Рисунок 6.2

- при ЧМ девиация частоты не зависит от частоты F, а индекс модуляции согласно (6.10) обратно пропорционален F.

Различие между частотной и фазовой модуляцией особенно заметно, когда модуляция производится сложным сигналом, содержащим большое число компонент с разными частотами. Для иллюстрации сказанного на рисунках 6.2 б,в построены графики ЧМ и ФМ  колебаний, соответствующие сигналу x(t) треугольной формы (см. рисунок 6.2 а). При ЧМ увеличение x(t) сопровождается возрас­танием w  и наоборот. При ФМ ∆φ(t) = ax (t), a ω= ω₀+adx/dt. Поэтому на участках, где dx/dt>0, мгновенная частота ω больше несущей на величину ; на участках с dx/dt< 0 частота ФМ колебания меньше ω₀ на величину ∆ω. Таким образом, ФМ сигналом x(t) треугольной формы совпадает с ЧМ сигналом x₁(t) (см. рисунок 8.2 г) прямоугольной формы. И вообще любое-колебание с угловой модуляцией может быть получено как в результате ФМ первичным сигналом x(t), так и ЧМ первичным сигналом х₁(t)=dx/dt. К сказанному следует добавить, что частотная и фазовая модуляция различаются также способами их осуществления.

Исходным для определения спектров колебаний при гармонической угловой модуляции является выражение (6.11). Примем для упрощения выражений φ₀=0 и перепишем (6.11) в виде

.               (6.12)

Выражение (6.12) представляет сумму двух квадратурных колебаний частоты ω₀, из которых каждое модулировано по амплитуде частотой Ω. Угловую модуляцию принято подразделять на  узкополосную (М<0,5 рад) и широкополосную (M>0,5рад). Наибольшее распространение в технике связи имеет широкополосная ЧМ с М>>1. Начнем с определения спектра узкополосной угловой модуляции. Полагая M << l, имеем

,       (6.13)

а потому

.     (6.14)

Таким образом, спектр узкополосных сигналов угловой модуляции аналогичен спектру простейшего AM колебания, показанному на рисунке 5.2. Он содержит компоненты несущей частоты ω₀ и двух боковых частот ω₀+Ω и ω₀−Ω. Параметром, определяющим амплитуды боковых частот, здесь является индекс модуляции М. Ширина спектра узкополосной угловой модуляции такая же, как и при AM: она равна удвоенной частоте модуляции. Несмотря на идентичность спектров, рассматриваемое колебание отличается от AM колебания, что является следствием различия в знаках (т. е. в сдвиге фаз на 180°) компонент нижней боковой частоты в выражениях (6.14) и (5.5). Это означает возможность преобразования AM колебания в узкополосное ФМ колебание поворотом фазы одной из боковых частот на 180°.

При широкополосной угловой модуляции M >> 1 выражения (5.5) и (6.14) несправедливы. Приходится спектр колебаний определять непосредственно из (6.12). Выражения и  являются периодическими функциями частоты, а потому они могут быть разложены в ряды Фурье. Первая из этих функций является четной, вторая—нечетной.

где J_n(M) — функция Бесселя первого рода п-го порядка от аргумента М. Таким образом, спектр ЧМ и ФМ колебаний, модулированных гармоническим сигналом, оказывается дискретным, симметричным относительно ω₀ и содержащим бесконечное число боковых частота вида ω₀±nΩ с амплитудами A_n=U₀J_n(M). Для М=4 он построен на рисунке 6.3. При ограничении спектра необходимо учитывать влияние двух противоречивых факторов: в более узкой полосе частот ослабляется влияние помех, но одновременно увеличиваются искажения сигнала из-за отсутствия опускаемых составляющих. На практике выбирают компромиссное решение. Отличие ширины спектра сигналов гармонической угловой модуляции от интервала частот 2∆f_д, в пределах которого происходит изменение мгновенной частоты сигнала:

а) теоретическая ширина спектра ∆f_{чм, фм}=∞;

б) практическое ее значение при М<<1 оказывается ∆f_{чм, фм}=2F>>2∆f_д, а при M>>1   ∆f_{чм, фм} несколько превышает 2∆f_д и лишь приближенно считается равной ей (8.17). Рассмотрим влияние параметров модулирующего сигнала x(t)=XcosΩt на спектры ФМ и ЧМ колебаний, используя (8.17). При изменении амплитуды Х модулирующего сигнала спектры ФМ и ЧМ колебаний изменяются одинаково. При возрастании Х происходит пропорциональное увеличение индекса модуляции, спектры расширяются за счет увеличения числа спектральных компонент. Изменение частоты F модулирующего колебания по-разному влияет на изменение спектров ФМ и ЧМ колебаний. При ФМ изменение F не влияет на величину индекса модуляции, а следовательно, и на число спектральных составляющих (см. рисунки 6.4 а, б).

При ЧМ с уменьшением F индекс модуляции увеличивается, что приводит к увеличению числа спектральных компонент (см. рисунки 6.4 в, г). В итоге ширина спектра ЧМ колебания от частоты почти не зависит, а при ФМ изменяется пропорционально F.

Лекция 7. Частотная модуляция. Фазовая модуляция. Импульсная модуляция. Общие сведения о детектировании

Содержание лекции:

- частотный и  фазовый модуляторы. Импульсная модуляция. Общие сведения о детектировании.

Цель лекции:

- Получение часто-модулированных и фазо-модулированных сигналов. Изучение импульсно-модулированных сигналов.

Для получения частотной модуляции нужно, чтобы частота колебаний автогенератора изменялась под действием первичного сигнала u_Ω. На рисунке 7.1 приведена схема автогенератора (обве­дена пунктирной линией),

Рисунок 7.1

вырабатывающего синусоидальное напряжение u=Ucosωt с частотой ω, приблизительно равной резонансной частоте контура ω₀. Следовательно, изменение частоты генерируемых колебаний может быть достигнуто изменением емкости или индуктивности контура. Для осуществления частотной модуляции параллельно контуру генератора подключают параметрический элемент—реактивное управляемое сопротивление X_y(t), величина которого изменяется под воздействием модулирующего сигнала: X_y(t)=Φ(u_Ω).

В рассмотренных случаях изменение частоты колебаний про­исходит пропорционально изменениям емкости или индуктивности. Если емкость или индуктивность  изменяются пропорционально первичному сигналу и притом в небольших пределах, изменение частоты также пропорционально u_Ω, т. е. частотная модуляция будет неискаженной.

В качестве управляемого сопротивления в транзисторных генераторах обычно используют варикапы, подключаемые к генератору, как показано на рисунке 7.1. На варикап В подается смещение E_см и модулирующее напряжение u_Ω. Остальные элементы на рисунке 7.1 имеют вспомогательное значение: емкость C_p большей величины разделяют цепи питания генератора и варикапа по постоянному току, позволяя в каждой из них установить нужные напряжения; добавочное сопротивление R_Д величиной порядка сотен килоом включается для того, чтобы источник смещения и вторичная обмотка трансформатора не шунтировали контур генератора.

Следовательно, емкость варикапа изменяется с частотой Ω и ее гармоник; кроме того, изменяется и ее среднее значение.

Если емкость контура состоит только из емкости варикапа (С₀=С_в0), то модуляционная характеристика автогенератора с варикапом - зависимости отклонения частоты генератора от изменения напряжения ∆u на варикапе. Поскольку эта зависимость нелинейная, ЧМ, возникающая при воздействии низкочастотного модулирующего напряжения, должна сопровождаться искажениями (изменением частоты генерации с частотами 2Ω, 3Ω, ...) и сдвигом средней частоты. Увеличение девиации частоты сопровождается увеличением искажений и сдвига средней частоты.

Для осуществления фазовой модуляции (ФМ) нужно иметь устройство, на выходе которого фаза колебаний изменяется пропорционально модулирующему сигналу. Для этого можно использовать те же самые управляемые реактивные сопротивления X_y(t). Однако подключать их нужно к контуру усилителя, а не генератора, как это имело место в случае ЧМ. Такая схема показана на рисунке 7.2.

Будем считать, что напряжение на входе усилителя u_вх=U_BXcosω₁t, и первая гармоника тока i_k1 синфазна с напряжением u_вх. Изменение резонансной частоты контура с помощью реактивного управляемого сопротивления X_y вызывает изменение амплитуды и фазы напряжения на контуре. Их величины при заданном токе i_k1 определяются по частотной и фазовой характеристикам контура. Частота же колебаний в стационарном режиме при любой настройке контура равна частоте ω₁ входного сигнала.

На рисунке 7.3 построены частотные Z(ω) и фазовые ф(ω) характеристики контура для трех значений резонансной частоты ω₀₁<ω₁; ω₀₂=ω₁ и ω₀₃>ω₁. На рисунке 7.4 для этих же трех случаев построены векторные диаграммы. При любой настройке контура сдвиг фаз напряжения на контуре  по отношению к току  определяется ординатой фазовой характеристики на частоте ω₁, а эквивалентное сопротивление — ординатой частотной характеристики на частоте ω₁. Если резонансная частота контура медленно изменяется под действием управляющего сигнала от ω₀₁ до ω₀₃ и обратно, фаза выходного напряжения (напряжения на контуре) меняется между φ΄₁ и φ΄₃, т. е. имеет место ФМ напряжения на контуре. Одновременно в результате изменения эквивалентного сопротивления контура для частоты ω₁ возникает паразитная AM.

Рисунок 7.4

Уравнение фазовой характеристики контура с добротностью Q для небольших расстроек ∆ω имеет вид

                                              (7.1)

где ∆ω= ω₁−ω₀.

 Если ∆ω изменяется пропорционально модулирующему сигналу u_Ω, то неискаженная ФМ имеет место, когда изменение φ пропорционально ∆ω, т.е. на линейном участке фазовой характеристики (7.1), где tgφ=φ. Это справедливо лишь для небольших индексов модуляции, не превышающих 20—30°.

Обратимся к способам формирования ИМ колебаний (см. рисунок 7.5). Первичная АИМ может осуществляться теми же методами, что и AM. Так, можно использовать схему базовой модуляции (см. рисунок 5.3), вводя вместо напряжения u₁ последовательность импульсов и применяя в качестве нагрузки резистор вместо контура.

Простейший способ формирования ШИМ и ФИМ, имеющих более широкое распространение, поясняется графиками рис. 7.5. Если сложить модулирующее напряжение (а) с периодической последовательностью треугольных импульсов (б) и их сумму (в) пропустить через двусторонний ограничитель, на выходе последнего получим трапецеидальные импульсы ШИМ (г). Крутизна фронтов импульсов зависит от соотношения амплитуды и ширины импульсов. Если пропустить полученный сигнал (г) через дифференцирующее устройство (д), а затем через ограничитель по минимуму с нулевым уровнем ограничения, получим сигнал ФИМ (е), сдвиг импульсов которого относительно центров треугольных импульсов (б) окажется пропорциональным модулирующему сигналу. Импульсные модуляторы выполняются на транзисторах и диодах.

Детектирование представляет собой процесс, обратный модуляции. При модуляции один из параметров высокочастотного переносчика изменяется пропорционально первичному сигналу. Детектирование заключается в восстановлении того первичного сигнала, которым производилась модуляция. Детектирование считается неискаженным, если напряжение на выходе детектора повторяет закон изменения параметра модулированного колебания (амплитуды в случае AM, частоты в случае ЧМ, фазы в случае ФМ).

Поскольку в спектре модулированного колебания содержатся только высокочастотные компоненты (несущая и боковые частоты), а результатом детектирования является получение низкочастотных колебаний, линейные цепи для детектирования непригодны. В большинстве случаев детекторы являются устройствами нелинейными, реже — параметрическими.

На рисунке 7.6 приведена обобщенная схема детектора, состоящая из двух элементов: а) нелинейного (НП) или параметрического  (ПП)  преобразователя, в выходном токе которого при воздействии на вход гармонического напряжения u_BX=Ucos(ωt+φ) появляется постоянная составляющая I΄₀, б) фильтра нижних частот ФНЧ, предотвращающего прохождение на выход детектора высокочастотных составляющих. Требование к преобразователям заключается в том, что величина I΄₀ должна зависеть:

¾  в детекторе AM сигналов от U;

¾  в детекторе ЧМ сигналов от ω;

¾  в детекторе ФМ сигналов от φ.

Рисунок 7.6

При подаче на вход модулированного колебания, один из параметров которого меняется с низкой частотой, постоянная составляющая тока I΄₀ на выходе соответствующего детектора также будет изменяться с низкой частотой, и это колебание после ФНЧ выделится на выходе детектора. Для неискаженного детектирования необходимо, чтобы компонента тока I΄₀ изменялась пропорционально модулируемому параметру (U, ω или φ). В связи с этим важнейшими характеристиками детекторов являются характеристики детектирования, под которыми подразумеваются зависимости I΄₀ от U в амплитудных, от ω в частотных и от φ в фазовых детекторах.

Лекция 8. Детектирование АМ и ЧМ-колебаний в нелинейных цепях

Содержание лекции:

- амплитудный и  частотный демодуляторы.

Цель лекции:

- изучение процессов детектирования амплитудно-модулированных и часто-модулированных и сигналов.

На рисунке 8.1а—в показано графическое определение тока, про­текающего через диод при воздействии на него AM напряжения

                                (8.1)

Поскольку диод обладает односторонней проводимостью, ток i имеет характер импульсов длительностью в половину периода частоты ω, амплитуда которых изменяется при изменении огиба­ющей входного напряжения. В получившейся последовательности импульсов тока содержится уже и низкочастотная составляющая частоты Ω. Действительно, импульсы тока i различаются глав­ным образом амплитудой I. Зависимость i(t) можно рассматри­вать как результат модуляции импульсов тока, записанных в виде ряда Фурье I₀+I₁cosω₀t+I₂cos2ω₀t+… , колебанием низкой частоты Ω

       (8.2)

Таким образом, ток i содержит постоянную составляющую и компоненты высокой частоты ω и ее гармоник, каждая из которых модулирована низкочастотным сигналом.

На рисунке 8.3в штрихпунктирная линия изображает зависимость постоянной составляющей тока от времени I΄₀(t), определяемой как среднее значение тока i за период высокой частоты ω:

                              (8.3)

Для выделения низкочастотного сигнала последовательно с нелинейным элементом включают такую цепь RC (см. рисунок 8.2), чтобы

                                                          (8.4)

Здесь емкость С выполняет роль ФНЧ: в силу (8.4) высокочастотные компоненты тока напряжения на выходе почти не создают. Для того чтобы низкочастотные компоненты тока создавали большое выходное напряжение, сопротивление R должно быть достаточно большим и притом 1/ΩC>>R с тем, чтобы для низких частот сопротивление нагрузочной цепи Z_H≈R. Объединяя эти неравенства, получаем условия, определяющие выбор емкости С:

                                      (8.5)

График u_выx(t) рисунке 8.1г показывает форму выходного напряжения.

На рисунках 8.3а и б представлены спектры напряжения (8.1) и тока (8.2). Пунктирная линия на рисунке 8.3б изображает зависимость Z_H(ω) при условии (8.5). Перемножая амплитуды спектральных компонент на соответствующие величины Z_H, получаем спектр выходного напряжения (см. рисунок 8.3в).

Переходя к более подробному рассмотрению процесса детектирования, отметим, что сопротивление нагрузки R обычно выбирается настолько большим, что учет его влияния на ток i оказывается необходимым. Пусть на детектор в схеме (см. рисунок 8.2) действует синусоидальное напряжение частоты ω₀=2π/T₀

  (8.6)                         

Напряжение на диоде u=u_вх+U₀. Вследствие наличия цепочки RC, оно отличается от напряжения (8.6) на величину постоянного смещения U₀=-I΄₀R .На рисунке 8.4 показано определение тока с учетом влияния U₀ для кусочно-линейной аппроксимации характеристики диода. При больших R диод работает с небольшими углами отсечки θ, т. е. ток через диод протекает только в течение небольшой части периода, соответствующей заштрихованной части входного сигнала. Так как сопротивление открытого диода мало, в это время происходит быстрый заряд конденсатора С, сопровождающийся возрастанием напряжения u_с на нем. Когда u_вх оказывается меньшим u_с диод запирается, входное напряжение перестает влиять на процессы в RС-цепи, конденсатор С разряжается через большое сопротивление R. Согласно (8.5) постоянная времени разряда τ_раз=RC>>T₀/2π или τ_раз>>T₀. Поэтому за ту часть периода Т₀, пока конденсатор разряжается, напряжение u_с уменьшается незначительно. Характер изменения по времени u_вх, u_вых=u_c и тока i, протекающего через диод, показан на рисунке 8.5. Пренебрегая пульсацией напряжения u_вых, будем в дальнейшем считать его при воздействии сигнала (8.6) постоянным и равным U₀ (штрих-пунктирная на рисунке 8.5). Это позволяет записать напряжение на диоде как u=Ucosω₀t−I΄₀R.

Данный детектор обладает линейной характеристикой детектирования, и детектирование в нем происходит без искажений. Детектор с линейной характеристикой детектирования называется линейным детектором. Диодный детектор является линейным в случае достаточно больших амплитуд входного сигнала, когда пригодна кусочно-линейная аппроксимация его характеристики. При этом следует помнить, что линейный детектор является устройством нелинейным, работающим с отсечкой тока. Из-за нелинейности характеристики детектирования изменение амплитуды входного сигнала вызывает непропорциональное изменение постоянной составляющей тока детектора, поэтому низкочастотные колебания на выходе детектора искажаются по сравнению с огибающей AM колебания.

Диодные детекторы обычно бывают квадратичными при ам­плитудах входных сигналов U≤0,1÷0,2 В и линейными при U>0,5÷1 В. Чтобы избежать искажений, следует принимаемый AM сигнал усилить до детектора настолько, чтобы его амплиту­да была достаточно большой.

На выходе детектора ЧМ колебаний должно получаться на­пряжение, пропорциональное отклонение частоты колебаний от среднего значения. Существуют две группы методов решения этой задачи:

1)        ЧМ сигнал преобразуется в AM или ФМ сигнал и затем детектируется амплитудным или фазовым детектором;

2)   ЧМ сигнал преобразуется в последовательность коротких импульсов той же частоты, создающих постоянное напряжение, пропорциональное числу импульсов в единицу времени.

Рассмотрим работу детектора, основанного на преобразовании ЧМ в AM с помощью расстроенного колебательного контура (см. рисунок 8.6). Пусть через контур, настроенный на частоту ω_P, протекает ЧМ ток i_ЧМ с постоянной амплитудой I и меняющейся частотой ω(t)=ω₀+∆ω(t).На рисунке 8.7 приведены частотная характеристика контура Z_Э(ω) и зависимость ω(t). Если частота ω(t) изменяется достаточно медленно, можно в лю­бой момент определять амплитуду напряжения на контуре U_K как произведение амплитуды тока I на величину сопротивления Z_Э(ω) для данной мгновенной частоты U_K(ω)=IZ_Э(ω).

Амплитуда U_K будет изменяться приблизительно пропорционально ∆ω(t), если несколько расстроить контур относительно несущей частоты сигнала ω₀, как показано на рисунке 8.7. Определяем U_K(t) на рисунке 8.7 методом  проекций. Если нанести симметрично вторую огибающую (пунктир)  и высокочастотное заполнение, получим форму напряжения u_K(t). Последнее оказывается модулированным одновременно и по амплитуде и по частоте, причем закон изменения U_K(t) примерно такой же, что и ∆ω(t). Для получения низкочастотного сигнала u_вых достаточно u_K(t) подать на линейный амплитудный детектор как показано на рисунке 8.6. Недостаток схемы заключается в появлении искажений вследствие нелинейности скатов частотной характеристики контура.

В рассмотренной схеме детектора как и в детекторах, основанных на преобразовании ЧМ в ФМ, выходное напряжение зависит не только от величины отклонения частоты ∆ω, но также и от амплитуды входного ЧМ сигнала. Последняя же может меняться, например, из-за воздействия помех, что приводит к искажениям u_вых. Для предотвращения этого ЧМ сигнал перед частотным детектором пропускают через ограничитель амплитуды.

Наличие индуктивностей в рассмотренных частотных детекторах первой группы затрудняет их реализацию средствами микроэлектроники. Поэтому все большее распространение получают методы детектирования второй группы. Процессы в них сходны с показанными на рисунке 7.5: ЧМ колебание подвергается двустороннему ограничению, дифференцированию и ограничению по минимуму, в результате чего получается последовательность коротких однополярных импульсов (рисунок 8.1в) с частотой ω(t), пропускаемых затем через интегрирующее устройство. Выходное напряжение последнего пропорционально среднему значению этой последовательности за некоторый отрезок времени, т. е. ω(t).

Лекция 9. Потенциальные возможности дискретных каналов связи

Содержание лекции:

- основной понятийный аппарат теории информации. Поток ошибок в реальных каналах.

Цель лекции:

- сформулировать исходные понятия: частное количество информации,  энтропия источника, количество информации, передаваемой по каналу связи (взаимная информация).

 Пусть дискретный источник сообщений выдал некоторую последовательность символов а. Дадим формальное определение частного количества информации i(a), содержащейся в этом сообщении, исходя из следующих естественных требований:

а) количество информации i(d) должно быть аддитивной функцией, т.е. для пары взаимно независимых сообщений а₁, а₂ оно должно равняться сумме количества информации в каждом из них, т.е. i( а₁, а₂) = i(а₁) + i(а₂);

б) количество информации, содержащейся в достоверном сообщении (имеющем вероятность Р(а) = 1), равно нулю;

в) количество информации должно зависеть только от вероятности переданно­го сообщения, т.е. i(d) =f(P(a));

г) количество информации должно быть непрерывной функцией от Р(а).

Можно показать, что единственная функция, удовлетворяющая всем этим условиям, имеет вид

i(a)=-logP(a)≥0.                                    (9.1)

Основание логарифма в (9.1) может быть выбрано произвольным, что влияет лишь на единицу измерения количества информации. Если в качестве основания выбрано 2, то информация измеряется в двоичных единицах или в битах, а если е (как в натуральных логарифмах), то информация будет измеряться в натуральных единицах или в нотах. Из соотношения (6.8) видно, что количество информации, содержащейся в сообщении, тем больше, чем меньше вероятность его появления, причём, количество информации, содержащейся в сообщении о "невозможном" событии, равно бесконечности.

Энтропия источника сообщений. Для того, чтобы получить исчерпывающую информационную характеристику источника сообщений, который, вообще говоря, может выдавать последовательности неограниченной длины, нужно вычислить предел среднего количества информации i(a^[n]), отнесённый к одному символу последовательности. Полученная величина, обозначенная через H(А), называется энтропией источника сообщений, т.е. если источник не обладает памятью, то, используя свойство логарифмической функции, легко показать, что его энтропия будет

,                     (9.2)

где P(a_i), i=0,1,...,K-1, — вероятности выдачи источником символов a_iA, причём они не зависят от номера элемента последовательности, так как источник является стационарным. Прежде чем пояснить наглядный смысл нового понятия энтропии, опишем её основные свойства:

а) H(А) ≥ 0, причём H(А) = 0 тогда и только тогда, когда одна из последовательностей имеет единичную вероятность, а все остальные — нулевую. (Это свойство очевидно из определения энтропии);

б) для любого стационарного источника сообщений

.                      (9.3)

Поскольку выражение в правой части (9.3) - это энтропия источника без памяти, то данное свойство означает, что память уменьшает энтропию источника;

в) для любого стационарного источника сообщений

,                           (9.4)

причём, равенство имеет место тогда, и только тогда, когда источник не имеет памяти и все его символы равновероятны.

Воспользовавшись свойствами 1-3, можно наглядно пояснить смысл понятия энтропии — это средняя информативность источника на один символ, определяющая "неожиданность" или "непредсказуемость" выдаваемых им сообщений. Полностью детерминированный источник, выдающий лишь одну, заранее известную последовательность, обладает нулевой информативностью. Наоборот, наиболее "хаотический" источник, выдающий взаимно независимые и равновероятные символы, обладает максимальной информативностью. Энтропия источника сообщений тесно связана с понятием его избыточности, которое формально определяется следующим образом

               (9.5)

Как видно из выражения (9.5), чем больше энтропия источника, тем меньше его избыточность и наоборот.

Если источник сообщений имеет фиксированную скорость  симв/с, то определим производительность источника H’(А) как энтропию в единицу времени, (секунду)              

H’(A)=υ_иH(A).                                                         (9.6).

Количество информации, передаваемой по каналу связи (взаимная информация). Определим условную энтропию H(Х|У) входа канала Х при известном выходе Y как МО

,       (9.7)

где верхний индекс п в квадратных скобках означает длину входных и выходных последовательностей.

В частном случае канала без памяти легко получить из (9.8)

.                      (9.9)

Условная энтропия обладает следующими свойствами:

а) H(Х|У)≥ 0. (Доказывается по определению H(Х|У));

б) если вход и выход канала связаны взаимно однозначно, т.е.

то H(Х/Y) = 0 (Это свойство очевидно);

в) H(Х|У) ≤  (X);                                                                    (9.10)

г) H(Х|У) = H(Х),                                                                   (9.11)

тогда, и только тогда, когда Р(х|у) = Р(х) при всех , , т.е. когда х и у взаимно независимы. Приведённые выше свойства позволяют наглядно пояснить смысл понятия условной энтропии Н(Х Y). Это средняя информация, теряемая с каждым символом в канале связи из-за помех.

Определим количество информации, передаваемой по каналу связи I(X,Y), или взаимную информацию между выходом Y и входом Х как разность между количеством информации, поступающей на вход (которое, как мы знаем, равно энтропии входа H(Х)), и количеством информации, потерянным в канале связи (которое, как мы только что выяснили, равно условной энтропии H(Х|Y)).

I(X,Y) = H(Х) - H(Х Y).                      (9.12)

Эта величина обладает следующими свойствами:

а) I(X,Y) = I(Y,X) = H(Y) - H(Y|Х);

б) I(X,Y) ≥ 0

(Следует непосредственно из свойства 3 условной энтропии);

в) I(X,Y) = 0, тогда и только тогда, когда вход и выход канала статистически независимы, т.е. Р(у|х) = р(у) при всех х Х", yY". (Следует непосредственно из свойства 4 условной энтропии).

Определение взаимной информации иллюстрируется рисунком 9.1.

Если для канала связи задана скорость передачи υ_к [симв/с], то аналогично определению производительности источника можно определить скорость передачи информации по каналу связи I(X,Y)

I^’(X,Y) = υ_к I(Х,Y) [бит/с].                (9.13)

Определим пропускную способность С дискретного канала связи с помехами как максимум количества информации I(X,Y) по всевозможным распределениям р(x) входа канала, т.е.

и  ,                  (9.14)  

где — длительность передаваемого единичного элемента. Из определения видно, что пропускная способность канала связи зависит только от свойств самого канала, т.е. входного и выходного алфавитов X, Y и заданного на них условного распределения вероятностей р(у|х), х Х", у Y", и не зависит от того источника, который подключён ко входу канала.

Рисунок 9.1 - Иллюстрация передачи информации по каналу с помехами

В реальных условиях прием двоичных символов всегда проис­ходит с ошибками. Это означает, что вместо символа «1» принимается символ «О» и наоборот. Ошибки могут возникать из-за импульсных по­мех, действующих в канале связи; изменения за время передачи характеристик канала: снижения уровня передачи, нестабильности амплитудно- и фазо-частотных характеристик канала; кратковременных перерывов; ремонтно-профилактических работ на линии во время сеанса свя­зи. Часть указанных причин носит эксплуатационный характер и в принципе может быть устранена такими мерами как повыше­ние качественных показателей аппаратуры связи и особенно ком­мутационной техники.

Улучшению качества канала связи, особенно на линиях боль­шой протяженности, способствует включение таких устройств как фазовые корректоры, регенеративные    ретрансляторы и т. д. Несмотря на подобные меры, при работе по современному дискретно­му каналу вероятность ошибки  (на единичный элемент)  будет не меньше 10^-3-10^-4, однако при передаче данных допускается, что­бы  P_ош не превышало 10^-6. Появление ошибок обычно носит случайный характер и, как правило, является следствием совокупности мешающих факторов, часть которых может быть вообще неизвестна. Поэтому целесообразно исследовать свойства потока оши­бок математическим аппаратом теории случай­ных процессов. Имея    такие    модели, можно выбирать соответствующие меры повышения помехоустой­чивости.

Критерий качества, пригодный для всех дискретных каналов, заключается в нормиро­вании вероятности ошибки для данного вида сообщений. Так, ве­роятность ошибки при передаче данных - не более 10^-6 (на еди­ничный элемент). Методы повышения верности можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы увеличения помехоустойчи­вости приема единичных элементов, связанные с выбором уровня сигнала, отношения сигнал/помеха, ширины полосы канала, стати­стикой ошибок в канале связи и т. п. Ко второй группе относятся методы обнаружения и исправления ошибок, основанные на искус­ственном введении избыточности в передаваемое сообщение.

Лекция 10. Методы повышения верности передачи дискретной информации

Содержание лекции:

- избыточность сигналов дискретной информации. Принципы помехоустойчивого кодирования. Кодовое расстояние. Число обнаруживаемых и исправляемых ошибок.

Цель лекции:

- рассмотреть методы повышения верности передачи и надежности систем  ПДИ.

Понятие «избыточность» определяется средним количеством информации, содержащемся в передаваемом сообщении. При двоичном кодировании в условиях равновероятности передаваемых двоичных символов «О» и «1» каждый единичный элемент содер­жит максимальное количество информации:  бит, где R = 2 — основание кода. Если же единичные элемен­ты поступают в канал с разными вероятностями, то один единич­ный элемент переносит меньшее количество информации. В этом случае говорят, что в сигнале есть избыточность. Ее можно оце­нить как отношение . Поскольку пропускная способность определяется в виде (9.14), то систему передачи надо строить так, чтобы  было максимальным, т. е. требовать, чтобы среднее количество информации  было равно I_тах (1 бит для двоичного кода).

При отсутствии избыточности, когда любая комбинация двоичных символов пред­ставляет собой передаваемое сообщение, обнаружить ошибки в принятой кодовой комбинации невозможно. Чтобы обнаружить ошибку и даже определить место ошибочно принятого единичного элемента, необходимо увеличить объем сигнала, представляющего кодовую комбинацию. Увеличить избыточность передаваемого сигнала можно по-раз­ному. Так как объем сигнала расчитывается по (1.2), то его увеличение возможно за счет увеличения D_к (Р_к),  и Т. Практические возможности увеличения избыточности за счет мощности и ширины спектра сигнала в системах передачи дискрет­ной информации по стандартным каналам резко ограничены. По­этому основное развитие получили методы повышения верности приёма, основанные на увеличении времени передачи. Эти мето­ды реализуются системами без обратной связи и системами с об­ратной связью. В системах без обратной связи (однонаправлен­ных системах) для повышения верности приема используются сле­дующие основные способы:

1)       помехоустойчивое кодирование, т. е. использование кодов, исправляющих ошибки;

2)   многократная передача кодовых комбинаций;

3)       одновременная передача кодовой комбинации по несколь­ким параллельно работающим каналам.

Наиболее эффективно избыточность используется при применении помехоустойчивых кодов для исправления ошибок. При этом в кодовые комбинации вводится постоянная, заранее рассчитанная избыточность  (дополнительные элементы, сформированные по известным правилам). Повысить верность передачи без существенного снижения пропускной способности можно, вво­дя переменную избыточность в сообщение в зависимости от со­стояния канала. Такие системы являются адаптивными, т. е. при­спосабливающимися к условиям канала. Для их построения нуж­но уметь оценивать на приеме статистику ошибок в канале и пере­давать эти данные на передающую станцию. Таким образом, не­обходимо иметь дополнительный обратный канал от приемника к передающей станции, и поэтому вся система связи оказывается си­стемой с обратной связью.

В обычном равномерном непомехоустойчивом коде число раз­рядов в кодовых комбинациях определяется числом сообщений и основанием кода n= log₂K. Любая из n кодовых комбинаций представляет собой какой-то знак алфавита. Если в процессе передачи такой кодовой комбина­ции произойдет одна ошибка, то принятая кодовая комбинация будет интерпретироваться приемником как кодовая комбинация, соответствующая другому знаку. Таким образом, возникающие в кодовых комбина­циях ошибки обнаружить невозможно, поскольку нельзя отличить ошибочную комбинацию от безошибочной. Все n кодовые комби­нации разрешены, и возникающие ошибки просто переводят одну разрешенную комбинацию в другую, также разрешенную. Обнару­жить ошибку в данном случае может только получатель, прочтя принятое текстовое сообщение. За счет огромной языковой и смыс­ловой избыточности текста можно легко восстановить переданное сообщение. Коды, у которых все кодовые комбинации разрешены к переда­че, называются простыми или равнодоступными. Очевидно, что при передаче цифровой информации восстановление ошибочно принятых цифр невозможно. Цифровая информация избыточностью не обладает. Ясно, что текстовое сообщение, принятое с ошибками, верно восстанавливается только за счет содержащейся в нем из­быточности. В этом состоит идея помехоустойчивого кодирования: в передаваемую кодовую комбинацию необходимо внести по опре­деленным «грамматическим» правилам избыточность (признаки разрешенной комбинации). Правила внесения избыточности, т. е. признаки, должны быть известны не только на передаче, но и на приеме. Если на приемной стороне эти признаки в кодовой комбинации не обнаруживаются, то считается, что произошла ошибка (или ошибки). В противном случае (при наличии признаков) считается, что кодовая комбинация принята правильно (является разрешенной). Внесение избыточности при использовании корректирующих (помехоустойчивых) кодов обязательно связано с увеличением п — числа разрядов (длины) кодовой комбинации. Таким образом, все множество  комбинаций можно разбить на два подмножества: подмножество разрешенных комбинаций, т. е. обладающих определенными признаками, и подмножество запрещен­ных комбинаций, этими признаками не обладающих. Помехоустой­чивый код отличается от обычного тем, что в канал передаются не все кодовые комбинации N₀, которые можно сформировать из имеющегося числа разрядов п— N₀, а только их часть N, которая составляет подмножество разрешенных комбинаций:

N<N₀.       (10.1)

Если в результате искажений переданная кодовая комбинация переходит в подмножество запрещенных кодовых комбинаций, то ошибка будет обнаружена. Однако если совокупность ошибок в данной кодовой комбинации превращает ее в какую-либо другую разрешенную, то в этом случае ошибки не могут быть обнаруже­ны. Поскольку любая из N разрешенных комбинаций может пре­вратиться в любую из N₀ возможных, то общее число таких слу­чаев равно N*N₀. Очевидно, что число случаев, в которых ошибки обнаруживаются, равно N(N₀—N), где N₀—N— число запрещен­ных комбинаций. Тогда доля обнаруживаемых ошибочных комби­наций составит

                                                            (10.2)      ₍₆.₂₎

Аналогичное рассуждение можно провести и для случая исправления ошибок, если рассматривать код, исправляю­щий ошибки. При использовании этого кода нужно произвести разбиение множества  (j=1,2,…, N₀—N) всех запрещенных комбинаций на N непересекающихся подмножеств {М_к}. Каждое из подмножеств {М_к} приписывается одной из передаваемых ко­довых комбинаций А_к. Способ приема состоит в том, что если при­нята комбинация *,то считается, что передана А_к, т. е. если принятая кодовая комбинация осталась в том же подмноже­стве, что и переданная, то принимается решение о приеме комби­нации А_к. Сказанное можно проиллюстрировать рисунке 10.1, где приняты следующие обозначения: А₁...А_п — множество разрешенных (передаваемых) комбинаций; — множество всех возмож­ных запрещенных комбинаций, в которые в результате различных ошибок могут перейти комбинации {А_к}, М₁, М₂ ..., М_N— подмно­жества, на которые разбиты запрещенные комбинации.

Способ приема состоит в том, что если принимается кодовая комбинация (В₁, В₂ или В₃, принадлежащая подмножеству M₁, то считается, что передавалась комбинация A₁ (показано на ри­сунке стрелками). Если действительно комбинация В₁ (или В₂,   В₃) образовалась из А₁, то ошибка исправлена. Если принятая кодовая комбинация переходит в другое подмножество М₂, то де­кодер примет ошибочное решение о передаче комбинации А₂. Оче­видно, что каким бы образом не разбивалось множество  на подмножества {Мк}, ошибка всегда исправляется в N₀—N  слу­чаях.

Общее число переходов комбинаций А_N в комбинации  равно N(N₀—N)  , а это есть число всех обнаруживаемых ошибоч­ных комбинаций.

Для того, чтобы можно было обнаруживать и исправлять ошиб­ки, разрешенная комбинация должна как можно больше отличать­ся от неразрешенной. Если ошибки действуют независимым обра­зом (как случайные независимые события), то вероятность преоб­разования одной кодовой комбинации в другую будет тем мень­ше, чем большим числом разрядов они различаются. Если интер­претировать кодовые комбинации как точки в пространстве, то отличие выражается в расстоянии меж­ду ними. Количество разрядов, которыми отличаются две кодовые ком­бинации, можно принять за расстояние между ними. Для опреде­ления этого расстояния нужно сложить две кодовые комбинации по модулю 2 и подсчитать число единиц в полученной сумме. Обозначим кодовое расстояние через d. У простого кода

d_min=d₀=1.                               (10.3)

Рассмотрим, чему равно d₀ помехоустойчивого кода. При d₀>2 код способен обнаруживать и исправлять ошибки. При d₀=1 такой возможности нет.

Нужное кодовое расстояние устанавливается введением определенного количества дополни­тельных разрядов в кодовую комбинацию. Обозначим число (кратность) обнаруживаемых ошибок через t_o, а число исправляемых ошибок — через t_u. Ошибка не обнару­живается, если одна разрешенная комбинация переходит в другую разрешенную. Для обеспечения возможности обна­ружения всех ошибок кратностью до t₀ ,кодовое расстояние определяется неравенством  

d₀t₀+1.               (10.4)

Это соотношение иллюстрируется рисунком 10.2. Переход от одной точ­ки к другой на рисунке 10.2 соответствует искажению одного разряда.

Для обеспечения возможности исправления всех ошибок крат­ности до t_и включительно кодовое расстояние 

d₀₂t_И+1.                         (10.5)

           Чтобы код обнаруживал ошибки              кратностью t_o и исправлял ошибки кратностью tи, кодовое расстояние должно быть равно d₀t₀+t_И+1.               (10.6)

Очевидно, что количество дополнительных разрядов r связано с кодовым расстоянием d_o. Кодовое расстояние будет тем боль­шим, чем больше избыточность кода и чем равномернее распреде­лены расстояния между разрешенными кодовыми комбинациями. Формула для кода с d₀=3

rlog₂(n+1).                           (10.7)

  Лекция 11.  Классификация помехоустойчивых кодов. Циклические коды

Содержание лекции:

- классификация помехоустойчивых кодов. Циклические коды. Обнаружение ошибок при циклическом кодировании. Определение места ошибки. Выбор образующего полинома.

Цель лекции:

- получить знания основ помехоустойчивого кодирования.

Помехоустойчивые коды (см. рисунок 11.1) делятся на блочные и непре­рывные. К блочным относятся коды, в которых каждому сообще­нию соответствует блок из п символов (разрядов) или блоки с разным числом символов. Непрерывные коды, к которым отно­сятся рекуррентные (называемые также сверточными), представ­ляют собой непрерывные последовательности единичных элемен­тов, не разделенные на блоки. В таких кодах избыточные разря­ды помещаются в определенном порядке между информацион­ными. В разделимых кодах элементы информационной и прове­рочной частей кодовой комбинации всегда стоят на определенных местах. В неразделимых кодах деление на информационные и про­верочные разряды отсутствует. К таким кодам относится код с постоянным весом. Код    называется линейным, если любая разрешенная кодовая комбинация может быть получена в результате линейной операции над набором k  ненулевых линейно-независимых кодовых комбинаций. В система­тических кодах проверочные элементы формируются линейным преобразованием информационных.

Циклические коды относятся к классу линейных систематиче­ских кодов и обладают всеми их свойствами. Удобно рассматри­вать кодовые комбинации циклического кода не в виде последо­вательности нулей и единиц, а в виде полинома некоторой сте­пени. Любое число в любой системе счисления можно предста­вить в общем виде как

,                    (11.1)

где х — основание системы счисления; a_i - цифры данной системы счисления; п-1, п-2,... — показатель степени, в которую возво­дится основание, и одновременно порядковые номера, которые за­нимают разряды, начиная от старшего, кончая нулевым. Для дво­ичной системы х=2, а a_i либо «0», либо «1».

Очевидно, что при записи кодовой комбинации в виде много­члена единица в 1-м разряде записывается членом , а нуль во­обще не записывается. Представление кодовых многочленов позволяет установить однозначное соответствие между ними и свести действия над комбинациями к действию над многочленами. Так, сложение двоичных многочленов сводится к сложению по модулю 2 коэффициентов при равных степенях переменной x. Например,

,                              

Умножение  производится по обычному правилу умножения степенных функций, однако полученные коэффициенты при данной степени складываются по модулю 2.

Например,

Деление также осуществляется, как обычное деление многочленов; при этом операция вычитания заменяется операцией сложения по модулю 2*:

Коды названы циклическими потому, что циклический сдвиг а_n-2,  а_n-3,…, а_2, а_1, а_0, а_n-1 разрешенной  комбинации а_n-1,  а_n-2,…, а_2, а_1, а₀ также является разрешенной комбинацией. Такая циклическая перестановка при использовании представления в виде полиномов появляется в результате умножения данного полинома на х. Если , то  Чтобы  степень многочлена не превышала n-1, член  заменяется единицей, поэтому

Например, имеем кодовую комбинацию  Сдвинем ее на один разряд. Получим

Очевидно, что

Теория построения циклических кодов базируется на разделах высшей алгебры, изучающей свойства двоичных многочленов. Особую роль в этой теории играют так называемые неприводимые многочлены, т.е. полиномы, которые не могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней. Такой многочлен делится только на самого себя и на единицу. Из высшей ал­гебры известно, что на неприводимый многочлен делится без ос­татка двучлен х^п+1. В теории кодирования неприводимые много­члены называются образующими полиномами, поскольку они «об­разуют» разрешенные кодовые комбинации.

Идея построения циклического кода сводится к тому, что по­лином, представляющий информационную часть кодовой комбина­ции, нужно преобразовать в полином степени не более п—1, кото­рый без остатка делится на образующий полином Р(х). Сущест­венно при этом, что степень последнего соответствует числу раз­рядов проверочной части кодовой комбинации. В циклических ко­дах проверочная часть получается сразу, т. е. используется алго­ритм . Тогда все разрешенные комбинации цикличе­ского кода, представленные в виде полиномов, будут обладать од­ним признаком: делимостью без остатка на образующий полином Р(х). Построение разрешенной кодовой комбинации сводится к следующему:

1) Представляем информационную часть кодовой комбинации длиной k в виде полинома Q(х).

2)      Умножаем Q(х) на одночлен х^r и получаем Q(х)х^r, т. е. про­изводим сдвиг k-разрядной кодовой комбинации на г разрядов.

3)      Делим многочлен Q(х)х^r на образующий полином Р(х), сте­пень которого равна r.

В результате умножения Q(х) на х^r степень каждого одночле­на, входящего в Q(х), повышается на r. При делении произведе­ния х^rQ(х) на образующий полином степени r получается частное С(х) такой же степени, что и Q(х). Результаты этих операций можно представить в виде

где R(х) — остаток от деления Q(х)х^r на Р(х). Поскольку С(х) имеет такую же степень, что и Q(х), то С(х) представляет собой кодовую комбинацию того же k-разрядного кода. Степень остатка не может быть, очевидно, больше степени образующего полинома, т. е. его наивысшая степень равна r—1. Следовательно, наиболь­шее число разрядов остатка не превышает r. Умножив обе части (6.18) на Р(х), получим

F(х) = С(х)Р(х) = Q (х)х^r+R(х)                       (11.2)

(знак вычитания заменяется знаком сложения по модулю 2). Оче­видно, что F(х) делится на Р(х) без остатка. Полином F(х) пред­ставляет собой разрешенную кодовую комбинацию циклического кода. Из (11.2) следует, что разрешенную кодовую комбинацию цик­лического кода можно получить умножением кодовой комбинации Q(х) простого кода на одночлен х^r и добавлением к этому произведению остатка R(х), полученного в результате деления произведения на образующий полином Р(х).

Обнаружение ошибок при циклическом кодировании сводится к делению принятой кодовой комбинации на тот же образующий полином, который использовался при кодировании (вид его, разу­меется, должен быть известен на приеме). Если ошибок в приня­той кодовой комбинации нет (или они такие, что данную переда­ваемую кодовую комбинацию превращают в другую разрешен­ную), то деление на образующий полином произведется без ос­татка. Если при делении получится остаток, то это и свидетельст­вует о наличии ошибки. Остаток от деления в циклических кодах играет роль синдрома. Остаток от деления — синдром циклического кода, не равный нулю, — свидетельствует о наличии ошибки. В кодах с образую­щим полиномом степени г остаток представляется в виде полинома, степень которого меньше r. Это означает, что количество раз­личных ненулевых остатков может быть равным . Номер разряда, в котором произошла ошибка, однозначно связан с видом получаю­щегося при этом ненулевого остатка. Это позволяет по виду синд­рома (остатка) определить место ошибки. Таким образом, для исправления ошибок необходимо обеспе­чить условие, при котором количество различных ненулевых ос­татков будет равно количеству элементов п (при исправлении од­ной, ошибки) или числу комбинаций из п по t_и, где t_и — количест­во ошибок, исправляемых кодом. Следует подчеркнуть, что не все неприводимые многочлены по­зволяют формировать 2^r—1 различных остатков. Это присуще только определенному классу многочленов, которые именуются «примитивными». Так,  удовлетворяет указанному требованию, а— нет, т. е. —прими­тивный многочлен. Исходя из приведенных соображений, в качестве образующих многочленов используют примитивные многочлены. Их признаком является наличие остатка, равного единице только для х° и х^п, где п — количество элементов в кодовой комбинации. Между n и r для таких полиномов имеется зависимость 2^r=п—1. Здесь п — максимальное количество элементов, при котором число различающих­ся ненулевых остатков равно п—1. Поэтому в таблицах образующих полино­мов указываются только примитивные полиномы.

Для определения места ошибки в циклическом коде существу­ет несколько методов, основанных на анализе синдрома Р(х). Принятую кодовую комбинацию F'(х) можно представить в виде , где Е (х) —многочлен ошибки. Остаток от деления принятой кодовой комбинации F'_п(х) на Р(х) равен остатку от деления на Р(х) кодовой комбинации ошибки Е_п(х), если F_п(х) = F'_п(х) Е_п(х). Это условие справедливо, если код способен исправлять коли­чество ошибок t_и, равное или меньшее веса комбинации Е_п(0,1). На основе этого свойства можно заключить, что синдром не за­висит от переданной кодовой комбинации, а определяется лишь наличием ошибок. Указанное свойство можно использовать для определения ошибочно принятого элемента. Предположим, что ошибка произошла в старшем разряде пере­данной кодовой комбинации a_1. В этом случае R₁(х) - есть оста­ток от деления принятой комбинации F_п(х) на Р(х). Такой же ос­таток R₁ (х) получается, если разделить на Р(х) комбинацию ошибки, т. е. многочлен х^п-¹. Но такой же остаток по­лучится при ошибке в разряде а₂, если F^/_п(х) умножить на х. То же будет и при ошибке в разряде а₃, если F_п(х) умножить на х², и т. д.

Лекция 12. Спектральный анализ непериодических сигналов.   Преобразование Фурье. Спектральные плотности неинтегрируемых   сигналов. Энергетические спектры сигналов

Содержание лекции:

- периодическое продолжение импульса. Понятие спектральной плотности сигнала. Обратное преобразование Фурье. Условие существования спектральной плотности сигнала. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра. Обобщенная формула Рэлея. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр. Корреляционный анализ сигналов. Сравнение сигналов, сдвинутых во времени.

Цель лекции:

- получить спектральные характе­ристики непериодических (импульсных) сигналов методом обобщения рядов Фурье. Определить требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. Представить сигналы посредством их спектральных плотностей. Использовать энергетический спектр для получения различных инженерных оценок. Понять, как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами.

Пусть s (t) - одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополнив его мысленно такими же сигналами, периодически следую­щими через некоторый интервал времени T, получим изученную ранее периодическую последовательность S_пер (t), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье

(12.1) с коэффициентами .         (12.2)

Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения Т. При этом очевидно:

а) частоты соседних гармоник nω₁ и (n + l)ω₁ окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (12.1) и (12.2) дискретную переменную nω₁ можно заменить непрерывной переменной ω — текущей частотой;

б) амплитудные коэффициенты С_n станут неограниченными малыми из-за наличия величины  Т в знаменателе формулы (12.2).

Наша задача состоит теперь в нахождении предельного вида формулы (12.1) при T→∞.

Рассмотрим малый интервал частот Δω, образующий окрестность некоторого выбранного значения частоты ω₀. В пределах этого интервала будет содержаться N=Δω/ω₁= ΔωT/(2π) отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются сколь угодно мало. Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами

В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала Δω

.         (12.3)

Функция                                              (12.4)

носит название спектральной плотности сигнала s (t). Формула (12.4) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала.

Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.

.

Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом

.                              (12.5)

Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t).

Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал s(t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье

,                                  (12.6)

                                .

Спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем.

Сигналу s(t) можно сопоставить его спектральную плотность s(ω) в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем, т. е. существует интеграл

.

Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и (t) =U_mcosω₀t , существующего на всей бесконечной оси времени.

Важный вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр.

Под шириной спектра понимают частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед задан­ного уровня, например, изменяется в пределах от |S|_max, до 0.1|S|_max.                                     

Произведение ширины спектра импульса на его длительность есть постоянное число, зависящее только от формы импульса и, как правило, имеющее порядок единицы:  Чем короче длительность импульса, тем шире должна быть полоса пропускания соответствующего усилителя. Короткие импульсные помехи имеют широкий спектр и поэтому могут ухудшать условия радиоприема в значительной полосе частот.

Математические модели многих сигналов, широко применяемых в радиотехнике, не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости, поэтому метод преобразований Фурье в обычном виде к ним неприменим. Однако можно говорить о спектральных плотностях таких сигналов, если допустить, что эти плотности описываются обобщенными функциями.

Пусть два сигнала и(t) и v(t), в общем случае комплексно-значные, определены своими обратными преобразованиями Фурье.

Найдем скалярное произведение этих сигналов, выразив один из них, например v(t), через его спектральную плотность

Полученное соотношение представляет собой обобщенную формулу Рэлея. Легко запоминающаяся трактовка этой формулы такова: скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии

.                                      (12.7)

Назовем взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u(t) и v(t) функцию                                

,                                      (12.8)

такую, что                    

.                                      (4.9)

Нетрудно заметить, что Re W_uv(ω)—четная, а Im W_uv(ω)—нечетная функция частоты. Вклад в интеграл (12.9) дает только вещественная часть, поэтому

.                                        (12.10)

Последняя формула дает возможность проанализировать «тонкую структуру» взаимосвязи сигналов.

Более того, обобщенная формула Рэлея, представленная в виде (12.10), указывает на принципиальный путь, позволяющий уменьшить степень связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов необходимо подвергнуть обработке в особой физической системе, называемой частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование: не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость коэффициента передачи такого ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот.

Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы и(t) и v(t) считать одинаковыми. Формула (12.8), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид

.                (12.11)

Величина W_u(ω) носит название спектральной плотности энергии сигнала и(t), или, короче, его энергетического спектра. Формула (3.2) при этом запишется так

.                    (12.12)

Соотношение (4.12) известно как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси.

Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключена в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (4.11) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от ее фазы.

Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до цели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине τ — задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего и(t) и принятого и(t-τ) сигналов одинаковы при любых задержках. Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рисунке 12.1.

Рисунок 12.1 - Устройство для измерения времени задержки сигналов

Лекция 13. Принципы корреляционного анализа. Случайные    процессы и их основные характеристики

Содержание лекции:

- автокорреляционная функция сигнала. Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией. Взаимокорреляционная функция двух сигналов. Некоторые свойства взаимокорреляционной функции. Связь ВКФ с взаимной спектральной плотностью. Понятие случайного процесса. Плотность вероятности и интегральная функция распределения (ИФР).

Цель лекции:

- показать связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. Ввести характеристику совокупности двух сигналов — их взаимокорреляционную функцию (ВКФ). Изучить явления при передаче сообщений в условиях, когда детерминированное описание сигналов принципиально невозможно и на смену ему приходит вероятностное (статистическое) описание. Описать свойства случайных сигналов, изучая совокупности случайных многомерных величин.

Для количественного определения степени отличия сигнала и(t) и его смещенной во времени копии u(t-τ) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u(t), равную скалярному произведению сигнала и копии

.                  (13.1)

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (13.1) заведомо существует.

К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность

B_u(τ)=B_u(-τ).                                   (13.2)

Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала

.                         (13.3)

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала и(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.

Действительно, в соответствии с формулой (13.1) АКФ есть скалярное произведение: B_u(τ)=(u, u_τ). Здесь символом u_τ обозначена смещенная во времени копия сигнала и (t-τ).

Обратившись к обобщенной формуле Рэлея, можно записать равенство

.

Спектральная плотность смещенного во времени сигнала , откуда .

 Таким образом, приходим к результату

.                  (13.4)

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье

.                        (13.5)

Имеется и обратное соотношение

.                            (13.6)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точки зрения возможности точного измерения момента его начала.

Во-вторых, формулы (13.4) и (13.6) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала.

Обобщая формулу (13.1), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов и(t) и v(t) скалярное произведение вида

                                   (13.7)

Если в формуле (5.7) заменить переменную интегрирования, введя

х = t-τ, так что dt=dx, то, очевидно, возможна и такая запись

.                           (13.8)

Поэтому

.                                       (13.9)

В отличие от автокорреляционной функции одиночного сигнала, ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента τ: .

Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их взаимокорреляционная функция ограничена. Это утверждение следует из неравенства Коши — Буняковского: , откуда

,                                         (13.10)

так как сдвиг сигнала во времени не влияет на значение его нормы.

Следует обратить внимание на то, что при τ=0 значения ВКФ вовсе не обязаны достигать максимума.

Выразим ВКФ двух сигналов через их спектральные характеристики. На основании обобщенной формулы Рэлея

.

Имея в виду, что величина  есть взаимный энергетический спектр сигналов и(t) и v(t), определенный в бесконечном интервале частот -∞<ω<∞, приходим к выводу: взаимокорреляционная функция и взаимный энергетический спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье.

В основе большинства методов исследования общей теории связи лежит представление о процессе передачи сообщения как некоторого случайного процесса, развивающегося (чаще всего) во времени. Словом случайный подчеркивается то обстоятельство, что предопределить зара­нее точное протекание процесса невозможно. По определению, случайный процесс Х(t)—это особого вида функция, характеризующаяся тем, что в любой момент времени t принимаемые ею значения являются случайными величинами. Типичным примером случайного процесса может служить напряжение Z(Q) = s(t) + N(t) на входе приёмника. Наблюдая напряжение в данный момент, мы не можем с полной определённо­стью предсказать, каково будет его значение в последующие моменты времени. Это объясняется тем, что параметры формируемого передатчиком канального сигнала s(t) (амплитуда, частота, фаза) изменяются случайным образом в соот­ветствии с передаваемым сообщением a(t). Кроме того, в процессе передачи сигнал подвергается воздействию различных аддитивных помех N(t), имеющих случайный характер, например, в виде электрических разрядов в атмосфере, помех от электрического транспорта, помех от других радиостанций и т.д. Случайность процесса X(t) проявляется в том, что вид наблюдаемой функции случайным образом меняется от одного наблюдения к другому. Однако получаемая в результате каждого отдельного опыта функция х(t) не случайна, её называют реализацией случайной функции. Случайный процесс представляет собой бесконечную совокупность таких реализации, образующих статистический ансамбль. На рисунке 5.1 показаны четыре реализации случайного процесса. Если на графике множества реализации случайной функции Х(t) (см. рисунок 13.1) выбрать момент (сечение) t₁, то множество {х^(r)(t₁)} значений реализации в этот момент образует случайную величину X. Значения этой случайной вели­чины заранее неизвестны. Но можно установить некоторые закономерности, по которым можно судить о том, что в данном сечении случайная величина с вероятностью Р будет принимать значение в определённых пределах [x, x+∆x].

Для непрерывных процессов X(t) распределение вероятностей в заданном сечении t₁ характеризуется одномер­ной плотностью вероятностей (ПВ)

,

выражающей отношение вероятности того, что случайная величина X(t) примет значения в интервале , к величине интервала ∆х На рисунке 13.2, а изображён типовой график одномерной ПВ.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале (x₁;x₂) опреде­ляется выражением .

Рисунок 13.1 - Задание случайного процесса через совокупность его реализаций Рисунок 13.2 - Типовой график (а) одномерной ПВ и (б) одномерной ИФР

Другой важной характеристикой случайных величин Х является ИФР F(x), определяемая как вероятность того, что случайная величина X не превзойдёт некоторого значения х .

ИФР имеет следующие свойства:

а)F(-∞)=0;

б) F(∞)=1;

в) F(x) — неубывающая функция, т.е. F (x₂) ≥ F (x₁) при х₂ > x₁;

г) P[x₁≤X≤x₂]=F(x₂)- F(x₁)

 График ИФР F{x) приведён на рисунке 13.2, б.

В прикладных задачах часто предполагают, что ИФР являются дифференцируемыми функциями и определяют w(x) как производную от ИФР:

.

Для более полного описания случайного процесса нужно располагать его n-мерной плотно­стью вероятности w(x₁, x_2,…, x_n; t₁,t_2,…, t_n) или n-мерной ИФР F(x₁, x_2,…, x_n; t₁,t_2,…, t_n), выражающих свойства случайного процесса в произвольных сечениях t₁,t_2,…, t_n. Для полного описания непрерывного во времени СП приходится п→∞ .

Моменты, которые наблюдаются в сечениях процессов, зависят от временных аргументов, они получили название моментных функций. Для статистической радиотехники наибольшее значение имеют три моментные функции низших порядков, называемые математическим ожиданием, дисперсией и функцией корреляции.

Лекция 14. Случайные процессы и их основные характеристики. Общие сведения о каналах связи. Преобразование сигналов в линейных каналах связи 

Содержание лекции:

- случайные стационарные процессы. Спектральная плотность мощности случайного процесса. Функция корреляции случайного процесса с ограниченным спектром. Общие сведения о каналах связи. Воздействие детерминированных сигналов на линейные стационарные системы. Системные операторы. Стационарные и нестационарные системы. Линейные и нелинейные системы. Импульсные характеристики линейных стационарных систем. Интеграл Дюамеля.

Цель лекции:

- описать сигналы, которые отображают развивающиеся во времени случайные явления, изучив теорию случайных процессов. Показать, что между" корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов существует глубокая и тесная связь. Провести классификацию каналов связи.

Случайными стационарными процессами принято называть случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех сечениях.

Если ограничить требования тем, чтобы математическое ожидание т и дисперсия σ² процесса не зависели от времени, а функция корреляции зависела лишь от разности , т.е. , то подобный случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Как следует из определения, функция корреляции случайного стационарного процесса является четной. .

Кроме того, абсолютные значения этой функции при любых τ не превышают ее значения при τ=0

.                      (14.1)

Для описания слу­чайных процессов наряду с корреляционными функциями B(τ) широко ис­пользуются спектральные характеристики, в частности, спектральная плотность мощности G(f). Между B(τ) и G(f) существует пара преобразований Фурье. Для случайных стационарных процессов эти соот­ношения строго установлены А.Я. Хинчиным и Н. Винером.

Дисперсию (среднюю мощность) СП можно найти путём интегрирования C(f) по частоте ,

где G₀(f) - СПМ, определённая на положительных частотах. Методом равно­великого прямоугольника (или по иному критерию) можно найти не только интервал корреляции СП ("ширину" B(τ)), но и эффективную ширину его спектра F_э ("ширину" G₀(f)). Произведение этих параметров удовлетворяет ус­ловию τ_кор F_э.~К , где К — константа, имеющая порядок единицы.

Слу­чайный процесс, характеризуемый СПМ G₀(f)=N₀, равномерной на всех час­тотах (см. рисунок 14.1 а), называют белым шумом (по аналогии с белым светом в оп­тике). Если спектр G₀(f) ограничен сверху частотой F_B (см. рисунок 14.1, б), то про­цесс называется квазибелым шумом. Его дисперсия σ² == B(0) = N₀F_B. Найдём ФК квазибелого шума:

.           (14.2)

Полученная ФК отображена на рисунке 14.2 а. Обратим внимание на то, что при значениях, кратных 1/2F_B, значения B(τ) проходят через нуль. Это означает, что сечения процесса, разделённые интервалом k/2F_B (k — целое число), не коррелированны между собой. Если беспредельно увеличивать граничную часто­ту F_B, то от квазибелого шума придём к абсолютно случайному процессу (белому шуму), у которого два несовпадающих сечения не коррелированны; КФ белого шума выражается δ-функцией (см. рисунок 14.2 б)

 .                                              (14.3)

Результат (14.3) следует из (14.2), если воспользоваться определением δ-функции. Белый шум является математической идеализацией реального процесса, так как средняя мощность (B(0)), необходимая для создания такого процесса, оказывается бесконечно большой. Примером помехи типа белого шума является теп­ловой шум резисторов, имеющий практически равномерную спектральную плотность на частотах вплоть до 6∙10¹² Гц.

Классификация каналов связи возможна с использованием различных при­знаков. В зависимости от назначения систем каналы связи делят на телеграф­ные, фототелеграфные, телефонные, звукового вещания, передачи данных, те­левизионные, телеметрические, смешанные и т.п.

В зависимости от рас­пространения сигналов между пунктами связи в свободном пространстве или по направляющим линиям выделяют каналы радио (в частности, косми­ческие каналы) и проводной связи (воздушные, кабельные, волоконно-оптические линии связи, волноводные СВЧ тракты и т.п.)

В зависимости от характера связи между сигналами на входе и выходе канала различают каналы (звенья, цепи) линейные и нелинейные.

Различают каналы чисто временные (с сосредоточенными параметрами), в которых сигналы на входе и выходе описываются функциями одного скаляр­ного параметра (времени t), и пространственно-временные каналы (с распре­делёнными параметрами), в которых сигналы на входе и (или) выходе описываются ­пространственными координатами (х, у, z). Такие сигналы называют полями.

Более существенна классификация каналов электрической связи по диапа­зону используемых ими частот. В настоящее время в радиосвязи применяют частоты примерно от 3-10³ до 3-10¹² Гц. Благодаря созданию и широкому внедрению квантовых генераторов (лазеров), освоен и диапазон све­товых волн (оптический диапазон). Практически в оптико-волоконных линиях связи используются частоты порядка 10¹⁴ Гц (длины волн 1,55; 1,35; 0,85 мкм). Для современного этапа развития техники связи характерна тенденция к переходу на всё более высокие частоты.

Радиотехническое устройство независимо от своего назначения и уровня сложности представляет собой систему, т. е. совокупность физических объектов, между которыми существуют определенные взаимодействия. В структуре системы можно выделить вход, на который подается исходный сигнал, и выход, откуда снимается преобразованный сигнал. Если интересуются лишь связью между сигналами на входе и выходе и не описывают внутренние процессы в системе, то говорят, что система представляет собой «черный ящик». Как входной сигнал u_вх(t), так и выходной сигнал u_вых(t), называемый также откликом или выходной реакцией системы, описываются одиночными функциями времени или в виде т-мерного вектора ,а выходной сигнал — в виде n-мерного вектора .

Классификацию систем проводят на основании существенных свойств их математических моделей. Принято говорить, что система стационарна, если ее выходная реакция не зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал. Если Т — оператор стационарной системы, то

                  (14.4)

при любом значении t₀. Стационарные системы называют также системами с постоянными во времени параметрами.

Если же свойства системы не инвариантны относительно выбора начала отсчета времени, то такую систему называют нестационарной (системой с переменными во времени параметрами или параметрической системой).

Важнейший принцип классификаций, систем основан на том, что различные системы по-разному ведут себя при подаче на вход суммы нескольких сигналов. Если оператор системы таков, что справедливы равенства

 ,     (14.5)

где  — произвольное число, то данная система называется линейной. Условия (14.5) выражают фундаментальный принцип суперпозиции. Если эти условия не выполняются, то говорят, что система является нелинейной.

Путь анализа прохождения детерминированных сигналов через линейные цепи основан на временном или частотном представлении свойств сигналов и систем.

Пусть некоторая линейная стационарная система описывается оператором Т. Для простоты будем полагать, что входной и выходной сигналы одномерны. По определению, импульсной характеристикой системы называется функция h(t), являющаяся откликом системы на входной сигнал (t). Это означает, что функция h(t) удовлетворяет уравнению                                 

.                               (14.6)

Поскольку система стационарна, аналогичное уравнение будет и в случае, если входное воздействие смещено во времени на производную величину t₀:

.                       (14.7)

Следует ясно представить себе, что импульсная характеристика так же, как и порождающая ее дельта-функция, есть результат разумной идеализации. С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала пренебрежимо мала по сравнению с характерным временным масштабом системы, например, периодом ее собственных колебаний.

Зная импульсную характеристику линейной стационарной системы, можно формально решить любую задачу о прохождении детерминированного сигнала через такую систему

.               (14.8)

Эта формула, имеющая фундаментальное значение в теории линейных систем, называется интегралом Дюамеля.

Каков бы ни был конкретный вид импульсной характеристики физически осуществимой системы, всегда должен выполняться важнейший принцип: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе. Отсюда вытекает ограничение на вид допустимых импульсных характеристик

h (t)=0 при t<0.                             (14.9)

Для физически реализуемой системы верхний предел в формуле интеграла Дюамеля может быть заменен на текущее значение времени

.                  (14.10)

Лекция 15. Преобразование сигналов в линейных и нелинейных  каналах связи

Содержание лекции:

- переходные и частотные характеристики линейных стационарных систем. Условие физической реализуемости. Спектральный метод. Преобразование случайных сигналов в детерминированных линейных каналах. Воздействие стационарных случайных сигналов на безынерционные нелинейные цепи. Прохождение случайных сигналов с широким спектром через узкополосные цепи.

Цель лекции:

- Систематическое решение задач о прохождении разнообразных сигналов через линейные системы. Показать применение спектрального подхода как к задаче нахождения реакции системы, так и к проблеме числовой оценки выходного сигнала. Исследовать ту связь между статистическими характеристиками процессов X(t) и Y(t), которая может быть найдена на основе математической модели системы.

Физически реализуемая система должна быть, кроме того, устойчивой. Это означает, что ее импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости           

.                                     (15.1)

Пусть на входе линейной стационарной системы действует сигнал, изображаемый функцией Хевисайда . Выходную реакцию

                               (15.2)

принято называть переходной характеристикой системы.

Поскольку система стационарна, переходная характеристика инвариантна относительно временного сдвига .

Переходная характеристика физически реализуемой системы отлична от нуля лишь при , в то время, как g (t) = 0 при t < 0.

Между импульсной и переходной характеристиками имеется тесная связь. Действительно, так как δ(t)=dσ/dt, то на основании (14.6)

.                             (15.3)

Покажем, что комплексный сигнал u_вх(t) = exp (jωt) при любом значении частоты ω есть собственная функция cтaциoнaрнoгo оператора. Для этого воспользуемся интегралом Дюамеля вида (14.8) и вычислим

.       (15.4)

Отсюда видно, что собственным значением системного оператора является комплексное число

,                 (15.5)

называемое частотным коэффициентом передачи системы.

Формула (15.5) устанавливает принципиально важный факт — частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика линейной стационарной системы связаны между собой преобразованием Фурье. Поэтому всегда, зная функцию K(jω), можно определить импульсную характеристику

.               (15.6)

Важнейшее положение теории линейных стационарных систем - любую такую систему можно рассматривать либо во временной области с помощью ее импульсной или переходной характеристик, либо в частотной области, задавая частотный коэффициент передачи. Оба подхода равноценны, и выбор одного из них диктуется удобствами получения исходных данных о системе и простотой вычислений.

Часто пользуются представлением частотного коэффициента передачи в показательной форме

.               (15.7)

Обе входящие сюда вещественные функции носят специальные названия:  — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), φ_K(ω) - фазочастотная характеристика (ФЧХ) системы.

Далеко не каждая функция К (jω) может являться частотным коэффициентом передачи физически реализуемой системы. Простейшее ограничение связано с тем, что импульсная характеристика h(t) такой системы обязана быть вещественной

K(jω)=K^*(-jω).                           (15.8)

В соответствии с формулой (10.13) модуль частотного коэффициента передачи (АЧХ) есть четная, а фазовый угол (ФЧХ) — нечетная функция частоты.

Каким должен быть частотный коэффициент передачи для того, чтобы выполнялись условия физической реализуемости (14.9) и (15.1). Приведем без доказательства окончательный результат, известный под названием критерия Пэли — Винера: частотный коэффициент передачи физически реализуемой системы должен быть таким, чтобы существовал интеграл   

.                        (15.9)

Спектральный метод анализа прохождения радиотехнических сигналов через линейные стационарные системы - целый комплекс математических приемов, в основе которых лежит использование свойств частотного коэффициента передачи системы.

.               (15.10)

Это основная формула спектрального метода, свидетельствующая о том, что частотный коэффициент передачи системы служит множителем пропорциональности между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:

.                                 (15.11)

Исследование преобразований случайных процессов при их прохождении через линейные динамические системы (как с регулярными, так и со случайно меняю­щимися параметрами) связано с решением задач двух типов: определение кор­реляционной функции (спектральной плотности мощности) отклика Y(t) на выходе системы, заданной своими характеристиками, по данной корреляцион­ной функции (или спектральной плотности мощности) входного воздействия X(t) определение многомерного распределения вероятностей отклика У(t) на выходе системы по многомерному распределению входного воздействия X(t).

В стационарной детерминированной линейной системе с финитной, т.е. ограниченной во времени пределами 0... ИХ g(t) отклик

.         (15.12)

Шаг дискретизации  можно выбрать равным интервалу корреляции входного процесса 1/F_x. Допустим, что входной процесс центрирован (t)=0, тогда центрирован и выходной процесс. Узкая полоса пропускания означа­ет, что длительность импульсной характеристики τ велика по сравнению с . Сечение выходного процесса Y(t) в любой момент времени t определяется со­гласно (15.12) N слагаемыми суммы. В эту сумму входит много некоррелиро­ванных между собой сечений процесса X(t). Распределение вероятностей такой суммы согласно центральной предельной теореме теории вероятности близко к гауссовскому (тем ближе, чем больше N, определяемое отношением Fx/∆F). В предельном случае, если на вход канала воздействует белый шум, у которого ширина спектра бесконечна (не совпадающие во времени отсчёты не коррелированы), а канал имеет ограниченную полосу пропускания, то N и выход­ной процесс будет строго гауссовским. Отмеченное свойство линейного канала сохраняется и при изменении параметров канала.

ФК выходного стационарного процесса Y(t).

Предположим, что на входе безынерционной нелинейной системы присутствует случайный сигнал x(t), являющийся одной из реализаций стационарного случайного процесса X(t). Выходной сигнал y(t) связан с входным воздейст­вием зависимостью вида y{t)=f[x{t)]; ансамбль реализа­ций y{t) задает стационарный случайный процесс Y(t), Ставится задача найти связь между статистическими характеристиками процессов  X(t) и   Y(t).  При  этом  возможны два частных подхода:

1)  По известной и-мерной плотности вероятности вход­ного случайного процесса р_вх(х₁,  х₂,...,х_n; t_{l ,} t₂,...,t_n) ищут аналогичную функцию р_вых(y₁,  y₂,...,y_n; t_{l ,} t₂,...,t_n)опреде­ляющую выходной сигнал.

2)  Исследование проводят в рамках корреляционной теории — ищут математическое ожидание т_у и функцию корреляции R_y(t) выходного случайного процесса.   Наряду с функцией корреляции интерес может представлять спектральная плотность мощности W_y(w) выходного сигнала.

Если x₁, x₂, ..-, х_n — случайные значения, наблю­даемые на входе в моменты времени t₁, t₂,...,t_n соот­ветственно, то, учитывая безынерционный характер преобразо­вания,   имеем   на   выходе   в   те   же   моменты   времени

y₁=f(x₁), y₂=f(x₂),…, y_n=f(x_n).                             (15.13)

Применив обратную функцию x=g(y), получим

         x₁=g(y₁), х₂ =g(y₂),.., х_n =g(y_n).                                     (15.14)

Тогда многомерная плотность вероятности на выходе

р_вых(y₁,  y₂,...,y_{n =} р_вх[g(y₁), g(y₂),.., g(y_n)]½D½,    (15.15)

где D — якобиан преобразования функции (15.13).

Формула (15.15) решает поставленную задачу в самом об­щем виде.

Простейшая статистическая характеристика стационарного случайного процесса — его среднее значение, получающееся путем усреднения по ансамблю реализаций. Чтобы вычислить среднее значение сигнала после нелинейного безынерционного преобразования, нужно располагать одномерной плотностью вероятности p_вых(y). На основании принципа усреднения

m_y =                                         (15.16)

Спектр колебаний на выходе нелинейного преобразователя разбивается на бесконеч­ную сумму составляющих, каждая из которых отображает индивидуальный узкополосный случайный процесс. Максиму­мы спектральных плотностей мощности этих составляющих наблюдаются на частотах nw_о. Помимо этого в спектре выходного сигнала возникает низкочастотная составляющая в окрестности нулевой частоты, которую можно рассматривать как результат амплитудного детектирования входного сигнала. При различных видах характеристики нелинейного элемента можно ожидать появления тех или иных гармоник центральной частоты входного случай­ного колебания.

Часто приходится рассматривать воздействие на линейные частотно-избирательные цепи широкополосных случайных сигналов, образованных, например, хаотической последовательностью коротких импульсов. В этом случае если эффективная ширина спектра входного случайного процесса значительно превышает ширину полосы пропускания системы, то реальный случайный процесс можно заменить эквивалентным ему белым шумом с односторонним спектром мощности N₀ = N_x (f₀), где f₀ ~ некоторая точка в пределах полосы пропускания.

Лекция 16. Модель дискретно-непрерывного канала. Критерии   качества и правила приема дискретных сообщений. Теория помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений

Содержание лекции:

- модель дискретно-непрерывного канала. Критерий Котельникова. Оптимальные алгоритмы приема при полностью известных сигналах (когерентный прием).

Цель лекции:

- дать математическое описание канала. Синтезировать оптимальный демодулятор.

Дискретно-непрерывный канал с независимыми символами b_i, на входе и непрерывным сигналом z(t) на выходе описывается априорными вероятностями входных символов P(b_i) и переходными (условными) плотностями w[z| b_i] принимаемой реализации z{t) (на заданном интервале Т) при условии передачи символа b_i. Эту плотность называют функцией правдоподобия. Вместо функций правдоподобия дискретно-непрерывный канал можно описать апостериорными вероятностями Р(b_i|z) передачи символа b_i; при фиксации на приёме колебания z(t). Согласно формуле Байеса ,

где плотность принимаемого колебания ,             (16.1)

где P(b_i) — априорная вероятность передачи символа b_i (т.е. та вероятность, которая имеет место до наблюдения и анализа, и определяемая статистикой источника сообщения и правилом кодирования).