Коммерциялық емес акционерлік қоғам 

Алматы энергетика және байланыс институты

 

 

 

ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА КАФЕДРАСЫ 

 

МАТЕМАТИКА 3 

Есептеу-графикалық жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

(барлық мамандық студенттері үшін)

4-бөлім

 

 

Алматы,2010

Құрастырушылар: Э.С.  Есботаева., Л.Н. Ким,  Математика 3. Есептеу-графикалық жұмыстарға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар барлық мамандық студенттері үшін. 4-бөлім.-Алматы: АЭжБИ, 2010-30б 

      Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар Алматы энергетика және байланыс институтынын күндізгі бөлімінің барлық мамандықтарының екінші семестрінің жоғары математика пәнінің бағдарламасына сай 2012 жылғы №8 есептеу-графикалық жұмысын толықтырылған және кайта өнделген басылым. Бағдарламаның негізгі теориялық сұрақтары, тапсырма нұсқаулары және типтік нұсқаның шешімі берілген. Есептеу-графикалық жұмыстар күрделігіне байланысты екі деңгейге бөлінген.

  Әдістемелік нұсқаулар барлық мамандықтардың 1 курс студенттеріне арналған Кесте-13, библиогр.- 4  атау.

 

Кіріспе

         Әдістемелік нұсқау бағдарламаны, Математика 3-тің  4-ші, «Қатарлар» модулінің тапсырмаларын және типтік нұсқаның шешімін қамтиды. Тапсырмалар отыз нұсқадан құралған. Тапсырма нөмірінің екінші саны студенттің нұсқасын көрсетеді.

      Сырттай бөлімде оқитын студенттердің бақылау жұмысындағы тапсырманың нұсқасы сынақ кітапшасының нөмірін 30 санына бөлгендегі қалдықпен анықтайды.  Мысалы: сынақ кітапшасының нөмірі 080612 болсын. Бұл санды 080612=2687*30+2 түрінде жазамыз. Демек, студент №2 нұсқаның тапсырмаларын орындауы тиіс. Егер қалдық 0-ге тең болса, онда студент №30 нұсқаны орындайды.

        Бақылау жұмысы жеке дәптерде шешілуі тиіс, есептердің шешімдері қысқа, бірақ теориямен жеткілікті түсініктеме жасалып, қажетті суретпен толықтырылуы тиіс. Үлгі ретінде осы әдістемелік нұсқауда келтірілген типтік нұсқаудың шешімін алуға болады.

 

1 4-ші типтік есептеу. Комплекс айнымалы функциялар. Амалдық есептеу

1.1 Теориялық сұрақтар

1. Комплекс айнымалы функциялар. Коши-Риман шарты.

2. Лаплас түрлендіруі. Түпнұсқалар мен бейнелер.

3. Сызықтық, ұқсастық, ығысу, кешігу теоремалары.

4. Түпнұсқа мен бейнені дифференциалдау және интегралдау теоремалары.

5. Функцияны үйірткілеу. Көбейту теоремасы. Дюамел формуласы.

6. Қайтымдау теоремасы. Белгілі бейне бойынша тұпнұсқаны анықтау.

7. Лаплас түрлендіруін дифференциалдық теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешуде пайдалану.

 

1.2 Бірінші деңгейдің тапсырмалары

1. Берілген  функциясын, мұндағы  түрінде жазамыз; аналитикалық функция бола ма, болмай ма, тексеріңіз. Егер болса, берілген  нүктесіндегі туындының мәнін табыңыз.

Кесте 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

 

       

2. Фунцкия түпнұсқа бола ма, жоқ па, неге:

Кесте 2

a

b

a)    

 b)  

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

 

2.8

2.9

2.10

2.11

 

2 12

2.13

 

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

 

2.20

2.21

2.22

2.23

 

2.24

2.25

2.26

2.27

 

2.28

2.29

 

2 30

 

3. Сызықтық, ұқсастық, ығысу, кешігу теоремаларын пайдалана отырып, төмендегі функциялардың бейнелерін анықта.

Кесте 3

 

 

 

 

3.1

 

3.2

 

3.3

 

3.4

 

3.5

 

3.6

 

3.7

 

3.8

 

3.9

 

3.10

 

3.11

 

3.12

 

3.13

 

3.14

 

3.15

 

3.16

 

3.17

 

3.18

 

3.19

 

3.20

 

3.21

 

3.22

 

3.23

3.24

 

3.25

 

3.26

 

3.27

 

3.28

 

3.29

 

3.30

 

 

 4. Түпнұсқа мен бейнені дифференциалдау немесе интегралдау теоремаларын пайдалана отырып, төмендегі функциялардың бейнелерін анықта.

Кесте 4

a)

б)

в)

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

5. және  функцияларының үйірткісін жаз.

Кесте 5

 

 

 

 

5.1

 

5.2

5.3

 

5.4

5.5

 

5.6

5.7

 

5.8

5.9

 

1

5.10

5.11

 

1

5.12

1

5.13

 

5.14

5.15

 

5.16

5.17

 

5.18

5.19

 

5.20

5.21

 

5.22

5.23

5.24

 

5.25

 

1

5.26

5.27

 

1

5.28

5.29

 

5.30

 

6. Бейнелерді көбейту теоремасын пайдалана отырып,  функциясының түпнұсқасын анықта.

Кесте 6

 

 

 

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

 

7. Берілген бейненің түпнұсқасын тап.

Кесте 7

 

 

7.1

 

 

7.2

7.3

 

 

7.4

7.5

 

 

7.6

7.7

 

 

7.8

7.9

 

 

7.10

7.11

 

 

7.12

7.13

 

 

7.14

7.15

 

 

7.16

7.17

 

 

7.18

7.19

 

 

7.20

7.21

 

 

7.22

7.23

 

 

7.24

7.25

 

 

7.26

7.27

 

 

7.28

7.29

 

 

7.30

 

8. Коши есебін амалдық есептеу тәсілі арқылы шығар.

Кесте 8

8.1  

             

8.2      

               

8.3                                         

8.4               

8.5            

8.6         

8.7                                                 

8.8              

8.9       

             

8.10          

8.11      

8.12             

8.13  

             

8.14    

               

8.15    

              

8.16      

                 

8.17    

             

8.18               

 

 

8.19      

                 

8.20   

                 

 

8.21   

                   

8.22      

              

8.23   

        

8.24

          

8.25  

        

8.26

           

8.27 

             

8.28     

           

8.29

             

8.30        

     

 

9. теңдеулер жүйесін амалдық тәсіл арқылы шығар

9.1                  

9.2           

9.3         

9.4          

9.5         

9.6          

9.7            

9.8        

9.9     

9.10          

9.11      

9.12          

9.13        

9.14         

9.15       

9.16       

9.17         

9.18   

9.19  

9.21     

9.20    

9.22

   

9.23     

9.24      

9.25 

9.26       

9.27       

9.29  

9.28         

9.30  

 

10. Түпнұсқаның графигі бойынша бейнені анықта

 

10.1

 

 

 

 

 


10.2

 

 

 

 

 

 


10.3

 

 

 

 

 


10.4

 

 

 

 

 

 


10.5

 

 


10.6

 

 

 

 

 

 


10.7

 

 

 

 

 

 

 


10.8

10.9

 

 

 

 

 

 


10.10

10.11

 

 

 

 

 

 


10.12

10.13

 

 

 

 


10.14

 

 

 

 

 

 


10.15

 

 

 

 

 


10.16

10.17

 

 

 

 

 


10.18

10.19

 

 

 

 


10.20

10.21

 

 

 

 

 

 


10.22

10.23

 

 

 

 

 

 


10.24

 

1.3 Екінші деңгейдің тапсырмалары

11. функциясының  бейнесін анықтамасы арқылы тап

Кесте 10

 

 

 

 

11.1

 

11.2

11.3

11.4

11.5

 

11.6

11.7

11.8

11.9

 

11.10

11.11

11.12

11.13

 

11.14

11.15

11.16

11.17

 

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

 

11.30

11.31

11.32

 

12. Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасын қолдана отырып төмендегі функциялардың бейнелерін анықта

Кесте 11

 

 

 

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

12.10

12.11

12.12

12.13

12.14

12.15

12.16

12.17

12.18

12.19

12.20

12.21

12.22

12.23

12.24

12.25

12.26

12.27

12.28

12.29

12.30

12.31

12.32

 

13. Коши есебін Дюамел формуласы арқылы шығарыңыз, мұндағы

Кесте 12

13.1

 

13.2

 

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

 

13.10

13.11

 

13.12

13.13

13.14

 

13.15

13.16

 

13.17

13.18

13.19

13.20

 

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

13.26

 

13.27

13.28

 

13.29

13.30

13.31

 

 

 

1.4 Типтік нұсқаның шешуі

1.  функциясының мәнін есептеңіз.

Шешуі:

2.  функциясы аналитикалық бола ма, болмай ма, тексеріңіз. Егер болса,  нүктесіндегі туындының мәнін табыңыз.

Шешуі:

Функцияның нақты және жорамал бөліктерін айырып жазайық:

 

Коши-Риман шарты орындала ма, жоқ па, тексерейік:

                        

Барлық  үшін орындалып тұр, демек, функция барлық комплекстік жазықтықта аналитикалық және ол функцияны нақты айнымалы функцияны дифференциалдаудың белгілі тәсілдерімен дифференциалдауға болады:

       3.  функциясы түпнұсқа бола ма, жоқ па, неге?

       а)  б)

       Шешуі:

Егер төмендегі үш шарт орындалса, онда нақты  аргументінің кез келген функциясы  түпнұсқа деп аталады:

       1)  болғанда -бөлікті үзіліссіз;

       2)  болғанда ;

        3) мұндағы -тұрақтылар.

         а)  функциясы төмендегі шарттар орындалатындықтан түпнұсқа болады:

        1) функция үзіліссіз;

        2)  көбейткіші болғандықтан,  болғанда

        3)  себебі

         б)  функциясы түпнұсқа болмайды, өйткені болмағанда екі шарт орындалмайды:

         1)  нүктесі оның екінші ретті үзіліс нүктесі;

         2)  болғанда  себебі  көбейткіші жоқ.

          4. Лаплас түрлендіруінің қасиеттерін пайдалана отырып, функцияларының  бейнелерін анықтаймыз:

          а)

          б)

          в)

          г)

          д)

          е)

          ж) .

Шешуі:

          а) 13-кестені және сызықтық теореманы пайдаланамыз:

                               

          б) ұқсастық кестесі бойынша  ығыстыру теоремасы бойынша

         в) 13-кесте бойынша  кешігу теоремасын қолданамыз

         г) берілген функцияны түрлендіреміз

      Енді 13-кестені  және сызықтық теоремасын пайдаланамыз

     

       д) ұқсастық кестесі бойынша  Бейнені дифференциалдау теоремасы бойынша

               

         е)  Түпнұсқаны интегралдау теоремасы бойынша

 

        ж)  болғандықтан, бейнені интегралдау теоремасы бойынша

 

        5. Түпнұсқаның берілген графигі бойынша бейнені табу керек.

 

 

 

 

 


                        

                                                      

                                                                                                        

 

 

 

 

    Шешуі:

   Үзіліс немесе өзгеріс болатын нүктелерді  арқылы; үзіліс нүктелеріндегі секірісті  арқылы; к-бөліктегі бұрыштық коэффициентті  арқылы (мұндағы ) белгілейміз. Бұл түрдегі функциялардың бейнесін    формуласы арқылы табу керек.

   Бұл есепте:

        

Сондықтан,

6.  және  функцияларының үйірткісін және оның бейнесін анықтау керек.

Шешуі:

 және  функцияларының үйірткісі  формуласымен табылады.

Сондықтан

                         

Үйірткінің бейнесін 13-кесте және сызықтық теоремасы бойынша табамыз.

                                 

7. Бейнелерді көбейту теоремасын қолданып,  функциясының үйірткісін табу керек.

 

  Шешуі:

 Көбейту теоремасы бойынша, егер  болса онда

 Сондықтан,

8. Берілген  бейнесі бойынша  түпнұсқасын табу керек.

а)   б)

Шешуі:

а)  рационалды бөлшек функцияны қарапайым бөлшектерге жіктейміз:

 

 

 болғанда:

 алдындағы коэффициенттерді теңестірсек:

бос мүшенің алдындағы коэффициенттерді теңестірсек:

Сондықтан,  13-кесте бойынша:  Демек,

б) 13-кесте бойынша  Түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланамыз:

9. Коши есебін амалдық тәсіл бойынша шешу керек.

Шешуі:

  болса, түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы бойынша:

                                   

Кесте бойынша:  Сондықтан,  берілген теңдеудің амалдық теңдеуі болады.  Бұдан,

                                        

Ұқсастық кестесі бойынша   бейнесінің түпнұсқасын көбейту теоремасы бойынша табуға болады:

 

Сонымен, берілген теңдеудің шешімі:

10.  функциясының бейнесін анықтама арқылы табу керек.

Шешуі:

Анықтама бойынша  функциясының бейнесі деп  теңдеуімен анықталатын  функциясын айтады.

Сондықтан,

                                   

11.  функциясының бейнесін дифференциалдау теоремасын қолданып табу керек.

Шешуі:

 болғандықтан

Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы бойынша:

Демек, - бұдан

12. Коши есебінің шешуін Дюамел формуласының көмегімен табу керек:

Шешуі:

 көмекші теңдеуін құрып, оны амалдық тәсілмен шешеміз.

-амалдық теңдеу. Оның шешуі - . Белгілі тәсілдер арқылы оның түпнұсқасын табамыз.

Берілген теңдеудің шешуін анықтау үшін  формуласын қолданамыз.

 болғандықтан,

13. Амалдық тәсіл арқылы дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу керек.

 

Шешуі.

 болсын. Лаплас түрлендіруін, 13-кестені және алғашқы шарттарды пайдаланып амалдық жүйені құрамыз:

       

       

Оны Крамер ережесі бойынша шешеміз:

 

 және  түпнұсқаларын анықтау үшін  және  функцияларын қарапайым функциялардың қосындысына жіктейміз:

Белгілі тәсіл бойынша:

Демек,

                                                          Жауабы:

1.5 Анықтама материалы

1.5.1 Лаплас түрлендірулерінің қасиеттері

 болсын

1.   (сызықтық теоремасы)

2.     (ұқсастық теоремасы)

3.  (ығыстыру теоремасы)

4.   кешігу теоремасы)

5.

(түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы)

6.  (түпнұсқаны интегралдау теоремасы)

7.  (бейнені дифференциалдау теоремасы)

8.  (бейнені интегралдау теоремасы)

9.  (бейнелерді көбейту теоремасы)

10.  (Дюамел интегралы)

 

1.5.2 Түпнұсқа – бейне кестесі

13-кесте

      

     

       

       

1

         1

      

7

   

2

        

    

8

  

3

          

    

9

     

4

  

10

  

5

   

  

11

 

6

   

  

12

          

 

 

Әдебиеттер тізімі 

1.     Данко П.Е.., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в  упражнениях и задачах: В 2 ч.-М.: Высш.шк., 1986.-Ч.1-352с.

2.     Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3ч.

/А.П.Рябушко, В.В.Бархатов , и др./ Под ред.А.П.Рябушко.-Минск:  Вышэйшая школа, 1991.-Ч.3.-351с.

         3.  Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176с.

4.   Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. - М.:Наука,1971.-256 с.

  

 

Мазмұны

Кіріспе                                                                                                                     3  

1. 8-есептеу графикалық жұмыс. Комплекс айнымалы функциялар және амалдық есептеу         3

1.1 Теориялық сұрақтар                                                                                          3

1.2 Бірінші деңгейдің тапсырмалары                                                              

1.3 Екінші деңгейдің тапсырмалары                                                                    16

1.4 Типтік нұсқаның шешуі                                                                                  18

1.5 Анықтама материалы                                                                                      24

1.5.1 Лаплас түрлендіруінің қасиеттері                                                               24

1.5.2 Түпнұсқа-бейне кестесі.                                                                               25

Әдебиеттер тізімі                                                                                                 26