – есеп .   Берілген   С  нүктесі арқылы                            

горизонталь проекция жазықтығымен  500  және фронталь проекция жазықтығымен  250  жасайтын түзу жүргізу керек  (2.17 – сурет).

                                                                                                  

        Шығаруға нұсқаулар:                                                      

 

Есепті шығаруға нұсқаулар  7-ші және  8-ші есептерде толық берілген.                                              

                                                                                                                      

                                                                                                      2.17 – сурет

        Салу жүйесі:  

       

        Комплексті сызбада есептің берілгенінен тысқарырақ проекция жазықтықтарына есептің шартында көрсетілген бұрыштармен көлбей орналасқан көмекші түзу тұрғызамыз. Ол үшін фронталь проекциялар жазықтығында жататын кез  келген  А  нүктесін алып, оның фронталь проекциясы  А2  арқылы проекция осімен  500  бұрыш жасайтын   А2   түзуін жүргіземіз. осы түзуді гипотенузасы етіп алып, төбесі   А2 – дегі бұрышы  250  болатын тік бұрышты үшбұрыш тұрғызамыз. Ол үшін   А2В2  түзуін тең бөліп, радиусы (А22): 2 – ге тең жартылай шеңбер жүргіземіз. Сонан соң  А2  нүктесінен  А2