"Алматы энергетика және байланыс институтының "

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

 Жоғары математика  кафедрасы

  

 

 

МАТЕМАТИКА 3

MATHCAD 13 

Математика есептерінің компьютерлік шешуі.

Барлық мамандық студенттері үшін лабораториялық жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқау 

 

 

Алматы 2010

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Есботаева Э. С., Дулэпо В. М.  Mathcad 13.  Математикалық есептер компьютерлік  шешуі. Барлық мамандық студенттері үшін лабораториялық  жұмыстарға арналған  әдістемелік нұсқау. Алматы: АИЭС, 2010 

Әдістемелік нұсқау аналитикалық, графикалық және сандық тәсілдермен  математикалық есептерді компьютерде шешімін Mathcad компьютерлік математика жүйесінің көмегімен лабораториялық жұмыстарды жасауға арналған.

 

1       MATHCAD компьютерлік жүйесінің негіздерімен танысу

 

Кіріспе 

Осы лабораториялық жұмыстардың мақсаты – заманымыздың ең жоғарғы ғылыми жетістіктерінің жемісі – MATHCAD компьютерлік математика жүйесімен танысу және оның көмегімен элементар және жоғары математиканың негізгі есептерін тез және оңай шешу жолдарын үйрену.

Mathcad-бұл математикалық амалдарды электрондық (компьютерлік) түрде орындайтын компьютерлік бағдарламалардың біріккен аты. Енді дәстүрлі «қағаз жүзіндегі» математика электронды тасушыға  (носитель) жазылып, толықтырылады.

Mathcad-ғылыми-техникалық және оқу есептеулеріне арналған әлемдегі математикалық жүйелердің ішіндегі ең тиімдісі болып табылады. Символдық математикадағы көптеген амалдарды орындау мүмкіндігімен қоса сандық тәсілдермен есептеуге де болады.

Mathcad-тың басқа тамаша компьютерлік жүйелерден (Maple, Mathematica, MATLAB) басты айырмашылығы – интеграл белгісі, түбір, матрица және т.б. символдарды пайдаланып, компьютердің экранына математикалық формулаларды үйреншікті (түсінікті) түрде жазу мүмкіндігі.  Барлық математикалық өрнектер экранда кітап пен дәптерлерде қалай жазылса солай берілетіндігін айта кеткен жөн.

Бұл үлгіні қолданушы арнайы программалау тілдерін үйретуге, математикалық есептерді шешу программаларын жазуға уақытын жібермейді.

Математикалық өрнекті бізге белгілі түрде жазып, мәнін есептеу, алгебралық түрлендіру, теңдеу шешу, дифференциалдау, график салу және т.б. амалдарды орындауға болады. Есептеулерде жазбаша түсініктемелер жасап, барлық істелген жұмыстар туралы толық мәлімет алуға болады.

Mathcad жүйесінің аты MATHematica (математика) және CAD (Computer Aided Design-жобалаудың компьютерлік көмекшісі) сөздерінен құралған. Жүйенің алғашқы үлгілері (Mathcad 1.0) 90-шы жылдардың басында пайда болса, қазіргі уақытта (2009 ж) Mathcad 14  жүйесі қолданыста.

Осы лабораториялық жұмыстың тараулары  Mathcad 13 жүйесінің көмегімен кейбір элементар және жоғары математиканың есептерін шешуге арналған. Студенттер тобына арналған жеке тапсырмалар және оларды орындауға нұсқаулар келтірілген.  

 

1.1  Mathcad-тың негізгі сипаттамалары

Mathcad-тың математикалық мүмкіндіктері көп. Олар:

·        нақты және жорамал сандарға амалдар қолдану (оның ішінде өлшемдері бар сандарға да);

·        операторлар мен логикалық функциялардың көмегімен сандарға, векторларға және матрицаларға амалдар қолдану;

·        элементар және арнайы функциялардың мәндерін есептеу, сызбасын салу;

·        кез келген символдық өрнектерді қолма-қол түрлендіру;

·        теңдеулер мен теңдеулер жүйесін символдық түрде шешу;

·        символдық түрде интегралдау, дифференциалдау, шек табу және қатарлардың қосындысын табу;

·        анықтауыштарды есептеу, кері матрицаны табу, матрицаны транспозициялау әдістері;

·        ықтималдық және статистикалық есептерді шешу тағы басқа көптеген мүмкіндіктер.

 

Графика:

·        векторлық және скалярлық өрістер, интерактивтік екі және үш өлшемді графиктер, оның ішіңде декарттық, параметрлік, полярлық координаталар жүйесіндегі деңгейлік сызықтар, беттер, гистограммалар.

·        бағытты белгілеу (трассировка), бейнелеу (анимациялау);

·        жазықтықтағы және үш өлшемді сызбаларды тез салу;

 

Мәтіндер:

·        орфографияны тексеру;

·        мәтінді үлгілеу (форматтау), формулаларды енгізу;

·        мәтінді басу алдында тексеру;

 

Олай болса, Mathcad формулалық мәтіндік және графикалық редакторлармен қатар басқа да математикалық, өрнектік жүйелерді біріктіреді.

    Барлық жұмыс кезіңде осы үлгіні пайдаланушыларға қажет анықтамалар.

·                    мазмұны және іздеу құралдар (инструмент) анықтамасы;

·                    теңдеулерді шешуге арналған нұсқаулар;

·                    программа (үлгі) жасау ережелері;

·                    керекті анықтама кестелер;

·                    көптеген жедел ойға түсушілер (шпоргалка);

 

 

 

1.2  Mathcad-пен жұмыс жасау

Жұмысты бастамас бұрын алдын ала Windows 95-XP ортасына Mathcad жүйесі орнатылуы қажет. Ендігі жерде біз осы белгілі компьютерлік жүйелердің терминдерін және кең тараған офистік қосымшалардың жұмыс тәсілдерін ( көшіру (копирование), форматтау, алып бару (перетаскивание), кірістіру (вставка)) пайдаланамыз. Барлық керекті жұмыстарды орындайтын Mathcad жұмыс терезесін шақыру тышқанның курсорын немесе Enter  пернесін  Mathcad программасының пиктограммасына (белгісіне) басу арқылы орындалады. Бұл белгіні пайдаланушыға ыңғайлы болу үшін жұмыс үстелінде, аспаптар панелінің немесе папканың  ішінде орналастыруға болады. 1 Сурет                                            

Программаны шақырғаннан кейін экранда белгілі Microsoft Office программасының интерфейсіне ұқсас Mathcad жұмыс құжаты (2 Сурет) ашылуы тиіс.

 

2 Сурет

 

 Ашылғаннан кейін  Mathcad жүйесі құжат жасауға дайын.

Mathcad- жұмыс терезесінің бірінші жолы-шақырылған программаның және  құжаттың (папка, файл) атымен аталатын экрандағы стандартты жол (біздің жағдайда [Безымянный:2]).  Бірінші жолдың оң жағында кішірейту (свернуть), кеңейту (развернуть) және терезені жабу (закрыть) деген үш түйме (кнопка) орналасқан.

Терезенің екінші жолы – меню (мәзір) жолы. Тышқанның сол жақтүймесімен менюдің нақты жеріне бассақ, менюге қосмша пайдаланатын амалдардың тізімі шығады.

  Меню жолында келесі бөлімдер бар:

·        File (Файл) –файлмен жұмыс жасау;

·        Edit (Правка) – құжаттарды өңдеу;

·        View (Вид) – құжаттардың берілуін өзгерту және жұмыс терезесінің элементтерін бейнелеу/жасыру;

·        Insert (Вставка) – объектіні және оның нұсқасын (шаблон) суретімен қоса енгізу;

·        Format (Формат) – объектінің форматын өзгерту;

·        Tools (Инструменты) – есептеуді басқаратын аспаптар;

·        Symbolics  (Символы) – символдың процессордың амалдарын таңдау;

·        Window (Окно) – жүйенің терезелерін басқару;

·        Help (Справка) – жүйенің анықтамалық негізімен жұмыс жасау.

Жұмыс терезесінің жоғарғы жағының үшінші жолы аспаптар панелі төртінші жолы форматтау (үлгілеу) панелі. Осы және басқа жолдардың жұмыстарымен кейінірек танысамыз.  

 

1.3  Mathcad-тың математикалық панелі

Mathcad үшін негізгі менюдің барлық позицияларының ішінде есептеу амалдарын орындау үшін қажет математикалық белгілер – матрица, туынды, стандарттық функциялар т.б. шығаратын позиция былай шақырылады (орындалады). Алдымен курсормен негізгі менюдің Вид (View ) командасын басады, сонда шыққан ішкі менюдің Аспаптар панелінің  (Панели инструментов)  жолын көрсетеміз (баспай), содан кейін келесі шыққан менюдің  Математика (Math) жолын басамыз.

Экранды сол атпен математикалық панелі шығарады (3-сурет). Осы панельдің көмегімен тиісті позицияға басу арқылы бір немесе бірден бірнеше басқа математикалық панельдерді шақыруға болады. Оларды жұмыс терезесіне кедергі жасамау үшін экранның кез келген ыңғайлы жеріне орналастыруға болады. Ол үшін панельдің  жоғарғы көк бөлігін курсормен ұстап, одан соң кілттің сол жақ түймесін жібермей басып тұрып ыңғайлы жерге жылжыту керек.

4 – Суретте барлық математикалық панельдер көрсетілген. Олардың тізімі:

1)      Калькулятор (Calculator) – негізгі математикалық амалдар, цифрлар, белгілер орналасқан кірістірме

2)      График (Graph) – график белгілері орналасқан кірістірме;

3)      Матрица (Matrix) – матрица және матрицалық қарым-қатынасы орналасқан кірістірме;

 

                                                      

                                                3 Сурет

 

4)      Вычислить (Evaluation) – мән беретін және есептеудің мәнін шығаратын оператор;

5)      Логическая (Boolean) – логикалық  оператор орналасқан кірістірме;

6)      Исчисление (Calculus) – дифференциалдау,  интегралдау,  қосынды есептейтін қалыптардың кірістірмесі;

7)      Программирование (Programming) – програмалау операторы;

8)      Греческая (Greek) – грек әріптері;

9)      Символьная (Simbolics) –символдық есептеулер операторының кірістірмесі;

 

Символьная (Symbolics )  панелімен (4 Сурет) төмендегі амалдарды орындайды:

®     -     теңдік белгісінің символы (символдық есептеу);

 

®    -  символдық бағалау;

 

float  (плавающий)   -  сандарды жылжымалы үтір форматына түрлендіру;

coeffs (коэффициенттер)   -  көпмүшенің коэффициенттерін табу;  

complex  (комплекс)      -     нәтижені комплекс түрде жазу;

assume         -     айнымалыларға анықталмаған мәндер беру;

solve (решить-шешу)  -  теңдеуді белгіленген айнымалы бойынша шешу;

 

 

simplify (упростить-ықшамдау)      - белгіленген өрнекті ықшамдау (ұқсас мүшелерін біріктіру, ортақ бөлімге келтіру, тригонометриялық теңбе-теңдіктерді пайдалану т.с.с);

substitute (подстановка-ауыстыру) - көрсетілген айнымалыны алмастыру буферінің ішіндегімен ауыстыру;

 factor (разложить-тіктеу) -     өрнекті көбейткіштерге жіктеу;

expand (развернуть-кеңейту) -  өрнекті қою (мысалы, жақшаларды ашу);

collect (собрать-жинау)         - көрсетілген өрнек бойынша ұқсас қосылғыштарды біріктіру;

series (ряд-қатар)     -  көрсетілген айнымалы бойынша өрнектің Тейлор қатарына жіктелуінің бірнеше мүшелерін табу;

parfrac       -     элементар (жәй) бөлшектерге жіктеу;

fourier        -     Фурье түрлендіруі;

invfourier   -     кері Фурье түрлендіруі;

laplace         -   Лаплас түрлендіруі;

invlaplace   -    кері Лаплас түрлендіруі;

ztrans         -    z- түрлендіруі;

invztrans      -    кері z- түрлендіруі;

модификаторы- қосымша панель (амалдарымен);

real            -      нақты мән;

RealRange      -   нақты сан   [a; b] интервалында жатады;

           trig            -  тригонеметриялық түрлендірудің бағытын көрсету;

         

          - матрицаны транспозициялеу;

        - кері матрицаны табу; 

   - матрицаның анықтауышын есептеу;

 

Mathcad-та жәй теңдік = белгісінің үш түрі бар екенін айтып өткеніміз жөн. Бұл математикалық мәтіндерде теңдік белгісінің әртүрлі мағынасы болуына байланысты. Мысалы,  х = у  деген не айнымалы х-ке у-тің мәнін беруді, не х өрнегінен у өрнегіне логикалық тең екендігін білдіреді.

Компьютерлік программаларда мұндай құбылмалыққа жол бермейді. Сондықтан Mathcad-та келесі белгілерді қолданады:

= (клавиатурадан енгізілген кәдімгі теңдік белгісі) – есептеудің нәтижесін шығару (солдан оңға қарай Вычислить командасымен орындалады);

= (қою сызықты теңдік белгісі, Ctrl  түймесін және = белгісін бір уақытта басу арқылы енгізіледі)- х және у өрнектерінің арасындағы теңдік;

:= -  солдан оңға қарай айнымалыға белгілі мән беру (мысалы, х:=4 айнымалы х-ке 4-ті беру, ол мына: қос нүкте символ арқылы енгізіледі.

 

Ескерту: Егер айнымалыға жәй теңдіктің белгісін берсек (мысал, , х = 5 )

құжатта бірінші рет кездескенде, ол автоматты түрде айнымалыға мән беру символына ауысады. 

 

1.4  Mathcad-тағы курсордың түрлері

 


          тышқанның көрсеткіші. Тышқанның қозғалысын көрсетеді.

+ (монитордағы қызыл крест) беттегі формула немесе мәтінді енгізетін                                           позицияны көрсетіп тұрады.

∟ (көк бұрыш). Активті математикалық облыстағы формуланы немесе оның бір бөлігін ерекшелеп көрсетеді. Құжаттың бетінде активті математикалық облыс формуланы енгізе бастағаннан пайда болады.

‌‌‌|    (қызыл вертикаль сызық). Беттегі текстілік облысты енгізетін көрсеткіш. Ол экранға «»(тырнақша) пернесін басқанда пайда болады.

               орын толтырушылар. Әлі жазылып бітпеген  формулалардың ішінде болады. Ол орындарды міндетті түрде толтыру керек.

N Формуланы басқа жерге ауыстыратын шекарадағы орынды көрсетуші.

 

1.5   Формулаларды енгізу.

Математикалық өрнекті Mathcad-тың жұмыс облысының кез келген

жерінде енгізуге болады. Ол үшін енгізу курсорын (қызыл кресті) беттің бос жеріне апарып, тышқанды басып, клавиатурадан немесе алдын ала шақырылған аспаптар панелінің көмегімен енгізуді бастауға болады. Бұл кезде математикалық есептеулерге арналған Mathcad программасы танитын және қолданатын математикалық облыс құралады.

Формуланың элементтерін енгізгенде, редактор (түзету) сызықтары деп аталатын көк бұрышпен автоматты түрде белгіленеді. Формуланы дұрыс енгізу үшін осы сызықтарға көңіл бөліп отыру керек.

Ол көп сызықпен басқару   Пробел (Spase) пернесімен және бағыттаушы бар пернелермен орындалады. Бірнеше машықтану жаттығуларынан кейін көк бұрыштың орнын оңай өзгерте аламыз.

 

1.6  Мәтінді енгізу

Құжаттағы мәтін формулаға түсініктеме, комментарий және басқа

мақсаттар үшін қажет болуы мүмкін. Мәтіндік облысты ашу үшін ˝  (кавычки)  пернесі басылып, мәтінді теру басталады.

         Мәтінді математикалық облыста теруге болмайды, себебі Mathcad процессоры мәтінді формула деп қабылдап, есептеу нәтижесі дұрыс болмайды.

         Мәтіндік облысқа формуланы Word программасының Добавить/Объект/Microsoft Word  (Insert/Object/Microsoft Word) командаларымен немесе мәтіндік облысқа математикалық   Добавить/Математическая  область  (Insert/Math Region) командаларымен кірістірме жасап енгізеді.

       Мәтіндік облысты ашуды және математикалық облыста мәтінді жасауды ұмытқан жағдайды Пробел (Spase) пернесін басып түзетуге болады, сонда Mathcad математикалық облыстан мәтіндік облысқа көшіреді.

 

1.7  Қарапайым арифметикалық есептеулер

және өрнектерінің мәнін есептейік:

1 Кесте

Амалдарға нұсқау (түсініктеме)

Экрандағы көрініс

Тышқанды жұмыс құжаттарының кез келген жеріне сырт еткіземіз. Экранда берілгендерді енгізетін позицияны көрсететін «+» белгісі шығады.

 

                +

Амалдарға нұсқау (түсініктеме)

Экрандағы көрініс

Символдарды клавиатурадан мына ретпен енгізіңіз:  14 + 18/3

 

 

Клавиатурадан теңдік белгісін (=) енгіз. Өрнектің оң жағында нәтиже шығады

 

 

3 цифрының төменгі оң жағына тышқанды сырт еткізіп, BackSpase түймесін басыңыз. Сонда бөлшектің бөлімінде қара белгі шығады.

Клавиатурадан 6 цифрын енгізіп тышқанды шыққан төртбұрыштың  (раманың) сыртынан сырт дегізіңіз

 

Енді төртбұрыштың ішіндегісін кетіріп тастаймыз. Тышқанды төртбұрыштың кез келген жеріне сырт дегізіп, Пробел түймесін төртбұрыштың ішіндегісі көк сызықпен белгіленгенше жібермей басып тұрамыз. Содан соң Backspase  және  Delete түймелерін бірінен соң бірін басамыз. Төртбұрыштағы өрнек жойылады.

 

 

 

Ескерту:

1.Формуланың кез келген бөлігін, тышқанның көрсеткішін сол жақ түймесін жібермей басып тұрып, қараға бояп та көтеруге болады.

2. Төртбұрыштың сыртынан тышқанмен сырт еткізгенде облыс активтигін жояды. Формуланы түзету ұшін оның үстінен сырт еткізіп қайтадан активті қалыпты көтеруге болады. 

 

 

 

 

 

 

1.8 Айнымалы және оның мәнін анықтау.

Айнымалылар бар өрнектің мәнін есептеу   t = 5,  a = 9,8 деп алып, a·t 2 ∕ 2  өрнегінің мәнін есептейік

2 Кесте

Амалдарға нұсқау (түсініктеме)

Экрандағы көрініс

Жұмыс құжатының бос жеріне сырт еткізіп, пернетақтадан (клавиатура)   а : 9.8   символын енгізіңіз. ( : символын енгізгенде құжатта меншіктеу белгісі := көрінеді.)

 

             2 Кесте соңы

     Амалдарға нұсқау (түсініктеме)                                       Экранға көрініс                                    

 

Тышқанды бос жерге сырт дегізіп  t:=5 –ті енгіземіз.

 

Бос жерге сырт дегізіп, мынаны енгізіңіз:

а * t ^2 Пробел / 2 Пробел =

 

Назар аударыңыз! Енгізілген өрнектерді Mathcad солдан оңға жоғарыдан төмен қарай оқыпорындай алады. Сондықтан өрнек мәндері анықталған айнымалылардың оң жағында немесе одан төмен орналасуын қадағалап отыру керек.  

 

 

 

1.9             Функцияны анықтау және оның нүктедегі мәнін есептеу. Функция мәндерінің кестесін жасау

 

 функциясын анықтап, оның х = 1,2   болғандағы мәнін тауып және барлық х   тар үшін интервалы 1-ге тең болатын мәндерінің кестесін жасайық.

 

3  Кесте

                 Амалдарға нұсқау (түсініктеме)                              Экранға көрініс

 

 Жұмыс терезесінің бос жеріне сырт дегізіп пернелер арқылы f (х) := х + 1 Пробел / х ^ 2 + 1 Пробел енгізіңіз.

 

Бос жерге сырт дегізіп, f (1.2) =  енгізіңіз Есептелген функцияның мәні шығады.

 

 

 

Енді аргументтің   дискретті мәндерін беріңіз (1-ге тең интервалмен), бос жерге сыртдегізіп    х := 0, 1; 5  енгізіңіз.

(; енгізгенде құжатта қос нүкте пайда болады)

Сырт дегізіп  f (х) = В  енгізіңіз. Нәтижесінде функция атының астында функция мәндерінің кестесі шығады.

              1.10  Функцияның декарттық графигін салу  функциясының графигін саламыз

4 Кесте

Амалдарға нұсқау (түсініктеме)                             

Экранға көрініс

Бос жерге сырт дегізіп, функцияны енгізіңіз.

f (t) := exp(-t ^ 2 Пробел)

 


Енді бос мәзірдің (менюдің) Вид түймесіне басып, шыққан мәзірден көрсеткішпен аспаптар панелін белгілеңіз де содан шыққан мәзірдің График деген жолына басыңыз. Экранда аспаптар панелі Графиктер шығады. Көрсеткішпен осы панелдің бірінші түймесін белгілесеңіз бір секундтан кейін «Декартов график»  деген жазу шығады, соған басыңыз.

Көрсеткіш абцисс өсіндегі қара белгіде тұр. Аргумент  t-ның атын енгізіп, содан соң ординат өсінің бойындағы қара белгіге сырт дегізіп f(t)-ты енгізесіз. Тышқанмен тік төртбұрыштың сыртынан сырт еткізіңіз.    График өте нашар шықты. Аргументтің өзгеру аралығын

[-2.2] ге өзгертеміз. Ол үшін график тұрған жерге сырт дегіземіз. Содан соң абсцисса өсіндегі сол жағындағы санға сырт дегізіп,  BackSpase пернесі арқылы жойып, -2 санын енгіземіз. Сол сияқты өстің оң шекарасын 2-ге өзгертеміз. Тік төртбұрыштың сыртынан сырт дегізсек, график шығады.

Графикке координаттар өсін салайық.

Тышқанның оң жақ  түймесін басып, сосын Формат  жолындағы  Стиль осей (Axis Style) бөлімінен  Пересекающиеся (Crossed) пунктін  белгілейміз. ОК-ді басамыз. Енді график жақсы шықты.

 

 

 

 

 

Mathcad арқылы қажетті нәтижені операцияларды әртүрлі жолдармен орындап, шығарып алуға болады. Мысалы бас мәзір немесе математикалық панельдер арқылы  немесе пернелер тақтасы арқылы.

Басқа да математикалық есептердің шешу мысалдарымен осы нұсқауда  әрі қарай танысамыз.

 

2       Лабораториялық жұмыстар

         Институттың компьютерлік сыныптарында орындалатын төрт лабораториялық жұмыс ұсынылады. Осы әдістемелік құралда студенттердің тобына арналған әр жұмыс бойынша жеке тапсырмалар және оларды орындауға арналған  нұсқаулар келтірілген.

          Компьютерлік сыныптарында кезекті лабораториялық жинақтауышта электронды түрде сақтап, қажет болғанда өздігінен мәтінмен толықтырып, оқытушыға жазбаша басылымын өткізеді. Математикадан қорытынды емтиханға жіберілуі үшін студент жазбаша басылымды өткізуге міндетті.

 

 

Алматы энергетика және байланыс институты

 

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА   3

 

MATHCAD  13

 

 

№  1 Лабораториялық жұмыс

 

Тақырыбы: Элементар математика есептерін шешу

№   20 нұсқа

 

 

 

 

 

 

                                                 Орындаған:   

БЭ-09-07    тобының

                                                                        студенті Әлімов Б.С.  

                                                 Қабылдаған:

аға оқытушы   Мадолиева С.Н

 

 

 

 

 

Алматы, 2010

 

 

1 Сурет –орындалған лабораториялық жұмыс мұқабасының үлгісі 

 

1 Тапсырма.   Есептеңіз:      ( Word-та теріледі)

 

Тапсырманың орындалуы

 

( Mathcad –та орындалған құжат Word-қа кірістіріледі)

 

                                                                               

                                                                                                          Жауабы:   3    ( Word-та)

 

            2 Тапсырма.   Өрнекті ықшамдаңыз:     
                               

Тапсырманың орындалуы

                                                                                                          Жауабы:  

 

2 Сурет –Жазбаша басылымдағы орындалған жұмыс мұқабасының үлгісі (Word-та)

 

№1 Лабораториялық жұмыс

 

Тақырыбы: Элементар математика есептері

Мазмұны:

1)     Mathcad математикалық жүйесінің  жұмысымен танысу;

2)     арифметикалық есептеулер;

3)     алгебралық өрнектерді түрлендіру;

4)     теңдеулерді шешу;

 

 

1-     Тапсырма. Есептеңіз:

Кесте 1.1.1 Далее см. Указания к ЛР 2  и  Лаб.работы. Часть 2 (скрытый текст, печататься не будет)

 

нұсқаның

 

                           Жеке тапсырмалар

 

1.1

 

1.2

 

1.3

 

1.4

1.5

 

1.6

1.7

1.8

 

 

       Кестенің жалғасы  1.1.1

 нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

 

1.9

 

1.10

1.11

 

1.12

 

1.13

1.14

 

1.15

 

1.16

1.17

 

1.18

 

1.19

 

     Кестенің соңы  1.1.1

 нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

 

1.20

 

1.21

 

1.22

 

1.23

 

1.24

1.25

 

 2 - Тапсырма.   Кестені ықшамдаңыз:                      

 1.1.2  Кесте Далее см. Указания к ЛР 2  и  Лаб.работы. Часть 2 (скрытый текст, печататься не будет)

 

 

нұсқаның

 

                                       Жеке тапсырмалар

 

2.1

2.2

 

 

 

 

 

Кестенің жалғасы 1.1.2

нұсқаның

 

                                       Жеке тапсырмалар

 

     2.3

 

 

2.4

 

2.5

 

 

2.6

 

 

2.7

 

2.8

 

2.9

 

 

2.10

 

 

2.11

 

2.12

 

 

 

2.13

 

 

 

 

                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Кестенің соңы 1.1.2

 

2.14

 

 

                              

 

 

 

2.15

 

2.16

 

    2.17

2.18

 

2.19

 

2.20

 

2.21

 

2.22

 

 

2.23

 

2.24

 

2.25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 - Тапсырма Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін жинақтаңыз:.

1.1.3  КестеДалее см. Указания к ЛР 2  и  Лаб.работы. Часть 2 (скрытый текст, печататься не будет)

 

 

нұсқаның

Жеке тапсырмалар

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

 

          4- Тапсырма.   Берілген өрнекті көбейткіштерге жіктеңіз.

1.1.4  Кесте   Далее см. Указания к ЛР 2  и  Лаб.работы. Часть 2 (скрытый текст, печататься не будет)

 

нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

4.1

4.2

 

 

 Кестенің соңы 1.1.4

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

 

 

5 -Тапсырма. Берілген өрнекті жай бөлшектерге жіктеңіз:

1.1.5 кесте Далее см. Указания к ЛР 2  и  Лаб.работы. Часть 2 (скрытый текст, печататься не будет)

 

 

нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

5.01

5.14

5.02

5.15

5.03

5.16

5.04

5.17

5.05

5.18

  

Кестенің соңы 1.1.5

нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

5.06

5.19

5.07

5.20

5.08

5.21

5.09

5.22

5.10

5.23

5.11

5.24

5.12

5.25

5.13

 

 

  

6 - Тапсырма.   Теңдеуді шешіңіз.

1.1.6  КестеДалее см. Указания к ЛР 2  и  Лаб.работы. Часть 2 (скрытый текст, печататься не будет)

 

 

нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

6.01

6.02

6.03

6.04

6.05

6.06

6.07

6.08

6.09

6.10

6.11

   

Кестенің соңы 1.1.6

нұсқаның

 

Жеке тапсырмалар

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

 

 

 

№1 Лабораториялық жұмысты орындау үлгісі

 

Назар аударыңыз!

1. Құжаттың математикалық облысында сандар мен формулалар пернелер тақтасынан (клавиатура) немесе математикалық аспаптар (инструменты) панелінің көмегімен енгізіледі. Формуланы тергенде көк бұрыштың көрсеткішті бақылап отыру керек.

2. Құжаттың мәтіндік облысы «» (тырнақша) белгісін тергенде ашылады.

3. Мәтіндік облысқа формулаларды  Добавить/Объект/Microsoft Word (Insert/Object/ Microsoft Word) командасымен немесе мәтіндік облысқа математикалық Добавить /Математическая область (Insert/ Math Region/) командаларымен кірістірме жасап енгізеді.

4. Пернелер тақтасын ағылшын тіліне көшіреміз.

5. Ондық санның бүтін бөлігі үтірмен емес нүктемен бөлінеді.

6. Аралас бөлшек калькулятор панелімен теріледі немесе бүтін және бөлшек санның қосындысына келтіруге болады.

7. Тапсырманың сәтті орындалуы Нұсқауды бұлжытпай орындауға байланысты.

 

 

1-Тапсырма. Есептеңіз:

 

                               

Word программасының математикалық редакторын  Добавить/Объект/Microsoft Word командаларымен шақырып теріледі.

Тапсырманың орындалуы (Mathcad-та теріледі)

Нұсқау. Пернелер тақтасынан өрнекті тергеннен кейін = түймесін (кнопка) басу керек.  Нәтиже экранда пайда болады.

                                             

                                             

                                                                                   Жауабы: 3

  2-Тапсырма. Өрнекті ықшамдаңыз:

 

                                     

 

Тапсырманың орындалуы (экранда)

                                

 

 

           

 

Нұсқау. Санды квадраттау пернелер тақтасынан Shift және 6 түймелерін бірден басу арқылы орындалады. Өрнекті тергеннен кейін оны толығымен тік бұрышты көк сызықпен белгілеп, бас менюдің Символы (Simbolics) позициясына, одан соң  Упростить (Simplify) деген позициясын сырт дегізу керек (тышқанның көмегімен). Экранда терілген өрнектен төменірек нәтиже пайда болады.

 

                                                                                          Жауабы:

3-Тапсырма. Жақшаларды ашып, ұқсас мүшелерін жинақтаңыз:

 

            

 

Тапсырманың  орындалуы:

 

      Нұсқау. Өрнекті тергеннен кейін, оны толығымен

                                      көк   сызықпен белгілеп алып, Символы (Simbolics)

                                      содан соң Развернуть (Expand) позициясына сырт

                                      дегізу керек.

 

                                                                                          Жауабы: 

4-Тапсырма. Көбейткіштерге жіктеңіз:

 

 

Тапсырманың  орындалуы:

                             

Нұсқау. Өрнекті тергеннен кейін, оны көк сзықпен белгілеп алып, Символы (Simbolics) одан соң Фактор (Factor) позициясынан сырт дегізу керек.

 

                                                                                    Жауабы:

5-Тапсырма. Жәй бөлшектерге жіктеңіз:

 

 

 

               Нұсқау. Өрнекті тергеннен кейін көк сызықпен тек 

қана  -ті белгілейміз. Символы (Simbolics) позициясының

Переменные ( Variable) жолынан Преобразование в элементарные дроби

   (Convert to Partial Fractions) командасына сырт дегізу керек.

                                                           

                                                      Жауабы:

6-Тапсырма.

Мысалдар.

1. Теңдеуді шешіңіз:

Тапсырманың орындалуы

Нұсқау. Математическая панелінен Символьная, содан кейін Решить (Solve) түймесін сырт дегізіп, осы сөздің сол жағына F(x,y)=0 теңдеуінің сол жағын, ал оң жағына белгісіз айнымалыны үтір арқылы енгізу керек. Айнымалы тек қана біреу болса, оң жағына ештене жазбай-ақ бос жерге сырт дегізу керек.

 

  

 

                                                            Жауабы:

2. Теңдеуді шешіңіз:

 

 

                                                             Жауабы:

Ескерту. Тригонометриялық теңдеулерден түбірдің тек бас мәндері табылған.

 

 

 

2.2    №2 Лабораториялық жұмыс

Тақырыбы: Векторлық және сызықтық алгебра есептері

Мазмұны:

1)     вектормен амалдар орындау;

2)     матрицамен амалдар орындау;

3)     сызықтық теңдеулер жүйесін шешу.

 

1-     Тапсырма.   және k, m, n сандары берілген. Табу керек:

1) ;

2)

3)  және  векторларының скалярлық көбейтіндісін;

4)  және  векторларының векторлық  көбейтіндісін;

5)  және 4-ші пунктте табылған вектордың ұзындығын;

6) ,  және  векторларының аралас көбейтіндісін

7) берілген векторлар сызықтық тәуелді ме жоқ па? Олар базис құра ма?

 

 

Кесте  2.2.1  

Жеке тапсырмалар

n

m

k

1.1

(2,-3,1)

(1,4,0)

(5,2,-3)

3

2

-4

     Кестенің соңы 2.2.1

1.2

(3,4,1)

(1,-2,7)

(3,-6,21)

5

2

1

1.3

(2,-4,-2)

(7,0,3)

(3,5,-7)

-2

1

3

1.4

(-7,0,2)

(2,-6,4)

(1,-3,2)

-7

2

4

1.5

(-4,2,-1)

(3,5,-2)

(0,1,5)

1

-2

4

1.6

(3,-2,1)

(0,2,-3)

(-3,2,-1)

-5

1

4

1.7

(4,-1,3)

(2,3,-5)

(7,2,4)

2

1

0

1.8

(4,2,-3)

(2,0,3)

(-12,-6,-3)

-1

2

-1

1.9

(-1,0,5)

(-3,2,2)

(-2,-4,1)

2

2

1

1.10

(6,-4,6)

(9,-6,9)

(1,0,8)

3

0

1

1.11

(5,-3,1)

(2,-4,-2)

(3,5,-7)

-1

3

1

1.12

(-4,3,-7)

(4,6,-1)

(6,9,-3)

3

3

2

1.13

(-4,-6,2)

(7,0,5)

(2,3,-2)

2

-3

2

1.14

(-5,2,2)

(2,3,-1)

(-1,5,-3)

3

-7

1

1.15

(-4,2,-3)

(0,-3,5)

(-1,6,-4)

3

1

-2

1.16

(7,-3,2)

(12,4,7)

(0,1,13)

-1

4

-8

1.17

(-4,5,3)

(10,-1,5)

(4,-1,3)

7

0

-3

1.18

(6,2,-1)

(-3,-6,8)

(15,3,0)

-11

3

-5

1.19

(-5,3,2)

(0,1,8)

(-9,6,-9)

1

4

-3

1.20

(2,-4,-1)

(-4,-8,-11)

(-5,10,-1)

5

2

0

1.21

(5,3,-4)

(12,0,5)

(4,0,-5)

-7

-1

-7

1.22

(3,-4,1)

(-6,1,0)

(9,0,9)

0

3

-2

1.23

(0,-2,5)

(-3,5,4)

(9,5,-4)

7

1

3

1.24

(-3,5,0)

(0,1,-7)

(1,-8,2)

5

0

4

1.25

(2,0,-2)

(15,4,6)

(13,0,13)

-4

-5

8

 

2-Тапсырма.  матрицалары берілген.

1)  және  матрицаларының анықтауышын есептеңіз;

2)  матрицасын табыңыз;

3)  және  матрицаларына кері матрицаларды табыңыз (егер олар бар болса);

4) чапк (А) функциясының көмегімен  және  матрицасының рангтерін тап;

5)  матрицаны табыңыз.

 

 

 

                 Кесте    2.2.2                  

Жеке тапсырмалар

А

В

С

 

2.1

 

 

 

               Кестенің жалғасы 2.2.2

 

2.2

 

2.3

 

2.4

 

2.5

 

2.6

 

2.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.8

 

2.9

 

2.10

 

2.11

 

2.12

 

2.13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

               Кестенің соңы 2.2.2

 

 

 

 

 

2.14

 

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-Тапсырма.  теңдеулер жүйесі берілген.

1) Осы теңдеулер жүйесін Крамер формулалары бойынша шешіңіз;

2) Осы теңдеулер жүйесін кері матрицаның көмегімен,  формуласымен шешіңіз;

3) Осы жүйені lsolve(D,F) операциясының көмегімен шешіңіз.

 

 

Кесте    2.2.3

Жеке тапсырмалар

D

F

 

3.1

    

 

 

 

      Кестенің жалғасы 2.2.3

 

3.2

 

3.3

 

3.4

 

3.5

 

3.6

 

3.7

 

3.8

 

3.9

 

3.10

 

3.11

 

 

 

          Кестенің жалғасы   2.2.3

 

3.12

 

 

3.13

 

 

3.14

 

 

3.15

 

 

3.16

 

 

3.17

 

 

3.18

 

        

3.19

 

3.20

 

3.21

             

  Кестенің соңы   2.2.3

 

3.22

 

3.23

 

3.24

 

3.25

 

                                

        №2 Лабораториялық жұмысты орындау үлгісі

        1-Тапсырма.  векторлары және k, m, n сандары берілген. Табу керек:

1) ;

2) ;

3) 3)  және  векторларының скалярлық көбейтіндісін;

4)  және  векторларының векторлық  көбейтіндісін;

5)  және 4-ші пунктте табылған вектордың ұзындығын;

6) ,  және  векторларының аралас көбейтіндісін

7) берілген векторлар сызықтық тәуелді ме жоқ па? Олар базис құра ма?

 

Мысалдар.

1.  векторы берілген. Табу керек: .

 

Тапсырманың орындалуы:

Mathcad –та векторлар тік жол матрица түрінде береміз:

                                                                   Сонда

Нұсқау. Тік жол матрицаны енгізу: Математическая панелінен Панель матрица және векторлар батырмасын, экранда пайда болған Матрицы (Matrix) панелінің Матрица немесе вектор батырмасын басамыз. Пайда болған терезеде OK батырмасын басу арқылы жатық жол (Rows) және тік жол (Columin) сандарын, матрицаның элементтерін енгіземіз.

Назар аударыңыз!   Mathcad тапсырманы жатық жол бойынша солдан оңға қарай және жоғарыдан төмен қарай оқып, орындайды. Сондықтан 3 векторы экранда  векторынан төмендеу орналасуы керек.

 

                                                                     Жауабы: .

2.  векторлары және 5, -8, 2 сандары берілген.  векторын табыңыз.

 

Тапсырманың орындалуы

     

 

                                                   Жауабы:

Алдынғы мысалдағы  және  векторларының скалярлық

 және векторлық көбейтінділерін тап.

     

Тапсырманың орындалуы:

 - скалярлық көбейтінді,

- векторлық көбейтінді.

Нұсқау. Векторлық көбейтіндіні енгізу үшін Матрица панелінің Векторное произведение (Gross Product) батырмасын басып, көбейткіштерді енгіземіз. Барлық өрнекті көк сызықпен әрлеп (Пробел пернесі арқылы), пернелер тақтасынан теңдік белгісін басу керек.

                                                            Жауабы: ,

4.  векторының ұзындығын табыңыз.

 

Тапсырманың орындалуы

Назар аударыңыз! Вектордың ұзындығы мен матрицаның анықтауышын есептейтін операторлар бірдей болғанмен (санның модулі сияқты), оларды әртүрлі жолмен табамыз. Вектордың ұзындығын  Калькулятор панелінің модулімен, ал матрицаның анықтауышы матрица панелінің модулімен есептеледі.

 

-  векторының ұзындығы.

 

Нұсқау. Матрица панеліндегі Определитель (Determinant) батырмасын басып, қара белгінің орнына -ны енгізу керек. Оны көк сызықпен әрлеп,  пернелер тақтасынан теңдік белгісін басу керек.

 

                                                                   Жауабы: 4. 899

 

       5.  векторларының аралас көбейтіндісін табыңыз.

              Тапсырманың орындалуы

 

    - аралас көбейтінді.

                                                                      Жауабы: 0

       6.  векторлары сызықты тәуелді ме, жоқ па? Олар кеңістіктің базисін құра ма?

         Тапсырманың  орындалуы

 векторлық координаталарынан матрица құрып, оның анықтауышын есептейміз.

 

                                                                                          

                                                                      Жауабы:  векторлары өзара

                                                                       сызықты тәуелді. Олар кеңістіктің                                                     

                                                                        базисін құра алмайды.

      2-Тапсырма. А, В, С матрицалары берілген.

1) А және С матрицаларының анықтауышын табыңыздар;

2)  матрицасын табыңыздар;

3) А және С матрицаларына кері матрицаларды табыңыздар (егер олар бар болса);

4) чапк (А) амалының көмегімен А және С матрицаларынының рангтерін табыңыздар;

5) А матрицасын В матрицасына көбейтіндісін табыңыз;

6)  амалының мәнін табыңыз;

 

Мысалдар

1. А матрицасының анықтауышын табу керек. (№1 тапсырманың 6-шы мысалын қараңыз).

2. В матрицасы үшін транспонирленген  матрицасын табу керек.

 

    Тапсырманың орындалуы

 

                                     

Нұсқау. Тапсырма Матрица панелінің Транспонирование матрицы батырмасы арқылы орындалады.

                                                                     Жауабы:

1)     С матрицасына кері матрицаны табыңыз.

 

Тапсырманың орындалуы

                                   

Нұсқау. Тапсырма Матрицы панелінің Инверсия (Inverse), батырмасы арқылы орындалады. Анықтауышы нөлге тең болса, матрицаның кері матрицасы болмайды.

                                                                    Жауабы:

4. С матрицасының рангісын табыңыз (алдындағы тапсырмадан)

 Тапсырманың орындалуы

    rank (С)=3 (пернелер тақтасынан теру керек)

                                                                     Жауабы: 3

5. матрицаларының көбейтіндісін және  матрицасын табыңыз.

    Тапсырманың орындалу

 

                          

3-Тапсырма.  теңдеулер жүйесі берілген.

1) осы теңдеулер жүйесін Крамер формуласының көмегімен шешіңіз;

2) дәл осы теңдеулер жүйесін кері матрицаның  көмегімен,  формуласымен шешіңіз

3) берілген теңдеулер жүйесін   функциясының көмегімен шешіңіз.

 

Мысалдар

2)     Теңдеулер жүйесін Крамер формуласымен шешіңіз.

    Тапсырманың орындалуы

 Жүйенің матрицасы :

Жүйенің анықтауышы:

       анықтауыш нөлге тең   емес, сондықтан   жүйенің  бір ғана шешімі болады.

Жүйенің бірінші қосымша анықтауышы:

                                                                                

                                                                                   

                                                                                                                

Жүйенің екінші қосымша анықтауышы:

          

           Дәл осылай    

 

                                                       

 

                                            

                                                                    Жауабы:    

3        Дәл осы теңдеулер жүйесін матрицалық тәсілмен шешіңіз.

Шешуін мына формуланың көмегімен табамыз (мәтіндік облыста теріледі):

 

мұндағы

Тапсырманың орындалуы

   

                                                                       Жауабы:      

3)     Берілген теңдеулер жүйесін lsolve  функциясының көмегімен

шешіңіз.

 Тапсырманың орындалуы

                                                                Жауабы:    

2.3    №3 Лабораториялық жұмыс

Тақырыбы: Математикалық анализ есептері

Мазмұны:

4)     шектерді есептеу;

5)      функциялардың туындыларын табу;

6)     функциялардың графиктерін салу.

 

1-Тапсырма.  функциясы және  нүктесі берілген.

 

1) Функцияның берілген нүктедегі екі жақты (жәй) шегін табыңыз;

2) функцияның берілген нүктедегі сол жақ шегін табыңыз;

3) функцияның берілген нүктедегі оң жақ шегін табыңыз;

4)  нүктесіндегі функцияның үзілістігі туралы қорытынды жасап, үзіліс нүктесінің түрін (типін) сипаттаңыз.

 

 

Кесте 2.3.1

Жеке тапсырмалар

х

х

1.1

0

1.16

1

1.2

0

1.17

1.3

0

1.18

4

1.4

0

1.19

1

1.5

0

1.20

-2

1.6

1.21

1

1.7

1

1.22

1

 

 

 

 

Кестенің соңы 2.3.1

х

х

1.8

1

1.23

1.9

1

1.24

-1

1.10

(ctg x -1) x

0

1.25

1.11

 

 

 

1.12

 

 

 

1.13

 

 

 

1.14

0

 

 

 

1.15

0

 

 

 

 

 

2-Тапсырма. Берілген   функциясының    ,  ,  ,  туындыларын табыңыз.

 Кесте 2.3.2.

Жеке тапсырмалар

2.1

3

2.16

2.2

1

2.17

1

2.3

2

2.18

0

2.4

1

2.19

0

      2.5

(x2+1)3

1

2.20

0

2.6

-2

2.21

2

2.7

2.22

2.8

arctg x

2.23

1

2.9

2.24

2

2.10

2

2.25

0

 Кестенің соңы 2.3.2

2.11

0

 

 

 

2.12

1

 

 

 

2.13

0

 

 

 

2.14

-1

 

 

 

2.15

1

 

 

 

        

          3-Тапсырма. Декарттық координаттар жүйесінде     функциясының графигін салыңыз.

 

          Кесте 2.3.3

Жеке тапсырмалар

f(x)

f(x)

3.1

      3.16

 

 

 

 

3.2

3.17

3.3

3.18

3.4

3.19

3.5

3.20

3.6

3.21

3.7

3.22

3.8

3.23

3.9

3.24

3.10

3.25

3.11

 

 

3.12

 

 

3.13

 

 

3.14

 

 

3.15

 

 

               

4-Тапсырма. Параметрлік түрде берілген  функциясының графигін салыңыз.

Кесте 2.3.4

Жеке тапсырмалар

 

4.1

t3 + 3t + 1

t3-3t+1

4.2

t3-3t

t3 – t

 Кестенің соңы 2.3.4

4.3

 

4.4

te t

te – t

 

4.5

2cos t – cos 2t

2sin t – sin 2t

 

4.6

 

4.7

 

4.8

 

4.9

 

4.10

4.11

4.12

3t2

3t t3

4.13

cos3t

sin3t

4.14

cos t + t sin t

sin t – t cos t

4.15

2 cos t – cos 2t

2sin t sin 2t

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

     4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

 

  5-Тапсырма.  функциясының полярлық координаттар жүйесіндегі графигін салыңыз.

Кесте 2.3.5

Жеке тапсырмалар

 

 Кестенің жалғасы 2.3.5

5.1

sin 3j

5.15

5.2

tg φ

5.16

5.3

5.17

5.4

1 + 2cos φ

5.18

5.5

1 + sin φ

5.19

5.6

5.20

5.7

5.21

5.8

5.22

5.9

2 φ

5.23

5.10

5.24

5.11

 

5.25

5.12

sin3

 

 

5.13

cos 2φ

 

 

5.14

 

 

 

 

6-Тапсырма.  функциясының декарт координаттар  жүйесіндегі графигін салыңыз. Сол графикте берілген нүктедегі жанама мен нормальдың графигін салыңыз.

 Кесте 2.3.6

Жеке тапсырмалар

6.1

-1

6.14

ln cos x

1

6.2

xex

0

6.15

x3+1

2

6.3

4

6.16

1

6.4

1

6.17

2

6.5

sin 2x

0

6.18

-1

6.6

2

6.19

-1

6.7

tg x

0

6.20

2

6.8

arcsin x

0

6.21

-3

 

Кестенің соңы 2.3.6

6.9

1

6.22

1

6.10

0

6.23

10

6.11

tg2x

0

6.24

5

6.12

cos2x

0

6.25

½

6.13

1

 

 

 

 

 

7-Тапсырма. Берілген функцияның графигін сызып, туындысын, туындының нөлдерін  (кризистік нүктелерін) және экстремум нүктелерінің координаттарын табыңыз.

 

Кесте 2.3.7

Жеке тапсырмалар

7.1

7.16

7.2

7.17

7.3

7.18

7.4

7.19

7.5

7.20

7.6

7.21

7.7

7.22

7.8

7.23

7.9

7.24

 7.10

7.25

7.11

 

 

7.12

xx

 

 

 

 

 

Кестенің соңы 2.3.7

7.13

 

 

7.14

 

 

7.15

 

 

 

    

 

          8-тапсырма. Беттің үш өлшемді графигін салыңыз.

 

Кесте 2.3.8

Жеке тапсырмалар

Функция

Функция

8.1

8.16

8.2

8.17

8.3

8.18

8.4

8.19

8.5

8.20

8.6

8.21

8.7

8.22

 

  8.8

8.23

 

 

Кестенің соңы 2.3.8

Функция

Функция

8.9

8.24

8.10

8.25

8.11

 

 

8.12

 

 

8.13

 

 

8.14

 

 

8.15

 

 

 

№3 Лабораториялық жұмысты орындау үлгісі

1-Тапсырма.  функциясы және  нүктесі берілген.

1) Функцияның берілген нүктедегі екі жақты (жәй) шегін табыңыз;

2) Функцияның берілген нүктедегі сол жақ шегін табыңыз;

3) функцияның берілген нүктедегі оң жақ шегін табыңыз;

4)  нүктесіндегі функцияның үзілістігі туралы қорытынды жасап, үзіліс нүктесінің түрін (типін) сипаттаңыз.

 

      Тапсырманың орындалуы

 функциясы және  нүктесі берілген.

Нұсқау. Математика панелінен Панель исчисления  (Cflculus Toolbar), батырмасына, содан соң Двусторонний предел (Two-sided Limit) батырмасына басып, өрнекті тересіз. Математика панелінен Символьное вычисления (Simbolic Evaluation (стрелка)) батырмасына сырт дейміз. Ең соңында кез келген бос жерге сырт дегіземіз.

нүктесінде екі жақты шегі жоқ)

           (сол жақ шегі)

 (оң жақ шегі)

 

                              Қорытынды: функция  нүктесінде үзілісті.

 2-тапсырма.  функциясы және  нүктесі берілген.

Табу керек: 1) ,    2) ,     3) ,    4)

      

Тапсырманың орындалуы

Нұсқау. Бұл тапсырмада алдындағы есеп сияқты Исчисление панелімен орындалады.

 және  нүктесі.

-бірінші ретті туынды

-туындының нүктедегі мәні

-екінші ретті туынды

-екінші ретті туындының нүктедегі мәні

                                 Жауабы:,      

 

3-Тапсырма. функциясының декарттық координаттар жүйесіндегі графигін салу керек.

Нұсқау. Берілген функцияны  деп белгілейміз. (пернетақтадан тереміз). Математика панелінен Панель графиков (Graph) батырмасына сырт еткіземіз, содан кейін -график (X-Y Plot)  батырмасына басып OY өсіндегі қара белгіні функциямен, ал OX өсіндегісін айнымалысымен толтырамыз. Графиктің өрісінен тыс, бос жерден сырт дегіземіз.

                    

Тапсырманың орындалуы

 

 

 

 

 

 

 

Нүсқау. График жақсы шығуы үшін координата өстерін көрсетіп қояйық. Тышқанның оң жақ батырмасын графиктен сырт дегіземіз, шыққан терезеден Формат командасын, сосын Стиль осей (Axis Style) бөлімінен Пересечение (Crossed)-позициясына басамыз. ОК батырмасына сырт дегіземіз.

 

   4-Тапсырма.  Параметрлік түрде берілген  функциясының графигін салыңыз.

Тапсырманың орындалуы

    параметрлік түрде берілген циклоида. Салынған график       

                                                                                                                                                                               

 

5-Тапсырма. Функцияның полярлық координаттар жүйесіндегі графигін салыңыз.

        Тапсырманың орындалуы  - Архимед спиралі

 

 

6-Тапсырма.   функциясының декарттық координаттар жүйесіндегі графигін салу. Осы графикте берілген нүктедегі жанама мен нормальдың графигін салу.

Нұсқау.

1.  функциясын анықтау

2.     Жанаманың бұрыштық коэффициентін анықтау

3.     Берілген нүктедегі бұрыштық коэффициентті есептеу

4.     Берілген нүкте арқылы өтетін жанаманың теңдеуін жазу

5.     Берілген нүкте арқылы өтетін нормальдың теңдеуін жазу

6.     Декарттық координаттар жүйесін шақырып, үш график үшін қара белгілерді толтырып, функцияның, оның жанамасы мен нормалінің графиктерін салу

Тапсырманың орындалуы

 

  - шынжыр сызық. Жанама және нормаль үшін берілген нүкте: .

-жанаманың бұрыштық коэффициенті

-жанаманың  нүктесіндегі бұрыштық коэффициенті

Графиктер:

Нұсқау.   өсімен бірнеше  функцияларды енгізу үтір арқылы орындалады.

Назар аударыңыз!  Кей жағдайда Mathcad кейбір өрнектерді немесе айнымалыны қызылмен тереді де қажетті команданы орындамайды. Мұндай жағдайда мәтінде көптеген әртүрлі тапсырмалар орындалып, кейбір белгілеулер қайталанғанда да болады.

Жұмысты жалғастыру үшін жаңа құжат алу керек немесе бұрынғы құжаттағы айнымалыларды кері белгілеп шығу керек.

 

 7-Тапсырма.   Берілген функцияның графигін сызып,   туындысын, туындының нөлдерін (кризистік нүктелерін) және экстремум нүктелерінің координаталарын табыңыз.

                                                 

Тапсырманың орындалуы

 - туындыны есептеу

 - кризистік нүктелер

                       

- функцияның кризистік     нүктелердегі мәндері.

Жауабы: максимум нүктесі ,               минимум нүктесі 

8-Тапсырма. Беттің үш өлшемді графигін салыңыз.

Мысалдар.

1.  бетінің графигін салыңыз.

Нұсқау. Математика панелі /График/График поверхности (Surface Plot).  Сол жақ төменгі бұрышта орналасқан белгіні мұқият толтыру керек.

   Егер курсорды графикке жақындатып, тышқанның сол жақ батырмасын басып қозғағанда, график бұрыла бастайды. Осылай бетті қарастыруға қолайлы жағдайды таңдап алуға болады. Тышқанның дөңгелегін айналдырып, графиктің масштабын өзгертеміз.

1-Сурет. Параболоид.. 

2.

    

                  беттің графигін салыңыз.

Нұсқау. Дұрыс формадағы эллипсоидты салу үшін ( яғни, сфераға ұқсап шықпауы үшін), контекстік мәзірден Равные шкалы (Equal Scales) командасын белгілейміз. Дәл осы тәсілді басқа беттердің жақсы бейнесін салу үшін қолдануға болады.

 

 

 

 

2-Сурет. Эллипсоид.

3.                  бетін салыңыз.

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

3-Сурет. Геликоид

 

 

 

2.4     №4 Лабораториялық жұмыс

Тақырыбы: Интегралдық есептеулер, сандық, қатарлық, амалдық есептеулер және дифференциалдық теңдеулердің есептері.

 

Мазмұны:

1)     интегралдар;

2)     сандық қатарлар;

3)     функцияны Тейлор қатарына жіктеу;

4)     амалдық есептеу элементтері;

5)     дифференциалдық теңдеулер.

 

1-Тапсырма. Анықталмаған интегралды есептеп, дұрыстығын дифференциалдау арқылы тексеріңіз. Алғашқы функциялар жиынынан үш графикті салыңыз.

 

Кесте 2.4.1

Жеке тапсырмалар

1.1

1.16

1.2

1.17

1.3

1.18

1.4

1.19

1.5

1.20

1.6

1.21

1.7

1.22

1.8

1.23

1.9

1.24

1.10

1.25

1.11

 

 

 

 

 

 

  Кестенің соңы 2.4.1

1.12

 

 

1.13

 

 

1.14

 

 

1.15

 

 

 

 

2-Тапсырма. Анықталған интегралды есептеңіз

 

  Кесте 2.4.2

Жеке тапсырмалар

[a,b]

[a,b]

2.1

[1;2,5]

2.15

[0;1]

2.2

[1;4]

2.16

[0;16]

2.3

[1;9]

2.17

[0;1]

2.4

[1;2]

2.18

[0;5]

2.5

[4;9]

2.19

[3;5]

2.6

[1;2]

1.20

 2.7

[1;6]

2.21

2.8

[0;1]

2.22

[0;4]

2.9

[2;3]

2.23

[0;2]

2.10

[0;10]

2.24

[0;4]

2.11

[1,5;2,5]

2.25

[0;5]

2.12

[0;2]

 

 

 

 

 Кестенің соңы 2.4.2

[a,b]

[a,b]

2.13

 

 

 

2.14

[1;3]

 

 

 

 

     3-Тапсырма. Бірінші текті меншіксіз интегралды есептеңіз.

 

      Кесте 2.4.3

Жеке тапсырмалар

3.1

10.16

3.2

3.17

3.3

3.18

3.4

3.19

3.5

3.20

3.6

3.21

 3.7

3.22

3.8

3.23

3.9

3.24

3.10

3.25

3.11

 

 

3.12

 

 

3.13

 

 

 

 Кестенің соңы 2.4.3

3.14

 

 

3.15

 

 

 

 

    4-Тапсырма. қатарының қосындысын табыңыз. Қатардың 1000 мүшелерінің және мың дербес қосындыларының графиктерін сызыңыз.

 

    Кесте 2.4.4.

Жеке тапсырмалар

4.1

4.16

     4.2

4.17

4.3

4.18

4.4

4.19

4.5

4.20

4.6

4.21

4.7

4.22

4.8

4.23

4.9

4.24

4.10

4.25

4.11

 

 

4.12

 

 

     

     Кестенің соңы 2.4.4.

4.13

 

 

4.14

 

 

4.15

 

 

 

5-тапсырма. Берілген функцияны  нүктесінің маңайында Тейлор қатарына жіктеңіз. Функцияның және Тейлор қатарының дербес қосындыларының графигін сызыңыз.

 

Кесте 2.4.5

Жеке тапсырмалар

5.1

1

5.14

1

5.2

1

5.15

2

5.3

1

5.16

1

5.4

2

5.17

2

5.5

5

5.18

1

5.6

1

5.19

5.7

2

5.20

2

5.8

1

5.21

1

5.9

1

5.22

2

5.10

2

5.23

1

5.11

1

5.24

-7

5.12

2

5.25

3

5.13

1

 

 

 

 

 

 

6-Тапсырма. Функцияның бейнесін табыңыз (Лаплас бейнесін).

Кесте 2.4.6.

Жеке тапсырмалар

6.1

6.14

6.2

6.15

   6.3

6.16

6.4

6.17

6.5

6.18

6.6

6.19

6.7

6.20

    6.8

6.21

6.9

6.22

6.10

6.23

6.11

6.24

6.12

6.25

6.13

 

 

 

 

7-Тапсырма. Берілген функциялардың түпнұсқасын табыңыз (кері лаплас түрлендіруі)

 

Кесте 2.4.7.

Тапсырма

Тапсырма

7.1

7.14

7.2

7.15

7.3

7.16

7.4

7.17

7.5

7.18

7.6

7.19

 

 Кестенің соңы 2.4.7

Тапсырма

Тапсырма

7.7

7.20

7.8

7.21

7.9

 

7.22

 

7.10

 

7.23

 

 

 

7.11

 

 

 

7.24

 

7.12

 

7.25

 

7.13

 

 

 

 

 

8-Тапсырма. Дифференциалдық теңдеуді амалдық есептеудің көмегімен шешіңіз (Лаплас түрлендіруі).

 

 Кесте 2.4.8

Тапсырма

Тапсырма

8.1

,

,

8.13

, ,

8.2

,

,

8.14

,

,

8.3

,

,

8.15

,

,

8.4

,

,

8.16

,

,

8.5

,

,

8.17

,

,

       8.6

,

,

8.18

,

,

 

 

 Кестенің соңы 2.4.8

Тапсырма

Тапсырма

8.7

,

,

8.19

,

,

8.8

,

,

8.20

,

,

8.9

,

,

8.21

8.10

,

,

8.22

,

,

   8.11

, ,

8.23

,

,

8.12

,

,

8.24

,

,

 

 

8.25

,

,

 

 

№4 Лабораториялық жұмысты орындау үлгісі

1-Тапсырма. Анықталған интегралды есептеп, дұрыстығын дифференциалдау арқылы тексеріңіз. Алғашқы функциялар жиынынан үш графикті салыңыз.

Мысал.  

Тапсырманың орындалуы

 - интегралды есептеу.

- дифференциалдаумен тексеру

- Упростить командасымен түрлендіру

 - интеграл астындағы өрнек

- алғашқы функцияны  деп белгілейміз

                                                                  

 

 

 

                                                                -алғашқы функциялардың  графиктері.

 

                                                                    Жауабы:

 

Тапсырма 2. Анықталған интегралды есептеңіз.

 

Мысал.

Тапсырманың орындалуы

-интегралдың дәл және жуық мәні

                                                                             Жауабы: 0.467

 

Тапсырма 3. Бірінші текті меншіксіз интегралды есептеңіз.

Мысал.

Тапсырманың орындалуы

- интеграл жинақты.

                                                                                Жауабы:

Ескерту. Егер есептеуді тоқтату керек болса, Esc пернесіне басу керек.  Ал есептеуді жалғастыру үшін  F9 пернесіне басыңыз.

      

  Тапсырма 4.

1) қатарының қосындысын табыңыз;

2) қатардың 1000 мүшесінің графигін салыңыз;

3) катардың 100 дербес қосындысының графигін салыңыз.

 

Тапсырманың орындалуы

1 Мысал. - қатар жинақсыз (қосындысы болмайды)

-мүшелердің санын енгізу (оң жағындағы қос нүкте; белгісімен енгіземіз)

- қатардың жалпы мүшесін анықтау

 - қатардың дербес қосындысын анықтау

 

                                                                          Жауабы: қатар жинақсыз                   (қосындысы болмайды)   

2.     Мысал.             

Ескерту. Mathcad жүйесінде барлық қатарлардың қосындысын таба бермейді. Мұндай жағдайда программа берілген қатардың өзін қайтып жазады. Бірақ кез келген қатардың мүшелері мен дербес қосындысының графиктерін салуға болады.

 4-ші тапсырмадағы мысалдардың нұсқаларында қатардың қосындысын Mathcad 14 жүйесімен есептеуге болады.

             

 

 

                                                Жауабы: қатар жинақты. Қосындысы -ге тең

5-Тапсырма.  Берілген функцияны  нүктесінің маңайында Тейлор қатарына жіктеңіз. Функцияның және Тейлор қатарының  дербес қосындыларының графигін сызыңыз.

 Тейлор формуласы:

                              

Тейлор формуласы функциясын  өрнегінің дәрежесі бойынша (немесе  нүктесінің маңайында) дәрежелік қатарға жіктейді. Ал  болғанда қатар Маклорен қатары деп аталады.

    Mathcad жүйесі функцияны тек Маклорен қатарына жіктейді, яғни жіктелу тек  айнымалысының дәрежесі бойынша орындалатынын айтып өту жөн. Сондықтан функцияны Тейлор қатарына жіктемес бұрын, оны Маклорен қатарына  деген алмастыру жасап барып жіктейміз. Сонда Тейлор формуласы бойынша

                               

Mathcad-пен   функциясының Маклорен қатарына жіктейміз де,  деген кері алмастырудан кейін, өзіміз іздеген Тейлор қатарына жіктелуді табамыз.

Нүктесінің маңайында Тейлор қатарына жіктеңіз.

                                    

             Тапсырманың орындалуы

 

 - айнымалыны алмастыру

 - кері алмастыру

 - берілген функцияның жазылуы

 - жаңа функцияның жазылуы

Ескерту. Жоғарыдағы жазылулар қолданушыға арналған информация болғандықтан, олар мәтіндік облыста қою сызықты теңдік (ctrl+=) арқылы теріледі (Mathcad жүйесінде ескерілмейді).

Нұсқау. Маклорен қатарына жіктейтін Series  командасы Символьная математикалық панелінен шақырылады. Команданың сол жағынан жіктелетін функция, ал оң жағынан үтір арқылы жіктелудің айнымалысы мен қосылғыштардың саны енгізіледі.

 - кері алмастыру арқылы, іздеп отырған функцияның  нүктесінің маңайындағы Тейлор қатарына жіктелуді табамыз.

                                   

Маклорен катарының белгіленуі.

 - Mathcadтағы кері алмастыру

 

                Алмастырудың орындалуы:

- функцияның Тейлор қатарына жіктелуі.

 - функцияның график салу үшін берілуі

 - дербес қосындысының берілуі

                                    

Функцияның және дербес қосындылардың графигінен   нүктесінің маңайында   функциясына -тің аппроксимасиясына қарағанда  -тің   аппроксимасиясы (жақындауы) дәлірек екенін көреміз.

 

6-Тапсырма. Функцияның бейнесін табыңыз (Лаплас бейнесін).

Тапсырманың орындалуы

     Нұсқау. Символьная панелінен Laplase командасы

                                                                                   Жауабы:

    7-тапсырма. Берілген функцияның түпнұсқасын табыңыз (кері Лаплас түрлендіруі).

 

 Тапсырманың орындалуы

             

         Нұсқау. Символьная панелінен

                                                                               Invlaplase    командасы.

                                                                                   

                                                                                 Жауабы:

8-Тапсырма. Дифференциалдық теңдеуді амалдық есептеудің  (Лаплас түрлендірулері) көмегімен шешіңіз.

                              

Тапсырманың орындалуы

Функцияның және оның туындыларының бейнелерін мына формулалар арқылы табады (мәтіндік облыста жазу керек):

              

Теңдеудің сол жағының бейнесінің түрі мынандай болады:

Оң жағының бейнесін Laplase командасының  көмегімен табамыз:

     (математикалық облыс)

Амалдық теңдеудің жалпы түрі (бейне арқылы):

Теңдеуді  бойынша шешеміз:

Шыққан өрнекке кері Лаплас түрлендіруін қолданамыз, яғни  функциясының түпнұсқасын табамыз.

 Invlaplase,

                                                      Жауабы:

 

 

Әдебиеттер тізімі

1. Васильев А.Н. Mathcad 13 на примерах. Спб:БХВ-Петербург, 2006-528с

2. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathСАD 7.0 в математике, физике и в Internet.-М.: «Носидж»

3.  Кирьянов Д. В. Mathcad 14. –Спб.: БХВ- Петербург, 2007. – 704с.

4. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. Посбие.-М.: Финансы и статистика, 1999. -656с.

 5. Бөрібаев Б., Балапанов Е., Есжанов А. Информатика терминдерінің түсіндірме сөздігі. Ы. Алтынсарин атындағы Қазақтың білім академиясының Республикалық баспа кабинеті. Алматы. 2000ж. 169б.

 

 

Мазмұны 

1 Mathcad компьютерлік жүйесінің негіздерімен танысу 

Кіріспе

1.1   Mathcad-тың негізгі сипаттамалары                                                                  4

1.2   Mathcad-пен жұмыс жасау                                                                                  5

1.3   Mathcad-тың математикалық панелі                                                                  6

1.4   Mathcad-тағы курсордың түрлері                                                                      9

1.5   Формулаларды енгізу                                                                                        10

1.6   Мәтінді енгізу                                                                                                    10

1.7   Қарапайым арифметикалық есептеулер                                                         10

1.8   Айнымалыны және оның мәнін анықтау                                                        11

Айнымалылары бар өрнектің мәнің есептеу                                                        11

1.9   Функцияны анықтау және оның нүктедегі мәнін есептеу. Функция

 Мәндерінің кестесін жасау                                                                                    12

1.10        Функцияның декарттық графигін салу                                                       13

2          Лабораториялық жұмыстар                                                                              14

2.1   №1 Лабораториялық жұмыс                                                                             16

№1 Лабораториялық жұмысты орындау үлгісі                                                    24

2.2   №2 Лабораториялық жұмыс                                                                             27

№2 Лабораториялық жұмысты орындау үлгісі                                                    33

2.3    №3 Лабораториялық жұмыс                                                                            38

№3 Лабораториялық жұмысты орындау үлгіс                                                     45

2.4    №4  Лабораториялық жұмыс                                                                           50

№4 Лабораториялық жұмысты орындау үлгісі                                                    57

Әдебиеттер тізімі                                                                                                     63