АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ

 

 

 

 

 

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА 2

Өрістер теориясының элементтері

Әдістемелік нұсқаулар және есептеу-графикалық жұмыстарға арналған тапсырмалар

 

(050718 -электр энергетика  мамандығының күндізгі бөлімде оқитын студенттері үшін)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2005

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Э.С.Есботаева, Р.Е.Ким. Математика 2. Өрістер теориясының элементтері . Есептеу-графикалық жұмыстарға арналған тапсырмалар мен әдістемелік нұсқаулар (050718 –Электр энергетика мамандығының күндізгі бөлімде оқитын студенттері үшін). – Алматы: АЭжБИ, 2005. – 31 б.

 

 

Әдістемелік нұсқаулар және есептеу-графикалық жұмыстарының тапсырмалары АЭжБИ: 050718 -электр энергетика мамандығының күндізгі бөлімде оқитын студенттеріне арналған математика курсының екінші семестр бағдарламасына сәйкес өрістер теориясының элементтері бөлімін қамтиды. Бағдарламаның негізгі сұрақтары келтірілген. Есептеу-графикалық тапсырмалар екі деңгейге бөлінген. Бірінші деңгей үшін шешімі берілген.

Бұл әдістемелік нұсқауларды 050717- жылу энергетика, 050719-радиотехника, электр энергетика және телекоммуникация мамандықтарының студенттері екінші оқу семестрінде «Математики 3» үшін ЕГЖ № 1 ретінде қолдануына болады.

 

 

 

          Пікір жазушы:физ.-мат.ғыл.канд.,АЭжБИ профессоры    С.Е.Базарбаева

 

 

 

Алматы энергетика және байланыс институтының 2005ж. жоспары бойынша басылды.

 

 

 

 

 

 ©  Алматы энергетика және байланыс институты, 2005 ж.
Типтік тапсырма. Өрістер теориясының элементтері

 

1 Теориялық сұрақтар

 

1.1 Скаляр өріс

1.1.1 Беттік деңгей.

1.1.2 Бағыт бойынша туынды.

1.1.3 Скаляр өрістің градиенті.

1.2  Векторлық өріс

1.2.1 Векторлық сызықтар.

1.2.2 Векторлық өрістің бет бойынша ағыны.

1.2.3 Векторлық өріс дивергенциясы. Остроградский-Гаусс формуласы.

1.2.4 Векторлық өріс циркуляциясы.

1.2.5 Векторлық өріс роторы (құйыны). Стокс формуласы.

1.2.6 Соленоидалды және потенциалды өрістер. Олардың қасиеттері.

 

2 Бірінші деңгейдің тапсырмалары

 

1 - есеп. скаляр өрісінің нүктесі арқылы өтетін беттік деңгейінің теңдеуін жазу керек.

 

2.1- кесте

Нұсқа

1

(1,2,0)

2

(0,-1,3)

3

(1,2,3)

4

(1,2,1)

5

(3,0, )

6

(1,2,0)

7

(1,0,-1)

8

(5,7,0)

9

(0,3,1)

10

( ,1,2)

11

(1,1,1)

12

(0,1,2)

13

(3,1,0)

14

(0,2,1)

15

(1,1,1)

16

(4,2,2)

17

(3,0,0)

18

(-1,1,2)

19

(2,1,0)

20

(-1,1,3)

21

(1,1,5)

22

(0,2,1)

23

(1,1,1)

24

(2,2,0)

25

(1,0,3)

26

(1,0,4)

27

(1,2,2)

28

(2,8,0)

29

(1,1,1)

30

(2,1,4)

 

2 - есеп.  функциясы және нүктелері берілген. Осы функцияның нүктесіндегі векторының бағыты бойынша туындысын табу керек.

 

2.2 - кесте

Нұсқа

1

(1,-1,2)

(3,4,-1)

2

(2,1,-1)

(4,-3,0)

3

(-1,2,1)

(3,1,-1)

4

(0,0,0)

(3,-4,2)

5

(-2,3,-1)

(2,1,-3)

6

(1,1,1)

(3,2,1)

7

(1,1,1)

(2,-1,3)

8

(3,0,-2)

(4,1,3)

9

(1,2,2)

(3,-1,4)

10

(1,1,1)

(9,-3,9)

11

(1,2,2)

(-3,2,-1)

12

(3,1,-1)

(-2,1,4)

13

(1,-1,2)

(5,-1,4)

14

(1,1,1)

(3,-5,1)

15

(1,2,1)

(-3,-2,6)

16

(1,3,0)

(-4,1,3)

17

(-4,-5,0)

(2,3,4)

18

(2,2,-4)

(1,0,-3)

19

(-2,-3,1)

(5,-2,0)

20

(-5,0,2)

(2,4,-3)

21

(3,1,4)

(1,-1,-1)

22

(1,2,-1)

(0,-1,3)

23

(1,5,0)

(3,7,-2)

24

(0,-2,-1)

(12,-5,0)

25

(-1,2,-2)

(2,0,1)

26

(1,1,1)

(5,-4,8)

27

(-1,1,1)

(2,3,4)

28

(1,3,-5)

(4,2,-2)

29

(2,2,2)

(-3,4,1)

30

(1,0,3)

(2,-4,5)

 

3 – есеп. функциясының нүктесіндегі ең үлкен өзгеру бағытын және оның шамасын табу керек.

 

2.3 - кесте

Нұсқа

1

(0,1,-2)

2

(2,0,2)

3

(1,-1,0)

4

(3,0,1)

5

(-1,0,3)

6

(2,1,0)

7

(0,1,1)

8

(0,-2,1)

9

(0,1,2)

10

(-1,0,1)

11

(1,2,0)

12

(-3,1,0)

13

(1,0,4)

14

(0,-1,2)

15

(-1,0,1)

16

(2,1,0)

17

(0,1,1)

18

(-1,1,0)

19

(2,1,0)

20

(-1,0,1)

21

(0,2,-1)

22

(1,2,0)

23

(1,1,1)

24

(-2,0,1)

25

(1,-1,0)

26

(0,-2,1)

27

(1,0,2)

28

(1,1,1)

29

(0,1,2)

30

(1,0,1)

 

4-есеп. векторлық өрісінің  нүктесіндегі циркуляцияның ең үлкен тығыздығын табу керек.

 

2.4 - кесте

Нұсқа

1

(0,1,-2)

2

(2,0,3)

3

(1,-2,0)

4

(3,0,1)

5

(-1,0,3)

6

(2,1,-1)

7

(-2,1,1)

8

(0,1,1)

9

(0,-2,1)

10

(0,1,2)

11

(-1,2,1)

12

(1,-1,1)

13

(2,1,0)

14

(4,0,1)

15

(-3,0,2)

16

(1,0,4)

17

(0,-1,4)

18

(2,2,2)

19

(4,1,-3)

20

(-4,1,0)

21

(3,0,1)

22

(1,3,0)

23

(1,-2,1)

24

(0,0,1)

25

(1,1,-2)

26

(2,2,1)

27

(-2,2,1)

28

(-1,2,1)

29

(0,2,-2)

30

(1,-1,0)

 

5-есеп. векторлық өрісі соленоидалды, потенциалды, гармониялық болатындығын анықтау керек.

 

2.5 - кесте

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

6-есеп. Стокс формуласын пайдаланып,  векторлық өрісінің  жазықтығы және координат жазықтықтарының қиылысуынан пайда болған үшбұрыш контуры бойынша циркуляциясын табу керек (бағыты берілген жазықтықтармен шектелген пирамиданың сыртқы бетінің нормалімен оң бағыттас). Сызбасын жасау керек.

 

 

2.6 - кесте

Нұсқа

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

7-есеп. Параметрлік түрде берілген L: сызығы бойынша   векторлық өрісінің жұмысын есептеу керек.

 

2.7 - кесте

Нұсқа

1

2

2

3

4

4

3

5

2

6

1

7

2

8

5

9

1

10

2

11

5

12

2

13

2

14

4

15

2

16

17

7

18

1

19

3

20

5

21

2

22

2

23

2

24

2

25

2

26

2

27

3

28

4

29

2

30

5

 

8-есеп. жазықтығының бірінші октантадағы беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек ( жазықтықтың нормалі Oz осімен сүйір бұрыш жасайды).

 

2.8 - кесте

Нұсқа

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

9-есеп. Остроградский- Гаусс формуласын пайдаланып, жазықтығы және координат жазықтықтарынан пайда болған пирамиданың сыртқы беті арқылы өтетін векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

 

 

 

2.9 - кесте

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

10 - есеп. векторлық өрісінің потенциалдығын көрсету керек және осы

потенциалды табу керек .

 

2.10 - кесте

Нұсқа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

3 Екінші деңгейдің тапсырмалары

1 - есеп.  скаляр өрісінің нүктесіндегі  бетінің нормалі бағытындағы туындысын табу керек ( бетінің нормалі Oz осімен сүйір бұрыш жасайды).

 

3.1 - кесте

Нұсқа

1

 

(1,1,1)

2

(2,4,4)

3

(1,1,1)

4

 

 

5

(2,2,4)

6

(2,1,1)

7

 

(1,1,1)

8

(2,2,-1)

9

(1,-2,4)

10

(3,4,1)

11

(1,1,-2)

12

 

(1,1,0)

13

 

(0,-3,4)

14

(3,0,-4)

15

 

(1,1,1)

16

(2,2,4)

17

(3,4,1)

18

 

(3,2,1)

19

 

(1,1,-2)

20

 

(1,1,0)

21

( )

22

(1,1,2)

23

(3,4,1)

24

(2,2,-1)

25

(2,1,1)

26

 

(1,1,1)

27

 

(1,1,0)

28

(2,2,4)

29

(2,1,1)

30

(1,1,0)

 

2 - есеп. Остроградский формуласын пайдаланып, тұйық беті бойынша (сыртқы нормаль)   векторлық өрісінің ағынын табу керек.

 

3.2 - кесте

Нұсқа

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

5

 

 

6

 

7

 

8

 

9

 

 

10

11

 

 

12

 

13

 

14

 

15

 

16

 

17

 

18

 

19

20

21

 

22

 

 

23

 

24

25

26

27

28

29

30

 

3-есеп. L сызығының бойындағы M нүктесінен N нүктесіне орын ауысқандағы  күшінің жұмысын табу керек.

 

3.3 - кесте

Нұсқа

L

M

N

1

 

M N кесіндісі

(-4,0)

(0,2)

2

M N кесіндісі

(-4,0)

(0,2)

3

(-4,0)

(0,2)

4

 

 

(2,0)

(-2,0)

5

 

(2,0)

(0,2)

6

 

(-1,1)

(1,1)

7

 

M N кесіндісі

(-1,0)

(0,1)

8

 

(3,0)

(-3,0)

9

 

(1,0)

(0,3)

10

 

 

(1,0)

(-1,0)

11

(2,0)

(0,0)

12

 

13

 

(1,0)

(0,1)

14

 

 

15

(R,0)

(-R,0)

16

 

(1,0)

(-1,0)

17

(2,0)

(0,2)

18

(4,0)

(0,4)

19

 

 

(3,0)

(0,3)

20

 

M N кесіндісі

(1,0)

(0,1)

21

 

M N кесіндісі

(2,0)

(0,2)

22

(3,0)

(0,3)

23

(3,0)

(-3,0)

24

 

(0,0)

25

 

 

(0,0)

(1,2)

26

 

M N кесіндісі

(1,0)

(0,3)

27

(0,0)

(1,2)

28

(1,0)

(0,3)

29

(0,0)

(2,8)

30

(3,0)

(-3,0)

 

4 - есеп. Г контуры бойынша    векторлық өрісінің циркуляциясын табу керек  (t-ның өсу бағытымен).

 

 

 

3.4 - кесте

Нұсқа

Г

1

 

 

2

 

3

4

 

5

 

6

 

 

7

 

 

8

 

9

 

 

10

 

 

11

12

13

 

14

 

15

 

16

 

17

 

18

 

19

 

 

20

 

21

 

22

 

 

23

24

25

 

 

26

27

28

29

30

 

 

4  Кейбір типтік тапсырмаларды шығаруға арналған нұсқаулар

 

4.1  скаляр өрісінің    нүктесі арқылы өтетін беттік деңгейінің теңдеуін жазу керек .

 

Шешімі:

Беттік деңгейдің анықтамасы бойынша , мұндағы .

Ал  нүктесі арқылы өтетін  скаляр өрісінің беттік деңгейінің теңдеуі теңдеуімен анықталады, мұндағы .

Мұндай жағдайда: , демек, . Олай болса, беттік деңгейдің теңдеуі: .

4.2 функциясы және  нүктелері берілген. Осы функцияның  нүктесіндегі векторының бағыты бойынша туындысын табу керек.

 

Шешімі:  

функциясының  нүктесіндегі    векторы бойынша туындысы: формуласымен табуға болады,  

мұндағы  – векторымен бағыттас бірлік вектор (бағыттаушы косинустар), яғни .

Дербес туындыларды және бағыттаушы косинустарды табайық

 

,     ,

.

Олай болса,     .

 

4.3  функциясының  нүктесіндегі ең үлкен өзгеру бағытын және оның шамасын табу керек .

 

 

Шешімі :

 векторының физикалық мағынасы бойынша ең үлкен өзгеріс бағыты осы вектормен бағыттас және шамасы  ұзындығына тең.

Анықтама бойынша

. 

Дербес туындыларды табайық

,

,    .

 Олай болса,   ,         .

 

4.4  векторлық өрісінің   нүктесіндегі циркуляцияның ең үлкен тығыздығын табу керек.

 

Шешімі:

 векторлық өрісінің М0 нүктесіндегі ең үлкен тығыздығы ротор бағытымен анықталады және сандық мәні  -ге тең.

 векторлық өрісінің М0 нүктесіндегі роторын табайық :

 

4.5  векторлық өрісі  соленоидалды, потенциалды, гармониялық болатындығын анықтау керек.

 

Шешімі :

Егер   векторлық өрісінің кез-келген нүктесінде

   теңдігі орындалса, онда соленоидалды өріс болады.

Егер    векторлық өрісінің кез-келген нүктесінде

   теңдігі орындалса, онда потенциалды  өріс болады .

Егер    векторлық өрісі және  шарттарын қанағаттандырса, онда ,  гармониялық өріс деп аталады.

  , екенін ескерсек:

, сондықтан  өрісі соленоидалды емес.

яғни  векторлық өрісі- потенциалды өріс.

 

4.6 Стокс формуласын пайдаланып,  векторлық өрісінің 3x+2y+6z=6 теңдеуімен берілген  (р) жазықтығы және координат жазықтықтарының қиылысуынан пайда болған үшбұрыш контуры бойынша циркуляциясын табу керек (бағыты берілген жазықтықтармен шектелген пирамиданың сыртқы бетінің нормалімен оң бағыттас). Сызбасын жасау керек.

 

Шешімі:

Стокс формула бойынша, ,

мұндағы  С – 3x+2y+6z=6 жазықтығында жатқан және төбелері Ox, Oy, Oz осьтерінде орналасқан   MNP үшбұрышының контуры, яғни үшбұрыштың төбелерінің координаттары  M (2,0,0), N (0,3,0), P (0,0,1) болады. 

S – ΔMNP

Dyz – ΔPON

Dzx – ΔMOP

Dxy – ΔMON

 

 

Осы векторлық өрістің роторын табайық

Демек,

 

 

4.7 векторлық өрісінің                                      

L: сызығы бойынша жұмысын есептеу керек.

 

Шешімі :

 векторлық өрісінің  L сызығы бойынша жұмысын   қисық сызықты интегралымен есептейді.

Олай болса,

 

 

4.8 x+4y+z=4 теңдеуімен берілген (р) жазықтығының бірінші октантадағы беті арқылы өтетін     векторлық өрісінің ағынын есептеу керек (жазықтықтың нормалі Oz осімін сүйір бұрыш жасайды).

 

Шешімі:

 (р) жазықтығының теңдеуін «кесінді» арқылы жазайық: . Олай болса, қарастырып отырған (р) жазықтығының S бөлігі төбелері М (4,0,0),

N (0,1,0), P (0,0,4) болатын үшбұрыш жасайды.

 

 

            

S – ΔMNP

Dz – ΔPON

Dzx – ΔMOP

Dxy – ΔMON

 

 

x+4y+z–4=0 жазықтығының бізге қажетті бағыттағы нормалінің бірлік векторы: , яғни  түрінде болады.

Сонда: .

Берілген     векторлық өрісі және ағынның анықтамасы бойынша:

 

 

4.9 Остроградский-Гаусс формуласын пайдаланып, (p): x–2y+2z=4 жазықтығы және координат жазықтарынан пайда болған пирамиданың сыртқы беті арқылы өтетін      векторлық өрісінің ағынын есептеу керек.

 

Шешімі:

 (р)  жазықтығының теңдеуін «кесінді» арқылы жазсақ , қарастырып отырған пирамиданың төбелерін аламыз: M (4,0,0), N (0,-2,0), P (0,0,2),О (0,0,0).

                              

MNPO пирамидасының беті арқылы өтетін ағынды Остроградский-Гаусс формуласымен есептейік: . Бұл векторлық өріс үшін .

 

Дербес туындыларды табайық: .

Олай болса,   

 интегралы  MNPO тікбұрышты пирамиданың көлеміне тең болғандықтан,

.

4.10  векторлық өрісінің потенциалдығын көрсету керек және осы потенциалды табу керек.

 

 

Шешімі:

екендегін, яғни өріс құйынсыз, яғни, потенциалды екенін көрсетеміз.

Шынында да, болғандықтан

 потенциалды    формуласы бойынша табамыз.

Сонда   Бастапқы нүкте ретінде  нүктесін алдық.

 

Әдебиеттер тізімі

 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003.-ч.2-416 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч./А.П.Рябушко, В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть/Под ред. А.П.Рябушко.-Минск: Вышэйшая школа, 1991.-ч.3.-288 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-175 с.

 

 

 

 

 

 

 

Мазмұны

 

 

 

1 Теориялық сұрақтар…...………………....………..….…..………………………….3

2 Бірінші деңгейдің тапсырмалары.………..……..……...……………………………3

3 Екінші деңгейдің тапсырмалары .……..……..……….……………………………16

4 Кейбір типтік тапсырмаларды шығаруға арналған нұсқаулар…………………..23

Әдебиеттер тізімі …………..……………………..……………………..…………....32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2005ж. негізгі жоспары, реті 88

 

 

Эльмира Султанмуратовна Есботаева

Регина Евгеньевна Ким

 

МАТЕМАТИКА 2

Өрістер теориясының элементтері

Есептеу-графикалық жұмыстарға арналған тапсырмалар мен әдістемелік нұсқаулар

(050718-электр энергетика мамандығының күндізгі бөлімде оқитын студенттері үшін)

 

 

 

 

 

 

 

Редакторы  Ж.А.Байбураева

 

 

 

Басуға қол қойылды ___.___.___.                       Пішімі 60х84  1/16

Тиражы 150  дана                                                 № 1 типография қағазы

Көлемі          оқу-басп.т.                                      Тапсырыс _____. Бағасы 66 т.

 

 

 

 

Алматы энергетика және байланыс институтының

көшірмелі-көбейткіш бюросы

050013 Алматы,  Байтұрсынұлы көшесі, 126