Коммерциялық емес акционерлік қоғам 

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС ИНСТИТУТЫ 

Жоғары математика кафедрасы 

 

 

Математика 1

Барлық мамандықтар бойынша барлық оқу түрінің студенттері үшін

есептеу-графикалық жұмысты орындауға арналған

әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

2 – бөлім

 

Алматы 2009 

ҚҰРАСТЫРҒАН: Л.Н. Ким, С.М. Темешева. Математика 1. Барлық мамандықтар бойынша барлық оқу түрінің студенттері үшін есептеу-графикалық жұмысты орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. 2 – бөлім. Алматы: АИЭС, 2009.– 31 б.

 

Есептеу-графикалық жұмысты орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 2001 жылғы АЭжБИ күндізгі бөлімінің барлық мамандықтарының студенттеріне ұсынылған № 2 типтік есептеудің толықтырылған және қайта өнделген шығарылымы болып табылады. Бұл жерде жоғары математиканың бірінші жарты жылдықта оқылатын бағдарламасының негізгі теориялық сұрақтары, тапсырмалар нұсқалары және типтік нұсқаны шешу мысалы келтірілген. Есептеу тапсырмалары күрделіліктің екі деңгейіне бөлінген.

Әдістемелік нұсқаулар барлық оқу түрінің барлық мамандықтарының бірінші курс студенттеріне арналған.

  

Кіріспе

Ұсынылып отырған әдістемелік нұсқаулар Математика 1  пәнінің “Математикалық талдауға кіріспе. Шектер. Функцияның үзіліссіздігі” атты екінші модулдің бағдарламасы, анықтамалық материалдары және өзіндік тапсырмалары болып табылады. Тапсырмалар 30 нұсқадан тұрады. Тапсырманаң нөмірінің екінші саны студенттің нұсқасын білдіреді.

Сырттай оқу бөлімінің студенті үшін тапсырманың нұсқа нөмірі студенттің сынақ кітапшасының нөмірін 30-ға бөлгендегі қалдығымен анықталады. Мысалы, студенттің сынақ кітапшасының нөмірі 080612 болсын. Бұл нөмір 080612:30=2687(қалд.2) түрінде жазылады. Демек, студент № 2-ші нұсқа тапсырмаларын орындауы керек, егер қалдығы 0 болса, онда студент №30 нұсқа тапсырмаларын орындайды.

Бақылау жұмысы оқушы дәптерінде орындалады, есептің шешуі қысқаша, бірақ теорияға сілтеулер және қажетті сызбалармен жеткілікті түсіндірілуі тиіс. Бақылау жұмысты орындауға мысал ретінде осы әдістемелік нұсқауда келтірілген типтік есептеуді орындау мысалын алуға болады.

 

1 “Математикалық талдауға кіріспе. Шектер. Функцияның үзіліссіздігі” модуліне әдістемелік нұсқаулар

 

1.1  Функцияның анықтамасы мен берілу тәсілдері

Егер  жиынының әрбір элементіне кейбір  ережесі бойынша бір ғана  сәйкес қойылса, онда  функциясы берілді дейді, мұндағы  – аргумент. D жиыны  функциясының анықталу облысы болады: .

 анықталу облысын тапқанда формуланың келесі элементтеріне назар аударады:

а) егер функция өрнегінде жұп дәрежелі түбірлер (радикалдар) болса, онда функция түбір астындағы өрнектер теріс емес болатын -тер үшін анықталады;

ә) егер функция өрнегінде бөлшектер болса, онда функция бөлімін нөлге айналдырмайтын -тер үшін анықталады;

б) , , , ,  трансценденттік функциялары өзінің аргументінің белгілі бір мәндерінде анықталады.

 функциясы координаттар басына қарағанда симметриялы жиында анықталса, яғни  болса, функцияның тақ немесе жұп болуын анықтау үшін  өрнегін құрады. Егер  теңдігі орындалса,   – жұп  функция, ал егер  болса,  – тақ функция болады дейді. Егер осы теңдіктердің біреуі де орындалмаса, жалпы түрдегі (тақ та, жұп та емес) функция  берілді дейді.

 формуласымен берілген функцияны айқын түрде берілген функция, ал  – айқын емес түрде берілген функция дейді.

1.2 Тізбектің және функцияның шегі. ,

анықталмағандықтарын ашу

а) егер берілген функция элементарлық болып, ал аргументтің шектік мәні функцияның анықталу облысына тиісті болса, онда функцияның осы нүктедегі шегін табу оның осы нүктедегі мәнін есептеуге айналады;

ә) егер аргумент шексіздікке немесе функцияның анықталу облысына тиісті емес нүктедеге ұмтылатын болса, онда шекті табу есебі арнайы зерттеулерді қажет етеді. Бұл зерттеулер шектер тура теоремаларға, ақырсыз аз шамаларды салыстыруға, эквивалентті ақырсыз аз шамалардың қасиеттеріне сүйенеді. Жиі кездесетін шектер 17-кестеде келтірілген.

Шектерді тапқанда эквивалентті ақырсыз аз шамалар кестесі кеңінен қолданылады.

 

1.3 Бірінші және екінші тамаша шектер

1.  – бірінші “тамаша” шек.  – бірінші “тамаша” шектің салдары.

2. Егер аргументтің белгілі өзгерісінде шек  анықталмағандығы болса, онда бұл анықталмағандықты ашу үшін  екінші “тамаша” шегі немесе  оның салдары   қолданылады.

 

1.4                 Ақырсыз аз функцияларды салыстыру. Функцияның үзіліссіздігі

Егер  орындалса, мұндағы -константа, ал  және , онда  функциясы  функциясына қарағанда аз болу реті -ға тең ақырсыз аз шама (функция) болады.

Егер  болса, онда   пен  эквивалентті ақырсыз аз функциялар болады.

Функцияның үзіліс нүктелерін іздегенде төмендегі жағдайларға назар аударған жөн:

а) егер элементарлық функция кейбір нүктенің маңайында анықталып, бірақ сол нүктенің өзінде анықталамаса, нүкте функцияның үзіліс нүктесі болады. Элементарлық емес функция үзіліс нүктелерінде анықталуы да, анықталмауы да мүмкін, мысалы функция бірнеше аналитикалық өрнектермен берілсе, ол аналитикалық өрнегін алмастыратын нүкте де функцияның үзіліс нүктесі болуы мүмкін;

ә) егер  шегін тапқанда тек  () теңсіздіктеріне қанағаттандыратын  мәндерін қарастыратын болса, онда  функциясының  нүктесіндегі сол (оң) жақ шегінің ұғымына келеміз. Оларды төмендегідей белгілейміз:

сол жақ шек  – ;

оң жақ шек   – ;

б) егер  функциясы  нүктесінде үзіліссіз болса,  теңдіктері орындалады; егер  – үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктені көрсетілген теңдіктердің бұзылу мінездемесімен сипаттайды, яғни егер  және   бар болса, онда  – функцияның І-текті үзіліс нүктесі болады, сонымен бірге егер  болса,  – функцияның ақырлы секірісті І-текті үзіліс нүктесі болады,   шамасы  функциясының а нүктесіндегі секірісі деп аталады. Егер , онда   жөнделетін І-текті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер  және  біржақты шектерінің ең болмағанда біреуі жоқ немесе ақырсыз болса, онда  – функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі деп аталады.

 

2. 2–типтік есептеу. Математикалық талдауға кіріспе. Шектер. Функцияның үзіліссіздігі

 

2.1 Теориялық сұрақтар

1. Бір айнымалылы функция. Қасиеттері.

2. Айқын, айқын емес, кері, күрделі функциялар.

3. Функцияларды классификациялау.

4. Сандық тізбек, оның шегі.

5. Функцияның нүктедегі шегі.

6. Қосындының, айырымның, бөлшектің шектері.

7. Тамаша шектер.

8. Ақырсыз аз және ақырсыз үлкен функциялар.

9. Ақырсыз аз функцияларды салыстыру.

10. Үзіліссіз функция ұғымы. Үзіліс нүктелер және оларды классификациялау.

 


2.2 Бірінші деңгей тапсырмалары

1.  функциясы берілген.  

а) функцияның анықталу облысын табу керек;

ә) тақ немесе жұп болуын анықтау керек.

1  К Е С Т Е

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1.18

1.19

1.20

1.21

1.22

1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30

 

2. a) Күрделі функцияны элементарлық функциялар тізбесіне жіктеу керек;

b) элементарлық функциялар тізбесін бір күрделі функция түрінде жазу керек.

2  К Е С Т Е

2.1

2.2

2.3

 


2-кестенің жалғасы

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14

2.15

2.16

2.17

2.18

2.19

2.20

2.21

2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

 


2-кестенің жалғасы

2.28

2.29

2.30

 

3. Шектерді табу керек.

3  К Е С Т Е

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

 

3-кестенің жалғасы

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3-кестенің жалғасы

3.30

 

4. Шектерді табу керек.

К Е С Т Е

егер а=

егер а=

егер а=

егер а=

4.1

 

   2

 

   1

4.2

 

  0

 

  1

4.3

 

    3

 

   2

4.4

 

   1

 

 -2

4.5

 

   2

 

  3

4.6

 

   3

 

  -3

4.7

 

1/3

 

  4

4.8

 

 -1

 

  3

4.9

   

  -1

 

  -2

4.10

  

  3

 

  -2

4.11

  

  2

 

  -3

4.12

 

  -1

 

  4

4.13

 

  4

 

  3

4.14

 

 -3

 

  4

4.15

 

  3

 

  -2

4.16

 

 -2

 

  5

4.17

 

   -1

 

 2

4.18

 

  -1

 

 2

4.19

 

 -1

 

  2

4.20

 

  4

 

 -3

4.21

 

  2

 

  -3

4.22

 

  1

 

  -5

4.23

2

  -2

4.24

7

-1

 

4-кестенің жалғасы

егер а=

егер а=

егер а=

егер а=

4.25

 

   5

 

  -3

4.26

 

  -3

 

  4

4.27

 

 -5

 

 4

4.28

 

  -8

 

 5

4.29

 

  4

 

  -2

4.30

 

  -3

 

  2

5. Шектерді табу керек.

К Е С Т Е

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

 

5-кестенің жалғасы

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5-кестенің жалғасы

5.28

5.29

5.30

 

6. Шектерді табу керек.

6  К Е С Т Е

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6-кестенің жалғасы

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

7. Шектерді табу керек.

7  К Е С Т Е

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

 

7-кестенің жалғасы

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

8. Берілген ақырсыз аз шамалардың -ке қарағандағы  аз болу ретін анықтау керек.

К Е С Т Е

а)

ә)

б)

а)

ә)

б)

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

8.10

8.11

8.12

8.13

8.14

8.15

41

8.16

8.17

8.18

17

8.19

8.20

8.21

8.22

8.23

8.24

8.25

8.26

8.27

8.28

8.29

8.30

 


9.  ақырсыз аз шамалардың қосындысы неге эквивалентті болады?

К Е С Т Е

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

 

10. Эквивалентті ақырсыз аз шамаларды пайдаланып, шектерді табу керек.

10  К Е С Т Е

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10-кестенің жалғасы

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

        

11. Берілген функция үшін:

Үзіліс нүктесін анықтап, үзіліс нүктедегі оң жақ және сол жақ шектерін тауып, үзіліс нүктесінің сипатын беру керек.

11  К Е С Т Е

а)

ә)

а)

ә)

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11-кестенің жалғасы

а)

ә)

а)

ә)

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

12. Шектерді табу керек.

12  К Е С Т Е

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

12.7

12.8

12.9

12.10

12.11

12.12

12.13

12.14

12.15

12.16

12.17

12.18

12.19

12.20

12.21

12.22

12.23

12.24

12.25

12.26

12.27

12.28

12.29

12.30

        


2.3 Екінші деңгей тапсырмалары

 

13. Эквивалентті ақырсыз аз шамаларды пайдаланып, шектерді табу керек.

13  К Е С Т Е

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

13.10

13.11

13.12

13.13

13.14

13.15

13.16

13.17

13.18

13.19

13.20

13.21

13.22

13.23

13.24

13.25

13.26

13.27

13.28

13.29

13.30

 

14. Берілген функцияны үзіліссіздікке зерттеп, графигін тұрғызу керек.

14  К Е С Т Е

14.1

14.2

14.3

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

14.9

14.10

14.11

14.12

14.13

14.14

14.15

14.16

14.17

14.18

 

14-кестенің жалғасы

14.19

14.20

14.21

14.22

14.23

14.24

14.25

14.26

14.27

14.28

14.29

14.30

 

15. Лопиталь-Бернулли ережесін қолданбай, шектерді табу керек.

15  К Е С Т Е

15.1

15.2

15.3

15.4

15.5

15.6

15.7

15.8

15.9

15.10

15-кестенің жалғасы

15.11

15.12

15.13

15.14

15.15

15.16

15.17

15.18

15.19

15.20

15.21

15.22

15.23

15.24

15.25

15.26

15.27

15.28

15.29

15.30

 

16. Шектерді табу керек.

16  К Е С Т Е

16.1

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

16.8

16.9

16.10

16.11

16.12

 

 

14-кестенің жалғасы

16.13

16.14

16.15

16.16

16.17

16.18

16.19

16.20

16.21

16.22

16.23

16.24

16.25

16.26

16.27

16.28

16.29

16.30

 

2.4 Типтік нұсқаны орындау мысалы

 

1.  функциясы берілген.  

а) функцияның анықталу облысын табу керек;

ә) тақ немесе жұп болуын анықтау керек.

Шешуі:

а) бұл есепте  айнымалысы жұп дәрежелі түбір астында болған соң,  функциясы түбір астындағы өрнек теріс емес, яғни , болған да ғана нақты мәндер қабылдайды. Құрылған теңсіздікті шешіп,  аламыз. Демек, ;

ә) берілген функция үшін , демек ол тақ та, жұп та емес, яғни жалпы түрдегі функция.

 

2. а)  күрделі функцияны негізгі элементарлық функциялар тізбесіне жіктеу керек.

  ә) Негізгі элементарлық функциялар тізбесін  бір күрделі функция түрінде жазу керек.

Шешуі:

а) аралық аргумент енгіземіз, яғни  арқылы -ді белгілейміз: . Демек, берілген функцияны келесі негізгі элементарлық функциялардың тізбесі ретінде жазуға болады

ә) Төменнен жоғарыға көтеріліп алдымен аралық аргумент -ны  функциясына, сонан соң табылған -ды  функциясына қоямыз. Сонда ізделінді күрделі функцияны табамыз: .

 

3. Шектерді табу керек:

а) ;

ә) ;

б)

Шешуі:

а) берілген функция  нүктесінде анықталған, сондықтан осы шектік мәнді функцияға қоямыз:

===2;

ә)  шектік мәнін берілген функцияға қоямыз, сонда:

==5/0,

табамыз, 17-кестенің (1.3) формуласы бойынша бұл -ке тең;

б)  шектік мәнін берілген функцияға қоямыз, сонда

==0/-2=0

(17-кестенің (1.6) формуласы бойынша).

4. болғанда  шегін табу керек.

Шешуі:

 шектік мәнін берілген функцияға қоямыз, сонда

==0/0

аламыз, бұл анықталмағандық. Оны келесі жолмен ашуға болады: бөлшектің алымы мен бөлімін көбейткіштерге жіктеп,  ортақ көбейткішіне қысқартамыз, сонда мынаны аламыз:

===9/16.

5. Шектерді табу керек:

а) ;

ә);

б) .

Шешуі:

Бұл шектерді есептегенде 17-кестенің (1.7) ережесін қолданамыз.

а) бөлшектің алымы мен бөлігінің дәрежелері тең, яғни , сондықтан бұл шек ең жоғары дәрежелердің коэффициенттерінің қатынасына тең:

;

ә) бөлшектің алымының дәрежесі бөлімінің дәрежесінен үлкен (4>2), сондықтан

=;

б) бөлшектің бөлімінің дәрежесі алымының дәрежесінен кіші (6>2), сондықтан

=0.

 

6. Шектерді табу керек:

а) ;

ә) .

Шешуі:

а) берілген функция  шектік нүктесінде анықталмайды, яғни бұл шек  анықталмағандығы болады. Анықталмағандықты әртүрлі жолдармен ашуға болады:  бірінші “тамаша” шекті және оның салдарын пайдалану көмегімен немесе ақырсыз аз шамаларды салыстыру (эквивалентті ақырсыз аз шамалар кестесі) және эквивалентті ақырсыз аз шамалар туралы теоремалар көмегімен.  бірінші “тамаша” шектің салдарын пайдалансақ, мынаны аламыз:

= ==7/9.

Ал егер ақырсыз аз шамаларды пайдалансақ,  нөлге ұмтылғанда   болатынын ескеріп, мынаны аламыз: ==7/9;

ә)  берілген шек  анықталмағандығы болатынына жеңіл көз жеткізуге болады, оны ашу үшін екінші тамаша шек  немесе оның салдары  немесе ақырсыз аздарды салыстыру мен эквивалентті ақырсыз аз шамалар туралы теоремалар пайдаланылады. Берілген шекті келесі жолмен түрлендіріп, мынаны аламыз:

===.

7.  шекті табу керек.

Шешуі:

 шектік мәнін функцияға қойғанда  анықталмағандығын аламыз, оны ашу үшін бөлшектің алмы мен бөлімін алымының түйіндес өрнегіне көбейтеміз, сонда мынаны аламыз:

====1/6.

 

8. Берілген ақырсыз аз шамалардың -ке қарағандағы  аз болу ретін анықтау керек:

а) ;             ә) ;                   б) .

Шешуі:

Егер  орындалса, мұндағы -константа, ал  және , онда  функциясы  функциясына қарағанда аз болу реті -ға тең ақырсыз аз шама (функция) болады.

а) .  ақырсыз аз шамасы мен  ақырсыз аз шамасының аз болу реті бірдей болады;

ә) .  ақырсыз аз шамасы мен  ақырсыз аз шамасының аз болу реті бірдей болады;

б) .  ақырсыз аз шамасының  ақырсыз аз шамасына қарағандағы аз болу реті 1/7-ге тең.

 

9.  ақырсыз аз шамалардың қосындысы неге эквивалентті болады?

Шешуі:

Эквивалентті ақырсыз аз шамалардың белгілі қасиеті бар: саны ақырлы ақырсыз аз шамалардың қосындысы аз болу реті ең төмен болатын ақырсыз аз қосылғышына эквивалентті болады. Берілген функция үшін  , , , демек,  ақырсыз аз шамасының реті ең төмен болғандықтан, ~() қатынасы дұрыс болады.

 

10. Эквивалентті ақырсыз аз шамаларды пайдаланып,  шегін табу керек.

Шешуі:

Эквивалентті ақырсыз аз шамалар кестесін және қасиеттерін пайдалана отырып, төмендегіні аламыз: arcsin7x~7x, ln(1+5x)~5x. Сондықтан,

=.

 

11. Берілген  функциясы үшін: а) үзіліс нүктесін анықтап, ә) үзіліс нүктедегі оң жақ және сол жақ шектерін тауып, б) үзіліс нүктесінің сипатын беру керек.

Шешуі:

а)  нүктесінде функция анықталмаған, демек  функцияның үзіліс нүктесі болады;

ә)        ,

;

б) бір жақты шектердің біреуі, яғни , болғасын,  берілген функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі болады.

11. Берілген  функциясы үшін: а) үзіліс нүктесін анықтап, ә) үзіліс нүктедегі оң жақ және сол жақ шектерін тауып, б) үзіліс нүктесінің сипатын беру керек.Функциясы берілген.

Шешуі:

а)  нүктесінде функция анықталмаған, демек  функцияның үзіліс нүктесі болады;

ә)        ,

;

б) бір жақты шектердің екеуі де  болғасын,  берілген функцияның ІІ-текті үзіліс нүктесі болады.

 


17  К Е С Т Е – анықталмағандықтар кестесі

Шектің түрлері

 

Шектік нүктедегі нәтижесі

Шектің мәні

 

 

1.       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)   

анықталмағандық

2)    

анықталмағандық

3)     

4) 

0

5)   

6)    

0

7)   

0, егер m<n

m>n

 

 

2.     

анықталмағандық

2)

3)

0

 

3.  

анықталмағандық

 

4.   

( анықталмағандық )

 

анықталмағандық

, егер   :

0, егер   

0, егер   ,

егер   

 


18  К Е С Т Е – эквивалентті ақырсыз аз шамалар кестесі

 

 - ақырсыз аз шама  , яғни

 

 

1

~

7

2

~

8

3

~

9

4

~

10

5

~

11

6

 

 

 

Әдебиеттер тізімі  

         1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.- М.: Высш. Шк., 1986. – Ч.1-352 с.

         2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч. /А.П.Рябушко, В.В.Бархатов и др./ Под редакцией А.П.Рябушко.- Минск: Вышэйшая школа, 1991.-Ч.2-351 с.

         3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.-М.: Высш.шк., 1983.-176 с.

         4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть.-М.: Айрис-пресс, 2003.-256 с.

         5. Хасеинов К.А. Каноны математики. Учебник – Алматы: 2003.-686 с.

         6. Математика 1. Конспект лекций для студентов всех форм обучения всех специальностей. Алматинский институт энергетики и связи: 2007.

 

Мазмұны

Кіріспе…………………………………………………………………….......

1 “Математикалық талдауға кіріспе. Шектер. Функцияның үзіліссіздігі” модуліне әдістемелік нұсқаулар .………………………...............................

1.1  Функцияның анықтамасы мен берілу тәсілдері …………………........

1.2  Тізбектің және функцияның шегі. ,  анықталмағандықтарын ашу .

1.3  Бірінші және екінші тамаша шектер ..…………………..…...............

1.4  Ақырсыз аз функцияларды салыстыру. Функцияның үзіліссіздігі..

2–типтік есептеу. Математикалық талдауға кіріспе. Шектер. Функцияның үзіліссіздігі

2.1  Теориялық сұрақтар …………….....……………………………………

2.2  Бірінші деңгей тапсырмалары ………….......………………………….

2.3  Екінші деңгей тапсырмалары ……........……………………………….

2.4  Типтік нұсқаны орындау мысалы ..…………………………………….

17  К Е С Т Е – анықталмағандықтар кестесі ...……………..……………..

18  К Е С Т Е – эквивалентті ақырсыз аз шамалар кестесі ..…………..….

Әдебиеттер тізімі ………...…………………………………………………..