АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

 

 

Кафедра инженерной графики и прикладной механики

 

 

 

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

Методические указания и задания

к выполнению расчетно-графических работ

 

(для студентов всех форм обучения специальностей 050702 –

Автоматизация и управление, 050717 – Теплоэнергетика)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2006

СОСТАВИТЕЛЬ: А.Д. Динасылов. Прикладная механика. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ (для студентов всех форм обучения специальностей 050702 – Автоматизация и управление, 050717 – Теплоэнергетика). - Алматы:  АИЭС,  2006. – 37 с.

 

 

 

Дисциплина «Прикладная механика» является для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям  050702 – Автоматизация и управление, и 050717 – Теплоэнергетика, дисциплиной по выбору. В данной методической разработке, предназначенной для студентов этих двух специальностей, приводятся  задания к расчетно-графическим работам, методические указания к их выполнению, примеры выполнения работ. Дан список рекомендуемой литературы.

Ил. 22, табл. 15, библиогр. – 10 назв.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рецензент: канд. техн. наук, доцент М.Ш. Мукашев.

 

 

 

 

 

Печатается по плану издания Алматинского института теплоэнергетики и связи на 2006 г.

 

 

 

© Алматинский институт теплоэнергетики и связи, 2006 г.

1 Общие требования и указания к выполнению расчетно-графических работ

 

Согласно учебным планам студенты, обучающиеся по специальности «Автоматизация и управление», выполняют 3 расчетно-графические работы (РГР), а обучающиеся по специальности «Теплоэнергетика», выполняют 4 РГР по дисциплине «Прикладная механика» в соответствии с числом кредитов, отводимых на изучение дисциплины. Тематика РГР относится к разделам «Теоретическая механика», «Теория механизмов» и «Сопротивление материалов» курса.

Условия задач приведены в десяти схемах и десяти вариантах. Студент должен взять для выполнения номер схемы, который показан римскими цифрами на соответствующем рисунке, по последней цифре шифра зачетной книжки, а вариант с цифровыми данными из соответствующей таблицы – по предпоследней цифре шифра. Так, студент, зачетная книжка которого имеет шифр 96472, должен для каждой задачи выбрать схему II и цифровые данные, соответствующие варианту 7. Если последняя цифра шифра нуль, то следует взять схему X, а если предпоследняя цифра нуль, то данные из таблицы принимаются по варианту 10.

При окончательной сдаче РГР каждая работа должна быть сброшюрована отдельно. Выполненная работа состоит из текстовой и графической частей. Оформление работы должно выполняться четким почерком на листах белой бумаги формата А4. Объем графической части в задачах 3 и 4 - два листа формата А3 (по одному на задачу). В этих задачах каждое графическое построение или группа однотипных построений должны иметь поясняющую надпись и масштабный коэффициент (с размерностью), который следует выбирать так, чтобы построения были доста­точно крупными, и листы не имели пустых мест.

 Каждая РГР должна содержать титульный лист, и по каждой задаче, входящей в РГР, должны быть приведены задание, выполненные расчеты, графические построения, выводы. Работа должна быть оформлена согласно принятым нормам (СТП 768-01-07-97); на листах текст должен быть только с одной сто­роны, в конце каждой РГР должен быть приведен список использованной литературы. Как графическая, так и расчетная  часть работы, а также текстовый материал могут быть выполнены с помощью компьютерных средств.

Для студентов специальности «Автоматизация и управление» РГР №1 включает задачи 1, 2, РГР№2 – задачу 3, РГР№3 – задачи 5, 6. Студенты специальности «Теплоэнергетика», кроме перечисленных выше работ, выполняют еще РГР №4, включающую в себя задачу 4.

Прежде чем приступать к решению задачи, студент должен ознакомиться с соответствующим теме задачи теоретическим материалом по лекциям, учебникам и учебным пособиям, с указаниями к решению задачи и примером, приведенными в настоящей методической разработке.

Выполненные РГР должны быть защищены студентов. Для защиты надо ответить на 2-3 вопроса по теме или решить подобную задачу.

 

2 Задачи, входящие в расчетно-графические работы, указания к их выполнению и примеры

 

2.1 Задача 1. Равновесие пространственной системы сил

 

Однородная прямоугольная плита весом P = 6 кН со сторонами AB = 3l, BC = 2l закреплена в точке A сферическим шарниром, а в точке B цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем CC' (рисунок 1). На плиту действует пара сил с моментом М = 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Таблица 1

Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в таблице 1; при этом силы  и  лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила  - в плоскости, параллельной плоскости xz, сила - в плоскости, параллельной плоскости yz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, B и C.

При окончательных подсчетах принять l = 1,0 м.

Указания. Эта задача является задачей на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении нужно учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы зачастую удобно разложить ее на составляющие и , параллельные координатным осям; тогда, по теореме Вариньона, и т.д.

Пример 1. Вертикальная прямоугольная плита весом P (рисунок 2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем  DD´, лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила  (в плоскости xz), сила  (параллельная оси y) и пара сил с моментом М ( в плоскости плиты).

Дано: P=5 кH, M=3 кH·м, F₁=6 кH, F₂=7,5 кH, α= 30⁰, AB=1 м, ВС=2 м, СЕ=0,5АВ, ВК=0,5ВС.

Определить: реакции опор А, В и стержня DD´.

Решение:

а) рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы ,  и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие  ,, , цилиндрического (подшипника) – на две составляющие , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня направим вдоль стержня, предполагая, что он растянут;

б) для определения шести неизвестных реакций составляем  шесть уравнений равновесия для действующей на плиту пространственной системы сил:

                                                                                         (1)

                                                                       (2)

                                                          (3)

                                                                (4)

 (5)

                                                                (6)

Для определения момента силы  относительно оси  разлагаем  на составляющие   и , параллельные осям x и z , и применяем теорему Вариньона. Аналогично можно поступить при определении моментов реакции  .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин и решив эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

Ответ: X_A=-5,2 кН, Y_A=-3,8 кН, Z_A=28,4 кН, Y_B=-7,5 кН, Z_B=-12,4 кН, N=14,5 кН. Отрицательный знак указывает, что силы ,  и  направлены противоположно направлениям, показанным на рисунке 2.

 

2.2 Задача 2. Задача на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы    

 

Механическая система (рисунок 3) состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f = 0,1), цилиндрического сплошного однородного катка 3 и ступенчатых шкивов 4 и 5 с радиусами ступеней R₄ = 0,3 м, r₄ = 0,1 м, R₅ = 0,2 м, r₅ = 0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу). Тела системы соединены друг с другом гибкими нерастяжимыми нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием силы F = F(s), зависящей  от      перемещения    точки   приложения  силы,   система  приходит  в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 4 и 5 действуют постоянные моменты сил сопротивления, равные соответственно M₄ и M₅.

Значения масс и моментов сопротивлений принять по таблице 2; там же указана величина, которую требуется определить (здесь обозначено: v₁ – скорость груза 1, v_С3 – скорость центра масс катка, w₄ – угловая скорость тела 4 и т.д.). Значение искомой величины нужно найти для момента времени, когда перемещение точки приложения силы F равно s₁. В случае, когда какая-либо масса равна нулю, соответствующий груз  на схеме изображать не следует.

Указания. Задача 2 является задачей на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы (раздел «Основы динамики твердого тела и системы»). При решении задачи следует учитывать, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел. Эту энергию надлежит выразить через ту  скорость,  которую  требуется  определить в задаче. При вычислении энергии катка, находящегося в плоскопараллельном движении, для установления зависимости между угловой скоростью и скоростью его центра масс нужно воспользоваться понятием о мгновенном центре скоростей. При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение s₁, учитывая, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями.

 

 

    Таблица 2

 

    Продолжение таблицы 2

 

Пример 2. Механическая система (рисунок 4) состоит из сплошного цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней  r₂ и   R₂ (массу шкива считать распределенной равномерно по его ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен f ). Тела системы соединены между собой гибкими нерастяжимыми нитями, намотанными на шкив 2. Под действием силы  F =F(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. На шкив при движении

 

 

 

 

 

Таблица 2

 

Пример 2. Механическая система (рисунок 4) состоит из сплошного цилиндрического катка 1, ступенчатого шкива 2 с радиусами ступеней  r₂ и   R₂ (массу шкива считать распределенной равномерно по его ободу) и груза 3 (коэффициент трения груза о плоскость равен f ). Тела системы соединены между собой гибкими нерастяжимыми нитями, намотанными на шкив 2. Под действием силы  F =F(s), зависящей от перемещения s точки ее приложения, система приходит в движение из состояния покоя. На шкив при движении действует момент сил сопротивления  M₂.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определить: скорость центра масс катка v_С1 в момент времени, когда  s = 

 = s₁.

Дано:   m₁ = 4 кг;  m₂ = 10 кг;  m₃ = 8 кг; R₂ = 0,2 м;  r₂ = 0,1 м; f = 0,2;  M₂ =  =0,6 Н·м;   F = 2(1 +2s) Н;  s₁ = 2 м.

Решение.

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из тел 1, 2 и 3, соединенных нитями. Изобразим все действующие на систему внешние силы: активные , момент сопротивления M₂, реакции  и силы трения  .

Скорость v_С1 будем определять, исходя из теоремы об изменении кинетической энергии системы. Эта теорема гласит, что изменение кинетической энергии системы за какое-либо время движения равно сумме работ, которые совершают все внешние силы, действующие на систему, за тот же отрезок времени

T-T₀  = A.                                                               (1)

Определяем  T₀ и T. Так как в начальный момент система находится в покое, то T₀ = 0. Величина T равна сумме энергий всех тел системы

      T = T₁+T₂+T₃.                                                             (2)

Учитывая, что тело 1 движется плоскопараллельно, тело 3 – поступательно, а тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, получаем

T₁ = ,      T₂ = ,      T₃ = .                      (3)

Все скорости, входящие в это выражение, нужно выразить через искомую скорость v_С1. Учитывая, что точка K₁ является мгновенным центром скоростей катка 1, и, обозначив радиус катка через  r₁, получаем

      ,        ,       .                             (4)

Моменты инерции определяются как

                          I_C1 = 0,5m₁·r,              I₂ = m₂·R,                                             (5)

Подставляя выражения (6) и (5) в формулы (3) и используя равенство (2), получаем

                  T = .                                       (6)

Находим сумму работ всех действующих на систему сил на перемещениях, соответствующих перемещению  точки С₁ на величину s₁. При этом все перемещения выразим через  s₁, для чего учтем, что зависимости между перемещениями имеют такой же вид, как зависимости между соответствующими скоростями в формулах (4), то есть:  φ₂ = s₁/R₂,  s₃ = s₁ (r₂/R₂). Тогда

                     A() = ,

                     A() = G₁·s₁·sin60˚,       

                     A() = - M₂·= - M₂,

                     A() = - G₃·s₃sin30˚= - G₃·s₁sin30˚,

                      A() = - F_3ТР·s₃ = - f·G₃·cos30˚·s₁.

Работа остальных сил равна нулю, так как точка  K₁, где приложены силы   и – мгновенный центр скоростей, точка O, где приложены   и , неподвижна, а реакция  перпендикулярна перемещению груза 3. Тогда окончательно

                                                 (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в уравнение (1) и учитывая, что  T₀ = 0, получаем

  =

= 2() + G_1·s_1·sin60˚ - M₂ - G_3·s₁sin30˚ .           (8)

Подставляя сюда числовые значения, найдем

v_C1= 0,23 м/с.

 

2.3 Задача 3. Кинематический анализ механизма

 

Для заданных схемы механизма (рисунки А.1-А.10 в приложении А), варианта числовых данных (таблицы А.1-А.10 в приложении А) и расчетного положения требуется выполнить следующее:

а) построить план положений механизма (при общем изображении стойки) согласно равноотстоящим пронумерованным положениям входного звена 1, показанным на схеме механизма. Размеры звеньев согласно обозначению их точек на схеме механизма и значение угловой скорости w₁ входного звена 1 указаны в соответствующем вертикальном столбце таблицы числовых данных;

б) для расчетного положения механизма построить план скоростей. На плане показать векторы скоростей всех точек, обозначенных на схеме механизма буквами, в том числе и точек S - центров масс звеньев, которые при стержневой форме звена считать находящимися на серединах их полных длин;

в) построить план ускорений механизма для расчетного положения механизма. Найти векторы ускорений всех точек, указанных в пункте б.

Указания. Для успешного выполнения контрольных работ рекомендуется:

а) изучить теоретический материал по теме  работы, используя учебную  и методическую литературу, например, [2-4], а также конспект лекций;

б) проработать   материал §6 сборника задач [4]: ознакомиться с методическими указаниями, содержащими подробно разобранные примеры (с.37-39, 43-56);  просмотреть задачи 91-126, ответы к которым приведены в графической форме;

в) для задач 3 и 4, кроме номера схемы и варианта, задается расчетное положение механизма, которое следует принять по третьей от конца цифре шифра зачетной книжки. 

Пример. Для кривошипно-ползунного механизма (схема I на рисунке А.1) выполнить решение по условиям задачи 3 при следующих числовых данных: l_OA = =22 мм = 0,022 м; l_e = 16 мм = 0,016 м; l_AB = 75 мм = 0,075 м; l_AE = 35 мм = 0,035 м; w₁ = 30 рад/c. Расчетное положение – 1.

Решение.

Начнем выполнение задания с вычерчивания расчетного положения механизма.

Выбираем масштаб плана положений

m_l  = 1·10^-3 м/мм.

Тогда           мм.

Остальные размеры определяются аналогично:

e =16 мм;  АВ = 75 мм;  АЕ = 35 мм;  ВЕ = АВ + АЕ = 110 мм.

Методом засечек строим расчетное положение механизма (рисунок 5).

Построение плана скоростей.

Скорость точки А направлена перпендикулярно ОА в сторону вращения кривошипа и равна

v_A=w₁·l_OA=30·0,022=0,66 м/c.

Будем изображать вектор скорости точки A на планах скоростей вектором ; длину вектора назначим, например, равной 40 мм (здесь точка p является полюсом плана скоростей). Тогда масштаб плана скоростей

 м·с^-2/мм.

Скорость точки В может быть определена из векторного равенства

Здесь и во всех других векторных соотношениях одинарное подчеркивание вектора означает, что известно его направление (показанное под подчеркиванием), а двойное подчеркивание означает, что известны как его направление, так и его величина (модуль). Под векторами указаны их направления. Скорость точки B на плане скоростей (рисунок 5) изображается вектором  .   Вектор     изображает  относительную  скорость  . Точку e, определяющую скорость точки E, найдем, пропорционально увеличив длину отрезка ab.

 

 

 

 

        

 

 

 

Не будем строить отдельно план для звена 3 - это часть плана сил группы 2-3, предоставленная многоугольником mnopt. Пунктиром показана реакция, действующая на ползун со стороны шатуна. Из плана получаем  Н.

Переходим к силовому анализу кривошипа.

Вычертим в масштабе кривошип ОА в расчетном положении и приложим к нему, кроме найденных выше сил, движущий момент M_дв, совпадающий по направлению с угловой скоростью кривошипа (рисунок 6).

Движущий момент найдем из уравнения кинетостатики  или

-(G₁·g₁ + R₂₁·r₁)·m_l – M_дв = 0.

Из чертежа g₁ = 5,5 мм,  r₁ = 0,4 мм. Тогда

M_дв = -(G₁· g₁ + R₂₁r₁)·m_l = -(2,2·5,5 + 18,9·0,4)·65·10^-2 = -19,7 H·м.

Знак минус указывает, что момент направлен противоположно угловой скорости, то есть он является не движущим, а уравновешивающим моментом.

Считая, что в расчетном положении движение кривошипу передается силой, приложенной в точке А перпендикулярно кривошипу, найдем уравновешивающую силу

 Н.

Найдем реакцию в шарнире О с учетом силы F_ур. Для этого построим план сил для звена 1 (рисунок 6) согласно уравнению  или

.

Отсюда находим (G и Ф₁ малы и на плане сил не показаны) R₀₁ = 940 H.

 

2.5 Задача 5. Расчет на прочность при растяжении-сжатии

 

Для заданной схемы (рисунок 7) проверить прочность стержней, работающих на растяжение и (или) сжатие, приняв допускаемое напряжение на растяжение [s_р] = 160 МПа и на сжатие [s_с] = 120 МПа. Данные взять  из  таблицы 3.

Указания. Задача 4 является задачей проверочного расчета на прочность при растяжении-сжатии. Для решения задачи следует проверить выполнение условия прочности для элементов конструкции, для чего следует сравнить расчетные напряжения с допускаемыми напряжениями. Расчетные напряжения определяются через значения продольных усилий в стержнях; для нахождения последних используются уравнения равновесия, которые в зависимости от расчетной схемы (произвольная плоская система или плоская система сходящихся сил) имеют тот или иной вид. Для плоской системы сходящихся сил можно составить два независимых уравнения равновесия, а для произвольной плоской системы сил можно составить три уравнения.

Для  рассматриваемых в данной задаче схем в последнем случае необходимости в составлении всех трех уравнений равновесия нет, так как нас интересует только продольная сила в растянутом или сжатом стержне, поэтому можно обойтись одним уравнением равновесия.

Таблица 3

Вари -ант	F1, кН	F2, кН	a, град	b, град	a, м	b, м	Сечения стержней
							1	2
1	40	35	50	45	0,7	0,7	уг 40´3	Æ25
2	45	30	55	40	0,6	0,4	2 уг 20´4	Æ11
3	50	25	60	35	0,5	0,7	2 уг 25´4	Æ12
4	55	20	65	40	0,4	0,8	уг 45´3	Æ14
5	60	15	70	45	0,8	0,5	2 уг 45´4	Æ16
6	40	35	50	45	0,7	0,7	2 уг 20´3	Æ18
7	15	45	25	60	1,2	0,8	уг 50´3	Æ20
8	20	50	30	65	1,0	0,7	уг 50´4	Æ20
9	25	55	35	70	0,8	0,6	2 уг 36´3	Æ12
10	30	60	40	75	0,9	0,5	2 уг 32´3	Æ10
Примечания 1 Обозначение уг 50´4 означает, что стержень изготовлен из равнобокого уголка с шириной полок 50 мм и толщиной полок 4 мм; обозначение 2 уг 403 означает, что стержень составлен из двух равнобоких уголков с шириной полок 40 мм и толщиной полок 3 мм; знак Æ означает, что стержень имеет круглое поперечное сечение с диаметром, указанным после этого знака. 2 На некоторых схемах рисунка 7 отдельные параметры, указанные в таблице 3, отсутствуют; в таких случаях численные значения этих величин не следует принимать во внимание.             3 Для схем, где имеется два стержня, работающих на растяжение (сжатие), расчет следует выполнить для обоих стержней.

 

 

 

 

Пример 4. Для заданной схемы (рисунок 8 а) проверить прочность стержня 1, работающего на растяжение или сжатие, приняв допускаемое напряжение на растяжение [s_р]=160 МПа и на сжатие [s_с]=120 МПа. Дано: F₁ = 60 кН, a = 60°, а = 1,2 м,   b = 0,8 м, сечение стержня - 4 уголка 36´3.           

Условие прочности при растяжении-сжатии имеет вид

         где

σ – расчетное напряжение в поперечном сечении стержня;

N – нормальная (продольная) сила;

А – площадь поперечного сечения;

[σ] – допускаемое напряжение (на растяжение или сжатие соответственно тому, что испытывает стержень).

Определим продольную силу в стрежне 1. Отбросим мысленно шарнирную опору в точке B, заменив ее действие двумя реакциями H_A  и V_A, а также разрежем стержень 1, заменив действие отброшенной части силой N (рисунок 8 б). Имеем произвольную плоскую систему сил. Три неизвестные силы H_A, V_A, и N могут быть определены из трех уравнений равновесия. Однако в рассматриваемой задаче реакции H_A  и V_A  можно не определять, так как нас интересует только нормальная сила N в стержне 1. Уравнение равновесия запишем в виде å М_А = 0, тогда реакции H_A  и V_A  в него не войдут. Имеем

N×a - F₁×(a+b)×sin a = 0,

откуда

N = F₁×(a+b)×sin a)/а = 60 ×(1,2+0,8)×sin 60°/1,2 =   86,7 кН (стержень 1 сжат).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим площадь поперечного сечения стержня 1. Так как стержень представляет собой 4 уголка 36´3, то его поперечное сечение найдем как удвоенное значение площади поперечного сечения уголка, которое найдем в таблицах прокатных профилей. Находим A_уг = 2,1 см² и площадь поперечного сечения стержня A=4A_уг=840 мм².

Определим нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней и сравним с допускаемым напряжением

Условие прочности выполняется для стержня  и для конструкции в целом.

 

2.6 Задача 6. Расчет на прочность и жесткость при кручении

 

К стальному валу приложены четыре момента (рисунок 9, таблица 4). Требуется: построить эпюру крутящих моментов; при заданном значении допускаемого напряжения при кручении  определить диаметры вала d и d₁ из расчета на прочность; построить эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса; вычислить угол закручивания концевого сечения вала при найденных размерах.

 

Таблица 4

 

Указания. Задача 6 является задачей проектного расчета на прочность при кручении. Для решения задачи следует прежде всего построить эпюру крутящих моментов, а затем из условия прочности при кручении выразить полярный момент сопротивления поперечных сечений. Далее по формуле полярного момента нужно найти необходимые значения диаметров вала. После того, как диаметры вала на двух участках будут определены, можно построить эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса, причем на эпюре можно откладывать абсолютные значения максимальных касательных напряжений, так как для изотропного материала знак касательных напряжений не имеет значения. Последний пункт задания – определение угла закручивания концевого сечения вала - относится к расчетам на жесткость; здесь по найденным диаметрам надо подсчитать значения полярных моментов инерции, а затем воспользоваться формулой для определения угла закручивания.

Пример 5. Решить по приведенным выше условиям задачу для схемы, показанной на рисунке 10 а, приняв а = 1,1 м, b = 1,5 м, с = 1,2 м, [t] = 85 МПа, М₁ = 0,8 кН×м, М₂ = 1,1 кН×м, М₃ = 0,5 кН×м, М₄ = 0,6 кН×м.

Решение. Сначала построим эпюру крутящих моментов T. Для этого воспользуемся формулой  T=∑M и правилом знаков для крутящих моментов. Начинаем строить эпюру от незакрепленного конца вала (рисунок 10 б). Тогда

T₄=M₄=0.6 кН×м,

T₃=M₃+M₄=1.1 кН×м,

T₂=M₂+M₃+M₄=2 кН×м,

T₁=M₁+M₂+M₃+M₄=3 кН×м.

Теперь по заданному значению допускаемого напряжения при кручении [t] определим диаметры вала d и d1 из расчета на прочность.

Найдём диаметр вала d, общий для двух участков слева. Из условия прочности вала при кручении следует, что полярный момент сопротивления поперечного сечения вала должен отвечать условию

Так как для круглого сечения

, то

Аналогично найдём диаметр d₁, общий для двух участков справа

Окончательно примем значения диаметров вала из ряда предпочтительных чисел d=56 мм и d₁=40 мм. Очевидно, что при этом будет некоторая перегрузка по напряжениям, однако в дальнейшем мы убедимся, что она пренебрежимо мала.

Чтобы построить эпюру максимальных касательных напряжений τ_max по длине бруса, сначала пересчитаем значения полярных моментов сопротивления. Найдем

,

.

Тогда τ_max определятся, как

I участок:    ,

II участок:    ,

III участок: ,

IV участок: .

Как видим, максимальная перегрузка имеет место на 3-м участке и составляет

, что можно считать приемлемым.

Эпюра τ_max приведена на рисунке 10 в.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим угол закручивания концевого сечения вала при найденных размерах. Для этого предварительно определим значения полярных моментов инерции поперечных сечений вала, входящих в формулы J_p J_p¹ для углов закручивания. Получаем

мм⁴,   мм⁴.

Теперь, принимая модуль сдвига G для стали, равным 8·10⁴ МПа, найдем углы закручивания граничных сечений вала, воспользовавшись формулами для угла закручивания

, где .

Просчитаем все φ

,

,

,

.

В рассматриваемом случае крутящий момент на всех участках имеет один знак, поэтому значение угла закручивания везде возрастает – все сечения закручиваются по часовой стрелке, если смотреть со стороны правого торца вала. Если знак крутящих моментов будет разным на участках, то и знак приращения угла закручивания на различных участках будет соответственно разным.

 

2.7 Задача 7. Проектный расчет на прочность при изгибе

 

Для заданной схемы балки (рисунок 11) требуется: а) написать выражения для поперечной силы Q и изгибающего момента M для каждого участка в общем виде; б) построить эпюры Q и M; в) из условия прочности выбрать сечение балки в виде стандартного прокатного двутавра или швеллера, приняв для стали Ст.3 допускаемое напряжение [s] = 160 МПа. Данные взять из таблицы 5.

 Указания. Эта задача относится к теме «Изгиб». Так как рассматривается балка на двух опорах, то прежде всего надо определить опорные реакции из уравнений статики и проверить их правильность. При построении эпюр также следует контролировать их правильность, в том числе и с помощью дифференциальных зависимостей Журавского между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки. В частности, следует помнить, что изгибающий момент имеет экстремальное значение в сечении, где поперечная сила проходит через нулевое значение.

Опасным с точки зрения прочности сечением для балки постоянного поперечного сечения, изготовленной из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, является то сечение, где максимален по абсолютной величине изгибающий момент.

Так как задача представляет собой задачу проектного расчета, то далее следует выразить из условия прочности при изгибе необходимую величину осевого момента сопротивления поперечного сечения W_x. По этому значению для стандартных прокатных профилей определяют по таблицам сортамента номер профиля с ближайшим и, как правило, большим значением W_x.  После этого следует определить недогрузку или перегрузку балки в процентах. При решении данной задачи перегрузку более 4% будем считать недопустимой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Таблица 5

Вариант	Значения величин
	l2,  м	a1/a	а2/a	а3/a	F, кН	M, кН· м	q, кН/м	Тип профиля
1	10	2,0	0,8	1,6	5	14	20	двутавр
2	9	2,2	1,0	1,8	6	12	18	швеллер
3	8	2,4	1,2	2,0	7	10	16	двутавр
4	7	2,6	1,4	2,2	8	8	14	швеллер
5	6	2,8	1,6	2,4	9	7	12	двутавр
6	5	3,0	1,8	2,6	10	6	10	швеллер
7	4	3,2	2,0	1,4	11	5	8	двутавр
8	3	1,0	2,2	1,2	12	4	6	швеллер
9	11	1,6	2,4	1,0	14	16	5	двутавр
10	12	1,5	2,6	0,8	16	18	4	швеллер
Примечание -  В расчетах принять  длину балки l2=10a.

 

Пример 7. Для схемы, изображенной на рисунке 12 а, выполнить решение по условиям задачи 7. Дано: F=7 кН, M₀=10 кН·м, q=9 кН/м, l=14 м, a=3,8 м, b=5 м, c=2,2 м, требуется подобрать сечение балки в виде двутавра..

Решение. Определяем опорные реакции R_A и R_B (рисунок 12 б) из уравнений равновесия

   

Получаем

 кН,

       кН.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверяем правильность найденных значений реакций

.

Реакции определены верно.

Запишем уравнения для поперечной силы Q и изгибающего момента M на участках I – IV и построим эпюры.

I участок :                                                                                    

;                      при z₁ = 0                  Q = R_A = 30,8 кН;

                                                          при z₁ = a = 3,8 м     Q = R_A-q·a = -3,4 кН.

;                при z₁ = 0                  M = R_A = 0;

                                                           при z₁ = a = 3,8 м     M = 52 кН м.

Так как эпюра Q на участке I проходит через нулевое значение, меняя знак с положительного на отрицательный, то в сечении, где Q равна нулю, на эпюре M имеет место максимальное значение. Чтобы найти его, определим значение координаты , при котором Q = 0:

;                         м.

Тогда

 кН м.

IV участок  :

                  

 кН м.

III участок  :

кН;                  

       при z₃ = 0              M = -M₀ = -10 кН м;

                                               при z₃ = b = 5 м     M = -M₀ + R_B b= 42 кН м;

II участок  :

кН;                  

 при z₂ = 0              M = -42 кН м;

                                                            при z₂ = 3 м           M =  52 кН м.

Эпюры Q и M приведены на рисунке 12 в, г.

Условие прочности при изгибе для балки постоянного сечения имеет вид

.

Из этого условия определяем необходимую величину осевого момента сопротивления

Из таблицы сортамента прокатной выбираем двутавр №24а, для которого W_x=317 см³, и при этом максимальные напряжения равны

и перегрузка составляет

,

что можно считать приемлемым.

 

Приложение А

Схемы механизмов и исходные данные к задачам 3 и 4

Рисунок А1 - Cхема 1. Кривошипно-ползунный механизм

Таблица А1

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	60	80	100	120	140	160	180	240	20	22
le ,  мм	30	40	30	25	28	0	80	90	14	16
lAB, мм	180	240	300	340	365	400	550	900	68	75
lAE, мм	80	120	80	180	90	200	250	40	26	35
w1, рад/c	32	18	26	15	80	30	60	25	30	35

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок А2 - Схема 2. Кривошипно-ползунный механизм

Таблица А2

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	65	75	100	120	130	150	170	230	22	24
le,    мм	20	35	60	20	30	0	10-0	80	12	15
lAB, мм	200	250	320	300	330	360	500	650	75	86
lBE, мм	60	100	150	125	150	140	250	200	20	28
w1,  рад/c	20	18	12	15	100	30	28	34	14	25

Рисунок А3 - Схема 3. Шарнирный четырехзвенник

Таблица А3

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	55	75	90	115	130	150	170	200	22	24
lOC, мм	120	200	240	250	300	400	450	400	45	40
lBC, мм	150	160	200	300	350	300	350	500	55	60
lAB, мм	180	240	280	350	400	500	540	600	60	64
lAE, мм	70	80	75	150	200	210	190	240	28	25
w1, рад/c	19	14	25	60	50	30	35	15	24	20

Рисунок А4 - Cхема 4. Шарнирный четырехзвенник

Таблица А4

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	60	58	80	75	100	105	120	125	14	140
lOC, мм	120	140	160	200	200	240	245	250	30	300
lBC, мм	150	160	200	200	250	230	300	320	34	320
lAB, мм	150	180	200	200	250	300	300	360	34	400
lBE, мм	150	100	180	150	200	140	180	200	25	200
w1, рад/c	25	22	20	60	21	40	30	16	30	28

Рисунок А5 - Схема 5. Шарнирный четырехзвенник

Таблица А5

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	60	80	100	120	140	160	180	200	22	240
lOC, мм	140	180	280	240	320	380	440	420	46	400
lBC, мм	160	200	180	300	300	320	300	500	50	600
lAB, мм	200	260	300	360	400	480	500	600	60	700
lAE, мм	100	120	150	200	200	240	200	250	35	250
w1, рад/c	31	21	30	60	12	30	28	25	20	24

Рисунок А6 - Схема 6. Синусный механизм

Таблица А6

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	50	100	150	25	60	80	120	200	140	175
le,    мм	10	30	60	10	30	40	60	80	70	100
lAE, мм	20	40	30	10	25	30	50	100	56	80
a,   рад	π/6	0	π/2	π/3	π/2	π/4	π/3	π/2	0	π/3
w1, рад/c	40	25	15	28	18	20	15	30	50	35

Рисунок А7 - Схема 7. Двухкривошипный шарнирный четырехзвенник

Таблица А7

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	150	200	50	240	70	80	35	60	60	50
lOC, мм	55	100	20	75	40	50	20	10	24	30
lBC, мм	170	240	60	200	80	100	40	80	64	60
lAB, мм	120	200	52	160	75	90	37	70	40	55
lBE, мм	50	80	30	85	40	60	30	40	20	35
w1, рад/c	30	50	40	35	45	15	12	40	10	15

Рисунок А8 - Схема 8. Кривошипно-ползунный механизм с большим дезаксиалом

Таблица А8

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	40	100	200	150	80	60	120	70	110	30
le,    мм	60	120	220	210	90	120	150	80	130	40
lAB, мм	160	320	650	550	250	280	400	220	360	110
lBE, мм	50	80	200	150	60	100	120	60	110	40
w1, рад/c	40	12	37	26	80	60	30	20	15	35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок А9 - Схема 9. Двухкривошипный шарнирный четырехзвенник

Таблица А9

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	60	80	64	40	100	80	200	60	240	170
lOC, мм	25	10	20	20	50	40	75	20	100	60
lBC, мм	50	60	60	35	80	70	240	50	200	150
lAB, мм	55	70	40	36	90	75	160	52	200	130
lAE, мм	30	35	25	26	40	40	70	25	120	60
w1, рад/c	30	15	32	12	16	35	28	30	45	25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок А10 - Схема 10. Шарнирный четырехзвенник c большим коромыслом

Таблица А10

Величина	Предпоследняя цифра шифра (вариант числовых данных)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
lOA, мм	40	20	100	60	50	80	25	100	120	90
lOC, мм	80	30	180	100	150	200	100	400	300	315
lBC, мм	160	60	350	200	250	400	150	550	420	315
lAB, мм	140	60	320	190	200	300	90	300	350	250
lBE, мм	40	15	50	40	100	100	40	75	100	65
w1, рад/c	16	40	20	15	22	30	35	12	15	20

 

Список литературы

 

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высш. шк., 1986.

2. Иосилевич Г.Б., Строганов Г.Б., Маслов Г.М. Прикладная механика. - М.: Высш. шк., 1989.

3. Кореняко А.С. Теория механизмов и машин. – Киев: Вища школа, 1976.

4. Сборник задач по теории механизмов и машин /Артоболевский И.И. и Эдельштейн Б.В. – М.: Наука, 1973.

5. Степин П.А. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1988.

6. Буланов Э.А. Решение задач по сопротивлению материалов. – М.: Высш. шк., 1994.

7. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов /Миролюбов  И.Н. и др. – М.: Высш.шк., 1985.

8. Аркуша А.И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 2003.

9. Аркуша А.И. Техническая механика. Руководство к решению задач по теоретической механике. - М.: Высш. шк., 2002.

10. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов /Ф.З.Алмаметов, С.И.Арсеньев, С.А.Енгалычев и др. – М.: Высш.шк., 1992.

 

 

 

Содержание

 

1 Общие требования и указания к выполнению расчетно-графических работ            3

2 Задачи, входящие в расчетно-графические работы, указания к их

выполнению и примеры                                                                                             4

        2.1 3адача 1. Равновесие пространственной системы сил                               4

        2.2 3адача 2. Задача на применение теоремы об изменении

        кинетической энергии системы                                                                          7

        2.3 3адача 3. Кинематический анализ механизма                                           11

        2.4 3адача 4. Кинетостатический анализ механизма                                      14

        2.5 Задача 5. Расчет на прочность при растяжении-сжатии                          18

        2.6 3адача 6. Расчеты на прочность и жесткость при кручении                    21

        2.7 3адача 7. Проектный расчет на прочность при изгибе                             26

Приложение А. Схемы механизмов и исходные данные к задачам 3 и 4             31

Список литературы                                                                                                    36

Сводный план 2006 г., поз.106

 

 

 

 

Алмас Даменович Динасылов

 

 

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

Методические указания и задания

к выполнению расчетно-графических работ

 

(для студентов всех форм обучения специальностей 050702 –

Автоматизация и управление, 050717 – Теплоэнергетика)

 

 

 

 

Подписано в печать       .      . 2006 г.                Бумага типографская N 1

Тираж 70 экз.                                                       Заказ

Формат 70х100  1/16                                           Цена  93 тг.

Объем 2,3 уч.-изд. л.

 

 

 

Копировально-множительное бюро

Алматинского института энергетики и связи

050013, Алматы, Байтурсынова, 126