АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС
ИНСТИТУТЫ
Жоғары математика кафедрасы
КЕЗДЕЙСОҚ
ПРОЦЕСТЕР
Әдістемелік нұсқаулар
(Радиотехника және байланыс
мамандығының барлық
оқыту түрлері студенттері үшін)
Алматы 2004
ҚҰРАСТЫРУШЫ: Ү.Қ. Қойлышов.
Кездейсоқ процестер. Әдістемелік
нұсқаулар (Радиотехника және байланыс
мамандығының барлық оқыту
түрлері студенттері
үшін)-Алматы: АӘжБИ, 2004-326.
Әдістемелік нұсқау радиотехника және
байланыс мамандығының
2-курс студенттеріне
арналған. Ықтималдықтар теориясынан қысқаша
мағлұматтар және
кездейсоқ
процестердің ішінде Марков,
Пуассон,
Винера процестеріне
көңіл бөлінген.
Мысалдар шығарылып
көрсетіліп,
жаттығулар берілген.
Сурет 2, кесте 2,
библиогр.-7атау.
ПІКІРШІ: физ.-мат.
ғылым.канд.,проф..АӘжБИ С.Е. Базарбаева
Алмати енергетика жіне
байланыс институтының 2004 жылғы
жоспары бойынша басылды.
І ТАРАУ
ЫҚТИМАЛДЫҚТАР
ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗГІ
ТЕОРЕМАЛАРЫ МЕН
АНЫҚТАМАЛАРЫ
§1 Кездейсоқ
оқиғалар.
Белгілі бір тәжірибеге оның барлық
мүмкін болатын нәтижелерінен тұратын U жиынын
сәйкестендіреміз.
U жиынын қарапайым оқиғалар
кеңістігі деп, ал оның нүктелерін
Анықтамалар.
1. Кездейсоқ оқиға дегеніміз -
тәжірибе барысында пайда болуы да, болмауы да мүмкін
қарапайым оқиғалар жиыны.
2. Тәжірибе барысында әрдайым пайда болатын
оқиғаны ақиқат оқиға деп атайды және
U арқылы белгілейді.
3. Тәжірибе барысында ешқашан пайда болмайтын
оқиғаны мүмкін емес оқиға деп атайды және V
арқылы белгілейді.
4. Егер А оқиғасы пайда болған сайын В
оқиғасы да пайда болса, онда А оқиғасы В
оқиғасын ілестіреді дейді және
5. Егер
6. А мен В оқиғаларының қосындысы
А+В деп А немесе В, немесе екі оқиғаның бірге пайда болуынан
тұратын оқиғаны айтады.
А+V=А, А+ U =
V, А+А=А, А+В=В+А, (А+В)+С =А+(В+С).
7. А мен В оқиғаларының
көбейтіндісі А·В деп А және В оқиғалары бірге пайда
болғанда орындалатын оқиғаны айтады.
А·V= V, А·U =
А, А·А=А, А·В=В·А, (А·В) ·С =А· (В·С). А·(В+С)=А· В+А·С.
8. А оқиғасына қарама-қарсы
оқиға Ā деп А оқиғасының пайда болмауынан
тұратын оқиғаны айтады. А· Ā = V, А+ Ā =U.
9. А мен В оқиғаларының айырмасы А-В
деп А оқиғасының пайда болуынан және В оқиғасының
пайда болмауынан тұратын оқиғаны айтады.
А-V= А, U -А = Ā, А-А= V.
10. Бірге пайда бола алмайтын А мен В
оқиғаларын үйлесімсіз деп атайды. Үйлесімсіз
оқиғалар үшін А·В= V.
§ 2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.
Анықтама. Тең мүмкіндікті n нәтижелері бар
тәжірибеде А оқиғасына m нәтиже қолайлы болса, онда
Қысқаша айтқанда, оқиғаның
ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы
жағдайлар санының жалпы жағдайлар санына қатынасы.
1. Кез келген А оқиғасы үшін
2.
3.
4.
Егер
5.
6.
Кез келген А
және В оқиғалары үшін
7.
Егер А мен В
үйлесімсіз оқиғалар болса,
Кездейсоқ оқиғалардың
ықтималдықтарын есептеу барысында комбинаторика элементтері -
орналастыру, алмастыру, теру жиі қолданылады.
Егер екі оқиғаның бірінің пайда
болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе,
онда оларды тәуелсіз оқиғалар деп атайды.
В оқиғасының шарты
ықтималдығы Р(В/А) деп В оқиғасының А
оқиғасы пайда болғаннан кейінгі ықтималдығын
айтады.
Егер Р(В/А)=Р(В) немесе Р(А/В)=Р(А) теңдіктері орындалса, онда А мен В
оқиғалары тәуелсіз. Кез келген А мен В оқиғалары
үшін
Егер А мен В оқиғалары тәуелсіз болса,
онда
P2
Pk
істеу ықтималдығы. Параллель
қосылған элементтердің сандары- 1-сурет.
ның өсуімен бірге жүйенің жұмыс істеу
ықтималдығы да өседі (1-сурет).
Тізбектеп қосылған k элементтен тұратын жүйенің жұмыс істеу
ықтималдығы мына формуламен анықталады:
P1 P2 Pk
2-сурет.
Тізбектеп қосылған элементтердің
сандары өскен жүйенің жұмыс істеу
ықтималдығы кемиді.
§ 3. Толық ықтималдықтың және Байес
формулалары
Егер
а)
Егер
§ 4. Бернулли, Муавр-Лаплас және Пуассон формулалары.
Екі ғана нәтижесі бар сынақты
қарастырайық. Бұл нәтижелерді "А
оқиғасы пайда болу" және "А оқиғасы
пайда болмады" - деп атап, А және Ā таңбаларын
қолданайық. Сынақ бірнеше рет жүргізілсін және
нәтижелері тәуелсіз болсын. Егер әрбір сынақта А
оқиғасының пайда болу ықтималдығы
тұрақты және
Егер
Егер
Егер А оқиғасының әрбір
сынақта пайда болу ықтималдығы тұрақты және
0 мен 1-ге аса жуық болмаса, онда n өте үлкен
болғанда А оқиғасының k рет пайда болу ықтималдығы
Муавр-Лапластың локалдық (дифференциалдық) формуласы
арқылы есептеледі:
Сынақ саны n өте үлкен
болған жағдайда А оқиғасының пайда болу саны k1 мен k2 -нің аралығында жату
ықтималдығы Муавр-Лапластың интегралдық формуласымен
есептеледі:
§ 5. Кездейсоқ
шамалар және олардың сандық сипаттамалары
Қарапайым оқиғалар кеңістігінде
анықталған кез келген
а) Х
кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері жеке сандар
арқылы берілсе, онда Х-ті
дискретті кездейсоқ шама деп атайды.
Дискретті кездейсоқ шама әдетте
үлестірім кестесі арқылы беріледі:
Х |
х1 |
х2 |
х3 |
… |
|
Р |
р1 |
р2 |
р3 |
… |
|
мұнда
б) Берілген аралықтағы мәндердің
бәрін қабылдайтын шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп
атайды.
Үзіліссіз кездейсоқ шама әдетте
үлестірім функциясы немесе үлестірім тығыздығы
арқылы беріледі.
Х кедейсоқ шамасының х-тен кіші
мәндерді қабылдау ықтималдығын Х кездейсоқ
шамасының үлестірім функциясы (интегралдық функция) деп
атайды:
Үлестірім функциясының қасиеттері:
1.
2.
3.
4.
Үлестірім функциясының тығыздығы
(дифференциалдық функция) мына формуламен анықталады:
Үлестірім тығыздығының
қасиеттері:
1.
2.
3.
Х - дискретті кездейсоқ шамасының
математикалық үміті мына формуламен есептеледі:
Егер Х үзіліссіз кездейсоқ шама болса,
онда
Математикалық үміттің қасиеттері:
1.
2.
3.
4.
Х,У
-кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда
Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп
кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының
квадратының математикалық үмітін айтады:
Дисперсияның қасиеттері:
1.
2.
3.
Х, У
кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда
Екінші және үшінші қасиеттерді ескерсек, онда
§ 6. Жиі кездесетін
үлестірім түрлері
а) дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім
заңдары:
1.
Бірқалыпты
үлестірім:
2.
Геометриялық
үлестірім:
3.
Биномдық
үлестірім:
4.
Пуассон
үлестірімі:
5. Паскаль үлестірімі
6. Гипергеометриялық үлестірім:
б) Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім
заңдары.
1. Бірқалыпты үлестірім:
2. Қалыпты (Гаусс) үлестірім:
3. Көрсеткіштік үлестірім:
4. Логарифмдік қалыпты үлестірім:
5. Лаплас үлестірімі:
6. Коши үлестірімі:
7.
Симпсон
үлестірімі:
8.
Рэлей
үлестірімі:
9.
Максвелл
үлестірімі:
10.
Вейбулл
үлестірімі:
11.
Гамма-үлестірім:
12.
Бета -
үлестірім.
13. k - ретті Эрланг
үлестірімі
14.
15. Стьюдент үлестірімі (t-үлестірім)
16. Фишер-Снедекор үлестірімі (F - үлестірім)
17. m - үлестірім (Накагами)
18. Дәрежелік -көрсеткіштік
үлестірім.
19. Екі еселі көрсеткіштік үлестірім.
20. Арксинус үлестірімі
21. Парето үлестірімі
§ 7. Моменттер
Х кездейсоқ шамасының k-ретті бастапқы
моменті деп Хk - нің математикалық үмітін айтады:
Х кездейсоқ шамасының k-ретті орталық
моменті деп
Егер (1) және (2) формулаларын салыстырсақ,
онда
§ 8. Ковариация және корреляция коэффициенті
Х және У кездейсоқ шамаларының
ковариациясы (корреляциялық моменті) мына формуламен анықталады:
немесе
Х және У кездейсоқ шамаларының
корреляция коэффициенті деп ковариацияның осы кездейсоқ
шамалардың орташа квадраттық ауытқуларының
көбейтіндісіне қатынасын айтады:
Корреляция коэффициенті екі кездейсоқ
шамалардың арасындағы байланысты көрсетеді.
1.
2.
Егер Х және
У кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда
3.
Егер
§ 9. Сипаттамалық функция
Х нақты кездейсоқ шаманың
сипаттамалық функциясы деп
Егер Х - дискретті кездейсоқ шама болса, онда
сипаттамалық функция
Егер Х
үзіліссіз кездейсоқ шама болса, онда сипаттамалық
функция
Сипаттамалық функцияның қасиеттері:
1.
2.
3. Егер
Мысалдар.
1 4 ақ
және 3 қара телефон аппараттары берілген. А
оқиғасы жұмыс істеп тұрған телефондар
ақ. В оқиғасы жұмыс істеп тұрған телефон
дар ақ. С оқиғасы жұмыс істеп
тұрған телефондардың екеуі ақ,екеуі қара.
Шешуі. Егер 6-9
анықтамаларды ескерек, онда
А+В=
А+С=
2. Сөреге
кездейсоқ қойылған 7 резистордың ішінде 3
резистордың қатар тұру ықтималдығы қандай?
Шешуі. 7 резистордың кездейсоқ сөреде
тұрғандағы барлық алмастырулар саны
4.
Жәшікте 4 ақ және 5 қара телефон болсын. Жәшіктен
кездейсоқ алынған 3 телефонның екеуінің қара,
біреуінің ақ болу ықтималдығын табыңдар.
Шешуі.
9 телефонның
ішінен 3 телефонды
барлығы
4.
52 картаның ішінен кез келген суреті бар (валет, дама, король)
немесе қарға түсті карта алу ықтималдығы
қандай?
Шешуі.
А оқиғасы - суреті бар карта алу, В оқиғасы - қарға
түсті карта алу. Демек А+В - суреті бар немесе қарға
түсті карта алу. Қосу теоремасы бойынша
5. Бірінші жәшіктегі 5 радиолампаның, екінші
жәшіктегі 7 радиолампаның төртеуі ақаусыз. Әр жәшіктен бір радиолампадан алайық. Осы
алынған радиолампалардың
ақаусыз болу
ықтималдығын табыңдар.
Шешуі. А оқиғасы - бірінші жәшіктен
алынған радиолампа ақаусыз
, В оқиғасы - екінші жәшіктен алынған радіолампа
ақаусыз. Олай болса
6 М және N байланыс
орталықтары төмендегі схема бойынша қосылған (3-сурет)
Әр
тораптың жұмыс істеу
ықтималдықтары сәйкес
Шешуі. 1-сурет пен 2-суреттің формулалары
бойынша;
7. Емтиханға келген 10 студенттің үшеуі
өте жақсы, төртеуі - жақсы, үшеуі - нашар
дайындалған. Емтихан бағдарламасында 20 сұрақ берілген.
өте жақсы дайындалған студент 20 сұрақтың бәріне,
жақсы дайындалған студент - 16 сұраққа, ал нашар
студент - 5 сұраққа жауап бере алады. Кездейсоқ шақырылған
студенттің қойылған сұраққа жауап беру
ықтималдығы қандай?
Шешуі. А1 оқиғасы -
шақырылған студент өте жақсы дайындалған, А2 оқиғасы - жақсы
дайындалған студент, А3 оқиғасы - нашар
дайындалған студент делік. В
оқиғасы - шақырылған студент қойылған
сұраққа жауап берді. Толық
ықтималдықтың формуласын қолдансақ,
Формулаға
қойсақ,
8. Он сегіз мергеннің бесеуі нысанаға 0,8 -
ге тең, жетеуі - 0,7 - ге тең, алтауы - 0,6 - ға тең
ықтималдықпен тигізеді. Кездейсоқ шақырылған
мерген нысанаға бір рет оқ
атып тигізді. Осы мергеннің бірінші топқа жату
ықтималдығы қандай?
Шешуі. В оқиғасы - мерген нысанаға
тигізді. А1
оқиғасы - мерген бірінші топқа жатады, А2
оқиғасы - мерген екінші топқа жатады, А3
оқиғасы - мерген үшінші топқа жатады.
Байес формуласын ескерсек
9. Жанұяда бес бала болсын. Осы
балалардың а) екеуі ұл, б)
ұлдардың саны үштен кем емес, в) ең болмағанда біреуі ұл болуының
ықтималдығы қандай? Ұл баланың дүниеге келу
ықтималдығы 0,5-ке тең.
Шешуі. а)
Бернулли формуласын қолданайық. Есептің шарты бойынша
б)
Ұлдардың саны үштен кем емес болу
ықтималдығы
в) Ең
болмағанда біреуі ұл бала болуының
ықтималдығы
10. Лотерея билетіне ұтыс шығу
ықтималдығы 0,3-ке тең. 2100 билеттің а) 650 -не ұтыс шығу
ықтималдығын тап. б) ұтыс
шыққан лотерея саны 615 - тен артық 640 - тен кем болу
ықтималдығы қандай?
Шешуі. а) Муавр-Лапластың локалдық формуласын
қолданамыз.
1 - кесте бойынша
б) Муавр -
Лапластың интегралдық формуласын қолданамыз.
Есептің шарты бойынша
Демек
Яғни
11.
Х кездейсоқ
шамасы үлестірім кестесі арқылы берілген.
Х |
-1 |
1 |
3 |
4 |
Р |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,1 |
Х кездейсоқ шамасының үлестірім
функциясын математикалық үмітін, дисперсиясын, орташа
квадраттық ауытқуын, модасын және -1 мен 2-нің арасында
жату ықтималдығын табыңдар.
Шешуі. Үлестірім функциясының
анықтамасын
Математикалық үміттің анықтамасы
бойынша
Дискретті кездейсоқ шаманың модасы деп
ықтималдығы (жиілігі) ең үлкен Х кездейсоқ
шамасының мәнін айтады.
Демек
Үлестірім функциясының 3 - қасиеті
бойынша
12. Х
кездейсоқ шамасы үлестірім функциясы арқылы берілген.
Үлестірім функциясының
тығыздығын, С - тұрақты санын, математикалық
үмітін, дисперсиясын, модасын және Х кездейсоқ
шамасының -2 мен 0-дің арасында жату ықтималдығын
табыңдар.
Шешуі.
Үлестірім функциясының
тығыздығының 3-қасиеті бойынша
Демек
Үзіліссіз кездейсоқ шаманың модасы деп
үлестірім функциясының тығыздығының ең
үлкен мән қабылдайтын нүктесін айтады. (*) формуласын ескерсек
функция, ал қалған х -
тің мәндерінде
Демек
13.
Шешуі.
14. Пуассон үлестірімімен берілген кездейсоқ шаманың
сипаттамалық функциясын тап.
Шешуі.
Онда
Жаттығулар.
1. Ойын сүйегін 2 рет лақтырғанда пайда
болған ұпайлардың
а) қосындысы алтыға тең болу, б) Көбейтіндісі бестен аспау, в) қосындысы жетіге,
көбейтіндісі онға тең болу ықтималдықтары
қандай?
2. Он сегіз қонақ дөңгелек
дастарханға кездейсоқ отырғызылады. Сонда екі
қонақтың қатар отыру ықтималдығы
қандай?
3. Ы, С, Б, Н, А, А, Л, Й әріптерінен "БАЙЛАНЫС" сөзінің
шығу ықтималдығын тап.
4. Байланыс торабы арқылы нөл және бір
сигналдары беріледі. Әр сигналдың қате берілу
ықтымалдығы 0,01.
10110
комбинациясын байланыс торабы арқылы бергенде
а) дұрыс берілу, б) 11110 комбинациясының
берілу,
в) берілген комбинацияда бір қатенің кету
ықтымалдықтары қандай?
5. Кездейсоқ алынған N натурал санын а) квадраттағанда, б) кез келген бір
натурал санға көбейткенде бірмен аяқталатын сан шығу
ықтималдығын анықтаңдар.
6. Ұзындықтары сәйкес 2, 4, 6, 8, 10,
12 см-ге тең алты кесінді
берілген. Осы алты кесіндінің ішінен кездейсоқ алынған
үш кесіндіден үшбұрыш салуға болатындығының
ықтималдығы қандай ?
7. Студияда 3
телекамера бар. Әр камераның белгілі бір уақытта жұмыс
істеп тұру ықтымалдығы 0,6-ға тең.
Кездейсоқ бір уақытта ең болмағанда бір
телекамераның жұмыс істеп тұру ықтымалдығын тап.
8. Басқару жүйесі бес тораптан тұрады(1
сурет). Әр тораптың бұзылмай жұмыс істеу
ықтымалдықтары сәйкес
9. Бірінші жәшікте 2 ақ, 3 қара, екінші
жәшікте 3 ақ, 4 телефондар
бар. Әр жәшіктен кездейсоқ бір-бірден алынған
екі телефонның түстерінің бірдей болу
ықтималдығын анықтаңдар.
10. Жәшіктегі 15 теннис добының тоғызы
жаңа. Бірінші ойын үшін кездейсоқ 3 доп алынып, ойыннан
соң жәшікке қайта салынады. Екінші ойын үшін
кездейсоқ алынған 3 доптың бәрінің жаңа
екендігінің ықтималдығы қандай ?
11. М және N байланыс орталықтары төмендегі схема бойынша
қосылған.
12. Он сегіз мергеннің бесеуі нысанаға 0,8 - ге тең,
жетеуі - 0,7 - ге тең, төртеуі - 0,6 - ға тең, екеуі -
0,5 - ке тең ықтималдықпен тигізеді. Кездейсоқ
алынған мерген бір рет оқ атып, нысанаға тигізе алмады. Сонда
бұл мергеннің қай топқа жату ықтималдығы
көп ?
13. Математикалық олимпиадаға
қатысқан студенттердің 70% -і 1 - курста, 30% -і 2 - курста оқиды. 1 - курстың
студентінің жеңімпаз болу ықтималдығы 0,4 - ке
тең, ал 2 - курстың студентінің жеңімпаз болу
ықтималдығы 0,6 - ға тең. Олимпиаданы жеңіп
шыққан студенттің 1 - курста оқитындығының
ықтималдығы қандай ?
14. Алғашқы кездескен машинаның
нөмірінде а) бес санының жоқ, б) екі бес санының болу
ықтималдығын табыңдар.
15. Байланыс каналы арқылы 6 хабар берілді.
Әр хабардың қате берілу ықтымалдығы 0,2-ге
тең болса, онда а) 6 хабардың екеуінің қате берілу, б)
6 хабардың екіден көбі қате берілуінің
ықтымалдығын табыңыз.
16. Казтелеком
телефондарды 4 түрлі тексеруден өткізеді. Телефондардың бір
інші тексеруден өту ықтымалдығы 0,9, екіншіден 0,95, үшіншіден 0,8
және төртіншіден 0,85. Төмендегі
оқиғалардың ықтымалдықтарын табу керек;
А
В
С
17. Теледидардың бұзылу ықтималдығы 0,01. Сатып
алынған 9900 теледидардың
а) 105-нің, б) 90-нан кем
емес, 110-нан артық емесінің бұзылу ықтималдығы
қандай ?
18. Х кездейсоқ шамасы үлестірім функциясы арқылы
берілген.
С-тұрақты санын, үлестірім
функциясының тығыздығын, математикалық үмітін,
дисперсиясын және Х - тің 1 мен 2 - нің арасында жату
ықтималдығын табыңдар.
19. Х кездейсоқ шамасы үлестірімі мына формуламен берілген:
С-тұрақты санын,
20. Х кездейсоқ шамасы үлестірімі мына формуламен берілген:
С-тұрақты санын,
21. Х - кездейсоқ шамасы
22. Х - кездейсоқ шамасы
Егер а)
б)
в)
23. Х - кездейсоқ шамасы
үлестірім функциясының тығыздығы арқылы
берілген.
Сипаттамалық функциясын табу керек.
Мысал: (
радиоактивтік ыдырау)
Радийдің (Ra) біраз мезгілден
соң радонға (hn)айналатыны физикадан
белгілі.Ra атоманың ядросы ыдырау барысында
II-тарау. Кездейсоқ
процестер
§10. Кездейсоқ
процестің анықтамасы
Кездейсоқ процесс деп уақытқа немесе
басқа параметрге байланысты өзгеретін кездейсоқ
шамалардың жиынын айтады.
Кездейсоқ процесті
Кездейсоқ процесс кездейсоқ шамалардың
жиыны арқылы берілгендіктен, олардың арасындағы байланыс n- өлшемді үлестірім функциясы арқылы сипатталады:
мұнда
Егер кез келген
1)
кездейсоқ процесінің
математикалық үміті деп аталады.
2)
3)
Егер
Егер кез келген s үшін
Егер
Егер кездейсоқ процесс дербес мағынада
стационар болса, онда ол кең мағынада да стационар болады,
бірақ керісінше әрқашан орындала бермейді.
Мысал ретінде Гаусс процесін қарастырайық. Үлестірім функциясы
төменде-гі формула арқылы беріледі:
Мысал.
Кездейсоқ процесс
Шешуі.
Математикалық үміт пен дисперсияның қасиеттері бойынша:
Корреляция
функциясының анықтамасын ескерсек
Нормалаған корреляция функциясы:
§11. Марков тізбегі
Кездейсоқ шамалардың тәуелді тізбегін
алғаш рет А.А.Марков қарастырған.
Уақыты дискретті және
Анықтама. Егер ti уақытында
демек
теңдігі орындалатын мәндері тәуелсіз процесс Марков
процессі деп аталады.
Егер
Көшу ықтималдықтарының матрицасы
мына шарттарды қанағаттандырады:
1.
2. Жатық жолдарының элементтерінің
қосындысы бірге тең, демек
Жалпы алғанда, жоғарыдағы екі шартты
қанағаттандыратын матрицаны стохастикалық деп атайды. Демек,
стохастикалық матрица көшу ықтималдықтарының
матрицасы бболады және алғашқы
Сонымен
Мысалдар.
1.
Екі жәшіктің біріншісінде екі ақ телефон және
үш қара телефон,
ал екіншісінде екі ақ және бір қара телефон болсын. Бірінші немесе екінші
жәшіктен қалай болса солай телефон алынады, және алынған телефон
сол жәшіктің өзіне қайтадан салынады. Телефон алынатын жәшік жеребе
арқылы анықталады. Егер алдыңғы тәжірибеде
ақ телефон
алынса, онда бірінші жәшіктен бір телефон алынады, ал егер алдыңғы
тәжірибеде қара телефон алынса, онда екінші жәшіктен бір телефон алынады.
Екі
кездейсоқ оқиғаны (жүйенің күйі)
бөліп аламыз:
мұнда
телефон алу ықтималдығын көрсетеді.
Олай болса,
Жалпы алғанда кез келген k жәпе n натурал сандары
үшін
Сонымен (*)
теңдігінің мазмұны мынадай:
Егер Марков тізбегі көшу
ықтималдықтарының
Мысал.
Шешімі.
2. Студенттің оқу жылының
басындағы күйі төмендегідей анықталуы мүмкін,
S1- 1- курс
студенті, S2- 2- курс
студенті,
S3- 3- курс
студенті, S4- 4- курс
студенті,
S5- 5- курс
студенті, S6- оқу
бітірген студент,
S7-
оқуды аяқтамай кеткен студент.
Оқуды
аяқтамай кеткен студенттер қайтадан оқуға алынбайды деп
есептеп, бір күйден (курстан) екінші күйге өту матрицасын
құрайық. S1- күйінен
(1-курстан) мынадай күйлерге өту мүмкіндіктері бар: S2- (2- курс),
S1(1-
курста қалу), S7
(оқудан шығып кету). Басқа күйлерге өту
мүмкін емес деп есептейміз. Демек, матрицаның 1- жатық жолы
үш оң саннан тұрады: р1- институттан шығып
кету ықтималдығы, r1- 2-курсқа көшу, q1-1- курста
қалу, яғни р11= q1,
р12= r1, р17 =р1 (q1+ r1+ р1=
1), қалған ықтималдықтар нөлге тең.
S2-
күйінен (2- курстан) S3, S2, S7
күйлеріне өтуге болады. демек р23= r2, р22=
q2,
р27 =р2 (р1+ r2+ q2 = 1) S3, S4, т.б.
күйлер үшін өту ықтималдықтары осылай табылады.
Сондықтан өту ықтималдықтарының матрицасы мынадай
түрде жазылады:
§ 12 Пуассон және Винер процестері.
Егер кез келген
Егер
1.
2.
Кез келген
3.
4.
егер
Теорема. Егер
Егер
1.
2.
Кез келген
3.
4.
егер
Теорема. Егер
Мысал: ( радиоактивтік ыдырау)
Радийдің (Ra) біраз мезгілден
соң радонға (hn)айналатыны физикадан
белгілі.Ra атомының ядросы ыдырау барысында
§ 13. Колмогоровтың дифференциалдық
теңдеулері
Қарастырып отырған жүйенің
мүмкін болатын күйлерін
Теорема. Шектелген
Мысал. Жалпыға
қызмет көрсету жүйесін қарастырайық.
Уақыттың өтуіне байланысты келіп түскен тапсырыстар
саны
Егер
онда
демек
Жаттығулар.
1. Көшу
матрицасы берілген
2. Көшу матрицасы берілген
3. Марков тізбегін
анықтайтын
4.Кездейсоқ процесс
1 кесте
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
3988 |
3986 |
3984 |
3982 |
3980 |
3977 |
3973 |
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
3932 |
3925 |
3918 |
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
3985 |
3876 |
3867 |
3857 |
3847 |
3836 |
3825 |
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
3726 |
3712 |
3697 |
0,4 |
3683 |
3668 |
3652 |
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
3572 |
3555 |
3538 |
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
3467 |
3448 |
3429 |
3410 |
3391 |
3372 |
3352 |
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
3277 |
3251 |
3230 |
3209 |
3187 |
3166 |
3144 |
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
3056 |
3034 |
3011 |
2989 |
2966 |
2943 |
2920 |
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
2827 |
2803 |
2780 |
2757 |
2732 |
2709 |
2685 |
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
2589 |
2565 |
2541 |
2516 |
2492 |
2468 |
2444 |
1,0 |
0,2420 |
2396 |
2371 |
2347 |
2323 |
2299 |
2275 |
2251 |
2227 |
2203 |
1,1 |
2179 |
2151 |
2131 |
2107 |
2083 |
2059 |
2036 |
2012 |
1989 |
1965 |
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
1872 |
1849 |
1826 |
1804 |
1781 |
1758 |
1736 |
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
1647 |
1626 |
1604 |
1582 |
1561 |
1539 |
1518 |
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
1435 |
1415 |
1394 |
1374 |
1354 |
1334 |
1315 |
1,5 |
1295 |
1275 |
1257 |
1238 |
1219 |
1200 |
1182 |
1168 |
1145 |
1127 |
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
1057 |
1040 |
1023 |
1006 |
0989 |
0873 |
0957 |
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
0893 |
0878 |
0863 |
0848 |
0833 |
0818 |
0804 |
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
0748 |
0734 |
0721 |
0707 |
0694 |
0681 |
0669 |
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
0620 |
0608 |
0596 |
0584 |
0573 |
0562 |
0551 |
2,0 |
0,0540 |
0529 |
0519 |
0508 |
0498 |
0488 |
0478 |
0468 |
0459 |
0449 |
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
0413 |
0404 |
0396 |
0387 |
0379 |
0371 |
0363 |
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
0332 |
0325 |
0317 |
0310 |
0303 |
0297 |
0290 |
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
0264 |
0258 |
0252 |
0246 |
0241 |
0235 |
0229 |
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
0208 |
0203 |
0198 |
0194 |
0189 |
0184 |
0180 |
2,5 |
0175 |
0171 |
0167 |
0163 |
0158 |
0254 |
0151 |
0147 |
0143 |
0139 |
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
0126 |
0122 |
0119 |
0116 |
0113 |
0110 |
0107 |
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
0096 |
0093 |
0091 |
0088 |
0086 |
0084 |
0081 |
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
0073 |
0071 |
0069 |
0067 |
0065 |
0063 |
0061 |
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
0055 |
0053 |
0051 |
0050 |
0048 |
0047 |
0046 |
3,0 |
0,0044 |
0043 |
0042 |
0040 |
0039 |
0038 |
0037 |
0036 |
0035 |
0034 |
3,1 |
0033 |
0032 |
0031 |
0030 |
0029 |
0028 |
0027 |
0026 |
0025 |
0025 |
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
0022 |
0021 |
0020 |
0020 |
0019 |
0018 |
0018 |
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
0016 |
0015 |
0015 |
0014 |
0014 |
0013 |
0013 |
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
0011 |
0011 |
0010 |
0010 |
0010 |
0009 |
0009 |
3,5 |
0009 |
0008 |
0008 |
0008 |
0008 |
0007 |
0007 |
0007 |
0007 |
0006 |
3,6 |
0006 |
0006 |
0006 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0005 |
0004 |
3,7 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0004 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
3,8 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0003 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
3,9 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0002 |
0001 |
0001 |
2 кесте
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
0,00 |
0,0000 |
0,32 |
0,1255 |
0,64 |
0,2389 |
0,96 |
0,3315 |
0,01 |
0,0040 |
0,33 |
0,1293 |
0,65 |
0,2422 |
0,97 |
0,3340 |
0,02 |
0,0080 |
0,34 |
0,1331 |
0,66 |
0,2454 |
0,98 |
0,3365 |
0,03 |
0,0120 |
0,35 |
0,1368 |
0,67 |
0,2486 |
0,99 |
0,3389 |
0,04 |
0,0160 |
0,36 |
0,1406 |
0,68 |
0,2517 |
1,00 |
0,3413 |
0,05 |
0,0199 |
0,37 |
0,1443 |
0,69 |
0,2549 |
1,01 |
0,3438 |
0,06 |
0,0239 |
0,38 |
0,1480 |
0,70 |
0,2580 |
1,02 |
0,3461 |
0,07 |
0,0279 |
0,39 |
0,1517 |
0,71 |
0,2611 |
1,03 |
0,3485 |
0,08 |
0,0319 |
0,40 |
0,1554 |
0,72 |
0,2642 |
1,04 |
0,3508 |
0,09 |
0,0359 |
0,41 |
0,1591 |
0,73 |
0,2673 |
1,05 |
0,3531 |
0,10 |
0,0398 |
0,42 |
0,1628 |
0,74 |
0,2703 |
1,06 |
0,3554 |
0,11 |
0,0438 |
0,43 |
0,1664 |
0,75 |
0,2734 |
1,07 |
0,3577 |
0,12 |
0,0478 |
0,44 |
0,61700 |
0,76 |
0,2764 |
1,08 |
0,3599 |
0,13 |
0,0517 |
0,45 |
0,1736 |
0,77 |
0,2794 |
1,09 |
0,3621 |
0,14 |
0,0557 |
0,46 |
0,1772 |
0,78 |
0,2823 |
1,10 |
0,3643 |
0,15 |
0,0596 |
0,47 |
0,1808 |
0,79 |
0,2852 |
1,11 |
0,3665 |
0,16 |
0,0636 |
0,48 |
0,1844 |
0,80 |
0,2881 |
1,12 |
0,3686 |
0,17 |
0,0675 |
0,49 |
0,1879 |
0,81 |
0,2910 |
1,13 |
0,3708 |
0,18 |
0,0714 |
0,50 |
0,1915 |
0,82 |
0,2939 |
1,14 |
0,3729 |
0,19 |
0,0753 |
0,51 |
0,1950 |
0,83 |
0,2967 |
1,15 |
0,3749 |
0,20 |
0,0793 |
0,52 |
0,1985 |
0,84 |
0,2995 |
1,16 |
0,3770 |
0,21 |
0,0832 |
0,53 |
0,2019 |
0,85 |
0,3023 |
1,17 |
0,3790 |
0,22 |
0,0871 |
0,54 |
0,2054 |
0,86 |
0,3051 |
1,18 |
0,3810 |
0,23 |
0,0910 |
0,55 |
0,2088 |
0,87 |
0,3078 |
1,19 |
0,3830 |
0,24 |
0,0948 |
0,56 |
0,2123 |
0,88 |
0,3106 |
1,20 |
0,3849 |
0,25 |
0,0987 |
0,57 |
0,2157 |
0,89 |
0,3133 |
1,21 |
0,3869 |
0,26 |
0,1026 |
0,58 |
0,2190 |
0,90 |
0,3159 |
1,22 |
0,3883 |
0,27 |
0,1064 |
0,59 |
0,2224 |
0,91 |
0,3186 |
1,23 |
0,3907 |
0,28 |
0,1103 |
0,60 |
0,2257 |
0,92 |
0,3212 |
1,24 |
0,3925 |
0,29 |
0,1141 |
0,61 |
0,2291 |
0,93 |
0,3238 |
1,25 |
0,3944 |
0,30 |
0,1179 |
0,62 |
0,2324 |
0,94 |
0,3264 |
1,26 |
0,3962 |
0,31 |
0,1217 |
0,63 |
0,2357 |
0,95 |
0,3289 |
1,27 |
0,3980 |
1,28 |
0,3997 |
1,61 |
0,4463 |
1,94 |
0,4738 |
2,54 |
0,4945 |
1,29 |
0,4015 |
1,62 |
0,4474 |
1,95 |
0,4744 |
2,56 |
0,4948 |
1,30 |
0,3032 |
1,63 |
0,4484 |
1,96 |
0,4750 |
2,58 |
0,4951 |
1,31 |
0,4049 |
1,64 |
0,4495 |
1,97 |
0,4756 |
2,60 |
0,4953 |
1,32 |
0,4066 |
1,65 |
0,4505 |
1,98 |
0,4761 |
2,62 |
0,4956 |
1,33 |
0,4082 |
1,66 |
0,4515 |
1,99 |
0,4767 |
2,64 |
0,4959 |
1,34 |
0,4099 |
1,67 |
0,4625 |
2,00 |
0,4772 |
2,66 |
0,4961 |
1,35 |
0,4115 |
1,68 |
0,4535 |
2,02 |
0,4783 |
2,68 |
0,4963 |
1,36 |
0,4131 |
1,69 |
0,4545 |
2,04 |
0,4793 |
2,70 |
0,4965 |
1,37 |
0,4147 |
1,70 |
0,4554 |
2,06 |
0,4808 |
2,72 |
0,4967 |
1,38 |
0,4162 |
1,71 |
0,4564 |
2,08 |
0,4812 |
2,74 |
0,4969 |
1,39 |
0,4177 |
1,72 |
0,4573 |
2,10 |
0,4821 |
2,76 |
0,4971 |
1,40 |
0,4192 |
1,73 |
0,4582 |
2,12 |
0,4830 |
2,78 |
0,4873 |
1,41 |
0,4207 |
1,74 |
0,4591 |
2,14 |
0,4838 |
2,80 |
0,4974 |
1,42 |
0,4222 |
1,75 |
0,4599 |
2,16 |
0,4846 |
2,82 |
0,4976 |
1,43 |
0,4236 |
1,76 |
0,4608 |
2,18 |
0,4854 |
2,84 |
0,4977 |
1,44 |
0,4251 |
1,77 |
0,4616 |
2,20 |
0,4861 |
2,86 |
0,4979 |
1,45 |
0,4265 |
1,78 |
0,4625 |
2,22 |
0,4868 |
2,88 |
0,4980 |
1,46 |
0,4279 |
1,79 |
0,4633 |
2,24 |
0,4875 |
2,90 |
0,4981 |
1,47 |
0,4292 |
1,80 |
0,4641 |
2,26 |
0,4881 |
2,92 |
0,4982 |
1,48 |
0,4306 |
1,81 |
0,4649 |
2,28 |
0,4887 |
2,94 |
0,4984 |
1,49 |
0,4319 |
1,82 |
0,4656 |
2,30 |
0,4893 |
2,96 |
0,4985 |
1,50 |
0,4332 |
1,83 |
0,4664 |
2,32 |
0,4898 |
2,98 |
0,4986 |
1,51 |
0,4345 |
1,84 |
0,4671 |
2,34 |
0,4904 |
3,00 |
0,49865 |
1,52 |
0,4357 |
1,85 |
0,4678 |
2,36 |
0,4909 |
3,20 |
0,49931 |
1,53 |
0,4370 |
1,86 |
0,4686 |
2,38 |
0,4913 |
3,40 |
0,49966 |
1,54 |
0,4382 |
1,87 |
0,4693 |
2,40 |
0,4918 |
3,60 |
0,499841 |
1,55 |
0,4394 |
1,88 |
0,4699 |
2,42 |
0,4922 |
3,80 |
0,499928 |
1,55 |
0,4406 |
1,89 |
0,4706 |
2,44 |
0,4927 |
4,00 |
0,499968 |
1,57 |
0,4418 |
1,90 |
0,4713 |
2,46 |
0,4931 |
4,50 |
0,499997 |
1,58 |
0,4429 |
1,91 |
0,4719 |
2,48 |
0,4934 |
5,00 |
0,499997 |
1,59 |
0,4441 |
1,92 |
0,4726 |
2,50 |
0,4938 |
|
|
1,60 |
0,4452 |
1,93 |
0,4732 |
2,52 |
0,4941 |
|
|
Әдебиеттер
тізімі
1. Бектаев
Қ.Б. Ықтималдықтар теориясы және математикалық
статистика. Алматы. Рауан. 1991. 432 б.
2. Гмурман
В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика М., 1977 г.
3.
Горяинов В.Т.,
Журавлев А.Г., Тихонов В.И.
Статистическая радиотехника. М. Сов.Радио, 1980. - 544с.
4.
Жанбырбаев Б.С.
Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика
элементтері. Алматы, 1988ж.
5.
Қазешев А.,
Әбенов М., Қойлышов Ү. Ықтималдықтар теориясы
және математикалық статистика бойынша есептер жинағы.
6.
Розанов Ю.А.
Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М. 1985г.
7.
Четыркин Е.М.,
Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М. 1982г.
@ Алмати енергетика және байланыс институты, 2004ж.
2004ж.Жиынтық жоспары, реті____
Үмбетқұл
Құрманқұлүлы Қойлышов
Жоғары математка
КЕЗДЕЙСОҚ ПРОЦЕСТЕР
Редакторы Ж.А. Байбураева
Басуға
қол қойылды
Пішімі
Тиражы дана. №1 типография қағазы
Көлемі оқу-басп.т. Тапсырыс______
Алмати енергетика жіне байланыс институтының
көшірмелі-көбейткішбюросы
480013 Алматы, А.Байтұрсынов к., 126