МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

 

 

Алматинский институт энергетики и связи

 

 

 

 

 

Э. А. Яхъяев

 

ТЕХНИЧЕСКОЕ ЧЕРЧЕНИЕ

(для учащихся колледжа)

Учебное пособие

 

 

 

 

 

 

Алматы 2005

УДК 681.3: 744 (075)

Техническое черчение (для учащихся колледжа).

Учебное пособие / Э.А. Яхъяев;

АИЭС. Алматы, 2005. -  103 с., ил.

 

 

      В учебном пособии изложены основные вопросы теории построения чертежей и способы изображений геометрических образов на плоскости и методы решения некоторых геометрических задач на проекционном чертеже.

       Приведен большой объем графического материала, позволяющего использовать его в качестве аналога или прототипа при решении задач. Пособие построено следующим образом. В начале каждого раздела излагаются краткие теоретические положения, приведены тестовые вопросы для самопроверки знаний учащихся.

        Учебное пособие предназначено для учащихся колледжа немашиностроительных специальностей.

Ил. 97, библиогр. – 9 назв.

 

 

 

 

РЕЦЕНЗЕНТЫ: кафедра инженерной графики и прикладной механики

АИЭС, канд. техн. наук, профессор  А.Д. Динасылов.

Алматинский колледж энергетики и электронного приборостроения, директор  А.И. Ананьев.

 

 

 

 

 

     Печатается по плану издания Министерства образования и науки

Республики Казахстан на 2004 г.

 

ISBN 9965 – 708 – 14 – 2

 

© Алматинский институт энергетики и связи, 2005 г.

Содержание

 

 

Введение

4

Принятые обозначения

5

1 Метод проекций

8

2 Точка

13

3 Прямая

21

      3.1 Положение прямой линии относительно плоскостей проекций

21

      3.2 Следы прямой линии

27

      3.3 Натуральная величина отрезка прямой линии и углы его

наклона к плоскостям проекций

28

      3.4 Относительное положение прямой и точки

29

      3.5 Взаимное расположение двух прямых линий

31

      3.6 Проекции плоских углов. Свойство проекции прямого угла. Свойство проекции биссектрисы

 

33

4 Плоскость

37

       4.1 Задание плоскости на чертеже

37

       4.2 Плоскости общего и частного положения

38

5 Взаимное положение точки, прямой линии и плоскости

47

       5.1 Проведение любой прямой в плоскости

47

       5.2 Построение в плоскости некоторой точки

48

       5.3 Прямые линии особого положения в плоскости

49

       5.4 Взаимное положение прямой линии и плоскости

54

             5.4.1 Прямая параллельная плоскости

55

             5.4.2 Пересечение прямой линии с плоскостью

56

             5.4.3 Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

59

6 Взаимное положение двух плоскостей

63

       6.1 Параллельные плоскости

63

       6.2 Взаимное пересечение двух плоскостей

64

       6.3 Взаимно перпендикулярные плоскости

68

7 Способы преобразования чертежа

71

       7.1 Способ перемены плоскостей проекций

71

       7.2 Преобразование проекций способом вращения

77

             7.2.1 Вращение вокруг проецирующих прямых линий           

77

             7.2.2 Вращение вокруг линий уровня                                                                                           

81

       7.3 Плоскопараллельное перемещение

83

8 Метрические задачи

86

       8.1 Определение расстояний

86

       8.2 Определение углов

92

       8.3 Натуральная величина плоской фигуры

102

  Список литературы

103

 

Введение

 

        Инженерная графика одна из дисциплин, составляющих общеинженерную подготовку инженерно-технических специалистов с высшим образованием.

       В курсе инженерной графики изучаются методы построения чертежей пространственных фигур и способы решения задач, связанных с этими фигурами. Одним из основных методов решения геометрических задач является графический метод, при котором геометрические свойства геометрических образов изучаются непосредственно по чертежу.

        Учебное  пособие имеет целью дать учащимся теоретические основы построения чертежа и необходимые практические навыки в решении геометрических задач.                                                                                                                       

         Для улучшения усвоения теоретического материала и закрепления умений и навыков учащихся приведен большой объем графического материала, позволяющего использовать его в качестве аналога или прототипа при решении конкрентных задач каждого раздела курса. Для облегчения и закрепления изучаемого материала в конце каждого раздела даны вопросы для самопроверки. Это поможет учащимся обратить внимание на основные положения учебной программы и контролировать изучение пройденного материала.

         В  пособии указана учебная литература, для желающих ознакомиться с различными вариантами изложения разделов.

          Учебное пособие рекомендуется для учащихся колледжа всех немашиностроительных специальностей. Принятые обозначения

 

 

 В инженерной графике для упрощения записи условий и решения задач принята система условных обозначений объектов и действий.

 

        Обозначения геометрических фигур

 

1. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:           

A, B, C, …, L, M, N, …

1, 2,  3, …,  8, 9, 10,…

2. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций – строчными буквами латинского алфавита:

                                           a, b, c, … , l, m, n, …

Линии уровня обозначаются:

                                            h – горизонталь;

                                  f  – фронталь;

                                            p –­ профильная прямая.

3. Плоскости проекций  – строчной  буквой греческого алфавита p.      Горизонтальная плоскость - p1 , фронтальная - p2, профильная - p3  любая дополнительная плоскость -  p4, p 5, p6 ...

4.Оси проекций – строчными буквами x, y, z или (при введении дополнительных плоскостей) p1/p2, p2/p4, p4/p5, начало координат – прописной буквой – О. Постоянную прямую эпюра Монжа обозначают – Â.

5. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:a, b, d, …, g, l, y

6. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением нижнего индекса, соответствующей плоскости проекций, на которой они получены:А1 ,A2 , …A3, a1, b2,  A1B1 , A2B2, …,  a1, a2, a3,…

7. Обозначение плоскостей заданных следами:

- горизонтальный след плоскости a - hoa;

- фронтальный след плоскости a - foa;

          - профильный след плоскости a - poa.                                                                                                        Точки схода следов плоскости – строчными буквами x, y, z  c индексом

соответствующей плоскости xa, ya, za.                                                                                             8. Углы обозначаются: ÐАВС – угол с вершиной в точке В, а также Ðao,

Ðbo, …, jo, yo,….                                                                                                                                                   Угловая величина (градусная мера) обозначается значком ^,  который

 ставится над углом:  АВС – величина угла АВС; jо – величина угла j.

 

 

Символы, обозначающие отношения между геометрическими

фигурами

 

 

           1. Совпадают º    (АВ) º (CD) – прямая АВ, проходящая через точки А и В, совпадают с прямой CD, проходящей через точки C и D.

          2. Конгруэнтны  @    Ð АВС @ Ð MNK – угол АВС конгруэнтен углу MNK.

3. Параллельны  //     a // b плоскость a параллельна плоскости b.

4. Перпендикулярны  ^    a ^ b    прямые a и b перпендикулярны.

5. Скрещиваются   ¾     c  ¾  d  – прямые c и d скрещиваются.

6. Отображаются   ®    Ф1 ®  Ф2 – фигура Ф1 отображается на фигуру Ф2.

7. Центр проецирования – S.

8. Направление проецирования – s.

9. Принадлежность – Î, ',   точка АÎa – принадлежит прямой a;              A ' a – прямая  a проходит через точку А.

10 .Включение (содержит в себе) – Ì , É ,   a Ì a   прямая a принадлежит плоскости a. 

11.Объединение –  È ,  ABCD = |AB| È |BC| È |CD| ломаная линия, ABCD.

12. Пересечение множеств Ç , – a Ç b – прямые a и b пересекаются,          a = a Ç b  – прямая  есть пересечение плоскостей a и b.

13. Конъюнкция предложений – Ù, соответствует союзу «и». 

14. Дизъюнкция предложений – Ú, соответствует союзу «или».

15. Импликация  Þ – это логическое следствие.

16. Эквивалентность: справедливо как утверждение – Û, a Û b так и ему обратное  b Û  a.

 17. Квантор общности, ", читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение  "(x) P(x)  означает: для всякого x имеет место свойство P(x).

18. Квантор существования, читается: существует – $,  $ xÎX существует элемент  x множества X такой, что …

19. Квантор единственного существования -$1.

 

 

20. Латинский алфавит                                21. Греческий алфавит

           A, a     a                                                        A, a    альфа

           B, b     бэ                                                      B, b     бэта

            C, c    цэ                                                      Г, g     гамма

            D,d     дэ                                                      D, d     дельта

            E, e     e                                                        E, e     эпсилон

F, f     эф                                                      Z, x     дзета

            G, g    же                                                      H, h    эта

H, h    ха (аш)                                              Q,  J  тэта

 I, i     и                                                        I, i        йота

J, j      йот (жи)                                            K, k     каппа

K, k    ка                                                      L, l    лямбда

L, l      эль                                                    M, m    мю     

M, m – эм                                                      N, g     ню

              N, n     эн                                                      X, x    кси

O, o     о                                                             O, o      омикрон

P, p      пэ                                                     П, p   пи

Q,q      ку                                                      Р, r   ро

R, r      эр                                                      S, s   сигма

S, s      эс                                                       Т, t   тау

T, t      тэ                                                       U,u  ипсилон

U, u    у                                                         Ф,  j – фи

V, J    вэ                                                       Х, c    хи

W, w  – дубль–вэ                                           Y, y  пси

X, x     икс                                                     W, w – омега

Y, y     игрек

Z, z      зет

 

Указанные обозначения используются при решении позиционных и метрических задач в курсе инженерной и машинной графики.

1 Метод проекций

 

 

 В процессе проектирования, при расчете и разработке конструкций, возникают пространственные задачи. Многие из этих задач решаются графическими методами, при котором геометрические свойства фигур изучаются непосредственно по чертежу.

 Чертежом, геометрически равноценным изображаемой фигуре или оригиналу, является проекционный чертеж, полученный методом проецирования.

Начертательная геометрия основана на методе проекций. Поэтому проекционный метод изображений является основным методом начертательной геометрии.

Способ центрального проецирования, параллельного проецирования и, как частный случай его, способ ортогонального проецирования предполагает проецирующий аппарат, включающий в себя плоскость проекций p', объект проецирования и центр проецирования S.

Пусть будут даны: плоскость p', точка S (S Ïp')  и некоторая точка А

 Ï S) Ùº S).

На рисунке 1 центральной проекцией

 точки А является точка А' пересечения пря-

мой SA с плоскостью p'. Плоскость p' назы-

вают плоскостью проекций, точку S – центром проецирования, луч [SA')  - проецирующим лучом.

Положения плоскости p' и центра S

определяет аппарат проецирования. При за-

данных плоскости проекций и центра проек-

ций можно построить проекцию точки; но

имея проекцию (А'), нельзя по ней определить положение самой точки А в пространстве,   

                                                                                                Рисунок 1

так как любая  точка проецирующей прямой линии SA проецируется в одну и ту же точку. Для однозначного определения точки А в пространстве по ее проекции необходимо задать второй центр проецирования, т.е. для определения положения точки в пространстве необходимо иметь две ее центральные проекции, полученные из двух различных центров (рисунок 2).

         Таким образом, если центр проекций S задан в конечной точке, не лежащей в плоскости проекций p', то проецирование является центральным.

 

 

 

Рисунок 2

 

Центральные проекции применяют для построения предметов в перспективе, например, в архитектурно-строительных чертежах, при изображении перспектив зданий, улиц, площадей и т. п. Изображения в центральных проекциях наглядны, но для технического черчения неудобны.

Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проецирования S бесконечно удален от плоскости проекций p'.  В этом  случае проецирующие прямые будут параллельны между собой, проведенные в заданном направлении относительно плоскости проекций (рисунок 3).

Рисунок 3

       Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В

первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций

угол, не равный 90о, во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны  к плоскостям проекций.

        Наибольшее практическое значение и широкое применение в технике имеет метод  параллельного проецирования, впервые научно разработанный в конце XYIII века французским ученым Гаспаром Монже. Сущность этого метода заключается в том, что данный предмет прямоугольно проецируется на две взаимно перпендикулярные плоскости, одна расположена горизонтально (горизонтальная плоскость проекций p1), а другая вертикально (фронтальная плоскость проекций p2). В некоторых случаях прибегают к проецированию на третью плоскость, перпендикулярную к p1 и p2 (профильная плоскость проекций p3). Плоскости p1, p и p3 делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Каждый октант представляет собой прямоугольный  трехгранник, у  которого гранями  служат части плоскостей  проекций, а ребрами  -оси координат (рисунок 4).

Рисунок 4

 

Ось Х называют осью абсцисс, ось Y  - осью ординат, и ось                                                 Z – осью аппликат. При этом положительными направлениями осей считают: для оси Х – влево от начала координат, для оси Y- в сторону зрителя от плоскости p2, для оси Z – вверх от плоскости p1; противоположные направления осей считают отрицательными.

        Между геометрическим образом и ее проекцией существует определенная геометрическая взаимосвязь, заключающаяся в том, что некоторые свойства, относящиеся к оригиналу, сохраняются и в проекциях при любых преобразованиях. Такие свойства называют инвариантными (независимыми). Отметим некоторые свойства проекций геометрических образов при параллельном их проецировании на плоскость.                        

1.     Проекция точки есть точка А ® А'.

2.   Проекция точки, принадлежащей плоскости проекции, совпадает с самой точкой: В Ì p';  В º В'.

3. Проекцией прямой линии (a ^p) в общем случае является прямая линия:  ( " a ) Ù (a ^ p ) : l ® l'.

4. Если точка А принадлежит линии m, то проекция точки А' принадлежит проекции линии m': A Î m Þ  A' Î m'.

     5. Если линия m принадлежит поверхности b, то проекция линии m' принадлежит проекции поверхности b': m Î b Þ  m 'Î b'.

     6. Если точка А принадлежит поверхности b, то проекция точки  принадлежит проекции линии, принадлежащей поверхности:   

         A Î b Ù (A' Î m' Î b') Ù (A'' Î m'' Î b'').

          Справедливо и обратное утверждение.

          Если проекции точки A' и A'' принадлежат соответствующим проекциям линий m' и m'' , которые в свою очередь принадлежат одноименным проекциям поверхности b'  и b'',  то точка А принадлежит поверхности b.

7. Если фигура Ф принадлежит поверхности b, перпендикулярной плоскости проекции p', то  ортогональная проекция этой фигуры Ф' принадлежит следу поверхности hob:

     Ì b )  Ù  ( b ^ p' ) Þ Ф'  Ì  hob.

     8. Если фигура Ф принадлежит плоскости g, параллельной плоскости         проекций p', то ортогональная проекция этой фигуры на плоскость p' конгруэнтна самой фигуре: Ì g )  Ù ( g // p' ) Þ  Ф'  @  Ф.

         9. Если ÐАВС прямой и сторона ВС этого угла параллельна плоскости

 проекций p', а сторона ВА не перпендикулярна плоскости p', то ортогональная  проекция  угла  на  плоскость p' ¾ А'В'С' = 90о:              (ÐАВС = 900)  Ù ([BC)  //  p',  [BA ^ p') Þ А'В'С' =  90о.

     10. Если точка К есть результат пересечения прямых  a и b, то ортого -     нальная проекция этой точки определяется пересечением ортогональных проекций этих прямых: 

К  =  (a Ç b)  Þ  K1  =  (a1 Ç b1)  Ù  K2  = (a2 Ç b2).

     11. Если прямые a и b   параллельны между собой и не перпендикулярны плоскости проекций p', то параллельны и их ортогональные проекции на эту плоскость:

                                      (a // b)  Ù   (a ^ p') Þ  (a' // b').

     12. Если отрезок [АВ] параллелен отрезку [СD], то отношение длин отрезков равно отношению длин их ортогональных проекций:                                   [АВ] // [СD] Þ êАC ê/  êCB ê=  êA1C1 ê /  êC1D1½.

     13. Если точка С принадлежит отрезку [АВ], то отношение [АС] к [СВ]      равно отношению их проекций:  

     С  Π [АВ]  Þ ½АС½ ¤ ½СВ½ = ½ А1С1 ½ ¤ ½С1В1½.

 

 

          Вопросы для самопроверки

 

1. Какие геометрические элементы включает в себя аппарат проецирования?

2. В каком случае проекция точки будет совпадать с самой точкой-оригиналом?

3.     Какие методы проецирования вы знаете?

4.     Перечислите свойства центрального проецирования.

5. Укажите свойства, общие для центрального и параллельного проецирования.

6.     Назовите свойства, присущие только параллельному проецированию.

7. Какими полами плоскостей проекций ограничены четверти пространства: первая, вторая, третья и четвертая?

8. Как называются и обозначаются основные плоскости проекций?

9.   Как читается теорема о проецировании прямого угла?

2 Точка

 

 

Точка как математическое понятие не имеет размеров. В геометрии под точкой целесообразно понимать физический объект, имеющий линейные размеры. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом.

Точки пространства обозначают прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами: A, B, C, D и т.д. и 1, 2, 3, … Проекции точек обозначаются теми же буквами, что и оригинал, с добавлением нижних индексов соответствующих плоскостей проекций: А1, В1, …, А2, В2, …,11, 12… и т.д.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Координатами некоторой точки являются числа: они выражают длины отрезков координатных осей, измеренные некоторой установленной единицей длины (в инженерной графике за единицу длины принят  миллиметр).

Представим в пространстве некоторую точку А в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций p1 и p2  (рисунок 5, а). Чтобы построить проекцию точки А на плоскости p2, проведем через точку А проецирующую прямую (АА2 ^ p2) и отметим точку А2 (фронтальная проекция точки А), ее пересечения с этой плоскостью. Проведя проецирующую прямую через точку А (АА1 ^ p1)  в ее пересечении с плоскостью p1, получим А1 (горизонтальная проекция точки А).

 

            а)                                                 б)                                       в)

 

Рисунок 5

 

Опустим перпендикуляр из А2 на прямую Ох; он пересечется с ней, а, следовательно, с плоскостью p1 в точке Ах. Опустив перпендикуляр из А1 на прямую

Ох, мы найдем ту же точку Ах. Отрезок  АА2 =  А1Ах  представляет  собой  расстояние  от  точки А  до плоскости p2. Отрезок А2Ах = АА1 является расстоянием от точки А до плоскости p1. Проецирующие прямые АА1 и АА2 , исходящие из точки А, задают плоскость, которую называют проецирующей плоскостью, она перпендикулярна плоскостям проекций p1 и p2 и оси проекций Ох.

Положение точки в пространстве вполне определяется ее ортогональными проекциями на две плоскости проекций.

Повернем плоскость p1 вокруг оси Ох до совмещения с p2, как показано на рисунке 5, а. Вместе с плоскостью переместится и точка А1, а также все другие точки поля проекций p1. В результате (рисунок 5, б) плоскость чертежа станет носителем двух полей проекций – p 1 и p2. Проекции А1 и А2 точки А расположены на одном перпендикуляре к оси проекций. Такой перпендикуляр (А1А2) называется линией проекционной связи. Чертеж, плоскость которого является носителем двух полей проекций, расположенных так, что линии связи перпендикулярны оси проекций, называется эпюром или эпюром Монжа. Без обозначения плоскостей p1 и p2 этот чертеж приведен на рисунке 5, в.

Для решения ряда задач бывают необходимы три и более изображений. Поэтому вводят дополнительные плоскости проекций. Наиболее часто используют третью плоскость проекций (p3),  перпендикулярную к двум данным:

p3 ^ p1,   p3 ^ p2  - называемой профильной плоскостью проекций  (рисунок 6, а).

                     а)                                                              б)

                                                    Рисунок 6

Она  пересекается  с  плоскостью  p1 по линии Y, а с плоскостью p2 – по линии Z.

Чтобы построить профильную проекцию (А3) точки А на плоскости p3, необходимо через точку А провести прямую, перпендикулярную p3. В пересечении этой прямой с p3 определится точка А3. Перпендикуляры, опущенные из А1 и А3 на ось Y, пересекаются с нею в точке Аy; перпендикуляры, опущенные из А2 и А3 на ось Z, пересекаются с нею в точке Аz.  Расстояние точки А от плоскости p1 измеряется отрезком А2Ах = АА1, расстояние от плоскости p2 – отрезком А1Ах = АА2, расстояние от p3 – отрезком А1Аy = АА3.

Чтобы перейти к чертежу (рисунок 6, б), на котором все три поля проекций совмещены с одной плоскостью, повернем плоскость  p3 вокруг оси Z, а плоскость p1 – вокруг оси Х до совмещения с плоскостью p2. Одновременно переместятся и точки А1 и А3. Построение профильной проекции (А3) точки А по фронтальной и горизонтальной проекциям показано на рисунке 6, б. Можно воспользоваться дугой окружности радиусом ОАy  или прямой, проводимой из точки Аy под углом 45о, или с помощью постоянной прямой чертежа (Â). Отметим, что горизонтальная проекция точки А определяется абсциссой Х и ординатой Y; ее фронтальная проекция  - абсциссой Х и аппликатой Z,  а профильная проекция – ординатой Y и аппликатой Z.

Таким образом, по двум ортогональным проекциям точки можно определить все три ее координаты; по трем координатам точки можно построить ее проекции (комплексный чертеж точки).

Как отмечалось выше, три плоскости проекций делят пространство на восемь частей, называемых октантами. В общем случае точка может быть расположена в любом октанте. Плоскости p1 и p2 при пересечении образуют четыре двугранных угла; их называют квадрантами или четвертями пространства.  Ось Х делит плоскости p1 и p2 на полуплоскости. Фронтальная плоскость (p2) состоит из верхней и нижней полуплоскостей, а горизонтальная плоскость (p1) – из передней и дальней полуплоскостей.

Принято считать, что зритель всегда находится в первой четверти пространства (условно – на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций), плоскости же проекций непрозрачны, поэтому видимы только точки, расположенные в первой четверти, а также на полуплоскостях p1 и p2.

По отношению к плоскостям проекций точка может занимать общее положение,  т.е. находиться вне каждой из них (рисунок 5, 6), и частное положение – находиться на одной из плоскостей, сразу на двух плоскостях проекций и одновременно на трех. Если точка находится на одной из плоскостей проекций, то две из трех проекций точки находятся на осях проекций. На рисунке 7

 

 

изображена точка А, принадлежащая, фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной, С – профильной. В этом случае две из проекций точки будут на осях – А1 и А3, В2 и В3, С1 и С2, а третья -  на соответствующем поле проекций и будет совпадать с самой точкой A2 º А, В1 º В и С3 º С.

Рисунок 7

 

Точка, находящаяся одновременно на двух плоскостях проекций, изображена на рисунке 8. Так, например, точка D принадлежит плоскостям p1 и p2, т.е. лежит на оси Х. Две проекции D1 и  D2 совпадают с самой точкой D, третья  проекция D3 находится в точке начала координат (О).   

 

        

                             Рисунок 8                                  Рисунок 9

Точка Е принадлежит плоскостям p2 и p3, т.е. лежит на оси Z. Две проекции Е2 и Е3 совпадают с самой точкой Е, горизонтальная проекция (Е1) точки Е находится в точке начала координат (О).

Точка, лежащая на трех плоскостях проекций, есть начало координат О.

Точки могут принадлежать одна другой, такие точки называют двойными. На чертеже будут совпадать одноименные проекции этих точек, например, точек А и В на рисунке 9.

Точки могут не принадлежать одна другой. В этом случае на чертеже не совпадают  одноименные  проекции этих точек, например точек С и D (рисунок 9).

В частном случае, если у несовпадающих точек совпадают одни из одноименных  проекций (например, горизонтальные проекции точек Е и F на рисунке 9),  по их несовпадающим проекциям можно определить, какая из них находится дальше от соответствующей плоскости проекций. Так, например, точка Е расположена выше точки F, т.е. дальше от плоскости p1, чем точка F, а следовательно, относительно горизонтальной плоскости проекций (p1), точка Е видима, а точка F  невидима. Точки Е и F называются конкурирующими.

Таким образом, положение точки в пространстве вполне определяется ее ортогональными проекциями на две плоскости проекций.

Точка в пространстве удалена от плоскостей проекций p1, p2 и p3 на величины удаления от оси соответственно ее горизонтальной, фронтальной и профильной плоскости проекций. Горизонтальная и фронтальная проекции любой точки предмета располагаются на одной линии связи, перпендикулярной к оси проекций Ох, фронтальная и профильная проекции точки – на одном перпендикуляре  к оси Оz , горизонтальная и профильная – на одном перпендикуляре к оси Оy.

По расположению проекций точки относительно плоскостей проекций можно судить о положении точки в пространстве, т.е. можно установить, на каких расстояниях от плоскостей проекций и в каких октантах находится точка. На рисунке 10 показаны точки, принадлежащие  разным  углам пространства, а на рисунке 11 дан эпюр этих точек.

Точка А находится в первом октанте, горизонтальная проекция (А1) точки А лежит под осью проекций Х, а фронтальная проекция (А2) – над осью проекций Х.

Точка В находится во втором октанте, обе ее проекции В1 и В2 расположены над осью проекций Х.

Точка С находится в третьем октанте, горизонтальная ее проекция С1 расположена над осью проекций Х, а фронтальная проекция С2 – под осью проекций.

Точка D находится в четвертом октанте, обе ее проекции D1 и D2  расположены под осью проекций Х.

Точка Е принадлежит плоскости проекций, одна ее проекция совпадает с самой точкой, а другая лежит на оси. Если точка инциндентна плоскости проекций, то одна ее проекция инциндентна оси Х. Вторая проекция может быть расположена как выше, так и ниже оси в зависимости от того, какой полу-

плоскости принадлежит данная точка. Так, точка Е лежит на дальней горизонтальной полуплоскости. Горизонтальная проекция (Е1) точки Е расположена выше оси Х, фронтальная проекция Е2 – на оси Х и совпадает с самой точкой:  Е º Е2. Точка F лежит на передней горизонтальной полуплоскости.

 

Рисунок 10

 

 

Рисунок 11

На рисунке 12  показаны точки К и U, одинаково удаленные от плоскости проекций p1 и p2. Данные точки принадлежат биссекторным плоскостям – плоскостям, делящим углы пространства пополам.

           

Рисунок 12

 

          Плоскость, делящая первый и третий углы пространства пополам, называют первой биссекторной плоскостью.  Плоскость, делящую  второй и четвертой углы пространства пополам, называют второй биссекторной плоскостью.

Точка К принадлежит первой биссекторной плоскости и находится в первом октанте, а точка U принадлежит второй биссекторной плоскости и находится во втором октанте.

 

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

     1. Как принято обозначать точки пространства?

     2. Как обозначают проекции пространственной точки и по какому признаку их различают между собой?

     3. Как могут быть расположены на эпюре проекции одной и той же пространственной точки относительно оси проекций?

     4. Почему одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве?

     5. Что называется линией  проекционной связи?

     6. В каких четвертях пространства координата Z точки положительна, отрицательна?

     7. В каких четвертях пространства координата Y точки положительна, отрицательна?

     8. Что такое октанты?

     9. Какой октант имеет отрицательное направление всех осей?

     10. Как по комплексному чертежу узнать, является ли точка точкой частного положения?

     11. Какие знаки имеют координаты X, Y, Z  точки, находящейся в I, II, III,…,YIII  октанте?

     12. Какие координаты на эпюре определяют горизонтальную и фронтальную проекции точки?

        3 Прямая

 

 

Известно, что линию вполне определяют две ее точки, то на комплексном чертеже всякая прямая l может быть задана проекциями двух ее точек. Для прямых линий используются следующие обозначения:

(АВ) – прямая, проходящая через точки А и В;

[AB) – луч с началом в точке А;

[АВ] – отрезок прямой, ограниченной точками А и В.

Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскости проекций, могут обозначаться и строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,…, l, m, n,…и т.д.

 

 

         3.1 Положение прямой линии относительно плоскостей проекций

 

 

Относительно плоскостей проекций прямая линия может занимать различное положение:

-         не параллельно ни одной из плоскостей проекций;

- параллельно одной из плоскостей проекций (прямая линия может и      принадлежать этой плоскости проекций);

- параллельно двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярно третьей.

Прямую линию (АВ), не параллельную  ни одной из основных плоскостей проекций (рисунок 13), называют прямой общего положения.

 

Рисунок 13

 

Прямая линия может занимать относительно плоскостей проекций особые (частные) положения. Прямые линии, параллельные одной из плоскостей проекций, называют прямыми уровня. Название их зависит то того, какой плоскости они параллельны.

Прямая линия (CD), параллельная (p1) горизонтальной плоскости проекций (рисунок 14), называется горизонтальной прямой и обозначается буквой ” h”.

 Рисунок 14

 

Фронтальная ее проекция C2D2 параллельна оси Х, горизонтальная проекция C1D1 может занимать произвольное положение и равна самому отрезку:

C1D1 = CD.

Прямая линия (EF), параллельная (p2)  фронтальной плоскости проекций (рисунок 15), называется фронтальной прямой и обозначается буквой “f ”.

 

Рисунок 15

Горизонтальная ее проекция E1F1 параллельна оси Х, а фронтальная проекция E2F2 может занимать произвольное положение и равна самому отрезку: E2F2 = E2F2.

Прямая линия (MN), параллельная (p3) профильной плоскости  проекций (рисунок 16), называется профильной прямой и обозначается буквой ”p”. Горизонтальная (M1N1) и фронтальная (M2N2) проекции прямой MN располагаются на одном перпендикуляре к оси проекции Х, профильная проекция (M3N3) занимает произвольное положение и равна самому отрезку:             M3N3 = MN.

Рисунок 16

 

          Прямые линии, перпендикулярные к плоскостям проекций, называются проецирующими. Эти прямые, будучи перпендикулярными одной плоскости проекций, оказываются параллельными двум другим плоскостям проекций. Поэтому у проецирующих прямых линий одна проекция представляет собой точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают на чертеже с направлением связи (рисунок 17).

Прямая линия (АВ), параллельная плоскостям p2 и p3, т.е. перпендикулярна к плоскости p1, называется горизонтально-проецирующая прямая  (рисунок 17, а). Такая прямая проецируется на плоскость p1 в точку, а ее фронтальная проекция перпендикулярна оси Х.

Прямая линия (СD), параллельная плоскостям p1 и p3, т.е. перпендикулярна к плоскости p2, называется фронтально-проецирующая прямая (рисунок 17, б). Эта прямая проецируется на плоскость p3 в точку, а ее горизонтальная проекция перпендикулярна оси Х.

Прямая линия (EF), параллельная плоскостям p1 и p2, т.е. перпендикулярна  к плоскости p3, называется профильно-проецирующая прямая  (рисунок 17, в).

Эти прямые линии могут принадлежать плоскости проекции.

Рисунок 17

Характерным признаком для эпюра, на котором изображена такая прямая линия, будет принадлежность одной из  проекций прямой оси.  На  рисунке 18 показаны проекции прямых линий h,  f,  p.  Прямая линия h принадлежит горизонтальной плоскости проекций: h Ì p1  (рисунок 18, а.).

          Прямая линия f принадлежит фронтальной плоскости проекции: f Ì p2. Прямая линия р принадлежит профильной плоскости проекций: р Ì p3. Прямые линии h, f, p являются нулевыми горизонталью, фронталью и профильной прямыми.

Две  точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Конкурирующие точки помогают определить видимость отдельных элементов предметов на данной плоскости проекций.

Из двух горизонтально-конкурирующих точек А и В (рисунок 17) на плоскости p1 видима та, которая выше, т.е. точка А, а вторая точка В оказывается под точкой А.

Из двух фронтально-конкурирующих точек C и D (рисунок 17) на плоскости p2  видима та, которая ближе к наблюдателю, т.е. точка D, а точка С невидима, так как расположена за точкой D.

Из двух профильно-конкурирующих точек E и F (рисунок 17) на плоскости p3 видима та, которая левее, т.е. точка Е.

 

 

 

Рисунок 18

 

3.2  Следы прямой линии

 

 

Следами прямой линии называются точки ее пересечения с плоскостями проекций. В зависимости от того, с какой плоскостью проекций пересекается прямая линия, след прямой называется фронтальным, горизонтальным или профильным. Координата  фронтального следа, координата Z горизонтального и координата Х профильного  следа равна нулю. На рисунке 19, а точка М – горизонтальный след прямой АВ, точка N – фронтальный. Горизонтальная проекция М1 горизонтального следа прямой совпадает с самим следом – точкой М (М1 º М), а фронтальная проекция этого следа М2 лежит на оси Х. Фронтальная проекция N2  фронтального следа прямой АВ  совпадает с точкой N (N º N2), а горизонтальная проекция N1 лежит на оси Х.

 

Рисунок 19

 

 Чтобы построить на чертеже горизонтальный след прямой АВ, надо (рисунок 19, б) продолжить фронтальную проекцию А2В2  прямой до пересечения с осью Х (М2 = А2В2 Ç Х) и через точку М2 провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А1В1. Точка М1– горизонтальная проекция горизонтального следа.

Для построения фронтального следа прямой линии необходимо отметить точку пересечения горизонтальной проекции прямой (А1В1) с осью Х    (N1 = А1В1 Ç Х) и через точку N1 провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением фронтальной проекцией прямой А2В2. Точка N2 – фронтальная проекция фронтального следа.

Строить следы прямой линии необходимо, в частности, для того, чтобы решить через какие октанты проходит прямая линия. Прямая линия АВ на рисунке 19 проходит через II, I и IY октанты. Точка N расположена на верхней полуплоскости p2, которая разделяет I и II октанты, поэтому в точке N прямая переходит из II октанта в I. В точке М, которая лежит на передней полуплоскости p1, прямая проходит из I октанта в IY, так как  передняя полуплоскость p1 разделяет именно эти октанты. Принято считать видимым все то, что расположено в I октанте. Поэтому проекции прямой линии АВ вычерчены сплошными линиями, отрезки, лежащие левее точки М и правее точки N – штриховыми линиями, т.е. невидимы.

 

 

3.3  Натуральная величина отрезка прямой линии и углы его

наклона к плоскостям проекций

 

 

Если отрезок прямой занимает общее положение, то ни на одной основной плоскости проекций нельзя определить его натуральную величину. Как известно, натуральная величина отрезка может быть определена как величина гипотенузы прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция отрезка на какой-либо плоскости проекций, а другим – разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости.

Угол в треугольнике между катетом – горизонтальной проекцией отрезка – и гипотенузой – его действительной величиной – равен углу наклона самого отрезка к горизонтальной плоскости.

Угол в треугольнике между катетом – фронтальной проекцией отрезка – и гипотенузой – его действительной величиной – равен углу наклона самого отрезка к фронтальной плоскости проекций.

Для определения натуральной величины отрезка АВ и углов a и b на рисунке 20 построены прямоугольные треугольники В1А1А'1 и В2А2А'2 .

Рисунок 20

Горизонтальную проекцию А1В1 принимаем за один катет. В треугольнике В1А1А'1  катет А1А'1  равен разности расстояний точек А и В до горизонтальной плоскости проекций   1А'1  = В212), а гипотенуза В1А'1  будет равна длине проецируемого отрезка АВ. a - угол между прямой АВ и горизонтальной плоскостью проекций.

В треугольнике В2А2А'2  катет А2А'2  равен разности расстояний точек А и В до фронтальной плоскости  проекций, гипотенуза В2 А'2  является натуральная величина одного и того же отрезка АВ.  b - угол между прямой АВ и фронтальной плоскостью проекций.

Отрезок прямой общего положения спроецируется без искажения на плоскость, параллельную данному отрезку.

 

 

3.4  Относительное положение прямой и точки

 

 

         Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям прямой, т.е. если прямая проходит через точку, то проекции прямой проходят через проекции точки. Если хотя бы одна из проекций точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то и точка находится вне этой прямой. На рисунке 21 точка С принадлежит прямой АВ; точки  D и E  не  принадлежат  прямой АВ. 

Рисунок 21

 

Проекции точки D совпадают с разноименными проекциями прямой  (D1 Ì А2В2, а D2 Ì А1В1), а потому точка D не лежит на прямой АВ. Точка D находится в III четверти, а отрезок АВ – в I четверти. Совпадение D1 с А2В2  и D2 с А1В1  является случайным. Точка  К  не лежит на прямой MN , так как ее профильная проекция К3 не находится на профильной проекции этой прямой (M3N3).

Если точка принадлежит отрезку прямой, то она делит этот отрезок в каком-то определенном отношении. Одним из свойств параллельного проецирования является то, что отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций (рисунок 22): АС ¤  СВ = А'С' ¤  С'В', так как прямые АА', СС' и ВВ'  параллельны между собой, т.е. если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фаллеса).

            

 

Рисунок 22                                                  Рисунок 23

 

 

На рисунке 23 показан пример деления отрезка в отношении

АС ¤  СВ = 3 ¤  2. Из произвольной точки концов отрезка АВ (например, из точки А1) проводим произвольную прямую линию и откладываем на ней пять равных между собой отрезков. Точку 5 соединяем с точкой В1. Через точку 3 проводим прямую, параллельную прямой 5-В1, до пересечения с А1В1 в точке С1. По точке С1 строим проекцию С2. В точке С отрезок АВ разделен в отношении 3: 2, считая от точки А.

3.5  Взаимное расположение двух прямых линий

 

 

Две прямые в пространстве (рисунок 24) могут совпадать a º b, быть параллельными  с // d, пересекаться m Ç n и скрещиваться  e ¾ l.

Если две прямые взаимно параллельны, то и одноименные их проекции также будут параллельны (рисунок 24, б): с // d Þ с 1// d1 Ù с2 // d2.

          Особо нужно  отметить профильные прямые, о параллельности которых можно судить только по их профильным проекциям.

Если две прямые в пространстве пересекаются, то пересекаются и одноименные их проекции, причем точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых должны лежать на одной линии связи

 

 


                                m1 Ç n1 = K1

     m Ç n = K®    

                                m2 Ç n2 = K2 .

 

 

Если две прямые в пространстве скрещиваются, то одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи:

e ¾ l Þ e1 ¾ l1 = 11(21) – горизонтально-конкурирующие точки,

              e2 ¾ l2  = 32(42) – фронтально - конкурирующие точки,

или одна пара проекций будет пересекаться, а вторая может быть параллельными прямыми (рисунок 25).

Две прямые, параллельные или пересекающиеся, могут иметь общую проецирующую плоскость (рисунок 26, а), тогда их изображения на соответствующую плоскость проекций совпадут, то такие прямые называются конкурирующими:

 


                               a2 Ç  b2  =  A2       

a  Ç  b  =  A ®

                               a1 º  b1,  A1 Î a1(b1).

 

 

Прямые линии  a и  b, горизонтально-конкурирующие, имеют общую горизонтально-проецирующую плоскость (рисунок 26, б). Прямые линии  c и d (рисунок 26, в), фронтально-конкурирующие, имеют общую фронтально-проецирующую плоскость.

 

 

 

 

Рисунок 24

Рисунок 25

                       а)                                        б)                                   в)

 

Рисунок 26

 

 

3.6  Проекции плоских углов. Свойство проекции прямого угла.

Свойство проекции биссектрисы

 

 

Величина угла, образуемого двумя пересекающимися прямыми, не параллельными плоскости проекций, может изменяться при проецировании. Поэтому в общем случае ни одна из проекций угла не выражает его истиной величины. Так, если стороны угла параллельны плоскости проекций, то угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину (рисунок 27). Горизонтальная проекция угла АВС дает его истинную величину, так как обе его стороны угла параллельны горизонтальной плоскости проекций (p1), т.е. угол лежит в плоскости, параллельной p1. При этом фронтальные проекции стороны угла спроецируются в одну прямую, параллельную оси Х.

Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии.

         Рисунок 27                                                Рисунок 28

 

Прямые углы проецируются в общем случае с искажением. Однако они не искажаются при проецировании в следующем частном случае (рисунок 28). Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину.

Пусть угол АВС = 90о и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости проекций p1 (рисунок 29). Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости параллельной p1,  данный угол АВС спроецируется на плоскость p1  без искажения, т. е. его проекция ÐА1В1С1 = 90о.

Возьмем на линии связи АА1 какую-либо точку D и соединим ее с точкой В. Угол DВС тоже прямой, так как ВС ^ пл. АВА1В1. Проекция угла DВС совпадет с проекцией угла  АВС, так как  точки А и D лежат на одном перпендикуляре к плоскости p1. Таким образом,  ÐА1В1С1 º ÐD1В1С1 = 90о.

Но, как видно из рисунка (рисунок 28), только одна сторона ВС угла DВС параллельна плоскости p1. Вторая сторона DВ наклонена к плоскости p1.

Таким образом, для того чтобы прямой угол спроецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы хотя бы одна его сторона была параллельна плоскости проекций.  Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные:

1. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций;

2.       Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

На основании вышеизложенного можно установить, что углы, изображенные на рисунке 29, в пространстве прямые.

                                                Рисунок 29

 

Если биссектриса угла параллельна плоскости проекций, то проекция биссектрисы  является  биссектрисой проекции угла (рисунок 30).

 

Рисунок 30

 

Рассмотрим угол ВАС, у которого биссектриса АD параллельна  гори-

зонтальной  плоскости проекций (p1). Спроецируем угол ВАС на плоскость p1

- построим проекцию В1А1С1, а также А1D1. Проведем вспомогательную  плос-

кость S, перпендикулярную к биссектрисе угла. Так как биссектриса  параллельна p1 , плоскость  S будет  перпендикулярна p1.

Таким образом, ÐВАD = ÐDAC; А D // p1 и, следовательно, АD // А1D1. Так как S ^ А D, линия ВС ^ А D. Треугольники ВАD и DAC – прямоугольные. Эти треугольники равны,  так  как имеют общий катет и равные углы при вершине А. Их катеты равны: BD = DC.

Поскольку плоскость S ^ АD, то она перпендикулярна А1D1. Линия В1С1 также перпендикулярна А1D1 . Треугольники В1А1D1 = D1A1C1. Следовательно, углы при вершине А1 равны: Ð В1А1D1 = Ð D1A1C1.

 

Вопросы для самопроверки

1. Чем определяется проекция прямой линии?

          2. При каком положении относительно плоскостей проекций прямая линия называется прямой общего положения?

          3. Как расположена прямая линия в системе p1, p2, p3, если все три проекции отрезка этой прямой равны между собой?

4. Какие положения прямой линии в системе p1, p2, p3  считаются “особыми” (“частными”)?

5.     Какие прямые линии называются прямыми уровня; проецирующими?

6. Как располагается фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его горизонтальная проекция равна самому отрезку?

     7. Как располагается горизонтальная проекция отрезка прямой линии, если его фронтальная проекция равна самому отрезку?

     8. Как располагается горизонтальная и фронтальная проекция отрезка прямой линии, если его профильная проекция равна самому отрезку?

9. Как изображаются в системе p1, p2  две пересекающиеся прямые линии?

    10. Как могут быть расположены в пространстве две различные прямые?

11. Как на комплексном чертеже располагаются проекции параллельных прямых линий?

12. Какое свойство проецирования относится к параллельным прямым линиям?

13. Можно ли по чертежу двух профильных прямых в системе p1 и p2  определить, параллельны ли между собой эти прямые?

14. Как на комплексном чертеже располагаются точки пересечения двух пересекающихся прямых?

15. Как располагаются точки пересечения одноименных проекций двух скрещивающихся прямых?

16. Что называется следами прямой линии?

17.  Какие прямые линии называются конкурирующими?

18.  Какие точки являются конкурирующими?

19.  Теорема о проецировании прямого угла.

         4  Плоскость

 

 

Плоскость можно представить как предельное понятие ровности или как бесконечную поверхность, имеющую на всем протяжении одинаковое направление.

В общем случае плоскость не может быть задана своими проекциями, так как проекции плоскости на каждую плоскость проекций занимают все поле проекций, и поэтому такое задание плоскости не определяет ее положение в пространстве. Поэтому на комплексном чертеже плоскость задают проекциями элементов, ее определяющих.

 

 

4.1 Задание плоскости на чертеже

 

 

          Из геометрии известно, что плоскость вполне определяется: своими тремя точками,  не  лежащими  на  одной  прямой  a = {А; В; С} (рисунок 31, а); прямой  и  точкой,  не лежащей  на  этой   прямой a = {а; D}  (рисунок 31, б); двумя  пересекающимися  прямыми a = {m Ç n } (рисунок 31, в); двумя параллельными прямыми a = {c || d} (рисунок 31, г); проекциями плоской фигуры a = {DАВС} (рисунок 31, д); следами – линиями пересечения плоскости с плоскостями проекций a = {foa Ç hoa} (рисунок 31, е).

 

                 а)                    б)                    в)                 г)                  д)                 е)

 

Рисунок 31

 

         4.2  Плоскости общего и частного положения

 

 

В системе плоскостей проекций плоскость может занимать различное положение:

- плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;

- плоскость перпендикулярна лишь к одной из них;

- плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций (т.е. произвольно наклоненную), называют плоскостью общего положения (рисунок 32).

Плоскость общего положения пересекает каждую из осей x, y, z. Следы плоскости общего положения никогда не перпендикулярны к этим осям. Плоскость a, пересекающая горизонтальную плоскость проекций по прямой линии, обозначается - hoa, фронтальную плоскость – по прямой foa  и профильную плоскость – по прямой poa. Прямая hoa называется горизонтальным следом плоскости a, foa  - фронтальным следом плоскости a, poa  - профильным следом плоскости a. Каждая пара следов сходится в точке, которая называется точкой схода следов плоскости, и располагается на оси, которая обозначается Xa, Ya,  Za. В этих точках плоскость пересекает оси координат.

 

Рисунок 32

 

Плоские фигуры, лежащие в плоскости общего положения, проецируются на плоскости проекций с искажением. В качестве примера покажем на эпюре Монжа, как определяются следы плоскости. Следы плоскости  (рисунок 33) проходят через следы  А1М1,  N2   прямых,  принадлежащих плоскости a(АВС). 

Для нахождения следов плоскости необходимо предварительно определить следы двух прямых этой плоскости. Горизонтальный след плоскости пройдет через точку А1 (след прямых АВ и АС) и через точку М1 (след прямой ВС). Точка Хa пересечения следов (точка схода следов) лежит на оси Х. Фронтальный след плоскости пройдет через точку схода и через след N2 прямой ВС. Если точка схода следов находится за пределами чертежа, для проведения фронтального следа плоскости необходимо определение фронтального следа еще одной прямой, принадлежащей плоскости, например АВ. Если точка Хa бесконечно удалена, то следы плоскости расположатся параллельно оси проекций.

Рисунок 33

 

Кроме рассмотренного случая (рисунок 32), плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать частные положения. Плоскости частного положения подразделяются на плоскости проецирующие и плоскости уровня. Рассмотрим эти частные случаи.

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Возможны три случая частного положения.

1. Плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (p1) называется горизонтально-проецирующей плоскостью (a ^ p1). На рисунке 34 дан  пример  изображения  горизонтально-проецирующей  плоскости, рисунок 34, а – наглядное изображение, рисунок 34, б – чертеж в системе p1, p2 с указанием следов foa  и  hoa,  рисунок 34, в -  плоскость задана проекциями треугольника. Фронтальный след плоскости a foa  как линия пересечения

                                                   

                               а)                                    б)                                  в)

 

Рисунок 34

 

плоскости a и p2 перпендикулярен к плоскости  p1 и к оси Х, горизонтальный след hoa  расположен произвольно. Угол bo служит линейным углом двугранного между плоскостью a и пл. p2  и проецируется на плоскость p1 без искажения своей величины: b1 @ b.

Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, например, точка А, то ее горизонтальная проекция А1 должна быть на горизонтальном следе плоскости (hoa). Это относится и к любой системе точек, расположенных в горизонтально-проецирующей плоскости. Горизонтальный след плоскости hoa  º a1  можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости.

          2. Плоскость, перпендикулярная  фронтальной плоскости проекций (p2), называется  фронтально-проецирующей плоскостью (b ^ p2). На рисунке 35 горизонтальный след фронтально-проецирующей плоскости hob, перпендикулярен к оси Х, а фронтальный ее след fob  расположен произвольно. Если в фронтально-проецирующей плоскости расположена  точка (А), то ее фронтальная проекция А2 должна быть на фронтальном следе плоскости fob. Это относится и к любой системе точек. След fob  º b2  можно рассматривать как фронтальную проекцию пл.b. Угол ao, образованный плоскостями b и p1, проецируется на плоскость p2 без искажения своей величины: a2 @ a.

 

 

Рисунок 35

 

3. Плоскость, перпендикулярная  профильной плоскости проекций (p3), называется профильно-проецирующей плоскостью (g ^ p3). На рисунке  36 горизонтальный (hog) и фронтальный (fog) следы этой плоскости параллельны оси Х. Профильная проекция g3 любой точки, принадлежащей этой плоскости, совпадает с профильным следом pog , т.е. профильная проекция любой фигуры, лежащей в этой плоскости, есть прямая.

Рисунок 36

 

Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций, может, в частности, проходить через ось проекций. Такую плоскость дополнительно называют осевой плоскостью. Рассмотрим, например, осевую профильно-проецирующую плоскость d (рисунок 37).

Плоскость d проходит через ось Х и перпендикулярна к пл. p3, то следы плоскости fdo   и  hod  совпадают с осью и поэтому не определяют положение  плоскости. Чтобы положение плоскости определялось, необходимо, кроме ее  следов, задать в ней какую-либо точку. В частном случае эта плоскость может быть плоскостью биссектора. Тогда взятая в ней точка (К) будет равноудалена от плоскостей проекций (p1 и p2).

Рисунок 37

 

Таким образом, из вышерассмотренного следует, что у проецирующей плоскости на комплексном  чертеже одна проекция есть прямая, на которой располагается проекции всех точек, линий и фигур, лежащих в этой плоскости. Это вырожденная в прямую линию проекция плоскости вполне определяет положение плоскости относительно основных плоскостей проекций. Проецирующая плоскость на комплексном чертеже может быть задана только своей “вырожденной“ проекцией.

Плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекциям (параллельны третьей плоскости проекций), также возможны три частных положения. Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.  

          1.Плоскость перпендикулярная плоскостям p2 и p3, т.е. параллельная p1  (рисунок 38),  называется горизонтальной плоскостью уровня.

             Фронтальный ее след foe параллелен оси Х; горизонтального следа такая плоскость не имеет, так как с плоскостью p1 она не пересекается.

         След (foe º e2) можно рассматривать как фронтальную проекцию плоскости. Горизонтальная плоскость задается только фронтальным следом, который параллелен оси Х (рисунок 38, б). Любая фигура, расположенная в горизонтальной плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину: А1В1С1 =  АВС (рисунок 38, в).

 

Рисунок 38

 

2.     Плоскость перпендикулярная  плоскостям p1 и p3, т.е. параллельная

плоскости p2 (рисунок 39), называется фронтальной плоскостью уровня.

Горизонтальный ее след hol  параллелен оси Х; фронтального следа ее фронтальная плоскость не имеет, так как с плоскостью p2 она не пресекается. След (hol º l) можно рассматривать как  проекцию этой плоскости на плоскость p1 (рисунок 39, б). Любая фигура, расположенная во фронтальной плоскости, проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину: А2В2С2 = АВС (рисунок 39, в).

 

Рисунок 39

 

3. Плоскость, перпендикулярная плоскостям p1 и p2, т.е. параллельная плоскости p3 (рисунок 40), называется профильной плоскостью уровня.

Следы плоскости fot  и  hot  перпендикулярны к оси Х, пересекая ее в точке Хt. Профильная плоскость сочетает в себе свойства фронтально - и горизонтально - проецирующей плоскостей.

 

 

 

 

Рисунок 40

К примечательным свойствам плоскостей уровня относят следующее: если какая-либо фигура расположена в плоскости уровня, то она проецируется без искажения своего истинного вида на ту плоскость проекций, которой параллельна плоскость уровня.

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

1.     Какими элементами пространства можно задать плоскости?

2. Как относительно плоскостей проекций может быть расположена плоскость?

3.     Дайте определение плоскости общего положения.

4. Как располагается в системе основных плоскостей проекций плоскость общего положения?

5. Какие плоскости называются проецирующими?

6.     Какие плоскости называются плоскостями уровня?

7.     Укажите особенности проецирующих плоскостей.

8. Где располагается горизонтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтально-проецирующей плоскости или фронтальной плоскости?

9. Где располагается фронтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтальной или фронтально-проецирующей плоскости?

10. Перечислите все проецирующие и все плоскости  уровня.

11. Что называется следом плоскости?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Взаимное положение точки, прямой линии и плоскости

 

 

К числу основных задач, решаемых на плоскости, относят:

 - проведение любой прямой в плоскости;

 - построение в плоскости некоторой точки;

 - построение недостающей проекции точки;

 - проверка принадлежности точки плоскости.

Решение этих задач основывается на следующих положениях геометрии:

 - прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости;

 - прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельна ей.

При этом используется условие, что если точка принадлежит плоскости, то ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой, принадлежащей плоскости.

 

 

5.1 Проведение любой прямой в плоскости

 

 

           На рисунке 41 проекции прямой А1 проходят через проекции А1 и А2 – проекции вершины А треугольника АВС, и проекции 11 и 12  - проекции точки

                   Рисунок 41                                              Рисунок 42

пересечения прямой А1 со стороной ВС треугольника АВС. Прямая А1 имеет с треугольником АВС две общие точки: А и 1, следовательно, прямая А1 принадлежит плоскости, которая задана треугольником АВС.

         На рисунке 42 проекции l2 и  l1 прямой l проведены параллельно проекциям А2С2, А1С1 стороны АС треугольника АВС, заданного проекциями А2В2С2 , А1В1С1. Прямая линия l принадлежит заданной плоскости АВС.

 

 

5.2 Построение в плоскости некоторой точки

 

 

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости. Пусть даны плоскость a (a Ç b) и фронтальная проекция инциндентной ей точки А (рисунок 43). Требуется построить  горизонтальную проекцию (А1) точки  А.

 

                  Рисунок 43                                           Рисунок 44

 

Проведем через  А2 фронтальную проекцию произвольной прямой, инциндентной плоскости a (a Ç b), отметим точки 12 и 22  ее пересечения с прямой a2 и b2. Найдя горизонтальные проекции точек 1 и 2, соединим их прямой линией и на ней в пересечении с линией связи, проведенной через А2, найдем точку А1.

Для проверки принадлежности точки плоскости используют вспомогательную прямую линию, принадлежащую плоскости. Пусть плоскость b задана проекциями А2В2, А1В1 и С2D2, C1D1 параллельных прямых линий (b (AВ // CD)) и точка Е проекциями Е2 и Е1 (рисунок 44). Проекции вспомогательной прямой проводят так, чтобы она проходила через одну из проекций точки. Например, горизонтальная проекция 1121 вспомогательной прямой  (12) проходит через проекцию Е1. Построив фронтальную проекцию 1222  вспомогательной прямой, убеждаемся, что фронтальная проекция Е2  точки не принадлежит ей. Следовательно, точка Е не принадлежит заданной плоскости.

 

 

5.3  Прямые линии особого положения в плоскости

 

 

В плоскости, кроме прямых произвольного (общего) положения, можно построить и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций.

В любой плоскости можно построить линии параллельные плоскостям проекций. Их называют линиями уровня плоскости.

Горизонталь плоскости – это линия плоскости, параллельная горизонтальной плоскости проекций (рисунок 45). Построение горизонтали всегда начинают с ее фронтальной проекции. Так как горизонталь плоскости есть прямая параллельная плоскости p1, то фронтальная проекция этой прямой

h ^ А2А1. Для построения горизонтальной проекции горизонтали строим точку 11  и проводим прямую h1 через точки А1 и 11.

Алгоритм решения:

              h (А,1) Î a (АВС); h2 ' А2;  h2  ^ А2А1;  h2 Ç В2С2 = 12;

              1211,  1211 // А2А1;  1211 Ç В1С1 = 11; А1 Ç 11 = h1.                                                                                    

 

Рисунок 45

          В плоскости, заданной следами (рисунок 46), горизонталь плоскости задается принципиально таким же образом.

 

Рисунок 46

 

Чтобы построить произвольную горизонталь плоскости  a, заданной на эпюре следами (рисунок 47), достаточно:

а) провести в произвольном месте чертежа (рисунок 47) прямую линию

 h2 // Х (фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Х), найти фронтальный след горизонтали 1(12; 11) и через точку 11 провести h1 // hoa (горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости);

б) провести в произвольном месте чертежа (рисунок 47) прямую

h1 // hoa, найти фронтальный след горизонтали 1(11;12) и через точку 12

  провести  прямую h2 // Х.                                                                                                     

Фронталь плоскости – это линия плоскости, параллельная фронтальной плоскости проекций  (рисунок 48). Построение начинают с горизонтальной плоскости.

              Алгоритм решения:

                  f (F,1) Î b(DEF);  f1 ' F1;  f1 ^ F1F2;  f1 Ç D1E1 = 11;

                    1112 // F1F2; 1112 Ç D2E2  = 12; F2 Ç 12 = f2.

 

 

 

 

                              Рисунок 47                                      Рисунок 48

 

Используя горизонталь и фронталь плоскости, можно построить следы плоскости. Проведем в плоскости a (a Ç b) горизонталь h и фронталь f (рисунок 49). Найдя фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали – точку 32 ,  проведем через нее foa // f2. Отметим точку Хa пересечения прямой foa  с  осью Х, проведем через нее hoa //  h1.

Рисунок 49

 

           У плоскостей, заданных следами, горизонтальная проекция фронтали параллельна оси Х (f1 // Х), горизонтальный след фронтали принадлежит горизонтальному следу плоскости  (h Ì hоb), и фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости f // fob  (рисунок 50). f Ì b,

b (hоb,  fob), f // p2.

Рисунок 50

 

 

  Линиями наклона плоскости называют прямые плоскости, перпендикулярные к линиям уровня. Название их связано с тем, что эти линии образуют с соответствующими плоскостями проекций углы, по величине равные углам наклона плоскости к плоскостям проекций.

 Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций отметим

линию наибольшего наклона к плоскости p1. Эту линию называют  линией ската.  Линия ската – прямая лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонталям. Для проведения линии  ската в плоскости a (a Ç b) предварительно  должна быть определена горизонталь  плоскости h (рисунок 51) . После этого горизонтальная проекция линии ската проводится перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали (4131 ^ h1), а фронтальная проекция определяется точками 32 и 42  пересечения ее с данными линиями плоскости.

На рисунке 52  через точку В проведена линия l наклона плоскости (АВС) к фронтальной плоскости проекций. Ее фронтальная проекция (В212) перпендикулярна к фронтальной проекции А2С2  прямой АС, являющейся фронталью, а горизонтальная проекция определена точкой 11  пересечения с прямой АС.

 

 

 

Рисунок 51                                Рисунок 52

 

На рисунке 53 показано изображение линии наибольшего наклона (линии ската) плоскости, заданной следами. Горизонтальная проекция линии ската перпендикулярна горизонтальным проекциям горизонтали (l1 ^ h1 или

 l1 ^ hod), и ее следы принадлежат следам плоскости (Н Ì hod  и  F Ì ¦od).

 

Рисунок 53

Таким образом, чтобы построить линию наибольшего наклона плоскости, необходимо в этой плоскости сначала провести прямую уровня. Тогда на основании свойства проецирования прямого угла можно утверждать, что прямой угол, составленный линией наибольшего наклона с горизонталью (фронталью), на горизонтальную (фронтальную) плоскость проекций проецируется без искажения.

Через заданную точку плоскости можно провести лишь одну линию ската и одну линию наклона к фронтальной плоскости проекций.

 

 

5.4  Взаимное положение прямой линии и плоскости

 

 

Прямая линия относительно плоскости может занимать два положения: принадлежать плоскости или пересекать ее.

Частными случаями пересечения могут быть: параллельность – пересечение прямой с плоскостью в бесконечности и перпендикулярность – пересечение прямой с плоскостью под углом 90о.  При определении взаимного положения прямой линии с плоскостью используется следующие положения, известные из геометрии:

- через одну точку пространства можно провести бесчисленное количество прямых линий;

- две точки однозначно определяют положение прямой линии;

- если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая линия принадлежит этой плоскости;

- прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой этой плоскости;

- если прямая  линия перпендикулярна к двум непараллельным прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости;

- через одну прямую линию можно провести бесчисленное количество плоскостей;

- две плоскости пересекаются по единственной прямой линии.

          Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения прямой линии и плоскости, то прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некоторой вспомогательной прямой. Указанный прием определения взаимного положения прямой линии и плоскости заключается в следующем:

- через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения этой плоскости с данной плоскости;

- устанавливают взаимное положение плоскостей. Найденное положение определяет взаимное положение данных прямой и плоскости.

5.4.1  Прямая параллельная плоскости

 

 

Для того чтобы прямая была параллельна данной плоскости, необходимо, чтобы она была параллельна какой-либо прямой линии, лежащей в этой плоскости. В плоскости можно провести неограниченное число прямых линий параллельных плоскости.

Если задана плоскость a(АВС) и  точка D, то, чтобы провести через

 точку D прямую линию DЕ параллельно данной плоскости (рисунок 54, а), необходимо провести ее проекции параллельно одноименным проекциям одной из сторон треугольника АВС либо прямой линии, лежащей в этой плоскости. На рисунке 54, а  D2Е2 // А2В2 и D1Е1 // А1В1, следовательно, DЕ // a(АВС). На рисунке 54, б показана прямая линия, параллельная плоскости, заданной следами:

l // а,  а Ì a Þ а // a.

                                  а)                                                                б)

 

Рисунок 54

 

          Если плоскость является проецирующей, то любая одноименно проецирующая прямая параллельна этой плоскости, потому что в плоскости всегда можно найти одноименно проецирующую прямую. На рисунке 55 изображены плоскости: a ^ p2, b ^ p1, d ^ p3. Этим плоскостям будут параллельны прямые а // a  ^ p2); b // b (b ^ p1); с // d^ p3). Любая прямая l, у которой l2 // a (l1 – произвольно), будет параллельна плоскости a.

 Аналогично  d1 // b  Þ d // b; е3 // d  Þ е // d.

        а)                                             б)                            в)                   

 

Рисунок 55

 

 

5.4.2        Пересечение прямой линии с плоскостью

 

 

Если прямая линия не параллельна плоскости, то она пересекается с плоскостью. Построение точки пересечения прямой линии с плоскостью является одной из основных позиционных задач начертательной геометрии. Позиционными называют задачи, связанные с решением на комплексном чертеже вопросов взаимного расположения геометрических образов. Прямая линия, пересекающая плоскость, имеет с ней единственную общую собственную точку.

 В решении задачи используют проецирующую плоскость как секущую вспомогательную плоскость. Рассмотрим схему решения   задачи  на    определение  точки  пересечения   прямой  l (АВ)  с   плоскостью S (DEF). Задача решается в следующей последовательности (рисунок 56):

1.   Через прямую l (АВ) проводим проецирующую плоскость (горизонтально – либо фронтально-проецирующую), т.е. l É l Ù l ^ p1.

2.  Определяем линию пересечения заданной плоскости S с вспомогательной плоскостью l; она определяется по точкам M и N пересечения прямых линий DE и EF плоскости S с плоскостью l:

 M = DE Ç l;  N = EF Ç l;    MN = S Ç l.

3.   Определяем точку K пересечения данной прямой l (AB)с линией пересечения плоскостей S и l, то есть K  = MN Ç l. Точка K, общая для прямой l и  плоскости S, является искомой точкой пересечения прямой линии с плоскостью.  

 

Рисунок 56

 

          Рассмотрим решение этой задачи на комплексном чертеже (рисунок 57). Пусть дана плоскость общего положения a (АВС) и прямая a. Определим

точку пересечения прямой линии с плоскостью.

 

Рисунок 57

          Проведем горизонтально-проецирующую плоскость l:      l É a  и построим   линию 12 пересечения плоскостей – заданной и вспомогательной. Обе прямые линии a и 12 инциндентны плоскости l, следовательно, их горизонтальные проекции совпадают.

 В пересечении 1222   с a2  отметим точку K2, а затем найдем K1. Точка K  есть точка пересечения прямой линии a с плоскостью  a (АВС).                                                                   

Видимость прямой линии и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально-конкурирующих точек 1  и 3, а видимость относительно фронтальной плоскости  проекций – с помощью фронтально-конкурирующих точек 4 и 5.

Определим видимые и невидимые (относительно плоскостей проекций) отрезки прямой линии a, применяя способ «конкурирующих» точек – точек принадлежащих их общему проецирующему лучу. Если смотреть по направлению проецирующего луча, то можно увидеть ту из конкурирующих точек, которая наиболее удалена от плоскости проекций (наиболее близко расположена к наблюдателю).

На горизонтально-проецирующем луче 13 находятся точки 1 и 3, принадлежащие прямым линиям АВ и a. Точка 1 принадлежит стороне АВ треугольника АВС, а точка 3 – прямой a. По фронтальным проекциям 12 и 32  этих точек устанавливаем, что одна из них (точка 1) выше, чем другая (точка 3). Следовательно, на участке К3 прямая линия a (если смотреть на горизонтальную плоскость проекций p1) находится за плоскостью треугольника АВС и закрыта этим треугольником. Условно горизонтальная проекция a1 прямой линии a на участке К131  показана штриховой линией.

Чтобы определить видимость во фронтальной проекции, воспользуемся лучом 45. Здесь точка 4 принадлежит стороне ВС треугольника АВС, а точка 5 – прямой a. По местоположению горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 4 ближе к нам, чем другая точка 5. Поэтому на участке К242 прямая линия закрыта треугольником и является невидимой. Фронтальная проекция a2  на этом участке показана штриховой линией.

Алгоритм построения точки пересечения прямой а с плоскостью a(АВС) может быть записана в виде:

l É а, l ^ П1; 12 = l Ç  a(АВС); К = Ç а; К= а Ç a(АВС).

На рисунке 58 дано решение этой задачи, когда плоскость a задана следами. Проведем горизонтально-проецирующую плоскость l: l É a  и определим линию пересечения АВ заданной и вспомогательной плоскостей. На ней, в ее пересечении (А2В2 Ç а2 = К2) с прямой линией а,  расположена точка К. Вначале находим К2, а уже затем К1.

 

Рисунок 58

 

 

5.4.3  Прямая линия, перпендикулярная к плоскости

 

 

Прямая линия перпендикулярна плоскости, когда она перпендикулярна двум любым пересекающимся прямым этой плоскости, в частности, горизонтали и фронтали плоскости.

Чтобы построить в проекциях прямую линию, перпендикулярную плоскости, необходимо воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла. Напомним ее: если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций в истинную величину.

На рисунке 59 через точку А проведена прямая l, перпендикулярная к плоскости a(a Ç b). Для этого в плоскости a определены горизонталь ha  и фронталь  fa , и горизонтальная проекция перпендикуляра проведена перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали: l1 ^ h1a; l2 ^ f2a.. Прямая l и плоскость a взаимно перпендикулярны. Из чертежа следует, что прямая l перпендикулярна к прямой ha , так как угол между горизонтальными проекциями сторон угла прямой и одна сторона его (ha) параллельна плоскости  проекций (p1).

                 Рисунок 59                                                    Рисунок 60

 

Точно так же очевидно, что прямая l перпендикулярна к прямой fa.

Таким образом, если прямая линия перпендикулярна к двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

На рисунке 60 эта же задача решена для случая, когда плоскость a задана следами. Для определения направлений проекций перпендикуляра нет необходимости проведения горизонтали и фронтали, так как их функции выполняют следы плоскости hоa  и fоa. Как видно из чертежа, достаточно провести из точки А1 и А2 проекции l1 ^ hоa;  l2 ^ fоa.

Перпендикуляр к проецирующей плоскости параллелен той плоскости проекций, которой перпендикулярна проецирующая плоскость.

На рисунке 61, а показана прямая DK, перпендикулярная к горизонтально-проецируещей плоскости a(АВС). Очевидно, эта линия является горизонталью.

На рисунке 61, б изображена прямая NK, перпендикулярная к фронтально-проецирующей плоскости a, заданной следами. Она является фронталью.

На рисунке 61, в изображена прямая АВ, перпендикулярная к профильно-проецирующей плоскости a.

               а)                                       б)                                      в)

 

Рисунок 61

 

В заключение решим задачу. Через данную точку Е прямой АВ перпендикулярно ей провести прямую, пересекающую данную прямую (рисунок 62).

 

 

Рисунок 62

 На чертеже через точку Е проводим плоскость S (h Ç f), перпендикулярную прямой АВ. Определим точку F пересечения прямой СD с этой плоскостью. Для этого через прямую СD проведем секущую вспомогательную горизонтально - проецирующую плоскость a.  Определим линию пересечения плоскости a с плоскостью S. Такая прямая линия пересекается с прямой СD в точке F. Прямая ЕF является искомой прямой линией.

 

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

1. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть параллельна некоторой плоскости?

2.     Какие линии уровня плоскости вы знаете?

3.     Что такое линия ската?

4.     Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости?

5. Какие плоскости можно провести через фронтально-проецирующую и горизонтально-проецирующую прямые?

6. Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую линию общего положения?

7. Как относительно друг друга могут быть расположены в пространстве прямая и плоскость?

8.     Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой?

9.     Как располагается проекция перпендикуляра к плоскости?

         10. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для построения точки пересечения прямой линии с плоскостью?

11. Как определить видимость в случае пересечения прямой линии и плоскости?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          6 Взаимное положение двух плоскостей

 

 

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися. При определении взаимного положения плоскостей используются сведения, известные из геометрии:

- три точки, не принадлежащие одной прямой линии, определяют плоскость;

     - если две пересекающиеся прямые линии одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости, то эти плоскости параллельны между собой;

-  если плоскость проходит через прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.

 

 

        6.1  Параллельные плоскости

 

 

Если плоскости параллельны, то всегда в каждой плоскости можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую.

Плоскости, изображенные на рисунке 63 параллельны, так как пересе -

 

Рисунок 63

кающиеся прямые DE и EK плоскости, заданной треугольником DEK, соответственно параллельны пересекающимся прямым АВ и ВС плоскости, заданной треугольником АВС (АВ // DE и ВС // EK).

Если две параллельные плоскости заданы следами (рисунок 64, а), то их одноименные следы параллельны: foa // fob  и hoa // hob, поскольку две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью (p2 или p1) по параллельным прямым.

Если одна из взаимно параллельных плоскостей  проецирующая, то и другая плоскость также одноименно проецирующая. Если a // b и a ^ p2, то   b ^ p2 и  foa // fob (рисунок 64, б).

а)                                                                б)

 

Рисунок 64

 

 

6.2  Взаимное пересечение двух плоскостей

 

 

Если плоскости не параллельны, то они пересекаются. В этом случае возникает  задача о построении проекций линии пересечения. Прямую линию пересечения двух плоскостей можно определить по двум общим точкам. Для этого определяют точки пересечения любых двух прямых линий одной плоскости с другой плоскостью или точки пересечения прямой на каждой из плоскостей с другой плоскостью. Рассмотрим сначала частный случай  (рисунок 65, а), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (a // p1, fоa // х).  В этом случае линия пересечения l, принадлежащая плоскости a,  будет также параллельна плоскости p1, т. е будет являться горизонталью пересекающихся плоскостей (l º h).

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (b // p2,  f ob  // х,  рисунок 65, б), то линия пересечения  l , принадлежащая плоскости b, будет параллельна плоскости p2  (l º f – фронталь пересекающихся плоскостей).

а)                                                                б)

 

Рисунок 65

 

В общем случае линия пересечения плоскостей определяется при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Удобно выбирать в качестве вспомогательных плоскостей две фронтально – или две горизонтально-проецирующие плоскости, параллельные между собой, в том числе и плоскости уровня. В этом случае прямые пересечения вспомогательных плоскостей с каждой из заданных плоскостей будут параллельны между собой.

         Рассмотрим, как построить линию пересечения двух плоскостей общего положения (АВС Ç DEF), и установим видимость этих треугольников относительно плоскостей проекций (рисунок 66).

План решения задач на взаимное пересечение включает:

- определение вида заданных плоскостей;

- выбор вспомогательных секущих плоскостей;

- нахождение точек линии пересечения (дважды применив решение задачи на пересечение прямой с плоскостью).

Рисунок 66

 

В заданных плоскостях выделяем две прямые линии АВ и EF и находим точки пересечения их с другой плоскостью, используя фронтально-проецирующие плоскости АВ Î S и EF Î S1. Находим точку пересечения прямой АВ с плоскостью DEF, т.е. точку М (М1, М2) искомой линии пересечения плоскостей: АВ Î S (S ^ p2);  S Ç DEF = 12 (1222; 1121);  1121 Ç А1В1 = М1;

М1М2 // А1А2;  М1М2 Ç А2В2 = М2;  М (М1, М2).

Аналогично находим вторую точку N (N1, N2) линии пересечения прямой EF с плоскостью АВС:  EF Î S1  (S1^ p2);  S1 Ç АВС = 34(3242; 3141);

 3141 Ç E1F1 = N1;  N1N2 //  А1А2;  N1N2 Î E2F2 = N2;  N (N1, N2).

Соединив точки М и N прямой линией, получаем искомую линию пересечения МN (М1N1; М2N2) заданных плоскостей: АВС Ç DEF = МN.

Для определения видимости пересекающихся плоскостей относительно фронтальной плоскости проекций используем фронтально-конкурирующие точки 1 и 5 (1 Î DF; 5 Î АВ). Построив горизонтальные проекции этих точек (11 и 51), устанавливаем, что точка 51 ближе к зрителю, чем точка 11. Следовательно, спереди виден отрезок АМ (А2М2) от точки А до точки пересечения прямой с плоскостью. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что отрезок DE оказывается видимым, отрезок DF – частично закрытым треугольником АВС.

Для  определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций возьмем точки 6 и 7 (6 Î EF; 7 Î АС). Найдя фронтальные проекции этих точек (62 и 72), устанавливаем, что точка 6 при направлении проецирования, перпендикулярном p1,  расположена ближе к зрителю, следовательно, она видима. Видимой будет прилегающая к точке N часть отрезка EF (до точки его пересечения с плоскостью АВС – Е1N1). Отрезок DE  оказывается видимым, а АВ – частично закрытым треугольником DEF.

        Построение линии пересечения плоскостей общего положения, заданных следами, показано на рисунке 67. Точка А инциндентна следам обеих плоскостей a и b, следовательно, инциндентна линии их пересечения. Точно так же точка В инциндентна этой линии. Соединим на комплексном чертеже одноименные проекции точек А и В, получив проекции линии пересечения плоскостей.

Рисунок 67

 

         Если какие-либо одноименные следы плоскостей не пересекаются в пределах чертежа (рисунок 68), можно рассечь обе заданные  плоскости a и b  вспомогательной плоскостью. Построив линии пересечения плоскостей заданных и вспомогательной, определим общую для заданных плоскостей точку. В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами fоg и fоj; секущая вспомогательная плоскость g  пересекает заданные плоскости по прямым линиям – горизонталям 12, которые пересекаются в точке А. Вторая секущая горизонтальная плоскость j пересекает заданные плоскости также по горизонталям (34), они в свою очередь пересекаются в точке В. Прямая проходящая через точки А и В является линией пересечения заданных плоскостей.

Рисунок 68

 

 

6.3  Взаимно перпендикулярные плоскости

 

 

Как известно, плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Чтобы  построить плоскость, перпендикулярную к заданной плоскости, необходимо либо восставить к данной плоскости перпендикуляр и через него провести плоскость, либо провести в заданной плоскости прямую линию и перпендикулярно к ней взять искомую плоскость.  Таким образом, задача на построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей сводится к следующему: проводим прямую линию l, принадлежащую к плоскости a; заключаем прямую l в плоскость b. Плоскость b ^ a, так как b É l ^ a. Через прямую линию l можно провести неограниченное количество плоскостей перпендикулярных данной плоскости.

На рисунке 69 приведен пример построения плоскости b, перпендикулярной к плоскости a(АВС) и проходящей через прямую а.

Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости a(АВС), для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали (h1) и фронтальную проекцию фронтали (f2); из проекций произвольной точки       D Î а проводим проекции перпендикуляра l1 ^ h1 и l2 ^ f2. Плоскость b ^ a, так как b É l ^ a. Образованная пересекающимися прямыми линиями а и l плоскость перпендикулярна к плоскости a(АВС), так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. Через заданную прямую можно провести только одну плоскость, перпендикулярную к другой плоскости.

Рисунок 69

 

Проецирующая плоскость будет перпендикулярна к плоскости общего положения, если она перпендикулярна к горизонтали или фронтали плоскости общего положения (рисунок 70).

S ^ p1 Ù S ^ f2a ® S ^ a;   b ^ p1 Ù b ^ h1a ® b ^ a.

Из чертежа видно, что отличительной особенностью эпюра, на котором заданы две взаимно перпендикулярные плоскости, из которых одна – фронтально-проецирующая, является перпендикулярность их фронтальных следов f2a ^ f0S;  горизонтальный след фронтально-проецирующей   плоскости перпендикулярен оси Х  (hoS ^ х).

Но если одноименные следы двух  плоскостей  общего  положения  взаимно  перпендикулярны,  то  сами  плоскости  не перпендикулярны  между  собой, так  как  здесь  не  соблюдается условие, что одна из плоскостей должна содержать в себе прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

 

Рисунок 70

 

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

1. Укажите последовательность графических построений для определения линии пересечения двух плоскостей.

2. Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности прямой линии и плоскости.

3. Сформулируйте условие параллельности и условие перпендикулярности двух плоскостей.

4. Какие точки называются конкурирующими? Как ими пользоваться при определении видимости геометрических элементов?

5. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?

6. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их одноименные следы взаимно перпендикулярны?

 

 

 

 

 

 

 

 

       7  Способы преобразования  чертежа

 

 

Целью преобразования чертежа является проведение заданных на эпюре геометрических элементов в новое положение по отношению к плоскостям проекций, более удобное для решения той или иной задачи. 

Преобразование чертежа делают для того, чтобы в новой системе плоскостей проекций геометрические образы (отрезок, плоская фигура и т.п.) проецировались на новую плоскость проекций без искажения, в натуральную величину, либо позволяют получить выразительные проекции отдельных элементов. Построение новых дополнительных проекций называют преобразованием чертежа, что можно осуществить двумя способами:

- выведение дополнительных плоскостей проекций с неизменным положением геометрических элементов;

- перемещение геометрических элементов в пространстве с неизменным положением плоскостей проекций.

       Так как частных положений у прямой два и у плоскости два, то существуют четыре исходные задачи для преобразования комплексного чертежа:

- прямую общего положения преобразовать в прямую уровня;

- прямую уровня перевести в проецирующее положение;

- плоскость общего положения преобразовать в проецирующее;

проецирующую плоскость перевести в положение плоскости уровня.

В данной работе рассматриваются только три способа преобразования ортогональных проекций, предусмотренные программой: способ перемены плоскостей проекций, вращения и плоскопараллельное перемещение.

 

 

7.1 Способ перемены плоскостей проекций

 

 

Способ «перемены» заключается в том, что, вводя дополнительные плоскости проекций, они переходят к другой системе плоскостей проекций, при этом геометрические образы в пространстве сохраняют свое положение. Изменяют направления плоскости проекций: при замене обязательно сохраняется взаимная перпендикулярность двух плоскостей проекций.

Пусть задана точка А и система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций p1 и p2 (рисунок 71). Возьмем плоскость p4 ^ p1 и спроецируем точку А на эту плоскость; проекцией будет А4. Получаем две системы плоскостей проекций: основную p1 и p2 и дополнительную p1 и p4. Положение точки А в пространстве определяем по двум ее проекциям – А2 и А1 в основной системе плоскостей и А1 и А4 – дополнительной. При переходе от одной системы плоскостей проекций к другой аппликата Z1 точки А и ее горизонтальная проекция А1 точки А остаются неизменными (инвариантными) для двух систем.

 

Рисунок 71

 

       Операция  перехода от одной системы плоскостей к другой показана на

эпюре (рисунок 72).

 

 

Рисунок 72

 

Для того чтобы по заданной  эпюре точки А (А1, А2) и новой оси проекций х14

 построить проекцию этой точки на плоскость p4  4), необходимо:

1) из горизонтальной проекции точки А1 опустить перпендикуляр на новую ось проекций х14;

   2) от точки А14  на этом перпендикуляре отложить координату z точки А, т. е. А14 А4 = А12А2 = ZA

Таким образом, если точка в пространстве проецируется на новую плоскость проекций, перпендикулярную к одной из оставленных плоскостей проекций, то расстояние новой проекции точки от новой оси равно расстоянию заменяемой проекции от заменяемой оси.

Заметим, что нельзя менять обе плоскости проекций сразу. Новая плоскость проекций должна сохранять перпендикулярность к остающейся плоскости. Поэтому замену плоскостей можно производить только в последовательном порядке: сначала изменить одну плоскость, затем другую, и, если требуется для решения задачи, эту операцию можно повторять неоднократно. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Определение длины отрезка АВ общего положения показано на рисунке 73.

 

Рисунок 73

 

Для этого, чтобы данная прямая общего положения АВ оказалась линией уровня, следует ввести новую плоскость p4 (p5), которая была бы ей параллельна. На чертеже дополнительная плоскость p4 параллельна прямой АВ и перпендикулярна к плоскости p1 (ось Х14 p1/p4 параллельна проекции А1В1). Через точки А1 и В1 проводим новые линии связи, перпендикулярные оси Х14. Расстояние от оси Х14 до А4 и В4 равно расстояниям от А2 и В2 до оси Х12. Образовавшейся системе плоскостей проекций p1/p4 прямая АВ (А4В4) является линией уровня, т.е. натуральной величиной отрезка АВ.

Аналогичным построением можно данную прямую АВ преобразовать в горизонталь. Для этого оставим на месте p2 и заменим p1 на p5. Дополнительная плоскость p5 параллельна прямой АВ и перпендикулярна к плоскости p2. Теперь прямая А5В5 является линией уровня в системе p2/p5, т.е. натуральной величиной отрезка АВ.

2. Приведение отрезка прямой общего положения в проецирующую   прямую.

На рисунке 74 показан перевод отрезка СД прямой общего положения в положение С5Д5 отрезка фронтально-проецирующей прямой.

 

 

Рисунок 74

 Вначале заменой плоскости p2 плоскостью p4 переводим отрезок СД в положение параллельное плоскости p4, затем, заменив плоскость p4 плоскостью p5, поставим отрезок СД по отношению к плоскости p5 в проецирующее положение, и тогда ее проекция на плоскости p5 сольется в точку С5 º D5,  при этом С45С5 = С14С2  (или D45D5 =  D14D2).

3. Чтобы плоскость общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо в этой плоскости выбрать одну из главных линий – горизонталь или фронталь, каждая из которых и определяет направление дополнительной плоскости проекций. Если горизонталь плоскости является направлением дополнительной плоскости проекций, то плоскость, перпендикулярная этой плоскости проекций, занимает также относительно ее положение проецирующей плоскости.

Рассмотрим пример преобразования плоскости общего положения a, заданной треугольником АВС, в плоскость проецирующую (рисунок 75).Через вершину А проводим горизонталь. На чертеже горизонтальная проекция А111 горизонтали А1 определяет направление проекции на дополнительную плоскость проекций. Выбираем дополнительную плоскость проекций p4 перпендикулярно горизонтали А1 плоскости АВС (p4 ^ p1, p4 ^ АВС, Х14 ^ h1) и соответственно перпендикулярно плоскости p1, и с помощью точек А и С построена проекция плоскости - А4В4С4 – прямая.

 

Рисунок 75

 Очевидно, в образовавшейся системе плоскостей проекций p1/p4 плоскость АВС является проецирующей. Заметим, что горизонталь проецируется на плоскости p4 в виде точки.

4. Определить истинную величину фигуры. Если заданные на чертеже плоские фигуры – плоскости общего положения, для определения их истинной величины недостаточно замены одной плоскости. Новая плоскость проекций должна быть параллельна данной фигуре. В таких случаях необходимо заменить плоскости проекций дважды. Основной принцип замены плоскостей проекций и правила построения проекций точек при этом остаются прежними.

Например, необходимо определить истинную величину треугольника АВС, являющегося плоскостью общего положения (рисунок76).

Рисунок 76

         Задача решается двумя последовательными заменами плоскостей проекций. Заменой фронтальной плоскости проекций (p2) некоторой дополнительной   плоскостью   проекций   (p4)   в  образовавшейся   системе   p1/p4

(p4 ^ p1,  p4 ^ АВС и Х14 ^ h1) плоскость АВС (А4В4С4) будет проецирующей. Затем вводится дополнительная плоскость p5 (p5 ^ p4,  p4 | | АВС,

Х45 | | А4В4С4). Спроецировав треугольник АВС на плоскость p5, мы получим, очевидно, его истинную фигуру (А5В5С5).

 

 

7.2  Преобразование проекций способом вращения

 

 

Сущность способа заключается в том, что при неизменном положении основных плоскостей проекций изменяется положение заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций путем их вращения вокруг некоторой оси до тех пор, пока эти элементы не займут частное положение в исходной системе плоскостей проекций. В качестве осей вращения удобнее всего выбрать проецирующие прямые или прямые уровня, тогда точки будут вращаться в плоскостях, параллельных или перпендикулярных плоскостям проекций.

Данный способ широко используется в технике при рассмотрении и исследовании различных вращающихся форм конструкций механизмов и машин.

 

 

7.2.1      Вращение вокруг проецирующих прямых линий

 

Вращением предмета можно построить множество чертежей данного предмета в одной системе плоскостей проекций. При этом основные плоскости проекций остаются неизменными.

Рассмотрим на комплексном чертеже вращение точки вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций. Пусть точка А (рисунок 77) вращается вокруг горизонтально проецирующей прямой  j (j^ p1). Траекторией движения точки А является окружность с центром О на оси вращения в плоскости S,  перпендикулярной к оси вращения. Эта плоскость (S) параллельна горизонтальной плоскости проекций, поэтому радиус вращения R = О1А1  точки А проецируется на p1 без искажения, ее  горизонтальная проекция А1 перемещается по окружности (с центром в точке О1) радиусом ОА. Фронтальная проекция точки А2  при этом перемещается по прямой, параллельной оси Х.

В качестве примера рассмотрим, как осуществляется перемещение отрезка общего положения в частное положение путем вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций.

Преобразование прямой линии общего положения в линию уровня можно осуществить вращением вокруг оси, перпендикулярной как к плоскости

Рисунок 77

 

p1, так и к плоскости p2. На рисунке 78, а отрезок прямой АВ преобразован вращением во фронтальный отрезок A2B2’.

                             а)                                                             б)

Рисунок 78

Ось вращения i ^ p1 и проходит через точку В. Чтобы осуществить такое перемещение, достаточно повернуть АВ вокруг оси i ^ p1 на угол jo так, чтобы после поворота A1B1’ занял положение параллельное оси Х. Так  как точка В принадлежит оси вращения i, то она не будет менять своего положения в процессе преобразования. В1 º В, следовательно, В1º В1 и  В2 º В2’. Для нахождения фронтальной проекции точки А2’ необходимо из А1’ восстановить перпендикуляр к оси Х и отметить точку  его пересечения с горизонтальной прямой, проведенной из точки А2. Отрезок A2B2’ будет натуральной величиной отрезка АВ.

Преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую путем вращения вокруг одной проецирующей оси невозможно. Но зато в проецирующую можно сразу преобразовать прямую уровня. Чтобы преобразовать прямую линию общего положения в проецирующую, требуется произвести последовательно два вращения: первое, преобразуем данную прямую в линию уровня, второе, преобразуем полученную прямую уровня в проецирующую прямую. На рисунке 78, б отрезок СД прямой общего положения переведен в положение, перпендикулярное плоскости p2.

Отрезок СД вначале вращением вокруг оси i ^ p1 переведем в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций (С2’Д2’ | | X), затем вращением вокруг i^ П1, C1’Д1  переместим во фронтально-проецирующее положение C1’’Д1’’ ^ Х..

Для того чтобы повернуть плоскость на определенный угол в заданном направлении, необходимо повернуть три любые точки плоскости вокруг одной и той же оси, на один и тот же угол в заданном направлении.

Рассмотрим на примере.

Определить натуральную величину плоскости общего положения a(АВС). Известно, что плоская фигура проецируется в натуральную величину, если она параллельна плоскости проекций. Если плоскость a(АВС) общего положения, то одним поворотом задачу решить невозможно, т.е. необходимо провести два последовательных вращения: первое – повернуть до положения проецирующей плоскости, второе – до положения плоскости уровня. На рисунке 79 в плоскости a(АВС) проведена горизонталь h(h1 Ù h2).  Ось  вращения i ^ p1 Ù С1 É i1.

Поворачиваем плоскость a(АВС) до положения перпендикулярности горизонтали к плоскости p2 (h1^ p 2), горизонтальная проекция плоскости сохраняет свой вид и величину (А1В1С1 = А1’В1’С1’), изменяется лишь ее положение. Так как точки А, В, С при таком повороте перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости p1, то проекции А2’, В2’ находятся на горизонтальных линиях связи А2А2’ и B2B2’. В результате плоскость a(АВС) становится фронтально-проецирующей плоскостью и точки А2’, В2’ и С2 лежат на одной прямой.  

При втором повороте, приводящем плоскость a(АВС) в параллельное плоскости p1 положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к плоскости p2 (i^ p2, В2É i2’). Поворачиваем проекцию А2’, С2’ до положения параллельного плоскости p2. Теперь фронтальная проекция при повороте сохраняет свой вид и величину, полученные во второй стадии поворота,

 

Рисунок 79

 

точки А1’, C1 перемещаются в плоскостях, параллельных плоскости p2, проекции C1’’ и A1’’ находятся на горизонтальных линиях связи с точками C1A1’. Построив проекцию A1’’B1C1’’, получаем натуральную величину плоскости a(АВС).

7.2.2      Вращение вокруг линий уровня

 

 

Вращение плоскости можно осуществить, принимая за ось вращения одну из ее горизонталей или фронталей. Около этой оси будут вращаться все точки, принадлежащие плоскости. Каждая точка опишет в пространстве окружность, плоскость которой будет перпендикулярной к оси вращения. При этом, если точка будет вращаться около горизонтали, то окружность проецируется на плоскость p1 в виде прямой, перпендикулярной к горизонтальной проекции горизонтали. В случае вращения точки около фронтали окружность вращения проецируется на плоскость p2 в виде прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции фронтали.

Рассмотрим на примере, определить величину угла ВАС (рисунок 80).

 

 

Рисунок 80

 

 Здесь для определения величины угла применен поворот вокруг горизонтали: плоскость угла расположится параллельно плоскости p1. Плоскость однозначно определяется также тремя точками 1, А и С, так как точки С и 1 принадлежат горизонтали, которая принята за ось вращения, то они не меняют своего положения в процессе преобразования. Поэтому, чтобы задать новое положение плоскости (ВАС) | | p1, достаточно осуществить поворот только одной точки А.

Построения выполнены в следующей последовательности:

   а) через точку С проводим горизонталь h(C1),  h2(C212) и h1(C111);

   б) проведена плоскость вращения точки А – горизонтально проецирующая плоскость d, перпендикулярная к горизонтали (т.е. к оси вращения);

    в) определяем центр вращения (О1, О2) точки А в пересечении горизонтали с плоскостью d;

г) определяем величину радиуса вращения как гипотенузу прямоугольного треугольника О1 A1А1’, у которого катет А1А1’= |Z(.)A-Z(.)O|;

  д) из центра О1 проведена дуга окружности радиуса О1А1’, точка пересечения которой с прямой О1А1 укажет положение А1’’- горизонтальная проекция вершины угла после его поворота вокруг горизонтали, и построен угол 11А1’’C1, равный искомому.

Рассмотрим графические построения для определения натуральной величины треугольника АВС вращением его вокруг горизонтали (рисунок 81), проходящей через вершину С треугольника.

Вершины А и В треугольника вращаются вокруг оси h по окружностям; вершина С принадлежит оси вращения и не изменяет своего положения. Центром вращения точки В является точка О пересечения горизонтали h (оси вращения) с горизонтально проецирующей плоскостью d точки В, перпендикулярной этой оси. Теперь необходимо определить натуральную величину радиуса вращения точки В – отрезок ОВ можно определить построением прямоугольного треугольника – О1В1В1’, гипотенуза его равна радиусу вращения точки В, от центра О вращения точки В по направлению следа d, плоскости ее движения откладываем длину радиуса вращения и отмечаем проекцию В1’’ точки В, смещенной до плоскости уровня. Другая точка проходит через найденную точку В1’’ и точку 11 из условия, что точка А принадлежит прямой В1 и плоскости d движения этой точки. Проекция А1B1’’C1 конгруэнтна треугольнику АВС, так как после поворота плоскость треугольника стала параллельной плоскости p1. Фронтальная же проекция треугольника совпадет с фронтальной проекцией горизонтали, т. е. представляет собой прямую линию (на чертеже она не показана).

 

 

Если требуется повернуть плоскую фигуру до положения, параллельного плоскости <