ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Алматы энергетика және байланыс институты

М. Ш. МҰҚАШЕВ, С. А. ДҮЙСЕНОВ, Б. З. ҚАЛИЕВ

ИНЖЕНЕРЛІК ЖӘНЕ МАШИНАЛЫҚ ГРАФИКА

СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯ

ОҚУ ҚҰРАЛЫ

АЛМАТЫ 2003

УДК 744(075)

Инженерлік және машиналық графика I-бөлім.

Сызба геометрия. Оқу құралы/ М.Ш.Мұқашев, С.А. Дүйсенов, Б.З. Қалиев

АЭжБИ. Алматы, 2004. - 81 б.

Оқу құралында сызбаларды тұрғызудың теориялық негіздері және геометриялық инженерлік есептерді графикалық жолмен шығару мысалдары келтірілген. Студенттер өз бетімен варианттар бойынша орындайтын есептер комплектісі және типтік тест сұрақтары берілген.

Оқу құралы Алматы энергетика және байланыс институтының I курс студенттеріне арналған. Сонымен қатар оқу құралы техникалық лицей мен колледж оқушыларына пайдалы.

Безенд. - 88, кесте - 1, библиогр. - 8 атау.

ПІКІР БЕРУШІ:

АЭжБИ, ИГжҚМ кафедрасы, техн. ғыл. канд., доцент Э.А. Яхъяев.

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым министрлігі 2003 жылғы баспа жоспары бойынша басылады

ISBN………………………….

© Алматы энергетика және байланыс институты, 2004ж

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ................................................................................................................4

1 Кескіндер салудың теориялық негіздері.....................................................5

1.1 Проекциялау әдістері. ..............................................................................5

Центрлік және параллель проекциялау.

1.2 Проекциялаудың негізгі қасиеттері........................................................6

1.3 Тік бұрышты проекциялау.......................................................................7

1.4 Сызбаның қайтымдылығы.......................................................................7

1.5 Екі өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау.............................8

1.6 Үш өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау. ...........................9

Нүктенің координаталары.

1.7 Түзудің сызбасы.......................................................................................10

1.8 Жазықтықтың сызбасы............................................................................11

1.9 Дербес жағдайдағы түзулер....................................................................12

1.10 Дербес жағдайдағы жазықтықтар..........................................................16

1.11 Нүкте, түзу, жазықтыққа байланысты позициялық есептер...............17

1.12 Қисық сызықтар туралы жалпы мәліметтер.........................................25

1.13 Беттер........................................................................................................26

1.14 Жазықтық пен беттерге байланысты позициялық есептер.................29

1.15 Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілі..................................37

1.16 Айналдыру тәсілі.....................................................................................42

2 Сызба геометрия есептерін шығару мысалдары.............................................43

2.1 Сызба жұмысын үйымдастыру...............................................................43

2.2 Типтік есептердің шығарылу мысалдары..............................................43

3 Сызба геометриядан есептер комплектісі........................................................72

3.1 Есептерді шығару жүйесі........................................................................72

3.2 Есептердің шарттары...............................................................................72

4 Сызба геометриядан типтік тестер жинағы.....................................................76

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.....................................................................81

К І Р І С П Е

Геометрияныњ басќа бµлімдері сияќты сызба геометрия математикалыќ ѓылым болып табылады. Сонымен ќатар сызба геометрия инженерлік білімніњ негізін ќалаушы пєндердіњ бірі болып есептеледі.

Сызба геометрия пєні негізінен тµмендегідей мєселелерді ќарастырады:

- єрт‰рлі кењістік ќалыптарын жазыќтыќта кескіндеу тєсілдерін зерттеу;

- єрт‰рлі заттардыњ (денелер, механизмдер жєне т.б.) сызбаларына ќарап, олардыњ кењістік ќалыптарын д±рыс т‰сіну;

- т‰рлі инженерлік есептерді графикалыќ жолмен шешу;

- адамдардыњ кењістіктік елестету мен ќисынды ойлау ќабілеттерін дамыту.

Ѓылым ретінде сызба геометрияныњ ќалыптасуында єйгілі француз геометрі Гаспар Монж (1746-1818) аса зор рµл атќарды. 1798 жылы жарыќ кµрген “Geometrik descriptive” (сызба геометрия) деген шыѓармасында ол кењістік пішіндерін жазыќтыќта кескіндеудіњ жалпы єдісін ж‰йелі т‰рде баяндады.

Сызба геометрияныњ орыс тіліндегі алѓашќы кітабын (“Сызба геометрияныњ негіздері” деген курсты) 1821 ж. Я.А.Севостьянов жазып шыѓарды, ал 1824 ж. оѓан сызба геометрияныњ т±њѓыш профессоры деген атаќ берілді.

Ќазаќ ѓалымдарынан проф.Ж.М.Есм±хановты, К.К.Ќонаќбаевты атауѓа болады. Олар т±њѓыш ќазаќ тілінде сызба геометрия оќулыѓын жазды.

1 Кескіндер салудың теориялық негіздері

1.1 Проекциялау єдістері. Центрлік жєне параллель проекциялау

Пішінніњ белгілі бір ереже бойынша жазыќтыќќа (бетке) т‰сірілген кескіні проекция деп аталады. Нєрсе кескінін алу ‰шін жасалатын єрекетті проекциялау дейді.

Н‰ктеніњ проекциясын т±рѓызу ‰шін сол н‰кте арќылы µтетін проекциялаушы сєуленіњ проекциялар жазыќтыѓымен ќиылысу н‰ктесін табу ќажет (1.1 сурет): [SA) ∩ p₁=A₁.

1.1 – сурет 1.2 - сурет

м±нда

S – проекция центрі;

А –кењістіктегі н‰кте;

SA – проекциялаушы сєуле;

p₁-проекциялар жазыќтыѓы;

А₁- А н‰ктесініњ p₁-дегі проекциясы.

S н‰ктесі шекті қашыќтықта жатса, онда ол меншікті, ал шексіз ќашыќтыќта

жатса меншіксіз деп аталатыны белгілі.

Егер S н‰ктесі меншікті н‰кте болса, онда проекциялау центрлік проекциялау (1.1 - сурет), ал егер меншіксіз болса, онда ол параллель проекциялау деп аталады (1.2 - сурет).

1.2 Проекциялаудыњ негізгі ќасиеттері

а) Проекциялаудыњ кез келген т‰ріне тєн екі ќасиет бар:

- н‰ктеніњ проекциясы н‰кте болады;

- т‰зудіњ проекциясы жалпы жаѓдайда т‰зу болады.

SA жєне SB т‰зулері жазыќтыќты ќ±райды, ал жазыќтыќтардыњ ќиылысу сызыѓы єрќашанда - т‰зу (1.1 - сурет).

ә) Параллель проекциялауѓа тєн ќасиеттер:

- т‰зудіњ бойынан алынѓан н‰ктеніњ проекциясы сол т‰зу проекциясыныњ бойында жатады (1.1 – суретте D н‰ктесі);

- егер екі т‰зу кењістікте µзара параллель болса, онда олардыњ проекциялары да µзара параллель болады (1.3 - сурет): α жєне b жазыќтыќтары µзара параллель, сондыќтан А₁В₁ ôô С₁D₁;

1.3 – сурет 1.4 – сурет

- егер н‰кте кењістіктегі кесіндіні белгілі бір ќатынаста бµлетін болса, онда н‰ктеніњ проекциясы кесіндініњ проекциясын да сондай ќатынаста бµледі (1.4 - сурет):

СС₁ ôôВВ₁, сондықтан DАВВ₁ ~ DАСС₁.Ал егер ұшбұрыштар конгурентті болса, онда

АС = А₁С₁

СВ С₁В₁ .

1.3 Тік б±рышты проекциялау

Н‰ктеніњ тік б±рышты проекциясын т±рѓызу ‰шін сол н‰кте арќылы проекциялар жазыќтыѓына т‰сірілген перпендикулярдыњ табанын тапса жеткілікті.

Тік бұрышты прекциялау әдісі паралель проекциялау әдісінің дербес бір түрі болып табылады: проекциялаушы сәулелер проекциялар жазықтығына перпендикуляр болған соң өзара параллель болады (1.5 - сурет).

Жоғарыда аталған проекциялау әдістерін талдай келе, мынандай қорытындылар жасауға болады:

1) Центрлік проекциялар заттарды көрнекті етіп кескіндегенімен, олардың нақты қалпыларын және өлшемдерін айтарлықтай бұрмалайды;

2) Паралель проекциялар пішіндердің кейбір қасиеттерін (түзулердің өзара параллельдігін, т. с. с.) сақтай отырып,

1.5 - сурет олардың нақты қалыптарын және өлшемдерін

едәуір кем бұрмалайды. Алайда, параллель

проекциялау тәсілі кішігірім өлшемді объектілерді кескіндеуде аса қолайлы. Ал, центрлік проекциялау негізінен сәулет өнері мен құрылыс сызбаларында қолданылады.

1.4 Сызбаның қайтымдылығы

Заттың кескінін проекциялау әдісімен салуда үш элементті ажыратқан дұрыс: а) проекциялау аппараты- p₁, S₁l; ә) заттың өзі- түпнұсқа; б) заттың проекциясы.

Сызба геометрияда осы үш элементтің екеуі беріледі де, үшіншісін табу керек болады.

Берілген заттың проекциясын салу – сызба геометрияның тура есебі, ал проекциясы берілген заттың өзін (түпнұсқасын) табу кері есебі деп аталады.

Сызба геометрияның тура есебін шешуге әрқашан да болатынын біз жоғарыда көрсеттік.

Тек бір проекциядан тұратын кескінді пайдаланып, сызба геометрияның кері есебін шешуге болмайды. Мысалы, 1.6а - суреттегі А нүктесі қай жерде орналасқанын анықтау мүмкін емес , себебі А - ға l түзуінің кез келген нүктесі проекцияланады (1.6 а , ә - сурет).

1.6 а - сурет 1.6 ә - сурет

Түпнұсқаның бір проекциясынан тұратын кескіндер қайтымсыз болады.

Қайтымды кескіндер алу тәсілдері көп- ақ. Солардың көп тараған түрлері мыналар:

1) Аксонометриялық проекциялар;

2) Перспектива;

3) Сандық белгілері бар проекциялар;

4) Монж эпюрі.

1.5 Екі өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау

Монж әдісін қолданғанда өзара перпендикуляр екі жазықтық алынады (1.7 - сурет): p₁- горизонталь проекциялар жазықтығы; p₂- фронталь проекциялар жазықтығы.

Сонда, А₁ – А нүктесінің горизонталь проекциясы;

А₂- А нүктемінің фронталь проекциясы,

Х- проекциялар осі;

А_х – А нүктесінің х осіндегі проекциясы болады.

Фронталь проекциялар жазықтығын енгізудің арқасында біз сызбаның қайтымдылығын қамтамасыз еттік.

Монж эпюрін Алу үшін p₁ жазықтығы p₂ – мен х осі төңірегінде айналдыру көмегімен беттестіріледі. Сонда, нүктенің горизонталь және фронталь проекциялары х осіне перпендикуляр бір түзудің бойында жататын болады.

А₂А₁ сызығын байланыс сызығы деп атайды (1.8 - сурет).

1.7 – сурет 1.8 - сурет

1.6 Үш өзара перпендикуляр жазықтыққа проекциялау.

Нүктенің координаталары

Кейде объектінің екі проекциясы оның қалпы мен өлшемдері туралы керекті мәліметтерді білуге жеткілікті бола алмайды, сондықтан 1.7- суретте көрсетілген p₁-мен p₂ жазықтықтар жүйесіне қосымша оның екеуіне де перпендикуляр p₃ жазықтығын енгізейік. Сонда (1.9- сурет) проекциялар жазықтықтарының қиылысу сызықтары- проекциялар осьтері үшеу болады: х- абцисса, у- ордината, z- аппликата.

1.9 – сурет 1.10 - сурет

Осьтердің тоғысу нүктесі (0) координаталар басы деп аталады. А нүктесінің төмендегідей координаталары болады:

А (Х_А; Y_А; Z_А) , суретте Х=3, Y = 4, Z= 6, сондықтан А(3;4;6).

А₃ профиль проекциялар жазықтығы p₃ – те пайда болған А нүктесінің профиль проекциясы деп аталады.

Нүктенің фронталь және профиль проекциялары z осіне перпендикуляр түзудің бойында жататынына назар аударыңыздар (1.10- сурет).

Нүктенің профиль проекциясының оның горизонталь проекциясымен қалай байланысқаны 1.10- суретте анық көрсетілген. k₀ – ді комплекс сызбаның тұрақты түзуі дейді.

1.7 Түзудің сызбасы

Кеңістіктегі түзу сызық өзінің екі нүктесімен немесе бір нүктесімен және бағытымен анықталады. Сондықтан оның сызбасын салу үшін осы түзуді анықтайтын екі нүктенің проекцияларын немесе бір нүктесінің прекциясын және проекциялардың бағыттарын білу керек.

Егер түзу проекциялар жазықтықтарының ешқайсысына не параллель, не перпендикуляр болмаса, онда ол жалпы жағдайдағы түзу деп аталады.

АВ- жалпы жағдайдағы түзу, сондықтан êАВ ê>êА₂В₂ êÙ çABç> çA₁B₁ç (1.11- сурет).

а) ә)

1.11 - сурет

1.8 Жазықтықтың сызбасы

Жазықтықтар 5 түрлі әдіспен берілуі мүмкін:

1 Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы ;

2 Екі өзара параллель түзу арқылы ;

3 Екі өзара қиылысқан түзу арқылы;

4 Түзу және оның бойында жатпайтын нүкте арқылы;

5 Кез келген жазық пішін арқылы.

Сондықтан сызбада ол осы элементтер проекцияларымен анықталады. Мысалы 1.12- суретте a (аêêb) , b(mêên), g(D ABC).

Егер берілген жазықтық проекциялар жазықтықтарының ешқайсысына параллель немесе перпендикуляр болмаса, онда ол жалпы жағдайдағы жазықтық деп аталады.

1.12 – сурет

1.9 Дербес жағдайдағы түзулер

Барлық дербес жағдайдағы түзулер екі топқа бөлінеді:

а) екі проекциялар жазықтығына параллель, яғни үшіншісіне перпендикуляр түзулер – проекциялаушы түзулер.

- p₁–ге перпендикуляр түзулер горизонталь проекциялаушы түзулер деп аталады

(АЕ)ççp₂Ç(АЕ)ççp₃®(АЕ) ^ p₁ (1.13- сурет);

1.13 - сурет

- p₂-ге перпендикуляр түзулер фронталь проекциялаушы түзулер деп аталады

(DN) ççp₁Ç(DN)ççp₃® (DN) ^ p₂ (1.14- сурет);

1.14 – сурет

- p₃-ке перпендикуляр түзулер профиль проекциялаушы түзулер деп аталады

(АВ) ççp₂Ç (АВ)ççp₁®(АВ) ^ p₃ (1.15- сурет);

1.15 - сурет

ә) бір проекциялар жазықтығына параллель түзулер – деңгейілік түзулер:

- p₁ – ге параллель түзулер горизонталь түзулер деп аталады және һ деп белгіленеді.

Һ- тың проекцияларының ерекшеліктері (1.16- сурет):

1.16 - сурет

1) фронталь проекциясы һ₂ әрқашанда х осіне параллель һ₂êêх

2) бұл түзудің кесінділері p₁-ге нақты шамалармен проекцияланады

А₁В₁= êAB ê

3) һ түзуінің p₂-ге көлбеулік бұрышы оның горизонталь проекциясы һ₁

(А₁В₁) мен х осінің арасындағы бұрышқа тең

(АВ^p₂)= (А₁В₁^x)

- p₂-ге параллель түзулер фронталь түзулер деп аталады және f деп белгіленеді

f-тың проекцияларының ерекшеліктері (1.17- сурет):

1) f₁êêx;

2) A₂B₂= êAB ê;

3) (AB^p₁)=(A₂B₂^ x).

1.17 - сурет

-p₃- ке параллель түзулер профиль түзулер деп аталадыжәне р деп белгіленеді.

p-ның проекцияларының ерекшеліктері (1.18 - сурет):

1.18 - сурет

1) А₁В₁^ x ^ А₂В₂^ x;

2) А₃В₃= ÷АВ÷;

3) (АВ^p₁)=( А₃В₃^U₁);

(АВ^p₂)=( А₃В₃^Z).

1.10 Дербес жағдайдағы жазықтықтар

Дербес жағдайдағы жазықтықтар екіге бөлінеді:

а) бір проекция жазықтығына параллель жазықтықтар деңгейлік жазықтықтар деп аталады:

- p₁-ге параллель жазықтық горизонталь жазықтық деп аталады.

Горизонталь жазықтық проекцияларының ереекшеліктері (1.19 - сурет):

1.19 – сурет 1.20 - сурет

1) фронталь проекциясы х осіне параллель түзу a₂ ½½ х

2) бұл жазықтықта жатқан кесінділер p₁-ге өздерінің нақты шамаларымен проекцияланады: D А₁В₁С₁ = ½DABC½

Көбіне дербес жағдайдағы жазықтықтар бір ғана проекциясымен беріледі (1.20 - сурет). Бұл проекциясының жинаушылық қасиеті бар, яғни осы жазықтықтың бойында жататын кез келген пішін бір түзудің бойына проекцияланады.

- p₂-ге параллель жазықтық фронталь жазықтық деп аталады.

Проекциялар ерекшеліктері (1.21 - сурет):

1) b₁½½х

2) ½m₂* n₂½= ½m* n½

3) b₁жинаушылық қасиетін иеленеді

1.21 – сурет 1.22 – сурет

- p₃-ке параллель жазықтық профиль деп аталады.

ә) тек бір ғана проекция жазықтығына перпендикуляр жазықтықтар проекциялаушы жазықтықтар деп аталады:

- p₁-ге перпендикуляр жазықтық горизонталь проекциялаушы жазықтық деп аталады, a ^ p_1.

Проекциялар ерекшеліктері (1.22 - сурет)

1) a₁ жинаушылық қасиетін иеленеді

2) (a ^ p₂) = (a₁ ^ х )

- p₂-ге перпендикуляр жазықтық фронталь проекциялаушы жазықтық, b ^ p₂.

Проекциялар ерекшеліктері (1.23 - сурет):

1) b₂ жинаушылық қасиетін иеленеді

2) (b ^ p₁)=(b₂ ^ x)

- p₃-ке перпендикуляр жазықтық профиль проекциялаушы жазықтық.

1.23 – сурет

1.11 Нүкте, түзу, жазықтыққа байланысты позициялық есептер

Кеңістіктің геометриялық модельдерінің (пішіндерінің) өзара қалай орналасқанын анықтауға арналған есептер позициялық есептер деп аталады. Мұндай есептер екі топтан тұрады:

а) өзара меншіктілікті анықтауға арналған есептер;

ә) өзара қиылысуы есептері.

1.11.1 Екі түзудің өзара орналасуы

Екі түзу кеңістікте қиылысуы, айқасуы немесе параллель болуы мүмкін.

а) қиылысатын түзулер - бір ортақ нүктесі бар түзулер. Мұндай түзулердің проекциялары қиылысады және де қиылысу нүктелері бір байланыс сызығы бойында жатады (1.24 - сурет):

m Ç n = M ® m₁Ç n₁ =M₁_,

m₂Ç n₂ =M₂_.

1.24 – сурет 1.25 - сурет

ә) параллель түзулер - бір - бірімен шексіздікте қиылысатын түзулер. Параллель түзулердің аттас проекциялары өзара параллель болады (1.25 – сурет):

с½½ d ® с₁½½ d₁,

с₂½½ d₂, с₃½½ d₃.

б) айќас т‰зулер – ортаќ н‰ктелері жоќ т‰зулер. Айќас т‰зулердіњ проекциялары ќиылысуы м‰мкін, біраќ ќиылысу н‰ктелері бір байланыс сызыѓы бойында жатпайды (1.26 - сурет):

1.26 - сурет

1.11.2 Жазыќтықтаѓы н‰кте

Н‰кте жазыќтыќта жатуы ‰шін ол осы жазыќтыњ кез келген т‰зуініњ бойында жатуы ќажет. Мысалы (1.27 - сурет):

Б. ( Берілгені ): a (АВС), D₂

Т. к. (Т±рѓызу керек):

D₁, {D Ì a (ABC)}

ЕША (Есептіњ шыѓару алгоритмі):

1) L₁Ì D₁, L₂Ì a (ABC)

2) L₂Ì B₂C₂= l₂

3) ↕ l₁

4) A₁È l₁ = L₁

5) ↨D₁ Ù D₁Ì L₁

1.27 – сурет

1.11.3 Жазыќтықтаѓы т‰зу

а) егер т‰зу мен жазыќтыќтыњ екі ортаќ н‰ктесі болса, онда т‰зу жазыќтыќта жатады.

ә) егер т‰зу жазыќтыќта бір н‰кте арќылы µтіп жєне осы жазыќтыќта жатќан немесе осы жазыќтыќќа параллель кез келген бір т‰зуге параллель болса, онда б±л т‰зу осы жазыќтыќта жатады.Мысалы (1.28 – сурет ):

Б. a (m Ç n), L₂

Т. к. L₁, {L₂Ì (m Ç n )

ЕША

1) L₂Ç m₂ = 1₂

2) L₂Ç n₂ = 2₂ ;

3) ↕ 1₁^ 2 ₁

4) 1₁È2₁= L₁

1.28 – сурет

1.11.4 Жазықтықтың ерекше түзулері

Жазықтықтың ерекше түзулері деп, осы жазықтықтың бойында жататын және проекциялар жазықтарының біріне параллель түзулерді атайды. 1.29- суретте жазықтың екі ерекше түзуі – горизонталь мен фронталь көрсетілген.

а) жазықтықтың горизонталі

h÷÷ p₁

1) h Î (ABC)

2) h ÷÷ p₁ ® h₂÷÷ x

3) ↕ h₁

ә) жазықтың фронталі f ÷÷ p₂

1) f Î(ABC)

2) p₂ ® f₁ ÷÷ x

3) ↕ f₂

1.29 - сурет

1.11.5 Түзу мен жазықтықтың параллельдігі

Егер жазықтықтан тысқары алынған түзу осы жазықтықта жатқан түзулердің біріне параллель болса, онда ол түзу жазықтыққа параллель болады (1.30- сурет).

Б. b (m Ç n), L₂ , А

{L÷÷ b (m Ç n)}

Т. к. L₁

ЕША

1) t₂Ç L₂ ,t Î b;

2) ↕ t₁

3) L₁ÉA₁^ L₁÷÷ t₁

1.30 - сурет

1.11.6 Өзара параллель жазықтықтар

Егер бір жазықтықтың өзара қиылысқан екі түзуі екінші жазықтықтың өзара қиылысқан екі түзуіне параллель болса, онда мұндай жазықтықтар өзара параллель (1.31 - сурет).

Б. a (DABC), D

Т. к. b (m Ç n), {( m Ç n)É,

(m Ç n)÷÷ (DABC)

ЕША

1) môô BC ®m₂÷÷ B₂ C₂, m₁÷÷B₁C₁

2) nôô AC ®n₂÷÷ A₂ C₂, n₁÷÷ A₁C₁

3) (m Ç n ) úú (DABC) – параллель проекциялаудың қасиеті бойынша

1.31 – сурет

1.11.7 Жалпы жағдайдағы жазықтықтың дербес жағдайдағы жазықтықпен қиылысуы

Егер екі жазықтықтың ортақ түзуі болса, мұндай жазықтықтар өзара қиылысады. Өзара қиылысушы жазықтарды қарастырғандағы мақсат, олардың қиылысу түзуін тұрғызу. Ол үшін берілген жазықтықтарға ортақ екі нүктені тапса жеткілікті.

Егер қиылысушы жазықтықтардың бірі дербес жайдағы жазықтық болса, онда қиылысу түзуін осы жазықтықтың проекцияларының бірінің жинаушылық қасиетін қолданып тұрғызамыз.

Мысалы (1.32 - сурет):

Б. a (АВС),b

Т. к.t, {t = a Ç b, bôôp₁

ЕША

1) bôôp₁®b₂ôôx

2) t₂ º b₂, себебі b₂ – нің жинаушылық қасиеті бар

3) ↕ t₁

1.32 – сурет

1.11.8 Түзудің дербес жағдайдағы жазықтықпен қиылысуы

Түзудің дербес жағдайдағы жазықтықпен қиылысу нүктесі де аталған жазықтықтың проекцияларының бірінің жинаушылық қасиетін қолдану арқылы табылады.

Мысалы (1.33- сурет):

Б. a (môôn ), L

Т. к. K {K = a ÇL, a^p₁}

ЕША

1) K₁=L₂Ç a₁

2) ↕ K₂

1.33 - сурет

1.11.9 Түзудің жалпы жағдайдағы жазықтықпен қиылысуы

Түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесін табу үшін (1.34 - сурет):

1) b É L – L түзуі арқылы b жазықтығын жүргізу қажет.

Бұл жерде тұрғызуды жеңілдету үшін b дербес

жағдайдағы жазықтықтың бірі болғаны дұрыс.

2) 12=aÇb- аталған жазықтықтардың қиылысу түзуін тұрғызамыз.

3) К =12ÇL- қиылысу түзуі мен берілген түзудің қиылысу нүктесі К- ны табамыз. Бұл берілген түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі болып табылады: К=LÇ a

1.34 – сурет

Мысалы (1.35- сурет):

Б. a (АВС), l

Т. к.K, {K = a ÇL

ЕША

1) b É L, b ^p₂® b₂º L₂

2) 1₂ 2₂º b₂, 12= a Ç b,

себебі b₂ – нің жинаушылық қасиеті бар

3) ↕ 1₁2₁

4) К₁– L₁∩1₁2₁

5) ↕ К₂

1.11.10 Жазықтыққа перпендикуляр түзу

Түзу жазықтыққа перпендикуляр болу

үшін ол осы жазықтықтың өзара

1.35 – сурет қиылысқан екі түзуіне перпендикуляр

болуы қажет.

Ол үшін комплекс сызбада түзудің горизонталь проекциясы жазықтық горизонталінің горизонталь проекциясына, ал фронталь проекциясы жазықтық фронталінің фронталь проекциясына перпендикуляр болуы қажет және жеткілікті. Мысалы (1.36 – сурет):

Б. a (АВС), D

Т. к. n, {n ÉD, n ^a}

ЕША

1) h Ì (ABC)

2) n₁ÉD₁, n₁ ^ h₁

3) f Ì (ABC)

4) n₂ É D₂, n₂^ f₂

1.11.11 Өзара перпендикуляр жазық -

тықтар

Жазықтықтар өзара перпендикуляр,

1.36 – сурет егер олардың бірі екінші жазықтыққа

перпендикуляр түзу арқылы өтсе. Мысалы (1.37 - сурет):

1.37 – сурет

Б. a (m Ç n), DE

Т. к. b, {bÉ DE,

b ^ a}

ЕША

1) h Ì a

2) L₁ ^ h₁, L₁ÉD1

3) f Ì a

4) f₂^ L₂, L₂ É D₂

5)(LÇ DE) ^ a, (L Ç DE) ºb

1.12 Қисық сызықтар туралы жалпы мағлұматтар

Сызба геометрияда қисық сызық кеңістіктегі белгілі бір заңдылықпен үздіксіз қозғалыстағы нүктенің ізі (траекториясы) ретінде қарастырылады.

Қисық сызықтар мынандай түрге бөлінеді:

а) жазық немесе кеңіс қисық сызықтар

Егер қисық сызықтың барлық нүктелері бір жазықтықта жататын болса, онда қисық сызық жазық сызық деп аталады (мысалы, эллипс, шеңбер, т.с.с.).

ә) алгебралық немесе трансцендент қисық сызықтар.

Жазық алгебралық сызықтар дәрежелі бойынша бөлінеді:

1-ші, 2-ші,… т.с.с. Сызықтың дәрежесі графикалық жолмен осы сызықтың түзумен қиылысу нүктелерінің санымен анықталады.

1.13 Беттер

1.13.1 Жалпы түсініктер

Жасаушы деп аталатын сызықтың бағыттаушы деп аталатын сызықтың бойымен үздіксіз қозғалғандағы орындарының жиыны бет деп аталады (1.38 - сурет):

m- бағыттаушы сызық

l- жасаушы;

Ф- бет.

Сызбада беттерді көрсету үшін 2 түрлі әдіс қолданылады: қаңқа арқылы және кинематикалық.

Кинематикалық әдіс қолданғанда бет өзінің анықтаушысымен беріледі. Анықтаушы деп бетті бір мәнді анықтайтын бір-біріне тәуелсіз шарттар жиынтығын атайды. Жалпы жағдайда бет берілді деп есептеледі, егер

1.38 - сурет Кез келген нүктесінің бетке тиісті немесе

тиісті еместігін анықтай алсақ.

1.13.2 Беттердің жіктемесі

а) барлық беттер жасаушылары тұрақты немесе тұрақсыз беттер деп екіге бөлінеді;

ә) Жасаушылары түзу сызық болатын беттер түзу сызықты қисық беттер деп аталады;

б) түзу сызықты қисық беттердің өзі екіге бөлінеді: жазылатын немесе жазылмайтын беттер. Жазылатын беттер үшеу: торс, конустық және цилиндрлік беттер.

1.13.3 Техникада көп тараған беттердің сызбасы

1.13.3.1 Жақты беттер

Түзу жасаушының сынық бағыттаушы сызықтың бойымен қозғалғанда пайда болған бетті жақты бет деп атайды (1.39 - сурет).

1.39 - сурет

Жақты бет жақтары деп аталатын жазық көпбұрыштардан тұрады.

Көпбұрыштың қабырғалары беттің қырлары деп аталады. Көпбұрыштың төбелері көпжақтың төбесі деп аталады.Тұйық жақты бет – көпжақ деп аталады (пирамида, призма, призматоид).

Комплекс сызбада көпжақтардың проекцияларын салу үшін олардың төбелері мен қырларының проекцияларын тұрғызып, көрінетін және көрінбейтін бөліктерін анықтаса жеткілікті (1.40- сурет).

1.13.3.2 Цилиндрлік бет

Цилиндрлік бет түзу жасаушы L-дың қисық бағыттаушы m- ның бойымен қозғалғанда пайда болады. Бұл жерде жасаушы Алдан ала берілген бір бағыт S- ке әр уақытта параллель болуы керек (1.41- сурет).

1.40 – сурет 1.41 – сурет

1.13.3.3 Конустық бет

Конустық бет түзу жасаушы L-дың қисық бағыттаушы m –ның бойымен қозғалысынан пайда болады. Бұл жерде жасаушының бір нүктесі әр уақытта қозғалмайды, ол конустық беттің төбесі – S нүктесі (1.42 - сурет).

1.41 - сурет

1.13.3.4 Торс

Торс деп кеңіс сызыққа жүргізілген жанамалардың жиынынан тұратын бетті атайды (1.43 - сурет).

а - беттің кері қайту қыры;

L- жанама

1.13.3.5 Айналу беттері

Түзу немесе қисық сызықты жасаушылар -

1.43 – сурет дың тұрақты осьтері төңірегінде айналуынан

пайда болған қисық беттерді айналу беттері деп атайды. Айналу кезінде жасаушының әрбір нүктесі айналу осі арқылы шеңбер сыза қозғалады және бұл шеңбердің жазықтығы айналу осіне перпендикуляр орналасады.

Айналу беттері техникада өте көп тараған. Мысалы, конустық және цилиндрлік айналу беттері, сфера , тор, айналу эллипсоиды, айналу параболоиды, т. с. с.

1.14 Жазықтық пен беттерге байланысты позициялық есептер

1.14.1 Жалпы түсініктер.

Кез келген беттің жазықтықпен қиылысуынан қима деп аталатын жазық сызық пайда болады. Бұл сызықтың бірнеше нүктесін тауып, оларды өзара қосу арқылы тұрғызады.

1.14.2 Жақты беттің жазықтықпен қиылысуы

Беттің жақтары жазықтықтардың бөліктері болғандықтан, олар қиюшы жазықтықпен түзулер арқылы қиылысады. Бұл жағдайда қиылысу сызығы тұйық немесе тұйық емес сынық сызық болады.

Қиылысу сызығын тұрғызу үшін беттің қырларының қиюшы жазықтықпен қиылысу нүктелерін тауып , оларды өзара көріну не көрінбеуін ескеріп қосса жеткілікті.

Мысалы (1.44 - сурет) :

a ÇSA= 1 (1₂, 1₁);

a ÇSB= 2 (2₂, 2₁);

a ÇSC= 3 (3₂, 3₁);

a Ç (SABC)= 123

1.44 – сурет

1.14.3 Сфераның жазықтықпен қиылысуы

Бұл жағдайда қиылысу сызығы шеңбер болады:

а) қиюшы жазықтық деңгей жазықтығы (1.45а- сурет);

ә) қиюшы жазықтық проекциялаушы жазықтық (1.45ә- сурет).

1.14.4 Айналу цилиндр бетінің жазықтықпен қиылысуы

Бұл жағдайда мынадай қиылысу сызықтары пайда болуы мүмкін (1.46.- сурет):

а) шеңбер, егер қиюшы жазықтық і- ге перпендикуляр болса;

ә) эллипс, егер қиюшы жазықтық беттің барлық жасаушыларын қиса, немесе і- ге перпендикуляр немесе параллель болмаса;

б) екі жасаушы ( түзулер ), егер қиюшы жазықтық і –ге параллель болса.

а ә

1.45 – сурет

1.46 - сурет

1.14.5 Айналу конусы бетінің жазықтықпен қиылысуы

Бұл жағдайда мынадай сызықтар пайда болуы мүмкін (1.47- сурет):

а) ә)

б) в)

1.47 - сурет

а) шеңбер, егер қиюшы жазықтық і-ге перпендикуляр болса;

ә) эллипс, егер қиюшы жазықтық беттің бірде - бір жасаушысына параллель болмаса немесе барлық жасаушыларын қиса;

б) парабола, егер қиюшы жазықтық беттің тек 1 жасаушысына параллель болса;

в) гипербола, егер қиюшы жазықтық беттің 2 жасаушысына параллель болса;

г) екі жасаушы (түзулер ), егер қиюшы жазықтық конустық беттің төбесі арқылы өтсе.

1.14.6 Беттердің қиылысуы

1.47 г - сурет 1.14.6.1 Беттегі нүкте

Нүкте беттің бойында жатады, егер ол осы беттің кез келген сызығының бойында жатса. Мысалы (1.48 - сурет):

Б. a, А2, В1

{A Ì a, B Ì a}

Т. к. А1 ,В2

ЕША

І. 1) а2ÉА2, а2úú х

2) ↨ а1

3) ↨ А1 , {A Ì a}.

ІІ. 1) S1ÈB1= T1

2) ↕ S2, T2

3) ↕ B2, B2ÌS2, T2.

1.48 – сурет

1.14.6.2 Беттердің қиылысуы

Негізгі мақсат беттердің өзара қиылысу сызығын тұрғызу. Бұл сызық қос нүктелердің немесе екі бетке де ортақ нүктелердің жиыны. Беттердің қиылысу сызығын тұрғызу әдісінің негізі (1.49 - сурет):

а) берілген беттерді көмекші бір бетпен немесе жазықтықпен қиямыз. Қиюшы бетті (g) қабылдаған кезде, оны берілген беттермен жәй сызықтар (түзулер , шеңберлер) арқылы қиылысатындай қылып алу қажет;

ә) қиюшы беттің немесе жазықтықтың берілген беттермен қиылысу сызықтарын тұрғызамыз: а =aÇg, b=bÇg;

б) қиылысу сызықтарының қиылысу нүктелерін табамыз 2, 3 = a Çb;

в) (g- ға ұқсас бірнеше көмекші бет немесе жазықтықтар жүргізіп, 2, 3 нүктелеріне ұқсас бірнеше нүкте табамыз;

г) сонан соң табылған нүктелерді өзара қосып, беттердің қиылысу сызығын тұрғызамыз.

1.49 – сурет

Қиюшы жазықтықтар тәсілін қолданып беттердің қиылысу сызығын тұрғызу мысалы 1.50- суретте келтірілген.

1.50 - сурет

1.14.6.3 Ортақ осьтері бар айналу беттерінің қиылысуы

Осьтері ортақ ( осьтес) айналу беттері өзара әрқашан да шеңбер бойынша қиылысады және шеңбердің беті айналу осіне перпендикуляр болады.

Қиылысу шеңберлерінің саны, беттер нұсқаларының осьтің бір жағында жатқан қиылысу нүктелері санына тең.

1.14.6.4 Бір центрлі сфералар тәсілі

Егер сфералардың центрлері бір нүктеде орналасса, онда мұндай сфералар бірцентрлі сфералар, ал өзге жағдайда - әрцентрлі сфералар деп аталады.

Беттердің қиылысу сызығын тұрғызуға бірцентрлі сфералар тәсілін қолдану үшін мынадай шарттар орындалуы қажет:

а) беттің екеуі де айналу беттері болуы қажет;

ә) бұл беттердің айналу осьтері қиылысуы қажет;

б) айналу осьтері проекциялар жазықтықтарының біріне параллель болуы қажет (қосымша шарт). Егер бұл шарт орындалмаса, проекциялар жазықтырын алмастыру әдісін қолданып, айналу осьтерін проекциялар жазықтықтарының біріне параллель ету қажет.

Бір центрлі сфералар тәсілінің қолданылу мысалы 1.52 – суретте келтірілген

1.52 - сурет

Б. a, b

Т. к. g = aÇb

ЕША

1) g- центрі осьтердің қиылысу нүктесі 0- да

2) a= gÇa,

b=gÇa

3) аÇb= 4, 4' ;

4) Æ{1…4,…n}Ì g

1.15 Проекциялар жазықтарын алмастыру тәсілі

1.15.1 Тәсілдің мәнісі

Бұл тәсіл бойынша, кеңістікте берілген обьектіні өзгертпей қалдырады да, проекциялар жазықтықтарының кез келгенін бізге қолайлы болып табылатын басқа жазықтықтармен алмастырып, обьекті проекцияларын қайта тұрғызады. Жаңадан алған проекциялар жазықтығы ескі (алмастырылған) проекциялар жазықтығына перпендикуляр болып алынады (1.53 - сурет).

π₂-ні π ₄-ке алмастырамыз. А нүктесінен π₄-ке перпендикуляр түсіріп, А₄ нүктесін табамыз:

π ₄ – жаңа проекциялар жазықтығы;

π ₂ - алмастырылатын (ескі) проекциялар жазықтығы;

π ₁– алмастырылмайтын проекциялар жазықығы.

А₄ А_х14= АА₁ = А₂А_х

Қорытындылар:

а) нүктенің жаңа проекциясы (А₄) және ескі алмастырылмайтын проекциясы (А₁) жаңа проекция осіне (Х₁₄) перпендикуляр бір түзудің бойында жатады

А₄А₁^ Х₁₄;

ә) нүктенің жаңа проекциясынан (А₄ ) жаңа осіне (Х₁₄) дейінгі қашықтық (А₄ А_х14), сол нүктенің ескі алмастырылатын проекциясынан (А₂) ескі осіне (Х₁₂) дейінгі қашықтыққа тең А₄ А_х14= А₂ А_х12

1.15.2 Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілін кейбір метрлік есептерді шығаруда қолдану

1.15.2.1 Екі нүктенің ара қашықтығын табу

Мысалы (1.54 - сурет):

Б. А,В

Т.к. [АВ]

ЕША

1) π ₂→ π ₄→ Х₁₄││А₁В₁

2) А₄В₄=[АВ]

1.15.2.2 Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу

Шығарудың жалпы схемасы:

1.54 – сурет Проекциялар жазықтықтарын алмастыру

тәсілін қолданып, эпюрде берілген жалпы жағдайдағы жазықтықты дербес (проекциялаушы) жағдайға келтіреміз. Ол үшін осы жазықтықтың горизонталін жүргізіп π ₄–ті соған перпендикуляр етіп жүргіземіз.Мысалы (1.55 - сурет):

1.55 – сурет

Б. a (АВС), D

Т.к. [D ∙ α (АВС)]

ЕША

1) һ Ì α (АВС)]

2) π ₄^ һ → Х₁₄ ^һ₁

3) D₄, A₄, B₄,C₄

4) D₄K₄ ^ A₄B₄

5) D₄K₄ = [ D ∙ α].

1.15.2.3 Нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу

Шығарудың жалпы схемасы:

Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілін қолданып, берілген түзуді жалпы жағдайдан проекциялаушы түзу жағдайына келтіреміз.

Мысалы (1.56 - сурет):

Б. А,ВС

Т.к. [А ∙ (ВС)]

ЕША

1) π ₄││ВС →Х₁₄││В₁С₁

2) А₄, В₄, С₄

3) π ₅ ^ВС →^Х₅₄ В₄, С₄

4) А₅, В₅, С₅

5) А₅В₅ = [A ∙ (BC)]

1.56 – сурет

1.15.2.4 Жазық пішінінің ауданының нақты шамасын табу

Шығарудың жалпы схемасы:

Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілін қолданып, берілген жазықтықты проекциялар жазықтығына параллель жағдайға келтіреміз.

Мысалы: (1.57 - сурет)

1.57 – сурет

Б. α (АВС)

Т.к. [АВС]

ЕША

1) h Ì a

2) p₄ ^ h ®x₁₄^ h₁

3) A₄, B₄, C₄

4) p₅ôô(DABC)®x₄₅ôôA₄B₄C₄

5) D (A₅B₅C₅)= [DABC]

1.15.2.5 Параллель түзулердің ара қашықтығын табу

Егер берілген түзулердің бірінің бойынан кез келген нүктені алсақ , онда ол есеп нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табу есебіне айналады.

1.15.2.6 Айқас түзулердің ара қашықтығын табу

Шығарудың жалпы схемасы.

Айқас түзулердің ара қашықтығы оларға ортақ перпендикулярдың ұзындығына тең. Эпюрді түрлендіру арқылы түзулердің бірін проекциялаушы жағдайға келтіреміз.

Мысалы ( 1.58 - сурет):

Б. AB, DE

Т. к . [(AB)·(DE)],{(AB) −(DE)}

ЕША

1) p₄êêDE®x₁₄êêD₁E₁

2) A₄B₄, D₄E₄

3) p₅^DE®x₄₅^D₄E₄

4) D₅E₅, A₅B₅

5) D₅K₅^ A₅B₅

6) D₅K₅= [(AB)·(DE)].

1.15.2.7 Параллель жазықтықтар -дың ара қашықтығы

Берілген жазықтықтардың бірінен нүкте аламыз. Сонда бұл есеп

1.58 - сурет нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты табу есебіне айналады.

1.15.2.8 Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш

Бұл есепті шығару үшін түзудің бойынан нүкте (К) аламыз да, сол нүктеден жазықтыққа перпендикуляр тұрғызамыз. Сонан соң түзумен перпендикулярдың арасындағы бұрышты (b⁰) табамыз. Сонда іздеп отырған бұрышымыз:

a⁰= 90^{0 ─}b⁰

1.16 Айналдыру тәсілі

Бұл тәсіл бойынша белгілі бір осьтен айналдыру арқылы кеңістіктің геометриялық модельдерінің орындары өзгертіліп, берілген проекциялар жазықтықтарының жүйесінде дербес жағдайға келтіріледі.

Кез келген нүкте осьтен айналғанда шеңбер сызатыны және бұл шеңбер жазықтығы осы оське перпендикуляр екені белгілі.

Сондықтан, айналу осьтері ретінде проекциялаушы немесе деңгейлік түзулерді қабылдасақ, онда нүктелердің айналу жазықтықтары проекция жазықтықтарына параллель немесе перпендикуляр болады. Мысалы (1.60 - сурет ):

Горизонталь проекциялаушы түзу (і) төңірегінде айналдырған кезде А нүктесінің горизонталь проекциясы А₁ шеңбер бойымен қозғалады, ал фронталь проекциясы А₂- осьтің фронталь проекциясына перпендикуляр түзудің бойымен қозғалады.

Айналдыру тәсілімен кесіндінің нақты шамасын табу үшін (1.61-.сурет), айналу осін (і) кесіндінің шеткі нүктелерінің бірі арқылы өтетін қылып алу қажет.

Сонда айналдырғанда

`А₂О₂Ú `А₂В₂êêх ®êВ₁`А1 ê= êABê.

Сонымен қатар түзудің көлбеулік бұрышы да табылады

a=(АВ ^Ù p₂).

1.60 – сурет

2 Сызба геометрия есептерін шығару мысалдары

2.1. Сызба жұмысын ұйымдастыру

Сызу жұмыстарын орындау үшін төмендегідей аспаптар мен жабдықтар қажет: сызба тақтасы ( өлшемі 700 х 1000 мм – ден кем емес) ; сызба қағаздары ; рейсшина (ұзындығы 900 мм – ден кем емес ); сызбалық бұрыштықтар (біреуінің бұрыштары 90⁰, 60⁰ және 30⁰ болатын); сызғыш; лекалолар; готовальня; қарындаштар;( қаттылықтары 2М, М, ТМ, Т, 2Т); резеңке; бүркеншікті шегелер.

Қарындаштарды ұштау үшін өткір бәкі немесе арнаулы ұштағыш және тақтайшаға желімдеген зімпара қағаз керек.

Сызба салынатын қағаз ақ және тығыз болуы керек. Ондай қағаз ватман деп аталады.

Сызба салынатын қағазға жарық сол жақ жоғарыдан түсуі қажет. Сонда ас- пап пен қолдың көлеңкесі жұмыс істеуге кедергі жасамайды.

Сызба тақтасында тек осы жұмыстарға қажетті аспаптарды ғана қалдыру керек.

2.2 Типтік есептердің шығарылу мысалдары

1 – есеп. α (m║n) жазықтығында А нүктесі арқылы берілген екі түзуге параллель l түзуін жүргізу керек (2.1 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар.

Есепте (2.1 – сурет) А нүктесінің бір проекциясы берілген, бірақ нүкте α жазықтығында болғандықтан проекциялау- дың қасиеті бойынша (түзудің бойынан алынған нүктенің проекциясы сол түзу проекциясының бойында жатады) l түзуінің проекциялары А нүктесінің аттас проекциялары арқылы өтеді.

Сондықтан, алдымен А нүктесінің жетіспейтін проекциясын салу керек. Ол α жазықтығында жататын қосымша бір түзудің 2.1 - сурет

көмегімен салынады. Бұл жерде жазықтықтағы түзу мен нүктенің төмендегі қасиеттері қолданылады: стереометрияның 3–аксиомасы

бойынша түзудің екі нүктесі жазықтықта жатса, ол түзудің өзі де сол жазықтықта жатады және берілген нүкте жазықтықта жатуы үшін бұл нүкте сол жазықтықтың кез – келген түзуінің бойында жатуы керек.

Енді l түзуін жүргізуге болады. Ол үшін параллель проекциялардың тағы бір қасиетін қолдануымыз керек: кеңістіктегі екі параллель түзудің проекциялары да өзара параллель болады.

Салу жүйесі :

Берілген А нүктесі арқылы өтетін және α жазықтығында жататын b түзуінің проекцияларын саламыз. Ол үшін сызбада (2.2 – сурет) А нүктесінің А₂ проекциясы арқылы түзудің фронталь проекциясын b₂ жүргізіп, оның m мен n түзулерінің проекциялары m₂, n₂-мен қиылысқан жерлерін 1 мен 2 нүктелерінің проекциялары 1₂, 2₂ деп белгілейміз. Вертикаль байланыс сызықтары арқылы 1 мен 2 нүктелерінің горизонталь проекциялары 1₁ және 2₁ – ді табамыз. Бұл табылған проекциялар арқылы b түзуінің горизонталь проекциясы b₁ – ді саламыз. Берілген А₂ проекциясынан вертикаль байланыс сызығын жүргізіп b₁- дің бойынан А нүктесінің горизонталь проекциясы А₁ – ді табамыз. Енді l түзуін жүргізуімізге болады. Ол үшін А₁ және А₂ арқылы m, n түзулерінің аттас проекцияларына параллель l₁ мен l₂ – ні жүргізсек жеткілікті (2.2 – сурет).

Яғни, 2.2 – суретте көрсетілген l₁ мен l₂ , берілген А нүктесі арқылы m және n түзулеріне параллель жүргізілген α жазықтығындағы l түзуінің проекциялары болып табылады.

Шығару алгоритмі :

1) b₂ ⊃ A₂ ; 4) b₁ = 1₁∪ 2₁ ;

2) 1₂ = b₂ ∩ m₂ ; 5) ↨ A₁ ;

2₂ = b₂ ∩ n₂ ; 6) A₁ ⊂ l₁ ∧ l₁║ m₁ ║ n₁ ;

3) ↨ 1₁⊂ m₁ ∧ 2₁ ⊂ n₁; A₂ ⊂ l₂ ∧ l₂║ m₂ ║ n₂.

а) ә)

б) в)

2.2 - сурет

2–есеп. Берілген β(a∩b) жазықтығы-ның К нүктесі арқылы жазықтыққа перпендикуляр тұрғызып, оның бойына ұзындығы 40 KN кесіндісін салу керек

(2.3 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар :

Берілген β жазықтығы жалпы жағдайдағы жазықтық болғандықтан, оған перпендикуляр түзу жалпы жағдайдағы түзу. 2.3 - сурет

Түзу жазықтыққа перпендикуляр болса,

ол осы жазықтықта жатқан барлық түзулерге де перпендикуляр екені белгілі, яғни жазықтықтың горизонталі мен фронталіне де перпендикуляр.

Сондықтан, түзу жазықтыққа перпендикуляр болуы үшін комплексті сызбада (эпюрде) түзудің горизонталь проекциясы жазықтық горизонталінің горизонталь проекциясына, ал түзудің фронталь проекциясы жазықтық фронталінің фронталь проекциясына перпендикуляр болуы қажетті және жеткілікті (жазық тік бұрыштың проекциясы туралы теореманы қараңыз).

Ұзындығы 40 KN кесіндісін салу үшін перпендикулярдың бойынан кез-келген нүктені алып (мысалы F нүктесі) пайда болған кесіндісінің бойына KN₀ = 40 салу керек.

Кесіндінің нақты шамасын тік бұрышты үшбұрыш тәсілін қолданып табуға болады. Эпюрде кесіндінің нақты ұзындығы тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасымен өлшелінеді. Бұл үшбұрыштың бір катеті кесінді проекцияларының біріне тең, ал екінші катеті кесіндінің екінші проекциясының шеткі нүктелерінен проекцияның тиісті өсіне дейінгі қашықтықтардың алгебралық айырымына тең болуы қажет. Эпюрде N нүктесінің

N₁ , N₂ проекцияларын табу үшін параллель проекциялаудың бір қасиетін қолдануымызға болады: егер нүкте кеңістікте кесіндіні белгілі бір қатынаста бөлетін болса, онда нүктенің проекциялары кесіндінің проекцияларын сол қатынаста бөледі.

Салу жүйесі :

Комплексті сызбада (2.4 – сурет) β (a∩b) жазықтығының горизонталінің проекциялары h₁^β мен h₂^β - ні саламыз. Ол үшін жазықтық горизонталінің қасиеттерін пайдалану қажет. Горизонталь π₁ проекциялар жазықтығына параллель болғандықтан, оның фронталь (h₂^β) проекциясы х өсіне параллель. Сондықтан β жазықтығында h₂^β – ні х өсіне параллель жүргізіп, оның a₂ және b₂ - мен қиылысқан нүктелері 1₂ , 2₂ – ні белгілейміз. Вертикаль байланыс сызықтарының көмегімен 1₁ және 2₁ – ді тауып, осы нүктелер арқылы горизонтальдің горизонталь проекциясы h₁^β – ді жүргіземіз.

Жазықтың фронталі π₂ проекциялар жазықтығына параллель, сондықтан оның горизонталь проекциясы f₁^β x өсіне параллель болады. Осы қасиетті пайдаланып, жоғарыда көрсетілген жолмен β жазықтығының фронталінің f₁^β , f₂^β проекцияларын жүргіземіз.

Сонан соң К₁ нүктесі арқылы h₁^β – ге перпендикуляр l₁ , ал К₂ нүктесі арқылы h₂^β – ге перпендикуляр l₂ түзулерін жүргіземіз. Аталған түзулер К нүктесі арқылы β жазықтығына тұрғызылған перпендикулярдың проекциялары болып табылады. Осы перпендикулярдың бойына KN = 40 кесіндісін салу үшін оның бойынан F нүктесін алып, проекцияларын ( F₁ , F₂ ) саламыз. Тік бұрышты үшбұрыш тәсілін қолданып, KF кесіндісінің нақты шамасын табамыз. Ол үшін кесіндінің K₁F₁ проекциясын тік бұрышты ұшбұрыштың бір катеті ретінде алып, ал екінші катеті ғылып F₁ нүктесінен оған перпендикуляр Z_F-K кесіндісін саламыз. Z_F-K кесіндісі F₂ және К₂ нүктелерінен х өсіне дейінгі қашықтықтың алгебралық айырымына тең. Пайда болған тік бұрышты үшбұрыштың K₁F₀ гипотенузасы KF кесіндісінің нақты шамасын береді. Дәл осындай тік бұрышты үшбұрышты K₂F₂ проекциясын пайдаланып тұрғызуға болады.

Табылған KF₀ кесіндісінің бойына KN₀ = 40 саламыз. Сонан соң параллель проекциялаудың жоғарыда көрсетілген қасиетін қолданып, N₀ нүктесінен F₁F₀ – ға параллель түзу жүргізіп N нүктесінің горизонталь проекциясы N₁ нүктесін табамыз. Вертикаль байланыс сызығын жүргізіп N нүктесінің фронталь проекциясы N₂– ні табамыз. Сонымен, сызбадағы K₁N₁ мен K₂N₂ кесінділері К нүктесі арқылы β(а∩b) жазықтығына тұрғызылған ұзындығы 40 перпендикуляр кесіндісінің горизонталь және фронталь проекциялары болып табылады (2.4 – сурет).

а) ә)

б) в)

2.4 – сурет

Шығару алгоритмі :

1) h₂^β⊂ β(a∩b), h₂^β ║ x0; 10) l₂⊃K₂, l₂⊥f₂^β;

2) 1₂ = h₂^β ∩ a₂ ∧ 2₂ = h₂^β∩ b₂ ; 11) F₁⊂ l₁;

3) ↨ 1₁ ⊂ a₁ ∧ 2₁ ⊂ b₁ ; 12) ↨ F₂⊂l₂;

4) h₁^β = 2₁ ∪ 1₁; 13) F₁F₀⊃F₁, F₁F₀⊥l₁∧F₁F₀=

5) f₁^β ⊂ β(a∩b), f₁^β ║ x0; = Z_F-K= Z_F – Z_K ;

6) 3₁ = f₁^β ∩ a₁ ∧ 4₁ = f₁^β ∩ b₁; 14) F₀K₁ = F₀∪K₁∧F₀K₁ = |FK|

7) ↨ 3₂⊂a₂ ∧ 4₂⊂b₂; 15) N₀⊂F₀K₁, N₀K₁ = |NK| = 40

8) f₂^β= 3₂∪4₂; 16) N₁⊂K₁F₁;

9) l₁⊃K₁, l₁⊥h₁^β; 17) ↨ N₂ ⊂ K₂F_2.

3 – есеп. Тік дөңгелек конустың бетінде жатқан А нүктесінің горизонталь проекциясын салу керек. Проекция жазықтықтарына қатынасты нүкте көрінеді (2.5 – сурет ).

Шығаруға нұсқаулар:

Нүкте бетте жатады, егер ол осы беттің

кез–келген сызығының бойында жатса. Сол сияқты, сызбада нүктенің проекциялары осы сызықтың аттас проекцияларының бойында жатады. Сондықтан, есепті шығару үшін беттің бойында жататын және берілген нүкте арқылы өтетін кез–келген сызықтың проекцияларын тұрғызу керек. Сонда нүктенің іздеп отырған проекциясы осы сызықтың аттас проекциясының бойынан табылады. Негізінде тұрғызуларды жеңілде- ту үшін, проекциялары графикалық қара- пайым сызықтар болатын, беттердің жазық 2.5 - сурет

қималарының сызықтары қолданылады (шеңберлер, түзулер, т. с. с.).

Салу жүйесі:

Берілген бет (β) айналу беті. Айналу өсі ( ) горизонталь проекциялаушы түзу де, жасаушы ( ) түзу сызық. Сондықтан, көмекші сызықтар ретінде конустың бетінде жататын шеңберлерді немесе түзулерді алуымызға болады.

А нүктесі арқылы горизонталь деңгей жазықтығы α – ны жүргіземіз (α⊥). Бұл жазықтық конустың бетін шеңбер арқылы қияды. α жазықтығы π₂ – ге перпендикуляр болғандықтан, оның фронталь проекциясы (α₂) түзу ретінде жүргізіледі (2.6 – сурет). α жазықтығының айналу өсі - мен қиылысқан жерінен қимада пайда болған шеңбердің центрін (0 нүктесі) тауып, комплексті сызбада оның проекцияларын 0₁ мен 0₂ – ні белгілейміз.

Комплексті сызбада 12 кесіндісінің фронталь проекциясы 1₂2₂ пайда болған шеңбердің а фронталь проекциясы а₂ – ні береді. 1₂2₂ кесіндісінің ұзындығы а шеңберінің диаметрінің нақты шамасына тең. Горизонталь проекция жазықтығына шеңбер өзінің нақты шамасымен проекцияланады (себебі α║π₁∧а⊂α).

а) ә)

2.6 – сурет

Енді А₂ – ден проекция байланыс сызығын жүргізіп, а₁-дің бойынан іздеп отырған А нүктесінің горизонталь проекциясы А₁-ді табамыз (2.6 – сурет).

Шығару алгоритмі :

1) α⊥ , α⊃А ; 4) а₁ = β₁∩α₁ ;

2) O₁ = α₁∩∧O₂ = α₂∩ ; 5) ↨ A₁, A₁⊂a₁.

3) 1₂∧2₂ = β₂∩α₂, a₂= β₂∩α₂ , 1₂2₂ = a₂;

4 – есеп. Берілген b түзуінің γ (АВС) жазықтығымен қиылысу нүктесін табу керек. γ жазықтығын мөлдір емес деп есептеп, b түзуінің көрінетін және көрінбейтін бөліктерін анықтау керек (2.7 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар :

Түзу сызық пен беттің ортақ геометриялық элементі нүкте болып табылады (бір немесе бірнеше). Бұл нүктелердің әрқайсысы берілген түзу сызықтың беттің кейбір сызығымен қиылысқан жерінде жатады. Беттің 2.7 – сурет

түзумен қиылысатын сызығын алдын –

ала анықтау үшін, әдетте беттің берілген түзу арқылы өтетін жазықтықпен қиылысу сызығы тұрғызылады. Есептің шығаруын жеңілдету үшін, қиюшы жазықтықты қима сызықтарының проекциялары графикалық қарапайым сызықтар болатындай етіп қабылдайды.

Сонымен, осы типтес есептерді төмендегідей жүйемен шығару керек:

а) берілген түзу арқылы көмекші жазықтық жүргізіледі;

ә) беттің көмекші жазықтықпен қиылысу сызығы тұрғызылады;

б) тұрғызылған сызықтың берілген түзумен қиылысу нүктелері табылады.

Салу жүйесі:

Бұл есепте b түзуі беттің ең қарапайым түрі жазықтықпен қиылысқан. Ал екі жазықтық өзара түзу арқылы қиылысатыны бізге геометриядан белгілі. Сонымен қатар, егер b түзуі арқылы өтетін көмекші жазықтық ретінде дербес жағдайдағы жазықтықты алатын болсақ, онда есептің шығаруы едәуір жеңілдейді.

Берілген b түзуі арқылы фронталь проекциялаушы α жазықтығын жүргіземіз. Оның фронталь проекциясы b түзуінің фронталь проекциясымен беттесетін түзу сызық болады (α₂≡b₂) (2.8 – сурет). α жазықтығының барлық геометриялық элементтерінің фронталь проекциялары осы түзудің бойында жатады (проекциялаушы жазықтықтар дың қасиеттерін еске түсіріңдер). Сондықтан, α және γ жазықтықтарының қиылысу сызығының фронталь проекциясы да α₂–нің бойында жатады (m₂≡ α₂).

Жазықтықтардың қиылысу сызығы m-ның горизонталь проекциясы

m₁-ді табу үшін, m₂-нің бойынан 1₂ және 2₂ нүктелерін белгілейміз (1₂=m₂∩A₂C₂∧2₂=m₂∩B₂C₂). Проекция байланыс сызықтарының көмегімен 1₁ мен 2₁ – ді тауып, олар арқылы m₁-ді жүргіземіз.

Тұрғызылған m түзуімен берілген b түзуі бір көмекші жазықтық α – нің бойында жатқандықтан өзара қиылысады (K=m∩b).

Сызбада әуелі қиылысу нүктесінің горизонталь проекциясы К₁- ді табамыз (K₁=m₁∩b₁). Сонан соң, проекция байланыс сызығының көмегімен b₂ – нің бойынан К₂ – ні табамыз.

Табылған К нүктесі іздеп отырған b түзуінің γ (АВС) жазықтығымен қиылысу нүктесі, себебі екінші жағынан К нүктесі m түзуінің бойында, ал m түзуі γ жазықтығында жатады.

Енді b түзуінің көрінетін және көрінбейтін бөліктерін анықтауымыз керек, себебі γ жазықтығы мөлдір емес деп есептеледі. К нүктесі b түзуінің

проекциялар жазықтықтарына қатысты көрінетін және көрінбейтін екі бөлікке бөледі. Осы бөліктерді анықтау үшін бәсекелес нүктелер әдісі қолданылады. Бұл әдістің мәні мынада: түзудің көрінетін бөлігінің нүктелері, жазықтықтың олармен бәсекелес нүктелеріне қарағанда проекциялар жазықтығынан әрқашан да қашық тұрады.

Фронталь проекциялаушы түзудің бойында жатқан 1 және 3 бәсекелес нүктелерінің жұбын қарастыралық (2.8 – сурет).

Әуелі, өзара айқас b және АС түзулерінің фронталь проекцияларының қиылысқан жерінен бәсекелес нүктелердің фронталь проекцияларын белгілейміз (1₂, 3₂). Сонан соң, проекция байланыс сызықтарының көмегімен олардың горизонталь проекцияларын табамыз (1₁⊂А₁С₁∧3₁⊂b₁). 1₁ және 3₁ проекцияларының орналасуынан, біз 1 нүктесінің 3 нүктесіне қарағанда π₂ – ден қашық орналасқанын көреміз. Сондықтан, фронталь проекциялар жазықтығына қатысты 1 нүктесі көрінеді, ал 3 нүктесі көрінбейді. Сол себепті, b түзуінің 3 нүктесі орналасқан К нүктесіне дейінгі бөлігінің фронталь проекциясы комплексті сызбада көрінбейді, екінші бөлігі көрінеді.

а) ә)

б) в)

2.8 - сурет

b түзуінің горизонталь проекциясының көрінетін және көрінбейтін бөліктерін, 4 және 5 бәсекелес нүктелерінің көмегімен жоғарыда көрсетілген жолмен анықтаймыз (2.8 – сурет).

Шығару алгоритмі :

1) α ⊃b, α⊥π₂ → α₂ ≡ b₂; 5) m₁ = 1₁∪2₁ ;

2) m = α∩γ, m₂ ≡ α₂≡ b₂ ; 6) K₁ = b₁∩m₁ ;

3) 1₂ = m₂ ∩ A₂C₂ ∧2₂= m₂ ∩ B₂C₂ ; 7) ↨ K₂⊂b₂ ;

4) ↨ 1₁⊂A₁C₁∧2₁⊂B₁C₁ ; 8) K = b∩γ (ABC).

5 – есеп. Берілген α түзуінің тік дөңгелек конустың бетімен қиылысу нүктелерін тұрғызу керек (2.9 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар :

Есептің жалпы шығару жүйесі 4-есепте келтірілген .

Конустың беті түзу сызықты беттерге жатады, сондықтан оны жазықтықпен қиған кезде қимада түзу сызықтар (беттің жасаушылары) пайда болуы мүмкін. Ол үшін қиюшы жазықтық конустың төбесі арқылы өтуі қажет. Шын мәнінде ондай жазықтық сызбада конустың төбесі және онымен қиылысушы түзу арқылы берілген–γ(a, S). γ жазықтығын көмекші жазықтық ретінде алып, оның конустың бетімен қиылысқанда пайда болатын жасаушыларды анықтау керек. Сонда іздеп отырған қиылысу нүктелері берілген а

түзуінің осы жасаушылармен қиылысқан 2.9 - сурет

жерлерінен табылады.

Салу жүйесі :

Берілген а түзуінің фронталь сурет проекциясы а₂-нің бойынан көмекші М және N нүктелерінің фронталь проекциялары M₂, N₂ –ні белгілейміз. Проекция байланыс сызықтарының көмегімен а₁- дің бойынан М₁, N₁- ді табамыз. Конустың төбесінің проекцияларынан табылған нүктелердің проекциялары арқылы S₂M₂, S₂N₂ және S₁M₁, S₁N₁ түзулерін жүргіземіз. Осы түзулердің проекциялар жазықтықтары π₁ және π₂- мен қиылысу нүктелерін (іздерін) табамыз (А₁, А₂, В₁, В₂) (2.10 – сурет).

А₁ және В₁ нүктелері арқылы түзу жүргіземіз, ол көмекші γ жазықтығының горизонталь ізі γ_h – ты береді. Бұл түзу конустың табанының шеңбері κ –мен Е₁ және F₁ нүктелерінде қиылысады. Осы нүктелерді конустың төбесінен проекциясы S₁ –мен қоссақ , біз SE және SF жасаушыларының горизонталь проекцияларын аламыз. Бұл жасаушылар жоғарыда айтып кеткен γ–мен конустың бетінің қиылысушы жасаушылары. S₁E₁ және S₁F₁- дің а₁ – мен қиылысқан жерінен іздеп отырған нүктелеріміздің горизонталь проекциялары 1₁ мен 2₁ – ді табамыз. Олардың фронталь проекцияларын проекция байланыс сызықтары арқылы немесе жасаушылардың фронталь проекцияларын тұрғызу арқылы табуға болады.

Сонымен, табылған 1 және 2 нүктелері, берілген а түзуінің конустың бетімен қиылысу нүктелері (2.10 – сурет).

Шығару алгоритмі :

1) М₂⊂а₂ N₂⊂a₂ ; 6) γ_h= A₁∪B₁;

2) ↨ M₁, N₁; 7) E₁∧F₁ = γ_h∩κ;

3) S₂M₂ = S₂∪M₂, S₂N₂= S₂∪N₂; 8) S₁E₁ = S₁∪E₁∧S₁F₁ = ……;

S₁M₁= S₁∪M₁, S₁N₁ = S₁∪N₁; 9) 1₁= S₁E₁∩a₁∧2₁ = S₁F₁∩a₁;

4) A₂= S₂M₂∩π₁, A₂⊂XO; 10) ↨ 1₂∧2₂⊂a₂;

B₂ = S₂N₂∩π₁, B₂⊂XO; 11) 1∧2 = α∩a.

5) ↨ A₁⊂S₁M₁∧B₁⊂S₁N₁;

2.10 а - сурет

2.10 ә - сурет

6 – есеп . α(а║b) мен β(с∩b) жазықтықтарының қиылысу сызығын тұрғызу керек (2.11 - сурет).

2.11 – сурет

Шығаруға нұсқаулар :

Екі жазықтық өзара түзу сызық арқылы қиылысады. Қиылысу түзуін тұрғызу үшін, екі жазықтыққа да ортақ екі нүкте тапса болғаны. Бұл нүктелер бір жазықтықтың түзуімен екінші жазықтықтың түзуінің қиылысқан жерінен табылады. Өзара қиылысқан түзулердің жұптарын анықтау үшін берілген жазықтықтарды көмекші жазықтықтармен қию қажет. Көмекші жазықтықтар етіп деңгейлік немесе проекциялаушы жазықтықтарды қабылдау керек.

Сонымен, есепті төмендегідей жүйемен шығару қажет:

1) екі көмекші жазықтықтар жүргізіледі ;

2) көмекші жазықтықтардың берілген жазықтықтармен қиылысу сызықтары

тұрғызылады;

3) өзара жұптас тұрғызылған түзулердің қиылысқан жерлерінен жазықтықтардың

қиылысу сызығын анықтайтын екі нүкте табылады.

Салу жүйесі :

Көмекші жазықтар етіп горизонталь деңгейлік жазықтықтар γ_l’ және γ’’- тарды аламыз. γ’ жазықтығы берілген α және β жазықтарын κ және l түзулері арқылы қияды. γ’ деңгейлік жазықтық болғандықтан, оның фронталь проекциясы қиылысу сызықтарының фронталь проекцияларымен беттеседі (γ’₂≡κ₂≡l₂). κ₂ мен l₂- нің α₂ және β₂-мен қиылысқан жерлерінен l₂, 2₂ және 3₂, 4₂ нүктелерін белгілейміз. Проекция байланыс сызықтарын жүргізіп, κ₁ және l₁- ді табамыз.Осы екі сызықтың қиылысу нүктесі А₁, іздеп отырған нүктелеріміздің бірінің горизонталь проекциясы. γ’₂- тың бойынан проекция байланыс сызығының көмегімен А₂ – ні табамыз (2.12а,ә - сурет).

Жазықтықтарға ортақ екінші нүктені табу үшін γ’’- ты жүргіземіз. γ₂’’- тың α₂ және β₂- мен қиылысқан жерінен m₂(5₂) және n₂(6₂) – ні табамыз. m₁ және n₁-ді жүргізу үшін, осы нүктелердін берілген жазықтықтармен ортақ бір-бір нүктелерін тапса жеткілікті. Себебі, γ’║ γ’’ болғандықтан, m║κ және n║l . Сондықтан, 5 және 6 нүктелерінің горизонталь проекцияларын (5₁, 6₁) тауып, осы нүктелер арқылы m₁║κ₁ және n₁║l₁ жүргіземіз. m₁- мен l₁- дің қиылысқан жерінен іздеп отырған екінші нүктеміздің горизонталь проекциясы В₁- ді табамыз. Проекция байланыс сызығы арқылы γ₂’’- тың бойынан В₂- ні белгілейміз.

А және В нүктелері арқылы жүргізілген t (t₁, t₂) түзуі, берілген α және β жазықтарының қиылысу сызығы болады (2.12а,ә – сурет).

2.12а - сурет

2.12ә – сурет

Шығару алгоритмі :

1) γ₂’║x0, γ’║π₁; 9) m₂ ≡ n ≡γ₂’’,

2) κ₂ = γ₂’∩α₂ ∧t₂ = γ₂’∩β₂, m₂ = γ₂’’∩α₂ ∧n₂= γ₂’’∩β₂;

κ₂ ≡ l₂ ≡ γ₂’; 10) 5₂ = m₂∩a₂ ∧6₂ = n₂∩с₂;

3) l₂ = κ₂∩a₂ ∧2₂ = κ₂∩b₂, 11) ↕ 5₁⊂a₁ ∧6₁⊂с₁;

3₂ = l₂∩с₂∧4₂ = l₂∩d₂; 12) m₁∋5₁, m₁║κ₁∧n₁∋6₁,

4) ↕ l₁⊂a₁, 2₁⊂b₁, n₁║l₁;

3₁⊂с₁, 4₁⊂d₁; 13) B₁ = m₁∩n₁;

5) κ₁ =l₁∪2₁∧l₁ = 3₁∪4₁; 14) ↕ B₂⊂γ₂’’;

6) A₁= κ₁∪l₁; 15) t = A∪B, t = α∩β.

7) ↕ A₂⊂γ₂’;

8) γ₂’’║ x0, γ’’║π₁;

7 – есеп. А және В нүктелері арқылы өтуші

түзудің бойына, А нүктесінен бастап В нүктесінің бағытында ұзындығы 40 мм кесінді салу керек (2.13 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар :

Есепті шығару үшін, алдымен А және В нүктелерінің арасындағы түзудің кесіндісінің нақты шамасын табу керек. Түзудің кесіндісінің 2.13 - сурет

нақты шамасын төмендегідей

әдістермен табуға болады: тік бұрышты үшбұрыш әдісімен (1–есепті қараңыз); проекция жазықтықтарын алмастыру арқылы; кесіндіні проекциялаушы түзу арқылы проекция жазықтықтарының біріне параллель жағдайға дейін айналдыру арқылы.

Салу жүйесі :

а) тік бұрышты үшбұрыш әдісі.

Түзудің бойындағы АВ кесіндісінің нақты шамасын табамыз. Ол үшін тік бұрышты үшбұрыш тұрғызамыз. Оның бір катеті ретінде АВ кесіндісінің горизонталь проекциясы А₁В₁ – ді аламыз. Үшбұрыштың екінші катеті А₂ және В₂ нүктелерінен х0 осіне дейінгі қашықтықтың алгебралық айырмасына тең В₂В кесіндісі. Тұрғызылған үшбұрыштың гипотенузасының бойына А₁- ден бастап ұзындығы 40 мм – ге тең кесінді саламыз. Табылған С 2.14а - сурет

нүктесінен А₁В₁ – ге перпендикуляр түсіріп С₁ – ді табамыз. Ал С₂ проекция байланыс сызығының көмегімен табылады. Табылған А₁С₁ және А₂С₂ ұзындығы 40 мм – ге тең іздеп отырған кесіндіміздің горизонталь және фронталь проекциялары (2.14 а – сурет).

Шығару алгоритмі :

1) ∆ А₁В₁, В₂= В₁ = |Z_A – Z_B|,

А₁В₁⊥В₁;

2) С∈А₁В, [A₁C] = 40;

3) C₁∈A₁B₁, CC₁⊥A₁B₁;

4) ↕ C₂∈A₂B₂.

ә) проекция жазықтықтарын алмастыру әдісі

Егер кеңістікте түзудің кесіндісі проекция жазықтығына параллель орналасса, онда осы жазықтыққа өзінің нақты шамасымен проекцияланады. Сондықтан, түзудің бойындағы АВ кесіндісінің нақты шамасын табу үшін, осы түзуге параллель қосымша проекция жазықтығы π₄ – ті жүргіземіз (π₄║АВ∧π₄⊥π₁). Сонда π₄ – ке АВ түзуі өзінің нақты шамасымен проекцияланады.

Комплексті сызбада (2.14ә – сурет) жаңа проекция осі Х₁₄ – ті А₁В₁ – ге параллель жүргіземіз. Түзудің проекциясын тұрғызу үшін осы түзудің екі нүктесінің проекцияларын тапсақ 2.14ә – сурет

жеткілікті. Ол үшін А₁ және В₁

нүктелерінен Х₁₄–ке перпендикуляр байланыс сызықтарын жүргіземіз. π₂⊥π₁ – ге және π₄⊥π₁-ге болғандықтан, осы нүктелердің алмастырылатын проекцияларынан (А₂,В₂) Х₁₂ –ге дейінгі қашықтық, жаңа проекцияларынан А₄, В₄ жаңа проекция өсі Х₁₄ – ке дейінгі қашықтыққа тең ([A₂Ax₁₄] = [A₄Ax₁₄]∧[B₂Bx₁₂] = [B₄Bx₁₄]). Проекция байланыс сызықтарының бойына Х₁₄ – тен осы кесінділерді өлшеп салып А₄ және В₄ – ті табамыз. Табылған нүктелер арқылы түзудің жаңа проекциясы А₄В₄ – ті жүргіземіз. А₄ нүктесінен түзудің бойына ұзындығы 40 мм – ге тең кесінді салып С нүктесін табамыз. Проекция өстеріне перпендикуляр байланыс сызықтарын жүргізіп, С нүктесінің проекциялары С₁ және С₂ – ні анықтаймыз. А₁С₁ және А₂С₂ іздеп отырған ұзындығы 40 мм АВ түзуінің бойындағы кесіндінің проекциялары (2.14ә – сурет).

Шығару алгоритмі:

1) π₄║AB, X₁₄║A₁B₁

2) A₄∧B₄, [A₂Ax₁₂]=

[A₄Ax₁₄]∧[B₂Bx₁₂] = [B₄Bx₁₄];

3) A₄B₄ = A₄∪B₄ ;

4) C∈A₄B₄, [A₄C] = 40;

5) ↕ C₁∈A₁B₁, CC₁⊥X₁₄;

6) ↕ C₂∈A₂B₂, C₁C₂⊥X₁₂.

б) проекциялаушы түзу арқылы бұру (айналдыру) әдісі

Бұл әдіс бойынша түзу кесіндісінің нақты шамасын анықтау үшін оны проекция жазықтықтарының біріне параллель жағдайға дейін бұру қажет. Бұру немесе айналдыру өсі ретінде әдетте деңгейлік не проекциялаушы түзу қабылданады. Сонымен қатар, есептің шығаруын жеңілдету үшін айналу өсі кесіндінің шеткі бір нүктесі арқылы жүргізіледі.

Айналу өсі ретінде А нүктесі арқылы өтетін горизонталь проекциялаушы i түзуін аламыз (5.14б – сурет). Сондықтан, комплексті сызбада А нүктесі қозғалмайды да, В нүктесінің жаңа жағдайдағы проекциялары тұрғызылады.

5.14б – суретте айналу өсінің проекциялары i₁, i₂ – ні жүргіземіз.

В нүктесі (түзудің кез-келген нүктесі сияқты) шеңбердің бойымен қозғалады және ол шеңбер (а) айналу осі i – ге перпендикуляр α жазықтығында жатады. Айналу өсі горизонталь проекциялаушы түзу болғандықтан, α жазықтығы π₁- ге параллель болады. Сондықтан а шеңбері π₁ – ге өзінің нақты шамасымен проекцияланады.

2.14б - сурет

Комплексті сызбада берілген түзуді А₁≡ i₁ нүктесі арқылы х0 осіне параллель жағдайға дейін айналдырамыз. В₂ нүктесі арқылы α жазықтығының фронталь проекциясы α₂ – ні i₂ – ге перпендикуляр жүргіземіз. а шеңбері α – нің бойында жатқандықтан ₁ – ден вертикаль проекция байланыс сызығын жүргізіп, оның α₂ – мен қиылысқан жерінен ₂– ні белгілейміз. Түзудің жаңа проекциясы А₂₂ – нің бойына А₂ нүктесінен бастап ұзындығы 40 мм түзудің кесіндісін салып С нүктесін табамыз. С нүктесінің проекциялары С₁ мен С₂ – ні тұрғызу жолдары 2.14б – суретте көрсетілген. Табылған А₂С₂, А₁С₁ кесінділері іздеп отырған түзу кесіндісінің проекциялры.

Шығару алгоритмі :

1) i⊂A, i⊥π₁; 4) ↕ ₂⊂α₂;

2) A₁₁ = A₁B₁, A₁₁║x0; 5) C∈A₂₂, [A₂C] = 40;

3) α⊥i, α₂║x0; 6) ↕ C₂∈A₂B₂, CC₂║x0;

7) ↕ C₁∈A₁B₁, C₂C₁⊥x0.

Бұл есеп 3 түрлі әдіспен шығарылды. Сондықтан есептің шығарылуының дұрыстығын тексеру үшін 5.14а, б және в суреттерін өзара салыстырып, талдау жасап көріңдер.

8–есеп. АВ кесіндісінің проекциялар жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын табу керек (2.15 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар:

Егер кесінді горизонталь проекциялар жазықтығына параллель болса, онда оның горизонталь проекциясымен проекция

өсінің арасындағы бұрыш кесіндінің фронталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.

Егер кесінді фронталь проекциялар жазықтығына параллель болса, онда оның фронталь проекциясымен проекция өсінің 2.15 - сурет

арасындағы бұрыш кесіндінің

горизоталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.

Тік бұрышты үшбұрыштың кесіндінің горизонталь проекциясы болатын катетімен нақты шамасы болатын гипотенузасының арасындағы бұрыш осы кесіндінің горизонталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.

Тік бұрышты үшбұрыштың кесіндінің фронталь проекциясы болатын катетімен нақты шамасы болатын гипотенузасының арасындағы бұрыш осы кесіндінің фронталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышына тең.

Салу жүйесі :

2.16 - сурет

Жоғарыда көрсетілгендей комплексті сызбада В₂А₂ және А₁В₁тік бұрышты үшбұрыштарды тұрғызамыз (2.16 – сурет).

2.16 – суретте α бұрышы АВ кесіндісінің горизонталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышы, ал β бұрышы- фронталь проекциялар жазықтығына көлбеу бұрышы.

Шығару алгоритмі:

1) ∆B₂A₂∧∆A₁B₁; 2) α⁰ = ([AB]π₁); 3) β⁰ = ([AB]π₂).

9 – есеп . Берілген С нүктесі арқылы

горизонталь проекция жазықтығымен 50⁰ және фронталь проекция жазықтығымен 25⁰ жасайтын түзу жүргізу керек (2.17 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар:

Есепті шығаруға нұсқаулар 7-ші және 8-ші есептерде толық берілген.

2.17 – сурет

Салу жүйесі:

Комплексті сызбада есептің берілгенінен тысқарырақ проекция жазықтықтарына есептің шартында көрсетілген бұрыштармен көлбей орналасқан көмекші түзу тұрғызамыз. Ол үшін фронталь проекциялар жазықтығында жататын кез келген А нүктесін алып, оның фронталь проекциясы А₂ арқылы проекция осімен 50⁰ бұрыш жасайтын А₂ түзуін жүргіземіз. осы түзуді гипотенузасы етіп алып, төбесі А₂ – дегі бұрышы 25⁰ болатын тік бұрышты үшбұрыш тұрғызамыз. Ол үшін А₂В₂ түзуін тең бөліп, радиусы (А₂₂): 2 – ге тең жартылай шеңбер жүргіземіз. Сонан соң А₂ нүктесінен А₂₂– мен 25⁰ бұрыш жасайтын түзу жүргізіп, оның доғамен қиылысу нүктесі Е – ні белгілейміз. Табылған Е нүктесін ₂ нүктесімен қосамыз. А₂Е катеті өзінің шамасы жағынан көмекші А₂₂ түзуінің фронтаь проекциясына тең. Осы түзу проекциясының комплексті сызбадағы орынын табу үшін А₂ нүктесі арқылы А₂Е – ге тең радиуспен доға жүргізіп, оның өсьпен қиылысу нүктесі В₂ – ні белгілейміз. А₂В₂ көмекші түзудің фронталь проекциясы (2.18 – сурет).

Е₂ катеті көмекші түзудің горизонталь проекциясының ұштарынан проекция өсіне дейінгі қашықтықтың алгебралық айырымына тең (тік бұрышты үшбұрыш әдісін еске түсіріңдер). Енді түзудің горизонталь проекциясын жүргізу үшін В₂ нүктесінен х0 өсіне перпендикуляр тұрғызып, оның бойына шамасы Е₂ – ге тең В₂В₁ кесіндісін саламыз. А₁ және В₁ түзулерін өзара қосып, көмекші түзудің горизонталь проекциясы А₁В₁ – ді аламыз. Берілген С нүктесінен проекциялары А₂В₂ және А₁В₁ – ге параллеь d түзуінің проекциялары d₂ мен d₁ – ді жүргіземіз. Тұрғызылған d түзуі фронталь проекция жазықтығына 25⁰, ал горизонталь проекция жазықтығына 50⁰ бұрышпен көлбей орналасқан түзу.

2.18 – сурет

Шығару алгоритмі:

1) [A₂₂], A⊂π₂∧([A₂₂]x0) = 50⁰; 7) ↕ B₁, [B₂B₁] = [EB₂];

2) A₂₂ (A₂₂/2; O₂); 8) A₁B₁ = A₁∪B₁;

3) E = A₂₂∩A₂E, 9) d₂∥A₂B₂, d₂⊃C₂;

([A₂E][A₂])= 25⁰; 10) d₁∥A₁B₁, d₁⊃C₁ ;

4) E₂ = E∪₂ ; 11) (dπ₂) = 25⁰;

5) В₂ = Е₂∩х0, ЕВ₂(А₂Е, А₂); 12) (dπ₁) = 50⁰ .

6) А₂В₂=А₂∪В₂;

10 – есеп. Берілген А нүктесінен түзуіне

дейінгі ара қашықтықты табу керек (2.19 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар:

Іздеп отырған ара қашықтық А нүктесінен b түзуіне түсірілген перпендикулярдың кесіндісімен анықталады.

b түзуі жалпы жағдайдағы түзу

болғандықтан, оған түсірілетін 2.19 – сурет

перпендикуляр да жалпы жағдайдағы

түзу болады. Сондықтан сызбада перпендикулярдың проекцияларын бірден тұрғызу мүмкін емес (тік бұрыштың проекциясы туралы теореманы қараңдар).

Бірақ комплексті сызбада b түзуімен тік бұрыш жасай айқасатын және өзара А нүктесінде қиылысатын екі дербес жағдайдағы деңгейлік түзулердің проекцияларын тұрғызуға болады. Бұл екі түзу А арқылы өтетін және b түзуіне перпендикуляр жазықтықты береді (2 – есепті қараңдар). Аталған жазықтықтың кез келген түзуі b түзуіне перпендикуляр болады.

Іздеп отырған перпендикулярмыз да осы жазықтықта жатады және b түзуінің жазықтықпен қиылысу нүктесі арқылы өтеді.

Сондықтан есепті төмендегідей жолмен шығаруға болады:

а) А нүктесі арқылы b түзуіне перпендикуляр жазықтық жүргізіледі;

б) b түзуінің осы жазықтықпен қиылысу нүктесі табылады;

в) іздеп отырған перпендикулярдың кесіндісі тұрғызылып, оның нақты шамасы анықталады.

Бұл есепті комплексті сызбада түрлендіру арқылы да шығаруға болады. Ол үшін b түзуін проекциялаушы түзу жағдайына келтіру керек. Сонда А нүктесінен түзуге түсірілген перпендикуляр проекция жазықтығына параллель болады, яғни осы жазықтыққа ол өзінің нақты шамасымен проекцияланады.

Төменде есептің осы жолмен шығарылуы келтірілген.

Салу жүйесі :

Проекция жазықтықтарын алмастыру әдісін қолданып, b түзуіне перпендикуляр қосымша проекция жазықтығын жүргізуіміз керек. Ол жазықтық алмастырылмайтын проекция жазықтығына да перендикуляр болуы қажет. Ондай жазықтықты комплексті сызбада бірден жүргізу мүмкін емес, себебі b түзуі жалпы жағдайдағы түзу.

Сондықтан, ең әуелі b түзуіне параллель және π₁ – ге перпендикуляр π₄ проекция жазықтығын жүргіземіз (5.20а – сурет). Бұл жерде π₄ жазықтығымен π₂– ні алмастырамыз. b түзуінің жаңа проекциясын тұрғызу үшін түзудің бойынан 1 және 2 нүктелерін алып, сол нүктелердің жаңа проекцияларын тұрғызамыз.

Түзудің өзіне параллель π₄ жазықтығына проекциясын тұрғызу 8 – есепте толық көрсетілген. b түзумен қатар π₄ жазықтығында А нүктесінің проекциясы А₄-ті де тұрғызамыз.

а) ә)

2.20 – сурет

Сонан соң π₄ жазықтығына және b түзуіне перпендикуляр π₅ жазықтығын жүргіземіз (5.20ә – сурет). Ол үшін комплексті сызбада Х₄₅ өсін b₄ – ке перпендикуляр жүргізсе жеткілікті. Енді b түзу мен А нүктесінің π₅ – ке проекциялары b₅ пен А₅ – ті тұрғызамыз. Проекцияларды тұрғызу жолы 8–есепте көрсетілгендей. b түзуі π₅ – ке перпендикуляр болғандықтан, ол осы жазықтыққа бір нүктемен проекцияланады (b₅≡1₂≡ 2₅). Енді b₅ – пен А₅ – ті өзара қосып 1₅А₅ кесіндісін табамыз. Табылған кесінді А нүктесінен b түзуіне түсірілген перпендикулярдың нақты шамасын береді. Яғни, 1₅А₅ кесіндінің ұзындығы А нүктесінен b түзуіне дейінгі ара қашықтыққа тең.

([1₅A₅] = |b∙A|).

Шығару алгоритмі:

1) π₄║b, x₁₄║b₁; 4) π₅⊥b, x₄₅⊥b₄;

2)1₄, 2₄∧A₄; 5) b₅≡1₅≡2₅∧A₅;

3)b₄ = 1₄∪2₄; 6) 1₅A₅ = |b∙A|.

11-есеп. АВС үшбұрышын сырттай сызылған шеңбердің центрін табу керек (2.21 – сурет).

Шығаруға нұсқаулар:

Ұшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центрі оның қабырғаларының орталары арқылы тұрғызылған перпендикулярдың қиылысқан жерінде болады. Ол

перпендикулярларды тұрғызу үшін

үшбұрыштың қабырғаларының нақты

шамаларын, яғни үшбұрыштың

нақты шамасын табу қажет. Ол үшін проекция жазықтықтарының бірін үшбұрышқа параллель жүргізу қажет. Берілген үшбұрыштың жазықтығы 2.21 - сурет

жалпы жағдайдағы жазықтық

болғандықтан, оған бірден параллель болатындай проекция жазықтығын жүргізу мүмкін емес. Сондықтан екі рет проекция жазықтықтарын алмастыру қажет (10 – есепті қараңдар). Алдымен қосымша проекция жазықтығы π₄ – ті ∆АВС – ға перпендикуляр, сонан соң проекция жазықтығы π₅ – ті оған параллель жүргізу керек (π₄⊥π₁∧π₅⊥π₄).

Салу жүйесі :

Қосымша проекция жазықтығы π₄ ∆АВС–мен π₁–ге қатар перпендикуляр болғандықтан, ∆АВС–ның кез-келген горизонталі π₄–ке нүкте болып проекцияланады. Сонымен қатар, жаңа проекция жазықтықтары жүйесінің (π₁, π₄) байланыс сызықтары эпюрде ∆АВС – ның горизонталінің горизонталь проекциясына параллель болады.

Сондықтан ең әуелі ∆АВС – ның горизонталі h^α(h^α₁, h^α₂) – ні тұрғызамыз (2 – есепті қарағыздар).

Сонан соң α(АВС) – ға перпендикуляр қосымша проекция жазықтығы

π₄ – ті жүргіземіз. Ол үшін Х₁₄ – ті h^α₁ – ге перпендикуляр жүргізсе жеткілікті. α жазықтығы π₄–ке проекциясы α₄– ті тұрғызамыз. α жазықтығы π₄–ке перпендикуляр болғандықтан, α₄ эпюрде түзу болып кескінделеді (5.22а– сурет).

Енді комплексті сызбада (эпюрді) екінші рет түрлендіреміз. π₅ жазықтығын α –ге параллель жүргіземіз. ол үшін эпюрде Х₄₅ осін α₄(А₄В₄С₄) – ке параллель жүргізсе жеткілікті. Сонда АВС үшбұрышы π₅ – ке өзінің нақты шамасымен проекцияланады (α₅ = |∆ABC|).

Үшбұрышты сырттай сызылған шеңбердің центрі С₅В₅ және А₅В₅ қабырғаларының орталары арқылы оларға тұрғызылған перпендикулярлардың қиылысқан нүктесі О’₅ – те жатады (5.22ә – сурет).

Шығару алгоритмі:

1) h^α∈α(ABC); 4) π₅║α, x₄₅║α₄(A₄B₄C₄);

2) π₄⊥α, x₁₄⊥h^α₁; 5) α₅(A₅B₅C₅);

3) α₄(A₄B₄C₄); 6) O’₅

5.22а – сурет

5.22ә - сурет

3 Сызба геометриядан есептер комплектісі

Тапсырма жеке варианттар бойынша орындалады. Нүктелердің координаталары варианттар бойынша 3.1-кестеде көрсетілген.

Есептерді шығарған кезде төмендегі нұсқауларды сақтау керек:

- әрбір есепті әуелі шимай дәптерде шығарып, егер қиындық туса оқытушыға көрсету керек;

- есептерді шығару кезінде 2-ші тарауда көрсетілген типтік есептердің шығару жолдарын оқып, пайдалану қажет.

3.1 Есептерді шығару жүйесі

Есептерді шығарған кезде төмендегі жүйені сақтау қажет:

- есептің шартымен танысып, курстың осы есепке қатысты бөлімін қайталау керек;

- сызбаның масштабын қабылдау керек;

- есептің шартында көрсетілген нүктелердің проекцияларын салу керек.

Ол үшін горизонталь бағытта проекция осін жүргізіп, оның бойынан координаталар системасының бас нүктесі – О нүктесін белгілеу қажет. Комплексті сызбада Y-осінің оң бағыты координаталар системасының басынан абсцисса осіне перпендикуляр вертикаль түзудің бойымен төмен, ал Z-осінің бағыты –жоғары орналасады.

Нүктелердің проекцияларын диаметрі 1..1,5 мм шеңберлермен белгілеу қажет.

3.2 Есептердің шарттары

№ 1 – комплект

1.1 Берілген координаталары бойынша А, В, С, Д, Е, К нүктелерінің екі

проекцияларын салу керек.

1.2 АВ кесіндісінің бойынан, осы кесіндіні 2:3 қатынасында бөлетін Т нүктесін

табу керек.

1.3 АВ кесіндісіне параллель СР кесіндісін салу керек.

1.4 А және В нүктелері арқылы өтетін түзудің іздерін салу керек.

№ 2 – комплект

2.1 А нүктесі арқылы ұзындығы 60 мм горизонталь проекциялар жазықтығына

параллель, ал В нүктесі арқылы ұзындығы 40 мм фронталь проекциялар

жазықтығына параллель түзулердің проекцияларын салу керек.

2.2 В нүктесі арқылы ұзындығы 50 мм түзу кесіндісін горизонталь проекциялар

жазықтығына перпендикуляр, ал А нүктесі арқылы ұзындығы 40 мм түзу

кесіндісін фронталь проекциялар жазықтығына перпендикуляр жүргізу

керек.

2.3 АВ кесіндісінің нақты шамасы /тік бұрышты үшбұрыш тәсілімен/ мен осы

кесіндінің проекциялар жазықтықтарына көлбеу бұрыштарын табу керек.

2.4 А нүктесі арқылы горизонталь және фронталь проекциялар жазықтық-

тарымен 45⁰ пен 30⁰ бұрыш жасайтын түзу салу керек.

№ 3 – комплект

3.1 ê(АВС) жазықтығының А нүктесі арқылы өтетін горизонталь және фронтальдарын салу керек.

3.2 ê (АВС) жазықтығының іздерін салу керек.

3.3 Д нүктесі арқылы ê (АВС) жазықтығына параллель b жазықтығын жүргізу керек.

3.4 Д нүктесі арқыл ê (АВС) жазықтығына перпендикуляр g жазықтығын жүргізу керек.

№ 4 – комплект

4.1 Д және К нүктелері арқылы өтетін түзудің ê (АВС) жазықтығымен қиылысу

нүктесін тауып, сол түзудің көрінетін және көрінбейтін бөліктерін анықтау

керек.

4.2 ê (АВС) мен ê (ДЕК) жазықтықтарының қиылысу сызығының

проекцияларын салу керек.

4.3 Кеңістіктегі кез-келген М нүктесі арқылы берілген ê (АВС)және ê (ДЕК)

жазықтарына перпендикуляр жазықтық жүргізу керек.

№ 5 – комплект

5.1 А және В нүктелері арқылы өтетін түзудің төмендегі көрсетілген беттермен

қиылысу нүктелерін табу керек:

а) табанының радиусы 30, биіктігі 80, айналу осі АВ кесіндісінің ортасынан

өтетін конуспен;

б) диаметрі 30, биіктігі 60, табанының центрі А нүктесінде орналасқан

цилиндрмен;

в) диаметрі 30, центрі В нүктесінде орналасқан сферамен;

г) СДЕК – пирамидасымен.

№ 6 – комплект

6.1 Проекциялар жазықтықтарын алмастыру тәсілін қолданып А және В

нүктелерінің ара қашықтығын анықтау керек.

6.2 Д нүктесінен ê (АВС) жазықтығына дейінгі ара қашықтықты анықтау керек.

6.3 Берілген А нүктесі мен В және С нүктелері арқылы өтетін түзуге дейінгі ара

қашықтықты анықтау керек.

№ 7 – комплект

7.1 Берілген ê (АВС) жазық фигурасының нақты шамасын анықтау керек.

7.2 êАВС үшбұрышын сырттай сызылған шеңбердің центрін табу керек.

№ 8 – комплект

8.1 Айқас АВ және ДЕ түзу кесінділерінің ең кіші ара қашықтығын анықтау

керек.

8.2 Өзара параллель ê (АВС) және b жазықтықтарының ара қашықтығын

анықтау керек.

8.3 Екі жақты АВСД бұрышының нақты шамасын анықтау керек.

8.4 АВС жазықтығының А нүктесі арқылы жазықтыққа перпендикуляр

тұрғызып, оның бойына ұзындығы 40 мм АТ кесіндісін салу керек.

4 Сызба геометриядан типтік тестер жинағы

1 – тест

Қай сызбада (4.1 – сурет) төменде аталған нүктенің проекциялары көрсетілген:

1. Кеңістіктегі нүкте;

2. p₁ жазықтығында жатқан нүкте;

3. p₂ жазықтығында жатқан нүкте;

4. p₃ жазықтығында жатқан нүкте;

5. х-осінде жатқан нүкте.

4.1 – сурет

2 - тест

Қай сызбада (4.2 – сурет) төменде аталған түзудің проекциялары көрсетілген:

1. Жалпы жағдайдағы түзу;

2. Горизонталь түзу;

3. Фронталь түзу;

4. Профиль түзу;

5. p₁ жазықтығында жатқан түзу.

4.2 – сурет

3 - тест

Қай сызбада (4.3 – сурет) төменде аталған түзудің проекциялары көрсетілген

1. Горизонталь проекциялаушы түзу;

2. Фронталь проекциялаушы түзу;

3. Профиль проекциялаушы түзу;

4. p₂ жазықтығында жатқан түзу;

5. p₃ жазықтығында жатқан түзу.

4.3 – сурет

4 - тест

Қай сызбада (4.4-сурет) төменде аталған жазықтықтардың проекциялары көрсетілген

1. Горизонталь деңгейлік жазықтық;

2. Фронталь деңгейлік жазықтық;

3. Горизонталь-проекциялаушы жазықтық;

4. Фронталь-проекциялаушы жазықтық;

5. Жалпы жағдайдағы жазықтық.

4.4 – сурет

5 - тест

Қай сызбада (4.5-сурет) төменде аталған түзулер мен жазықтықтардың проекциялары көрсетілген:

1. Өзара параллель екі жазықтық;

2. Жазықтықта жатқан түзу;

3. Өзара перпендикуляр екі түзу;

4. Өзара перпендикуляр түзу мен жазықтық.

4.5 - сурет

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

1. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии: Учебное

пособие для ВТУЗ-ов.- М.: Машиностроение, 1978.

2. Гордон В. О., Семенцов – Огиевский М. А. Курс начертательной геометрии.

Учебное пособие для ВТУЗ-ов. - М.: Наука, 1988.

3. Есмұханов Ж. М. Сызба геометрия. – Алматы: Мектеп, 1987.

4. Есмұханов Ж. М., Қонақбаев Қ.Қ. Сызба геометрия. – Алматы: Мектеп, 1968.

5. Қонақбаев Қ.Қ. Сызба геометрия. – Алматы: Мектеп, 1971.

6. Орысша-қазақша сөздік./ Жалпы ред. басқарған Ғ.Ғ. Мұсабаев. – 1 т.

/ А - О /. – Алматы: Қазақ Совет Энциклопедиясының бас редакциясы, 1981.

7. Орысша-қазақша сөздік./ Жалпы ред. басқарған Ғ.Ғ. Мұсабаев, Н.Т.

Сауранбаев. – 2 т. / О - Я /. – Алматы: Қазақ Совет Энциклопедиясының бас

редакциясы, 1981.

8. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебное пособие для ВТУЗ-ов. - М.: Машиностроение, 1983.

9. Фролов С.А. Сборник задач по начертательной геометрии. – М.: Машиностроение, 1986.

М. Ш. Мұқашев, С.А. Дүйсенов, Б.З Қалиев

Инженерлік және машиналық графика

1-БӨЛІМ

Сызба геометрия

Оқу құралы

Редакторы Ж.А. Байбураева

2003 ж. жин. тақ.жоспары, 20 реті

Теруге берілген күні 2003

Пішімі 60х84 1/16

Типография қағазы №2

Оқу-баспа таб.- Таралымы 100 дана. Тапсырыс. Бағасы 164 тенге.

Басуға қол қойылды.

Алматы энергетика және байланыс институтының

көшірмелі- көбейткіш бюросы

480013 Алматы, Байтұрсынов к., 126

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

Инженерлік графика жіне қолданбалы механика кафедрасы

БЕКІТЕМІН

Оқу- әдістемелік жұмыс

жөніндегі проректор

___________Э.А. Сериков

“_____”____2003 ж

ИНЖЕНЕРЛІК ЖӘНЕ МАШИНАЛЫҚ ГРАФИКА

1-БӨЛІМ

СЫЗБА ГЕОМЕТРИЯ

ОҚУ ҚУРАЛЫ

КЕЛІСІЛДІ Кафедра мәжілісінде қаралды

ОӘБ бастығы және құпталды_____________

_______О.З. Рутгайзер “_____”____2003 ж. №__хаттама

“_____”____2003 ж. Кафедра меңгерушісі

______________А.Д. Дінасылов

(қолы, аты-жөні)

Редакторы ________Ж.А. Байбураева *Келісілді

“_____”____2003 ж Кафедра меңгерушісі(бітіруші)

_____________

Кафедра меңгерушісі(бітіруші)

_____________

Кафедра меңгерушісі(бітіруші)

_____________

Құрастырушылар(әзірлеушілер):

_______________М.Ш. Мұқашев

С. А. Дүйсенов

________________Б. З. Қалиев

Алматы 2003