АЛМАТЫ  ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС

ИНСТИТУТЫ

 

 

 

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

 

 

 

 

КЕЗДЕЙСОҚ  ПРОЦЕСТЕР

 

Әдістемелік нұсқаулар

(Радиотехника және байланыс мамандығының барлық

оқыту түрлері студенттері үшін)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2004

 

 

     ҚҰРАСТЫРУШЫ: Ү.Қ. Қойлышов. Кездейсоқ процестер. Әдістемелік

       нұсқаулар  (Радиотехника және байланыс мамандығының барлық оқыту

       түрлері студенттері үшін)-Алматы: АӘжБИ, 2004-326.

 

 

 

 

          

 

                   Әдістемелік  нұсқау радиотехника және байланыс мамандығының

        2-курс  студенттеріне  арналған. Ықтималдықтар  теориясынан қысқаша

         мағлұматтар  және  кездейсоқ  процестердің  ішінде   Марков,  Пуассон,

        Винера процестеріне көңіл  бөлінген. Мысалдар  шығарылып көрсетіліп,

        жаттығулар берілген.

                  Сурет 2, кесте 2, библиогр.-7атау.

 

 

 

        ПІКІРШІ: физ.-мат. ғылым.канд.,проф..АӘжБИ               С.Е. Базарбаева

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                       Алмати енергетика жіне байланыс институтының 2004 жылғы

            жоспары бойынша басылды.

 

 

 

 

 

 

І ТАРАУ

ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫНЫҢ НЕГІЗГІ

ТЕОРЕМАЛАРЫ МЕН АНЫҚТАМАЛАРЫ

 

§1 Кездейсоқ оқиғалар.

 

Белгілі бір тәжірибеге оның барлық мүмкін болатын нәтижелерінен тұратын U жиынын сәйкестендіреміз.

U жиынын қарапайым оқиғалар кеңістігі деп, ал оның нүктелерін   -ді қарапайым оқиғалар деп атайды.

 

Анықтамалар.

1. Кездейсоқ оқиға дегеніміз - тәжірибе барысында пайда болуы да, болмауы да мүмкін қарапайым оқиғалар жиыны.

2. Тәжірибе барысында әрдайым пайда болатын оқиғаны ақиқат оқиға деп атайды және U арқылы белгілейді.

3. Тәжірибе барысында ешқашан пайда болмайтын оқиғаны мүмкін емес оқиға деп атайды және V арқылы белгілейді.

4. Егер А оқиғасы пайда болған сайын В оқиғасы да пайда болса, онда А оқиғасы В оқиғасын ілестіреді дейді және   деп жазады. Әрине U, V .

5. Егер , , онда  А=В.

6. А мен В оқиғаларының қосындысы А+В деп А немесе В, немесе екі оқиғаның бірге пайда болуынан тұратын оқиғаны айтады.

А+V=А,    А+ U = V,      А+А=А,      А+В=В+А, (А+В)+С =А+(В+С).

7. А мен В оқиғаларының көбейтіндісі А·В деп А және В оқиғалары бірге пайда болғанда орындалатын оқиғаны айтады.

А·V= V,    А·U = А,      А·А=А,      А·В=В·А, (А·В) ·С =А· (В·С). А·(В+С)=А· В+А·С.

8. А оқиғасына қарама-қарсы оқиға Ā деп А оқиғасының пайда болмауынан тұратын оқиғаны айтады. А· Ā = V,    А+ Ā =U.

9. А мен В оқиғаларының айырмасы А-В деп А оқиғасының пайда болуынан және В оқиғасының пайда болмауынан тұратын оқиғаны айтады.

 А-V= А,    U -А = Ā,   А-А= V.

10. Бірге пайда бола алмайтын А мен В оқиғаларын үйлесімсіз деп атайды. Үйлесімсіз оқиғалар үшін А·В= V.

 

 

§ 2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

 

 - қарапайым оқиғалар кеңістігін қарастырайық. Әрбір қарапайым   оқиғасына  санын сәйкес қояйық. Мұндай жағдайда қарапайым оқиғаларды тең мүмкіндікті, ал А оқиғасына енетін қарапайым оқиғаларды  А - ға қолайлы деп атайды.

 

Анықтама.  Тең мүмкіндікті n  нәтижелері бар тәжірибеде А оқиғасына m нәтиже қолайлы болса, онда                           (1)

Қысқаша айтқанда, оқиғаның ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға қолайлы жағдайлар санының жалпы жағдайлар санына қатынасы.

1. Кез келген А оқиғасы үшін   .

2.    

3.    

4.     Егер    болса, онда

5.    

6.     Кез келген А және В оқиғалары үшін     (Қосу теоремасы).

7.     Егер А мен В үйлесімсіз оқиғалар болса, , онда     

Кездейсоқ оқиғалардың ықтималдықтарын есептеу барысында комбинаторика элементтері - орналастыру, алмастыру, теру жиі қолданылады.  

Егер екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе, онда оларды тәуелсіз оқиғалар деп атайды.

В оқиғасының шарты ықтималдығы Р(В/А) деп В оқиғасының А оқиғасы пайда болғаннан кейінгі ықтималдығын айтады.

Егер Р(В/А)=Р(В) немесе Р(А/В)=Р(А)  теңдіктері орындалса, онда А мен В оқиғалары тәуелсіз. Кез келген А мен В оқиғалары үшін   (Көбейту теоремасы)

 

Егер А мен В оқиғалары тәуелсіз болса, онда      .

    P1

 
Параллель қосылған k элементтен

    P2
тұратын  жүйенің  жұмыс  істеу

ықтималдығы мына формуламен

анықталады:    

    Pk
мұнда  -  - элементтің жұмыс

істеу ықтималдығы. Параллель

қосылған элементтердің сандары-                       1-сурет.

ның өсуімен бірге жүйенің жұмыс істеу ықтималдығы да өседі (1-сурет).

Тізбектеп қосылған k элементтен тұратын жүйенің жұмыс істеу ықтималдығы мына формуламен анықталады:

    P1

    P2

    Pk
 

 

 


2-сурет.

Тізбектеп қосылған элементтердің сандары өскен жүйенің жұмыс істеу ықтималдығы кемиді.

 

 

§ 3. Толық ықтималдықтың және Байес формулалары

 

Егер     оқиғалары төмендегі шарттарды қанағаттандырса,

а) ,           б)   және В оқиғасы осы оқиғалардың тек біреуімен бірге орындалса, онда В оқиғасының ықтималдығы толық ықтималдықтың формуласы арқылы анықталады:

Егер    және В оқиғалары үшін жоғарыдағы шарттар орындалса, онда     оқиғасының шартты ықтималдығы Байес формуласы арқылы анықталады:

 

§ 4. Бернулли, Муавр-Лаплас және Пуассон формулалары.

 

Екі ғана нәтижесі бар сынақты қарастырайық. Бұл нәтижелерді "А оқиғасы пайда болу" және "А оқиғасы пайда болмады" - деп атап, А және Ā таңбаларын қолданайық. Сынақ бірнеше рет жүргізілсін және нәтижелері тәуелсіз болсын. Егер әрбір сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты және  -ға тең болса, онда  n  рет тәуелсіз сынақ кезінде А оқиғасының  k рет пайда болу ықтималдығы Бернулли формуласымен есептеледі:              n    өте үлкен болғанда       Бернулли формуласын қолданған тиімсіз.

Егер   және  ,    ал    шектеулі сан болса, онда Пуассон формуласы орынды: 

Егер ,    мәні  0 мен 1-ге аса жуық емес болса, онда Муавр-Лаплас формулаларын қолданамыз.

Егер А оқиғасының әрбір сынақта пайда болу ықтималдығы тұрақты және 0 мен 1-ге аса жуық болмаса, онда n    өте үлкен болғанда А оқиғасының k рет пайда болу ықтималдығы  Муавр-Лапластың локалдық (дифференциалдық) формуласы арқылы есептеледі:         ,  мұнда            - функциясы жұп және кестесі бар.

Сынақ саны n    өте үлкен болған жағдайда А оқиғасының пайда болу саны   k1    мен   k2 -нің  аралығында жату ықтималдығы Муавр-Лапластың интегралдық формуласымен есептеледі:

,      мұнда          - функциясы тақ және кестесі бар, сонымен қатар .

 

§ 5. Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

 

Қарапайым оқиғалар кеңістігінде анықталған кез келген  сандық функция кездейсоқ шама болады, демек сынақ нәтижесінде кездейсоқ себептерге тәуелді және алдын ала белгісіз тек бір мән қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атайды. Кездейсоқ шамаларды     ал олардың қабылдайтын мәндерін     әріптерімен белгілейді. Кездейсоқ шамалар дискретті және үзіліссіз болып екі топқа бөлінеді.

а)   Х кездейсоқ шамасының қабылдайтын мәндері жеке сандар арқылы берілсе, онда   Х-ті дискретті кездейсоқ шама деп атайды.

Дискретті кездейсоқ шама әдетте үлестірім кестесі арқылы беріледі:

 

Х

х1

х2

х3

…

Р

р1

р2

р3

…

 

мұнда     .

б) Берілген аралықтағы мәндердің бәрін қабылдайтын шаманы үзіліссіз кездейсоқ шама деп атайды.

Үзіліссіз кездейсоқ шама әдетте үлестірім функциясы немесе үлестірім тығыздығы арқылы беріледі.

Х кедейсоқ шамасының х-тен кіші мәндерді қабылдау ықтималдығын Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы (интегралдық функция) деп атайды: 

Үлестірім функциясының қасиеттері:

1.      - кемімейтін функция.

2.    

3.    

4.    

 

Үлестірім функциясының тығыздығы (дифференциалдық функция) мына формуламен анықталады:     немесе  

Үлестірім тығыздығының қасиеттері:

1.    

2.    

3.    

Х - дискретті кездейсоқ шамасының математикалық үміті мына формуламен есептеледі: 

Егер Х үзіліссіз кездейсоқ шама болса, онда    .

Математикалық үміттің қасиеттері:

1.    

2.    

3.    

4.     Х,У -кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда

 

Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы деп кездейсоқ шаманың математикалық үміттен ауытқуының квадратының математикалық үмітін айтады:       немесе          шамасын орташа квадраттық ауытқу деп атайды.

Дисперсияның қасиеттері:

1.    

2.    

3.     Х, У кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда

Екінші және үшінші қасиеттерді ескерсек, онда  .

 

§ 6. Жиі кездесетін үлестірім түрлері

 

а) дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары:

1.     Бірқалыпты үлестірім:  .

2.     Геометриялық үлестірім:    .

3.     Биномдық үлестірім:     .

4.     Пуассон үлестірімі:              

.

5. Паскаль үлестірімі   .

6. Гипергеометриялық үлестірім:

                      

 

б) Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім заңдары.

 

1. Бірқалыпты үлестірім:

             .

 

2. Қалыпты (Гаусс) үлестірім:

, -тұрақты сандар.                 

 

3. Көрсеткіштік үлестірім:  

             .

 

4. Логарифмдік қалыпты үлестірім:

            .

 

5. Лаплас үлестірімі:

         .

 

6. Коши үлестірімі:

       мәндері табылмайды.

 

7.     Симпсон үлестірімі:

                  .

 

8.     Рэлей үлестірімі:

- тұрақты сан.  .

 

9.     Максвелл үлестірімі:

               .

10.       Вейбулл үлестірімі:   -оң бүтін сан. 

  мұнда   - гамма-функция.

11.       Гамма-үлестірім:

- оң сандар. Егер     болса, онда көрсеткіштік үлестірім шығады.

 

12.       Бета - үлестірім.

.     Мұнда     -  бета - функция.

 

13. k - ретті Эрланг үлестірімі         k - бүтін сан,   - тұрақты сан.      

 

14.  - үлестірім  ( - квадрат)

         .

 

15. Стьюдент үлестірімі (t-үлестірім) 

 

.

 

16. Фишер-Снедекор үлестірімі (F - үлестірім)

 

.

 

17. m - үлестірім  (Накагами)

 

 

18. Дәрежелік -көрсеткіштік үлестірім.   

             .

 

19. Екі еселі көрсеткіштік үлестірім.

.

 

20. Арксинус үлестірімі

         

 

21. Парето үлестірімі

     

 

§ 7. Моменттер

 

Х кездейсоқ шамасының  k-ретті бастапқы моменті деп Хk - нің математикалық үмітін айтады:    .  Демек  ,      онда                                                                                                   (1)

Х кездейсоқ шамасының  k-ретті орталық моменті деп  -нің математикалық үмітін айтады: . Демек                                                         (2)

Егер (1) және (2) формулаларын салыстырсақ, онда . Жоғары ретті моменттерді есептей отыра, мына формулаларды алуға болады:

       .

 

§ 8. Ковариация және корреляция коэффициенті

 

Х және У кездейсоқ шамаларының ковариациясы (корреляциялық моменті) мына формуламен анықталады:

немесе         .

Х және У кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициенті деп ковариацияның осы кездейсоқ шамалардың орташа квадраттық ауытқуларының көбейтіндісіне қатынасын айтады:

Корреляция коэффициенті екі кездейсоқ шамалардың арасындағы байланысты көрсетеді.

1.    

2.     Егер Х және У кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда . Керісінше, егер   болса, онда Х пен У тәуелді.

3.     Егер  болса, онда Х пен У кездейсоқ шамалары сызықты тәуелді, демек  .

 

 

§ 9. Сипаттамалық функция

 

Х нақты кездейсоқ шаманың сипаттамалық функциясы деп   функциясының математикалық үмітін айтады:   мұнда  - нақты айнымалы, , - жорамал бірлік, .

Егер Х - дискретті кездейсоқ шама болса, онда сипаттамалық функция - периодты функция (периоды ), ал жоғарыдағы формула Фурье қатарын береді.

Егер  Х үзіліссіз кездейсоқ шама болса, онда сипаттамалық функция    - Фурье түрлендіруі.

Сипаттамалық функцияның қасиеттері:

1.       кез келген    үшін анықталған.

2.     ,     .

3.     Егер   ,    тұрақты сандар, онда   .

 

 Мысалдар.

1     4 ақ және 3 қара телефон аппараттары берілген.    А    оқиғасы жұмыс істеп тұрған телефондар ақ.   В   оқиғасы жұмыс істеп тұрған телефон дар ақ.   С   оқиғасы жұмыс істеп тұрған телефондардың екеуі ақ,екеуі қара.    , , ,  оқиғалары нені білдіреді?

Шешуі.    Егер 6-9 анықтамаларды ескерек, онда

А+В= барлық телефон жұмыс істеп тұр

= V-мүмкін емес оқиға,

А+С= 3 ақ және 3 қара телефон жұмыс істеп тұр

= 2 қара телефон жұмыс істеп тұр

=В

2.  Сөреге кездейсоқ қойылған 7 резистордың ішінде 3 резистордың қатар тұру ықтималдығы қандай?

 

Шешуі. 7 резистордың кездейсоқ сөреде тұрғандағы барлық алмастырулар саны  . Оның ішінде 3 резистордың қатар тұру саны , себебі 3 резистордың  шетінде, ортасында, т.б. жерлерде тұру жағдайларын ескеруіміз керек.

 

4. Жәшікте 4 ақ және 5 қара телефон болсын. Жәшіктен кездейсоқ алынған 3 телефонның екеуінің қара, біреуінің ақ болу ықтималдығын табыңдар.

 

Шешуі. 9 телефонның ішінен 3 телефонды барлығы  әдіспен теріп алуға болады, демек  .  Қолайлы жағдайлар саны   ,  себебі екі қара телефонды 5 қара телефонның ішінен, ал бір ақ телефонды 4 ақ телефонның ішінен теріп аламыз. Яғни   .

 

4.  52 картаның ішінен кез келген суреті бар (валет, дама, король) немесе қарға түсті карта алу ықтималдығы қандай?

 

Шешуі. А оқиғасы - суреті бар карта алу, В оқиғасы - қарға түсті карта алу. Демек А+В - суреті бар немесе қарға түсті карта алу. Қосу теоремасы бойынша      мұнда   ,   себебі    барлық карта саны 52,  ал      суреті бар карта саны   12,     . Қарға түсті карта саны 13.  оқиғасы - қарға түсті суреті бар карта (валет қарға, дама қарға, король қарға). Демек   . Олай болса .

 

5. Бірінші жәшіктегі 5 радиолампаның, екінші жәшіктегі 7 радиолампаның төртеуі ақаусыз. Әр жәшіктен бір радиолампадан алайық. Осы алынған радиолампалардың ақаусыз  болу ықтималдығын табыңдар.

 

Шешуі. А оқиғасы - бірінші жәшіктен алынған радиолампа ақаусыз  , В оқиғасы - екінші жәшіктен алынған радіолампа ақаусыз. Олай болса     оқиғасы алынған радиолампалардың ақаусыз болуын көрсетеді А және В оқиғаларының тәуелсіз екенін ескерсек

 

=   мұнда    ,  .  Олай болса   .

6 М және N байланыс орталықтары төмендегі схема бойынша қосылған (3-сурет)

 

                                      

M                                                                                N

                                            

 

     Әр тораптың жұмыс істеу ықтималдықтары сәйкес .   М және N орталықтарының арасындағы байланыстың бұзылмай жұмыс істеу ықтималдығы қандай?

 Шешуі.  1-сурет пен 2-суреттің формулалары бойынша;

 

 

 

7. Емтиханға келген 10 студенттің үшеуі өте жақсы, төртеуі - жақсы, үшеуі - нашар дайындалған. Емтихан бағдарламасында 20 сұрақ берілген. өте жақсы дайындалған студент 20 сұрақтың бәріне, жақсы дайындалған студент - 16 сұраққа, ал нашар студент - 5 сұраққа жауап бере алады. Кездейсоқ шақырылған студенттің қойылған сұраққа жауап беру ықтималдығы қандай?

 

Шешуі. А1 оқиғасы - шақырылған студент өте жақсы дайындалған, А2  оқиғасы - жақсы дайындалған студент, А3 оқиғасы - нашар дайындалған студент делік.  В оқиғасы - шақырылған студент қойылған сұраққа жауап берді. Толық ықтималдықтың формуласын қолдансақ,   мұнда  ,  , .      ,        ,        .

 

Формулаға  қойсақ,        .

 

8. Он сегіз мергеннің бесеуі нысанаға 0,8 - ге тең, жетеуі - 0,7 - ге тең, алтауы - 0,6 - ға тең ықтималдықпен тигізеді. Кездейсоқ шақырылған мерген нысанаға бір рет  оқ атып тигізді. Осы мергеннің бірінші топқа жату ықтималдығы қандай?

 

Шешуі. В оқиғасы - мерген нысанаға тигізді.  А1 оқиғасы - мерген бірінші топқа жатады, А2 оқиғасы - мерген екінші топқа жатады, А3 оқиғасы - мерген үшінші топқа жатады.

 

Байес формуласын ескерсек

 

     мұнда     , 

 

,      .      ,         ,     . Формулаға қойсақ        .

 

9. Жанұяда бес бала болсын. Осы балалардың  а) екеуі ұл, б) ұлдардың саны үштен кем емес,  в) ең болмағанда біреуі ұл болуының ықтималдығы қандай? Ұл баланың дүниеге келу ықтималдығы 0,5-ке тең.

 

Шешуі. а)  Бернулли формуласын қолданайық. Есептің шарты бойынша       ,        ,        ,          .                       Демек            .

 

б)  Ұлдардың саны үштен кем емес болу ықтималдығы  

.

 

в)  Ең болмағанда біреуі ұл бала болуының ықтималдығы  .

 

10. Лотерея билетіне ұтыс шығу ықтималдығы 0,3-ке тең. 2100 билеттің  а) 650 -не ұтыс шығу ықтималдығын тап.  б) ұтыс шыққан лотерея саны 615 - тен артық 640 - тен кем болу ықтималдығы қандай?

 

Шешуі. а) Муавр-Лапластың локалдық формуласын қолданамыз.

,          ,              ,              .  Демек   

 

.

 

1 - кесте бойынша                    .

 

б)  Муавр - Лапластың интегралдық формуласын қолданамыз.

Есептің шарты бойынша   ,      ,       ,           .  

 

Демек  ,   .

   функциясының тақ екенін және  2 - кестені ескерсек  

 

                                           . 

 

Яғни             .

 

 

11.    Х кездейсоқ шамасы үлестірім кестесі арқылы берілген.

 

Х

-1

1

3

4

Р

0,2

0,3

0,4

0,1

 

Х кездейсоқ шамасының үлестірім функциясын математикалық үмітін, дисперсиясын, орташа квадраттық ауытқуын, модасын және -1 мен 2-нің арасында жату ықтималдығын табыңдар.

 

Шешуі. Үлестірім функциясының анықтамасын   ескерсек, онда   

 

Математикалық үміттің анықтамасы бойынша

 

.

 

 

 

 

Дискретті кездейсоқ шаманың модасы деп ықтималдығы (жиілігі) ең үлкен Х кездейсоқ шамасының мәнін айтады.    Демек      .

Үлестірім функциясының 3 - қасиеті бойынша

 

  . 

 

 

12.  Х кездейсоқ шамасы үлестірім функциясы арқылы берілген.

 

Үлестірім функциясының тығыздығын, С - тұрақты санын, математикалық үмітін, дисперсиясын, модасын және Х кездейсоқ шамасының -2 мен 0-дің арасында жату ықтималдығын табыңдар.

 

Шешуі.      теңдігін ескере отырып, тығыздығын  табайық.

 

 

Үлестірім функциясының тығыздығының 3-қасиеті бойынша

 

  .  Олай болса              ,    .

Демек                                                               (*)

 

 

 

Үзіліссіз кездейсоқ шаманың модасы деп үлестірім функциясының тығыздығының ең үлкен мән қабылдайтын нүктесін айтады. (*)  формуласын ескерсек     аралығында жатса,     сызықты өспелі

 

функция, ал қалған   х - тің мәндерінде   .      ,          .

 

Демек       .               . 

 

13.     аралығында бірқалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың сипаттамалық функциясын табыңдар.

 

Шешуі.      онда сипаттамалық функция:

 

.

 

14. Пуассон үлестірімімен берілген кездейсоқ шаманың сипаттамалық функциясын тап.

 

Шешуі.          . 

Онда          .

 

             Жаттығулар.

 

1. Ойын сүйегін 2 рет лақтырғанда пайда болған ұпайлардың  

а) қосындысы алтыға тең болу,  б) Көбейтіндісі бестен аспау, в) қосындысы жетіге, көбейтіндісі онға тең болу ықтималдықтары қандай?

 

2. Он сегіз қонақ дөңгелек дастарханға кездейсоқ отырғызылады. Сонда екі қонақтың қатар отыру ықтималдығы қандай?

 

3. Ы, С, Б, Н, А, А, Л, Й   әріптерінен "БАЙЛАНЫС" сөзінің шығу ықтималдығын тап.

 

4. Байланыс торабы арқылы нөл және бір сигналдары беріледі. Әр сигналдың қате берілу ықтымалдығы 0,01.

     10110 комбинациясын байланыс торабы арқылы бергенде

а) дұрыс берілу, б) 11110 комбинациясының берілу,

в) берілген комбинацияда бір қатенің кету ықтымалдықтары қандай?

 

5. Кездейсоқ алынған N  натурал санын  а) квадраттағанда, б) кез келген бір натурал санға көбейткенде бірмен аяқталатын сан шығу ықтималдығын анықтаңдар.

 

6. Ұзындықтары сәйкес 2, 4, 6, 8, 10, 12  см-ге тең алты кесінді берілген. Осы алты кесіндінің ішінен кездейсоқ алынған үш кесіндіден үшбұрыш салуға болатындығының ықтималдығы қандай ?

 

7.  Студияда 3 телекамера бар. Әр камераның белгілі бір уақытта жұмыс істеп тұру ықтымалдығы 0,6-ға тең. Кездейсоқ бір уақытта ең болмағанда бір телекамераның жұмыс істеп тұру ықтымалдығын тап.

 

8. Басқару жүйесі бес тораптан тұрады(1 сурет). Әр тораптың бұзылмай жұмыс істеу ықтымалдықтары сәйкес . Басқару жүйесінің бұзылмай жұмыс істеу ықтымалдығын табыныз.

                                    

                                                           

                                

9. Бірінші жәшікте 2 ақ, 3 қара, екінші жәшікте 3 ақ, 4 телефондар  бар. Әр жәшіктен кездейсоқ бір-бірден алынған екі телефонның түстерінің бірдей болу ықтималдығын анықтаңдар.

 

10. Жәшіктегі 15 теннис добының тоғызы жаңа. Бірінші ойын үшін кездейсоқ 3 доп алынып, ойыннан соң жәшікке қайта салынады. Екінші ойын үшін кездейсоқ алынған 3 доптың бәрінің жаңа екендігінің ықтималдығы қандай ?

 

11. М және N байланыс орталықтары төмендегі схема бойынша қосылған.  элементтерінің бұзылмай жұмыс істеу ықтымалдықтары сәйкес: 0,8; 0,7; 0,9; 0,6; 0,5   М және орталықтарының арасындағы байланыстық бұзылмай жұмыс істеу ықтымалдықтары қандай?

                                                                        

                                                    N

                                           

                                           

 

 

12. Он сегіз мергеннің бесеуі нысанаға 0,8 - ге тең, жетеуі - 0,7 - ге тең, төртеуі - 0,6 - ға тең, екеуі - 0,5 - ке тең ықтималдықпен тигізеді. Кездейсоқ алынған мерген бір рет оқ атып, нысанаға тигізе алмады. Сонда бұл мергеннің қай топқа жату ықтималдығы көп ?

 

13. Математикалық олимпиадаға қатысқан студенттердің 70% -і  1 - курста,  30% -і  2 - курста оқиды. 1 - курстың студентінің жеңімпаз болу ықтималдығы 0,4 - ке тең, ал 2 - курстың студентінің жеңімпаз болу ықтималдығы 0,6 - ға тең. Олимпиаданы жеңіп шыққан студенттің 1 - курста оқитындығының ықтималдығы қандай ?

 

14. Алғашқы кездескен машинаның нөмірінде а) бес санының жоқ, б) екі бес санының болу ықтималдығын табыңдар.

 

15. Байланыс каналы арқылы 6 хабар берілді. Әр хабардың қате берілу ықтымалдығы 0,2-ге тең болса, онда а) 6 хабардың екеуінің қате берілу, б) 6 хабардың екіден көбі қате берілуінің ықтымалдығын табыңыз.

16.  Казтелеком телефондарды 4 түрлі тексеруден өткізеді. Телефондардың бір інші тексеруден өту ықтымалдығы 0,9,  екіншіден 0,95, үшіншіден 0,8 және төртіншіден 0,85. Төмендегі оқиғалардың ықтымалдықтарын табу керек;

А телефондар барлық 4 тексеруден өтті

В телефондар 2 тексеруден өтті

С кемінде 2 тексеруден өтті

 

17. Теледидардың бұзылу ықтималдығы 0,01. Сатып алынған 9900 теледидардың  а) 105-нің,  б) 90-нан кем емес, 110-нан артық емесінің бұзылу ықтималдығы қандай ?

18. Х кездейсоқ шамасы үлестірім функциясы арқылы берілген.

С-тұрақты санын, үлестірім функциясының тығыздығын, математикалық үмітін, дисперсиясын және Х - тің 1 мен 2 - нің арасында жату ықтималдығын табыңдар.

19. Х кездейсоқ шамасы үлестірімі мына формуламен берілген:

 

С-тұрақты санын,   және   ықтималдықтарын табыңдар. Математикалық үмітінің мәні табыла ма ?

20. Х кездейсоқ шамасы үлестірімі мына формуламен берілген:

 

С-тұрақты санын, ,   ықтималдықтарын және математикалық үмітін табу керек.

21. Х - кездейсоқ шамасы   аралығында бірқалыпты үлестірілген   - табыңдар.

22. Х - кездейсоқ шамасы   аралығында бірқалыпты үлестірілген.

Егер    а)  

б) 

в)     болса, онда корреляция коэффициентін табыңдар.

23. Х - кездейсоқ шамасы  үлестірім функциясының тығыздығы арқылы берілген.   

Сипаттамалық функциясын табу керек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Мысал: ( радиоактивтік ыдырау)

Радийдің (Ra) біраз мезгілден соң радонға (hn)айналатыны физикадан белгілі.Ra атоманың ядросы ыдырау барысында -болшектерді(Не гелий атоиның ядросы) бөлік шығарады. Rа атомының ыдырауы басқа атомдарға тәуеліз жағдайда болғандықтан  -ыдырау өзара тәуелсіз болшектердің ағыны болып есептеледі. Демен  -ыдырау уақыт бойынша Пуассон үлестірілімен бері леді; уақыт аралы5ында -бөлшектердің саны , К=0,1,... мұнда -уақыт аралығының ұзындығы, -берілген уақыт бірлігінде бөлініп шығатын -бөлшектерінің саны, . Сонымен t уақыт аралығында ыдыраған Raатомдары санының , осы уақыт аралығында ыдыраған -бөлшектерінің санына тең болу ықтималдығы Пуассон занымең  берілген; , к=0,1,... мунда , атомдарының саны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II-тарау. Кездейсоқ процестер

§10. Кездейсоқ процестің анықтамасы

 

Кездейсоқ процесс деп уақытқа немесе басқа параметрге байланысты өзгеретін кездейсоқ шамалардың жиынын айтады.

Кездейсоқ процесті    арқылы белгілейді. Мұнда t- уақыт, -кездейсоқ оқиға. Егер болса, онда - уақыты дискретті кездейсоқ процесс деп, ал  болса, онда - уақыты үздіксіз кездейсоқ процесс деп аталады. Сонымен қатар, егер кездейсоқ шамалар жиыны дискретті мәндер қабылдаса, онда - мәндері дискретті кездейсоқ процесс деп, ал егер кездейсоқ шамалар жиыны үздіксіз мәндер қабылдаса, онда - мәндері үздіксіз кездейсоқ процесс деп аталады. Егер t = t0 болса, онда - кездейсоқ шама болып есептеледі.

Кездейсоқ процесс кездейсоқ шамалардың жиыны арқылы берілгендіктен, олардың арасындағы байланыс n- өлшемді үлестірім функциясы арқылы сипатталады:

 

 

мұнда - мәндер жиыны, егер    болса, онда 

 

 

Егер кез келген  үшін  кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда -мәндері тәуелсіз кездейсоқ процесс деп аталады. Мәндері тәуелсіз кездейсоқ процестер үшін мына теңдік орында-лады:  

 

1)    мәнінде  кездейсоқ шамасының математикалық үмітіне тең    болатын кездейсоқ емес  функциясы

    кездейсоқ процесінің математикалық үміті деп аталады.

 

2)  мәнінде  кездейсоқ шамасының дисперсиясына тең болатын кездейсоқ емес  функциясы  кездейсоқ процесінің дисперсиясы деп аталады.

 

3) ,  мәндерінде ,  кездейсоқ шамаларының ковариация  коэффициентіне тең болатын кездейсоқ емес

 

     функциясы  кездейсоқ  процесінің корреляция (автокорреляция) функциясы деп аталады.

 

Егер  болса, онда ;  - функциясы нормаланған корреляция функциясы деп аталады және кездейсоқ шамалардың тәуелділік дәрежесін сипаттайды. Кейде - функциясын ковариация, ал   функциясын корреляция функциясы деп атайды. Мәндері тәуелсіз кездейсоқ процестер үшін , , демек .

Егер кез келген s үшін  теңдігі орындалса (t параметрі бойынша инвариантты болса), онда  кездейсоқ процесі (дербес мағынада) стационар деп аталады.

Егер  теңдіктері орындалса, онда уақыты үздіксіз кездейсоқ процесс кең мағынада стационар деп аталады.

Егер кездейсоқ процесс дербес мағынада стационар болса, онда ол кең мағынада да стационар болады, бірақ керісінше әрқашан орындала бермейді.

Мысал ретінде Гаусс процесін қарастырайық. Үлестірім функциясы төменде-гі формула арқылы беріледі:

   мұнда

            - анықтауыш.

Мысал. Кездейсоқ процесс  формуласымен анықталсын. Мұнда X-кездейсоқ шама. Егер ,  болса, онда берілген процестің негізгі сипаттамаларын табыңдар.

Шешуі. Математикалық үміт пен дисперсияның қасиеттері бойынша:

Корреляция функциясының анықтамасын ескерсек

Нормалаған корреляция функциясы:

§11. Марков тізбегі

 

Кездейсоқ шамалардың тәуелді тізбегін алғаш рет А.А.Марков қарастырған.

Уақыты дискретті және  - күйлері ақырлы, дискретті  кездейсоқ процесті қарастырайық.    уақыттарында  кездейсоқ процесі  мәндерін қабылдайды.

Анықтама. Егер ti  уақытында  күйіне көшу ықтималдығы алдыңғы күйлердің барлығынан емес, тек  күйіне ғана тәуелді болса,

 

демек      

 

теңдігі орындалатын мәндері тәуелсіз процесс Марков процессі деп аталады.

Егер  деп белгілесек, онда    элементтерінен тұратын  матрицасы шығады. Мұнда -i күйінен j күйіне көшу ықтималдығы.

  - көшу ықтималдықтарының  матрицасы.

Көшу ықтималдықтарының матрицасы мына шарттарды қанағаттандырады:

1.    кез келген   мен    үшін.

2. Жатық жолдарының элементтерінің қосындысы бірге тең, демек   

Жалпы алғанда, жоғарыдағы екі шартты қанағаттандыратын матрицаны стохастикалық деп атайды. Демек, стохастикалық матрица көшу ықтималдықтарының матрицасы бболады және алғашқы  үлестірімімен бірге Марков тізбегін толық анықтайды.

Сонымен  ықтималдығы  -ші күйден -ші күйге көшуді, яғни   көшуді сипаттайды. Егер     болса, онда    көшуі ақиқат.

Мысалдар.

1. Екі жәшіктің біріншісінде екі ақ телефон және үш қара телефон, ал екіншісінде екі ақ және бір қара телефон болсын. Бірінші немесе екінші жәшіктен қалай болса солай телефон алынады, және алынған телефон сол жәшіктің өзіне қайтадан салынады. Телефон алынатын жәшік жеребе арқылы анықталады. Егер алдыңғы тәжірибеде ақ телефон алынса, онда бірінші жәшіктен бір телефон алынады, ал егер алдыңғы тәжірибеде қара телефон алынса, онда екінші жәшіктен бір телефон алынады.

Екі кездейсоқ оқиғаны (жүйенің күйі) бөліп аламыз:  - тәжірибе нәтижесінде ақ телефонның , - қара телефонның алынуы. Демек, осы шарттар орындалғанда көшу ықтималдықтарының матрицасы төмендегідей болады:

мұнда    - тәжірибе нәтижесінде ақ телефон алынғанда бірінші жәшіктен ақ

телефон алу ықтималдығын көрсетеді. Олай болса,   .  Ал  , себебі бұл тәжірибе нәтижесінде қара телефон алынғанда екінші жәшіктен ақ телефон алыну ықтималдығын көрсетеді. Қалған ықтималдықтар да осылай табылады:       ,          .

-ден -ге көшудің   ықтималдығын 1 дүркін көшу ықтималдығы деп  арқылы белгілейік. -ден -ге көшу арасында жүйе  күйінде болсын. Сонда      көшуіне сәйкес ықтималдықты  2 дүркін көшу  ықтималдығы деп атайды және  арқылы  белгілейді. Демек, Марков тізбегінің анықтамасына және ықтималдықтары  қосу теоремасына сүйене отырып индукция бойынша -ден -ге   n  дүркін көшу ықтималдығын анықтауға болады. -ден -ге, ал  -ден -ге (n -1) дүркін көшеміз:

Жалпы алғанда кез келген   k  жәпе n  натурал сандары үшін                                                     (*)

Сонымен  (*) теңдігінің мазмұны мынадай:

Егер Марков тізбегі көшу ықтималдықтарының      матрицасымен анықталса, онда n дүркін көшудің   ықтималдықтары  Р матрицасының n - дәрежесінің элементтері болады. Демек   - n дүркін көшу ықтималдықтарының матрицасы болса, онда    теңдігі орындалады.

Мысал.   көшу матрицасы берілсін.  - матрицасын табыңдар.

Шешімі. .

 

2. Студенттің оқу жылының басындағы күйі төмендегідей анықталуы мүмкін,

S1- 1- курс студенті,       S2- 2- курс студенті,

S3- 3- курс студенті,       S4- 4- курс студенті,

S5- 5- курс студенті,       S6- оқу бітірген студент,

S7- оқуды аяқтамай кеткен студент.

 

Оқуды аяқтамай кеткен студенттер қайтадан оқуға алынбайды деп есептеп, бір күйден (курстан) екінші күйге өту матрицасын құрайық. S1- күйінен (1-курстан) мынадай күйлерге өту мүмкіндіктері бар: S2- (2- курс), S1(1- курста қалу), S7 (оқудан шығып кету). Басқа күйлерге өту мүмкін емес деп есептейміз. Демек, матрицаның 1- жатық жолы үш оң саннан тұрады: р1- институттан шығып кету ықтималдығы, r1- 2-курсқа көшу,  q1-1- курста қалу, яғни  р11= q1,    р12= r1,  р17 =р1 (q1+ r1+ р1= 1), қалған ықтималдықтар нөлге тең.

S2- күйінен (2- курстан) S3, S2, S7 күйлеріне өтуге болады. демек р23= r2, р22= q2, р27 =р2  (р1+ r2+ q2 = 1)   S3, S4, т.б. күйлер үшін өту ықтималдықтары осылай табылады. Сондықтан өту ықтималдықтарының матрицасы мынадай түрде жазылады:      

  

 

 

§ 12   Пуассон және Винер процестері.

 

Егер кез келген               мәндерінде   кездейсоқ шамалары тәуелсіз болса, онда уақыты үзіліссіз     кездейсоқ процесін өсімшелері тәуелсіз процесс деп атайды.

Егер    процесі мына шарттарды қанағаттандырса

1.      - өсімшелері тәуелсіз процесс,

2.     Кез келген     мәндерінде     - өсімшелері бірдей үлестірілген (уақыт бойынша біртекті),

3.     - қарапайым оқиғалар кеңістігінен,

4.     егер ,                                        ,  онда бұл процесті Пуассон процесі деп атайды. Мұнда   - параметр.

 

Теорема.    Егер   - Пуассон процесі болса, онда .

Егер     кездейсоқ процесі мына шарттарды қанағаттандырса,

1.      - өсімшелері тәуелсіз процесс,

2.     Кез келген     мәндерінде     - өсімшелері бірдей үлестірілген,

3.     - қарапайым оқиғалар кеңістігінен,

4.     егер ,                                  ,  онда бұл процесс Винер процесі деп аталады.

 

Теорема.      Егер   - Винер  процесі болса, онда .

Мысал: ( радиоактивтік ыдырау)

Радийдің (Ra) біраз мезгілден соң радонға (hn)айналатыны физикадан белгілі.Ra атомының ядросы ыдырау барысында -бөлшектерді(Не гелий атомының ядросы) бөліп шығарады. Rа атомының ыдырауы басқа атомдарға тәуелсіз жағдайда болғандықтан  -ыдырау өзара тәуелсіз болшектердің ағыны болып есептеледі. Демек  -ыдырау уақыт бойынша Пуассон үлестірімімен беріледі; уақыт аралығында -бөлшектердің саны , k=0,1,... мұнда -уақыт аралығының ұзындығы, -берілген уақыт бірлігінде бөлініп шығатын -бөлшектерінің саны, . Сонымен t уақыт аралығында ыдыраған Ra атомдары санының , осы уақыт аралығында ыдыраған -бөлшектерінің санына тең болу ықтималдығы Пуассон занымен  берілген; , к=0,1,... мұнда , атомдарының саны.

 

§ 13. Колмогоровтың дифференциалдық теңдеулері

 

Қарастырып отырған жүйенің мүмкін болатын күйлерін     арқылы белгілейік.  деген жазуды "жүйе t  уақытында   күйінде болды" деп түсінеміз. Егер   уақытында    процесі   қабылдап, ал келесі  t  уақытында   процесі   мәнін қабылдау ықтималдығы  -дың шамасына тәуелсіз, демек     теңдігі орындалса, онда бұл процесті біртекті Марков кездейсоқ процесі деп атайды.    ықтималдықтары  -ден -ге t  уақытында көшу ықтималдықтары деп аталады. Анықтама бойынша, Марков процесі   ықтималдықтарымен және     ықтималдықтардың бастапқы үлестірімімен толық анықталады.    ықтималдығын қарастыралық. Жүйе      уақытында  -ден -ге, ал  t  уақытында  -ден -ге көшетін болсын. Сонда Марков процесінің анықтамасы ("болашақтың өткен уақытқа байланыссыздығы")     және   ықтималдықтарды   қосу   теоремасы  бойынша

.    Бұл теңдікті Колмогоров - Чэпен теңдеуі деп атайды.

 

Теорема.  Шектелген    күйлері бар Марковтық процестің  көшу ықтималдықтары үшін төмендегі шарттар орындалса

(∆ t)= ∆ t + 0 (∆ t),

(∆ t)= ∆ t + 0 (∆ t),              онда  ықтималдықтары мына  дифференциалдық теңдеуді қанағаттандырады:

 

 

          мұнда      .

 

 

Мысал. Жалпыға қызмет көрсету жүйесін қарастырайық. Уақыттың өтуіне байланысты келіп түскен тапсырыстар саны  болса, мұнда  - Марков процесі.    күйінен тек      күйіне көшуге болады    .  Бір күйден екінші күйге көшу тығыздықтары былай анықталады:

 

 

  ықтималдығы     айырымына ғана байланысты.  Демек .   Егер    деп белгілеп алсақ, онда мынадай дифференциалдық теңдеулер шығады.

 

,                          

 

Егер         функциясына көшсек,

 

онда            ,  

 

    мұнда

 

,                              

 

,               - дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімін төмендегідей жазуға болады:   ,             функциясына көшсек,   онда   , 

демек             яғни қарастырып отырған тапсырыстар ағыны - Пуассон ағыны.

 

 

Жаттығулар.

1. Көшу матрицасы  берілген  . Екі дүркін көшу матрицасын Р2  табу керек.

 

2. Көшу матрицасы  берілген  . Үш  дүркін көшу матрицасын Р3  табу керек.

 

3. Марков тізбегін анықтайтын    матрицасы берілген.  Р1 матрицасының квадратын және  n  шексіздікке ұмтылғандағы n дүркін көшу ықтималдықтарын табыңдар.

4.Кездейсоқ процесс   формуласымен анықталсын. Мұнда X-математикалық үміті a-ға және кездейсоқ шама. Берілген кездейсоқ процестің математикалық үмітін, диспериясын, корреляциялық және нормалаған корреляциялық функциясын табыңдар.

 

 

 

1 кесте

 

 функциясы мәндерінің кестесі

 

 

 

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0

0,3989

3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3973

0,1

3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3918

0,2

3910

3902

3894

3985

3876

3867

3857

3847

3836

3825

0,3

3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3726

3712

3697

0,4

3683

3668

3652

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0,5

3521

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0,6

3332

3312

3292

3277

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0,7

3123

3101

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0,8

2897

2874

2850

2827

2803

2780

2757

2732

2709

2685

0,9

2661

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444

1,0

0,2420

2396

2371

2347

2323

2299

2275

2251

2227

2203

1,1

2179

2151

2131

2107

2083

2059

2036

2012

1989

1965

1,2

1942

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1,3

1714

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1,4

1497

1476

1456

1435

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1,5

1295

1275

1257

1238

1219

1200

1182

1168

1145

1127

1,6

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0873

0957

1,7

0940

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

0818

0804

1,8

0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1,9

0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551

2,0

0,0540

0529

0519

0508

0498

0488

0478

0468

0459

0449

2,1

0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2,2

0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2,3

0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2,4

0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2,5

0175

0171

0167

0163

0158

0254

0151

0147

0143

0139

2,6

0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2,7

0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2,8

0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

2,9

0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0046

3,0

0,0044

0043

0042

0040

0039

0038

0037

0036

0035

0034

3,1

0033

0032

0031

0030

0029

0028

0027

0026

0025

0025

3,2

0024

0023

0022

0022

0021

0020

0020

0019

0018

0018

3,3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

0013

0013

3,4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

0009

0009

3,5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

0007

0006

3,6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

0005

0004

3,7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

0003

0003

3,8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002

0002

0002

3,9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0001

0001

            2 кесте

                  функциясы мәндерінің кестесі

х

Ф(х)                   

х

  Ф(х)         

х     

   Ф(х)  

   х

   Ф(х) 

0,00

0,0000

0,32

0,1255

0,64

0,2389

0,96

0,3315

0,01

0,0040

0,33

0,1293

0,65

0,2422

0,97

0,3340

0,02

0,0080

0,34

0,1331

0,66

0,2454

0,98

0,3365

0,03

0,0120

0,35

0,1368

0,67

0,2486

0,99

0,3389

0,04

0,0160

0,36

0,1406

0,68

0,2517

1,00

0,3413

0,05

0,0199

0,37

0,1443

0,69

0,2549

1,01

0,3438

0,06

0,0239

0,38

0,1480

0,70

0,2580

1,02

0,3461

0,07

0,0279

0,39

0,1517

0,71

0,2611

1,03

0,3485

0,08

0,0319

0,40

0,1554

0,72

0,2642

1,04

0,3508

0,09

0,0359

0,41

0,1591

0,73

0,2673

1,05

0,3531

0,10

0,0398

0,42

0,1628

0,74

0,2703

1,06

0,3554

0,11

0,0438

0,43

0,1664

0,75

0,2734

1,07

0,3577

0,12

0,0478

0,44

0,61700

0,76

0,2764

1,08

0,3599

0,13

0,0517

0,45

0,1736

0,77

0,2794

1,09

0,3621

0,14

0,0557

0,46

0,1772

0,78

0,2823

1,10

0,3643

0,15

0,0596

0,47

0,1808

0,79

0,2852

1,11

0,3665

0,16

0,0636

0,48

0,1844

0,80

0,2881

1,12

0,3686

0,17

0,0675

0,49

0,1879

0,81

0,2910

1,13

0,3708

0,18

0,0714

0,50

0,1915

0,82

0,2939

1,14

0,3729

0,19

0,0753

0,51

0,1950

0,83

0,2967

1,15

0,3749

0,20

0,0793

0,52

0,1985

0,84

0,2995

1,16

0,3770

0,21

0,0832

0,53

0,2019

0,85

0,3023

1,17

0,3790

0,22

0,0871

0,54

0,2054

0,86

0,3051

1,18

0,3810

0,23

0,0910

0,55

0,2088

0,87

0,3078

1,19

0,3830

0,24

0,0948

0,56

0,2123

0,88

0,3106

1,20

0,3849

0,25

0,0987

0,57

0,2157

0,89

0,3133

1,21

0,3869

0,26

0,1026

0,58

0,2190

0,90

0,3159

1,22

0,3883

0,27

0,1064

0,59

0,2224

0,91

0,3186

1,23

0,3907

0,28

0,1103

0,60

0,2257

0,92

0,3212

1,24

0,3925

0,29

0,1141

0,61

0,2291

0,93

0,3238

1,25

0,3944

0,30

0,1179

0,62

0,2324

0,94

0,3264

1,26

0,3962

0,31

0,1217

0,63

0,2357

0,95

0,3289

1,27

0,3980

 

1,28

0,3997

1,61

0,4463

1,94

0,4738

2,54

0,4945

1,29

0,4015

1,62

0,4474

1,95

0,4744

2,56

0,4948

1,30

0,3032

1,63

0,4484

1,96

0,4750

2,58

0,4951

1,31

0,4049

1,64

0,4495

1,97

0,4756

2,60

0,4953

1,32

0,4066

1,65

0,4505

1,98

0,4761

2,62

0,4956

1,33

0,4082

1,66

0,4515

1,99

0,4767

2,64

0,4959

1,34

0,4099

1,67

0,4625

2,00

0,4772

2,66

0,4961

1,35

0,4115

1,68

0,4535

2,02

0,4783

2,68

0,4963

1,36

0,4131

1,69

0,4545

2,04

0,4793

2,70

0,4965

1,37

0,4147

1,70

0,4554

2,06

0,4808

2,72

0,4967

1,38

0,4162

1,71

0,4564

2,08

0,4812

2,74

0,4969

1,39

0,4177

1,72

0,4573

2,10

0,4821

2,76

0,4971

1,40

0,4192

1,73

0,4582

2,12

0,4830

2,78

0,4873

1,41

0,4207

1,74

0,4591

2,14

0,4838

2,80

0,4974

1,42

0,4222

1,75

0,4599

2,16

0,4846

2,82

0,4976

1,43

0,4236

1,76

0,4608

2,18

0,4854

2,84

0,4977

1,44

0,4251

1,77

0,4616

2,20

0,4861

2,86

0,4979

1,45

0,4265

1,78

0,4625

2,22

0,4868

2,88

0,4980

1,46

0,4279

1,79

0,4633

2,24

0,4875

2,90

0,4981

1,47

0,4292

1,80

0,4641

2,26

0,4881

2,92

0,4982

1,48

0,4306

1,81

0,4649

2,28

0,4887

2,94

0,4984

1,49

0,4319

1,82

0,4656

2,30

0,4893

2,96

0,4985

1,50

0,4332

1,83

0,4664

2,32

0,4898

2,98

0,4986

1,51

0,4345

1,84

0,4671

2,34

0,4904

3,00

0,49865

1,52

0,4357

1,85

0,4678

2,36

0,4909

3,20

0,49931

1,53

0,4370

1,86

0,4686

2,38

0,4913

3,40

0,49966

1,54

0,4382

1,87

0,4693

2,40

0,4918

3,60

0,499841

1,55

0,4394

1,88

0,4699

2,42

0,4922

3,80

0,499928

1,55

0,4406

1,89

0,4706

2,44

0,4927

4,00

0,499968

1,57

0,4418

1,90

0,4713

2,46

0,4931

4,50

0,499997

1,58

0,4429

1,91

0,4719

2,48

0,4934

5,00

0,499997

1,59

0,4441

1,92

0,4726

2,50

0,4938

 

 

1,60

0,4452

1,93

0,4732

2,52

0,4941

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Әдебиеттер тізімі

 

1.     Бектаев Қ.Б. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. Алматы. Рауан. 1991. 432 б.

 

2.     Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика М., 1977 г.

 

3.     Горяинов В.Т., Журавлев А.Г., Тихонов В.И.  Статистическая     радиотехника.  М. Сов.Радио, 1980. - 544с.

 

4.     Жанбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика элементтері. Алматы, 1988ж.

 

5.     Қазешев А., Әбенов М., Қойлышов Ү. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика бойынша есептер жинағы.

 

6.     Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М. 1985г.

 

7.     Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М. 1982г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ Алмати енергетика және байланыс институты, 2004ж.

 

 

 

 

 

 

2004ж.Жиынтық жоспары, реті____

 

 

 

 

 

 

 

Үмбетқұл Құрманқұлүлы Қойлышов

 

 

 

 

 

Жоғары математка

 

КЕЗДЕЙСОҚ ПРОЦЕСТЕР

 

 

 

 

 

Редакторы     Ж.А. Байбураева

 

 

Басуға қол қойылды                    Пішімі

Тиражы            дана.                  №1 типография қағазы

Көлемі    оқу-басп.т.                    Тапсырыс______

 

 

 

 

 

Алмати енергетика жіне байланыс институтының

көшірмелі-көбейткішбюросы

480013 Алматы, А.Байтұрсынов к., 126