Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

Математика 2

Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных

Методические указания и задания к расчетно-графическим работам для студентов специальностей

Часть 1

Алматы 2012

СОСТАВИТЕЛИ: С.А.Жуматаева, Л.Н.Ким. Математика 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных. Методические указания и задания к расчетно-графическим работам для студентов специальностей 5В071700-«Теплоэнергетика», 5В071800-«Электроэнергетика», 5В071900-«Радиотехника, электроника и телекоммуникации», 5В081200-«Энергообеспечение сельского хозяйства» ). Часть 1.-Алматы: АУЭС, 2012.- 23 с.

Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат дополненное и переработанное издание типового расчета №5 программы второго семестра курса высшей математики для студентов всех специальностей дневного отделения АУЭС 2002 года. Приведены основные теоретические вопросы программы, варианты заданий и решение типового варианта. Расчетные задания разделены на два уровня сложности.

Методические указания предназначены для студентов первого курса всех форм обучения всех специальностей.

Библиогр.- 4 назв.

Рецензент: канд.физ.-мат.наук, проф. С.Е. Базарбаева

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2012г.

Введение

Методические указания представляют собой программу и задания к расчетно-графической работе «Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных» Математики 2 и решение типового варианта. Задания состоят из тридцати вариантов. Вторая цифра номера задания указывает вариант студента.

Вариант задания контрольной работы для студентов, обучающихся по заочной форме, определяется как остаток от деления номера зачетной книжки на 30. Например: номер зачетной книжки равен 080612. Это число представляется в виде: 080612=268730+2. Следовательно, студент должен выполнить задания варианта №2. Если остаток равен нулю, то студент выполняет вариант №30.

Контрольная работа должна быть решена в отдельной тетради, решение задач должно быть кратким и в то же время достаточно объяснено ссылками на теорию и сопровождено необходимыми рисунками. Примером для оформления контрольной работы может служить решение типового варианта, которое приведено в данном методическом указании.

Цель изучения дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных обусловлена необходимостью получения знаний для изучения курса «Физика», «Теория электрических цепей» и других не менее важных дисциплин.

1 Расчетно-графическая работа. Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных

1.1 Расчетные задания

1 задание. Дана функция . Найти:

а) - полное приращение функции;

б) - частные производные ;

в) - дифференциал функции.

№	.	№	.
1.1		1.2
1.3		1.4
1.5		1.6
1.7		1.8
1.9		1.10
1.11		1.12
1.13		1.14
1.15		1.16
1.17		1.18
1.19		1.20
1.21		1.22
1.23		1.24
1.25		1.26
1.27		1.28
1.29		1.30

2 задание. Дана функция двух переменных . Найти:

а)

б)

в) ;

г) убедиться, что .

№	.	№	.
2.1		2.2
2.3		2.4
2.5		2.6
2.7		2.8
2.9		2.10
2.11		2.12
2.13		2.14
2.15		2.16
2.17		2.18
2.19		2.20
2.21		2.22
2.23		2.24
2.25		2.26
2.27		2.28
2.29		2.30

3 задание. Для функции найти частные производные в указанной точке.

№			№
3.1			3.2
3.3			3.4
3.5			3.6
3.7			3.8
3.9			3.10
3.11			3.12
3.13			3.14
3.15			3.16
3.17			3.18
3.19			3.20
3.21			3.22
3.23			3.24
3.25			3.26
3.27			3.28
3.29			3.30

4 задание. Найти производные функций, заданных неявно.

№		№
4.1		4.2
4.3		4.4
4.5		4.6
4.7		4.8
4.9		4.10
4.11		4.12
4.13		4.14
4.15		4.16
4.17		4.18
4.19		4.20
4.21		4.22
4.23		4.24
4.25		4.26
4.27		4.28
4.29		4.30

5 задание. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности в точке

№	Поверхность
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30

6 задание. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция

№	Уравнение	Функция
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
6.26
6.27
6.28
6.29
6.30

7 задание. Найти и вычислить значение производной сложной функции где при с точностью до двух знаков после запятой.

№
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
7.21
7.22
7.23
7.24
7.25
7.26
7.27
7.28
7.29
7.30

8 задание. Исследовать на экстремум функции.

№		№
8.1		8.2
8.3		8.4
8.5		8.6
8.7		8.8
8.9		8.10
811		8.12
8.13		8.14
8.15		8.16
8.17		8.18
8.19		8.20
8.21		8.22
8.23		8.24
8.25		8.26
8.27		8.28
8.29		8.30

9 задание. Построить область D, ограниченную заданными линиями и вычислить площадь области D двойным интегрированием.

9.1	9.2
9.3	9.4
9.5	9.6
9.7	9.8
9.9	9.10
9.11	9.12
9.13	9.14
9.15	9.16
9.17	9.18
9.19	9.20
9.21	9.22
9.23	9.24
9.25	9.26
9.27	9.28
9.29	9.30

10 задание. Вычислить двойной интеграл по заданной области D.

10.1	10.2	10.3
10.4	10.5	10.6
10.7	10.8	10.9
11.10	11.11	11.12
10.13	10.14	10.15
10.16	10.17	10.18
10.19	10.20	10.21
11.22	11.23	11.24
10.25	10.26	10.27
10.28	10.29	10.30

11 задание. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле.

11.1	11.2	11.3
11.4	11.5	11.6
11.7	11.8	11.9
11.10	11.11	11.12
11.13	11.14	11.15
11.16	11.17	11.18
11.19	11.20	11.21
11.22	11.23	11.24
11.25	11.26	11.27
11.28	11.29	11.30

12 задание. Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам.

12.1	12.2	12.3
12.4	12.5	12.6
12.7	12.8	12.9
12.10	12.11	12.12
12.13	12.14	12.15
12.16	12.17	12.18
12.19	12.20	12.21
12.22	12.23	12.24
12.25	12.26	12.27
12.28	12.29	12.30

13 задание. Вычислить тройной интеграл.

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13

13.14

13.15

13.16

13.17

13.18

13.19

13.20

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

13.26

13.27

13.28

13.29

1330

2 Решение типового варианта

1 Для функции найти:

а);

б) ;

в) .

Решение:

а) частные и полное приращения функции находятся по формулам: ,

Поэтому имеем

, ,

;

б) частные и полный дифференциалы функции находятся по

формулам .

Найдем сначала частные производные .

Таким образом,

в) формула дифференциала второго порядка функции

имеет вид: .

Найдем частные производные второго порядка:

Итак, .

2 Дана функция . Найти

Решение: найдем , затем

3 Найти производные функции , заданной неявно уравнением .

Решение: частные производные функции , заданной уравнением , находятся по формулам:.

Таким образом, ;

4 Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке .

Решение: если дана поверхность в точке , то уравнение касательной плоскости имеет вид:

а уравнение нормали :.

Так как частные производные данной функции в заданной точке равны

то искомое уравнение касательной плоскости : , или , а уравнение нормали имеет вид .

5 Найти производную сложной функции:

Решение: если сложная функция имеет вид

, то её полная производная находится по формуле: , т.е.

6 Вычислить двойной интеграл по прямоугольной области , ограниченной прямыми

Решение: приведем двойной интеграл к повторному:

Внутренний интеграл вычисляем, считая постоянным. Полученную

функцию от интегрируем по отрезку

7 Вычислить двойной интеграл если область ограничена параболами

Рисунок 2.1

Решение: область - простая (элементарная). Она имеет нижнюю границу и верхнюю (перед радикалом ставим только знак «+», так как область находится в первой четверти, где

при любом фиксированном значении на отрезке меняется от до

8 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Решение:

Рисунок 2.2

область расположена в полосе между прямыми . Её нижняя граница верхняя - Спроектируем область на ось В результате получим отрезок Левой границей области является прямая правой на участке - прямая а на участке - дуга окружности Поэтому область следует разбить на две части а интеграл – на сумму интегралов:

9 Вычислить двойной интеграл если область ограничена окружностью

Решение: область есть круг радиуса один с центром в начале координат.

Введем полярные координаты . В полярных координатах и уравнение окружности принимает вид

10 Вычислить тройной интеграл

по области V, ограниченной плоскостями

Решение:

Внутренний интеграл вычисляем, считая и постоянными.

Полученную функцию от и интегрируем по считая постоянным.

Полученную функцию от интегрируем по

3 Теоретические вопросы

1 Функции нескольких переменных. Область определения. Частные приращения и частные производные. Частные производные высших порядков.

2 Частные дифференциалы. Полное приращение и полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы полного дифференциала.

3 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

4 Дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных.

5 Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума.

6 Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

7 Определения двойного и тройного интегралов, их свойства.

8 Вычисление двойных и тройных интегралов в прямоугольных декартовых координатах.

9 Замена переменных в кратных интегралах. Переход к полярным. цилиндрическим и сферическим координатам.

10 Применение кратных интегралов при вычислении объемов и площадей, при решении задач механики и физики.

Список литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Высш.шк., 2003.-Ч.1-352 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов , и др./ Под ред.А.П.Рябушко.-Минск: Вышэйшая школа, 2000.-Ч.1.-396 с.

3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. - Алматы, 2003-686 с.

Содержание

Введение 3

1 Расчетно-графическая работа. Дифференциальное и

интегральное исчисления функций нескольких переменных 3

2 Решение типового варианта 16

3 Теоретические вопросы 21

Список литературы 22

Сводный план 2012 г., поз.178