С. Ералиев
МАТЕМАТИКА
Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған
АНЫҚТАМАЛЫҚ
Алматы
2005
ҚҰРАСТЫРУШЫ: С.Е.Ералиев
Математика. Мектеп оқушылары мен жоғары оқу орындарына
түсушілерге арналған анықтамалық– Алматы: АЭжБИ, 2005ж.
75 бет.
Анықтамалық құрамына орта
мектепті бітірушілер мен жоғары оқу орындарына түсушілерге
арналған элементарлық математиканың негізгі
ұғымдары мен формулалары енген. Оны математика сабақтары мен
өзіндік дайындық үшін пайдаланған дұрыс.
Пікір жазған:
физ.-мат.ғыл.кандидаты
проф., С.Е. Базарбаева
Алматы
энергетика және байланыс институтының 2005 жылғы жоспары бойынша басылды.
© Алматы
энергетика және байланыс институты, 2005 ж
АРИФМЕТИКА,
АЛГЕБРА
1. Сандардың қасиеттері
1. а + b = b + а.
2. (а + b) + с = а + (b + с).
3. а× b = b× а.
4. (аb)с = а(bс).
5. а(b + с) = аb + ас.
6. а + 0 = а.
7. а +(-а) = 0.
8. а - b = а+(-b).
9. а×1 = а.
10.
а× 0 = 0.
11.
- а = (-1)×а.
2. Арифметикалық амалдар
3. Теріс сандарға қолданылатын амалдар
4. Пропорция
¬ пропорция ®
- негізгі қасиеттері
- пропорцияларды
шешу.
- кеңейтілген пропорция.
5. Қарапайым бөлшектерге қолданылатын амалдар
6.Қысқаша көбейту формулалары
7. Дәрежелерге
қолданылатын амалдар
6.
8. Түбірге қолданылатын амалдар
-теріс емес
9.Санның модулі
Модульдің қасиеттері:
10. Сызықтық теңдеулер
- сызықтық теңдеудің түрі.
Немесе: бірінші дәрежелі
теңдеу.
-
теңдеудің түбірі, а ¹ 0;
х - кез келген сан, егер а =
0, b = 0;
11.Квадраттық теңдеулер
- толық квадраттық
теңдеудің қалыпты түрі (2- дәрежелі
теңдеу).
- дискриминант.
теңдеу-
дің
түбірі
-
Толық емес квадраттық теңдеулер
Шешуі:
12. Виета теоремасы
13. Квадраттық үшмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу
Мұндағы -
үшмүшеліктердің түбірі
14. Негізгі элементарлық функциялардың графиктері
Сызықтық функция
k = tgj - бұрыштық коэффициент.
y
j b
x
Квадраттық
функция
У У
……….
Х Х
|
Дербес жағдайлары:
У У
Х Х
c
Кубтық
функция
у -
кубтық парабола
y - парабола x o а > 0 |
Кері
пропорционалдық
У
- гипербола
Х
Функция
У
- парабола
Х
Көрсеткіштік функция
У У
a > 1
0 < a < 1
1 1
х х
о
о
Логарифмдік
функция
У у
a > 1 0 < a < 1
х х
о 1 о 1
логарифмдік
қисық
15. Санның логарифмі
Û
логарифмнің анықталу аймағы.
негізі а ға
тең х-ң логарифмі.
ондық
логарифм,
натуралдық логарифм.
- негізгі логарифмдік тепе-теңдік.
Логарифмнің қасиеттері:
16. Логарифмдеу және дәрмендеу
ЛОГАРИФМДЕУ |
ДӘРМЕНДЕУ |
1.a = b
Þ log a = log b 2.log
a×b = log a +
log b 3. 4. 5. |
log
a = log b Þ a = b loga +
log b = log a×b |
Ескерту. Кестедегі логарифмдердің негіздері
бірдей етіп алынады.
17. Негіздері тең емес логарифмдердің
арасындағы байланыс
18. Арифметикалық прогрессия
(ілгерілеме)
- арифметикалық
прогрессия.
а1 - прогрессияның 1-мүшесі,
d
- прогрессияның айырымы.
-жалпы мүшенің формуласы
- алғашқы n мүшенің қосындысының формуласы,
-
мүшелердің қасиеті.
19.Геометриялық прогрессия
-
геометриялық прогрессия
а1 - бірінші мүше,
q -
прогрессияның еселігі.
- жалпы
мүшенің формуласы,
-
алғашқы n мүшенің қосындысының формуласы,
- шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның
қосындысының формуласы,
- мүшелерінің қасиеті.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
1. Бұрыштарды өлшеу
Егер бұрыштың қабырғалары
түзуді құраса, онда мұндай бұрыш жазық
бұрыш деп аталады.
Жазық
бұрыштың 1/180 бөлігі бір градусты (1°) құрайды.
Бұрыштарды өлшеу үшін радианды
пайдалануға болады. Бір радиандық бұрыш деп
ұзындығы шеңбердің радиусына тең болатын
шеңбердің бөлігіне
тірелетін орталық бұрышты айтады.
R 0
(рад.)-градустық О
R
өлшемнен радиандық өлшемге көшу.
(град.)- радиандық өлшемнен градустық
өлшемге көшу.
2.Сүйір бұрыштың тригонометриялық функцияларын анықтау
В с a А b С |
Тік бұрышты
үшбұрыштың сүйір бұрышының синусы
деп осы бұрышқа қарсы жатқан катеттің
гипотенузаға қатынасын айтады.
Тік бұрышты
үшбұрыштың сүйір бұрышының косинусы
деп осы бұрышқа іргелес жатқан катеттің
гипотенузаға қатынасын айтады.
Сүйір
бұрыштың тангенсі деп осы бұрышқа қарсы
жатқан катеттің іргелес жатқан катетке қатынасын айтады.
Сүйір бұрыштың котангенсі
деп осы бұрышқа іргелес жатқан катеттің қарсы
жатқан катетке қатынасын айтады.
3. .Кез келген бұрыштың тригонометрия-лық функцияларын анықтау
У
b
М(а,b)
x
Х
|
|
|
|
4. Тригонометриялық функциялардың ширектердегі таңбалары
sin
x cos x
+ + - +
- - -
+
tg
x және ctg x
- +
+ -
5. Тригонометриялық функциялардың
периодтылығы
- функцияның периодтылығының жалпы анықтамасы,
Т - функцияның периоды.
sin( x + 2p) = sin x |
cos(
x + 2p)
= cos x |
tg(
x + p)
=
tg x |
ctg(
x +p) = ctg x |
6. Тригонометриялық функциялардың жұптылығы және тақтылығы
f(-x)= f(x) - жұптылығы |
f(-x)= -f(x)– тақтылығы |
Егер аргументтің таңбасы ауысқанда функцияның таңбасы ауыспаса, онда функция жұп функция деп аталады.
Егер аргументтің таңбасы ауысқанда функция таңбасын кері таңбаға ауыстырса, онда функция тақ функция деп аталады.
sin(-x) = - sin x |
tg(-x) = - tg x |
cos(-x) = cos x |
ctg(-x) = - ctg x |
7. Тригонометриялық функциялардың
графиктері
8. Негізгі тригонометриялық тепе-теңдіктер
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Бұрыштардың қосындысының және айырымының тригонометриялық функциялары
|
|
|
|
10. Келтіру формулалары
Келтіру формулалары
бұрыштарының тригонометриялық функцияларын a
бұрышы арқылы өрнектейді. Ол
үшін
төмендегі ережені пайдаланамыз:
1)
(p/2 ± a) және (3p/2 ± a) бұрыштарынан бұрышына
көш-кенде олардың функциялары ұқсас
функцияларға ауысады, ал (p ± a) және(2p ± a) бұрыштарынан a-ға көшкенде олардың функциялары сақталады. 2)
a бұрышын сүйір
бұрыш деп санап, оның функциясының таңбасын (p/2 ± a), (p ± a), (3p/2 ± a),(2p ± a)
бұрыштарының функцияларының
таңбалары арқылы анықтайды. |
Мысалдар.
11. Екі еселі бұрыштардың тригонометриялық
функциялары
|
|
|
12. Жарты бұрыштың тригонометриялық функциялары
|
|
|
13. Тригонометриялық функцияларды жарты аргументтің тангенсі арқылы өрнектеу
|
|
|
|
14. Тригонометриялық функциялардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіру
|
|
|
|
15. Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру
|
|
|
16. Дәрежелерін төмендету формулалары
|
|
17. Бұрыштардың негізгі мәндері
µ
Синусы a- ға тең болатын, , аралығында
жататын бұрыш a- ның арксинусы деп аталады да arcsin a арқылы белгіленеді.
µ
Косинусы a- ға тең болатын , аралығында
жататын бұрыш a- ның арккосинусы деп
аталады да arccos a арқылы белгіленеді.
µ
Тангенсі a- ға тең болатын , , аралығында жататын
бұрыш a- ның
арктангенсі
деп аталады да arctg a арқылы
белгіленеді.
µ Котангенсі a- ға тең болатын , , аралығында жататын бұрыш a- ның арккотангенсі деп аталады да arcctg a арқылы белгіленеді.
18. Теріс сандардың арксинусы, арк-косинусы, арктангенсі және арккотангенсі
arcsin(-a)= -arcsin a |
arccos(-a)= p-arccos
a |
arctg(-a)= -arctg a |
arcctg(-a)= p-arcctg
a |
19. Қарапайым тригонометриялық теңдеулер
Теңдеулер |
Теңдеулердің түбірі |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ескерту.
1. n Î Z.
2. Синус
және косинус үшін .
1.
2.
3.
4.
20. Жиі қолданылатын кейбір тригонометриялық теңдеулер
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
ПЛАНИМЕТРИЯ 1
1 Үшбұрыш
В
b1
с b а
a1 a g g1
А b С
А,В,С - төбелері,
а,в,с - қабырғалары,
a,b,g - ішкі бұрыштары,
a1 ,b1 ,g1 - сыртқы бұрыштары,
а+в+с = 2р - периметрі,
р - жарты периметрі.
Бұрыштардың қасиеттері: a+b+g=180°
a1 + b1 + g1=360°, b1 = a + g,
a1 = b + g, g1 = a + b.
Үшбұрыштың
биіктіктерінің
формулалары
В
hb
A C
Үшбүрүштың
биіктіктері бір нүктеде қиылысады.
Үшбұрыштың
медианаларының
формулалары
B
=
ma
=
A С
Медиананың
қасиеттері:
Үшбұрыштың
медианалары бір нүктеде қиылысады және осы нүкте
медианаларды төбесінен 2:1 қатынасындай етіп бөледі.
Медиана
үшбұрышты екі тең ауданды үшбұрыштарға
бөледі.
Үшбұрыштың
биссектрисаларының
формулалары
В
la
А С
Биссектрисалардың
қасиеттері:
Үшбұрыштың
биссектрисасы деп оның кез келген бұрышын құрайтын
қабырғалардан бірдей қашықтықта орналасқан
нүктелердің жиынын айтады.
Үшбұрыштың
биссектрисалары, осы үшбұрышқа іштей сызылатын шеңбердің центрі болатын, бір
нүктеде қиылысады.
Үшбұрыштың
биссектрисасы оның қабырғасын іргелес жатқан
қабырғаларының қатынасындай бөлікке бөледі.
Кесіндінің орта перпендикуляры
Кесіндінің
ортасы арқылы өтетін әрі оған перпердикуляр болатын
түзу орта перпендикуляр деп аталады.
Үшбұрұштың
қабырғаларына жүргізілген орта перпендикуляр бір
нүктеде қиылысады. Бұл нүкте
үшбұрышқа сырттай сызылатын шеңбердің центрі болады.
Тікбұрышты үшбұрыштың
қабырғаларының және бұрыштарының арасындағы
қатынастар
ÐС=90°,
С
С¢+С²=С. а
b h
A c¢ c² B
1. - Пифагор теоремасы
В
c а a A b С |
Үшбұрыштың қабырғалары мен
бұр-ыштарының арасындағы қатынастар
1. Синустар
теоремасы
В
с
а
A b
С
2. Косинустар теоремасы
Үшбұрыштың
ауданының формулалары
А
· b c
· h
· C B
·
а
·
- Герон формуласы.
·
- дұрыс көпбұрыштың бұрышы.
· аn =
2R sin
· r
= R cos
2. Төртбұрыштар
Трапеция
а
·
m h
m -орта сызығы,
b
S
- ауданы.
Параллелограмм
·
·
h d2 j
a d1
b
·
·
·
Тікбұрыш
· d2
· b d1 j
· a
Ромб
· d1^
d2 a
· S
= ah a d1
· a h
d2
·
Квадрат
a
·
· a
·
Шеңбер және дөңгелек
l
С
= 2pR A B
l
= aR
S
= pR2
; C – шеңбердің ұзындығы.
; l
- доғаның ұзындығы. ; S - аудан.
Шеңберге жанама жанасу
нүктесіне жүргізілген радиусқа перпендикуляр болады.
Төбесі шеңбердің бойында
жататын ал қабырғалары шеңберді қиып өтетін
бұрышты іштей сызылған бұрыш дейді.
Үштей сызылған бұрыш
өзі тірелетін доғаның жартысымен өлшенеді.
Төбесі шеңбердің
ортасында жататын бұрышты орталық бұрыш деп атайды.
А
L
В
АLB = 600 – доғаның градустық өлшемі.
Тек бір ғана
доғаға тірелетін іштей бұрыштар тең болады.
Жарты шеңберге
тірелетін іштей сызылған бұрыш тік болады.
Егер
шеңбердің екі хордасы қиылысса онда бір хорданың
кесінділерінің көбейтіндісі басқа хорданың кесінділерінің
көбейтіндісіне тең болады.
АЕ ·ВЕ = СЕ · ДЕ
Кез келген
үшбұрышқа іштей және сырттай шеңберлер
сызуға болады.
Шеңберге сырттай
сызылған төртбұрыштың қарама – қарсы
қабырғаларының қосындылары әруақытта
тең болады.
Шеңберге іштей
сызылған төртбұрыштың қарама – қарсы
бұрыштарының қосындысы
1800-қа тең.
+ = 1800