Коммерциялық емес акционерлік қоғамы
АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА және БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ
ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ
Математика 3
Барлық бөлімнің 5В0717 «Электроэнергетика», 5В0718 «Жылуэнергетика»,
5В0719 «Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар»,
5В0702 «Автоматтандыру және басқару» мамандықтарында
оқитын студенттер үшін есептеу-графикалық жұмыстарды
орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 5-бөлім
Алматы 2010
ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: С. Е. Базарбаева, Г. А. Ұлтарақова. Математика 3. Барлық бөлімнің мамандықтарында оқитын студенттер үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. 5-бөлім. – Алматы: АЭжБИ, 2010. – 25 б.
Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар барлық бөлімнің мамандықтарында оқитын студенттер үшін «Математика 3» пәнінің №5 есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған. Ұсынылған тақырып «Математика 3» пәнінің «Кездейсоқ оқиғалар және кездейсоқ шамалар (жалпы қасиеттері)» бөліміне сәйкес келеді. Мұнда бағдарламаның негізгі теориялық сұрақтары, тапсырмалардың нұсқалары және типтік нұсқаның шешуі берілген.
ПІКІР ЖАЗУШЫ: АЭжБИ профессоры, тех. ғыл.-ның канд. проф. Ералиев С.Е.
Кіріспе
Берілген әдістемелік нұсқауда есептеу-графикалық жұмыстарының (ЕГЖ) тапсырмалары және типтік нұсқаның шешуі берілген.Тапсырмалар «Математика 3» пәнінің «Кездейсоқ оқиғалар және кездейсоқ шамалар (жалпы қасиеттері)» бөліміне сәйкес келеді. Негізгі теориялық біліктілік [6] дәрістер жинағында келтірілген, ал негізгі теориялық сұрақтар [7] әдістемелік нұсқауда көрсетілген.
Бірінші деңгейлік есептерді шығару үшін негізгі формулалар берілген. Сонымен қатар, типтік нұсқаудың шешімі көрсетілген. Барлық есептеулерді «МАТНСАD» бағдарламасында жүргізуге болады.
Сырттай оқитын студенттер үшін бақылау жұмысының нұсқасы сынақ кітапшасының нөмірін 30-ға бөлгендегі қалдығы бойынша анықталады. Есептеу-графикалық жұмысы жеке дәптерде орындалу қажет.
1. «Кездейсоқ оқиғалар және кездейсоқ шамалар (жалпы қасиеттері)» модуліне әдістемелік нұсқаулар. Есептерді шығаруға қажетті негізгі формулалар.
1.1 Кездейсоқ оқиғалар
1.
Алмастырулар 
2.
Орналастырулар 
3.
Терулер 
немесе
4. Оқиғалар және оқиғаларға қолданылатын операциялар (оқиғалар алгебрасы)
Оқиғалардың қиылысуы (көбейту) А ÇB. Үйлесімсіз оқиғалар - A*B=Æ. Оқиғалардың қосындысы –(С=А È В, С=А+В), А + W = W, А + Æ = А
Оқиғалардың айырымы –(А-В=С), (А\В=А-В). Қарама-қарсы оқиға - Ā.
5.
Оқиғаның
ықтималдығының классикалық анықтамасы
(1)
Ықтималдықтың қасиеттері:1.
2. 
3. 
4.
6. Оқиғаның түсуінің жиілігі (ықтималдықтың статистикалық анықтамасы)
7. Ықтималдыққа қолданылатын амалдар:
7.1.
Шартты ықтималдық 
7.2. Ықтималдықтарды
көбейту формуласы: 
)
7.3. Тәуелсіз
оқиғалардың көбейтіндісінің
ықтималдығы: егер 
, онда 
7.4. Ықтималдықтарды қосу формуласы: р(А+В)=р(А)+р(В)-р(А·В). Егер А·В=Æ, онда р(А+В)=р(А)+р(В)
7.6. Толық ықтималдықтар формуласы : Егер А : Н1+Н2+…+Нi=U ,
А:
А=Н1·А+Н2·А+…+Нn·А,
онда 
-толық ықтималдықтың
формуласы.
7.7. Байес формуласы: 
8. Тәуелсіз тәжірибелер тізбегі
8.1 Биномдық үлестірім. Бернулли тәжірибелерінің кестесі.
,
мұндағы
q=1-p (Бернулли
формуласы).
8.2 Муавр-Лапластың локальдық формуласы.
Егер n→∞,онда Бернулли тәжірибесінің ықтималдығын есептеуге
жуықтау формуласын қолданады: 
,
мұндағы 
8.3 Пуассон формуласы. Сирек құбылыстар заңы.
Пуассон заңы, егер n→∞ және р ықтималдығы өте аз болғанда немесе р→1 қолданылады. Мұндағы λ=n·p=const. Онда әрбір n тәжірибе кезінде А оқиғасының тура m рет пайда болуының ықтималдығы:
8.4 А оқиғасының ең үлкен ықтималды саны n·p - q ≤ k ≤ n·p + p теңсіздігімен анықталады.
1) Егер (n+1)·p – бөлшек сан болса, онда k= (n+1)·p
2) Егер (n+1)·p – бүтін сан болса, онда k= (n+1)·p н/е k= (n+1)·p-1
8.5 Муавр-Лапластың интегралдық формуласы:
Егер А оқиғасының әрбір тәжірибе жүргізгендегі ықтималдығы р тұрақты болса, онда n тәжірибеде А оқиғасы k1 –ден кем емес k2 -ден артық емес k1≤ A≤ k2 рет пайда болу ықтималдығы келесідегідей болады:
Егер n аз болса (n ≤10), онда қосындыны 8.1 формуласымен есептейді. Егер n үлкен болса (n→∞), онда:
,
Mathcad-та: p(k1≤ A≤ k2)= pnorm(x2,0,1) – pnorm(х1,0,1)
1.2 Кездейсоқ шамалар
Әрбір ω элементар оқиғасына ξ санын сәйкестендіретін, яғни ξ(ω), функциясын кездейсоқ шама дейді. Дискретті кездейсоқ шамасының сипаттамасы үлестірім заңымен беріледі.
|
ξ |
|
|
… |
|
|
р |
|
|
… |
|
Қасиеттері:1. рк ≥ 0, 2. ∑рк=1 ,
1.2.1.Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы. F(x)=p(ξ ‹ x)
кездейсоқ шамасының
F(x) үлестірім функциясы деп
ξ –дің барлық мәндерінің
ықтималдығын айтады‹
x,
яғни
p(ξ
‹ x).
Қасиеттері: 1. 0 ≤
F(x)
≤ 1 2. F(-∞)=0 , 3. F(+∞)=1, 4. Егер
x1<
x2 ,
онда F(x1) ≤
F(x2) -
кемімейтін
функция. 5. P(x1 ≤
ξ ≤
x2)=F(x1) –
F(x2) 6.
F(x)=F(x – 0
)
1.2.2.Үзіліссіз кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы
Егер - ∞ -тен х-ке дейінгі интегралы F(x) үлестірім функциясын беретін f(x) функциясы бар болса, онда осы f(x) функциясын үзіліссіз кездейсоқ шамасының үлестірім тығыздығы дейді.
.
Қасиеттері.
1.f(x) =
F`(x) 2. f(x)
≥ 0 . 3. p(x1 ≤
ξ ≤
x2) =
.
4.
. 5. p(ξ
= x) = 0
1.2.3. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары
1.2.3.1. Математикалық
үміт - қандай да бір фигураның
ауырлық центрінің аналогы. Математикалық үміттің
ықтималдық мағынасы –берілген кездейсоқ оқиға
барысындағы ең ықтималды оқиға б. т. Математикалық
үміт келесі формулалармен есептелінеді: М(ξ) =
- дискретті кездейсоқ шама үшін және М[
]=
-үзіліссіз кездейсоқ шама үшін. Математикалық
үміттің қасиеттері: 1. М(а·ξ–b)
= a·M(ξ) + b;
2. M(ξ1+ξ2)=M(ξ1)+M(ξ2) 3. M(ξ1·ξ2) = M(ξ1)·M(ξ2)
1.2.3.2. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы -
D(ξ)
– М[ξ –
M(ξ)]2 (М(М(ξ)) = М(ξ)
D[]=
- дискретті
кездейсоқ шама үшін және D[]=
-үзіліссіз
кездейсоқ шама үшін .
Қасиеттері: 1. D(С)=0.2. D(С·x) = С2·D(x) 3. D(а·x + b)=а2·D(x)
4)D(x) = М(x2) - М2(x)
1.2.3.3. Ортаквдраттық ауытқуы:
2. Бірінші деңгейлік тапсырмалар
2.1. Екі ойын сүйегі лақтырылады. Түскен ұпайлардың : а) қосындысы N-нен аспайды; б) ұпайлардың көбейтіндісі N-нен аспайды; в) ұпайлардың көбейтіндісі N-ге бөлінетіндігінің ықтималдықтарын анықтау керек.
К е с т е 1- 1 есепке берілген мәліметтер
|
Нұсқаудың нөмірі |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
N |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
3 |
4 |
|
Нұсқаудың нөмірі |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
N |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
Нұсқаудың нөмірі |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
N |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
2.2. 4 сортты
бұйымның ішінде i-ші сортты бұйымның саны
,
i = 1,2,3,4.
Бақылауға кезкелген
m бұйымы алынады.
Солардың ішінде 
бірінші
сортты, сәйкесінше 
және
екінші, үшінші және
төртінші сортты 
бұйымдар болатындығының ықтималдығын
анықтау керек.
К е с т е 2- 2 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
3 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
4 |
1 |
4 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
5 |
4 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
|
6 |
3 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
|
7 |
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
|
8 |
2 |
5 |
2 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
|
9 |
4 |
2 |
3 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
10 |
3 |
3 |
4 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
11 |
2 |
3 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
12 |
1 |
3 |
4 |
3 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
13 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
1 |
2 |
3 |
5 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|
15 |
2 |
3 |
4 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
16 |
3 |
2 |
2 |
4 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
17 |
4 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
18 |
3 |
3 |
4 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
|
19 |
2 |
4 |
5 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
|
20 |
3 |
4 |
3 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
|
21 |
2 |
5 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
|
22 |
4 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
|
23 |
2 |
7 |
2 |
1 |
1 |
5 |
2 |
1 |
|
24 |
3 |
1 |
6 |
2 |
2 |
1 |
3 |
1 |
|
25 |
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
3 |
1 |
1 |
|
26 |
1 |
4 |
2 |
2 |
0 |
2 |
1 |
1 |
|
27 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|
28 |
3 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
2 |
|
29 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
2 |
2 |
0 |
|
30 |
2 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2.3. Бір мың лампының ішінде хк –ші лампа к-ші партияға жатады, мұнда к = 1, 2, 3, х1+х2+х3 = 1000. Бірінші партияда 6%, екіншіде 5%, үшіншіде 4% жарамсыз лампылар бар. Кезкелген бір лампа таңдап алынады. Осы таңдап алынған лампаның жарамсыз болып шығуының ықтималдығын анықтау керек.
К е с т е 3- 3 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Х1 |
100 |
430 |
170 |
520 |
700 |
240 |
360 |
80 |
630 |
500 |
|
Х2 |
250 |
180 |
540 |
390 |
90 |
610 |
600 |
710 |
230 |
320 |
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
Х1 |
810 |
450 |
270 |
380 |
640 |
160 |
590 |
620 |
730 |
540 |
|
Х2 |
70 |
280 |
640 |
470 |
80 |
570 |
160 |
190 |
100 |
230 |
|
№ |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
Х1 |
90 |
220 |
290 |
350 |
470 |
680 |
710 |
180 |
280 |
650 |
|
Х2 |
690 |
550 |
700 |
360 |
230 |
160 |
270 |
620 |
140 |
140 |
2.4. Дүкенге үш зауыттан біртипті бұйымдар түседі, оның ішінде к-ші зауыт бұйымның тк%-мен қамсыздандырады (к = 1,2,3). к-ші зауыттың бұйымдарының ішінде хк% бірінші сортты бұйымдар. Бір бұйым сатып алынды. Оның бірінші сортты бұйым болуының ықтималдығын анықтау керек.
2.5. Дүкенге үш зауыттан біртипті бұйымдар түседі, оның ішінде к-ші зауыт бұйымның тк%-мен қамсыздандырады (к = 1,2,3). к-ші зауыттың бұйымдарының ішінде хк% бірінші сортты бұйымдар. Бір бұйым сатып алынды. Ол бұйым бірінші сортты болып шықты. Сатып алынған бұйым j-ші зауыттан шыққандығының ықтималдығын анықтау керек. Сонымен, келесі сұраққа жауап беру керек: 5 есептің шарты бойынша бірінші сортты бұйымның шығу ықтималдығын есептеу керек.
К е с т е 4- 2.4 және 2.5 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
т1 |
т2 |
т3 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
J(2.5есепке арналған) |
|
1 |
50 |
30 |
20 |
70 |
80 |
90 |
1 |
|
2 |
50 |
30 |
20 |
70 |
80 |
90 |
2 |
|
3 |
50 |
30 |
20 |
70 |
80 |
90 |
3 |
|
4 |
60 |
20 |
20 |
70 |
80 |
90 |
1 |
|
5 |
60 |
20 |
20 |
70 |
80 |
90 |
2 |
|
6 |
60 |
20 |
20 |
70 |
80 |
90 |
3 |
|
7 |
40 |
30 |
30 |
80 |
90 |
90 |
1 |
|
8 |
40 |
30 |
30 |
80 |
90 |
90 |
2 |
|
9 |
40 |
30 |
30 |
80 |
90 |
90 |
3 |
|
10 |
40 |
20 |
40 |
90 |
90 |
80 |
1 |
|
11 |
40 |
20 |
40 |
90 |
90 |
80 |
2 |
|
12 |
40 |
20 |
40 |
90 |
90 |
80 |
3 |
|
13 |
70 |
20 |
10 |
70 |
80 |
90 |
1 |
|
14 |
70 |
20 |
10 |
70 |
80 |
90 |
2 |
|
15 |
70 |
20 |
10 |
70 |
80 |
90 |
3 |
|
16 |
60 |
10 |
30 |
80 |
90 |
80 |
1 |
|
17 |
60 |
10 |
30 |
80 |
90 |
80 |
2 |
|
18 |
60 |
10 |
30 |
80 |
90 |
80 |
3 |
|
19 |
50 |
20 |
30 |
90 |
80 |
90 |
1 |
|
20 |
50 |
20 |
30 |
90 |
80 |
90 |
2 |
|
21 |
50 |
20 |
30 |
90 |
80 |
90 |
3 |
|
22 |
30 |
30 |
40 |
70 |
70 |
80 |
1 |
|
23 |
30 |
30 |
40 |
70 |
70 |
80 |
2 |
|
24 |
30 |
30 |
40 |
70 |
70 |
80 |
3 |
|
25 |
20 |
40 |
40 |
70 |
80 |
80 |
1 |
|
26 |
20 |
40 |
40 |
90 |
80 |
80 |
2 |
|
27 |
20 |
40 |
40 |
90 |
80 |
90 |
3 |
|
28 |
10 |
40 |
40 |
90 |
90 |
90 |
1 |
|
29 |
10 |
40 |
40 |
80 |
90 |
90 |
2 |
|
30 |
10 |
40 |
40 |
80 |
90 |
80 |
3 |
2.6. п сынағында оқиға: а) тура к1 рет, б) к2 реттен кем емес, в) к3 реттен артық емес, г) қайтсе де бір рет, пайда болуының ықтималдығын анықтау керек. Әр сынақта бұл оқиғаның пайда болуының ықтималдығы р-ға тең екені белгілі.
К е с т е 5- 2.6 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
п |
К1 |
К2 |
К3 |
р |
№ |
п |
К1 |
К2 |
К3 |
р |
|
1 |
4 |
2 |
3 |
2 |
0,9 |
16 |
5 |
3 |
4 |
2 |
0,8 |
|
2 |
4 |
3 |
3 |
2 |
0.8 |
17 |
4 |
3 |
3 |
1 |
0.7 |
|
№ |
п |
К1 |
К2 |
К3 |
р |
№ |
п |
К1 |
К2 |
К3 |
р |
|
3 |
5 |
4 |
4 |
2 |
0.7 |
18 |
4 |
2 |
3 |
2 |
0.6 |
|
4 |
5 |
3 |
3 |
2 |
0.6 |
19 |
5 |
3 |
4 |
1 |
0.5 |
|
5 |
6 |
5 |
5 |
1 |
0.5 |
20 |
6 |
4 |
5 |
2 |
0.4 |
|
6 |
6 |
4 |
4 |
1 |
0.4 |
21 |
7 |
5 |
6 |
2 |
0.3 |
|
7 |
7 |
5 |
5 |
2 |
0.3 |
22 |
8 |
3 |
7 |
2 |
0.2 |
|
8 |
7 |
4 |
4 |
1 |
0.2 |
23 |
8 |
4 |
7 |
1 |
0.3 |
|
9 |
8 |
4 |
7 |
2 |
0.3 |
24 |
7 |
5 |
6 |
2 |
0.4 |
|
10 |
8 |
3 |
6 |
1 |
0.4 |
25 |
6 |
3 |
5 |
2 |
0.5 |
|
11 |
7 |
4 |
6 |
2 |
0.5 |
26 |
5 |
2 |
4 |
1 |
0.6 |
|
12 |
7 |
5 |
6 |
1 |
0.6 |
27 |
4 |
2 |
3 |
2 |
0.7 |
|
13 |
6 |
3 |
4 |
2 |
0.7 |
28 |
5 |
3 |
3 |
3 |
0.8 |
|
14 |
6 |
2 |
4 |
2 |
0.8 |
29 |
6 |
4 |
4 |
2 |
0.9 |
|
15 |
5 |
4 |
4 |
1 |
0.9 |
30 |
7 |
5 |
6 |
1 |
0.9 |
2.7. Телефон стансасының жұмысында әр шақырудағы «жаңылу» ықтималдығы р-ға тең. n шақыру келіп түсті. т «жаңылу» ықтималдығын анықтау керек.
К е с т е 6- 2.7 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
m |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
|
n |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
|
p |
0,002 |
0,003 |
0,004 |
0,005 |
0,006 |
0,007 |
0,008 |
0,009 |
0,01 |
0,011 |
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
m |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
8 |
|
n |
200 |
300 |
200 |
500 |
300 |
700 |
400 |
900 |
500 |
1000 |
|
p |
0,01 |
0,01 |
0,02 |
0,01 |
0,02 |
0,01 |
0,02 |
0,01 |
0,02 |
0,011 |
|
№ |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
m |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
|
n |
500 |
600 |
400 |
500 |
600 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
1000 |
|
p |
0,004 |
0,005 |
0,01 |
0,01 |
0,01 |
0,007 |
0,008 |
0,009 |
0,01 |
0,012 |
2.8. Қайсыбір оқиғаның әрбір п тәуелсіз сынағында пайда болуының ықтималдығы р-ға тең. Оқиғаның пайда болған т саны келесі теңсіздікті қанағаттандыру ықтималдығын анықтау керек: 1-10 нұсқау: k1<m<k2; 11-20 нұсқау: k1<m; 21-30нұсқау: m>k2.
К е с т е 7- 2.8 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
n |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
|
p |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,6 |
0,75 |
0,75 |
|
К1 |
80 |
85 |
70 |
83 |
50 |
65 |
70 |
40 |
65 |
70 |
|
К2 |
90 |
95 |
95 |
93 |
60 |
75 |
80 |
50 |
80 |
85 |
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
n |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
|
p |
0,75 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
0,8 |
0,8 |
0,8 |
|
К1 |
78 |
20 |
30 |
40 |
80 |
90 |
100 |
250 |
270 |
290 |
|
№ |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
n |
100 |
100 |
100 |
100 |
200 |
200 |
200 |
300 |
400 |
400 |
|
p |
0,8 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,4 |
0,4 |
0,4 |
0,8 |
0,6 |
0,7 |
|
К2 |
60 |
70 |
80 |
65 |
75 |
50 |
70 |
80 |
90 |
95 |
2.9. Кездейсоқ үзіліссіз шама x F(x) үлестірім функциясымен берілген.
а) Оның үлестірім тығыздығын табу керек; б) Үлестірім функциясы мен үлестірім тығыздығының графигін салу керек; в) Берілген x кездейсоқ шамасының сандық мінездемелерін табу керек (математикалық үміті, медиана, дисперсия және ортаквадраттық ауытқуы); г) Берілген кездейсоқ шаманың (a,b) интервалына кіру ықтималдығын анықтау керек.
К е с т е 8- 2.9 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
F(x) |
a |
b |
№ |
F(x) |
a |
b |
|
1 |
|
1 |
4 |
16 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
6 |
17 |
|
1 |
2 |
|
|
0.5 |
1 |
18 |
|
0.5 |
2 |
|
|
4 |
|
-2 |
4 |
19 |
|
|
2 |
|
5
|
|
0.2 |
1 |
20 |
|
1.2 |
3 |
|
6 |
|
|
|
21 |
|
|
9 |
|
№ |
F(x) |
a |
b |
№ |
F(x) |
a |
b |
|
7 |
|
0.1 |
1 |
22 |
|
1.5 |
2 |
|
8 |
|
3 |
5 |
23 |
|
4 |
6 |
|
9 |
|
3 |
5 |
24 |
|
1 |
3 |
|
10 |
|
2 |
3 |
25 |
|
1 |
2 |
|
11 |
|
0.5 |
2 |
26 |
|
-2 |
1 |
|
12 |
|
|
|
27 |
|
0.2 |
2 |
|
13 |
|
0 |
9 |
28 |
|
|
|
|
14 |
|
1 |
|
29 |
|
0.3 |
2 |
|
15 |
|
0.1 |
1 |
30 |
|
0 |
3 |
2.10.Дискретті кездейсоқ шама x өзінің үлестірім заңымен берілген. а) Оның үлестірім көпбұрышын салу керек; б) Үлестірім функциясын тауып, графигін салу керек; в) Оның сандық мінездемелерін, яғни математикалық үмітін, модасын, дисперсия және ортаквадраттық ауытқуын табу керек; г) Берілген кездейсоқ шаманың (a,b) интервалына кіру ықтималдығын табу керек.
К е с т е 9- 2.10. есепке берілген мәліметтер
1
|
x |
0 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,15 |
0,3 |
0,25 |
0,15 |
0,1 |
|
-2 |
7 |
2
|
x |
-3 |
-1 |
0 |
2 |
4 |
7 |
|
α |
β |
|
|
0,1 |
0,15 |
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,15 |
|
-0.5 |
5 |
3
|
x |
-10 |
-5 |
1 |
5 |
10 |
20 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,08 |
0,3 |
0,42 |
0,1 |
0,05 |
|
2 |
40 |
4
|
x |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
18 |
|
α |
β |
|
Р |
0,04 |
0,15 |
0,21 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
|
2 |
10 |
5
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
9 |
|
α |
β |
|
Р |
0,03 |
0,09 |
0,4 |
0,18 |
0,2 |
0,1 |
|
-2 |
5 |
6
|
x |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
5 |
|
α |
β |
|
Р |
0,02 |
0,05 |
0,13 |
0,4 |
0,35 |
0,05 |
|
-1.5 |
4 |
7
|
x |
-10 |
-8 |
-6 |
-4 |
-2 |
2 |
|
α |
β |
|
Р |
0,06 |
0,14 |
0,2 |
0,3 |
0,25 |
0,05 |
|
-7 |
3 |
8
|
x |
-100 |
-50 |
-25 |
0 |
25 |
150 |
|
α |
β |
|
Р |
0,03 |
0,23 |
0,24 |
0,3 |
0,15 |
0,05 |
|
-55 |
10 |
9
|
x |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
100 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,15 |
0,4 |
0,3 |
0,05 |
0,05 |
|
45 |
90 |
10
|
x |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
600 |
|
α |
β |
|
Р |
0,2 |
0,1 |
0,25 |
0,35 |
0,08 |
0,02 |
|
0 |
200 |
11
|
x |
18 |
21 |
24 |
27 |
30 |
35 |
|
α |
β |
|
Р |
0,1 |
0,25 |
0,35 |
0,1 |
0,15 |
0,05 |
|
10 |
33 |
12
|
x |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
35 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,1 |
0,25 |
0,35 |
0,15 |
0,1 |
|
6 |
23 |
13
|
x |
100 |
200 |
300 |
400 |
500 |
600 |
|
α |
β |
|
Р |
0,01 |
0,19 |
0,25 |
0,21 |
0,25 |
0,09 |
|
90 |
555 |
14
|
x |
0 |
50 |
75 |
100 |
150 |
250 |
|
α |
β |
|
Р |
0,15 |
0,25 |
0,35 |
0,1 |
0,1 |
0,05 |
|
-1 |
200 |
15
|
x |
-100 |
-50 |
0 |
25 |
50 |
100 |
|
α |
β |
|
Р |
0,2 |
0,1 |
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,1 |
|
-55 |
115 |
16
|
x |
-7 |
-3 |
0 |
4 |
8 |
12 |
|
α |
β |
|
Р |
0,1 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,14 |
0,01 |
|
6 |
14 |
17
|
x |
2 |
6 |
10 |
14 |
18 |
30 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,15 |
0,2 |
0,25 |
0,24 |
0,11 |
|
4 |
33 |
18
|
x |
-25 |
-15 |
-5 |
5 |
15 |
40 |
|
α |
β |
|
Р |
0,08 |
0,25 |
0,35 |
0,2 |
0,1 |
0,02 |
|
-20 |
10 |
19
|
x |
3 |
7 |
11 |
15 |
19 |
29 |
|
α |
β |
|
Р |
0,31 |
0,12 |
0,2 |
0,13 |
0,15 |
0,09 |
|
4 |
25 |
20
|
x |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,15 |
0,3 |
0,25 |
0,15 |
0,1 |
|
3 |
13.5 |
21
|
x |
40 |
50 |
55 |
60 |
70 |
95 |
|
α |
β |
|
Р |
0,1 |
0,15 |
0,25 |
0,2 |
0,15 |
0,15 |
|
45 |
80 |
22
|
x |
100 |
250 |
320 |
390 |
480 |
590 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,08 |
0,3 |
0,42 |
0,1 |
0,05 |
|
155 |
370 |
23
|
x |
10 |
40 |
80 |
85 |
105 |
115 |
|
α |
β |
|
Р |
0,04 |
0,15 |
0,21 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
|
18 |
90 |
24
|
x |
-5 |
0 |
10 |
25 |
45 |
65 |
|
α |
β |
|
Р |
0,02 |
0,05 |
0,13 |
0,4 |
0,35 |
0,05 |
|
15 |
70 |
25
|
x |
0 |
3 |
15 |
18 |
59 |
90 |
|
α |
β |
|
Р |
0,06 |
0,14 |
0,2 |
0,3 |
0,25 |
0,05 |
|
-2 |
60 |
26
|
x |
-40 |
-20 |
10 |
50 |
80 |
120 |
|
α |
β |
|
Р |
0,03 |
0,23 |
0,24 |
0,3 |
0,15 |
0,05 |
|
-30 |
90 |
27
|
x |
-20 |
30 |
80 |
130 |
180 |
230 |
|
α |
β |
|
Р |
0,2 |
0,1 |
0,25 |
0,35 |
0,08 |
0,02 |
|
-10 |
150 |
28
|
x |
250 |
360 |
450 |
590 |
650 |
700 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,1 |
0,25 |
0,35 |
0,15 |
0,1 |
|
260 |
600 |
29
|
x |
1 |
11 |
111 |
222 |
451 |
465 |
|
α |
β |
|
Р |
0,05 |
0,15 |
0,2 |
0,25 |
0,24 |
0,11 |
|
0 |
200 |
30
|
x |
-21 |
-11 |
0 |
11 |
25 |
82 |
|
α |
β |
|
Р |
0,31 |
0,12 |
0,2 |
0,13 |
0,15 |
0,09 |
|
-10 |
10 |
2.11. Белгілі математикалық үміті М(x), дисперсиясы Д(x) х1 мүмкін мәнінің р1 ықтималдығы бойынша х1< х2 болатындай, тек қана екі мүмкін болатын х1 , х2 мәндерін қабылдайтын дискретті кездейсоқ шама x-дің үлестірім заңын табыңыздар.
К е с т е 10- 2.11 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
р1 |
M(x) |
D(x) |
№ |
р2 |
M(x) |
D(x) |
|
1 |
0.9 |
3,1 |
0,09 |
16 |
0.8 |
3,2 |
0,16 |
|
2 |
0.8 |
1,4 |
0,64 |
17 |
0.9 |
1,2 |
0,36 |
|
3 |
0.7 |
2,6 |
0,84 |
18 |
0.8 |
2,4 |
0,64 |
|
4 |
0.6 |
3,4 |
0,24 |
19 |
0.7 |
3,3 |
0,21 |
|
5 |
0.5 |
3 |
1 |
20 |
0.6 |
1,8 |
0,96 |
|
6 |
0.4 |
3,2 |
0,96 |
21 |
0.5 |
2 |
1 |
|
7 |
0.3 |
3,7 |
0,21 |
22 |
0.4 |
3,6 |
0,24 |
|
8 |
0.2 |
2,6 |
0,64 |
23 |
0.3 |
2,4 |
0,84 |
|
9 |
0.1 |
3,8 |
0,36 |
24 |
0.2 |
3,6 |
0,64 |
|
10 |
0.2 |
3,8 |
0,16 |
25 |
0.1 |
3,9 |
0,09 |
|
11 |
0.3 |
3,4 |
0,84 |
26 |
0.2 |
3,8 |
0,16 |
|
12 |
0.4 |
2,2 |
0,96 |
27 |
0.3 |
2,4 |
0,84 |
|
13 |
0.5 |
3,5 |
0,25 |
28 |
0.4 |
3,6 |
0,24 |
|
14 |
0.6 |
2,8 |
0,96 |
29 |
0.1 |
2,8 |
0,36 |
|
15 |
0.7 |
1,6 |
0,84 |
30 |
0.9 |
2,2 |
0,36 |
3. Екінші деңгейлік тапсырмалар
3.1. Кездейсоқ үзіліссіз шама x f(x) ықтималды тығыздығымен берілген. а) Оның үлестірім тығыздығының графигін салу керек. б) Үлестірім функциясын тауып, оның графигін салу керек. в) Берілген кездейсоқ шаманың сандық мінездемелерін: математикалық үмітін, медиана, дисперсия және ортаквадраттық ауытқуын табу керек. г) Көрсетілген кездейсоқ шаманың (a,b) интервалына кіру ықтималдығын анықтау керек.
К е с т е 11- 3.1 есепке берілген мәліметтер
|
№ |
f(x) |
a |
b |
№ |
f(x) |
a |
b |
|
1 |
|
3 |
3.5 |
15 |
|
-1 |
4 |
|
2 |
|
-2,5 |
1 |
17 |
|
0 |
0,2 |
|
3 |
|
-0,2 |
0,2 |
18 |
|
1,5 |
2,5 |
|
4 |
|
-1 |
0,5 |
19 |
|
-1 |
2 |
|
5 |
|
0,2 |
0,5 |
20 |
|
0,1 |
1 |
|
6 |
|
|
|
21 |
|
0 |
|
|
7 |
|
0,5 |
1,5 |
22 |
|
0,1 |
0,3 |
|
8 |
|
-4 |
0 |
23 |
|
2 |
4 |
|
9 |
|
1 |
2 |
24 |
|
0 |
1,3 |
|
10 |
|
1,1 |
1,5 |
25 |
|
0 |
1 |
|
11 |
|
|
|
26 |
|
1,2 |
1,8 |
|
№ |
f(x) |
a |
b |
№ |
f(x) |
a |
b |
|
12 |
|
-2,5 |
0 |
27 |
|
1 |
3 |
|
13 |
|
1 |
1,5 |
28 |
|
0 |
|
|
14 |
|
0,2 |
1,2 |
29 |
|
0 |
0,5 |
|
15 |
|
0 |
0,2 |
30 |
|
1,2 |
3,3 |
3.2-3.3. Келесі есептерді алгебралық оқиғалардың ықтималдығының формуласы бойынша немесе толық ықтималдық, Байес формулалары бойынша шығару керек.
3.2.1. Студент бағдарламаның 50 сұрағының 35-ін біледі. Студент өзінің емтихан билетінің ішіне енетін үш сұрақтың тек екі сұрағын білетіндігінің ықтималдығын табу керек.
3.2.2. Апат жөнінде сигнал беру үшін тәуелсіз жұмыс жасайтын үш құрылғы қойылған. Апат кезінде бірінші құрылғының іске қосылу ықтималдығы 0.8-ге тең; екінші және үшінші құрылғылардың ықтималдықтары, сәйкесінше, 0.9 және 0.8. Апат кезінде тек қана бір құрылғы іске қосылатындығының ықтималдығын табу керек.
3.2.3. Бір жәшікте 5 ақ және 10 қызыл шар, екінші жәшікте 10 ақ және 5 қызыл шар бар. Егер әр жәшіктен бір-бір шардан алынса, онда кемінде бір жәшіктен ақ шар алынуының ықтималдығын табу керек.
3.2.4. Бір торпеданың кемеге тию ықтималдығы 0.5-ке тең. Егер кемені батыру үшін бір рет нысанаға тию жеткілікті болса, онда үш торпеданың кемені батыруының ықтималдығы қандай?
3.2.5. Сандықшада 10 қызыл және 6 көк түйме бар; Жорамалмен екі түйме алынады. Алынған түймелердің бір түсті болуының ықтималдығы қандай?
3.2.6. Бірінші мергеннің нысанаға тию ықтималдығы 0.7, ал екінші мерген үшін – 0.95. Мергендер бір уақытта оқ атты. Бір мергеннің нысанаға тиіп, ал екіншісінің мүлт кетуінің ықтималдығы неге тең?
3.2.7. Өндірістік бөлімшеде 10 жабдық (станок) жұмыс істейді. Оның ішінде бесеуі- А дәрежелі, үшеуі- В дәрежелі және 2-уі- С дәрежелі. Дайындалған бөлшектердің сапасы өте жақсы болуының ықтималдығы сәйкесінше: 0.98, 0.87, 0.7-ге тең. Өндірістік бөлімше жалпы қанша пайыз өте жақсы бөлшектер шығарады?
3.2.8. Сатып алушы шаңсорғыш пен еденсүрткішті иеленеді. Шаңсорғыштың кепілдік уақытында істен шықпауының ықтималдығы 0.95 тең, ал еденсүрткіш үшін бұл ықтималдық 0.8 тең. Бұл екі құрал кепілдік уақытына шыдайтындығының ықтималдығын табу керек.
3.2.9. Бірінші мергеннің нысанаға тию ықтималдығы 0.6 тең, ал екіншісінікі -0.7. Мергендер бір уақытта оқ атты. Бір мергеннің нысанаға тиіп, екіншісінің мүлт кетуінің ықтималдығы неге тең?
3.2.10. Жәшікте 10 қызыл және 6 көк түймелер бар. Жорамалмен екі түйме алынды. Бұл түймелердің бір түсті болуының ықтималдығы қандай?
3.2.11. Бір жәшікте 5 ақ және 17 қызыл шар бар, ал екінші жәшікте 7 ақ және 5 қызыл шар бар. Егер әр жәшіктен бір-бірден шар алынса, онда шардың кемінде біреуі қара шар болуының ықтималдығын табу керек.
3.2.12. Лотереядағы 20 билеттің ішіндегі жетеуі ұтымды. Лотереяға қатысушы үш билет сатып алды. Бұл билеттердің ішінде кемінде біреуі ұтымды болуының ықтималдығын анықтау керек.
3.2.13. Студент бағдарламаның 30 сұрағының 25 сұрағын біледі. Студент өзінің емтихан билетінің ішіне енетін үш сұрақтың тек екі сұрағын білетіндігінің ықтималдығын табу керек.
3.2.14. Апат жөнінде сигнал беру үшін тәуелсіз жұмыс жасайтын үш құрылғы қойылған. Апат кезінде бірінші құрылғының іске қосылу ықтималдығы 0.8-ге тең; екінші және үшінші құрылғылардың ықтималдықтары, сәйкесінше, 0.9 және 0.7. Апат кезінде екі құрылғы іске қосылатындығының ықтималдығын табу керек.
3.2.15. Бір жәшікте 8 ақ және 9 қызыл шар бар, ал екінші жәшікте 9 ақ және 8 қызыл шар бар. Егер әр жәшіктен бір-бірден шар алынса, онда алынған шарлардың ақ болуының ықтималдығын табу керек.
3.2.16. Бір торпеданың кемеге тию ықтималдығы 0.6-ға тең. Егер кемені батыру үшін бір рет нысанаға тию жеткілікті болса, онда үш торпеданың кемені батыруының ықтималдығы қандай?
3.2.17. Сандықшада 10 қызыл және 6 көк түйме бар; Жорамалмен екі түйме алынады. Алынған түймелердің әр түсті болуының ықтималдығы қандай?
3.2.18. Бірінші мергеннің нысанаға тию ықтималдығы 0.8, ал екінші мерген үшін – 0.9. Мергендер бір уақытта оқ атты. Екеуінің де нысанаға тимей, мүлт кетуінің ықтималдығын табу керек.
3.2.19. Өндірістік бөлімшеде 10 жабдық (станок) жұмыс істейді. Оның ішінде алтауы- А дәрежелі, екеуі- В дәрежелі және 2-уі- С дәрежелі. Дайындалған бөлшектердің сапасы өте жақсы болуының ықтималдығы сәйкесінше: 0.9, 0.86, 0.7-ге тең. Жалпы өндірістік бөлімше қанша пайыз өте жақсы бөлшектер шығарады?
3.2.20. Сатып алушы шаңсорғыш пен еден сүрткішті иеленеді. Шаңсорғыштың кепілдік уақытында істен шықпауының ықтималдығы 0.95 тең, ал еденсүрткіш үшін бұл ықтималдық 0.85 тең. Бұл екі құрал кепілдік уақытына шыдамауының ықтималдығын табу керек.
3.2.21. Бірінші мергеннің нысанаға тию ықтималдығы 0.9, ал екінші мерген үшін – 0.7. Мергендер бір уақытта оқ атты. Екі мерген де нысанаға тигізу ықтималдығын табу керек.
3.2.22. Жәшікте 5 қызыл және 6 көк түймелер бар. Жорамалмен екі түйме алынды. Бұл түймелердің тек қызыл болуының ықтималдығы қандай?
3.2.23. Бір жәшікте 15 ақ және 7 қызыл шар, ал екінші жәшікте 7 ақ және 5 қызыл шар бар. Әр жәшіктен бір-бір шар алынғанда, олардың қара шар болуының ықтималдығын табу керек.
3.2.24. Лотереядағы 200 билеттің ішіндегі 70-і ұтымды. Лотереяға қатысушы үш билет сатып алды. Бұл билеттердің ішінде кемінде біреуі ұтымды болуының ықтималдығын анықтау керек.
3.2.25. 20 оптикалық құралдардан тұратын партияның ішінде 17-сі үлгімен жасалған. Жорамалмен алынған екі құралдың біреуі үлгімен жасалғандығының ықтималдығын табу керек.
3.2.26. Үш зеңбірек нысанаға бір дүркін атты. Бір рет атқанда бірінші зеңбірекпен нысанаға тию ықтималдығы 0.9 тең, екінші және үшінші зеңбіректер үшін бұл ықтималдық, сәйкесінше, 0.8 және 0.6 тең. Тек қана бір зеңбіректің нысанаға тиетіндігінің ықтималдығын табу керек.
3.2.27. Апат жөнінде сигнал беру үшін тәуелсіз жұмыс жасайтын үш құрылғы қойылған. Апат кезінде бірінші құрылғының іске қосылу ықтималдығы 0.8-ге тең; екінші және үшінші құрылғылар үшін бұл ықтималдықтар, сәйкесінше, 0.9 және 0.7 тең. Апат кезінде тек қана бір құрылғы іске қосылатындығының ықтималдығын табу керек.
3.2.28. Аспап үш шығырдан (блок) тұрады. Әрбір аспаптың кепілдік уақытында жұмыс істеуінің ықтималдығы 0.95 тең. Егер аспаптың істен шығуына шығырдың істен шығуы қатысты болса, онда аспаптың кепілдік уақытында жұмыс істеуінің ықтималдығы қандай болады? Шығырлардың істен шығуы бір-бірінен тәуелсіз екені белгілі.
3.2.29. Екі рет атқанда кемінде бір рет нысанаға тию ықтималдығы 0.96 тең. Үш рет атқанда оның екеуі нысанаға тиетіндігінің ықтималдығын табу керек.
3.2.30. 4 радиолокациялық қондырғы бір объектіні аңдиды. Әр қондырғы басқа қондырғылардан тәуелсіз объектіні табуының ықтималдығы 0.85 тең. Объектінің табылатындығының ықтималдығын табу керек.
3.3.1. Болттарды дайындайтын фабрикада барлық бұйымдардың 27%-н бірінші машина, 38%-ін екінші машина, 35%-ін үшінші машина шығарады. Бұлардың өнімдерінің ішіндегі жарамсызы 4,5 және 2%-н құрайды. Кездейсоқ таңдап алынған болттың жарамсыз болуының ықтималдығы қандай?
3.3.2. Екі бірдей жәшікте шарлар бар. Бірінші жәшікте 2 ақ және 1 қара шар, ал екіншіде – 3 ақ және 4 қара шар бар. Жорамалмен бір жәшікті таңдап алып, одан бір шар алынады. Бұл шардың ақ болуының ықтималдығы қандай?
3.3.3. Өндірістік бөлімшеде 20 жабдық жұмыс істейді. Оның ішінде 11- А дәрежелі, 7- В дәрежелі және 2- С дәрежелі. Дайындалған бөлшектердің сапасы өте жақсы болуының ықтималдығы сәйкесінше: 0.9, 0.8 және 0.7. Өндірістік бөлімше жалпы қанша пайыз өте жақсы бөлшектер шығарады?
3.3.4. Аспап екі ереже бойынша жұмыс істей алады: 1-әдеттегі және 2-әдеттегі емес. Аспаптың жұмысы кезінде 80% әдеттегі ереже байқалады. Аспаптың t уақыты ішінде істен шығуының ықтималдығы әдеттегі ереже кезінде 0.1-ге тең; әдеттегі емес ережеде- 0.7. Аспаптың t уақыты ішінде істен шығуының толық ықтималдығын табу керек.
3.3.5. Ықтималдықтар теориясы бойынша емтихан тапсыруға келіп, билет алған 10 студенттің ішінде, Иванов пен Петров 30 билеттің 20-н біледі, Сидоров семестр бойында дұрыс оқымай, тек 15 билетті қайталап үлгерді, ал қалған студенттер барлық 30 билетті біледі. Дайындалуға берілген уақыт біткеннен кейін, емтихан алушы студенттердің біреуін жауап беруге шақырады. Егер билетті білу емтиханды тапсыруға кепілдікті 0.85 ықтималдығымен берсе, ал билетті білмей емтиханды тапсыру ықтималдығы тек 0.1 болса, онда шақырылған студенттің емтиханды тапсыру ықтималдығы қандай?
3.3.6. Екі өндірістік бөлімшелер біртипті бөлшектер шығарады. Бірінші өндірістік бөлімше 1% жарамсыз бөлшектер береді, ал екіншісі – 4%. Бақылауға бірінші өндірістік бөлімшеден 25 бөлшек және екіншіден 15 бөлшек алынады. Ол жарамды болып шықты. Бұл бөлшекті екінші өндірістік бөлімшесі дайындағанының ықтималдығы қандай?
3.3.7. Аспап екі тізбектеп қосылған тораптан тұрады. Бірінші тораптың сенімділігі (Т уақыты ішінде тоқтаусыз жұмыс істеу ықтималдығы) 0.9-ға тең, екіншінікі – 0.8. Аспапты сынақтан өткізген Т уақытының ішінде аспаптың тоқталуы тіркелді. Тек қана бірінші тораптың тоқтағанының ықтималдығын табу керек.
3.3.8. Космостық ұшақтың сәтсіз жіберілуінің себептерін зерттеу кезінде, төрт болжам (гипотеза) Н1, Н2, Н3, Н4 айтылды. Статистиканың анықтамалары бойынша р(Н1) = 0,2, р(Н2) = 0,4, р(Н3) = 0,3, р(Н4) = 0,1. Зерттеу барысында, ұшақты жіберу кезінде отынның ағылуы байқалған (А оқиғасы). А оқиғасының шартты ықтималдықтары айтылған статистикаға сәйкес: р(А/Н1) = 0,9, р(А/Н2) = 0, р(А/Н3) = 0,2, р(А/Н4) = 0,3. Қай гипотеза көрсетілген жағдайларда ең ықтималды?
3.3.9. Емтиханның бағдарламасы 30 әртүрлі сұрақтарды қамтиды, оның ішінде Иванов – тек 15 сұрағын біледі. Емтиханды ойдағыдай тапсыру үшін 2 берілген сұраққа немесе екі сұрақтың біреуіне және қосымша сұраққа жауап беру жеткілікті. Ивановтың емтиханды ойдағыдай тапсыруының ықтималдығы қандай?
3.3.10. Тест әдісі бойынша есептеуіш машинаның арифметикалық құрылғысының сынған жері ізделінеді. 5 мүмкіндіктің төртеуі 8 микропрцессордың біреуінде сынық бар және әрқайсысында сынық болудың ықтималдықтары өзара тең, деген болжам айтады. Осы процессорлардың 7-уі сынақтан өткізіледі, бірақ сынық табылмайды. Соңғы 8-ші микропроцессордың сынық болуының ықтималдығы қандай?
3.3.11. Болттарды дайындайтын фабрикада барлық өнімдердің 27%-н бірінші машина, 38%-ін екінші машина, 35%-ін үшінші машина шығарады. Бұлардың өнімдерінің ішіндегі жарамсызы 4,5 және 2%-н құрайды. Кездейсоқ таңдап алынған болт жарамсыз болып шықты. Оның екінші машинаның шығарған өнімі екендігінің ықтималдығын табу керек.
3.3.12. Екі бірдей жәшікте шарлар бар. Бірінші жәшікте 2 ақ және 1 қара шар, ал екіншіде – 3 ақ және 4 қара шар бар. Жорамалмен бір жәшікті таңдап алып, одан бір шар алынады. Бұл шардың қара болуының ықтималдығын табу керек.
3.3.13. Өндірістік бөлімшеде 20 жабдық жұмыс істейді. Оның ішінде 11- А дәрежелі, 7- В дәрежелі және 2- С дәрежелі. Дайындалған бөлшектердің сапасы өте жақсы болуының ықтималдығы сәйкесінше: 0.9, 0.8 және 0.7. Кездейсоқ таңдап алынған бөлшек жарамды болып шықты. Оның бірінші А дәрежелі жабдықтың дайындаған бөлшегі екендігінің ықтималдығын табу керек.
3.3.14. Аспап екі ереже бойынша жұмыс істей алады: 1-әдеттегі және 2-әдеттегі емес. Аспаптың жұмысы кезінде 85%-нде әдеттегі ереже байқалады. Аспаптың t уақыты ішінде істен шығуының ықтималдығы әдеттегі ереже кезінде 0.1-ге тең; әдеттегі емес ережеде- 0.7. Аспаптың t уақыты ішінде істен шықты. Аспаптың бұл кезде әдеттегі ережемен жұмыс жасағанының ықтималдығын табу керек.
3.3.15. Ықтималдықтар теориясы бойынша емтихан тапсыруға келіп, билет алған 10 студенттің ішінде, Иванов пен Петров 30 билеттің 20-н біледі, Сидоров семестр бойында дұрыс оқымай, тек 15 билетті қайталап үлгерді, ал қалған студенттер барлық 30 билетті біледі. Дайындалуға берілген уақыт біткеннен кейін, емтихан алушы студенттердің біреуін жауап беруге шақырды. Ол емтиханды тапсыра алмады. Егер билетті білу емтиханды тапсыруға кепілдікті 0.85 ықтималдығымен берсе, ал билетті білмей емтиханды тапсыру ықтималдығы тек 0.1 болса, онда шақырылған студенттің Сидоров болуының ықтималдығы қандай?
3.3.16. Екі өндірістік бөлімшелер біртипті бөлшектер шығарады. Бірінші өндірістік бөлімше 2% жарамсыз бөлшектер береді, ал екіншісі – 5%. Бақылауға бірінші өндірістік бөлімшеден 15 бөлшек және екіншіден 25 бөлшек алынады. Бұл 40 бөлшектер араласып, бір партияны құрайды, одан жорамалмен бір бөлшек алынады. Оның жарамсыз болуының ықтималдығы қандай?
3.3.17. Аспап екі тізбектеп қосылған тораптан тұрады. Бірінші тораптың сенімділігі (Т уақыты ішінде тоқтаусыз жұмыс істеу ықтималдығы) 0.95-ке тең, екіншінікі – 0.75. Аспапты сынақтан өткізген Т уақытының ішінде аспаптың тоқталуы тіркелді. Екі тораптың да істен шыққанының ықтималдығын табу керек.
3.3.18. Болттарды дайындайтын фабрикада барлық өнімдердің 27%-н бірінші машина, 38%-ін екінші машина, 35%-ін үшінші машина шығарады. Бұлардың өнімдерінің ішіндегі жарамсызы 4,5 және 2%-н құрайды. Кездейсоқ таңдап алынған болт жарамсыз болып шықты. Оның бірінші машинаның шығарған өнімі екендігінің ықтималдығын табу керек.
3.3.19 Екі бірдей жәшікте шарлар бар. Бірінші жәшікте 2 ақ және 1 қара шар, ал екіншіде – 3 ақ және 4 қара шар бар. Жорамалмен бір жәшікті таңдап алып, одан бір шар алынады. Ол шар ақ болып шықты. Оның бірінші жәшіктен алынған шар екендігінің ықтималдығын табу керек.
3.3.20 Өндірістік бөлімшеде 20 жабдық жұмыс істейді. Оның ішінде 11- А дәрежелі, 7- В дәрежелі және 2- С дәрежелі. Дайындалған бөлшектердің сапасы өте жақсы болуының ықтималдығы сәйкесінше: 0.9, 0.8 және 0.7. Кездейсоқ таңдап алынған бөлшек жарамды болып шықты. Оның екінші жабдықтың дайындаған бөлшегі екендігінің ықтималдығын табу керек.
3.3.21. Аспап екі ереже бойынша жұмыс істей алады: 1-әдеттегі және 2-әдеттегі емес. Аспаптың жұмысы кезінде 85%-нде әдеттегі ереже байқалады. Аспаптың t уақыты ішінде істен шығуының ықтималдығы әдеттегі ереже кезінде 0.1-ге тең; әдеттегі емес ережеде- 0.7. Аспаптың t уақыты ішінде істен шықты. Аспаптың бұл кезде әдеттегі емес ережемен жұмыс жасағанының ықтималдығын табу керек.
3.3.22. Ықтималдықтар теориясы бойынша емтихан тапсыруға келіп, билет алған 10 студенттің ішінде, Иванов пен Петров 30 билеттің 20-н біледі, Сидоров семестр бойында дұрыс оқымай, тек 15 билетті қайталап үлгерді, ал қалған студенттер барлық 30 билетті біледі. Дайындалуға берілген уақыт біткеннен кейін, емтихан алушы студенттердің біреуін жауап беруге шақырды. Ол емтиханды тапсыра алмады. Егер билетті білу емтиханды тапсыруға кепілдікті 0.85 ықтималдығымен берсе, ал билетті білмей емтиханды тапсыру ықтималдығы тек 0.1 болса, онда шақырылған студенттің Сидоров болуының ықтималдығы қандай?
3.3.23. Екі перфокарторшылар бірдей перфокарталар жинағын енгізді. Бірінші перфокарторшының қате жіберуінің ықтималдығы 0.04-ке тең, ал екінші перфокарторшы үшін бұл ықтималдық – 0.2. Перфокарталарды тізімдегенде қате табылды. Бірінші перфокарторшының қате жібергенінің ықтималдығын табу керек..
3.3.24. Жинақшы бірінші зауыт дайындаған 3 жәшік бөлшектерді және екінші зауыт дайындаған 2 жәшік бөлшектерді алды. №1 зауыттың бөлшегі жарамды болуының ықтималдығы 0.8-ге тең, №2 зауыттың бөлшегі үшін – 0.9. жинақшы кездейсоқ жәшіктен жорамалмен бір бөлшек алды. Оның жарамды болуының ықтималдығы қандай?
3.3.25. Құрылыс отрядында студенттердің 70%-і бірінші курстың және 30%-і екінші курстың студенттері. Бірінші курстың 10%-і, ал екінші курстың ішінде 5%-і - қыздар. Қыздар кезекпен асханада кезекші болады. Кездейсоқ таңдап алынған күнде асханада кезекші қыздың бірінші курста оқитындығының ықтималдығын табу керек.
3.3.26. Екі өндірістік бөлімшелер біртипті бөлшектер шығарады. Бірінші өндірістік бөлімше 3% жарамсыз бөлшектер береді, ал екіншісі – 5%. Бақылауға бірінші өндірістік бөлімшеден 35 бөлшек және екіншіден 45 бөлшек алынады. Бұл 80 бөлшектер араласып, бір партияны құрайды, одан жорамалмен бір бөлшек алынады. Оның жарамды болуының ықтималдығы қандай?
3.3.27. Болттарды дайындайтын фабрикада барлық өнімдердің 27%-н бірінші машина, 38%-ін екінші машина, 35%-ін үшінші машина шығарады. Бұлардың өнімдерінің ішіндегі жарамсызы 4,5 және 2%-н құрайды. Кездейсоқ таңдап алынған болт жарамсыз болып шықты. Оның үшінші машинаның шығарған өнімі болуының ықтималдығын табу керек.
3.3.28. Екі бірдей жәшікте шарлар бар. Бірінші жәшікте 2 ақ және 1 қара шар, ал екіншіде – 1 ақ және 4 қара шар бар. Жорамалмен бір жәшікті таңдап алып, одан бір шар алынады. Ол шар қара болып шықты. Оның екінші жәшіктен алынған шар екендігінің ықтималдығын табу керек.
3.3.29. Өндірістік бөлімшеде 30 жабдық жұмыс істейді. Оның ішінде 11- А дәрежелі, 7- В дәрежелі және 12- С дәрежелі. Дайындалған бөлшектердің сапасы өте жақсы болуының ықтималдығы сәйкесінше: 0.8, 0.8 және 0.7. Кездейсоқ таңдап алынған бөлшек жарамсыз болып шықты. Оның үшінші С дәрежелі жабдықтың дайындаған бөлшегі екендігінің ықтималдығын табу керек.
3.3.30. Екі өндірістік бөлімшелер біртипті бөлшектер шығарады. Бірінші өндірістік бөлімше 2% жарамсыз бөлшектер береді, ал екіншісі – 5%. Бақылауға бірінші өндірістік бөлімшеден 15 бөлшек және екіншіден 25 бөлшек алынады. Бұл 40 бөлшектер араласып, бір партияны құрайды, одан жорамалмен бір бөлшек алынады. Ол жарамсыз болып шықты. Алынған жарамсыз бөлшектің бірінші бөлімшеден шыққанының ықтималдығы қандай?
4. Бірінші деңгейлік есептердің шығару жолдары
2.1 Есеп А) N = 5 болсын.
Барлық W элементар оқиғалар кеңістігін жазып аламыз. i арқылы бірінші сүйекке түскен ұпайлардың санын, j арқылы екінші сүйекке түскен ұпайлардың санын белгілейміз. i, j = 1,2,…,6 екендігі белгілі:
Екі сүйекке түскен ұпайлардың қосындысының саны 5-ке тең болуын А1 оқиғасы арқылы белгілейік. А1 оқиғасына қолайлы болатын элементар оқиғаларын жазып аламыз: А1 = {(1;4), (2;3), (3;2), (4;1)}.
А1 оқиғасының ықтималдығы классикалық анықтама бойынша
Р(А1)
= 
, (1)
мұндағы n – барлық элементар оқиғалар саны (берілген есеп үшін n = 36, W кеңістігін қара); k – А1 оқиғасының пайда болуына ықпал ететін оқиғалар саны (к= 4). Сонда, р(А1) = 4/36 = 1/9.
Дәл осылай басқа оқиғалардың да ықтималдықтары табылады, ондағы әр оқиға үшін n = 36.
2.2 Есеп. 4 сортты бұйымдар бар. Мұндағы бірінші, екінші, үшінші және төртінші сортты бұйымдардың саны, сәйкесінше, n1= 3, n2= 4, n3= 2 және n4 = 1 тең. Бақылау үшін кез-келген 5 бұйым алынды. Оның ішінде, сәйкесінше, m1= 2, m2= 2, m3= 1 және m4 = 0, бірінші, екінші, үшінші және төртінші сортты бұйымдар бар болуының ықтималдығын табу керек.
Бұл есепті шешу үшін біз (1) формуланы қолданамыз, себебі он бұйымның ішінен таңдап алынған бес бұйым, барлық аталған бұйымның кез-келгені болуы мүмкін.
Барлық он бұйымның ішінен 5 бұйымды
әртүрлі әдіспен таңдап алу саны n =
=
252-ге тең болатыны белгілі.
А = «таңдап алынған кез-келген 5 бұйымның ішінде: екі бұйым – бірінші сортты, 2-уі – екінші, 1-уі – үшінші және 0-і төртінші сортты» оқиғасының пайда болуына ықпал ететін элементар оқиғалардың саны
k =
=36 тең.
Сондықтан р(А) = 
.
ЕСКЕРТУ. Қарастырылған есептен келесі формула шығады:
,
мұндағы n = n1 + n2 + n3 + n4, m = m1 + m2 + m3 + m4.
2.3 Есеп. Бір мың лампының жүзі бірінші партияға, үш жүзі екінші және 600-і үшінші партияға жатады. Бірінші партияның 5%-і, екіншінің – 4%-і және үшіншінің 6 %-і жарамсыз лампылар. Кез-келген бір лампы таңдап алынды. Бұл лампының жарамсыз болуының ықтималдығын табу керек.
Бұл есеп толық ықтималдықтың формуласы арқылы шешіледі.
Р(А)=р(В1)р(А/В1) + р(В2)р(А/В2) + р(В3)р(А/В3), мұндағы А оқиғасы– кез-келген таңдап алынған лампының жарамсыз болуы, Вi (i = 1, 2, 3) оқиғасы– кез-келген таңдап алынған лампы i- ші партияға жатады; р(А/Вi) – егер кез-келген таңдап алынған лампы i-ші партияға жатса, онда лампы жарамсыз болып шығуының шартты ықтималдықтары.
Есептің шарты бойынша: р(В1) = 0,1; р(В2) = 0,3; р(В3) = 0,6; р(А/В1) = 0,05; р(А/В2) = 0,04; р(А/В3) = 0,06. (3) формулаға қоямыз, сонда
Р(А) = 0,1×0,05+0,3×0,04+0,6×0,06 = 0,053.
2.4 және 2.5 Есептер. Дүкенге үш зауыттан біртипті бұйымдар түседі, оның ішінде к-ші зауыт бұйымның тк%-мен қамсыздандырады (к = 1,2,3). к-ші зауыттың бұйымдарының ішінде хк% бірінші сортты бұйымдар. Бір бұйым сатып алынды. 1) Бұл бұйымның j-ші зауыттың шығарған бірінші сортты бұйым болуының ықтималдығын ; 2) егер сатып алынған бұйым бірінші сортты болса, онда бұл бұйымның шығу ықтималдығын есептеу керек.
Есептің берілуі бойынша: m1 = 20 %; m2 = 50 %; m3 = 30 %; x1 = 60%; x2 = 80%; x3 = 90%, j = 2.
Бірінші сұрақтың жауабы (3) формуланың көмегімен беріледі, мұндағы Вк оқиғасы - бұйым к –ші зауытта шығарылған (к = 1, 2, 3), А оқиғасы – сатып алынған бұйым бірінші сортты. Р(В1) = 0,2; р(В2) = 0,5; р(В3) = 0,3; р(А/В1) = 0,6; р(А/В2) = 0,8; р(А/В3) = 0,9. Осы сандарды (3) формулаға қою арқылы бірінші сұрақтың жауабын аламыз (2.4 есеп).
Екінші сұраққа жауап беру үшін (2.5 есеп ) Байес формуласы қолданылады.
j-ң мәнін (берілген есептің шарты бойынша j = 2) және бірінші сұрақтың жауабы алынған ықтималдықтардың мәндерін қою арқылы, екінші сұрақтың жауабын аламыз (2.5 есеп).
2.6 Есеп. Он сынақта бір
оқиға: а) тура 8 рет; б) 9 реттен кем емес; в) екі реттен
артық емес; г) қайтсе де бір рет пайда болуының
ықтималдығын табу керек.Әр сынақта бұл
оқиғаның пайда болу ықтималдығы р=0.8 екені
белгілі. Бұл есептің барлық сұрақтарына жауап
беру үшін Бернулли формуласын қолданамыз: 
а) 
б) А оқиғасы есептегі көрсетілген оқиға 8 реттен артық (9 реттен кем емес), яғни, 9 немесе 10 рет пайда болатын болсын. Сонда р(А) = р10(9) + р10(10). Содан кейін Бернулли формуласы қолданылады.
в) В оқиғасы – көрсетілген есептің шарты бойынша оқиға екі реттен артық емес, яғни, 0 рет немесе 1 рет, немесе 2 рет пайда болатын болсын. Сонда р(В) = р10(0) + р10(1) + р10(2), содан кейін Бернулли формуласы қолданылады.
г) С оқиғасы - Д оқиғасына қарама-қарсы оқиға (Д-есептің шарты бойынша, оқиға бір рет те пайда болған жоқ): р(Д) = р10(0), р(С) = 1 – р(Д), себебі, С және Д қарама-қарсы оқиғалар.
2.7 Есеп. Телефон станциясының жұмысында әр шақырудағы «жаңылу» ықтималдығы р = 0,003 тең. n = 1000 шақыруы келіп түсті. m = 6 болғандағы «жаңылу» ықтималдығын табу керек.
Бұл
есепті шығарғанда,
n
көп және р аз болғандықтан,
Пуассонның жуықтау формуласы
қолданылады: 
,
мұндағы
l =
n×p.
2.8 Есеп. Қайсыбір оқиғаның әрбір n = 100 тәуелсіз сынағында пайда болуының ықтималдығы р = 0,8. Оқиғаның пайда болған m саны келесі теңсіздіктерді қанағаттандыру ықтималдығын анықтау керек:
а) 70 < m < 80; б) m > 80; в) m < 70.
Бұл сұрақтарға жауап беру
үшін Муавра – Лапластың интегралдық формуласын қолдану
керек: Pn (k1,k2)
»Ф(х//) – Ф(х/), мұндағы
, ал Ф(х) функциясының
мәндері таблицадан табылады. (m > k2) оқиғасы
(k2 < m < n) оқиғасымен, ал (m < k1)
оқиғасы (0
< k1)
оқиғасымен тепе-тең екенін ескеру керек.
2.9-2.11 есептері 1.2.1-.1.2.3 тақырыбындағы формулалар арқылы шығарылады.
Пайдаланылған әдебиеттер
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1977 – 479 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1988. – 480 с.
3. Математика для экономистов: Сборник задач. Учебное пособие. – Алматы: Экономика, 2000. – 335 с.
4.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000. – 543 с.
5. Базарбаева С.Е., Заитов Ф.А., Ултаракова Г.А. Ықтималдықтар теориясы және математикалық статистика. -Типтік есептер және әдістемелік нұсқаулар (РТжБФ 2 курс арналған) . – Алматы: АЭжБИ, 2000. – 32 б.
6. Жуматаева С.А., Темешева С.М. «Математика 3» курсының дәрістер жинағы.-Алматы: АЭжБИ, 2009.- 120 б.
7. Базарбаева С.Е., Ким Л.Н., Курбанова Р.А. Методические указания и тестовые задания для подготовки к экзамену для студентов очной формы обучения специальностей 050717. – Теплоэнергетика, 050718 – Электроэнергетика, 050719 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации. – Алматы, 2007. – 27 с.
8. Хасеинов К.А. Математика канондары. Оқулық. – Алматы: 2003.-686 б.
М а з м ұ н ы
Кіріспе 3
1 «Кездейсоқ оқиғалар және кездейсоқ шамалар (негізгі қасиеттері)» модуліне әдістемелік нұсқаулар. Есептерді шығару үшін негізгі формулалар
1.1 Кездейсоқ оқиғалар
1.2 Кездейсоқ шамалар
2 Есептеу-графикалық жұмысының бірінші деңгейлік тапсырмалары
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
Мазмұны