АЛМАТИНСКИЙ
ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
Математика 2.
Методические указания и тестовые задания для подготовки к
экзамену для студентов,
обучающихся специальностям 050702 –
Автоматизация и управление, 050717 -
Теплоэнергетика, 050718 - Электроэнергетика, 050719 – Радиотехника, электроника
и телекоммуникации
Алматы 2006
СОСТАВИТЕЛИ: С. Е.
Базарбаева, Л. Н. Ким, Р. А. Курбанова.
Математика 2. Методические указания и тестовые задания для подготовки к
экзамену (для студентов очной формы обучения специальностей 050702 -
Автоматизация и управление, 050717 -
Теплоэнергетика, 050718 - Электроэнергетика, 050719 - Радиотехника, электроника
и телекоммуникации). - Алматы: АИЭС, 2006.- 24 с.
Методические указания
содержат рекомендации для самостоятельной работы студентов при изучении
дисциплины "Математика
2". Они содержат образцы тестовых
заданий рубежного контроля к каждому из
трех модулей с ответами и образцами решений, образец экзаменационного
теста на бумажном носителе и теста компьютерной части экзамена (первый уровень
знаний). Приведены теоретические вопросы, база тестовых заданий для компьютерного
тестирования (первый уровень знаний) и
образец билета основной части экзамена (второй уровень знаний).
Рецензент:
Жуматаева С.А., ст. преп. кафедры "Высшая математика".
Печатается по плану издания Алматинского института
энергетики и связи на 2006 г.
© Алматинский институт энергетики и связи, 2006 г.
Введение
Дисциплина "Математика
2" распределена на три раздела, которые называются модулями: а)
дифференциальное исчисление функции многих переменных; б) интегральное
исчисление функции одной переменной; в) кратные интегралы. Каждый из этих
разделов представляет собой отдельную математическую дисциплину. Причем два
последних раздела не зависимы от первого модуля.
Программа дисциплины
"Математика 2" предполагает выполнение одной расчетно-графической
работы (РГР) в каждом модуле. По итогам работы каждого модуля, согласно
календарному плану, проводится рубежный контроль в виде теста из 16 тестовых
заданий на бумажном носителе. Они несут несколько функций: а) рассматриваются
как защита РГР, так как основаны на задачах из РГР; б) как промежуточный
тренинг по подготовке к экзаменационному тестированию на бумажном носителе и в
электронном варианте; в) как итог некоторого объема материала.
По итогам рубежного контроля составляется рейтинговая таблица на каждом учебном
потоке.
Теоретические вопросы,
представленные в каждом разделе, являются теоретическими вопросами для основной
части экзамена.
Ввиду вышеизложенного,
предлагается следующий план самостоятельной работы студента (СРС):
а) после прослушанной лекции
студент готовит к практическому занятию теоретические вопросы данной
лекции;
б) на практическом занятии
обсуждаются вопросы применения полученных теоретических знаний к выполнению РГР
и подготовке к рубежному контролю, а также решаются задачи, соответствующие
основной части экзамена;
в) самостоятельно
отрабатываются навыки решения подобных задач и задач РГР. Желательно решить
несколько вариантов РГР, до тех пор, пока не
убедитесь, что все поняли и запомнили.
1
Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1.1 Теоретические вопросы
1.1.1 Функции нескольких переменных. Предел и
непрерывность.
1.1.2
Частные
приращения и частные производные. Частные
производные
высших порядков.
1.1.3
Частные
дифференциалы. Полное приращение и полный
дифференциал.
1.1.4
Дифференциалы
высших порядков. Инвариантность формы
полного
дифференциала.
1.1.5
Дифференцирование
сложных и неявных функций
нескольких
переменных.
1.1.6
Экстремум
функции двух переменных. Необходимые и
достаточные
условия экстремума.
1.1.7
Условный
экстремум. Наибольшее и наименьшее значения
функций
двух переменных в замкнутой области.
1.1.8
Скалярное
поле. Производная по направлению. Градиент.
1.2 Образцы
билетов рубежного контроля для модуля 1
Билет 1
Задания |
Ответы |
||
1-7
Дана функция |
|||
1 |
1 |
||
2 |
2 |
||
3 |
3 |
||
4 |
4 |
||
5 |
5 |
||
6 |
6 |
||
7 |
7 |
||
8-9 Дана функция |
|||
8 |
8 |
||
9 |
9 |
||
10-11
Даны функция |
|||
10 |
10 |
||
11 |
11 |
||
12-14
Даны уравнение поверхности |
|||
12
Найти уравнение касательный плоскости к поверхности в точке 13
Найти уравнение нормали к поверхности в точке 14 Найти частные производные |
12 13 14
|
||
15 Дана сложная функция |
15 |
||
16
Найти градиент функции |
16 |
||
Билет 2
Задания |
Ответы |
||
1-7
Для функции |
|||
1 |
1 |
||
2 |
2 |
||
3 |
3 |
||
4 |
4 |
||
5 |
5 |
||
6 |
6 |
||
7-8
Для функции |
|||
7 |
7
|
||
8 |
8 |
||
9-10 Даны функция |
|||
9
|
9 |
||
10 |
10 |
||
11-13
Даны уравнение поверхности |
|||
11 Уравнение касательной плоскости к
поверхности в точке |
11
|
||
12 Уравнение
нормали к поверхности в точке |
12 |
||
13 Найти частные производные неявной функции |
13 |
||
14 Дана сложная функция |
14 |
||
15
Найти градиент функции |
15 |
||
16 Найти производную функции |
16 0 |
||
Билет 3
Задания |
Ответы |
||
1-7
Для функции |
|||
1 |
1 |
||
2 |
2 |
||
3 |
3 |
||
4 |
4 |
||
5 |
5 |
||
6 |
6 |
||
7 |
7 |
||
8-9 Дана функция |
|||
8 |
8 |
||
9 |
9 |
||
10-11 Даны функция |
|||
10 |
10 |
||
11
|
11 |
||
12-14 Даны уравнение поверхности |
|||
12 Уравнение касательной плоскости к поверхности
в точке |
12 |
||
13 Уравнение
нормали к поверхности в точке |
13 |
||
14 Найти частные производные неявной функции |
14 |
||
15 Дана сложная функция |
15 |
||
16 Найти градиент функции |
16 |
||
2 Модуль 2. Интегральное исчисление функции одной переменной,
комплексные числа, неопределенные, определенные и несобственные интегралы
2.1 Теоретические вопросы
2.1.1 Комплексные числа.
Мнимая единица.
2.1.2 Модуль и аргумент комплексного числа.
2.1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
2.1.4 Показательная форма комплексного числа.
2.1.5
Алгебраические
операции над комплексными числами в
тригонометрической и показательной формах.
2.1.6
Первообразная
функция. Теорема о первообразных
функциях.
2.1.7
Определение
неопределенного интеграла и его основные
свойства.
2.1.8
Таблица
основных интегралов.
2.1.9
Непосредственное
интегрирование.
2.1.10 Метод замены переменной в неопределенном
интеграле.
2.1.11 Интегрирование функций с линейным аргументом.
2.1.12 Интегрирование
подведением под знак дифференциала.
2.1.13 Формула
интегрирования по частям.
2.1.14 Интегрирование
функций, содержащих квадратный трехчлен.
2.1.15 Разложение правильной
дробно-рациональной функции на простейшие дроби.
2.1.16 Интегрирование
правильной дробно-рациональной функции.
2.1.17 Интегрирование неправильной
дробно-рациональной функции.
2.1.18 Интегрирование функций, содержащих
иррациональные выражения.
2.1.19 Интегрирование тригонометрических функций.
2.1.20 Тригонометрические подстановки.
2.1.21 Определенный
интеграл. Геометрический смысл определенного интеграла.
2.1.22 Свойства
определенного интеграл. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница.
2.1.23 Замена переменной и формула интегрирования
по частям в определенном интеграле.
2.1.24 Несобственные интегралы.
2.2 Образцы билетов рубежного контроля для
модуля 2
Билет
1
Задания |
Ответы |
1
Вычислить, чему равно |
1
|
2
Найти модуль числа |
2
2 |
3
Найти главное значение аргумента числа |
3
|
4
Запишите число |
4
|
5
Найдите |
5
|
6
Для |
6
|
7
Записать выражение |
7
|
8
Найти интеграл |
8
|
9
Найти интеграл |
9
|
10
Найти определенный интеграл |
10
|
11
Какой метод интегрирования применяется для вычисления интеграла |
11
Универсальная подстановка |
12
Дан интеграл |
12
|
13
Запишите вид разложения дроби |
13
|
14
Какую замену требуется сделать для вычисления интеграла |
14
Замена |
15 Вычислить определенный интеграл |
15 |
16
Вычислить несобственный интеграл |
16
|
Билет
2
Задания |
Ответы |
1
Вычислить, чему равно |
1
1 |
2
Найти модуль числа |
2
5 |
3
Найти главное значение аргумента числа |
3
|
4
Запишите число |
4 |
5
Найдите |
5
|
6
Для |
6
|
7
Записать выражение |
7 |
8
Найти интеграл |
8
|
9
Найти интеграл |
9 |
10
Найти определенный интеграл |
10
|
11
Какой метод интегрирования применяется для вычисления интеграла |
11
Интегрирование по частям |
12
Дан интеграл |
12
|
13
Запишите вид разложения дроби |
13
|
14
Какую замену требуется применить для вычисления интеграла |
14
Замена |
15
Вычислить определенный интеграл |
15
|
16
Вычислить несобственный интеграл |
16
|
Билет 3
Задания |
Ответы |
1
Вычислить, чему равно |
1
|
2 Найти модуль числа |
2
3 |
3
Найти главное значение аргумента числа |
3
|
4
Запишите число |
4
|
5
Найдите |
5 |
6
Для |
6
|
7
Записать выражение |
7 |
8
Найти интеграл |
8
|
9
Найти интеграл |
9
|
10
Найти интеграл |
10
|
11 Какой
метод интегрирования применяется для вычисления интеграла |
11
Выделение полного квадрата |
12
Дан интеграл |
12
|
13
Запишите вид разложения дроби |
13
|
14
Какую замену требуется применить для вычисления интеграла |
14
Замена |
15
Вычислить интеграл |
15
|
16
Вычислить несобственный интеграл |
16
|
3 Модуль 3. Интегральное исчисление функции
нескольких переменных. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
3.1 Теоретические вопросы
3.1.1 Определение кратных интегралов и
их свойства.
3.1.2 Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных координатах. Изменение порядка интегрирования.
3.1.3 Замена переменных в двойных и
тройных интегралах. Переход к полярным координатам.
3.1.4 Определение и свойства
криволинейных интегралов первого и второго рода.
3.1.5
Вычисление криволинейных интегралов.
3.1.6
Формула Грина.
3.1.7 Условие независимости
криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования (теорема). Формула
Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов.
3.1.8 Отыскание функции по ее полному дифференциалу.
3.1.9 Поверхностные интегралы первого рода, их
свойства, вычисление.
3.1.10 Приложения определенных, кратных,
криволинейных и поверхностных интегралов.
3.2 Образцы
билетов рубежного контроля для модуля 3
Билет 1
Задания |
Ответы |
1 Вычислить двойной интеграл |
1 |
2 Вычислить повторный интеграл |
2 |
3 Расставить пределы в двойном интеграле |
3
|
4
равен
якобиан преобразования? 5
Сделать замену в двойном интеграле. |
5 |
6 Расставить пределы интегрирования в
тройном интеграле 7 Вычислить этот тройной интеграл по области |
6 7 |
8 С помощью тройного интеграла вычислить объем
тела |
8 |
9 Привести криволинейный интеграл первого
рода 10 Вычислить длину дуги |
9 10 |
11 Привести криволинейный интеграл второго
рода 12 Вычислить этот криволинейный интеграл. |
11 12 |
13 Привести криволинейный интеграл |
13 |
14 Зависит или нет интеграл |
14 Зависит от пути интегрирования |
15 Найти функцию |
15 |
16 Привести поверхностный интеграл |
|
Билет 2
Формулировка
вопроса |
Задание |
Ответ |
1
Вычислить двойной интеграл по области
D: |
|
1 |
2 Вычислить повторный интеграл. |
|
2 |
3 Изменить порядок интегрирования. |
|
3 |
4
Чему равен якобиан преобразования?
5
Сделать замену в двойном интеграле. |
|
4 5 |
6 Расставить пределы интегрирования в
тройном интеграле по области 7 Вычислить этот тройной интеграл по области
|
|
6 7 |
8 С помощью тройного интеграла вычислить
объем тела |
|
8 |
9 Привести криволинейный интеграл первого
рода к определенному. 10 Вычислить длину дуги L. |
|
9 10 |
11 Привести криволинейный интеграл второго
рода к определенному интегралу. 12 Вычислить этот криволинейный интеграл. |
где |
11 12 |
13 Привести криволинейный интеграл к
двойному по формуле Грина. |
|
13 |
14 Равен нулю или нет криволинейный интеграл? |
|
14 да,=0 |
15 Найти функцию |
|
15
|
16 Привести поверхностный интеграл к двойному. |
|
16
|
Билет 3
Формулировка
вопроса |
Задание |
Ответ |
1 Расставьте пределы для вычисления площади
области D. |
|
1 |
2 Вычислить повторный интеграл. |
|
2 |
3 Вычислить двойной интеграл по области D: |
|
3 |
4
В двойном интеграле перейти к
полярным координатам. |
|
4
|
5
Расставить пределы интегрирования
в двойном интеграле по области 6
Вычислить двойной интеграл из
задания 5. |
|
5 6 |
7 Вычислить тройной интеграл по области |
|
7 |
8 С помощью тройного интег-рала вычислить
объем тела |
|
8 2 |
9 Вычислить
криволинейный интеграл первого рода. |
где
|
9 |
10 Вычислить криволинейный интеграл второго
рода вдоль кривой |
|
10 |
11 Сведите поверхностный интеграл первого
рода к вычислению двойного интеграла. 12
Расставить пределы в двойном интеграле, полученном в задании 11. 13
Вычислить поверхностный интеграл из задания 11. |
S: |
11 12 13 |
14 Зависит или нет интеграл от пути
интегрирования? |
|
14 да,=0 |
15
Сведите
вычисление поверхностного интеграла к вычислению тройного интеграла |
|
15 |
16
Привести поверхностный интеграл к двойному.
|
|
16 |
4
База тестовых заданий по дисциплине “Математика 2”, выносимая на
компьютерную часть экзамена
4.1 Дана функция . Найти
.
4.2 Дана функция . Найти
.
4.3 Дана функция . Найти
.
4.4. Дана функция . Найти
.
4.4 Дана функция . Найти
.
4.5 Дана функция . Найти
.
4.6 Дана функция . Найти
.
4.7 Дана функция . Найти
.
4.8 . Найти
в точке
.
4.9 . Найти
в точке
.
4.10 . Найти
в точке
.
4.11 . Найти уравнение нормали к
поверхности
в точке
.
4.12. Найти уравнение касательной плоскости поверхности
в точке
.
4.13 . Найти
функции
,
заданной уравнением .
4.14 . Найти
функции
,
заданной уравнением .
4.15 Чему равна производная сложной
функции
(по переменной
)?
4.16 Чему равен градиент функции в точке
?
4.17 Чему равна производная по
направлению функции
в точке
?
4.18 Неопределенный интеграл есть функция …
4.19 Значение определенного интеграла равно …
4.20
Разложение дроби на сумму простых
дробей имеет вид…
4.21
Чтобы привести интеграл к табличному , надо
применить замену…
4.22 В выражении внести функцию под
знак дифференциала.
4.23 В выражении вынести функцию из
под знак дифференциала.
4.24 В интеграле , чтобы применить формулу интегриро-
вания по
частям, за следует принять выражение…
4.25 В интеграле , чтобы применить формулу интегриро-
вания по
частям, за следует принять выражение…
4.26 Повторной интеграл, к которому
сводится , где
равен…
4.27 Двойной интеграл , где
, сводится к
повторному…
4.28 Дан двойной интеграл , где
. Значение
этого двойного интеграла равно…
4.29 Якобиан преобразования равен…
4.30 Найти объем тела .
4.31 Тройной интеграл в цилиндрической
системе
координат
имеет вид:
4.32 Тройной интеграл в сферической системе
координат
имеет вид:
4.33 Дано комплексное число . Главное значение его аргумента
равно:
4.34 Дано комплексное число . Его модуль равен…
4.35 Дано комплексное число . Показательная форма этого
числа
есть:
4.36 Дано комплексное число . Тригонометрическая форма
этого числа
есть:
4.37 Даны комплексные числа: и
. Их сумма (раз-
ность,
произведение, частное) равна…
4.38 Определенный интеграл, к которому
сводится криволинейный
интеграл,
(будет приведен интеграл первого рода) имеет вид:
4.39 Значение криволинейного интеграла
(будет приведен интеграл
второго
рода) равно:
4.40 По формуле Грина интеграл
приводится
в виду…
5 Образец теста закрытого типа на бумажном носителе
Задания |
Варианты
ответов |
||
Дана
функция Найти
1 2 3 4
5 |
1.а) д)
е)
2 а) е) 3 а) е)
4
а) д)
5
а) с)
|
||
6-8
6 Найти 7 Найдите уравнение касательной к поверхности
8 Найдите |
6 а) 7 а) с) е)
8 а) е)
|
||
9
Производная сложной функции |
9
а) с)
д)
|
||
Дана
функция 10 Градиент функции 11 Производная этой функции по направлению |
10 а) д)
11 а) 248 б) е) |
||
12-14 Дано комплексное число 12
Его модуль равен: 13
Главное значение его
аргумента равно: 14 Тригонометрическая форма этого числа есть:
|
12
а) 3 б) 13
а) 14 а) б) д)
е)
|
||
15 Неопределенный интеграл (первообразная)
|
14
а) б)
с)
д)
е)
|
||
16
Значение определенного интеграла |
16 а) е)
|
||
17
Разложение дроби |
17
а) б)
с)
д)
е)
|
||
18
Чтобы привести интеграл |
18
а) с)
д)
|
||
19
В выражении |
19
а) д)
|
||
20
В интеграле |
20
а) е)
|
||
21
Повторный интеграл, к которому сводится |
21
а) б)
с)
е)
|
||
22
Двойной интеграл 23
Значение этого двойного интеграла равно: |
22
а) с)
е)
|
||
23
а) –12 б) 12 с) 24
д) –24 е) 6 |
|||
24
Якобиан преобразования |
24
а) с)
|
||
25
Объем тела Ω: |
25
а) 15 б) 1 с) 16 д) 17 е) 20 |
||
26
Определенный интеграл, к которому сводится криволинейный интеграл от
|
26
а) с)
е)
|
||
27
Значение криволинейного интеграла |
27
а) д)
|
||
28
По формуле Грина интеграл |
28
а) с)
д)
е)
|
||
29-30
Указать все интегралы, не зависящие от пути интегрирования |
29 -30 а) б)
с)
д)
е)
|
||
6 Образец экзаменационного билета
НАО АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
Дисциплина Математика 2
Теоретические вопросы: 1 Экстремум функции
нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.
2 Методы интегрирования.
Основные задачи: 3
Вычислить определенный интеграл .
4 Найти
объем тела .
Тестовые задания: 5
6 Вычислить
длину дуги
Составитель:
Экзаменационный
билет утвержден на заседании кафедры «Высшая математика»
Заведующий
кафедрой ВМ
С.Е.Базарбаева
Рекомендуемая
литература
1.Хасеинов К.А. Каноны математики. 2003.
2.Натансон
И.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1997.
3.
Шипачев
В.С. Высшая математика. – М.: В Ш, 1985. –369 с. или любое
другое более позднее издание: основы высшей математики, математический анализ.
4. Пискунов Н.С.
Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.
т.1,2. – М.: Наука, 1985. – 432 с.
5. Данко
П.Е., и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1,2.-2003.
6.
Зельдович
Я.Б., Мышкис А.Д. Высшая математика для начинающих
физиков и техников. – М.: Наука, 1982. – 510 с.
7. Сборник задач по
математике для втузов. ч.2.- Специальные разделы
математического анализа /Под ред. А.В.
Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука,
1986, 2002.– 368 с.
8.
Гусак
А.А. Справочное пособие к решению задач: Математический
анализ и дифференциальные уравнения.– Минск: Тетра
Системс, 1998. – 287 с.
9.
Индивидуальные
задания по высшей математике: Комплексные числа.
Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- ч. 2 : Учеб. пособие /под ред. А.П. Рябушко. – Мн.:Выш.шк.,2000.-396 с.
10.
Индивидуальные
задания по высшей математике: Ряды. Кратные и
криволинейные интегралы. Элементы теории поля:
Учебн. пособие /под ред. А.П. Рябушко. – Мн.:Выш.шк.,2004.-367 с.
11. Сборник задач по математике
для втузов. ч. 1. Линейная алгебра и
основы
математического анализа /Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986, 2002.– 464 с.
Методические разработки кафедры
12.
Астраханцева
Л.Н., Ким Л.Н., Тилепиев М.Ш. Математика 1.
Математика 2. Дифференциальное исчисление функции
нескольких переменных. Методические указания и задания к расчетно-графической
работе. – Алматы: АИЭС, 2005.-24 с.
13. Базарбаева С. Е., Дулэпо В.М., Ултаракова Г.А. Высшая
математика.
Типовые
расчеты. Ч. 4. – Алматы: АИЭС, 2002. –
32 с.
14.
Жуматаева
С.А., Ким Л.Н. Высшая математика. Методические указания
и задания к расчетно-графической работе.- ч.5. –
Алматы: АИЭС, 2002. –36 с.
Содержание
Введение
3
1 Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции
нескольких переменных 3
1.1 Теоретические вопросы
3
1.2 Образцы билетов рубежного контроля для
модуля 1 4
2 Модуль 2.
Введение в математический анализ
7
2.1 Теоретические вопросы
7
2.2 Образцы билетов рубежного контроля для
модуля 2 8
3 Модуль 3.
12
3.1 Теоретические вопросы
12
3.2 Образцы билетов рубежного контроля для
модуля 3 12
4 База
тестовых заданий по дисциплине "Математика 2" 16
5 Образец теста на бумажном носителе закрытого типа 18
6 Образец экзаменационного билета основной части
экзамена 23
Рекомендуемая литература
24
Сводный план 2006 г., поз.115
Сауле Ермурзаевна Базарбаева
Людмила Николаевна Ким,
Рано Абдусаламовна Курбанова
МАТЕМАТИКА 2
Методические указания и тестовые задания для подготовки к
экзамену
(для студентов очной формы
обучения специальностей 050702 - Автоматизация
и управление, 050717 -
Теплоэнергетика, 050718 - Электроэнергетика, 050719 - Радиотехника, электроника
и телекоммуникации)
Редактор Т.С. Курманбаева
Специалист по стандартизации Н. М. Голева
Подписано
в печать_____________ Формат
Тираж
500 экз. Бумага
типографская № 1
Объем
2,0 печ. л. Заказ______Цена
_________
Копировально-множительное бюро
Алматинского института
энергетики и связи
050013 Алматы, Байтурсынова,126