ҚАЗАҚСТАН
РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Алматы энергетика
және байланыс институты
С.Е. Ералиев
АМАЛДЫҚ
ЕСЕПТЕУЛЕРДІҢ ЭЛЕМЕНТТЕРІ
Оқу
құралы
Алматы 2004
ӘОК 378(075.8):51
Ералиев С. Е
ББК
22.1я7
Амалдық есептеулердің
элементтері:
Оқу құралы Алматы:
АЭжБИ, 2004. – 39 бет.
Бұл
оқулық техникалық жоғары оқу орындарының
бағдарламасына сәйкес жазылған. Мұнда, амалдық
есептеудің негізгі анықтамалары мен қасиеттерін терең
түсіну үшін, таңдалып алынған мысалдар
қарастырылған. Әрі әрбір параграфтың
соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты
есептер жинағы ретінде пайдалынуға болады.
Бұл
оқулықты техникалық жоғары оқу орындарының
студенттерімен қатар орта мектептің жоғары сыныптарында
фактультативтік курс жүргізетін математика пәнінің
мұғалімдері де пайдалана алады.
ПІКІР
БЕРУШІЛЕР :Ұлттық мемлекеттік университетінің “Есептеу
математика”кафедрасының профессоры,
физ.-мат.
ғылым.
докторы Данаев Н.Т.
Алматы
энергетика және байланыс институтының
жоғары
математика кафедрасының меңгерушісі физ.-
мат.
ғылым. кандидаты, професор
Базарбаева С.Е.
Қазақстан
Республикасының Білім және Ғылым министрлігі 2004 жылғы
баспа жоспары бойынша басылады.
ISBN 9965-494-57-6
© Алматы энергетика және
байланыс институты, 2004
Кіріспе
Техникалық
жоғары оқу орындарында амалдық есептеу курсының алатын
орны ерекше. Өйткені оның тәсілдері сызықты
дифференциалдық теңдеулерді, сызықты дифференциалдық
теңдеулер жүйелерін, интегро-дифференциалдық
теңдеулерді, математикалық физиканың кейбір есептерін
және ауыспалы режимдегі сыртқы кернеуі емін еркін алынған
күрделі электр тізбегінің кез келген процестерін есептеуге
мүмкіндік береді. Сондықтан оның, жоғары математика
курстарының бірі ретінде, жоғары оқу орындарында
оқытылуы бекер емес.
Бұл
оқулықта амалдық есептеу тәсілдерінің негізгі
анықтамалары мен қасиеттерін жете түсіну үшін
көптеген мысалдар қарастыралған. Соңғы параграфта
амалдық есептеу тәсілдерін электротехниканың есептерін
шығаруда қалай қолдануға болатындығы
көрсетілген. Әр параграфтың соңында есептер беріліп,
оқулықтың соңында бұл есептердің жауаптары
келтірілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер
жинағы ретінде пайдалануға болады.
Амалдық есептеулердің элементтері
Бейнелер
мен түптұсқаларды анықтау
а)
б)
в)
мұндағы
(1) - теңсіздік орындалатын
1 - мысал.
Шешуі. Берілген функция
2-шарт
орындалады.
Сондықтан берілген функция түпнұсқа болады.
Сонымен,
1. Берілген
функциялардың түпнұсқа болатындықтарын
анықтау керек:
а) |
|
б) |
|
|
|
|
|
в) |
|
г) |
|
|
|
|
|
д) |
|
е) |
|
|
|
|
|
ж) |
|
з) |
|
и) |
|
к) |
|
|
|
|
|
Бұдан былай жазуды көбейтпес үшін берілген функцияларды
Нақты айнымалы
формуласымен
анықталатын комплекс айнымалы
2 - мысал. Анықтаманы пайдалана отырып
Шешуі.
Сондықтан
Сонымен,
Анықтаманы
пайдалана отырып, төмендегі функциялардың бейнелерін анықтау
керек.
2. |
|
3. |
|
|
|
|
|
4. |
|
5. |
|
|
|
|
|
Лаплас
түрлендіруінің қасиеттері
Түпнұсқаның
жалғыз болуы туралы теорема.
Егер
1. 1 Сызықтық теоремасы. Кез келген нақты немесе комплекс тұрақтылар
мұнда
Функциялардың бейнелерін табу керек.
6.
1. 2 Ұқсастық теоремасы. Кез келген тұрақты
3 - мысал. Ұқсастық теоремасын қолданып
Шешуі.
Ұқсастық
теоремасын пайдалана отырып функциялардың бейнелерін табу керек.
11. |
|
12. |
|
13. |
|
|
|
|
|
|
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
Сызықтық
және ұқсастық теоремаларын пайдаланып
функциялардың бейнелерін табу керек.
17. |
|
18. |
|
|
|
|
|
19. |
|
20. |
|
|
|
|
|
21. |
|
22. |
|
|
|
|
|
1. 3
Түпнұсқаның туындысы туралы теорема.
Егер
4 - мысал.
Түпнұсқаның туындысы туралы теореманы пайдалана
отырып,
Шешуі .
Сондықтан,
Бұдан
Түптұсқаның
туындысы туралы теореманы пайдалана отырып, төмендегі
функциялардың бейнелерін табу
керек.
23. |
|
24. |
|
25. |
|
|
|
|
|
|
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
1. 4 Бейнені дифференциалдау туралы теорема
Егер
яғни
бейненің туындысын табу оның түпнұсқасын
5 - мысал.
Шешуі.
Функциялардың
бейнелерін табу керек.
29. |
|
30. |
|
31. |
|
|
|
|
|
|
|
32. |
|
33. |
|
34. |
|
1.5 Түпнұсқаның интегралы туралы теорема.
Егер
6 - мысал.
Шешуі.
Түпнұсқаның
интегралы туралы теорема бойынша
Функциялардың
бейнесін табу керек:
35. |
|
36. |
|
37. |
|
|
|
|
|
|
|
38. |
|
39. |
|
40. |
|
1.6 Бейнені интегралдау туралы
теорема.
Егер
7 - мысал.
Шешуі.
Сондықтан
Төмендегі
функциялардың бейнесін табу керек.
41. а)
42. а)
Бейнені интегралдау туралы теореманың көмегімен кейбір
меншіксіз интегралдар жеңіл есептеледі.
Бұл
жағдайда
8 - мысал.
Шешуі.
Төмендегі
интегралдарды есептеу керек:
43. |
|
44. |
|
45. |
|
46. |
|
47. |
|
1. 7 Ығысу теоремасы.
Егер
9 - мысал.
Шешуі.
10 - мысал.
Шешуі.
Төмендегі функциялардың
бейнесін табу керек.
48.
50.
53.
1. 8 Кешігу теоремасы.
(а)
(б)
1-сурет.
Хевисайд бірлік функциясы арқылы
өйткені
Теорема. Егер
Кешігу теоремасын әр аралықта әр түрлі
аналитикалық өрнектермен берілген
түпнұсқалардың бейнелерін анықтауда пайдалану
ыңғайлы.
11 - мысал.
(12) - формула
арқылы былай жазамыз:
Егер
Түпнұсқалардың
бейнесін табу керек:
54. |
|
55. |
|
|
|
|
|
56. |
|
57. |
|
|
|
|
|
12 - мысал. Төмендегі графикпен берілген
0 1 2 t
2-сурет
Шешуі.
а)
б)
в)
Ендігі жерде
Сонымен,
Бейнесіне көшсек:
13 - мысал. Түпнұсқаның бейнесін табу
керек:
Шешуі.
Сондықтан,
Бейнесіне көшеміз:
Графиктері арқылы
берілген, төмендегі функциялардың бейнелерін табу керек:
0 1
t
61.
1
0 1 t
62.
1
0 1 2 t
63.
1
0 1 2 t
64.
65.
1
0 1 2 3 4
Егер
14 - мысал. Графикпен берілген периодты
1
0
1 2 3 4
3-сурет
Шешуі.
(13)
-теңдеудегі
Төмендегі периодты функциялардың бейнелерін табу керек.
66.
1
0 1 2 3 4 t
67.
68.
69.
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
Егер
формуласымен
анықталады.
1. 9 Көбейту теоремасы. (үйірткі туралы теорема).
Бұндағы интеграл түпнұсқа болады да,
15 - мысал.
Шешуі.
16 - мысал.
Шешуі. Былай деп жаза аламыз
Келесі
функциялардың бейнесін табу керек:
70. |
|
71. |
|
|
|
|
|
72. |
|
73. |
|
|
|
|
|
74. |
|
75. |
|
|
|
|
|
76.
77.
2 Жіктеу теоремалары.
2.1 Бірінші жіктеу теоремасы.
Егер
болса, онда оның
түпнұсқасы
формуласымен
анықталады.
1 - мысал.
Шешуі.
Бұдан
2. 2 Жіктелудің екінші теоремасы.
Белгілі бір шарттар орындалғанда
формуласымен
анықталады. Мұнда
қалындының қосындысы
Дербес жағдайда, егер
формуласымен
анықталады. Мұндағы
Егер
формуласы
шығады.
2 - мысал.
Шешуі. Бұл жағдайда
Барлығы жай
түбірлер:
Есептейміз:
Демек, (20)-
формула бойынша
3 - мысал.
Шешуі.
Бұдан
4 - мысал.
Шешуі.
2. 3 Белгілі бейненің
түпнұсқасын анықтау.
1. Егер
5 - мысал.
Шешуі.
тауып орнына қоямыз:
Бұл
теңдеудің оң жағындағы жай
бөлшектердің түпнұсқалары белгілі.
Сондықтан сызықтық теоремасы бойынша бейненің
түпнұсқасы
2. Егер
6 - мысал.
Шешуі. Мұнда
Берілген
бейнелердің түпнұсқаларын табу керек:
78. |
|
79. |
|
|
|
|
|
80. |
|
81. |
|
|
|
|
|
82. |
|
83. |
|
|
|
|
|
84. |
|
85. |
|
|
|
|
|
86. |
|
87. |
|
|
|
|
|
88. |
|
89. |
|
|
|
|
|
90. |
|
91. |
|
|
|
|
|
92. |
|
93. |
|
|
|
|
|
94. |
|
95. |
|
|
|
|
|
96. |
|
97. |
|
|
|
|
|
98. |
|
99. |
|
|
|
|
|
100. |
|
|
|
|
|
|
|
3
Коэффициенттері тұрақты сызықты
дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау.
біртексіз,
сызықты, коэффициенттері тұрақты,
алғашқы
шарттарын қанағаттандыратын
(1)- теңдеудің шешуін табу керек:
Бейненің
сызықтық қасиетін пайдалана отырып (2) - алғашқы шарттарын
қанағаттандыратын (1) -
теңдеудің (Коши есебінің) операторлық теңдеуін
аламыз:
Соңғы
теңдеуді
түрінде
жазуға болады.
Мұндағы
Бұл
операторлық теңдеудің шешуі. Осы (4) - функцияның
түпнұсқасы
Лаплас
түрлендіруінің көмегімен Коши есебін шешу схемасы.
|
Түпнұсқалар
кеңіс-тігіндегі Коши есебі |
A |
Коши
есебінің шешуі |
IV |
L |
L-1 |
|||
|
Бейнелер
кеңістігіндегі операторлық теңдеу |
Операторлық
теңдеудің шешуі |
III |
Мұндағы L Коши есебі I-ге Лаплас
түрлендіруі қолданылатын-дығын, A - операторлық
теңдеу II-нің шешуін, L-1 - операторлық
теңдеу III-ке кері Лаплас түрлендіруі қолданылатындығын
көрсетеді.
1 - мысал. Коши есебін шешу керек:
Шешуі.
болғандықтан,
Коши есебінің операторлық теңдеуі
Бұдан
үшін алғаш
жіктейміз:
терін тауып
орнына қоямыз:
яғни
2 - мысал.
Шешуі. Теңдеудің бейнесі
Жіктеудің бірінші теоремасын пайдаланып, мынаны
аламыз:
Төмендегі Коши
есептерін шешу керек:
101. |
|
102. |
|
|
|
|
|
103. |
|
104. |
|
|
|
|
|
105. |
|
106. |
|
|
|
|
|
107. |
|
108. |
|
|
|
|
|
109. |
|
110. |
|
|
|
|
|
111. |
|
||
|
|
||
112. |
|
||
|
|
||
113. |
|
||
|
|
||
114. |
|
||
|
|
||
115. |
|
||
|
|
||
116. |
|
||
|
|
||
117. |
|
||
|
|
||
118. |
|
||
|
|
||
119. |
|
||
|
|
||
120. |
|
Ендігі жерде
алғашқы
шарттарын қанағаттандыратын
коэффициенттері
тұрақты екінші ретті теңдеудің шешуін табу керек:
Сонда
(5)
шарттарын
түрінде
жазуға болады. Бұл
3 - мысал.
Шешуі.
Соңғы
теңдеудің операторлық теңдеуін
құрастырамыз:
Сондықтан
Бейненің
түпнұсқасы
Төмендегі Коши
есептерін шешу керек:
121. |
|
|
|
122. |
|
|
|
123. |
|
4 - мысал.
Шешуі. Мұндағы
Бейненің
түпнұсқасы
Төмендегі Коши есептерін шешу керек:
124.
0 1 2 3
125.
0 1
4 Коэффициенттері айнымалы кейбір
сызықты
дифференциалдық теңдеулердің шешімдері.
Коэффициенттері, дәрежелері m-ге тең немесе
одан кіші t айнымалы-сының
көпмүшеліктері болатын, біртексіз
n - дәрежелі сызықты
теңдеуі
берілсін. Бұл теңдеу үшін Коши есебінің шешуі бар
болсын.
Мұндағы
Сонымен, (1) - теңдеудің екі бөлігінеде Лаплас
түрлендіруін қолданып,
Егер
Мысал.
Шешуі.
Сондықтан
(1) - теңдеудің операторлық теңдеуі
Бұл
теңдеу біртексіз сызықты дифференциалдық теңдеу.
Оның шешуі
Төмендегі
дифференциалдық теңдеулердің шешуін табу керек:
126. |
|
127. |
|
|
|
|
|
128. |
|
||
|
|
||
129. |
|
||
|
|
5
Дюамель интегралы
Егер
Бұл
теңдеу Дюамель формуласы деп аталады да коэффициенттері
тұрақты сызықты n - ретті
дифференциалдық теңдеулерді шешуде пайдаланылады. Соны
қарастырайық
теңдеуінің
шешуін табу керек. Ол үшін сол жақтары бірдей, ал оң
жағы 1-ге тең
теңдеуін
қарастырамыз. Осы теңдеудің нөлдік алғашқы
шарттарды, яғни
Сонымен, берілген теңдеумен сол жағы бірдей, ал оң
жағы бірге тең алғашқы шарттары нөлдік
теңдеудің шешуі белгілі болса, онда Дюамель интегралы арқылы
теңдеудің шешуін табуға болады.
1 - мысал. Алғашқы шарттары
Шешуі. Алдымен
Берілген теңдеудің шешуін табу үшін Дюамель формуласын
қолданамыз:
Жоғарыда қарастырылған
(2) - теңдеуді шешуде алғашқы шарттарының
нөлдік болуы міндетті емес. Оны келесі мысалдан көруге болады:
Ол үшін
деп аламыз.
Сонда
(5) - теңдеуден
2 - мысал. Дюамель формуласының көмегімен келесі Коши
есебінің шешуін табу керек:
Шешуі.
Соңғы
есепті Дюамель формуласының көмегімен шешсек
Ал
Дюамель
формуласының көмегімен Коши есептерінің шешуін табу керек:
130. |
|
131. |
|
|
|
|
|
132. |
|
133. |
|
|
|
|
|
134. |
|
135. |
|
|
|
|
|
6
Сызықтық теңдеулер жүйесін интегралдау
Сызықтық теңдеулер жүйесін интегралдау тәсілі
бір теңдеуді интегралдау тәсіліне ұқсас.
Мысал.
шарттарын
қанағаттандыратын
екінші ретті
сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу
керек.
Бұл
жүйеден
Мысал.
жүйесінің
шешуін табу керек.
Шешуі.
Бұл
бейнелердің түпнұсқалары берілген жүйенің
шешуі болады.
11111
Келесі жүйелерді
шешу керек.
136. |
|
|
|
137. |
|
|
|
138. |
|
|
|
139. |
|
|
|
140. |
|
|
|
141. |
|
|
|
142. |
|
|
|
143. |
|
144 |
x'-2x-4y = cost y'+x+2y = sint. x(0) = y(0)
=0 |
145 |
x' = 2y+z y' = x+z x(0) = 1, y(0) =
z(0) = 0 z' = x+y |
|
|
Амалдық есептеулердің тәсілдері ауыспалы
режимдегі сыртқы кернеуі емін еркін алынған күрделі электр
тізбегінің кез келген процестерін есептеуге мүмкіндік береді.
C
4-сурет
4-суретте сызықты электр
тізбегі берілген, мұндағы L-индуктивтілік, R-кедергісі, C-контурдыњ
т±раќты сыйымдылығы, ал
Ауыспалы
режимдегі
Шешуі: Кирхгофтың екінші
заңы бойынша контурдың бойындағы кернеулердің
алгебралық қосындысы осы контурдағы электр
қозғауыш күштерінің алгебралық қосындысына
тең болады:
мұнда
(2) теңдіктерді ескерсек (1)-теңдеуді төмендегідегі т‰рде
жазуға болады:
Бұл теңдеу –
Операторлық ток
Түпнұсқаны дифференциялдау теоремасы бойынша
ал түпнұсқаны интегралдау теоремасы бойынша
Жоғарыдағыларды
ескере отырып (3)-теңдеудің операторлық теңдеуін
аламыз:
бұдан
мұндағы
(4)-теңдеу операторлыќ
түрдегі Ом заңы деп аталады. Ендігі жерде бейнені
түпнұсқаға айналдыру теоремасы бойынша
Ескерту: Мәндері
берілген есептерде кестелер немесе жіктеу формуласы қолданылады.
1. а) болады, б)
болады, в)
болмайды, г)
болады, д)
болады, е) болмайды, ж)
болмайды, з) болады
, и) болады , к) болады.
2.
8.
13.
20.
22.
28.
33.
37.
42. а)
46.
50.
58.
63.
65.
72.
76.
86.
90.
96.
100.
106.
112.
116.
120.
125.
126.
134.
136.
140.
142.
144.
145.
Қосымша
Негізгі түпнұсқалар және олардың бейнелері.
|
|
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
1 |
|
15 16 17 18 |
|
|
Әдебиеттер тізімі
1.
Араманович И.Г., Лунц
Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление.
Теория устойчивости. – Москва: Наука, 1968
2.
Шостак Р.Я. Операционное исчисление. – Москва: Высшая
школа, 1970
3.
Краснов М.Л.,
Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного
переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. – Москва: Наука,
1981
4.
Шелковников Ф.А.,
Гакайшвили К.Г. Сборник упражнений по
операционному исчислению. – Москва: Высшая школа, 1976
5.
Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы)
ч.1. – Москва: Высшая школа, 1980
Мазмұны
Кіріспе 3
1
Бейнелер мен түпнұсқаларды анықтау 4
2 Жіктеу
теоремалары 16
3
Коэффициенттері тұрақты сызықты дифференциалдық
теңдеулерді интегралдау 20
4
Коэффициенттері айнымалы кейбір сызықты
дифференциалдық теңдеулердің шешімдері 25
5 Дюамель
интегралы 26
6
Сызықты дифференциалдық тендеулер жүйесін интегралдау 28
7
Амалдық есептеулерді электромеханиканың есептерін
шығаруда қолдану 30
Жауаптары 32
Қосымша 35
Әдебиеттер тізімі 37
2004ж., реті _______
Сайлаубек
Ералыұлы Ералы
Амалдық
есептеулердің элементтері
Оқу құралы
Редакторы Ж.А. Байбураева
Стандарттау жөніндегі маман Н.М. Голова
Теруге берілген күні ____________
Пішімі 60х84
1/16
Типография қағазы №2
Оқу-баспа таб. -2,5. Таралымы 100 дана.
Тапсырыс _______. Бағасы
______теңге.
Басуға қол қойылды.
Алматы энергетика
және байланыс
институтының
көшірмелі-көбейткіш бюросы
480013 Алматы, А.
Байтұрсынұлы көшесі, 126 үй.