Рисунок 4.7

Для изучения движения тела дос­таточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S  тела. Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением отрезка АВ (рисунок 4.8.). Зная коор­динаты х_А, у_А точки А (полюса) и угол j, можно определить положение отрезка АВ. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости

.                                               (4.27)

Уравнения (4.27) называют уравнениями плоского движения АТТ. Первые два из них определяют движение, которое фигура совершала бы при j=соnst -  это поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при х_А =const, у_А =const, т. е. когда полюс А неподвижен; это вращение фигуры вокруг полюса А. Т.о., плоское движение можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения вместе с полюсом, и вращательного движения вокруг полюса.

4.9 Определение скоростей точек плоской фигуры

Пусть поступательная составляющая движения характеризуется скоростью . Положение любой точки B фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором  (рисунок 4.9). Тогда        

 .                                    (4.28)

При этом скорость , которую точка B получает при вращении фигуры вокруг полюса А, будет равна

                        (4.29)

где  w  - угловая  скорость  фигуры.                                                                               

При определении скоростей точек АТТ оказывается полезной следующая теорема (справедлива для произвольного движения): проекции скоростей двух точек тела на соединяющую их прямую равны.

Лекция 5. Введение в динамику. Законы и задачи динамики точки

Содержание лекции: вводные понятия и аксиомы динамики точки; дифференциальные уравнения движения; общие теоремы динамики точки.

Цели лекции: изучить понятия динамики, дифференциальные уравнения движения точки, научиться применять общие теоремы динамики точки для определения характеристик движения точки.

5.1 Аксиомы динамики

Динамикой называют раздел механики, в котором рассматривается движение материальных тел под действием приложенных к ним сил с учетом инерции. Инерцией называется свойство материального тела сохранять состояние движения или покоя при отсутствии действующих на тело сил. Физическую величину, зависящую от количества вещества и являющуюся мерой инерции тела в поступательном движении, называется массой тела m.

Основой динамики точки являются 4 аксиомы, изложенные ниже.

1-я аксиома (закон инерции): материальная точка (МТ), к которой не приложены силы, находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные к ней силы не изменяют этого состояния. Движение МТ при отсутствии сил называют инерциальным. Систему отсчета (СО), в которой действует закон инерции, называют инерциальной СО. В большинстве задач СО, связанная с Землей, считается инерциальной.

2-я аксиома (основной закон динамики): ускорение МТ пропорционально приложенной к ней силе и направлено так же, как сила. Основное уравнение

.                                                        (5.1)

3-я аксиома (закон о действии и противодействии): две МТ действуют друг на друга с равными по модулям силами, которые лежат на соединяющей эти точки прямой и направлены в противоположные стороны.

4-я аксиома (закон независимости действия сил): геометрическая сумма ускорений, которые сообщаются МТ отдельно каждой приложенной к ней силой, равна ускорению, которое МТ получит под действием на нее всех сил.

                                               (5.2)

Вместо (5.2) можно пользоваться уравнением (5.1), понимая под силой  равнодействующую.

Под действием на тело силы тяжести у тела возникает одно и то же ус­корение , которое называют ускорением силы тяжести (ускорением свобод­ного падения). Если к МТ приложена только сила тяжести , то по (5.1)

.                                                       (5.2)

Масса тела не зависит от его местонахождения и от сил, приложенных к телу, а вес тела меняется с изменением ускорения силы тяжести в зависимости от географической широты места и расстояния от центра Земли.

5.2 Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Рассмотрим движение МТ под действием сил {} относительно инерциальной СО Оxyz, считая, что среди сил имеются реакции связей.

Проецируя уравнение (6.2) на естественные оси, получаем естественные дифференциальные уравнения движения (ДУД)

;                              (5.3)

проецируя на декартовы оси, получаем ДУД точки в декартовых координатах

                             (5.4)

ДУД применяются к решению двух основных задач динамики МТ:

1-я основная задача: по движению точки найти приложенную к ней силу. Здесь нужно продифференцировать уравнения движения МТ и результаты подставить в (5.3) или (.54), откуда определяется приложенная к точке сила;

2-я основная задача: по силам, приложенным к точке, найти ее движение. Решая эту задачу, нужно в общем случае найти вторые интегралы дифференциальных уравнений (5.3) или (5.4). В частных случаях возможно интегрирование ДУД точки, применяя метод разделения переменных.

5.3 Теорема об изменении количества движения точки

При решении многих задач динамики вместо интегрирования ДУД оказывается более эффективным использо­вание т.н. общих теорем динамики.

Рассмотрим теорему об изменении количества движения точки. Количеством движения МТ называют величину , равную произведению массы точки на ее скорость. Вектор направлен по ка­сательной к траектории точки.

Элементарным импульсом силы называют величину

                                                             (5.5)

равную произведению силы на элементарный промежуток времени. Направлен импульс вдоль линии действия силы. Импульс  силы  за конечное время t₁

               .                                                                (5.6)

Модуль и направление импульса можно вычислить по его проекциям

.                                (5.7)

Основной закон динамики можно представить в виде              

                  .                                                         (5.8)

Это теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил. Та же теорема в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток вре­мени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за этот промежуток времени

.                                                                   (5.9)

При решении задач обычно поль­зуются уравнениями в проекциях.

5.4 Теорема об изменении момента количества движения точки

Моментом количества движения точки относи­тельно некоторого центра О называется векторная величина , определяемая равенством

                                                     (5.10)

где   — радиус-вектор  движущейся точки, проведенный из центра О.

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через  и центр О, a .

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Оz, проходящей через центр О, равен проекции вектора на эту ось

                                             (5.11)

где  g — угол между вектором  и осью Оz.

Теорема: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра

.                                               (5.12)

Теорема моментов относительно оси

.                                              (5.13)

Из уравнения (5.20) следует, что если , то .

5.5 Работа силы. Мощность силы. Теорема об изменении кинетической  энергии точки

Элементарной работой силы , приложенной в точке М (см. рисунок 5.1), называют скалярную величину

dW = F_t ∙ds                                                          (5.14)

где F_t  — проекция силы  на касательную Мt  к траектории точки М, направленную в сторону перемещения точки;

ds — модуль элемен­тарного перемещения точки М.

Т.к. ds = |d| (здесь d - вектор элементарного переме­щения точки), то равенство (5.14) можно представить в виде

dW= .                                                     (5.15)

Т.е., элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.   

Работа силы на конечном перемещении M₀M₁ (см. рисунок 5.1) определяется как

,                                                 (5.24)

 .                             ( 5.25)

Мощностью  называют величину, равную работе, совершаемой силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность P = W/t₁ (здесь t₁ - время, течение которого произведена работа W). В общем случае

,                                   (5.16)

т.е., мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Кинетической энер­гией (КЭ) точки называют скалярную величину . Теорема: изменение КЭ точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку  сил на том же перемещении.

.                                          (5.17)

5.7 Принцип Даламбера для точки

Пусть на МТ с массой m действует система активных  сил, равнодействующую которых обозначим , и реакция связи . Под действием этих сил точка будет двигаться по отношению к инерциальной СО с некоторым ускорением .

Введем в рассмотрение величину

,                                                                (5.18)

имеющую размерность силы. Векторную величину, равную по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют силой инерции точки. Тогда оказывается, что если в любой момент времени к действующим на точку активным силам и реакции связи присоединить силу инерции, то полученная система сил будет уравновешенной, т. е.

.                                                 (5.19)

Это положение выражает принцип Даламбера для МТ.

Лекция 6. Основы динамики системы и твердого тела

Содержание лекции: механическая система, ее масса, центр масс и моменты инерции; дифференциальные уравнения движения системы; общие теоремы динамики и принцип Даламбера для системы.

Цели лекции: изучить динамические характеристики системы, дифференциальные уравнения ее движения, основные теоремы динамики для МС.

6.1 Механическая система. Масса, центр масс и моменты инерции

Механической системой (МС) называют совокупность взаимодействующих МТ или тел. Материальное тело является МС составляющих его частиц. МС, движение точек которой не ограничено связями, называется системой свободных материальных точек. Внешними силами , k= 1,2 …,n называют силы, c которыми на точки системы действуют тела, не принадлежащие к этой системе. Внутренними силами называют силы , k= 1,2 …,m, c которыми взаимодействуют точки системы. Можно показать, главный вектор и главный момент системы системы внутренних сил равны нулю. Отсюда не вытекает, что внутренние силы уравновешиваются в общем случае, т.к. они могут вызывать перемещения точек системы (уравновешиваются в АТТ).

Массой системы называют сумму масс частиц системы

M=Σm_k.                                                (6.1)

Положение центра масс системы (т. С)  определяется по формулам

,                                                (6.2)

 .                     (6.3)

Для тела имеем             ,                                                (6.4)

 .                     (6.5)

В однородном поле силы тяжести центры масс и тяжести совпадают.

Моментами инерции МС относительно оси и точки называют величины

J_l=Σm_k∙h_k².                                                    (6.6)

                                         J_O=Σm_k∙r_k²                                                     (6.7)

где h_k и r_k – расстояние точки тела с массой m_k от оси l и точки O.

Для твердого тела момент инерции относительно оси и точки

,                                                 (6.8)

.                                                (6.9)

Моменты инерции относительно декартовых осей и начала координат

         J_x=Σm_k∙(y_k²+z_k²),    J_y=Σm_k∙(x_k²+z_k²),   J_z=Σm_k∙( x_k²+y_k²),              (6.10)

J_O=Σm_k∙r_k²=  Σm_k∙( x_k²+y_k²+z_k²).                                 (6.11)                                                

Моменты инерции относительно координатных плоскостей равны

          J_xy=Σm_k∙ z_k²,    J_yz=Σm_k∙x_k²,   J_xz=Σm_k∙y_k².                   (6.12)             

Имеются зависимости      2J_O= J_x+ J_y+ J_z,                                             (6.13)

J_O= J_xy+ J_yz+ J_xz.                                            (6.14)

Для тела моменты инерции определяются интегралами по массе

,   ,   .   (6.15)

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции  системы J_z относительно какой-либо оси z равен сумме момента инерции системы J_zC  относительно параллельной ей оси z_C, проходящей через центр масс, и произведения массы системы M  на квадрат расстояния между осями d

.                                       (6.16)

Среди семейства параллельных осей момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс - наименьший.

6.2 Дифференциальные уравнения движения системы. Теорема о движении центра масс системы

Для точек, входящих в МС,  можно записать дифференциальные уравне­ния движения (ДУД) системы в векторной форме

                                               (6.17)

Проецируя (6.17) на оси, получим ДУД в проек­циях оси. Полное решение основной задачи динамики для системы состоит в том, чтобы проинтегрировать ДУД и определить закон движения каждой точки системы и реакции связей. Выполнить это аналитически удается лишь в частных случаях, когда число точек мало, иначе приходится интегри­ровать уравнения численно. Однако при решении многих задач бывает достаточным найти некоторые характеристики, определяющие движение системы в целом. Сложив почленно уравнения (6.17), получим

.                                    (6.18)

С учетом формулы (6.2) можно получить соотношение

.                                          (6.19)

Это теорема о движении центра масс системы: центр масс системы движется как МТ, масса которой равна массе всей системы и к кото­рой приложены все внешние силы, действующие на систему. Проецируя обе части равенства (6.19) на координатные оси, можно по­лучить ДУД центра масс в проекциях на оси декартовой системы коор­динат.

Из (6.19) следует, что поступательно движущееся тело можно рассматривать как МТ с массой, равной массе тела. В остальных слу­чаях тело можно рассматривать как МТ, когда допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. При определении закона движения центра масс МС можно исключать из рассмотрения все неиз­вестные внутренние силы.

Следствие из теоремы (закон сохранения движения центра масс системы): внутренние силы не изменяют движение центра масс системы.

6.3 Теорема об изменении количества движения системы

Количеством движения системы (КДС) называют вели­чину

.                                            (6.20)

Можно показать, что

,                                                  (6.21)

т. е. КДС равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. Если система движется так, что центр масс остается неподвижным, то КДС равно нулю (например, в случае тела, вращаю­щегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс). Если же движение тела является сложным, то величина  КДС не зависит от его вращательного движения вокруг центра масс (для катящегося колеса  независимо от вращения).

Теорема об изменении КДС в дифферен­циальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил

.                                             (6.22)

В интеграль­ной форме: изменение КДС за некото­рый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени

                                                 .                                                         (6.24)

Следствие (закон сохранения КДС): внутренние силы не могут изменить КДС, и при решении задач внутренние силы можно не рассматривать.

6.4 Теорема об изменении главного момента количеств движения

Главным моментом количеств движения системы (ГМКДС) или кинетическим моментом относительно данного цент­ра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра

.                                       (6.25)

Аналогично  имеем относительно координатных осей

,     ,    .    (6.26)

Теорема об изменении ГМКДС (теорема мо­ментов): производная  по времени от ГМКДС относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относитель­но того же центра

.                                     (6.27)

Проецируя на неподвижные оси 0хyz, получим теорему в проекциях.

Теорема применяется для изучения враща­тельного движения тела, а также движения системы в общем случае, т.к. последнее слага­ется из поступательного и вращательного движения. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная - с помощью теоремы моментов. При этом из рассмотрения исключаются наперед неизвестные внутренние силы.

Для системы координат, движущейся поступательно вместе с телом, справедлива теорема моментов относительно его центра масс. Она имеет тот же вид, что и относительно неподвижного центра. Для моментов относительно осей такой системы также получаются схожие урав­нения.

Следствие из теоремы (закон сохранения ГМКДС): внутренние силы не изменяют ГМКДС. При этом если система неизменяема, то она  вращается с постоянной угловой скоростью, а если изменяема, то под действием внутренних (или внешних) сил расстояния отдельных ее точек от оси могут изменяться, что вы­зовет изменение угловой скорости.

6.5 Теорема об изменении кинетической энергии системы 

Кинетической энергией (КЭ) системы называют скалярную величину

.                                          (6.28)

КЭ является характеристикой и поступатель­ного, и вращательного движений системы. Отличие Т от  и  состоит в том, что КЭ является скалярной су­щественно положительной величиной, не зависящей от направлений движения частей МС, и не характеризует их изменение. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным на­правлениям, поэтому они не изменяют векторные величины  и . Но если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться и величина Т. Т.о., T отличается от величин  и  еще и тем, что на ее изме­нение влияет действие и внешних, и внутренних сил. КЭ тела в частных случаях движения:

а) при поступательном движении

                                               ,                                                 (6.29)      

б)  при вращательном движении

,                                                 (6.30)      

в) при плоскопараллельном  движении

.                               (6.31)      

Теорема об изменении КЭ сиcтемы в дифферен­циальной форме

.                                     (6.32)

В интегральной форме: изменение КЭ системы при некотором перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внут­ренних сил.

.                                     (6.33)

6.6 Принцип Даламбера для системы

Силы инерции, действующие на точки МС, можно привести к главному вектору и главному моменту (точка O – неподвижный центр приведения). Формулировка принципа Даламбера для МС: систему, находящуюся в движении, можно рассматривать как находящуюся в состоянии равновесия, включая в число и . Можно доказать, что при любом движении системы  равен взятому со знаком «минус» произведению массы системы на ускорение центра масс . Для АТТ, совершающего плоскопараллельное движение в плоскости материальной симметрии тела Oxy, силы инерции могут быть приведены к подвижному центру масс С. Тогда ось Cz - главная центральная ось инерции тела. Обозначая  через  момент инерции относительно этой оси и через ε – угловое ускорение, можно доказать, что .

Лекция 7. Введение в сопротивление материалов. Задачи и методы сопротивления материалов

Содержание лекции: задачи сопротивления материалов, расчетная схема, допущения, внутренние силовые факторы, метод сечений, понятия о напряжениях, перемещениях, деформациях и о методах расчета.

Цели лекции: определить круг задач, решаемых методами сопротивле­ния материалов, изучить основные понятия.

7.1 Задачи сопротивления материалов. Расчетная схема

Различные сооружения, машины, аппараты и приборы помимо других ка­честв должны обладать прочностью и  жесткостью. Прочностью – это способ­ность твердых тел воспринимать действие сил без разрушения. Жесткость – способность твердых тел воспринимать действие сил без существенного из­менения размеров и формы (без значительных деформаций). Для обеспечения прочности и жесткости элементы (детали) конструкций должны быть изготов­лены из подходящего материала и иметь не­обходимые размеры. Сопротивле­ние материалов (СМ) – это наука о прочности и жесткости элементов конст­рукций. Основные положения СМ опираются на законы и теоремы общей ме­ханики (в первую очередь, статики), но в СМ наиболее существенным явля­ется свойство деформируемости тел. СМ является введением в механику де­формируемого твердого тела. Цель СМ – дать простые приемы расчета ти­пичных элементов конструкций. В СМ используются приближенные методы, основанные на гипотезах, применение которых оправдано сопоставлением ре­зультатов расчета и эксперимента, а также результатов точного анализа.

Исследование вопроса начинается с выбора расчетной модели, иначе расчетной схемы (РС) – это описание объекта, освобожденное от несущественных факторов. В зависимости от требуемой точности и рассматриваемой стороны явления для одного объекта можно использовать несколько РС. С другой стороны, к одной и той же РС может быть сведен ряд объектов.

Выбор РС начинается со схематизации свойств материала. Принято рассматривать все материалы, независимо от их микроструктуры, как однородную сплошную среду, что позволяет использовать аппарат анализа бесконечно малых. Сплошная среда наделяется свойствами реального материала. Так, все твердые тела в определенной степени обладают свойством упругости, т.е. способностью восстанавливать свои первоначальные размеры и форму после снятия внешних сил, вызвавших их изменение. В большинстве задач СМ среда считается абсолютно упругой. Когда отступление от абсолютной упругости становится существенным, то сплошную среду приходится наделять другими свойствами. Обычно в СМ среда рассматривается как изотропная.

Вводятся упрощения и в геометрию объекта; в СМ она приводится к схеме стержня или оболочки. Стержень – это тело, одно из измерений которого (длина) намного меньше двух других. Оболочка – тело, одно из измерений которого (толщина) намного меньше двух других. Геометрически стержень может быть образован путем перемещения плоской фигуры (см. рисунок 7.1) вдоль некоторой кривой - оси стержня. Плоская фигура, имеющая центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется его поперечным сечением. Стержень может быть прямолинейным или криволинейным, иметь постоянное или переменное сечение вдоль оси, сечение может поворачиваться относительно оси. Ниже рассматривается расчет только стержней и стержневых систем.

            Упрощения вводятся и в системе сил. Так, вводится понятие сосредото­ченной силы. В СМ различают внешние и внутренние силы. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на конструкцию заменяется силами, которые относят к внешним силам. Эти силы подразделяют на объемные (силы тяжести, инерции, магнитного притя­жения и др.) и поверхностные (силы контактного взаимодействия с окружаю­щими телами). В число внешних сил включают не только заданные (актив­ные) силы, но и реакции связей, дополняющие систему сил до равновесной. Равновесную систему сил, включающую в себя активные и реактивные силы, обычно называют нагрузкой. Величина и характер распределения внешних сил зависят от того, где проходит граница между объектом и окружающими телами. Различают силы статические (медленно изменяющиеся во времени, не вызывающие существенных сил инерции), динамические (быстро изменяю­щиеся во времени, вызывающие силы инерции, которые надо учитывать в расчетах; динамические силы могут быть ударными, внезапно приложенными и вибрационными), повторно-переменные (силы, действие которых периоди­чески и многократно повторяются).

         Силы, характеризующие взаимодействие между частями самого объекта, относят к внутренним силам. При этом внутренние силы возникают не только между отдельными частями объекта, но и между всеми смежными частицами объекта при его нагружении. Обычно считают, что если объект не нагружен внешними силами, то внутренние силы в нем отсутствуют.

7.2 Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечном

сечении стержня

Пусть к стержню (см. рисунок 7.2,а) приложена нагрузка {F₁, F₂, …, F_n}. Внутренние силы, возникающие в стержне, вы­являются, если рассечь его мысленно на две части, например, сечением А (это метод сечений). Т.к. связи между частями стержня устранены, необходимо действие правой части на левую и левой на правую заменить системой внутренних сил {F_А} в сечении (см. рисунок 7.2,б). В разных сечениях возникают, в общем случае, различные внутрен­ние силы. Система сил, возникающих в плос­кости А', обратна по знаку системе сил в плоскости А". Внутренние силы распределяются не­которым сложным образом по сечению. При этом условия равновесия для правой и левой частей стержня должны удовлетворяться по отдельности. Главный вектор и глав­ный момент внутренних сил в сече­нии А могут определяться из условий рав­новесия любой из частей тела.

Из уравнений равновесия можно определить не закон распределения внутренних сил, а только их статические эквиваленты (при условии, что внешние силы заданы). Приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор  и главный момент  (см. рисунок 7.3). Выберем систему координат, направив ось z по нормали к сечению, а оси х и у расположим в его плоскости. Спроецировав  и  на оси, полу­чаем 6 составляющих: три силы и три мо­мента, которые называют внутренними си­ловыми факторами (ВСФ) в сечении стержня. Составляющую N называют нор­мальной или про­дольной силой, силы Q_x и Q_y - попе­речными силами, момент М_к - крутящим моментом, а моменты М_х и М_у - изгибающими моментами относи­тельно осей х и у. При известных внешних силах все шесть ВСФ определяются из шести уравнений равновесия, составляемых для отсечен­ной части стержня.

Аналогично классифицируются основ­ные виды нагружения (растяжение, сжатие, кручение, изгиб и др.). Для определения вида нагружения, необходимо воспользоваться ме­тодом сечений и выявить, какие ВСФ возникают в его сечениях. Результаты определения ВСФ представляют в виде графиков (эпюр).

7.3 Понятия о напряжениях, перемещениях и деформациях

Чтобы характеризовать распределение внутренних сил по сечению, вводят понятие напряжения. Вектором полного напряжение в точке К в сечении S называют величину

                    (7.1)

где  - элементарная площадка в окрестности точки K;

 - равнодействующая внутренних сил, приходящихся на площадку.

Напряжение есть внутренняя сила, при­ходящаяся на единицу площади (измеряется в паскалях). Полное напряже­ние р может быть разложено  на 3 составляющие: по нормали к сечению (нор­мальное напряже­ние  s) и по двум осям в плоскости сечения( касатель­ные напряжения t). Если через т. К провести другую секущую площадку, напряжение будет, вообще говоря, другим. Совокупность напряже­ний для всего множества площадок, про­ходящих через точку, образует напря­женное состояние в точке (оп­ределя­ется 6-ю числовыми величинами).

Под действием внешних сил все тела изменяют свои размеры и форму (де­формируются). Это существенно влияет на распределение в теле внутренних сил, хотя эти изменения, как правило, незначительны.

При деформировании точки тела меняют свое положение в про­стран­стве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а ко­нец в той же точке деформированного тела, называется вектором линейного пе­ремещения точки. Вводят также понятие   уг­лового пере­мещения. Если рассмотреть отрезок прямой между дву­мя близ­кими точ­ками до и после деформирования, то очевидно, что отрезок поворачива­ется в пространстве на некоторый угол, который также характеризу­ется вектором.

Если на систему наложены связи, достаточные для того, чтобы исключить ее перемещение в пространстве как жесткого целого, то систему называют ки­нематически неизменяемой. Именно такие системы и рассматриваются, как правило, в СМ. В противном случае рассматривается только часть перемещений, обусловленная деформациями. Тогда для большинства систем перемещения любой точки являются малыми по сравнению с размерами тела. Поэтому согласно принципу начальных размеров при составлении уравнений статики не учитывают изменение размеров (неприменимо к мгновенным меха­низмам и к задачам устойчивости).

Чтобы характеризовать интенсивность изменения размеров и формы тела, рассмотрим тело до и после деформирования (см. рисунок 7.4).  Величину

                                                  (7.2)

называют линейной деформацией или просто деформацией в точке А по на­правлению АВ (порядок 10^-3). В той же точке в другом направлении деформация, вообще говоря, будет другой. В направлении осей х, у и z имеем e_х, e_у и e_z.

Рассмотрим прямой угол, образованный в теле двумя отрезками OD и ОС (см. рисунок 7.4). После нагружения тела внешними силами этот угол изменится и примет значение C'O'D'. Величину

                                                (7.3)

называют угловой деформацией или углом сдвига в точке О в плоскости COD.

В координатных плоскостях углы сдвига обозначают через g_уz, g_zx и g_ху.

7.4 Закон Гука.  Принципы независимости действия сил и Сен-Венана

В большинстве случаев перемещения в определен­ных пределах пропорциональны действующим силам (Гук, 1660 г.). При этом коэффициент пропорциональности зависит как от физических свойств материала, так и от геометрии системы. В современной трактовке закон Гука определяет линей­ную зависимость между напряжением и деформацией, и в этом случае коэффи­циенты пропорциональности являются физическими константами мате­риала. Линейная же зависимость между перемещениями и силами получается как следствие. Зависимость сохраняется как при возрастании, так и при убывании сил и отражает упругие свойства системы.

Можно доказать, что системы, для которых выполняется закон Гука, под­чиняются принципу суперпозиции (принципу независимости действия сил). В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы в упругом теле, не зависят от порядка приложения внешних сил. Если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий от каждой силы.

При решении задач СМ используется принцип Сен-Венана. Предполага­ется, что если к телу приложена самоуравновешивающаяся система сил, то на­пряжения и деформации быстро убывают при удалении от места приложения нагрузки. Согласно этому принципу способ приложения нагрузки влияет только на деформацию тела в малом объеме, примыкающем к месту приложе­ния нагрузки, и не влияет на деформацию тела вдали от точек ее приложения.

7.5 Общие принципы расчета элементов конструкции

Чтобы получить ответ на вопрос, удовлетворяет или нет конструкция предъявляемым к ней требованиям прочности, жесткости, на­дежности, необходимо, прежде всего, выбрать метод расчет.

Наиболее распространенным методом расчета на прочность является рас­чет по напряжениям: здесь считается, что критерием надежности конструкции является напряжение (напряженное состояние) в точке. При этом на основании анализа конструкции выявляются наибольшие (расчетные) напряжения. Эти напряжения сопоставляются с предельным значением для данного материала, полученным на основе предварительных лабораторных испытаний. Из сопоставления делается заключение о прочности конструкции.

Если необходимо добиться наименьших изменений формы конструкции, производится расчет по допускаемым перемещениям (расчет на жесткость). Это не исключает одновременной проверки системы на прочность по напряже­ниям. Существуют другие методы, связанные с качественно отличными явле­ниями, такими, как устойчивость, эффект повторных нагрузок, динамическое воздействие и др. Вопрос же о степени надежности конструкции в конкрет­ных условиях изучается в курсах деталей машин, динамики прочности турбомашин, аппаратов и процессов химического производства и т. д.

Лекция 8. Растяжение и сжатие стержней

Содержание лекции: нормальная сила, напряжения и деформации, перемещения, потенциальная энергия деформации, напряженное и деформированное состояния при растяжении (сжатии), диаграммы растяжения и сжатия, условие прочности при растяжении-сжатии.

Цели лекции: изучить механику растянутых (сжатых) стержней, ознакомиться с методикой проведения испытаний материалов на растяжение и сжатие, изучить основные механические характеристики материалов, изучить методику расчетов на прочность при растяжении-сжатии.

8.1 Продольная сила и нормальные напряжения

Растяжение - вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только нормальная сила N, а все остальные ВСФ равны нулю. При растяжении направление N совпадает с направлением внешней нормали к рассматриваемому сечению. Сжатие формально отличается от растяжения только направлением N, хотя имеются и существенные отличия (сжатие длинных стержней сопровождается изгибом, характер разрушения при растяжении и сжатии различен). Обычно растяжение или сжатие возникает при нагружении стержня осевыми силами. Эпюру N строят с использованием метода сечений, при этом N  равна сумме проекций на продольную ось всех сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

N = ∑F_iz.                                                  (8.1)

Растягивающую силу  N считают положительной, сжи­мающую – отрица­тельной. Тогда проекция внешней силы в (8.1) должна браться со знаком «+», если сила направлена от сечения, и со зна­ком «-», если направлена к сече­нию. На рисунке 8.1 показан пример построения эпюры N.

Зависимость между нормальной силой и напряжениями этом сечении

                                                                                                   (8.2)

где σ – нормальное напряжение в произвольной точке сечения, принадлежащей малой площадке dA;

A – площадь поперечного сечения.

Из схемы деформирования стержня на рисунке 8.2 можно прийти к выводу, что напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы, так что

 откуда                               (8.3)

Нормальное напряжение считается поло­жительным при растяжении и отрицательным при сжатии. В рассматриваемом примере имеем однородное напряженное состояние – во всех точках стержня напряженное состояние одно и то же. Если стержень имеет переменное сечение (см. рисунок 8.3), то при таком же нагружении напряженное состояние не будет однородным.

8.2 Удлинения стержня и закон Гука

Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от приложенных сил. Так, стержень на рисунке 8.2 удлиняется на величину ∆l, называемую абсолютным (полным) удлинением стержня. Т.к. здесь имеет место однородное напряженное состояние, то и линейная деформация (т.н. относительное удлинение) во всех точках одинакова и равна

.                           (8.4)

         В случае неоднородного напряжен­ного состояния (см. рисунок 8.3)

.                       (8.5)

         В пределах малых ε для большинства материалов справедлив закон Гука (линейная зависимость между σ  и ε)

σ=Е∙ε                                                     (8.6)

где E – модуль Юнга (модуль упругости I рода); определяется экспериментально.        

Из (8.5) с учетом (8.3) и (8.4), получим после интегрирования

                                .                                                    (8.7)

         Для стержня, имеющего постоянное сечение и нагруженного по концам силами F, имеем N=F=const, и абсолютное удлинение равно

                                .                                               (8.8)

         Здесь E∙А - жесткость стержня при растяжении-сжатии.

Если наряду с упругими деформациями нужно учитывать температурные деформации, то суммарная деформация определяется, как

                                            (8.9)

         где α – коэффициент температурного расширения материала;

         ∆t – приращение температуры.

При статическом нагружении стержня работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации U, которая при справедливости закона Гука записывается как  

_.                                            (8.10)

В случае стержня постоянного сечения, изготовленного из однородного материала и нагруженного силами по концам, имеем

_.                                                       (8.11)

8.3 Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии

На рисунке 8.4,а по­ка­зан кронштейн, состоя­щий из двух стержней. Продоль­ные силы в стерж­нях можно определить с ис­пользова­нием способа вы­резания уз­лов, записав уравнения рав­новесия в виде сумм проек­ций сил на 2 координатные оси, откуда не­сложно найти N₁ и N₂.  Если в конструкцию добавить еще один стержень (см. рисунок 8.4,б), то она будет более прочной и жесткой, но опреде­лить усилия N₁ , N₂ и N₃ только из уравнений статики уже не удастся: неиз­вестных 3, а уравнений статики по-прежнему 2 (имеем 1 раз статически неоп­ределимую систему). Система на рисунке 8.4,в 2 раза неопреде­лима. Степе­нью статической неопределимости (СНН) называют разность между числом связей и числом независимых уравнений статики. Опреде­ление всех неизвестных сил (раскрытие статической неопределенно­сти) воз­можно при использовании дополнительных уравнений.

В элементах статически определимых систем ВСФ и напряжения возникают только от действия внешней нагрузки, а в элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагруз­ки, например, в результате изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изго­товления отдельных элементов конструкции.

8.4 Напряженное и деформированное состояния при растяжении

Рассмотрим напряжения в наклонных сече­ниях стержня, составляющих угол α с поперечным сечением (см. рисунок 8.5,а). Если площадь поперечного сечения равна A, то площадь наклонного сечения равна A/cosα.

На рисунке 8.5,б видно, что p∙A_α = F и F=σ∙A, поэтому

                                      р = F/ A_α = σ∙cosα.                                        (8.15)

Разложим р на составляющие σ_α и τ_α (см. рисунок 8.5 в). Получаем

 σ_α= р∙cosα = σ∙cos²α,                   (8.16)

 τ_α= р∙sinα = σ∙sin2α.                (8.17)

Отсюда имеем:

а) при α=0 получаем σ_α= σ_, τ_α=0;

б) при α=90ْ (в продольных сечениях) σ_α= 0_, τ_α=0, т.е., продольные слои не имеют силового взаимодействия;

в) при α=45ْ  напряжение τ имеет наибольшее значение  τ_max= σ/2;

г) для сечений с углом α и (α+90ْ) абсолютная величина τ одна и та же; это закон парности касательных напряжений, который выполняется всегда.

Рассмотрим деформации при растяжении. Опыт показывает, что в определенных пределах продольное удлинение стержня (см. рисунок 8.6) сопровождается поперечным сужением. Поперечная деформация ε´=∆а/а и

ε´=- µ∙ε                        (8.18)

где µ - коэффициент поперечной деформации (Пуассона); значения µ для металлов лежат в пределах 0,25… 0,35.

         В стрежне возникают также угловые деформации γ_α (см. рисунок 8.7). Можно доказать, что угол сдвига γ_α пропорционален напряжению τ_α на соответствующей площадке. Это - закон Гука для сдвига

τ=G∙γ                      (8.19)

         где G – модуль сдвига или модуль упругости II рода.

         Между параметрами упругости материала Е, G и µ имеется взаимосвязь

.     

8.5 Диаграммы растяжения

Для изучения свойств материалов и установления значений предельных напряжений проводят испытания образцов материала вплоть до разрушения. Испытания производят при статической, ударной и циклической нагрузках на растяжение, сжатие, кручение и изгиб (реже на сложное сопротивление). Эксперимент ведут в стандартных условиях на специальных машинах. Наиболее распространены испытания на растяжение статической нагрузкой, т.к. они наиболее просты и дают возможность судить о поведении материала при других видах деформации.

Для испытаний применяют ци­линдрические и плоские образцы (см. рисунок 8.8). Обычно d₀=20 мм и l₀=10d₀  или l₀=5d₀.

При испытании записывается диаграмма зависимости между растягивающей силой F и удлинением образца Δl. Для возможности сравнения результатов по образцам различных размеров, диаграмму F-Δl рассматривают и как диаграмму σ-ε. Это не совсем верно, поскольку подразумевается, что σ=F/A₀ и ε=∆l/l₀ (A₀, l₀ –первоначальная площадь поперечного сечения образца и первоначальная длина образца). Т.к. истинные σ и ε должны определяться через текущие значения A и l, то такую диаграмму в координатах σ и ε называют условной диаграммой растяжения.

На рисунке 8.9 сплошной линией показана условная диаграмма растяжения малоуглеродистой стали. На участке ОА до некоторого напряжения σ_пц, называемого пределом пропорциональности, ε растет пропорционально σ, т.е. выполняется закон Гука (для стали СтЗ σ_пц≈ 200 МПа). Дальше диаграмма становится криволинейной, до величины σ_у, называемой пределом  упругости, материал еще сохраняет упругие свойства. Разница между σ_пц и σ_у невелика (для Ст3 σ_у≈ 210 МПа), и на практике их не различают.

При дальнейшем увеличении нагрузки наступает момент (т.С), когда деформации начинают расти без увеличения нагрузки. Горизонтальный участок СD называется площадкой текучести, соответствующее напряжение - пределом текучести при растяжении σ_тр (240…400 МПа для Ст3).

Далее диаграмма поднимается вверх, материал вновь приобретает способность сопротивляться растяжению. В т.Е достигается наибольшее условное напряжение, называемое пределом прочности или временным сопротивлением σ_вр (для Ст3 σ_вр=400…500 МПа). На образце появляется резкое местное сужение, т.н. шейка (см. рисунок 8.10,б). Площадь сечения образца в шейке быстро уменьшается и, как следствие, падает усилие и σ. Разрыв образца происходит по наименьшему сечению. Предел прочности не есть напряжение, при котором происходит разрушение образца. Если относить растягивающую силу не к A₀, а к площади шейки, то напряжение в шейке перед разрывом σ_ист (в т.N) существенно больше, чем σ_вр.

Кроме указанных характеристик прочности материала, при испытании определяют также относительное остаточное удлинение при разрыве δ, являющееся характеристикой пластичности материала

                                                  (8.20)

где l₀ – первоначальная расчетная длина образца;

l₁ – расчетная длина образца после разрыва.

Для Ст3  δ ≥24%, у высокопрочных сталей δ=(7…10)%. Это удлинение является усредненным, истинное удлинение возникает в месте разрыва.

Для изучения значительных пластических деформаций необходимо знать истинную диаграмму растяжения (кривая OCS на рисунке 8.9).

Рассмотренная диаграмма растяжения является характерной для т.н. пластичных материалов, т. е. материалов, способных получать значительные остаточные деформации без разрушения. К весьма пластичным материалам относятся медь, алюминий, латунь, малоуглеродистая сталь и др., к менее пластичным - дуралюмин и бронза, к слабо пластичным – большинство легированных сталей. Ряд пластичных материалов при растяжении дает диаграмму без пло­щадки текучести; для них устанавлива­ется т.н. условный предел текучести – это напряжение, которому соответст­вует определенная величина остаточ­ной деформации. Условному пределу текучести σ_0,2 соответствует остаточная деформация 0,2%.

Противоположным свойству пластичности является хрупкость. К хрупким материалам (δ < 2-5%) относятся чугун, инструментальная сталь, камень, бетон, стекло, и др.

Диаграмма растяжении образцов из хрупких материалов (см. рисунок 8.11) имеет ряд особенностей. Здесь отклонение от закона Гука начинается очень рано. Разрыв наступает внезапно при очень малых деформациях, без шейки. При испытании определяют только предел прочности σ_вр. При расчетах отклонение от закона Гука для хрупких материалов не учитывают, заменяя криволинейную диаграмму прямолинейной. Заметное влияние на σ_вр оказывают размеры образца, что оценивают масштабным коэффициентом.

8.6 Диаграммы сжатия

Используют образцы в форме кубиков или невысоких цилиндров (h≤ 3d) - иначе может возникнуть изгиб. Применение очень коротких образцов также нежелательно: силы трения на торцах значительно искажают картину.

Вид диаграммы сжатия хрупких материалов такой же, как диаграммы растяжения. По диаграмме определяют  σ_вс и δ, при этом σ_вс обычно больше σ_вр.

На рисунке 8.12 показана типичная диаграмма сжатия пластичного материала. Вначале она идет так же, как и диаграмма растяжения, а затем вверх – образец сплющивается и не разрушается. Пределы текучести при растяжении и сжатии для пластичных сталей практически одинаковы.

8.7 Условие прочности при растяжении-сжатии. Три вида задач

Наиболее распространенным является метод расчета на прочность по напряжениям. Согласно этому методу расчет ведется по наибольшему напряжению, возникающему в конструкции, которое не должно превышать предельной для материала величины, σ_max<σ_пред, при этом необходимо предусмотреть некоторый запас прочности, так что должно выполняться условие прочности

σ_max≤[σ].                                                  (8.21)

Здесь [σ] – допускаемое напряжение, которое определяется как некоторая часть от предельного напряжения,

                                             (8.22)

где [n] – нормативное значение запаса прочности, назначаемое в зависимости от степени ответственности конструкции, точности расчетной схемы, опыта проектирования и условий работы конструкции. При этом [n] всегда >1,0 и его значения для различных элементов конструкций приводятся в нормативных документах.

В качестве σ_пред для элементов конструкций, изготовленных из пластичных материалов обычно принимают σ_тр (для испытывающих растяжение) или σ_тс (для испытывающих растяжение) для того, чтобы избежать образования заметных остаточных деформаций в конструкции. Для хрупких, а в некоторых случаях и для умеренно пластичных материалов качестве σ_пред принимают σ_вр или σ_вс при растяжении или сжатии соответственно.

Другая форма условия прочности по этому же методу

n≥[n]                                                    (8.23)

где n – фактический (расчетный) запас прочности, определяемый как n=σ_пред/ σ_max.

Т.о., при растяжении-сжатии условие прочности (8.21) принимает вид

.                                          (8.24)

Пользуясь этим условием, можно решать:

а) задачи проверочного расчета. Здесь по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня определяют фактические напряжения  и сравнивают их с допускаемыми, т.е., непосредственно проверяют выполнение условия (8.24). Перенапряжение недопустимо с точки зрения обеспечения прочности, а недонапряжение ведет к перерасходу материала;

б) задачи проектного расчета. По известным нагрузке и допускаемому напряжению определяют размеры поперечных сечений стержней, требуемые по условию прочности

;                                                 (8.25)

в) задачи определения предельной грузоподъемности (несущей способности). Здесь по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению определяют допускаемую продольную силу

,                                              (8.26)

после чего, установив связь между продольной силой и нагрузкой (с помощью уравнений статики), можно определить допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни, кроме расчета на прочность, должны также рассчитываться на устойчивость, т.к. при определенном значении сжимающей силы может произойти выпучивание (потеря устойчивости) стержня.

Отметим также, что критерий прочности, принятый в методе допускаемых напряжений (напряжения в точке), не всегда характеризует условие наступления разрушения конструкции. В ряде случаев за такой критерий правильнее принимать предельную нагрузку, которую может выдержать система, не разрушаясь и не изменяя существенно свою форму.

8.8 Концентрация напряжений

Расчет стержней переменного сечения производится так же, как и стрежней постоянного сечения. Предполагается, что в поперечных сечениях возникают только равномерно распределенные нормальные напряжения, а продольные сечения свободны от напряжений.

В тех случаях, когда сечение стержня меняется резко (около выточек, галтелей, отверстий и т.д.), распределение напряжений не соответствует простому растяжению (см. рисунок 8.13). Отступление от закона равномерного распределения напряжений, соответствующего простому растяжению, вблизи мест резкого изменения поперечного сечения называется концентрацией напряжений. Концентрация напряжений проявляется в следующем:

а) σ в поперечных сечениях распределяются неравномерно, причем наибольшего значения они достигают у мест изменения сечения;

б) в поперечных и продольных сечениях имеют место как σ, так и τ.

Для определения закона распределения напряжений в концентраторах используют методы теории упругости или экспериментальные методы, при этом обычно определяют теоретический коэффициент концентрации напряжений α=σ_max/σ₀, показывающий, во сколько раз наибольшее напряжение в сечении σ_max превышает номинальное напряжение σ₀=F/A_нетто. Значения α приводятся в справочниках (он зависит только от геометрии концентратора).

Знание α оказывается недостаточным для расчета детали на прочность. Если бы материал вплоть до разрушения следовал бы закону Гука, тогда прочность снижалась бы в α раз; на практике – меньше чем α раз. Поэтому экспериментально определяют эффективный коэффициент концентрации напряжений, показывающий, во сколько раз предел прочности образца с концентратором меньше, чем предел прочности образца без концентратора, k_σ = σ_в/σ_вк. Отметим, что при расчете на прочность стержней из пластичного материала, находящихся под действием статических нагрузок, концентрацию напряжений не принимают во внимание. При этом считают, что k_σ =1, и условие прочности записывают, как . Это объясняется тем, что для пластичного материала исчерпание несущей способности наступает тогда, когда напряжения во всех точках сечения равны σ_т. При постепенном увеличении силы F максимальные напряжения вблизи отверстия достигают величины σ_т. Далее эти напряжения не могут возрастать до тех пор, пока не пройдена площадка текучести, а продольные волокна не могут удлиняться как в свободном состоянии, т.к. они стеснены. С увеличением нагрузки должна увеличиваться и продольная сила – это происходит за счет роста напряжений в волокнах, где σ < σ_т, при этом зона текучести растет до тех пор, пока везде не будет σ=σ_т – наступает общая текучесть. Т.е., картина предельного состояния имеет такой же вид, как и в случае отсутствия концентрации напряжений.

В случае хрупких материалов концентрация напряжений существенно снижает прочность деталей (пример – разрезание стекла стеклорезом).

Лекция 9. Чистый сдвиг. Кручение стержня круглого сечения

Содержание лекции: - чистый сдвиг, крутящий момент, напряжения и деформации при кручении, расчеты на прочность и жесткость.

Цели лекции: изучить особенности чистого сдвига и механику кручения стержней круглого и кольцевого поперечного сечения, получить формулы для  расчетов на прочность и жесткость.

            9.1 Напряжения и деформации при чистом сдвиге

Чистый сдвиг (ЧС) – это напряжен­ное состояние, при котором на гра­нях выделенного из тела элемента возникают только касательные на­пряжения t (см. рисунок 9.1,а). Одно­родный ЧС имеет место при кручении тонкостенной трубки (см. рисунок 9.2).

         Можно доказать, что если из элемента, находящегося в условиях ЧС, вырезать элемент с гранями, накло­ненными под углами в 45º к исходным граням, то на них ка­сательных напряжений не будет, а будут иметь место только нормальные напряжения (см. рисунок 9.1,б). При этом на одной паре противоположных граней напряжения являются растя­гивающими (σ’=t), на другой – сжимающими (σ”=t).

         Как отмечалось ранее, касательные напряжения t свя­заны с угловой деформацией γ законом Гука

t=G∙γ.                                              (9.1)

         Можно доказать, что при чистом сдвиге стороны элемента не изменяют своей длины при деформировании, изменение объема также равно нулю.

         Аналогично испытаниям материала на растяжение и сжатие, проводят испытание на ЧС тонкостенной трубки, закручиваемой моментами. В результате получают условную диаграмму сдвига в координатах t и γ, которая имеет сходство с диаграммой растяжения, при этом для пластичных металлов предел текучести t_т=(0,5…0,55)σ_т.

         Напряженное состояние, близкое к ЧС, возникает в заклепках, болтах (устанавливаемых без зазора), шпонках, шлицах, сварных швах.

9.2 Кручение стержня с круглым поперечным сечением

Под кручением понимается такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только крутящий момент М_кр, а остальные ВСФ равны нулю. Кручение обычно возникает при нагружении стержня парами сил (скручивающими моментами), плоскости действия которых перпендикулярны продольной оси стержня. Эпюру крутящего момента строят с использованием метода сечений, при этом М_кр равен сумме моментов относительно продольной оси стержня всех пар сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

М_кр = ∑M_i.                                                      (9.2)

Правило знаков: если наблюда­тель со стороны внешней нормали к сечению видит момент М_кр направленным против часовой стрелке, то он считается положительным, иначе - отрицательным. Внешние моменты в (9.2) должны браться с проти­воположным правилом. На рисунке 9.3 показан пример построения эпюры М_кр.

При расчете стержня (вала) обычно требуется определить напряжения и угловые перемеще­ния в зависи­мости от ве­личин внешних моментов. Методами СМ можно получить решение только для стрежня кругового или коль­цевого     поперечного сечения (будем рас­сматривать только этот слу­чай) и для тонкостенных стерж­ней.

В случае кручения стержня с круговым попереч­ным сечением бу­дем считать, что ка­ждое по­перечное се­чение стержня по­ворачивается в своей плоскости на некото­рый угол как жесткое целое (ги­потеза пло­ских сечений).

Рассмотрим стержень с круговым по­перечным се­чением, нагруженный по концам моментами M (см. рисунок 9.4,а). В его поперечных се­чениях возникает постоянный крутящий момент М_кр=M. Двумя поперечными сечениями, выделим из стержня элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилин­дрическими поверхностями с радиусами r и (r + dr) –э лементар­ное кольцо, показанное на рисунке 9.4,в. В результате кручения правое тор­цевое се­чение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ по­вернется на угол g и займет положение АВ ¢. Дуга BВ ¢ равна с одной сто­роны, r ∙dj, а с другой стороны - g ∙dz. Следовательно,

.                                                 (9.3)

Угол g представляет со­бой угол сдвига цилиндрической поверх­ности под действием касательных напряжений t. Величину

                                                       (9.4)

называют относительным углом закручивания. Это угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к рас­стоя­нию между ними.

Из рассмотрения (9.3) и (9.4) получим

g = r∙θ.                                               (9.5)

По закону Гука для сдвига

τ=G ∙r∙θ                                               (9.6)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении стержня. Пар­ные им напряжения возникают в продольных плоскостях  (см. рисунок 9.4 г).       

Очевидна (см. рисунок 9.5) зависимость . С учетом (9.6) по­лучаем . Интеграл  представляет собой чисто геометриче­скую характеристику и называется полярным моментом инерции сечения

.                                               (9.7)

Т.о., получаем  или

 .                                              (9.8)

Величину называют жесткостью стержня при кручении.

Из (9.8) с учетом (9.4) получим

         .                                              (9.9)

Если М_кр и по длине стержня пос­тоянны, то из (9.9) найдем

                   .                                             (9.10)

Подставляя (9.8) в (9.6) получим выражение для напряжений

.                                             (9.11)

Т.о., касательные напряжения распределены вдоль радиуса по линей­ному закону и  имеют максимальное значение в точках, наиболее удаленных от центра. При этом

 или .                            (9.12)

Величина

                                                 (9.13)

называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения стержня. Формулы (9.10), (9.12) справедливы для кругового и кольцевого се­чений.

Полярный момент инерции для круглого сечения найдем из (9.7), учи­тывая, что элементарная площадь пояска dA=2π∙ρ∙dρ (см. рисунок 9.4). Имеем

 или .                 (9.14)

Полярный момент сопротивления для круглого сечения 

 .                                            (9.15)

Для кольцевого сечения (с наружным D и внутренним d диаметрами) имеем

.                                  (9.16)

.                    (9.17)

Условие прочности и условие жесткости при кручении имеют вид

,                                          (9.18)

 или                            (9.19)

где [τ], [φ], [θ] – допускаемое касательное напряжение, допускаемый полный и допускаемый относительный углы закручивания соответственно.

Пример 9.1 - Для стального стержня кругового сечения (см. рисунок 9.3) требуется подобрать диа­метр из условия прочности при [τ] = 100 МПа, M₁=2 кН∙м, M₂=3 кН∙м, M₃=9 кН∙м, M₄=4 кН∙м. Для найденного значения диаметра проверить условие жесткости, если [θ]=3 град/м, модуль  сдвига для стали G=8∙10⁴ МПа.

Решение. Т.к. поперечное сечение стержня постоянно, опасными будут сечения на втором слева участке, где крутящий момент максимален, M_кр2 = 5 кН∙м.

Из условия прочности (9.18) находим м. Округляя в боль­шую сторону, выбираем окончательно D = 65 мм.

Определяем момент инерции поперечного сечения J_p=π∙D⁴/32=1,785∙10^{-5 м3}. Проверяем усло­вие жесткости =2,01 град/м < [θ]=3 град/м, т.е. условие жесткости выполняется.

Лекция 10. Геометрические характеристики поперечных сечений. Внутренние силовые факторы при изгибе

Содержание лекции: статические моменты, центр тяжести, моменты инерции, главные оси и главные моменты инерции плоских фигур; внутрен­ние силовые факторы при изгибе.

Цели лекции: изучить геометрические характеристики поперечных сечений стержня, используемые в теории изгиба стержней; изучить особен­ности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

10.1 Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим некоторую плоскую фигуру в системе ко­ординат x, y (см. рисунок 10.1). Интегралы  

         ,               (  10.1)

называются статическими моментами фигуры относительно оси x и оси y соответственно.

Выясним, как изменяются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (см. рисунок 10.2). Очевидно, что x = x₁ - a; y = y₁ - b.                    

Тогда

,

.

Величины а и b можно подобрать (причем единственным обра­зом) так, чтобы статиче­ские моменты и были равны нулю. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения централь­ных осей называется центром тяжести сечения.

В системе координат (x₁, y₁) координаты центра тяжести равны

         ,    .         (10.2)

Отметим, что статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

10.2 Моменты инерции сечения

Возвращаясь к рисунку 10.1, рассмотрим три интеграла

         ,                                              (10.3)

,                                               (10.4)

.                                           (10.5)

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y соответственно, третий - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y. Осевые моменты всегда положительны, центробежный может быть как положительным, так и отрицательным.

При параллельном переносе координатных осей (см. рисунок 10.2) моменты инерции изменяются в соответствии с формулами

,                                        (10.6)

,                                        (10.7)

 .                      (10.8)

Если x₁ и y₁ - цен­тральные, то  и

,                                             (10.9)

,                                           (10.10)

  .                                   (10.11)

Т.о., при параллельном переносе осей в случае, когда одна из осей – центральная, осевые моменты инерции изменяются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между осями. При этом  в семействе параллельных осей момент инерции относительно центральной оси минимален.

Пример 10.1 - Определить осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x₁, y₁ и x, y (см. рисунок 10.3).

Решение. В качестве элементарной пло­щадки dA возьмем полоску шириной b и высотой dy. Тогда

.

По формуле (10.9) получаем . (10.12)

Аналогично  получаем  , . Центробежный момент инерции  ввиду того, что оси  x и y являются осями  симметрии, а относительно осей  x₁ и y₁ равен.

Отметим, что моменты инерции составного сечения равны суммам моментов инерции составляющих областей.

10.3 Главные оси и главные моменты инерции

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сече­ния при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рисунка 10.4 легко установить, что

u = y∙ sin a + x ∙ cos a;     v = y∙  cos a - x∙  sin a .                   (10.13)

Из выражений

,                ,                                             

с учетом (10.13) после несложных преобразований получим

,      (10.14)

,      (10.15)

.               (10.16)

Складывая первые два уравнения, получаем

 (10.17)                   

Т.о., сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей постоянна и равна полярному моменту инерции плоской фигуры.

С помощью (10.17) несложно определить осевой момент инерции кругового сечения относительно диаметра. Т.к.  ввиду симметрии, то

                            (10.18)

Т.к. с изменением угла a значения  и . изменяются, а их сумма остается постоянной, то существует такое значение a=a₀, при котором один из моментов  или достигает своего максимального значения, другой – минимального. Значение a₀  найдем, исследуя на экстремум  или . Найдем

.                                         (10.19)

Оказывается, что при a=a₀  одновременно центробежный момент инерции  обращается в нуль. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые мо­менты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными мо­ментами инерции. Они определяются с использованием (10.14), (10.15) и (10.19) как

         .                      (10.20)

Радиусом инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси l называют величину, определяемую как           

.                                                (10.21)

10.4  Изгиб. Внутренние силовые факторы при изгибе

Изгибом называют такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает изгибающий момент M. Если при этом все остальные ВСФ равны нулю, то имеем чистый изгиб. Чаще наряду с M возникает поперечная сила Q, и тогда имеем поперечный изгиб.

При  решении задач изгиба важно уметь строить эпюры в.с.ф. Для этого используют метод сечений. Будем рассматривать изгиб стержня с горизонтальной в недеформированном состоянии осью, при котором все активные силы лежат в вертикальной плоскости (yz).

Поперечная сила в каком-либо сечении балки равна сумме проекций на вертикальную ось всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения (приложенных к части стержня, отсеченной рассматриваемым сечением)

.                                             (10.22)

Правило знаков для поперечной силы: если проекция равнодействующей внешних сил, лежащих слева от сечения (см. рисунок 10.5), направлена снизу вверх, то Q положительна, в противоположном случае отрицательна. Для правой части – наоборот.

         Изгибающий момент равен сумме моментов относительно поперечной оси рассматриваемого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения (приложенных к отсеченной части стержня)

.                                      (10.23)

Правило знаков для изгибающего момента: эпюру M строят на сжатом волокне, т.е., ординату M откладывают в сторону вогнутости упругой линии стержня (см. рисунок 10.5 б). Если какая-либо сила (или пара сил) стремится изогнуть стержень относительно рассматриваемого сечения выпуклостью вниз, то ее момент в (10.23) следует брать со знаком «плюс», в противоположном случае – со знаком «минус».

Пример 10.2 - Рассмотрим построение эпюр для стержня, приведенного на рисунке 10.6 а). Решение задачи начинаем с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответст­вующими реакциями (см. рисунок 10.5 б).

         Из ус­ловий равновесия опре­деляем реакции в опорах , .

            Сечением С на рас­стоянии z от левой опоры мысленно разде­лим стержень на две части, заменив дейст­вие отброшенной части силой Q и момен­том M.  По формулам (10.22) и (10.23) найдем

, .

            Для участка справа имеем

, .

            На рисунке 10.7 приведены эпюры, построенные по полученным выражениям для двух участков- первого (0 £ z £ a) и второго (a £ z £ a + b).

10.5  Дифференциальные    зависимости    между    изгибающим моментом и поперечной силой

Рассмотрим стержень (см. рисунок 10.8,а), нагруженный распределенной нагрузкой q(z). Показанное направление q счи­таем положительным. Составляя уравнения равновесия для элемента dz, вы­резанного из стержня (см. рисунок 10.8 б) и отбра­сывая величины высшего поряд­ка малости, полу­чаем дифференциальные зависимости Журавского между    интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом

 ,        ,       .                      (10.24)

          Из (10.24), в частности, следует, что при q = const функция Q  линей­ная, а функция M - квадратичная. Если на каких-то участках бруса распределен­ная нагрузка отсутствует (q = 0), то Q = const, а M - линейная функция от z.

         В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q претерпе­вает скачок на величину внешней силы. И, наконец, в тех сечениях, где Q принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстре­мальных значений. В сечениях, где приложен внешний момент, эпюра M претерпе­вает скачок на величину внешнего момента.

Лекция 11  Напряжения  и расчеты  на прочность  при изгибе.  Перемещения при изгибе

Содержание лекции: напряжения и расчеты на прочность при чистом и поперечном изгибе; перемещения и расчеты на жесткость при изгибе.

Цели лекции: сформулировать условия прочности при изгибе; получить дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня, рассмотреть его интегрирование.

11.1 Напряжения при чистом изгибе

При чистом изгибе имеем Q=0, M=const. Под действием M стержень изгибается. В случае однородного стержня изменение кривизны всех участков одинаково. При этом справедлива гипотеза плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные недеформированной оси стержня до нагружения, остаются плоскими и перпендикулярными деформированной оси стержня после нагружения. Тогда деформации при чистом изгибе можно рассматривать как результат поворота поперечных сечений друг относительно друга (см. рисунок 11.1). Рассмотрим два сечения, расположенных на расстоянии dz друг от друга. В результате поворота правого сечения относительно левого на угол dθ верхние слои удлинятся, нижние укоротятся. Существует слой, в котором удлинения отсутствуют – это нейтральный слой CD. Между радиусом кривизны нейтрального слоя ρ, углом dθ и  длиной  dz существует зависимость dz= ρ∙dθ. Деформация произвольно взятого отрезка AB длиной dz равна

.                                (11.1)

         Согласно закону Гука

.                                       (11.2)

         Т.о., при чистом изгибе напряжения распределяются в поперечном сечении по линейному закону. Нейтральная линия (НЛ) – это геометрическое место точек, в которых σ=0; очевидно, она перпендикулярна плоскости кривизны изогнутого стержня.

Т.к.  при чистом изгибе, то , т.е. НЛ проходит через центр тяжести поперечного сечения. Мы рассматриваем частный случай изгиба, при котором изогнутая ось стержня лежит в плоскости действия момента M . Тогда

,                    (11.3)

.                    (11.4)

         Из (11.4) следует, что , т.е., изменение кривизны стрежня в плоскости M имеет место тогда, когда плоскость M проходит через одну из главных осей инерции сечения. Такой изгиб называется прямым в отличие от косого, при котором плоскость M и плоскость кривизны стержня не совпадают.

         Из (11.3) получаем выражение для кривизны стержня

.                                                 (11.5)

         Здесь  - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. Величина  называется жесткостью стержня при изгибе.

         Подставляя (11.5) в (11.2), получаем выражение для напряжения σ

.                                                (11.6)

Максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии

                                             (11.7)

         где  - момент сопротивления сечения изгибу.          

Условие прочности при чистом изгибе имеет вид

                                           (11.8)

где - допускаемое напряжение.

Отметим, что в случае материала стержня, неодинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, бывает необходимым выполнять расчет на прочность как по максимальным растягивающим, так и по максимальным сжимающим напряжениям. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых при одинаковой площади получаются наибольшие значения - это, например, стандартные прокатные профили типа двутавров, швеллеров (см. рисунок 11.2) и др.

11.2 Напряжения и расчеты на прочность при поперечном изгибе

При поперечном изгибе Q≠0, M=vary, в поперечных сечениях стержней возникают не только нормальные напряжения σ, но и касательные τ. Возникновение τ сопровождается появлением угловых деформаций γ, и т.к. τ распределены γ по сечению неравномерно, поперечные сечения стержня не остаются плоскими. Однако на значениях σ не сказывается заметным образом, и формулы (11.5) и (11.6) можно считать справедливыми с достаточной точностью.

         Считая, что по ширине b напряжения τ в поперечном сечении распределены равномерно, удобно их определить через парные им напряжения в продольном сечении, расположенном на расстоянии y от НЛ (см. рисунок 11.3). Записывая уравнения равновесия для отсеченной продольным сечением части элемента длиной dz, получаем формулу Журавского для касательных напряжений

                                                   (11.9)

где  - статический момент относительно оси x части площади, расположенной выше продольного сечения.

В большинстве случаев τ не сказываются на прочности стержней (исключая тонкостенные и короткие стержни). Тогда для стержней постоянного поперечного сечения, изготовленных из материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие, условие прочности при поперечном изгибе имеет вид

                                           (11.10)

Пример 11.1 – Требуется проверить прочность балки прямоугольного сечения, показанной на рисунке 11.4,а,б. Дано: F= 4 кН, l=1.2 м, b= 40 мм, h= 60 мм, [σ]= 160 МПа. Проанализировать влияние касательных напряжений на прочность балки.

Решение. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Поперечная сила постоянна по длине балки, а изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение в заделке (опасное сечение) =F∙l=4.8 кН∙м. Момент сопротивления изгибу W_x =b∙h²/6=2.4∙10⁴ мм³. Проверяем условие прочности

 МПа>[σ]=200 МПа – условие прочности не выполняется.

            Оценим влияние τ на прочность балки.  Эпюра распределения σ по поперечному сечению показана на рисунке 11.4,в, в опасном сечении . Определим напряжения τ. Имеем . Касательные напряжения по (11.10) равны , эпюра показана на рисунке 11.4,г. Наибольших значений τ достигают в точках на НЛ, где , а σ нулевые. В наиболее удаленных от НЛ точках, где σ максимальны, напряжения τ нулевые. При этом отношение =4l/h, т.е. для длинной балки касательные напряжения пренебрежимо малы.

11.3  Дифференциальное уравнение  изогнутой оси стержня и его интегрирование

При прямом изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок, точки оси по­лучают поперечные перемещения v, а поперечные сечения поворачиваются относительно нейтральной оси. Углы поворота поперечных сечений θ равны углам наклона каса­тельной к изогнутой оси балки (см. рисунок 11.5). Прогибы и углы поворота сечений являются функциями коор­динаты z и их опре­деление необходимо для расчета балок на жест­кость. Совместив начало системы координат zy с левым концом балки, видим, что v(z)=y(z), tgθ(z)=y′(z), где y(z) – уравнение изогнутой оси стержня. Т.к. углы θ малы, то tgθ≈θ, так что (z)=y′(z). Т.о., задача определения v и θ сводится к определению уравнения изогнутой оси стержня y(z). Считаем, что справедлива зависимость (11.5). Для кривой y(z) кривизну можно выразить как  . Т.к. <<1, имеем   . Тогда получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

.                 (11.11)

Интегрирование этого уравнения в аналитическом виде возможно лишь для простых случаев. Получающиеся при этом постоянные интегрирования находят из граничных условий.

Пример 11.1 – Для балки, изображенной на рисунке 10.6, считая жесткость балки постоянной, определить уравнение изогнутой оси.

Решение. Имеем 2 участка, для которых последовательно записываем

Постоянные интегрирования определяем из граничных условий закрепления стержня и условий непрерывности прогибов и углов поворота сечений при переходе от первого участка ко второму участку: при z=0 y_I=0; при z=(a=b)=l y_II=0; при z=a y_I=y_II; при z=a y_I′=y_II′. Отсюда находим

, , , .

После преобразований получим

,       .

Лекция 12  Сложное сопротивление

Содержание лекции: косой изгиб, внецентренное растяжение (сжатие), изгиб с кручением.

Цели лекции: рассмотреть расчеты на прочность при сложном сопротивлении стержня.

12.1 Косой изгиб

При косом изгибе плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (см. рисунок 12.1). Косой изгиб удобно рассматривать как одновременный изгиб стержня относи­тельно главных осей x и y. Для этого общий вектор изгибающего момента М раскладывают на составляющие M_x = M×sina и M_y = M×cosa .         Нормаль­ное напряжение в точке, имеющей координаты x и y, определяется как

.                  (12.1)

Напряжения пропорциональны расстоянию точки от нейтральной линии (НЛ), уравнение НЛ имеет вид

.              (12.2)

При косом изгибе НЛ не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, т.к. J_x≠J_y, т.е., стержень «предпочитает» изги­баться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб меньше.

12.2 Внецентренное растяжение-сжатие

При внецентренном растяжении (сжатии) равнодействующая внешних сил F не совпадает с осью стержня, как при простом растяжении, а смещена относи­тельно оси z и параллельна ей (см. рисунок 12.2). При этом в по­перечных сечениях стержня возникает нормальная сила N= F и изги­бающие моменты M_x = F×y₀  и M_y = F×x₀  (здесь x₀ , y₀ – координаты точки А приложения силы F). Нормальное напряжение s  в произвольной точке В с коорди­натами x, y равно

.                               (12.3)

Напряжения пропорциональны расстоянию точки от нейтральной линии (НЛ), уравнение которой имеет вид  или    .       (12.14)

Расстояние от начала координат до НЛ (см. рисунок 12.3) равно

.                     (12.5)

При совместном действии изгиба и растяжения (или сжатия), используя, как и выше, принцип независимости действия сил, находят суммарные нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня и расчет на прочность во всех этих случаях выполняют по суммарному напряжению.

12.3 Изгиб с кручением

Будем рассматривать стержни кругового поперечного сечения, испытывающие одновременное действие изгиба и кручения. В поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, связанные с изгибающим моментом, и касательные напряжения, связанные с крутящим моментом (касательными напряжениями от действия поперечных сил пренебрегаем).

Наибольшие напряжения возни­кают в точках A и B (см. рисунок 12.4,а)

, ,    (12.6)

при этом имеем частный случай сложного напряженного состояния - т.н. упрощенное плоское напряженное состояние, показанное на рисунке 12.4,б.

         Для возможности суждения о прочности материала в условиях сложного напряженного состояния вводят понятие эквивалентного напряжения – это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце с тем, чтобы оно было равноопасным (имело одинаковый запас прочности) с оцениваемым напряженным состоянием.

         В рассматриваемом случае эквивалентное напряжение по 3-й и 4-й теориям прочности определяются по формулам

,    .                         (12.7)

         Подставляя сюда (12.6) и учитывая, что для круглого сечения W_p=2 W_кр, получаем условия прочности для стержней круглого поперечного сечения, испытывающих одновременное действие изгиба с кручением

,  .     (12.8)

Список литературы

1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В. И. Дронг, B. В. Дубинин, М. М. Ильин и др.; Под общ. ред. К. С. Колесникова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. - 736 с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для машиностр. и приборостроит. спец. вузов - М.: Высш. шк., 1990. - 607 с.

3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для студентов технических вузов - М.: Высш. шк., 2007. – 416  с.

4. Кирсанов М. Н. Решебник. Теоретическая механика /Под ред. А. И. Кириллова. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 384 с.

5. Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Теоретическая механика. – Харьков: Изд-во Нац. ун-та внутр. дел, 2004. - 244 с.

6. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 2003. – 352 с.

7. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учебник для вузов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. – 592 с.

8. Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для немашиностроит. спец. вузов. – М.: Высш. шк., 1988. – 367 с.

9. Зозуля В.В., Мартыненко А.В., Лукин А.Н. Механика материалов. – Харьков: Изд-во Нац. ун-та внутр. дел, 2001, 404 с.

10. Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с.

11. Агамиров Л.В. Сопротивление материалов: Краткий курс. Для студентов вузов. – М.: ООО «Издательство Астрель», 2003. – 256 с.

12. Олофинская В.П. Техническая механика. Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий. – М.: Форум:Инфра-М, 2007. - 349 с.

         13. Механика. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ /Сост. А.Д.Динасылов. – Алматы: АИЭС, 2006. – 42 с.

         14. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. – М.: Высш. шк., 1994. – 206 с.

         15. Динасылов А.Д. Прикладная механика. Основы расчетов на прочность и жесткость: Учеб. пособие. – Алматы: АИЭС, 2009. – 84 с.