АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

 

Кафедра высшей математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА - 2

 

 

Программа, методические указания и контрольные задания

(для студентов всех специальностей заочного обучения)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алматы 2005

 

СОСТАВИТЕЛЬ: М.Ж. Байсалова. Программа, методические указания и контрольные задания (для студентов всех специальностей заочной формы обучения). – Алматы, АИЭС, 2005. -       с.

 

 

 

 

 

          Представленная работа содержит программу, методические указания,  контрольные задания, основные определения, формулы, подробное решение типовых задач, охватывающие все разделы, изучаемые студентами, перечень рекомендуемой литературы.

          Методические указания могут быть использованы студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ.

 

 

 

 

Рецензент: канд.физ.-мат.наук, доцент  Астраханцева Л.Н.

 

 

          Печатается по плану издания Алматинского института энергетики и связи на 2005 г.

 

 

           С  Алматинский институт энергетики и связи, 2005 г.
         Введение

 

Курс «Математика-2» предназначен для студентов АИЭС заочной формы обучения в объеме: лекции - 12 часов, практические занятия - 16 часов, лабораторные занятия - 8 часов, количество контрольных работ - 1, элементы дистанционного обучения  - 12 часов, СРС - 96  часов.

 «Математика-2» включает в себя  три раздела.

Раздел 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких        

                переменных.

Раздел 2. Интегральное исчисление функции одной  переменной.

Раздел 3. Интегральное исчисление функции нескольких переменных.

Каждый раздел включает в себя программу, справочный материал, необходимый для решения задач, входящих в раздел, условия задач из контрольных работ и методические указания к решению задач, где подробно решаются типовые задачи этого раздела.

Раздел – это типовой единичный цикл работы преподавателя со студентами.

Контрольная работа по «Математике-2» содержит разделы 1, 2, 3 и содержит 15 задач. Каждая задача обозначена двойным номером (например 2.10), при этом первая цифра (2) означает порядковый номер задачи, вторая цифра (10) номер варианта.

Студент должен решать тот вариант, который совпадает с остатком от деления номера шифра студента на число 30. Например, если у студента номер шифра 200216, то, произведя деление этого числа на 30, получим в частном 6672 и в остатке 26. Следовательно, данный студент должен решать в контрольной работе  задачи под номерами с 1.26 по 15.26 включительно.

Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради и сдана на кафедру высшей математики минимум за неделю до экзамена.

Решения задач должны быть оформлены в соответствии с требованиями, указанными в условии задач, сопровождаться необходимыми краткими пояснениями и рисунками.

Кафедра высшей математики будет благодарна за замечания по содержанию данных методических указаний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Программа основного курса.

 

 

1.1 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

 

1.1.1 Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.

1.1.2 Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Касательная плоскость и нормаль к  поверхности.

Геометрический смысл полного дифференциала.

     1.1.3 Частные производные  и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

1.1.4 Неявные функции. Теорема существования. Дифференцирование неявных функций.

1.1.5 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные  условия.

1.1.6 Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

1.1.7 Производная по направлению. Градиент.

 

 

1.2 Интегральное исчисление функций одной  переменной

 

1.2.1 Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица

интегралов. Методы интегрирования: метод замены переменной, интегрирование по частям.

1.2.2 Интегрирование рациональных функций путем разложения их на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

1.2.3 Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.

1.2.4 Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

1.2.5 Вычисление определенного интеграла. Интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла. Формулы прямоугольника, трапеций и Симпсона.

1.2.6 Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физическое приложение определенного интеграла.

1.2.7 Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций, основные свойства. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

 

1.3 Интегральное исчисление функции нескольких переменных

 

1.3.1 Задачи, приводящие к понятию кратных интегралов. Определение и  свойства кратных интегралов.

1.3.2 Вычисление двойных и тройных интегралов в декартовых координатах.

1.3.3 Замена  переменных  в   кратных интегралах.  Переход  от  декартовых координат к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам.

1.3.4 Применение    кратных    интегралов    для    вычисления   площадей  и объемов,  для  решения  задач  механики  и  физики.

1.3.5 Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Формула Грина.

1.3.6 Поверхностные интегралы, их свойства и вычисление. Площадь поверхности.

 

 

2 Методические указания к изучению дисциплины

 

2.1 Методические указания к изучению раздела 1

 

Переменная  называется функцией    переменных

если каждой системе значений  из области их изменения

соответствует определенное значение .

Функциональная зависимость от символически

обозначается

          Геометрически каждая система значений двух переменных  изображается точкой на плоскости, а функция двух переменных - некоторой поверхностью в пространстве; значения трех переменных изображаются точками в пространстве.

Функцию можно дифференцировать по каждому из ее аргументов, считая при этом все остальные аргументы постоянными.

Производная от функции по , взятая в предположении, что все остальные аргументы являются постоянными, называется частной производной от  по  и обозначается  или . Аналогично определяются и обозначаются частные производные от функции   по каждому из остальных ее аргументов.

Частные производные функции многих переменных находятся по известным правилам дифференцирования функции одной независимой переменной.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Они обозначаются:

  (читается «д два по д x дважды» );

- смешанная производная.

Рассмотрим функцию двух переменных . Помимо понятия производных функции существует понятие производной функции в точке  по направлению вектора , которое обозначается следующим образом:

,                                       (1.1)                                                         

 где  - нормальный вектор к поверхности уровня,

         - единичный вектор направления .

          Производная определяет величину скорости изменения функции  при перемещении точки  по направлению .

          Градиентом функции  в точке  называется вектор

   .                                                                (1.2)                                                            

Точка  называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех точек , отличных от  и принадлежащих достаточно малой ее окрестности, выполняется неравенство    .

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстремума функции.

Теорема 1. (необходимые условия экстремума). Если точка   является точкой экстремума функции , то , или хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными или критическими.

Введем следующие обозначения:

.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть функция

  имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку . Тогда:

а) если , то точка является точкой экстремума для данной функции, причем будет точкой максимума при

и точкой минимума при ;

б) если , то в точке  экстремума нет;

в) если , то требуется дальнейшее исследование.

 

Дифференцируемая функция в ограниченной замкнутой области  достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в стационарной точке, лежащей внутри области , либо на границе этой области. Для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области  необходимо найти все критические точки, лежащие внутри данной области и на ее границе, вычислить  значения функции в этих точках, а затем путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них

 

2.2 Методические указания к изучению раздела 2

 

Функция  называется первообразной функцией функции  на интервале , если .

Совокупность       где   -  произвольная   постоянная,    , называется неопределенным интегралом функции :

          Приведем основные правила интегрирования:

а)

б)

в)

г) если  и  - любая дифференцируемая   

   функция, то  .

 

Из последнего свойства следует формула

,                                                             (2.1)

при условии, что - постоянные числа,  ;

Используя определение и свойство неопределенного интеграла, составим таблицу интегрирования основных элементарных функций.

 

Таблица интегралов основных элементарных функций

 

Основными методами интегрирования являются интегрирование по частям:

 

          .                                                                                (2.2)

 

Замена переменной производится с помощью подстановок двух видов:

а) если подынтегральная функция такова, что ее можно представить в виде  то применяют подстановку  и тогда

          ;                                 (2.3)

б) во втором случае подбирают подстановку  ( - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция) таким образом, чтобы новый интеграл стал табличным, либо путь его нахождения был ясен. Общая формула замены при такой подстановке

.

 

Для некоторых часто встречающихся классов функций можно указать такие стандартные подстановки:

 

 

где R- символ рациональной функции.

 

Интегрирование рациональных дробей, т.е. отношения двух многочленов, сводится к разложению подынтегральной функции    на простейшие, всегда интегрируемые дроби вида

  ,  где  и  - целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней.

При этом в случае неправильной дроби ( ) должна быть предварительно выделена целая часть.

Пусть функция  определена на отрезке . Разделим  на произвольных  частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .

Интегральной суммой для функции  на отрезке  называется сумма вида .

Определенным интегралом от функции  на отрезке  называется предел интегральной суммы (если он существует) при стремлении к нулю наибольшего из элементарных отрезков

.

         Для вычисления определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница

         .                                                    (2.4)

Определенный интеграл  

представляет собой площадь                             

 

криволинейной трапеции (рисунок).

 

Интегралы с бесконечными пределами или от разрывных функций называются несобственными.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования определяются формулами

;

          .                       (2.5)  

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами определяются следующим образом:  

если функция  имеет бесконечный разрыв в точке , принадлежащей отрезку , и непрерывна во всех других точках этого отрезка, то

.                                  (2.6)

          Несобственные интегралы называются сходящимися или расходящимися, смотря по тому, существуют или нет определяющие их пределы соответствующих определенных интегралов.

 

2.3 Методические указания к изучению раздела 3

 

Пусть функция  определена в ограниченной замкнутой области   плоскости . Разобьём  произвольным образом на  элементарных областей, имеющих площади  и диаметры  (наибольшее расстояние между двумя точками границы области называется диаметром области). Выберем в каждой области произвольную точку  и умножим значение функции в точке  на площадь этой области.

          Составим сумму , которая называется интегральной суммой для функции  по области . Если при  интегральная сумма имеет конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции в области  и обозначается

.

Рассмотрим некоторые правила вычисления двойных интегралов.

Различают два основных вида области интегрирования.

Область интегрирования  ограничена слева и справа прямыми

 и , а снизу и сверху – непрерывными кривыми , , где (рисунок 1). Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

                 ,                                 (3.1)

причем  сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором  считается постоянным.

Область интегрирования  ограничена снизу и сверху прямыми  и , а слева и справа – непрерывными кривыми , где  (рисунок 2). Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

                            ,                           (3.2)

причем  сначала вычисляется внутренний интеграл, в котором  считается постоянным.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1                                                                                         Рисунок 2

          Правые части указанных формул называются двукратными или повторными интегралами.

Области других видов всегда можно рассматривать как сумму областей вида  и .

Пусть в двойном интеграле  прямоугольные координаты  преобразуются к новым криволинейным координатам , которые связаны с  соотношениями:

                                                .                                                  (3.3)         Если между областями    и , лежащих в плоскостях  и , установлено взаимно-однозначное соответствие формулами (3.3), причем функции (3.3) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области  и якобиан преобразования в области

                                                .                                              (3.4)

Тогда верна формула замены переменных в двойном интеграле

                                                (3.5)

В полярных координатах        (3.5) имеет вид

                .                                    (3.6)

 

Для области  

.

 

Для области  

.

Площадь области D, лежащей

в координатной плоскости OXY,

выражается формулой

,

а в полярных координатах

.

Определение тройного интеграла  аналогично определению двойного интеграла, и при этом основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

                             (3.7)           

-формула для вычисления тройного интеграла в прямоугольных координатах.

                                                (3.8)

- формула для вычисления объема тела в прямоугольных координатах.

Перейдем к рассмотрению криволинейных интегралов. Различают два вида криволинейных интегралов.

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода), если кривая L, по которой ведется интегрирование, задана уравнением   вычисляется по формуле 

         .                                     (3.9)                                          

Если кривая  задана параметрическим уравнением  , ,  где  , то

.                     (3.10)                             

Если кривая  задана в полярных координатах уравнением    то

.          (3.11)      

Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от направления интегрирования по кривой .

Криволинейный интеграл по координатам (2 рода), если путь интегрирования  задан уравнением  вычисляется по формуле

              (3.12)               

Если кривая  задана параметрическими уравнениями    ,   то

 

.      (3.13)

При изменении направления обхода по кривой  криволинейный интеграл 2 рода изменяет знак на противоположный. 3 Контрольные задания по дисциплине «Математика 2»

 

3.1 Условия заданий раздела 1

 

1.1-1.30  Вычислить значения частных производных , , для данной функции в точке  с точностью до двух знаков после запятой.

1.1  = ,  

1.2  = ,  

1.3  = ,

1.4  = ,

1.5  = ,

1.6  = ,

1.7  = ,

1.8  = ,

1.9  = ,

1.10   = ,

1.11 = ,

1.12  = ,

1.13  = ,

1.14  =  ,

1.15  = ,

1.16  = ,

1.17  = ,

1.18  = ,

1.19  = ,

1.20  = ,

1.21  = ,

1.22  = ,

1.23 = ,

1.24  = ,

1.25  = ,

1.26  = ,

1.27  = ,

1.28  = , 

1.29  = ,

1.30  = ,

2.1-2.30  Найти частные производные   указанных функций.  

2.1                                        2.2

2.3                                     2.4 

2.5                            2.6

2.7                          2.8

2.9                         2.10

2.11                                 2.12

2.13                                   2.14

2.15                                2.16

2.17                     2.18

2.19                       2.20

2.21                                   2.22

2.23                      2.24

2.25                       2.26

2.27                         2.28

2.29                               2.30

 

3.1-3.30  Дана функция . Найти выражение .

 

3.3            

           

       

 

4.1-4.30  Даны функция , точка  и  вектор .

Найти: а) ;

            б) производную по направлению вектора в точке А.

 

 

5.1-5.30 Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области , ограниченной данными линиями.

5.1   

5.2

5.3    

5.4   

5.5   

5.6    

5.7   

5.8    

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14    

5.15

5.16  

5.17

5.18

5.19

5.20   

5.21

5.22

5.23

5.24   

5.25

5.26   

5.27

5.28

5.29

5.30

6.1-6.30 Исследовать на экстремумы следующие функции.

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

 

3.2 Условия заданий раздела 2

 

7.1-7.30  Вычислить интегралы, результат  проверить дифференцированием.

7.1                      7.2              7.3    

7.4             7.5                      7.6 

7.7                     7.8            7.9 

7.10            7.11          7.12 ,

7.13                  7.14             7.15

7.16                    7.17                       7.18

7.19                  7.20                      7.21

7.22           7.23                  7.24

7.25                      7.26              7.27  

7.28            7.29           7.30

8.1-8.30 Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям.

8.1                         8.2                   8.3   8.4              8.5                8.6  8.7         8.8           8.9

8.10                8.11       8.12

8.13      8.14              8.15  

8.16       8.17               8.18

8.19                      8.20                8.21

8.22        8.23                      8.24

8.25               8.26                  8.27      

8.28          8.29         8.30

 

9.1-9.30  Найти неопределенные интегралы.

9.1        9.2          9.3

9.4        9.5        9.6  

9.7          9.8        9.9     

9.10          9.11          9.12

9.13          9.14           9.15   

9.16         9.17      9.18  

9.19         9.20         9.21  

9.22       9.23      9.24

9.25       9.26      9.27  

9.28           9.29           9.30

 

10.1-10.30  Вычислить определенные интегралы

11.1-11.30  Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

 

12.1-12.30 Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями

3.3 Условия заданий раздела 3

 

13.1-13.30  Вычислить повторный интеграл

13.1                             13.2

13.3                           13.4

13.5                                  13.6  

13.7                             13.8

13.9                                 13.10

13.11                           13.12

13.13                            13.14

13.15                          13.16

13.17                         13.18

13.19                       13.20  

13.21                                 13.22  

13.23                            13.24

13.25                                13.26  

13.27                           13.28

13.29                             13.30

 

14.1-14.30  Вычислить тройные интегралы

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

14.10

14.11

14.12

14.13

14.14

14.15

14.16

14.17

14.18

14.19

14.20

14.21  

14.22

14.23

14.24

14.25

14.26

14.27

14.28

14.29

14.30

 

15.1-15.30  Вычислить криволинейные интегралы первого или второго рода

15.1 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где -отрезок прямой  от точки до точки .

15.2 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ,  где - дуга параболы  от точки  до точки .

15.3 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода  , -отрезок прямой   от точки    до точки  .

15.4 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода ,  где -дуга окружности

15.5 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где -отрезок прямой  от точки  до точки .

15.6 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где -отрезок прямой, заключенный между точками  и  .

15.7 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где -дуга параболы  от точки  до точки .

15.8 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода  , где - отрезок прямой  от точки   до точки  .

15.9 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где -дуга параболы  от точки   до точки .

15.10 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где - треугольник с вершинами в точках ,  и  при положительном направлении обхода контура треугольника .

15.11 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода  , где - отрезок прямой  от точки   до точки .

15.12 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода  , где -дуга эллипса   .

15.13 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где - отрезок прямой от точки  до точки  .

15.14 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где -дуга параболы  от точки   до точки   .

15.15 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где - отрезок прямой   от точки    до точки  .

15.16 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где  - дуга параболы  от точки    до точки  .

15.17 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где  - окружность .

15.18 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где -верхняя половина эллипса .

15.19 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где -отрезок прямой  от точки    до точки  .

15.20 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где -дуга окружности .

15.21 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где - отрезок прямой от точки    до точки   .

15.22 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где -дуга гиперболы  от точки    до точки  .

15.23 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где -окружность .

15.24 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода  , где - дуга параболы  от точки     до точки    .

15.25 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода   , где  - дуга кривой  от точки    до точки   .

15.26 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода  , где -отрезок прямой  от точки     до точки   .

15.27 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода , где -отрезок прямой от точки  до точки .

15.28 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода , где - дуга параболы  от точки     до точки  .

15.29 Вычислить криволинейный интеграл I-го рода  , где - отрезок прямой  от точки  до точки  .

15.30 Вычислить криволинейный интеграл II-го рода  , где -отрезок прямой  от точки    до точки   .

4 Методические указания к выполнению контрольной работы

 

Пример 1. Вычислить значения частных производных , ,  для функции    в точке   с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Находим частные производные данной функции, затем вычисляем их значения в точке .

 

Пример 2. Найти частные производные ,  функции  .

Решение.  Вначале находим частную производную по переменной , считая  постоянной

.

Аналогично

.

Пример 3. Дана функция   , найти  выражение .

Решение. Пользуясь правилом дифференцирования функции нескольких переменных, имеем:

   ;    ; 

 

.

 

Пример 4.  Даны функция  , точка  и вектор . Найти:

а) ;

          б) производную функции  по направленной .

 

Решение.

а) по формуле (1.2)  =  =  = ;

б)  по формуле (1.1)  ,

 , , .

Это значит, что скалярное поле возрастает в точке  по направлению  со скоростью .

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 

в области ,

ограниченной линиями

 

(рисунок).

 

Решение. Решая систему

 

,

находим стационарную точку , в которой .

Исследуем значения функции на границе области .

На стороне , где , имеем ,   , отсюда находим стационарную точку , в которой .

 

На концах отрезка     .

Аналогично на   , т.е. , в которой  . В точке .

На , т.е. , в которой  , на концах отрезка значения функции уже вычислены.

Сравнивая все полученные значения функции, видим, что

 

Пример 6. Исследовать на локальный экстремум функции:

а) ,     б) .

Решение.

а) решая систему

,

находим стационарную точку . По теореме 2 выясним, является ли точкой экстремума. Для этого найдем

,

, , т.е. имеем точку локального максимума, в которой ;

 

б) аналогично решая систему

 

,

находим две критические точки . Теперь выясним, являются ли они точками экстремума или нет. Для этого воспользуемся теоремой 2.

 

, ,

, в точке  экстремума нет.

, , т.е. имеем точку локального минимума, в которой .

Пример 7.  Найти неопределенный интеграл     

 

  .

Решение. Положим  тогда,  дифференцируя обе части,  получим . Отсюда  .Таким образом,

.  Теперь используем таблицу интегралов (3)

.

 

Пример 8.  Найти неопределенный интеграл      

 

.

 

Решение. Под интегралом произведение линейной и степенной функций, поэтому его интегрируем по частям:

 

.

 

Пример 9.  Найти неопределенный интеграл

 

  .

 

Решение.  Разложим квадратный трехчлен на множители, а затем подынтегральную функцию на  сумму простых дробей

 

;  ;

 

.

 

Тогда   где и  находим из уравнения

 

 - тождество верное :

при ,   при .

.

 

Пример 10.  Вычислить определенный интеграл .

Решение.  Применим метод замены переменной: положим  , откуда .

 

Найдем пределы интегрирования по переменной : при  имеем , а при  имеем .

 

Переходя к переменной по формуле Ньютона-Лейбница, получаем

 

 

.

 

Пример 11. Найти несобственный интеграл или установить его расходимость

           а) ;        б) .

Решение. а)  является несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования.  Согласно определению 3а)

 

.

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится;

б) подынтегральная функция  терпит бесконечный разрыв в нижнем пределе . По формуле (2.6)

  ,

т.е. этот несобственный интеграл расходится.

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями

Решение. Определив точки пересечения параболы и оси Оx,

видим, что искомую площадь 

можно найти по формуле

.

 

Пример 13. Вычислить повторный интеграл  .

Решение. Сначала вычисляем внутренний интеграл, где  является переменной, а  постоянной

.

Далее  вычисляем  внешний  интеграл, т.е. полученный  результат  интегрируем  по

.

Пример 14.  Вычислить тройной интеграл

.

Решение.   

.

Последовательно вычисляем три обыкновенных определенных интеграла, начиная с внутреннего:

,

,

.

Пример 15. а) вычислить криволинейный интеграл первого рода , где - отрезок прямой , от точки  до точки ;

б) вычислить криволинейный интеграл II-го рода

, где -дуга параболы  от точки до точки .

Решение. а) преобразуем данный криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной  и вычисляем его:

;

б) здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной  :   

 

.

Список литературы

 

  1. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. -М.: Наука, 1989.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в

упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.

  3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Вышэйшая школа, 2000.-ч.1.-396 с.

  4. Хасенов К.А. Каноны математики: Учебник – Алматы, 2003.-686 с.

  5. Дулэпо В.М. Высшая математика. Справочные материалы. – Алматы: АИЭС, 1999.-ч.1-3.

 

 

 

 

Содержание

 

     1 Программа основного курса…….…………………………………………4

  

     2 Методические указания к изучению дисциплины…..……………………5

 

     3 Контрольные задания по дисциплине «Математика 2»…………..……..14

 

     4 Методические указания к выполнению контрольной работы…….…….32

 

                                    

 

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сводный план 2005г., поз. 127

 

 

 

 

 

Маншук Жумамуратовна Байсалова

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА-2

 

 

Программа, методические указания и контрольные задания

(для студентов всех специальностей заочной формы обучения)

 

 

 

 

 

 

 

Редактор Ж.М. Сыздыкова

 

 

 

 

 

 

 

 

Подписано в печать __.__. 2005 г.                               Формат  60х84   1/16

Тираж _____ экз.                                                                   Бумага типографcкая №1

Объем  2,0 уч.-изд..л.                                                            Заказ ____. Цена _____тг.

 

 

 

 

 

Копировально-множительное бюро

Алматинского института энергетики и связи

480013, Алматы, ул. Байтурсынова, 126