ВВЕДЕНИЕ

Радиотехнические системы относятся к классу информационно-управляющих технических систем, осуществляющих извлечение, передачу или разрушение информации с помощью радиоволн.

 Отличительный признак радиосистемы – наличие радиоканала (одного или нескольких), состоящего из источника радиоволн, являющихся носителем информации, среды, в которой распространяются радиоволны, и приемника, извлекающего информацию путем соответствующей обработки радиоволн, достигающих его антенны. Радиоволны, несущие ту или иную информацию, называются радиосигналом[M1] . Таким образом, характерным признаком радиосистемы является использование радиосигнала в качестве носителя информации.

Назначение информации – один из признаков классификации радиосистем. По этому признаку радиосистемы можно подразделить на системы передачи, извлечения и разрушения информации  (радиопротиводействия), а также системы радиоуправления.

К системам извлечения информации относятся радиолокационные и радионавигационные системы, системы радиоастрономии, радионаблюдения поверхности Земли или других планет, ради о разведки радиотехнических средств противника.

Системы разрушения информации (радиопротиводействия) предназначены для создания условий, в которых работа радиосистем противника становится невозможной.

Системы радиоуправления служат для управления работой различных объектов с помощью радиосигналов.

По виду применяемых сигналов различают непрерывные, импульсные и цифровые радиосистемы. В непрерывных системах информация отображается изменением параметров (амплитуды, частоты, фазы) непрерывного, обычно гармонического, сигнала. В импульсных системах сигнал представляет собой последовательность радиоимпульсов, в которой информацию могут нести как изменяющиеся параметры отдельных импульсов (амплитуда, частота, фаза, длительность), так и всей последовательности (число импульсов в последовательности, интервал между ними).

В цифровых системах передаваемый сигнал предварительно квантуется по времени и уровню. Каждому уровню соответствует кодовая группа импульсов, которые и модулируют несущее колебание. Цифровые системы - легко сопрягаются с ЭВМ, осуществляющими обработку и запоминание информации, воспроизводимой затем устройством отображения.

Для создания радиосистем различных назначений используется практически весь диапазон радиоволн от мириаметровых (l= 10 –: 100 км) до миллиметровых (l =1 –: 10 мм); лазерные системы, тесно примыкающие по принципу действия и назначению к радиотехническим, работают в инфракрасном и видимом диапазонах электромагнитных волн. Таким образом, применяется почти весь спектр электромагнитных колебаний.

 Следует подчеркнуть, что использование того или иного диапазона радиочастот для систем различных назначений регламентировано международной комиссией распределения радиочастот (МКРР), так же как и ширина спектра частот, отводимого системе того или иного типа. Эти ограничения влияют на выбор вида радиосигнала и построение радиосистемы, и в конечном счете сказываются на ее тактико-технических характеристиках.

При создании системы стремятся получить наилучшие характеристики для определенных условий ее работы.

 

Лекция 1

ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Физические явления, колебания, процессы, осуществляющие перенос информации, называют сигналами, и так как в радиотехнике сообщения передаются посредством радиоволн, т. е. электромагнитного поля, то за ним и следовало бы закрепить наименование «сигнал». Поскольку поле математически описывается скалярной (напряженностью) или векторной (при учете поляризационных эффектов) функцией времени и пространственных координат, сигнал в РТС является пространственно-временным, задаваемым зависимостью S (t, г), в которой г – радиус-вектор рассматриваемой точки трехмерного пространства.

Сигналы можно разделить на детерминированные[M2]  и случайные[M3] .

Случайные процессы подчиняются статистическим закономерностям, для их описания вводят характеристики случайных процессов.

1.     Закон распределения вероятностей

 

Вероятность того, что величина x(t₁) при измерении попадет в интервал (a,b), где p(x₁,t₁) – дифференциальный закон распределения случайной величины х.

2.     Среднее значение  (математическое ожидание)

         

 

3. Среднеквадратичное значение

 

 

3.     Корреляционная функция

 

 

 

 

Помехи, упоминавшиеся ранее, есть не что иное, как некоторое вредное поле х (t, г), взаимодействующее с сигналом S (t, г), продуктом чего оказывается результирующее поле у (t, г) = F[S(t, г), х (t,r)], где F[.,.] – оператор, описывающий закон комбинирования сигнала и помехи (S (t, г) и х (t, г) могут складываться, скалярно или векторно перемножаться и т. д.). Наблюдатель, т. е. приемная сторона, воспринимает именно результирующее поле у (t, г).

В силу своей недетерминированности, непредсказуемости помеха разрушает однозначную связь поля, наблюдаемого в данной области пространства, с переносимым им сообщением, так что у приемной стороны могут возникать сомнения в достоверности получаемых ею сведений.

Статистическая теория РТС как раз и призвана вооружить специалиста умением строить систему так, чтобы, используя имеющиеся средства, максимизировать помехоустойчивость РТС, в наибольшей степени защитить обрабатываемую информацию от искажающего влияния помех.

Таким образом ,под сигналом далее будем понимать функцию времени, в которую тем или иным способом «вложено» передаваемое сообщение. Приемной стороне (наблюдателю) сигнал доступен лишь в смеси с помехой, т. е. в виде колебания (1.1).

y(t)=F[ S(t), x (t) ]                                         (1.1)

Важнейшая задача теории – научить наблюдателя оптимально, т. е. с наивысшей достоверностью, извлекать информацию, вложенную в сигнал, содержащийся в у(t).

Под извлечением информации понимают такие процедуры, как обнаружение, оценка параметров, фильтрация и т. д., однако все они в конечном счете сводятся к различению сигналов, т. е. к установлению того, какой из возможных сигналов присутствует в у (t).

Выполнив различение, наблюдатель, осведомленный заранее об алгоритме «вложения» сообщения в сигнал, т. е. о законе соответствия сигналов сообщениям, узнает и само сообщение.

2.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ

СИГНАЛОВ.

Несмотря на многообразие  целевых назначений, видов и принципов работы современных радиоэлектронных систем , можно выделить целый ряд операций, поддающихся унифицированию и в достаточной мере абстрактному исследованию, не опирающемуся на специфику той или иной системы, продуктивному для многих конкретных приложений. К числу таких операций процедуры обнаружения и различения сигналов.

Под обнаружением сигнала в радиоэлектронике понимают анализ принятого колебания у (t), завершающийся вынесением решения о наличии или отсутствии в нем некоторой полезной составляющей, которую и называют сигналом.

Различение М сигналов определяют как анализ принятого колебания у (t), заканчивающийся принятием решения о том, какой именно из М сигналов, принадлежащих указанному заранее множеству S= {S₀ (t), S₁, (t), ..., S_M-1, (t)}, присутствует в у(t).

Нетрудно видеть, что обнаружение сигнала есть частный случай различения двух сигналов, один из которых равен нулю на всем интервале наблюдения. Характерными практическими примерами выполнения указанных действий являются обнаружение отраженных от целей сигналов в радионавигации, гидролокации, обнаружение сигналов опорных маяков в радионавигации, различение М передаваемых посылок в системах цифровой связи и т. д.

Вероятностный характер наблюдаемого колебания у(t) приводит к тому, что любой различитель или обнаружитель, сколь бы тщательно он ни был спроектирован, не застрахован от ошибок. Таким образом, любой различитель[M4] [1] время от времени выносит решения, не соответствующие действительности, считая, что в наблюдаемом колебании присутствует k-й сигнал, тогда как в действительности в у (t) содержится i-й сигнал. Разрабатывая тот или иной различитель, следует стремиться так выбрать стратегию его работы, чтобы вредные последствия, связанные с указанными ошибками, были минимальными.

Теория проверки гипотез служит методологическим базисом всех исследований по обнаружению и различению сигналов.

 Незначительно адаптируя язык теории статистических решений к форме, более привычной для радиоспециалистов, можно так сформулировать задачу проверки М гипотез. Пусть наблюдаемое колебание у (t) является реализацией случайного процесса, который имеет распределение W(t) т. е. n-мерную ПВ W(у) [либо функционал ПВ W(у(t))], принадлежащее одному из М непересекающихся классов W (W_i∩W_k=Ø, i≠k, i; k=0, 1, ..., М – 1). Необходимо, пронаблюдав реализацию у (t), решить, какому из классов принадлежит W_y,. Предположение о том, что W_y Є W_i, называют гипотезой Н₁: W_y Є W_i.

Решения, являющиеся результатом проверки гипотез, будем далее обозначать Н₁, где i Є (0, 1, ..., М- 1) – номер гипотезы, истинность которой декларируется принятым решением.

Частный случай М=2 называют двухальтернативным или проверкой гипотезы Н₀ относительно альтернативы Н₁. Если М>2, то проверку гипотез называют мyогоальтернанивной.. Параллели между проверкой гипотез и различением сигналов в радиотехнике очевидны, если учесть, что, согласно (1.1), анализируемое различителем колебание у(t) является результатом взаимодействия присутствующего в нем сигнала S (t) с мешающим случайным процессом (помехой, шумом) х (t): у (t) = F [S(t), х (t)]. Гипотезы Н_i , в терминах различения сигналов трактуются как предположения о наличии i-го (и только i-го) сигнала в у (t) . При этом решения H_i, одно из которых служит итогом процедуры различения, есть утверждения о том, что в принятом колебании содержится именно i-й сигнал. В частном случае обнаружения гипотезы Н₀ и Н₁, выражают предположения об отсутствии и наличии сигнала в у (t); соответственно решения H₀  и H₁, означают утверждение, что сигнала в у (t) нет или сигнал в у (t) есть.

Лекция 2

2.1 Статистические критерии различения и обнаружения сигналов.

Для того чтобы задача поиска, или синтеза, оптимальных правил различения сигналов обрела математическую содержательность, необходимо прежде всего задаться некоторым формальным показателем (критерием) качества различения, т. е. количественной мерой, суммирующей ущерб, наносимый ошибочными решениями.

В тех задачах, которые удается свести к проверке простых гипотез, продуктивным оказывается критерий минимума среднего риска, называемый также критерием Байеса. Для того чтобы наиболее наглядно ввести связанную с ним систему понятий и терминов, обратимся к конкретному примеру различения М детерминироваиных сигналов S₀ (t), S₁ (t), ..., S_M-1, (t) на фоне помех с полностью заданным статистическим описанием, т. е. с точно известной ПВ любой размерности n или с точно известным функционалом ПВ. В рамках такой модели различения ПВ любой размерности или функционал ПВ наблюдаемого колебания у (t) при условии, что в у (t) входит сигнал с номером i, – некоторая вполне определенная функция, вид которой зависит лишь от номера i. При этом имеется М классов, содержащих по одному распределению, т. е. различение сигналов состоит в проверке простых гипотез.

Предположим, что известна вероятность р_i присутствия в у(t) сигнала S_i,(t). Эту вероятность называют априорной (доопытной), поскольку она отражает сведения, которыми располагает наблюдатель, еще не имея в распоряжении реализации у (t), и показывает, насколько часто при длительной эксплуатации изучаемой системы можно ожидать появления S_i (t) в у(t). Для систем М-ичной цифровой связи, например, вероятность р_i характеризует среднюю частоту, с которой S_i (t) посылается в канал. Очевидно, вероятность р_i можно назвать и априорной вероятностью истинности Н_i, записав р_i = Р (Н_i). Ясно также, что р_i  подчинены условию нормировки

∑ р_i = 1, ибо события H₀, H₁,…, H_M-1 составляют полную группу несовместных событий.

Предположим, что р_i = Р (H_k/H_i) – условная вероятность перепутывания i-го сигнала с k-м, т. е. принятия решения H_k [о присутствии S_k(t) в у (t) ] при условии, что истинна Н_i.[в у (t) содержится S_i (t) ]. Следовательно, множество вероятностей р_ik при i≠k составляет набор условных вероятностей всех ошибочных решений. Эти вероятности для любого фиксированного способа различения сигналов можно вычислить, так как помехи считаются полностью статистически заданными .

Введем М² неотрицательных величин П_ik, каждая из которых характеризует риск (потери, ущерб) от перепутывания i-го сигнала с k-м. При этом правильные решения считаются не наносящими ущерба, так что П_ii = 0.

В каждой отдельной попытке различения сигналов итог (решение) оказывается случайным событием, а поэтому случайным будет и значение риска. Очевидно, безусловную вероятность того, что риск окажется равным П_ik, по теореме умножения вероятностей можно найти как Р (Н_i) *Р (H_k/ Н_i) =р_i*р_ik-поэтому математическое ожидание риска или средний риск

П = ∑П_ik p_iр _ik.                                                                 (2.1.1)

Критерий Байеса, или минимального среднего риска, предписывает добиваться минимума (2.1.1). Различитель, оптимальный по этому критерию (байесовский различитель), при длительной эксплуатации будет наиболее «эконо- мичным» из всех, поскольку сумма штрафов за ошибки у него окажется наименьшей.

Хотя задание рисков П_ik (часто и априорных вероятностей р,) достаточно произвольно, практическая ценность критерия Байеса чрезвычайно велика, так как он, обобщая ряд других критериев, позволяет получить универсальный ответ на вопрос о наилучшей стратегии различения сигналов. Предположим, например, что, не имея объективных данных для назначения всех рисков, разработчик стремится лишь к тому, чтобы различитель как можно реже ошибался, т. e. чтобы полная вероятность ошибки

	(2.1.2)

 

 была минимальной. Нетрудно видеть, что такой критерий качества, называемый критерием идеального наблюдателя или критерием Котельникова, можно рассматривать как частный случай байесовского, положив в (2.1.1) П_ik= П, i≠k, где П – произвольная неотрицательная константа. При этом П=ПР_ош, и минимизация среднего риска равносильна минимизации (2.1.2).

Представим теперь, что затруднение вызывает задание не только рисков, но и априорных вероятностей. Подобная картина типична, например, для радиолокационного обнаружения. Тогда определить полную вероятность ошибки нельзя, но можно предложить вполне удовлетворительный критерий качества – критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок

В частном случае М=2, S₀(t)=0 рассматриваемая задача переходит в обнаружение детерминированного сигнала S₁ (t) на фоне помех с известным статистическим описанием. При этом условные вероятности р₀₁ = Р(H₁ / Н₀) и р₁₀=Р(H₀/Н₁) на статистическом языке называют вероятностями ошибок первого и второго рода. Согласно терминологии, принятой в радиоэлектронике, эти же величины именуют более выразительно – вероятности ложной тревоги и пропуска (сигнала), понимая под ложной тревогой факт решения H₁, об обнаружении сигнала при условии, что он в наблюдаемом колебании у (t) не содержится, а под пропуском – объявление H₀ о том, что сигнала в у (t) нет при условии, что в действительности он в у (t) присутствует. Далее для вероятностей ложной тревоги и пропуска будут использованы обозначения р_лт=р₀₁ и р _по=р₁₀. Средний риск при обнаружении П=р_лтр₀П₀₁ +р_пс (1 – р₀) П₁₀, где П₀₁, и П₁₀ – риски, связан- ные с ложной тревогой и пропуском; р₀ – априорная вероятность отсутствия S₁ (t) в у (t). Соотношения (2.1.2) и (2. 1.3) в этом случае можно представить в виде,

P_ош=p_лтp_О +p_пс (1 – p₀) и P_ошусл = p_лт +p_пс.

Помимо введенных общих критериев, не связанных с какими-либо допущениями относительно числа М проверяемых гипотез, при обнаружении часто применяют критeрий Неймана – Пирсона, предписывающий добиваться минимума вероятности пропуска р_gc при ограничении сверху на вероятность ложной тревоги.

Правила оптимального различения и обнаружения. Попытаемся выяснить, какой стратегии должен придерживаться байесовский различитель М детерминированных сигналов.

Любая нерандомизированная (не включающая преднамеренно введенных действий со случайным исходом типа бросания жребия) процедура различения М сигналов может интерпретироваться следующим образом. Допустим, что n-мерное пространство векторов Еⁿ разбито на М (соответственно числу различаемых сигналов) непересекающихся областей решения G₀,G₁,..., G_M-1

Тогда принятие решения различителем сводится к указанию номера области, в которую попал вектор наблюдения у. Если у ÎG _k то принимается решение Н_k о присутствии в у (t) сигнала S_k (t). Возможность такой «геометризации» различения сводит поиски оптимальной стратегии различителя к отысканию наилучшего разбиения Еⁿ на области решений.

Для того чтобы найти оптимальное правило разбиения, подставкм в (2.1) выражения для условных вероятностей ошибок р_ik= ∫P(у / Н_i)dу, вытекающие из определения областей G₀,G₁,..., G_M-1 Тогда

 

Очевидно, «назначение» конкретной конфигурации областей решения сводится к тому, чтобы, перебрав все векторы у, расписать их по М областям, включив каждый в одну и только одну область G_k,. При этом, как следует из последней формулы, каждый вектор войдет в одно и только одно слагаемое суммы по k, отвечающее той области, за которой он закреплен. Поэтому минимума можно добиться, если охватить областью G_k, именно те векторы у, для которых подынтегральное выражение в k-м интеграле минимально. Следовательно, разбиением Еⁿ на области минимизируюшим П, будет такое, при котором в G_k включаются векторы у (и только они), удовлетворяющие системе М неравенств

 

 

Если перейти к случаю непрерывного наблюдения (к пространствам бесконечной размерности), то n-мерные ПВ в (2.1.4) превратятся в функционалы ПВ F(у(t)/Н_i), т. е. область принятия решения H_k определится системой М неравенств

 

 

(2.1.8)

Таким образом, байесовский- различитель, наблюдая реализацию у(t), должен установить номер k, для которого совместно выполнены неравенства (2.1.5), н принять решение H_k o наличии в у (t) сигнала с номером k. Представим это правило в виде, который и далее будет использоваться для записи алгоритмов различения сигналов:

 

где символ Н_k указывает на решение, принимаемое при одновременном выполнении всех неравенств в (1.2.6), Отметим, что величину

-         апостериорный  условный (вычисляемый для данной реализации y(t)) средний риск.

Поэтому выражение (2.1.6) подразумевает вычисление для анализируемой реализации у(t) М значений условного среднего риска П =[у (t),i], i= 0, 1, ..., М – 1, и принятие решения о наличии в у (t) сигнала с тем номером k, для которого значение П [у (t), i] минимально.

Рассмотрим важнейшие частные случаи. Для идеального наблюдателя, минимизирующего (1.2.2), следует положить П_ik = П, i≠k. Тогда выражение (2.1.6) примет вид

На основании формулы полной вероятности

 согласно (2.7), получим

Так как, по теореме умножения вероятностей,

, то соотношение (2.1.8) может быть переписано как

 

Величина Р(Н_i/у(t)) определяет апостериорную (обратную, послеопытную) вероятность гипотезы Н_i, т. е, вероятность наличия i-го сигнала в у (t) с учетом всех сведений, которые можно извлечь из наблюдаемой реализации у(t). Следовательно, идеальный наблюдатель принимает решение в пользу сигнала, имеющего наибольшую апостериорную вероятность, т. е. действует по правилу максимума апостериорной вероятности (МАВ).

Если данные об априорных вероятностях ненадежны и проектировщик предпочел критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок (2.1,3), то соответствующее оптимальное правило различения можно получить из (2.1.8) при р_i=1/М,i=0, 1, ..., М – 1:

W(y(t)/H_k)≥W(y(t)/H_i),  i=0,1,2,…,M-1.

Функционал ПВ W(y(t)/H_i) – условной ПВ, определенной при условии истинности гипотезы Н_i [присутствия S_i(t) в у (t) ], – рассматриваемый как функция номера гипотезы i при фиксированной реализации у (t), называют функцией (функционалом) правдоподобия (ФП). Таким образом, стратегия различителя, минимизирующего (2.1.3), сводится к использованию правила максимума правдоподобия (МП), т. е. к подстановке принятой реализации у(t) в выражение для ФП, известное в силу детерминированности сигналов и статистической определенности помех, и подбору i, максимизирующего ФП.

В случае обнаружения детерминированного сигнала (М=2, S₀(t)=0) выражение (2.1.6) можно переписать так:

 

 

 

где расстановка символов H₀ и H₁, показывает, выполнение какого из неравенств влечет за собой принятие соответствующего решения. Правило (2.1.10) традиционно представляют в виде

 

называя отношение l двух значений ФП отношением (коэффициентом) правдоподобия (ОП). Как видно, байесовский обнаружитель детерминированного сигнала должен для полученной реализации у(t) вычислить ОП l и сравнить -

его с порогом l_п,   зависящим от рисков и априорных вероятностей отсутствия и наличия сигнала.

Если разработчик обнаружителя ориентируется на критерий идеального наблюдателя, то в выражении (2.1.11) следует положить П₀₁, =П₁₀, что превратит его в правило МАВ, сделав пороговый уровень равным р₀=/(1 – р₀). Аналогично, принятие за основу критерия минимума Р_ошусл= =р_лт+р_пс(П₀₁=П₁₀, р₀=1/2) придаст (2.1.11) вид правила МП, для которого l,=1. Наконец, стратегию обнаружителя,

оптимального по Нейману – Пирсону, также можно описать соотношением (2.1.11), если значение l_п  выбрать из условия поддержания вероятности ложной тревоги не выше заданного уровня.

Как видно, обнаружители, оптимальные по любому из рассмотренных критериев, должны выполнять одни и те же действия: вычислять ОП и сравнивать его с порогом. От конкретного критерия зависит лишь значение порога, и поэтому обнаружитель, наилучший по одному критерию, трансформируется в оптимальный по другому простым изменением порога l_п,

2.2 Различение сигналов cо случайными параметрами

Далеко не всегда наблюдатель столь подробно априори осведомлен о различаемых сигналах, как это полагалось. Чаще ему заранее не известны не только номер присутствующего в анализируемой реализации сигнала, но и значения каких-либо параметров (амплитуды, частоты, фазы и др.) каждого из М возможных сигналов. Сами сигналы при этом уже не являются детерминированными,

поскольку параметры их не заданы; соответствующую задачу различения называют различением сигналов с неизвестными параметрами.

Знание априорной ПВ W (Θ_i) случайных параметров различаемых сигналов позволяет трансформировать сложные гипотезы в простые, открывая тем самым путь к   использованию байесовского подхода и критериев.

Детерминированные сигналы. При различении М детерминированных сигналов на фоне аддитивного шума гипотеза Н_i означает, что у(t)=х(t)+ S_i(t), т. е. х(t)=у(t) – S_i(t). Поэтому из выражения для ФП получаем

где обозначением W_n(.) подчеркнуто, что у(t) – S_i(t) подставляют в функционал ПВ помехи х(t)=n(t).

Последняя запись позволяет дать наглядную интерпретацию правила МП (2.1.9) для данной реализации у(t) принимают решение о присутствии в ней того из М сигналов, который наименее уклоняется от у(t). При этом мерой уклонения является энергия разности у(t) и S_i(t).

Для дальнейшего использования ФП удобно представить в форме, следующей из (2.2.1) после раскрытия скобок под интегралом:

где Е_i=∫S_i² (t)dt  – энергия i-го сигнала; z_i=∫ у(t)S_i(t)dt – корреляционный интеграл (или просто корреляция) принятой реализации и i-го cигнала;

с_у=сехр [– 1/N₀ ∫ у²(t)dt] – коэффициент, зависящий от у(t), но не от i, и потому не влияющий на решения, принимаемые согласно выводам 2.1 по результатам сравнения значений соответствующих функций i (условного среднего риска, апостериорной вероятности, ФП), вычисленных для конкретной наблюдаемой реализации у(t).

Смысл корреляционного интеграла очевиден: если у(t) и S_i(t) согласно современным концепциям теории сигналов, рассматривать как векторы в бесконечномерном евклидовом пространстве, то z_i, окажется их скалярным произведением, т. е. величиной, характеризующей близость, сходство у(t) и  S_i(t). Отсюда вытекает следующая физическая трактовка правила МП применительно к различению М детерминированных сигналов равной энергии (Е_i = Е, i=0, 1, ..., М – 1): принимают решение о наличии в у(t) того сигнала, который имеет наибольшее сходство с у(t).

В частном случае обнаружения детерминированного сигнала М=2, S₀(t)=0, z₀=0, Е₀=0 и, согласно (2.2.1), W(y(t)/H₀)=c_y. Соответственно  z_i=∫ у(t)S₁(t)dt,   

Е₁= ∫ S_i²(t)dt  и  W(y(t)/H₁)=c_yexp((2z-E)/N₀)

Подставив эти выражения в (2.2.1), для ОП получим

где индекс 1 у z  и Е опущен, так как ненулевой сигнал единственный и может быть обозначен как S(t).

2.3 Сигналы со случайными параметрами.

В соответствии с выводами  2.2 ФП при различении сигналов со случайными параметрами, априорные распределения которых заданы, может быть получена усреднением ФП, построенной для детерминированных сигналов. При конкретных значениях неизвестных параметров i-го сигнала последний становится детерминированным и, согласно (2.2.1),

 

где Е₁= ∫ S_i²(t,θ_i)dt  – энергия i-го сигнала с фиксированным и равным θ_i, значением вектора неизвестных параметров z_i=∫ у(t)S₁(t)dt – корреляция y(t) с 

сигналом, имеющим фиксированное и равное θ_i , значение вектора неизвестных параметров. Приходим к выражению для ФП

В частном случае обнаружения ненулевого сигнала, повторив в приложении к рассуждения, приведенные в конце предыдущего пункта, придем к выражению для ОП

 

Где z(θ)- корреляция y(t) с обнаруживаемым сигналом S(t, θ ) =S ₁ (t, θ₁ ) при фиксированном и равном θ , значение вектора  его неизвестных параметров.

Изложенные принципы обнаружения и различения сигналов в следующей главе будут конкретизированы применительно к различным моделям сигналов.