Лекция 3
3 АЛГОРИТМЫ И УСТРОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ И РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ
3.1 Обнаружение
детерминированного сигнала
Процедура оптимального
обнаружения полностью известного сигнала s(l) сводится к вычислению ОП l и сравнению его с соответствующими пороговыми
значениями. Учитывая вид l
для рассматриваемой задачи и выбрав в
качестве f[l) Inl, получим следующее решающее правило:
z >< zn
(3.1)
где z = ò y(t)s(t)dt—корреляционный
интеграл или корреляция, определяющая степень сходства наблюдаемой реализации y(t) с
ожидаемым сигналом s(t). При гипотезе Н1 y(l) = s(t) + n(t) и корреляция в среднем
будет больше, чем при гипотезе Н0,
когда у( t)=n(t). Это обстоятельство и используется при обнаружении.
Входящий в (3.1) пороговый уровень z„ зависит от принятого
критерия обнаружения. При общем байесовском подходе, согласно (2.12), zn=0,5No(lnln+E/No). При ориентации на наиболее
часто применяемый на практике критерий Неймана—Пирсона zn
определяется заданным уровнем вероятности ложной тревоги рлт.
Структура устройства, называемого корреляционным
приемником и реализующего алгоритм (3.1), приведена на рисунке 3.1, где
обозначения Х, ò и ПУ
отвечают перемножителю, интегратору и пороговому устройству. Третий слева блок
предназначен для взятия
Структура корреляционного приемника
Рисунок 3.1
отсчета (стробирования) текущего значения на выходе
интегратора в момент окончания наблюдений Т. Опорный сигнал коррелятора на
рисунке 3.1—точная копия обнаруживаемого сигнала, формируемая автономным
генератором в месте приема. Воспроизведение сигнала в обнаружителе оказывается
возможным вследствие полной детерминированности s(l).
Можно предложить другую техническую реализацию
алгоритма (3.1), основываясь на том, что корреляцию z можно сформировать как
отсчет в момент времени t = Т сигнала yвых(t) на выходе фильтра,
импульсная характеристика которого h(t)=s(T—t). Напомним, что такой фильтр называют согласованным. Структура обнаружителя, основанного
на использовании согласованного фильтра (СФ), и временные диаграммы,
иллюстрирующие его работу для случая, когда обнаруживаемым сигналом является
прямоугольный импульс, приведены на рисунках 3.2 и 3.3.
Рисунок 3.2 Рисунок 3.3
Реакция
СФ на сигнал, с которым он согласован, имеет вид корреляционной функции последнего
, смещенной на время Т в сторону запаздывания,
т. е.
Следовательно,
максимальное значение (амплитуда) сигнала после СФ
Umax=Sвых(Т)=КS(0)=E. Диаграммы, отвечают случаю, когда порог превышен и
принято решение Н1.
Рассчитаем вероятности
ошибок рЛТ, рПС в оптимальном обнаружителе детерминированного
сигнала, пользуясь тем, что
рЛТ = Р(Н1/Но) = P(z >=zn/Hо) = ò
W(z/Ho)dz;
рПС =P(H0/H1)=P(z<zn/H1)= òW(z/H1)dz,
Графическая иллюстрация этих
соотношений приведена на рисунке 3.4, где площади заштрихованных областей равны
рЛТ (косая штриховка) и рПС (прямая штриховка). Так как z
есть линейное преобразование нормального случайного процесса (умножение на фиксированную
функцию s(t) и интегрирование), то W(z/Hi), где i= 0,1—одномерные нормальные
ПВ. Остается найти лишь их параметры: среднее z и дисперсию D(z). При отсутствии сигнала
, так как среднее
n(t)=0.
Появление
сигнала на входе приводит к
Из физических
соображений ясно, что дисперсия , совпадающая с дисперсией помехи на выходе СФ,
не зависит от присутствия на входе сигнала и с учетом и равна D(z)= N0E/2. Таким образом, вероятности
определятся соотношениями
Введя безразмерную
переменную t=z(ÖNoE/2)-1, получим
рЛТ= 1-Ф(h), рПС=Ф(h-q), рПО=1-Ф(h-q) (3.2)
где интеграл вероятности;
h = zn(N0E/2)-1 — нормированный пороговый
уровень;
q=Ö2E/No—параметр обнаружения,
равный отношению сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с обнаруживаемым
сигналом s(t). График функции Ф(х) приведен
на рисунке 3.5.
Рисунок 3.5
С
помощью соотношений (3.2)
осуществляется расчет обнаружителя в соответствии с принятым критерием
оптимальности. Так, при использовании критерия Неймана—Пирсона требуется
минимизировать рПС при фиксированном значении рЛТ.
Зависимости рПО=1- рПС =Ф(q- h) = Ф(q –Ф-1 (1-рЛТ ) ) (3.3)
от q при фиксированных значениях
вероятности ложной тревоги называют характеристиками
обнаружения . Зависимость рПО от q
является монотонно возрастающей, асимптотически стремящейся к единице при q®¥.
При q=0 рПО =1 – Ф-1(1-рЛТ ) = рЛТ .
Часто бывает необходимо рассчитать минимальное
значение параметра q, при котором
достигается требуемая верность обнаружения, т. е. заданные значения рПО и рЛТ.
Это минимальное значение qmin= Ф-1(1-рЛТ ) + Ф-1(1-рПС ) .
.
Характеристики обнаружения детерминированного сигнала (сплошные линии)
Рисунок 3.6
3.2 Обнаружение сигнала со случайной
начальной фазой Рассмотрим сигнал, который не
может считаться детерминированным, так как содержит случайный параметр—фазу j: S(t,Q)=S(t, j). В общем виде модель такого
сигнала можно записать как
S(t, j) =
S(t)cos [2pfоt + g(t) + j]= Rе{S(t)ехр [i(2pfоt + j ]}, (3.2.1)
где S(t) и g(t) известные законы
амплитудной и угловой модуляции; fо—известная центральная
частота; j—случайная начальная фаза с
априорной ПВ Pо(j); S(t)= S(t)eig(t) —комплексная огибающая
сигнала s(t), являющегося реализацией s(t; j) при j=0:
s(t)=s(t;0).
(3.3)
Оптимальный
обнаружитель должен формировать усредненное ОП и сравнивать его с порогом.
Поскольку начальная фаза (j радиоимпульса является неэнергетическим
параметром, т. е. Е(j)=Е=(1/2)òS2(t)dt, то
где z(j)=òy(t)s(t, j)dt.
Пользуясь тем, что для любых функций
òu(t)v(t)dt= ò u^(t)v^(t)dt
(равенство Парсеваля для преобразования
Гильберта), выражение для z(j) можно представить в виде
где y.(t) и S*(t, j)—аналитические сигналы, отвечающие y(t) и S(t; j) ;*—знак комплексного
сопряжения.
Так
как
(3.4)
где Y(t)—комплексная огибающая входной реализации y(t), то
Во многих задачах начальную фазу сигнала j
можно считать равномерно распределенной на интервале [-p,]
P0(j)=1/2, /j/<=p. При этом интеграл (3.3) с учетом (3.4) имеет вид
Воспользовавшись
интегральным представлением модифицированной функции Бесселя нулевого порядка
окончательно получим
(3.5) (3.6)
Z=Öz12+z22 , где
Таким образом,
оптимальный обнаружитель сигнала со случайной начальной фазой должен вычислять
длину Z вектора с декартовыми составляющими z1
и z2. Z является абсолютным
значением корреляции комплексных
огибающих принятого колебания Y(t) и сигнала S(t). При этом, согласно (3.6), z1 и z2 есть корреляции принятой реализации y(t) с квадратурными
составляющими сигнала детерминированными колебаниями, несущие которых сдвинуты
по фазе на угол p/2.
Структура
такого обнаружителя показана на рисунке 3.7.
Структура обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой
Рисунок 3.7
Отличие обнаружителя рисунке
3.7 от приведенного на рисунке 3.1 состоит в наличии второго коррелятора и принятии
решения по статистике Z, объединяющей выходные эффекты обоих каналов. Если бы
сигнал со случайной фазой s(t,j)
обнаруживался как детерминированный, то при ,j=±п/2 схема рис. 3.1 «не
замечала» бы s(t,j,) из-за слабой корреляции последнего
с опорным сигналом коррелятора s(t). Благодаря тому что на рис.
3.7 опорные сигналы корреляторов находятся в квадратуре, статистика Z не
зависит от ,j, в результате чего устраняется
вредное влияние случайности начальной фазы.
Иная реализация оптимального
обнаружителя возможна при использовании фильтра, у которого комплексная огибающая
импульсной характеристики H(t)= S*(T—t). Подобный фильтр согласован с
сигналом s(t ,j), имеющим некоторое
фиксированное значение j, например ,j = 0 [в этом случае фильтр согласован с первой из квадратурных составляющих
сигнала]. Огибающая на выходе этого СФ Yвых,
при воздействии y(t) на входе можно найти с помощью комплексного интеграла Дюамеля: