АЛМАТИНСКИЙ  ИНСТИТУТ  ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

 

 

 

 

Кафедра высшей математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА 2

Элементы теории поля

Методические указания и задания к расчетно-графической работе

 

(для студентов очной формы обучения специальности 050718 –

Электроэнергетика)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2005

СОСТАВИТЕЛЬ: Р.Е.Ким. Математика 2. Элементы теории поля. Методические указания и задания к расчетно-графической работе (для студентов очной формы обучения специальности 050718-Электроэнергетика). – Алматы: АИЭС, 2005. – 31 с.

 

 

 

Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат раздел программы второго семестра курса математики для студентов очной формы обучения специальности 050718-Электроэнергетика. Элементы теории поля. Приведены основные вопросы программы. Расчетные задания разделены на два уровня сложности. Для первого уровня дано решение типового варианта.

Эти  методические указания могут быть использованы студентами специальностей 050717-Теплоэнергетика и 050719-Радиотехника, электроника и телекоммуникации в качестве РГР №1 «Математики 3» во втором семестре обучения.

 

 

 

Рецензент: канд.физ.-мат.наук, профессор АИЭС             С.Е.Базарбаева

 

 

 

 

 

 

Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2005 г.

 

 

 

 

 

 ©  Алматинский институт энергетики и связи, 2005 г.

 

1 Теоретические вопросы

 

1.1 Скалярное поле

1.1.1 Поверхности уровня.

1.1.2 Производная по направлению.

1.1.3 Градиент скалярного поля.

1.2  Векторное поле

1.2.1 Векторные линии.

1.2.2 Поток векторного поля через поверхность.

1.2.3 Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса.

1.2.4 Циркуляция векторного поля.

1.2.5 Ротор (вихрь) векторного поля. Формула Стокса.

1.2.6 Соленоидальные и потенциальные поля. Их свойства.

 

 

 

2 Задания первого уровня

 

Задание 1. Найти уравнение поверхности уровня скалярного поля , проходящей через точку .

 

Таблица 2.1

Вариант

1

(1,2,0)

2

(0,-1,3)

3

(1,2,3)

4

(1,2,1)

5

(3,0,)

6

(1,2,0)

7

(1,0,-1)

8

(5,7,0)

9

(0,3,1)

10

(,1,2)

11

(1,1,1)

12

(0,1,2)

13

(3,1,0)

14

(0,2,1)

15

(1,1,1)

16

(4,2,2)

17

(3,0,0)

18

(-1,1,2)

19

(2,1,0)

20

(-1,1,3)

21

(1,1,5)

22

(0,2,1)

23

(1,1,1)

24

(2,2,0)

25

(1,0,3)

26

(1,0,4)

27

(1,2,2)

28

(2,8,0)

29

(1,1,1)

30

(2,1,4)

 

Задание 2. Дана функция  и точки  Вычислить производную этой функции в точке  по направлению вектора .

 

Таблица 2.2

Вариант

1

(1,-1,2)

(3,4,-1)

2

(2,1,-1)

(4,-3,0)

3

(-1,2,1)

(3,1,-1)

4

(0,0,0)

(3,-4,2)

5

(-2,3,-1)

(2,1,-3)

6

(1,1,1)

(3,2,1)

7

(1,1,1)

(2,-1,3)

8

(3,0,-2)

(4,1,3)

9

(1,2,2)

(3,-1,4)

10

(1,1,1)

(9,-3,9)

11

(1,2,2)

(-3,2,-1)

12

(3,1,-1)

(-2,1,4)

13

(1,-1,2)

(5,-1,4)

14

(1,1,1)

(3,-5,1)

15

(1,2,1)

(-3,-2,6)

16

(1,3,0)

(-4,1,3)

17

(-4,-5,0)

(2,3,4)

18

(2,2,-4)

(1,0,-3)

19

(-2,-3,1)

(5,-2,0)

20

(-5,0,2)

(2,4,-3)

21

(3,1,4)

(1,-1,-1)

22

(1,2,-1)

(0,-1,3)

23

(1,5,0)

(3,7,-2)

24

(0,-2,-1)

(12,-5,0)

25

(-1,2,-2)

(2,0,1)

26

(1,1,1)

(5,-4,8)

27

(-1,1,1)

(2,3,4)

28

(1,3,-5)

(4,2,-2)

29

(2,2,2)

(-3,4,1)

30

(1,0,3)

(2,-4,5)

 

Задание 3. Найти величину и направление наибольшего изменения функции  в точке .

 

Таблица 2.3

Вариант

1

(0,1,-2)

2

(2,0,2)

3

(1,-1,0)

4

(3,0,1)

5

(-1,0,3)

6

(2,1,0)

7

(0,1,1)

8

(0,-2,1)

9

(0,1,2)

10

(-1,0,1)

11

(1,2,0)

12

(-3,1,0)

13

(1,0,4)

14

(0,-1,2)

15

(-1,0,1)

16

(2,1,0)

17

(0,1,1)

18

(-1,1,0)

19

(2,1,0)

20

(-1,0,1)

21

(0,2,-1)

22

(1,2,0)

23

(1,1,1)

24

(-2,0,1)

25

(1,-1,0)

26

(0,-2,1)

27

(1,0,2)

28

(1,1,1)

29

(0,1,2)

30

(1,0,1)

 

Задание 4. Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля  в точке .

 

Таблица 2.4

Вариант

1

(0,1,-2)

2

(2,0,3)

3

(1,-2,0)

4

(3,0,1)

5

(-1,0,3)

6

(2,1,-1)

7

(-2,1,1)

8

(0,1,1)

9

(0,-2,1)

10

(0,1,2)

11

(-1,2,1)

12

(1,-1,1)

13

(2,1,0)

14

(4,0,1)

15

(-3,0,2)

16

(1,0,4)

17

(0,-1,4)

18

(2,2,2)

19

(4,1,-3)

20

(-4,1,0)

21

(3,0,1)

22

(1,3,0)

23

(1,-2,1)

24

(0,0,1)

25

(1,1,-2)

26

(2,2,1)

27

(-2,2,1)

28

(-1,2,1)

29

(0,2,-2)

30

(1,-1,0)

 

Задание 5. Выяснить, является ли векторное поле  соленоидальным, потенциальным, гармоническим.

 

Таблица 2.5

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 6. Используя формулу Стокса, найти циркуляцию векторного поля  по контуру треугольника, образованного пересечением плоскости  с координатными плоскостями в положительном направлении относительно вектора  внешней нормали к поверхности пирамиды, образованной указанными плоскостями. Сделать чертеж.

 

Таблица 2.6

Вариант

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 7. Вычислить работу векторного поля  вдоль кривой L, заданной  параметрически:  

Таблица 2.7

Вариант

1

2

2

3

4

4

3

5

2

6

1

7

2

8

5

9

1

10

2

11

5

12

2

13

2

14

4

15

2

16

17

7

18

1

19

3

20

5

21

2

22

2

23

2

24

2

25

2

26

2

27

3

28

4

29

2

30

5

 

Задание 8. Найти поток векторного поля  через часть плоскости , расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

 

Таблица 2.8

Вариант

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

Задание 9. Вычислить поток векторного поля  через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскость  с координатными плоскостями, с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

 

Таблица 2.9

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 10. Показать, что векторное поле  является потенциальным, и найти потенциал этого поля.

 

Таблица 2.10

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

3 Задания второго уровня

 

Задание 1. Найти производную скалярного поля  в точке  по направлению нормали к поверхности , образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.

 

Таблица 3.1

Вариант

1

 

(1,1,1)

2

(2,4,4)

3

(1,1,1)

4

 

 

5

(2,2,4)

6

(2,1,1)

7

 

(1,1,1)

8

(2,2,-1)

9

(1,-2,4)

10

(3,4,1)

11

(1,1,-2)

12

 

(1,1,0)

13

 

(0,-3,4)

14

(3,0,-4)

15

 

(1,1,1)

16

(2,2,4)

17

(3,4,1)

18

 

(3,2,1)

19

 

(1,1,-2)

20

 

(1,1,0)

21

()

22

(1,1,2)

23

(3,4,1)

24

(2,2,-1)

25

(2,1,1)

26

 

(1,1,1)

27

 

(1,1,0)

28

(2,2,4)

29

(2,1,1)

30

(1,1,0)

 

Задание 2. Найти поток векторного поля  через замкнутую поверхность  (нормаль внешняя) по формуле Остроградского.

 

Таблица 3.2

Вариант

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

5

 

 

6

 

7

 

8

 

9

 

 

10

11

 

 

12

 

13

 

14

 

15

 

16

 

17

 

18

 

19

20

21

 

22

 

 

23

 

24

25

26

27

28

29

30

 

Задание 3. Найти работу силы  при перемещении вдоль линии L от точки M к точке N.

 

Таблица 3.3

Вариант

L

M

N

1

 

отрезок M N

(-4,0)

(0,2)

2

отрезок M N

(-4,0)

(0,2)

3

(-4,0)

(0,2)

4

 

 

(2,0)

(-2,0)

5

 

(2,0)

(0,2)

6

 

(-1,1)

(1,1)

7

 

отрезок M N

(-1,0)

(0,1)

8

 

(3,0)

(-3,0)

9

 

(1,0)

(0,3)

10

 

 

(1,0)

(-1,0)

11

(2,0)

(0,0)

12

 

13

 

(1,0)

(0,1)

14

 

 

15

(R,0)

(-R,0)

16

 

(1,0)

(-1,0)

17

(2,0)

(0,2)

18

(4,0)

(0,4)

19

 

 

(3,0)

(0,3)

20

 

отрезок M N

(1,0)

(0,1)

21

 

отрезок M N

(2,0)

(0,2)

22

(3,0)

(0,3)

23

(3,0)

(-3,0)

24

 

(0,0)

25

 

 

(0,0)

(1,2)

26

 

отрезок M N

(1,0)

(0,3)

27

(0,0)

(1,2)

28

(1,0)

(0,3)

29

(0,0)

(2,8)

30

(3,0)

(-3,0)

 

Задание 4. Найти циркуляцию векторного поля  вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).

 

 

Таблица 3.4

Вариант

Г

1

 

 

2

 

3

4

 

5

 

6

 

 

7

 

 

8

 

9

 

 

10

 

 

11

12

13

 

14

 

15

 

16

 

17

 

18

 

19

 

 

20

 

21

 

22

 

 

23

24

25

 

 

26

27

28

29

30

 

 

4 Указания к решению некоторых типовых заданий

 

4.1 Найти уравнение поверхности уровня скалярного поля , проходящей через точку .

 

Решение.

Согласно определению поверхности уровня определяются уравнениями , где .

В частности, поверхность уровня скалярного поля , проходящая через точку , определяется уравнением , где .

В нашем случае , следовательно, . Таким образом, уравнение поверхности уровня имеет вид       .

 

4.2 Дана функция и точки . Вычислить производную этой функции в точке  по направлению вектора .

 

Решение.  

Производная функции  в точке по направлению вектора  находится по формуле      ,

где  – единичный вектор (направляющие косинусы), совпадающий по направлению с вектором , т.е. .

Найдем частные производные и направляющие косинусы:

 

,     ,

.

Таким образом,     .

 

4.3 Найти величину и направление наибольшего изменения функции  в точке .

 

Решение.

Исходя из физического смысла вектора , имеем:  дает направление наибольшего изменения функции в точке М0 , а его длина  равна величине этого наибольшего изменения.

По определению

. 

Найдем частные производные:

,

,    .

 Таким образом,   ,         .

 

4.4 Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля  в точке .

 

Решение.

Наибольшая плотность циркуляции векторного поля  в точке М0 достигается в направлении ротора и численно равна .

Найдем ротор векторного поля  в точке М0:

 

4.5 Выяснить, является ли векторное поле  соленоидальным, потенциальным, гармоническим.

 

 

Решение.

Векторное поле  является соленоидальным, если в каждой его точке .

Векторное поле  является потенциальным, если в каждой его точке .

Векторное поле , удовлетворяющее условиям  и , называется гармоническим.

 Учитывая, что , имеем:

, поэтому поле  не является соленоидальным.

т.е. векторное поле   потенциальное.

 

4.6 Используя формулу Стокса, найти циркуляцию векторного поля  по контуру треугольника, образованного пересечением плоскости (р), заданной уравнением  3x+2y+6z=6, с координатными плоскостями в положительном направлении относительно вектора  внешней нормали к поверхности пирамиды, образованной указанными плоскостями. Сделать чертеж.

 

Решение.

Согласно формуле Стокса   .

Здесь С – контур треугольника MNP, лежащего в плоскости 3x+2y+6z=6 с вершинами, расположенными на осях координат Ox, Oy, Oz.

Т.е. координаты вершин треугольника таковы: M (2,0,0), N (0,3,0), P (0,0,1). 

Найдем ротор данного векторного поля

Следовательно,

 

 

4.7 Вычислить работу векторного поля           

вдоль кривой L:

 

Решение.

Работу векторного поля  вдоль кривой L представляет криволинейный интеграл .

Таким образом,

 

 

4.8 Найти поток векторного поля  через часть плоскости (р), заданной уравнением x+4y+z=4, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz).

 

Решение.

Уравнение плоскости (р) сведем к виду уравнения «в отрезках» . Таким образом, изучаемая часть S плоскости (р) представляет собой треугольник с вершинами M (4,0,0), N (0,1,0), P (0,0,4).

 

 

            

 

 Единичный вектор нормали к плоскости x+4y+z–4=0, обеспечивающий требуемое направление ориентации поверхности, имеет вид: , т.е. 

Имеем     .

Для данного векторного поля  и по определению потока получаем

 

 

4.9 Вычислить поток векторного поля  через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p): x–2y+2z=4 и координатными плоскостями, с помощью формулы Остроградского-Гаусса.

 

Решение.

Исходя из уравнения плоскости (р) «в отрезках»  , получаем координаты вершин исследуемой пирамиды: M (4,0,0), N (0,-2,0), P (0,0,2),

О (0,0,0).

                             

Вычислим поток через поверхность пирамиды MNPO по формуле Остроградского-Гаусса: . Для данного векторного поля   .

Находим   .

Таким образом,   

Т.к. интеграл  равен объему прямоугольной пирамиды MNPO, то

.

4.10 Показать, что векторное поле

является потенциальным, и найти потенциал этого поля.

 

Решение.

Покажем, что , т.е. поле безвихревое, а следовательно, и потенциальное.

Действительно, т.к. , то

Потенциал  вычислим по формуле ,

т.е.   Здесь в качестве начальной точки взята точка .

Список литературы

 

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2003.-ч.2.-416 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч. /А.П.Рябушко, В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть/ Под ред. А.П.Рябушко.-Минск: Вышэйшая школа, 1991.-ч.3.-288 с.

3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-175 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

1 Теоретические вопросы ……………….. ………..….…..………………………….3

2 Задания первого уровня ………………………..……...……………………………3

3 Задания второго уровня .……………………..……………………………………16

4 Указания к решению некоторых типовых заданий .………………..……………23

Список литературы ……………………………………………………..…………....31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сводный план 2005г.,поз.87

 

 

 

Регина Евгеньевна Ким

 

МАТЕМАТИКА 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Методические указания и задания к расчетно-графической работе

(для студентов очной формы обучения специальности 050718 –

Электроэнергетика)

 

 

 

 

 

 

 

 

Редактор Ж.М. Сыздыкова

 

 

 

Подписано в печать ___.___.___.                       Формат 60х84  1/16

Тираж 150 экз.                                                      Бумага типографская № 1

Объем   2,0   уч.-изд.л.                                          Заказ _____. Цена  64 т.

 

 

 

Копировально-множительное бюро

Алматинского института энергетики и связи

050013, Алматы, Байтурсынова, 126