МАТЕМАТИКА  1

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА және БАЙЛАНЫС  УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

МАТЕМАТИКА  1

5В071800 «Электр энергетика», 5В071700 «Жылу энергетика»,
5В071900 «Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар»,
5В070200 «Автоматтандыру және басқару» мамандықтарында оқитын студенттер үшін есептеу-сызбалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар
1-бөлім

 

 

Алматы 2013

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Масанова А.Ж., Ұлтарақова Г.А. Матема­тика1:Барлық мамандықтарда оқитын студенттер үшін есептеу-сызбалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тап-     сырмалар. 1-бөлім. – Алматы: АЭжБУ, 2013. – 33 б.

 

           Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар барлық   мамандықтарда оқитын студенттер үшін «Математика 1» пәнінің №1 есептеу-сызбалық жұмыстарды орындауға арналған. Ұсынылған тақырып «Математика 1» пәнінің векторлық және сызықтық алгебра, аналитикалық геометрия бөлімдерін қамтиды. Мұнда бағдарламаның негізгі теориялық сұрақтары, тапсырмалардың нұсқалары және типтік нұсқаның шешуі берілген.

 Бұл әдістемелік нұсқауларымен 5В071800 «Электр энергетика», 5В071700 «Жылу энергетика», 5В071900 «Радиотехника, электроника және телекоммуникациялар», 5В070200 «Автоматтандыру және басқару» мамандықтарында оқитын студенттері Математика-1 пәнінің ЕСЖ №1 орындағанда қолдана алады.

Суреттер-6, кестелер-11, Әдебиет көрсеткіші-4 атау.

 

Пікір беруші: техн. ғыл. канд., доц. М.Е.Тұманов

 

«Алматы  энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2013 ж. жоспары бойынша басылып отыр.

 

ã «Алматы энергетика және байланыс  университеті» КЕАҚ, 2013 ж.

 

2013ж. жиынтық жоспары, реті 166

 

  1 Типтік есептер. Векторлық және сызықтық алгебра. Аналитикалық геометрия

 

Кіріспе

 

          Инженерлік-техникалық зерттеулерде математиканың алатын орны ерекше. Математика сандық есептеу аппараты ғана болып қоймай, сонымен қатар, проблемалар мен ұғымдарды дәл жеткізу және зерттеу әдісі болып табылады. Математикалық әдістер – кез келген техникалық пәннің құрамындағы бөлігі. Осы айтылғандардың бәрі математика курсының қолдану бағытын күшейтудің қажеттілігіне және іргелі математикалық дайындықтың деңгейін көтеруге әкеледі.

          Мақсаты: алгебра және геометрия теориясының іргелі ұғымдары мен әдістерін меңгеру. Теңдеулер жүйесін шешу барысында пайдаланылатын анықтауыштарды есептеу, матрицалар мен векторларға амалдар қолдануды үйрену, сонымен қатар, қисықтардың теңдеуінің түрі арқылы олардың геометриялық қасиеттерін, жазықтықта немесе кеңістікте өзара орналасуын анықтау. Комплекс сандармен барлық арифметикалық амалдарды орындау.

          

          1.1  Теориялық сұрақтар

 

          1. Анықтауыштар, олардың қасиеттері. Анықтауыштарды есептеу.

          2. Матрицалар, оларға қолданылатын амалдар, кері матрица.

          3. Векторлар,олардың ұзындығы. Векторларға қолданылатын сызықты амалдар. Векторлардың коллинеарлығы, компланарлығы және ортогонал-дығы. Векторлардың арасындағы бұрыш.

          4. Векторлардың скалярлық, векторлық және аралас көбейтінділері,       олардың қолданыстары.

          5. Түзудің жазықтықтағы және кеңістіктегі теңдеулері.

          6. Жазықтықтың теңдеулері.

          7. Түзулердің және жазықтықтардың арасындағы бұрышы. Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш.

          8. Нүктеден түзуге және жазықтыққа дейінгі арақашықтығы.

          9. Эллипс, гипербола, парабола. Олардың канондық теңдеулері.

          10. Екінші ретті беттер.

          11. Екінші ретті беттердің жалпы теңдеулерін канондық түрге келтіру.

          12. Матрицаның рангі және оны есептеу.

          13. Сызықты теңдеулердің жүйелерін шешудің кейбір әдістері:

  а) Крамер ережесі; б) кері матрица арқылы шешу.

          14. Комплекс сандар. Оларға амалдар қолдану.

 

          1.2  Есептердің тапсырмалары

 

          1. Үшінші ретті анықтауыш берілген.

          а)  элементінің миноры  мен оның алгебралық толықтауышы -ды табу керек.

          б) Анықтауышты i-ші жатық жолы бойынша жіктеу керек.

          в) Анықтауышты j-ші тік жол бойынша жіктеп алып, есептеу керек.

          г) Анықтауышты үшбұрыш ережесі (Саррюс ережесі) бойынша есептеу керек.

 

1 к е с т е  – 1есепке берілген мәліметтер

1.1

 

 

1.2

 

1.3

 

1.4

1.5

 

1.6

 

1.7

1.8

1.9

1.10

 

1.11

1.12

1.13

 

1.14

1.15

 

1.16

 

 

1.17

 

1.18

 

1.19

 

 

1.20

 

1.21

1.22

 

1.23

1.24

1.25

 

1.26

1.27

1.28

 

1.29

1.30

         

          2.  A, B, C  матрицалары  берілген.

          а) Матрицалардың көбейтінділері АВ, ВС болулары мүмкін бе? Егер мүмкін болса, көбейтінділерді табу керек, егер мүмкін болмаса, неге мүмкін болмайтындығын түсіндіру керек.

          б) Кері матрица  табу керек.

 

     2  к е с т е  – 2 есепке берілген мәліметтер

 

2.1

 

2.2   

 

 

2.3   

 

 

2.4   

 

 

2.5   

2.6   

 

 

2.7   

 

 

2.8   

 

 

2.9   

 

 

2.10   

 

2.11   

 

2.12   

 

 

2.13   

 

 

2.14    

 

 

2.15   

 

 

2.16   

 

 

2.17   

 

 

2.18   

 

 

2.19   

 

2.20   

 

 

2.21   

 

 

2.22   

 

2.23   

 

 

2.24   

 

 

2.25   

 

 

2.26   

 

 

2.27   

 

 

2.28   

 

2.29   

2.30   

          

          3. А, В нүктелері,  ,  векторлары берілген. Табу керек:

          а) векторының ұзындығын және АВ кесіндісінің ортасының координаталарын;

          б)   векторының  векторына проекциясын;

          в) ,  векторларынан құралған параллелограмның ауданын;

          г)  ,  векторларынан құралған пирамиданың көлемін табу керек.

 

     3  к е с т е  - 3 есепке берілген мәліметтер

 

 

        4.  Жазықтықта  нүктелері және  түзуінің теңдеуі берілген. Ке-лесі түзулердің теңдеулерін жазу керек:

        а)  - осы екі нүкте арқылы өтетін;

        б) - жалпы теңдеуін;

        в)  - бұрыштық коэффициенті арқылы;

        г)  - кесіндідегі теңдеуін;

        д)  нүктесі арқылы өтетін және  түзуіне перпендикуляр болатын  түзуінің теңдеуін жазу керек.

 

     4 к е с т е  – 4 есепке берілген мәліметтер

4.1

 

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

 

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

             

        5.   нүктелері берілген.

 а)   жазықтығының теңдеуін жазу керек;

        б) жазықтығының жалпы теңдеуін жазу керек;

 в)  жазықтығының кесіндідегі теңдеуін жазу керек;

         г)  нүктесі арқылы өтетін  жазықтығының жалпы теңдеуін жазу керек;

 д) түзуінің канондық теңдеуін құру керек;

 е)  түзуінің параметрлік теңдеуін жазу керек;

        ж) жазықтығына перпендикуляр болатын  түзуінің тең-деуін жазу керек.

 

          5 к е с т е  - 5 есепке берілген мәліметтер

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

                 

          6.  Жүйені шешіңіз:

          а) Крамер ережесін қолданып;

          б) матрицалық тәсіл бойынша (кері матрицаның көмегімен ).

 

      6  к е с т е  – 6 есепке берілген мәліметтер

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.21

6.23

6.24

6.23

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

              

          7. Жүйені шешіңіз:

          а) Крамер ережесін қолданып;

          б) матрицалық тәсіл бойынша (кері матрицаның көмегімен).

 

      7 к е с т е  – 7 есепке берілген мәліметтер

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

 

7.17

7.18

7.19

 

7.20

7.21

7.22

 

7.23

 

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

              

         8. Берілгені: А- қисықта жатқан нүкте; R- шеңбердің радиусы; a, b –қисықтардың жарты осьтері;  D – қисықтың директрисасы.

         а) Центрі А нүктесі және радиусы R болатын шеңбердің теңдеуін жазу керек;

         б) Жарты осьтері а, b болатын эллипстің теңдеуін құрастырып, эксцентриситетін және фокустарының координаталарын табу керек;

         в) Нақты жарты осі- а, жорамал жарты осі – b болавтын гиперболаның теңдеуін құрастырып, эксцентриситетін, фокустарының координаталарын, асимптоталарының теңдеулерін табу керек;

         г) Симметрия осі Ох немесе Оу, төбесі координаталар басында, директрисасы D болатын параболаның теңдеуін құрастырып, фокусын табу керек;

         д) Эллипстің, гиперболаның, параболаның сызбасын сызу керек.

  

         8  к е с т е  – 8 есепке берілген мәліметтер

8.1

A(2,-4), R=4, a=1, b=3, D:  x=-5

8.2

A(-8,2), R=1 , a=6, b=5, D: x=-5

8.3

A(1,-4), R=5,  a=8 , b=3, D:  y=-6

8.4

A(5,-4), R=2, a=6, b=4, D: y=-2

8.5

A(2,-5), R=7, a=3, b=2, D: x=4

8.6

A(1,8), R=5 , a=3, b=2, D: x=-3

8.7

A(3,-4), R=9, a=7, b=6, D: y=-2

8.8

A(10,1), R=8, a=1, b=6, D: y=-4

8.9

A(5,-4), R=1, a=6, b=4, D: x=-5

8.10

A(6,3), R=8 , a=2, b=3, D: x=-5

8.11

A(1,-3), R=5 , a=8, b=2, D: y=6

8.12

A(5,5), R=2, a=1, b=3, D: y=-7

8.13

A(2,-6), R=7, a=3, b=4, D: x=5

8.14

A(12,6), R=7, a=6, b=2, D: x=-5

8.15

A(3,4), R=9 , a=2, b=6, D: y=-8

8.16

A(0,5), R=4, a=6, b=4, D: y=8

8.17

A(2,-9), R=7, a=5, b=2, D: x=6

8.18

A(-5,0), R=7, a=4, b=5, D: x=1

8.19

A(8,4), R=6 , a=8, b=5, D: y=2

8.20

A(5,1), R=2, a=9, b=1, D: x=-1

8.21

A(5,-4), R=4, a=6, b=4, D: x=1

8.22

A(-3,2), R=4, a=8, b=4, D: y=1

8.23

A(1,8), R=5, a=9, b=4, D: y=-6

8.24

A(9,1), R=6, a=4, b=7, D: x=-3

8.25

A(2,-5), R=7, a=7, b=4, D: x=9

8.26

A(-9,2), R=7, a=1, b=8, D: y=7

8.27

A(7,4), R=5, a=1, b=7, D: y=8

8.28

A(11,-4), R=2, a=2, b=4, D: x=8

8.29

A(-2,5), R=5, a=7, b=1, D: x=8

8.30

A(6,-4), R=7, a=3, b=5, D: y=-9

              

         9. Екінші ретті беттің түрін анықтап, сұлбалық сызбасын сызу керек.

 

      9  к е с т е  – 9 есепке берілген мәліметтер

9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

9.6

9.7

9.8

9.9

9.10

9.11

9.12

9.13

9.14

9.15

9.16

9.17

9.18

9.19

9.20

9.21

9.22

9.23

9.24

9.25

9.26

9.27

9.28

9.29

9.30

          

         10. Екінші ретті қисықтың теңдеуін канондық түрге келтіріп, сызбасын сызу керек.

 

         10  к  е с т е  – 10 есепке берілген мәліметтер

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

 

11.  z1 және z2 комплекс сандары берілген. Табу керек:

         а)  z1 комплекс санының модулін;

         б)  z1    комплекс санының аргументін;

         в) z1  комплекс санын тригонометриялық және көрсеткіштік формада көрсету;

         г)  z1   және z2  комплекс сандарының қосындысын аналитикалық және графикалық түрде көрсету;

         д)  (z2)5;

         е)  z1 z2     көбейтіндісін тригонометриялық формада;

         ж)  (жұп нұсқалар үшін) и  ( тақ нұсқалар үшін)  барлық комплекс түбірлерін тауып, шешімінің сызбасын сызу  керек.

 

              11 к е с т е - 11 кестеге берілген мәліметтер

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

          1.3 Типтік нұсқаның шешімі

1. Үшінші ретті анықтауыш берілген: .

         Табу керек:

         а)  элементінің минорын,  алгебралық толықтауышын;

         б) анықтауышты үшбұрыш ережесі бойынша (Саррюс ережесі) және j-ші тік  жолы бойынша жіктеп, есептеу керек.

         Шешуі:

a)  a элементінің миноры Mберілген анықтауыштың i-ші жатық жолы мен j-ші тік жолын сызып тастағанда қалған анықтауышқа тең. Сондықтан, берілген анықтауыштың 2-ші жатық жолы мен 3-ші тік жолын сызып тастаймыз. Сонда . aэлементінің алгебралық толықтауышын  A=(-1)M формуласы бойынша табамыз.  Сонда,               А=(-1)(-5)= 5;

б) Үшбұрыш ережесі: Үшінші ретті анықтауыш алты мүшенің қосындысына тең; таңбасы оң болатын мүшелерін анықтауыштың үш  мүшесін мына сұлба бойынша көбейткенде , ал таңбалары теріс мүшелерін келесі сұлба бойынша көбейткенде табады.       

          Үшінші тік жол арқылы жіктелістің формуласы:      .

Сондықтан,

=8 – 5+8 =11.

          2. А, В, С матрицалары берілген: А=, В=, С=.

          а) АВ және  ВС матрицаларының көбейтіндісін, мүмкін болған жағдайда, табу керек;

          б) А матрицасының  кері матрицасын табу керек.

          Шешуі:

          а) егер А матрицасының тік жолдарының саны В матрицасының жатық жолдарының санына тең болса, онда АВ матрицаларының көбейтіндісі бар болады. Матрицалардың өлшемдері: А, В, С. Сондықтан,  АВ=  – көбейтінді болуы мүмкін емес.    ВС=  – көбейтіндісі болады.  ВС матрицаларының көбейтіндісі болатын Е матрицасының жатық жолдарының саны В матрицасының жатық жолдарының сандарына тең, тік жолдарының саны С матрицасының тік жолдарының санына тең: . Е матрицасының элементі В матрицасының i–ші жатық жолының С матрицасының  j–ші тік жолының сәйкес элементтерінің көбейтінділерінің қосындысына тең болады.

          Сонымен  ВС = = ,

мұндағы     .

          Сонда   

          б) квадрат (шаршы) матрицаның анықтауышы нөлге тең болмаса, ол матрицаның кері матрицасы бар болады; егер анықтауышы нөлге тең болса, кері матрица болмайды. А матрицасының кері матрицасы    А келесі формула арқылы табылады: егер А =  болса, онда  , мұндағы  – А матрицасының анықтауышы;  – элементтерінің алгебралық толықтауыштары. А матрицасының анықтауышын табайық: =  = 940, яғни А бар. А-ның барлық элементтерінің алгебралық толықтауыштарын анықтайық.

 А кері матрицаны жоғарыда көрсетілген формула бойынша табамыз:

                                      

          3. А(7, -9, 3),  В(1, 0, -5) нүктелері және векторлары берілген. Табу керек:

          а)  векторының ұзындығын және АВ кесіндісінің ортасын;

          б) векторыныңвекторына проекциясын;

          в) және векторларынан құралған параллелограмның ауданын;

          г)     векторларынан құралған пирамиданың көлемін табу керек.

          Шешуі:

          а) А() және В() нүктелері арқылы  векторының координаталарын = () формуласы бойынша табады. Сонда, (1-7, 0-(-9), -5-3) = (-6, 9, -8);

 векторының ұзындығы: .                                      Олай болса, == ;

          АВ кесіндісінің ортасы С-ның координаталары: С== С( 4, -9/2, -1 ).

           б)  векторының   векторына проекциясы: ; мұндағы  -   векторларының скаляр көбейтіндісі. Егер векторлар ортогональ болса, онда     ,  , олай болса  және  ортогональ болмайды; енді вектордың проекциясын табамыз:    

          в) векторларынан құралған параллелограмның ауданы осы векторлардың векторлық көбейтіндісінен шыққан вектордың ұзындығына тең болады: ;  алдымен, векторлық көбейтіндіні табамыз:

 ;

;

содан кейін осы вектордың модулін есептейміз:   ;

          г) , ,  векторларынан құралған пирамиданың көлемін табу үшін, олардың аралас көбейтіндісінің модулінің алтыдан бір бөлігін алу керек: ,

 , онда бұл  векторлар компланар емес.

          4. Жазықтықта  А(4, -2),  А(8, 1) нүктелері және L: -x + 4y + 5 = 0  түзуі берілген. Келесі түзулердің теңдеулерін жазу керек:

          а) -осы екі нүкте арқылы өтетін;

          б) - жалпы теңдеуін;

          в)  - бұрыштық коэффициенті арқылы;

          г)  - кесіндідегі теңдеуін;

          д)  нүктесі арқылы өтетін және  түзуіне перпендикуляр болатын  түзуінің теңдеуін жазу керек.

          Шешуі:

a) () және () нүктелері арқылы өтетін түзудің теңдеуі:  . Олай болса, L  түзуінің теңдеуі   немесе  ;

б) L түзуінің теңдеуін Ax+By+C=0 жалпы түріне келтіреміз:   ,( A=3, B=-4, C=-20 );  А, В коэффициенттерінің геометриялық мағынасы – ол түзудің нормаль (перпендикуляр) векторының координаталары, яғни ;

в) бұрыштық коэффициент арқылы түзуінің теңдеуі y=kx+m: , ( k=, m=-5 );

г)  түзуінің кесіндідегі теңдеуі  x/a+y/b=1:

, ( a = 20/3, b = -5 );

д) () нүктесі арқылы өтетін және векторына параллель болатын түзудің теңдеуі:  . Егер  түзуіне перпендикуляр вектор =(A;B)=(-1;4) болса, ал    -ге де перпендикуляр болса, онда біздің жағдайда,  түзуінің бағыттауыш векторы  болады, сонда  .

         5.  А(1, 2, -1), А(3, 3, 2), А(2, -3, 7) нүктелері берілген.

          а)   жазықтығының теңдеуін жазу керек;

б) жазықтығының жалпы теңдеуін жазу керек;

в)  жазықтығының кесіндідегі теңдеуін жазу керек;

          г)  нүктесі арқылы өтетін  жазықтығының жалпы теңдеуін жазу керек;

д) түзуінің канондық теңдеуін құру керек;

е)  түзуінің параметрлік теңдеуін жазу керек;

          ж) жазықтығына перпендикуляр болатын  түзуінің теңдеуін жазу керек.

          Шешуі:

а) (), (), () нүктелері арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі: .

        Біздің жағдайда  Р:   (*);

б) жоғарыдағы (*) анықтауышын ашсақ, Р жазықтығының жалпы тең-деуін аламыз :  Ax+By+Cz+D=0,

23x – 13y – 11z – 8 = 0, (A=23, B=-13, C=-11, D=-8)

 А, В, С коэффициенттерінің геометриялық мағынасы – ол жазықтықтың нормаль векторының (перпендикуляр) координаталары, яғни .

в) жазықтықтың теңдеуіндегі бос мүшені теңдіктің оң жағына шыға-рып, теңдіктің екі жағын да бос мүшеге бөлеміз. Сонда  x/a+y/b+z/c=1 жазықтықтың кесіндідегі теңдеуі шығады. Біздің жағдайда,  , мұндағы а=8/23, в=-8/13, с=-8/11 – бас нүктеден бастағанда жазықтықтың сәйкес координата осьтерін қиятын кесінділердің ұзындықтары.

г) (*) анықтауышын бірінші жатық жолының элементтері бойынша жіктеп, есептейміз: .

Сонда A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0  () түріндегі жазықтықтың теңдеуі шығады.

д) () және () нүктелері арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуі:. Олай болса, L    түзуінің теңдеуі мынадай болады:   немесе  .

е)  түріндегі теңдеуді түзудің канондық теңдеуі деп атайды, мұндағы  (m,n,p) – түзудің бағыттауыш векторы. Алдыңғы пунктте түзудің канондық теңдеуін жазғанбыз. Енді түзудің мына түрдегі  параметрлік теңдеуін жазу үшін, түзудің канондық  теңдеуін t параметріне теңестіріп, табылған теңдіктерден x, y, z–терді анықтаймыз.   L:= .

Сонымен, түзудің параметрлік теңдеулері L:.

          ж) жазықтықтың жалпы теңдеуінен  және , түзуінің бағыттауыш векторы болады, себебі . Онда  түзуінің канондық теңдеуі келесідей болады:

          6. Жүйені шешу керек:

          а) Крамер әдісімен;

          б) матрицалық әдіспен (кері матрицаның көмегімен).

          Шешуі:

а)  жүйесін Крамер әдісімен шешу келесі формулаларға негізделген: ,

мұндағы - жүйенің анықтауышы, , - жүйенің анықтауышының, сәйкесінше, бірінші және екінші тік жолдарының мүшелерін жүйенің бос мүшелерімен ауыстыру арқылы алынған көмекші анықтауыштар.

          Бізде - , , .

          Шешуі:

х = -1/5, у =3/5. Жауапты вектор түрінде беруге де болады: (-1/5; 3/5).

          б) жүйесінің шешімі матрицалар арқылы келесі түрде жазылады:,  мұнда   - белгісіздерден құралған матрица –баған, - бос мүшелердің матрица-бағаны, - жүйенің   матрицасының кері матрицасы.

Енді  матрицасының кері матрицасын табамыз,  болғандықтан, бұл матрицаның кері матрицасы бар (2б есебін қараңыз) және ол келесідей болады:    .

Олай болса  .

Жауапты мынадай қарапайым түрде берсе де болады: х=-1/5, у=3/5.

         7. Үш белгісізі бар үш теңдеуден тұратын сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен және матрицалық әдіспен шешкенде жоғарыдағы 6-шы есептегі формулалар қолданылады. Мұнда тек қана анықтауыштардың реті 3-ке және матрицаның реті 3-ке тең болады.

8. А(3, -7) нүктесі; шеңбердің радиусы R=6;  = 2,  = 3 – қисықтардың жарты осьтері; Оу – төбесі бас нүктеде жататын параболаның симметрия осі; D: у = -3 – параболаның директрисасының теңдеуі берілген.

          а) Центрі А нүктесі және радиусы R болатын шеңбердің теңдеуін жазу керек.

          б) Жарты осьтері а=2, b=3 болатын эллипстің теңдеуін құрастырып, эксцентриситетін және фокустарының координаталарын табу керек.

          в) Нақты жарты осі - а=2, жорамал жарты осі – b=3 болатын гипер-боланың теңдеуін құрастырып, эксцентриситетін, фокустарының коор-динаталарын, асимптоталарының теңдеулерін табу керек.

          г) Симметрия осі  Оу, төбесі координаталар басында, директрисасы D болатын параболаның теңдеуін құрастырып, фокусын табу керек.

          д) Эллипстің, гиперболаның, параболаның сызбасын сызу керек.

Шешуі:

а) Радиусы  R-ге тең, центрі  нүктесі болатын шеңбердің теңдеуі , біздің жағдайда: .

б) Жарты осьтері  және  болатын эллипстің канондық теңдеуі ; біздің жағдайда: .

Эллипстің фокустары –  болғанда,,  нүктелері,  немесе  , ,  нүктелері болады.

Эллипстің эксцентриситеті  ,   Біздің жағдайда  болғандықтан эксцентриситет  , ()болады. Фокустары Оу осінде жатады: . Эллипстің координат жазықтығындағы кескіні:                                              

                                                      - эллипстің төбелері.

                                                        1 сурет

                                          

 в) Нақты жарты осі , жорамал жарты осі  болатын гиперболаның канондық теңдеуі ; ал, керісінше, нақты жарты осі , жорамал жарты осі  болатын гиперболаның канондық теңдеуі  немесе . Нақты осі   болатын гиперболаның эксцентриситеті , мұндағы ; гиперболаның асимптоталары ; фокустары –  нақты осьте орналасатын  нүктелері.

Есептің шарты бойынша =2, =3, сондықтан нақты осі  болатын гиперболаның канондық теңдеуі: . Ол үшін ; эксцентриситет ; фокустары: ;  асимптоталарының теңдеулері: .

Гиперболаны келесі амалды пайдаланып, оңай сызуға болады: алдымен

 

 қабырғалары  (бізде ) тік бұрышты төртбұрышты сызамыз. Тік төртбұрыштың диагональдары гиперболаның асимптоталары болады, қабырғаларының гиперболаның нақты осімен қиылысатын нүктелері гиперболаның төбелері болады:


                                                           2 сурет

 

г) есептің шарты бойынша, төбесі бас нүктеде және симметрия осі Оу осі болатын параболаның канондық теңдеуі: , ал директрисасы y=-p/2 . Параболаның директрисасының теңдеуі у = -3 болғандықтан,   және параболаның теңдеуі: . Параболаның фокусы – симметрия осінде жататын нүктесі. Біздің есебімізде фокус - . Енді параболаны саламыз:

3 сурет

 

9. Екінші ретті беттің түрін (атын) анықтап, оның сұлбалық сызбасын сызу керек:

а) ;  б) .

Шешуі:

а)  - бұл симметрия осі  Ох болатын бірқуысты гиперболоидтың канондық теңдеуі, оның сұлбалық сызбасы мынадай:

 

4 сурет

 

б)  - Симметрия осі Оz және төбесі координата басында болатын екінші ретті  конустың канондық теңдеуі берілген. Оның сұлбалық сызбасы:

5 сурет

 

10. Екінші ретті қисықтың  жалпы теңдеуін канондық түрге келтіріп, оның суретін салу керек:   

Шешуі:

                      

Жоғарыдағы теңдеулер, сәйкесінше, симметрия центрі бар болатын эллипс пен гиперболаның және төбесі нүктесі болатын параболаның теңдеулерін береді. Екінші ретті қисықтың жалпы теңдеуін осы теңдеулердің біріне келтіру үшін, толық квадратты бөліп алу әдісін қолданамыз:

x пен y кіретін жақшалардың толық квадратын бөліп алатындай, мүшелерін толықтаймыз: , сонда

,

,

,   ,

         Біздің есебімізде центрі С(-1;-2) нүктесі, нақты осі b=6/4 (0y осі бойынша) және жорамал осі a=2 болатын гипербола шықты. Оның сызбасы мынадай болады:

 

6 сурет

       

11.   комплекс сандары берілген.

Табу керек:

          а) z1 комплекс санының модулін;

          б) z1    комплекс санының аргументін;

          в) z1  комплекс санын тригонометриялық және көрсеткіштік формада көрсету;

          г)  z1   және z2  комплекс сандарының қосындысын аналитикалық және сызбалық түрде көрсету;

         д) (z2)5;

         е) z1 z2     көбейтіндісін тригонометриялық формада;

         ж)   комплекс түбірлерін Муавр формуласы арқылы табу керек.

          Шешуі:

          а) егер комплекс санының алгебралық формасы келесідей болса:

          онда z1 комплекс санының модулі:

          б)  z1 комплекс санының аргументі:

          в)  z1  комплекс санының  тригонометриялық және көрсеткіштік формасы: 

          г)  z1 және  z2 сандарының қосындысы:

         д) (z2)5 табу үшін  Муавр формуласын қолданамыз:

         е) z1*z2  сандарының көбейтіндісін алгебралық формада тапсақ:

         Ал тригонометриялық формада  z1*z2  көбейтіндісін табу есептеуді жеңілдетеді:

ж) , барлық n-ші дәрежелі комплекс түбірлерді табу үшін  Муавр формуласы қолданылады:

          Барлық к үшін түбірлерді жазатын болсақ:

 

Әдебиеттер тізімі

 

       1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре. - Мн.: Выш. Школа, 1980. – 192 с.

       2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1, 2.- 352 с.

       3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000. - ч.1. - 396 с.

       4. Хасеинов К.А. Математика канондары: Оқулық. – Алматы, 2003.- 686 б.

 

Маз м ұ н ы

 

1.1 Теориялық сұрақтар 

1.2 Есептердің тапсырмалары 

1.3 Типтік нұсқаның шешуі 

Әдебиеттер тізімі