Математика 2

Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғарғы математика кафедрасы

 

 

Математика 2

5В081200-Ауыл шаруашылығын энергиямен қамтамасыз ету,
5В073100-Қоршаған ортаны қорғау және өмір тіршілігінің кауіпсіздігі,
5В074600-Ғарыштық техника және технологиялар,
5В071600-Приборлар жасау мамандықтарына
есептеу-сызбалық жұмыстарын орындау үшін арналған
әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар
3-бөлім

 

Алматы 2013

 

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР:  Ким Л.Н., Бексұлтанова А.М. Математика 2: 5В081200- Ауыл шаруашылығын энергиямен қамтамасыз ету, 5В073100- Қоршаған ортаны қорғау және өмір тіршілігінің кауіпсіздігі, 5В074600- Ғарыштық техника және технологиялар, 5В071600- Приборлар жасау мамандықтарына есептеу-сызбалық жұмыстарды орындау үшін арналған  әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. 3-бөлім. -Алматы: АЭжБУ, 2013. - 32 б.

 

Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар жоғарғы математика курсы бойынша 2002 жылғы екінші семестрге арналып жазылған, №7 типтік есептеу бағдарламасы бойынша басылымды толықтырылып және жетілдіріп, есептеу-сызбалық жұмыстарды орындау үшін, АЭжБУ-дың барлық мамандықтарында оқитын студенттерге арналып жазылған. Әдістемелік нұсқауда бағдарламаның негізгі теориялық сұрақтары, тапсырмалардың нұсқалары және оның типтік шешуі берілген. Тапсырмалар күрделілігі бойынша екі деңгейге бөлінген.

          5В081200-Ауыл шаруашылығының энергиямен қамтамасызданды-рылуы, 5В073100-Тіршілік қауіпсіздігі және  қоршаған ортаны қорғау, 5В074600-Ғарыштық техника және технологиялар, 5В071600-Приборлар жасау мамандықтары бойынша оқитын бірінші курс студенттеріне арналған.

          Әдеб.көрсеткіші - 4 атау.

 

          Пікір жазушы: аға оқытушы Елеукулов Е.О.

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2013 ж. жоспары бойынша басылады.

 

           ©«Алматы энергетика және байланыс университетінің» КЕАҚ, 2013 ж.

 

Кіріспе

 

          Бұл әдістемелік нұсқауда «Математика 2» 3-модуль «Қатарлар. Ықтималдықтар теориясы» бағдарламасы бойынша, есептеу-сызбалық жұмыстарын орындауға арналған тапсырмалары және типтік нұсқаудың шешімдері келтірілген. Тапсырмалар отыз нұсқадан тұрады. Тапсырма нөмірінің екінші саны  студент нұсқасы болып саналады.

          Есептеу-сызбалық жұмыс бөлек дәптерге орындалуы тиіс. Есептің шешуі қысқа жазылып, бірақ қажетті теорияға сілтемелері және сызбаларымен толықтырылуы керек, мысал ретінде типтік нұсқаның орындалуын үлгі ретінде қолдануға болады.

         «Қатарлар. Ықтималдықтар теориясы» бөлімін оқытудағы мақсат – техникалық білім алуда қажет болатын ұғымдарды беру. Бұл бөлімдер функцияның жуықтау теориясында және жалпы біртекті кездейсоқ оқиғалардың ықтималдық заңдылығында кең қолданысқа ие болады.

                                                  

          1  Есептеу-сызбалық жұмыс.  Қатарлар, ықтималдықтар теориясы  

 

1.1   Бірінші деңгейлі есептеу тапсырмалары 

 

1-тапсырма. Қатардың жалпы мүшесін,    ( алғашқы n мүшесінің қосындысын)   және   -қалдық қатарын  жазыңыз. қатардың қосындысын табыңыз.

1.1        

1.2  

1.3 

1.4       

1.5   

1.6  

1.7      

1.8    

1.9    

1.10        

1.11    

1.12     

1.13     

1.14    

1.15    

1.16     

1.17                    

1.18     

1.19     

1.20    

1.21   

1.22     

1.23      

1.24      

1.25       

1.26     

1.27   

1.28      

1.29    

1.30     

 

            2 -тапсырма.  Қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындала ма? Егер орындалса, қатарды салыстыру белгілері бойынша жинақтылыққа зерттеңіз.

2.1        

2.2    

2.3  

2.4        

2.5   

2.6   

2.7  

2.8  

2.9    

2.10   

2.11   

2.12   

2.13   

2.14    

2.15    

2.16      

2.17  

2.18     

2.19  

2.20      

2.21   

2.22   

2.23   

2.24   

2.25   

2.26   

2.27   

2.28    

2.29    

 2.30   

                

          3-тапсырма. Даламбер белгісі бойынша қатарды жинақтылыққа зерттеңіз.

3.1   

3.2       

3.3  

3.4   

3.5        

3.6       

3.7    

3.8     

3.9   

3.10     

3.11   

3.12   

3.13   

3.14    

3.15   

3.16   

3.17   

3.18   

3.19        

3.20       

3.21  

3.22   

3.23       

3.24   

3.25      

3.26        

3.27       

3.28 

3.29    

3.30   

                    

          4-тапсырма.  Кошидың радикалдық белгісі бойынша жинақтылыққа зерттеңіз.

4.1    

4.2     

4.3  

4.4   

4.5     

4.6       

4.7  

4.8  

4.9   

4.10   

4.11   

4.12  

4.13    

4.14        

4.15    

4.16   

4.17.

4.18   

4.19    

4.20    

4.21   

4.22    

4.23    

4.24   

4.25   

4.26   

4.27    

4.28       

4.29        

4.30   

         

5-тапсырма.  Қатарды Кошидың интегралдық белгісі бойынша жинақтылыққа зерттеңіз.

5.1   

5.2  

5.3

5.4   

5.5 

5.6  

5.7  

5.8   

5.9    

5.10      

5.11  

5.12  

5.13     

5.14      

5.15   

5.16 

5.17      

5.18   

5.19 

5.20   

5.21  

5.22   

5.23  

5.24

5.25

5.26   

5.27

5.28

5.29  

5.30

         

          6-тапсырма.  Қатарды  Дирихле  қатарымен салыстыра отырып, жинақтылыққа зерттеңіз.

6.1   

6.2   

6.3    

6.4    

6.5   

6.6      

6.7    

6.8    

6.9   

6.10   

6.11   

6.12    

6.13     

6.14    

6.15    

6.16   

6.17   

6.18   

6.19  

6.20  

6.21   

6.22    

6.23   

6.24   

6.25   

6.26   

6.27   

6.28    

6.29   

6.30    

 

          7-тапсырма.  Таңбалары ауыспалы қатарларды абсолютті немесе шартты жинақтылыққа зерттеңіз.

7.1     

7.2      

7.3    

7.4    

7.5    

7.6       

7.7   

7.8   

7.9    

7.10  

7.11   

7.12    

7.13   

7.14    

7.15    

7.16    

7.17       

7.18     

7.19  

7.20          

7.21   

7.22     

7.23     

7.24       

7.25        

7.26     

7.27.     

7.28      

7.29   

7.30   

          8-тапсырма. Жалпы мүшесі   болатын,   функционалдық қатары берілген.   - n мүшесінің қосындысын және   - қалдық қатарын жазыңыз.  Қатардың жинақталу облысын табыңыз.

8.1    

8.2     

8.3 

8.4  

8.5  

8.6  

8.7  

8.8   

8.9   

8.10  

8.11

8.12  

8.13 

8.14  

8.15   

8.16 

8.17  

8.18   

8.19   

8.20 

8.21 

8.22

8.23  

8.24

8.25

8.26  

8.27  

8.28 

8.29  

8.30 

8.31 

8.32 

         

        9-тапсырма.   Қатардың қосындысын  дәлдікке дейін есептеңіз.

9.1        

9.2          

9.3       ,                    

9.4         

9.5    

9.6     

9.7       ,                           

9.8       

9.9      

9.10        ,

9.11     

9.12     

9.13          

9.14       ,

9.15        

9.16      

9.17        

9.178    ,     

9.19            

9.20     

9.21     ,    

9.22       

9.23            

9.24      

9.25              

9.26        

9.27          

9.28     ,

   9.29       

9.30     

 

          10-тапсырма. Интеграл астындағы функцияны дәрежелік қатарға жіктеп, анықталған интегралды 0,001 дәлдікпен есептеңіз.

10.1

 

10.2   

10.3

 

10.4

10.5  

   

  

10.6  

 

10.7 

   10.8

10.9      

 

10.10

 

10.11   

10.12    

10.13

             

10.14       

10.15       

 

 

10.16

10.17      

10.18     

 

10.19         

10.20     

 

10.21     

10.22         

 

10.23       

10.24      

10.25     

10.26     

10.27 

 

10.28     

10.29      

10.30     

 

          11-тапсырма.  периодты функциясын   периодымен  берілген интервалда Фурье қатарына жіктеңіз.

11.1

11.2 

11.3 

11.4

11.5

11.6

11.7 

 

11.8 

 

11.9

11.10 

11.11

11.12 

11.13

11.14

11.15

11.16    

11.17      

11.18  

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23      

11.24 

11.25    

11.26    

11.27 

11.28  

11.29

11.30

1.2   Екінші деңгейлі есептеу тапсырмалары

 

          12-тапсырма.  Қатардың жинақтылық радиусы мен жинақтылық интервалын табу керек.

12.1  

12.2  

12.3   

12.4  

12.5   

12.6      

12.7   

12.8  

12.9  

12.10   

12.11   

12.12 

12.13   

12.14  

12.15   

12.16    

12.17 

12.18    

12.19 

12.20     

12.21    

12.22   

12.23    

12.24    

12.25  

12.26     

12.27      

12.28

12.29

12.30

 

          13-тапсырма.  кесіндісінде берілген периодты функцияны   Фурье қатарына жіктеңіз.

13.1      

13.2      

13.3   

13.4       

13.5  

13.6        

13.7   

13.8    

13.9      

13.10  

13.11 

13.12   

13.13     

13.14     

13.15   

13.16  

13.17    

13.18   

13.19    

13.20    

13.21    

13.22  

13.23   

13.24  

13.25    

13.26   

13.27 

13.28  

13.29     

13.30  

 

«Ықтималдықтар теориясы» курсы бойынша тапсырмалар

         

          14-тапсырма.  Радиосигналдың қабылдауының ықтималдығы әр жіберілуде-ға тең, n ретті жіберілуде сигналдың қабылдануының ықтималдығын табу керек: 1)  рет;     2)  -нен аз болмауының реті.

№

 

№

№

14.1

5

2

0,87

14.2

4

1

0,87

14.3

5

2

0,89

14.4

4

1

0,89

14.5

4

2

0,91

14.6

5

3

0,91

14.7

5

3

0,93

14.8

4

2

0,93

14.9

5

2

0,95

14.10

4

2

0,74

14.11

5

2

0,76

14.12

6

1

0,78

14.13

4

1

0,80

14.14

5

2

0,82

14.15

6

2

0,84

14.16

4

2

0,86

14.17

5

1

0,88

14.18

6

2

0,90

14.19

4

1

0,92

14.20

4

2

0,82

14.21

5

4

0,84

14.22

5

3

0,86

14.23

4

3

0,88

14.24

4

2

0,90

14.25

6

2

0,87

14.26

6

3

0,85

14.27

5

2

0,90

14.28

5

1

0,92

14.29

5

3

0,83

14.30

6

3

0,92

         

          15-тапсырма.

          15.1  Блокқа 3 радиошам кіреді. Олардың әрқайсысының берілген кепілдік мерзімінде істен шығуының ықтималдығы сәйкесінше 0,3;  0,2;  0,4. Берілген кепілдік мерзімінде:

          а) кем дегенде 2 радиошамның істен шығуы;

          б) бірде-бір радиошамның істен шықпау ықтималдығын табыңыз.

          15.2  1-жәшікте 20 бұйым, оның 15 стандарт; 2-жәшікте 30 бұйым, оның 25 стандарт. Әр жәшіктен кездейсоқ бір бұйымнан алғанда:

          а) екі бұйымның да стандарт болып шығуы;

          б) екі бұйымның да стандарт болмай шығуының ықтималдығын табыңыз.

          15.3 Бірінші атқыштың нысанаға тигізуінің ықтималдығы 0,9, екінші атқыштікі 0,7-ге  тең. Екі атқыш бір-бірден оқ атты. Оқ нысанаға:

           а) екі рет;

           б) бір рет дәл тиюінің ықтималдығын табыңыз. 

          15.4 Үш радиолокациялы стансылар бір ғарыштық кемені бақылайды. Олардың әрқайсысының бір циклде кемені байқауының ықтималдығы сәйкесінше 0,7; 0,8; 0,9. Кемені бір циклде:

          а) 3 стансыясының бірдей байқауы; 

          б) кем дегенде 2 стансыяның байқауының ықтималдығын табыңыз.

          15.5  Цехта 3 электр қозғауыш бар. Берілген уақытта олардың қосылып тұруының ықтималдығы сәйкесінше 0,2; 0,3; 0,1- ге тең.

          а) екі электрқозғауыштың;

          б) үш электрқозғауыштың  қосылып тұру ықтималдығын табыңыз.

          15.6  Студент 1-емтиханды тапсыруының ықтималдығы 0,9, 2- емтиханды тапсыруының ықтималдығы 0,7, үшінші емтихандікі - 0,6. 

          а) екі емтиханды;

          б) кем дегенде екі емтиханды тапсыруының ықтималдығын табыңыз.

          15.7  Қарсылас ұшақ 3 радиолокаторлармен - ықтималдықтары сәйкесінше 0,8; 0,7; 0,5 болатындай бақыланады. Ұшақты:

           а) бір  радиолокатордың;

           б) екі радиолокатордың байқап қалынуының ықтималдығы қандай?

          15.8   Қарсылас ұшақтың 1-зенитті қарумен атып түсірудің ықтималдығы - 0,4,  2 - зенитті қарумен атып түсірудің ықтималдығы – 0,5. Бір-бірден оқ атылды. Ұшаққа:

          а) екі оқтың тиюі;

          б) екі оқтың да тимеу ықтималдығы қандай?

          15.9  Лотерея билетінің 1-басылымының ұтып шығу ықтималдығы 0,2, екіншісінікі – 0,3.  Әр басылымнан екі билеттен алынды. 

          а) үш билеттен;  

          в) кем дегенде үш билеттен ұтыс шығатынының ықтималдығын есептеңіз.

          15.10 Атқыштың нысанаға бір атқанда дәл тигізуінің ықтималдығы 0,7, екінші атқанда – 0,5. 

          а) нысанаға екі оқтың тиюінің; 

          б) нысанаға бір оқтың тиюінің ықтималдығын табыңыз.

          15.11  Апатты сигнализацияға бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін сигнализатор орнатылды. Апатты жағдайда 1-сигнализатордың қосылуының ықтималдығы 0,9, екіншісінікі – 0,7. Апатты жағдайда:

          а) екі сигнализатордың бірдей қосылуының; 

          б) екеуінің де қосылмауының ықтималдығын табыңыз.

          15.12  Инженер 3 анықтаманы қолданып есеп жүргізеді. Оған қажетті мағлұматтар бірінші анықтамада болуының ықтималдығы 0,6, екіншіде болуының - 0,7, үшіншіде - 0,8. Инженерге қажетті мағлұмат: 

          а) тек бір анықтамада; 

          б) тек екі анықтамада болуының ықтималдығын табыңыз.

          15.13 Телестудияда 3 телевизиялық камера бар. Әр камераның осы сәтте қосылып тұруының ықтималдықтары, сәйкесінше 0,9; 0,8; 0,7. Осы сәтте бірдей:

          а) екі камераның; 

          в) үш камераның қосылып тұруының ықтималдығын табыңыз.

          15.14 1-жәшікте 25 бұйым, оның 10 стандарт; 2-жәшікте 30 бұйым, оның 15 стандарт. Әр жәшіктен кездейсоқ бір бұйымнан алғанда:

          а) екі бұйымның да стандарт болып шығуы;

          б) екі бұйымның да стандарт болмай шығуының ықтималдығы қандай?

          15.15  Бірінші атқыштың нысанаға тигізуінің ықтималдығы 0,85, екінші атқыштікі - 0,6 - ға тең. Екі атқыш бір-бірден оқ атты. Оқ нысанаға:

           а) екі рет;

           б) бір рет дәл тиюінің ықтималдығын қандай?

          15.16 Үш радиолокациялы стансылар бір ғарыштық кемені бақылайды, олардың әрқайсысының бір циклде кемені байқауының ықтималдығы сәйкесінше 0,75; 0,8; 0,95. Кемені бір циклде:

          а) 3 стансыясының бірдей байқауы; 

          б) стансылардың мүлдем байқамауының ықтималдығын табыңыз.

          15.17  Цехта 3 электр қозғауыш бар. Берілген уақытта олардың қосылып тұруының ықтималдығы сәйкесінше 0,3; 0,4; 0,2 тең.

          а) екі электрқозғауыштың;

          б) үш электрқозғауыштың  қосылып тұру ықтималдығын табыңыз.

          15.18  Студент 1-емтиханды тапсыруының ықтималдығы 0,75; 2- емтиханды тапсыруының ықтималдығы 0,8; үшінші емтихандікі - 0,7. 

          а) екі емтиханды;

          б) кем дегенде екі емтиханды тапсыруының ықтималдығын табыңыз.

          15.19 Қарсылас ұшақ 3 радиолокаторлармен, ықтималдықтары сәйке-сінше 0,85; 0,65; 0,55 болатындай бақыланады. Ұшақты:

           а) бір  радиолокатордың;

           б) екі радиолокатордың байқап қалынуының ықтималдығы қандай?

          15.20 Қарсылас ұшақтың 1-зенитті қарумен атып түсірудің ықтимал-дығы - 0,3, 2-зенитті қарумен атып түсірудің ықтималдығы – 0,4. Бір-бірден оқ атылды. Ұшаққа:

          а) екі оқтың тиюі;

          б) екі оқтың да тимеу ықтималдығы қандай?

          15.21  Лотерея билетінің 1-басылымының ұтып шығу ықтималдығы 0,3, екіншісінікі – 0.4.  Әр басылымнан екі билеттен алынды. 

          а) үш билеттен;  

          в) кем дегенде үш билеттен ұтыс шығатынының ықтималдығын есептеңіз.

          15.22-15.30 Жарысқа 3 споршы қатысты. Әрқайсысының сайыс сайын нәтижелерін жақсартуының ықтималдықтары сәйкесінше   ,  және  .  Үш спортшының:

          а) екеуі өз нәтижесін жақсартуы;

          б) кем дегенде біреуінің өз нәтижесін жақсартуының ықтималдығын табыңыз.

   №

    №

   №

15.22

0,2

0,1

0,3

15.23

0,4

0,1

0,2

15.24

0,2

0,4

0,1

15.25

0,1

0,2

0,3

15.26

0,4

0,3

0,2

15.27

0,1

0,2

0,3

15.28

0,2

0,1

0,4

15.29

0,3

0,4

0,1

15.30

0,4

0,3

0,2

 

          16 тапсырма.

          16.1  Телеграфтық  хабарлама «нүкте» және «сызықша» белгілерінен тұрады. Хабарламада олар 5:3 қатынасында кездеседі. Кедергілердің статистикалық қасиеті бойынша, орта есеппен 2/5 хабарламада «нүкте» және 1/3 хабарламада «сызықша» кездеседі.

          а) жіберілген белгінің қабылдануының;

          б) қабылданған белгі  – «сызықша» болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.2  20% құрылғы микромодулдердің көмегімен жөнделеді, қалғандары – интегралдық сұлбаның көмегімен жөнделеді. Құрылғының тиімділігі микромодульдің көмегімен – 0,9, интегралдық к сұлбаның көмегімен – 0,8.  

          а) жұмыстың тиімділігінің ықтималдығы;

          б) Істеп тұрған құрылғының микромодульді екендігінің ықтималдығын табыңыз.

          16.3 Түскен бөлшектердің  305-і – №1 зауыттан, қалғандары – №2 зауыттан. №1 зауыт үшін жарамсыз бөлшектің болуының ықтималдығы 0,02, №2 зауыт үшін – 0,03.

          а) кездейсоқ алынған  бөлшек стандартты болуының;

          б) кездейсоқ алынған бөлшек  №1 зауыттан болуы және оның стандартты болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.4   Зат өңделуге екі станоктың біріне түсу ықтималдығы сәйкесінше: 0,4 және 0,6. 1-станоктан  жарамсыз заттың шығу ықтималдығы 2%, екіншісінен – 3%.        

          а) өңдеуден кейін кездейсоқ алынған заттың – стандартты болуының;

          б) кездейсоқ алынған зат 1- станоктан шығуының ықтималдығын табыңыз.

          16.5 30 шары бар 5 жәшікте -  5 қызыл шардан, 20 шары бар 6 жәшіктің әрқайсысында  4 қызыл шардан бар.

          а) жәшіктерден кездесоқ алынған шар қызыл болуының ықтималдығы;

          б) жәшіктерден кездесоқ алынған қызыл шар, алғашқы бес жәшіктен болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.6   Желі арқылы А және В типті екі белгі беріледі, ықтималдықтары сәйкесінше  0,8 және 0,2. Орта есеппен  А типті  белгіден 60%  және В типті белгіден 70%  қабылданады.

а) соңғы белгінің қабыл болуының ықтималдығын;  

          б) қабылданған белгі А типті болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.7  Құрастыру үшін бөлшектер үш конвейерден түседі. Біріншісі - 25%, екіншіісі – 30%  және үшіншісі – 45 % -ын береді. Бірінші конвейерден 2%, екіншіден – 3%, үшіншіден – 1% істен шыққан бөлшек шығады.    

          а) құрастыру үшін істен шыққан бөлшектің түсуі;

          б) құрастыру үшін алынған істен шыққан бөлшек екінші конвейерден болу ықтималдығын табыңыз.

          16.8   Екі қорапта біртекті конденсаторлар бар. Біріншіде 20 конденсатор бар, оның екеуі істен шыққан, екіншісінде – 10, оның  3-і істен шыққан.

          а) қораптардан кездейсоқ алынған конденсатор қолдануға жарамды болуының;

          б)  қораптардан кездейсоқ алынған конденсатор қолдануға жарамды болуынын және оның қай қораптан алынған болуының ықтималдығын табыңыз?

          16.9   Есептеу зертханасында 40% микрокалькуляторлар және 60% дисплейлер бар. Есептеу нәтижесінде 90% микрокалькуляторлар және 80% дисплейлер мүлтіксіз жұмыс істейді. 

          а) кездейсоқ алынған есептеу машинасы есептеу кезінде бұзылмай істеуінің;

          б) кездейсоқ алынған есептеу машинасы есептеу кезінде бұзылмай істеуінің және оның қай типтен екендігінің ықтималдығын табу керек.

          16.10 Студенттер арасындағы жарыста бірінші топтан 5 студент, екінші және үшінші топтан 6 және 10 студенттен бөлінді. Спорт шеберлерінің нормасын орындаудың ықтималдығы 1-топ үшін  0,3, екінші топ үшін – 0,4, үшінші топ үшін – 0,2.

          а) кездейсоқ алынған студент норманы орындауының;

          б) норманы орындаған студент 2-топтан болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.11  Болттар дайындайтын учаскеде барлық бұйымдардың 1-станок  25%, екіншісі – 35%, үшіншісі – 40% шығарады. Жарамсыз болттарды әр станок сәйкесінше 5%, 4% және 2%шығарады.

          а) кездейсоқ алынған болт жарамсыз болуының; 

          б) кездейсоқ алынған болт жарамсыз болып және ол 3 - станоктан шығу ықтималдықтарын анықтаңыз.

          16.12  Құрастыру үшін бөлшектер 4 автоматтан түседі. Өңдеуге түскен бөлшектердің біріншісі 40%, екіншісі – 30%, үшіншісі 20% , төртіншісі – 10% өңдейді. 1-автомат  0,1%, екіншісі - 0,2%, үшіншісі – 0,25%, төртіншісі  – 0,5% жарамсыз бөлшек береді.

          а) құрастыруға түскен бөлшек жарамды болуының;

          б) құрастыруға түскен бөлшек жарамды болып және ол 1-автоматтан болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.13  Ғарыштық кемеден жіберілген аппаратты іздеуге бірінші типті 4 тікұшақ, екінші типті 6 тікұшақ вертолет жіберілді. 1-типті әр тікұшақтың аппаратты табу ықтималдығы  0,6, 2-типтік тікұшақтікі -0.7.

          а) кездейсоқ  тікұшақ  аппараты табатындығының;

          б) аппаратты тапқан тікұшақ қай типтен болатындығының ықтималдығын анықтаңыз.

          16.14  30% құрылғы микромодульдердің көмегімен жөнделеді, қалғандары – интегралдық сұлбаның көмегімен жөнделеді. Құрылғының тиімділігі микромодульдің көмегімен – 0,8, интегралдық сұлбаның көмегімен – 0,7 болады.  

          а) жұмыстың тиімділігінің ықтималдығы;

          б) істеп тұрған құрылғының микромодульді екендігінің ықтималдығын табыңыз.

          16.15  Түскен бөлшектердің  35% – №1 зауыттан, қалғандары – №2 зауыттан. №1 зауыт үшін істен шыққан бөлшектің болуының ықтималдығы 0,03, №2 зауыт үшін – 0,04.

          а) кездейсоқ алынған бөлшек стандартты болуының;

          б) кездейсоқ алынған бөлшек  №1 зауыттан болуы және оның стандартты болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.16   Зат өңделуге екі станоктың біріне түсу ықтималдығы сәйкесінше: 0,3 және 0,7. Заттың дұрыс шықпау ықтималдығы 1-станоктан 2%, екіншісінен – 3%. 

          а) өңдеуден кейін кездейсоқ алынған заттың – стандартты болуының;

          б) кездейсоқ алынған зат 1-станоктан шығуының ықтималдығын табыңыз.

          16.17 40 шары бар 5 жәшікте -  10 қызыл шардан, 30 шары бар 6 жәшіктің әрқайсысында  5 қызыл шардан бар.

          а) жәшіктерден кездесоқ алынған шар қызыл болуының ықтималдығы:

          б) жәшіктерден кездесоқ алынған қызыл шар, алғашқы бес жәшіктен болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.18   Желі арқылы А және В типті екі белгі беріледі, ықтималдықтары сәйкесінше  0,7 және 0,3. Орта есеппен  А типті  белгіден 60%  және В типті белгіден 70%  қабылданады.

          а) соңғы белгінің қабыл болуының ықтималдығын;  

          б) қабылданған белгі А типті болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.19  Құрастыру үшін бөлшектер үш конвейерден түседі. Біріншісі - 20%, екіншісі – 35%  және үшіншісі – 45 % -ын береді. Бірінші конвейерден 3%, екіншіден – 2%, үшіншіден – 1% жарамсыз бөлшек шығады.    

          а) құрастыру үшін жарамсыз бөлшектің түсуі;

          б) құрастыру үшін алынған жарамсыз бөлшек, екінші конвейерден болу ықтималдығын табыңыз.

          16.20   Екі қорапта біртекті конденсаторлар бар. Біріншіде 30 конденсатор бар, оның үшеуі істен шыққан, екіншісінде – 20, оның  4-і істен шыққан.

          а) қораптардан кездейсоқ алынған конденсатор қолдануға жарамды болуының;

          б)  қораптардан кездейсоқ алынған конденсатор қолдануға жарамды болуынын және оның қай қораптан алынған болуының ықтималдығын табыңыз.

          16.21   Есептеу зертханасында 30% микрокалькуляторлар және 70% дисплейлер бар. Есептеу нәтижесінде 90% микрокалькуляторлар және 80% дисплейлер мүлтіксіз жұмыс істейді. 

          а) кездейсоқ алынған есептеу машинасы есептеу кезінде бұзылмай істеуінің;

          б) кездейсоқ алынған есептеу машинасы есептеу кезінде бұзылмай істеуінің және оның қай типтен екендігінің ықтималдығын табу керек.

          16.22-16.30 Дүкендегі теледидарлардың    №1 зауыттан шығады, қалғандары –  №2 зауыттан. Теледидардың кепілдік мерзімінде бұзылмауының  ықтималдығы №1 және № 2 зауыт үшін  және  -ге  тең.

          а)  сатып алынған теледидар кепілдік мерзімін ақтайтындығының;

б)  сатып алынған теледидар кепілдік мерзімін ақтап және ол №2 зауыттан шығу ықтималдығын  анықтаңыз.

   №

    №

   №

16.22

0,9

0,7

40

16.23

0,8

0,65

60

16.24

0,7

0,8

30

16.25

0,9

0,7

35

16.26

0,7

0,9

60

16.27

0,85

0,7

30

16.28

0,75

0,85

65

16.29

0,8

0,75

45

16.30

0,75

0,65

70

 

1.3  Типтік нұсқаның шешуі

          1.  қатарының жалпы мүшесін жазып және алғашқы бес мүшесін жазу керек.  -  мүшесінің дербес қосындысын, - қалдық қатарын және   табу керек. Қатардың қосындысын табыңыз.

           Шешуі: қатардың жалпы мүшесі  ,

=

=,   =.

          Қатардың жалпы мүшесін қарапайым бөлшектерге жіктесек:

  болса:        болғанда: 

         Осыдан, Алғашқы  мүшесінің қосындасын табайық:

         Қатардың қосындысын есептесек: 

2. Қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындала ма? Орындалса,  қатарын салыстыру белгілерін пайдаланып, жинақтылыққа зерттеңіз.       

          Шешуі: Қатардың жалпы мүшесін жазайық:  .     теңдігінен қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындалатынын көреміз.

            болғандықтан,    және

  қатары салыстырудың екінші белгісі бойынша жинақсыз. 

            қатарын  жинақсыз  қатарымен салыстырып,  аламыз, салыстырудың бірінші белгісінен қатарымыздың жинақсыз екенін көреміз.

          3.     қатарын Даламбер белгісі бойынша жинақтылыққа зерттеңіз.

          Шешуі:     Даламбер белгісі бойынша:  

Сондықтан қатар жинақты.

          4. қатарын Кошидың радикалды белгісі бойынша жинақтылыққа зерттеңіз.

          Шешуі:  Кошидың радикалды белгісі бойынша:

.  

          Сондықтан  қатар жинақты.

          5.   қатарын Кошидың интегралдық белгісі бойынша жинақтылыққа зерттеңіз.

          Шешуі:  қатардың жалпы мүшесін жазайық    Бұл қатарға ұқсас қатарын қарастырайық. Кошидың интегралдық белгісі бойынша ол жинақсыз, себебі   интегралы жинақталмайды.   Демек    яғни, . Сондықтан салыстырудың бірінші белгісі бойынша қатар жинақсыз.     

          6.     Дирихле қатарымен салыстыра отырып, берілген қатарды жинақтылыққа зерттеңіз.        

          Шешуі: қатардың жалпы мүшесін алайық    .

         Бөлшектің алымы мен бөлімінің дәрежелерінің айырмашылығы бірге тең.

         Сондықтан берілген қатарды салыстырудың екінші белгісі бойынша Дирихле қатарымен салыстырайық:  мұнда яғни  (гармоникалық жинақсыз қатар).

      болғандықтан, екі қатар да бірдей жинақсыз.

 

            7.  Төмендегі таңбалары ауыспалы қатарларды абсолютті және шартты жинақтылыққа зерттеңіз:

         

          Шешуі:       а)   қарастырайық. Бұл қатар салыстырудың екінші белгісі бойынша жинақты. Оны  (Дирихле жинақты қатарымен  ) салыстырайық;   болғандықтан екі қатар бірдей жинақты.  - жинақты болғандықтан,  абсолютті жинақты ;

          б) берілген  қатарын    қатарымен салыстырайық. Салыстырудың екінші белгісі бойынша    сондықтан ол жинақсыз деген тұжырымға келеміз. Бұдан берілген қатар абсолют жинақталмайды. Лейбниц шартын тексерсек:  .  Олар орындалады, яғни қатарымыз шартты жинақты;

          с)   берілген қатарымыз үшін  Лейбниц шарты орындалмайды    Шынында,   Мұнан қатар жинақсыз екендігі шығады.

.         8.    функционалды қатары берілген. Жалпы мүшесі  .  Алғашқы    мүшесінің дербес қосындысын    және    қалдық қатарын жазыңыз.

          Шешуі:      = 

          Біздің жағдайымызда:

,  осыдан

.

,

          9   Берілген функционалдық қатарлары үшін жинақталу облысын анықтаңыз:

          а)   ;   б)

         

          Шешуі:     а)      

Даламбер белгісі бойынша     Осыдан  немесе   Берілген қатарымыз үшін жинақталу интервалы  болады.

           болғанда    ол қатарды жинақталудың екінші белгісі бойынша зерттейік.     жинақсыз қатарымен салыстырып,  қатарының жинақсыз екендігі шығады, яғни  жинақталу облысына кірмейді; 

 болғанда,    Ол қатар Лейбниц шарттарын қанағаттандырғандықтан, шартты жинақты болады:

            Демек  жинақталу облысына кіреді. Қорыта келе,  қатардың жинақталу облысы болады;

          б)  ,  Жинақталу  радиусын төмендегі формула бойынша табамыз:

 

          Демек, қатар тек  нүктесінде жинақты.

10.    қатарының қосындысын    дәлдікке дейін есептеңіз.                     

          Шешуі:  қатар таңбалары ауыспалы және жинақты болғандықтан, оның бірінші мүшесінің абсалют шамасымен салыстырғанда, абсолютті қателігі  төмен болатындай, дербес қосындысы  , қатардың жалпы    қосындысына жуықтайды.  

          Қатардың алғашқы бірнеше мүшесін есептейік:  Абсалют шамасы көрсетілген дәлдіктен кіші болған жағдайда тоқтаймыз. Біздің жағдайда:   Демек жоғарыда көрсетілген  таңбалары ауыспалы қатардың қасиеті бойынша:

 

          11.  Функцияны  Тейлор қатарына    дәрежесі бойынша жіктеңіз.

         

          Шешуі:     төмендегі екі дәрежелі үш мүшенің түбірлерін табайық:               .

         Бұдан,  функцияны былай түрлендіруге болады: 

= 

        Әр қосылғышты белгілі формулалар бойынша Тейлор қатарына жіктейік:

                       

       Осы қатарларды қосып, берілген функция үшін Тейлор қатарын аламыз:

            дәрежелік қатары ретінде қарастырайық. Оның 2 мүшесінен басқа коэффициенттерінің бәрі 0-ге тең және сандық осьте жинақталатын болсын делік. Оны  функциясының (сандық осьте жиналатын) Тейлор қатарына көбейтіп, төмендегі өрнекті аламыз:

          12.    берілген дәлдікке  дейін есептеңіз.

          Шешуі: интеграл астындағы өрнекті биноминальді қатарға жіктейік:

мұндағы  

         Бұл қатар  болғанда жинақталады. 0  ден  аралығында қатардың әр мүшесін интегралдап:

аламыз. Таңбалары ауыспалы қатар алдық, енді осы қатарды 0,0001 дәлдікке дейін қосындысын табайық. Алғашқы бірнеше мүшесін табайық:

   болғандықтан, таңбасы ауыспалы қатардың қасиетіне сүйеніп:  

 

 

          13.  Периодты функцияны Фурье қатарына жіктейік:

         

          Шешуі: Фурье  қатарының коэффициенттерін анықтау үшін төмендегі формулаларды пайдаланайық:

 

 мұндағы      онда   

Бұдан: 

 формулаға қою арқылы,  мұндағы   алатынымыз:

 

          14.  Периодты функцияны Фурье қатарына жіктейік

         

          Шешуі:  Фурье коэффициенттерін табайық:

Мұндай функциялар үшін Фурье қатары мынадай болады: 

          Табылған коэффициенттерді формулаға қойып, қажетті жіктеуді аламыз:

 

          15.   кесіндісінде   функциясын  Фурье  қатарына жіктейік.

          Шешуі: функциясы үшін Фурье қатары: .

  Фурье коэффициенттері төмендегі формула бойынша табылады:

,    ,,  мұндағы  .

.         

   

  

+ .     

Берілген функция үшін Фурье қатары:                   

4. 

       

          16.   Қоймада бір типті  80 теледидар бар. Олардың 40-ы  №1 зауыттан, 24 –№2 зауыттан және 16 – №3 зауыттан шыққан. Жоғарғы сапалы теледидар дайындаудың ықтималдығы әр зауыт үшін сәйкесінше 0,9; 0,8; 0,6-ға тең. Қоймадан кездейсоқ алынған бірінші теледидар жоғарғы сапалы болуының ықтималдығын анықтау керек. Алынған теледидар   №1 зауыттан,  №2 зауыттан, №3 зауыттан шығу ықтималдығын табыңыз.

          Шешуі:  қоймадан кездейсоқ алынған теледидардың жоғарғы сапалы болу оқиғасын А- деп белгілейік. Алынған теледидар үш зауыттың бірінен болуы мүмкін. Үш жағдай болуы мүмкін ( үш гипотеза):  H1 - теледидар №1 зауыттан шығуы;  H2  - №2 зауыттан;  H3 -  №3 зауыттан.

     

          А оқағасының шартты ықтималдықтары берілген:

         

          Толық ықтималдықтың формуласы бойынша:

              

        Көбейтудің   қасиеті   және   толық   ықтималдықтың   формуласының салдарынан Байес формуласын аламыз (немесе гипотез ықтималдықтардың  теоремасы).

         - Байес формуласы.

 

          Алынған нәтижелерді  болжам ықтималдықтарымен салыстыра отырып, А оқиғасының болуы жорамал болжам ықтималдықтарының бағалауына алып келетінін көреміз. Бірінші жорамал болжам ықтималдығының  көтеріліп, қалған екеуі төмендегенін көреміз.

 

          17  Телестудияда 5 телевизиялық камера бар. Белгілі уақытта әр камераның қосылып тұру ықтималдығы 0,6-ға тең. Берілген уақытта:

          а)  екі камераның;

          б)  кем дегенде төрт камераның;

          в)  кем дегенде бір камераның қосылып тұру ықтималдығын табыңыз.

          Шешуі:  а) Бернулли формуласы бойынша ,

 

;

 

          б)  кем дегенде төрт дегеніміз  – бұл төрт немесе бес. Қосылмайтын оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасы бойынша, ізделініп отырған ықтималдық төмендегідей болады:

          ;

         

          в) ізделініп отырған оқиғаға қарама-қарсы оқиға: «бірде-бір камераның қосылмауы» болады. Ол оқиғаның ықтималдығы        

            онда     

          Біздің мысалда

         

 

Теориялық сұрақтар

 

          1  Сандық қатарлар. Жинақтылық және қатардың қосындысы. Қатардың жинақтылығының қажетті шарты.

          2   Салыстыру белгілері.

          3   Даламбера және Коши белгілері.

          4   Жинақталудың интегралдық белгісі.

          5 Таңбалары ауыспалы қатарлар. Лейбниц теоремасы.  Қатардың қалдығын бағалау.

          6 Таңбалары ауыспалы қатарлар. Қатардың абсолют және шартты жинақтылығы.

          7 Функционалдық қатарлардың жинақталу облысы. Бірқалыпты жинақталу ұғымы. Вейерштрас белгісі.

          8 Мүшелеп интегралдау және бірқалыпты жинақталатын қатарларды дифференциалдау.

          9 Дәрежелік қатарлар. Абель теоремасы. Дәрежелік қатарлардың жинақталу интервалы мен радиусы.

          10  Тейлор қатары. Төмендегідей функциялардың   бойынша жіктелуі:

          11 Тригонометриялық Фурье қатары және оның коэффициенттері. Дирихле теоремасы.

          12    периодты функциялар үшін Фурье қатары.                 

          13   Периодты емес, тақ және жұп функциялары үшін Фурье қатары.

          14  Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары. Кездейсоқ оқиғалар. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. Қатысты жиілік.  

          15 Ықтималдықтарды қосу теоремасы. Оқиғалардың қосындысы. Қосылмайтын оқиғалардың ықтималдықтарын қосу теоремасы. Оқиғалардың толық топтамасы. Қарама-қарсы оқиғалар.

          16  Ықтималдықтарды көбейту теоремалары. Оқиғалардың көбейтіндісі. Шартты ықтималдық. Тәуелді және тәуелсіз оқиғалардың ықтималдықтарын көбейту теоремасы.

          17  Қосу және көбейту теоремаларының салдары. Біріккен оқиғалардың ықтималдықтарының қосу теоремасы. Толық ықтималдықтың формуласы. Байес формуласы.

          18  Оқиғаның қайталануы. Бернулли  формуласы.

 

Әдебиеттер тізімі

 

          1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.- М.: Высш. Шк., 1986. – Ч.2-352 с.

          2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 1991.-Ч.3-351 с.

          3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

          4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть.-М.: Айрис-пресс, 2003.-256 с.

          5. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы: 2003.-686 с.

          6. Математика 3. Конспект лекций для студентов всех форм обучения всех специальностей. Алматинский институт энергетики и связи: 2007.

          7. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов.-М.: Высш. Школа, 2003.-279

          8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам.-М.: Айрис-пресс, 2003.-279 с.

          9. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 4 ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 2007.-Ч.4-335 с.

          10. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-109 с.

          11. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М.: Высш.школа, 1999.-400 с.

 

Мазмұны

 

Кіріспе 

1   3-типтік есептеу. Қатарлар 

1.1  Бірінші деңгейлі есептеу тапсырмалары

1.2  Екінші деңгейлі есептеу тапсырмалары 

1.3  Типтік нұсқаны шешу 

1.4  Теориялық сұрақтар 

1.5 Әдебиеттер тізімі