Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА 1
Методические указания и задания к
расчетно-графической работе
для студентов специальностей 5В071800 –
Электроэнергетика,
5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071900– Радиотехника,
электроника и телекоммуникации
Часть 2
Алматы, 2013
Составители: Масанова А.Ж., Толеуова Б.Ж. Математика 1. Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов специальностей 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071900– Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Часть 2. – Алматы, 2013 – 23 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат разделы программы первого семестра курса математики для студентов АУЭС: введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной. Приведены основные теоретические вопросы программы.
Дано решение задач типового варианта действующих заданий РГР.
Табл. 12, Ил. 1.
Рецензент: канд. техн. наук, доцент М.Е. Туманов
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2013 г.
НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2013 г.
Сводный план 2013., поз.169
Введение
Математика играет важную роль в инженерно-технических исследованиях. Она является не только аппаратом количественного расчета, но также методом точного исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Математические методы стали составной частью любой технической дисциплины. Все это приводит к необходимости усиления прикладной направленности курса математики и повышения уровня фундаментальной математической подготовки.
РГР выполняется на отдельной тонкой тетради, в номере каждого задания вторая цифра указывает на вариант.
Расчётно-графическая работа. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Цель: научить студентов владеть классическими математическими методами исследования функций. Дать студентам навыки нахождения пределов, производных и дифференциалов первого и высших порядков для сложных и параметрически заданных функций, и уметь использовать полученные знания в изучении дальнейшего курса математики и разделов других спецдисциплин.
Теоретические вопросы
1. Функция одной переменной. Свойства.
2. Сложная функция, параметрически заданная функция.
3. Числовые оследовательности и их пределы.
4. Предел функции.Замечательные пределы.
5. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.
6. Производная функции.Дифференцирование параметрически заданной функции.
7. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
8. Признаки монотонности функции. Экстремумы функции.
9. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба.
10. Асимптоты графика функции.
11. Исследование функции с помощью производной. Построение графика функции.
Расчетные задания первого уровня
Задание 1. Найти указанные пределы
1.1 |
1.2 |
1.3 |
|
1.4 |
1.5 |
1.6 |
|
1.7 |
1.8 |
1.9 |
|
1.10 |
1.11 |
1.12 |
|
1.13 |
1.14 |
1.15 |
|
1.16 |
1.17 |
1.18 |
|
1.19 |
1.20 |
1.21 |
|
1.22 |
1.23 |
1.24 |
|
1.25 |
1.26 |
1.27 |
|
1.28 |
1.29 |
1.30 |
Задание 2. Найти указанные пределы
2.1 |
2.2 |
2.3 |
2.4 |
2.5 |
2.6 |
2.7 |
2.8 |
2.9 |
2.10 |
2.11 |
2.12 |
2.11 |
2.14 |
2.15 |
2.16 |
2.17 |
2.18 |
2.19 |
2.20 |
2.21 |
2.22 |
2.23 |
2.24 |
2.25 |
2.26 |
2.27 |
2.28 |
2.29 |
2.30 |
Задание 3. Найти указанные пределы
3.1 |
3.2 |
3.3 |
3.4 |
3.5 |
3.6 |
3.7 |
3.8 |
3.9 |
3.10 |
3.11 |
3.12 |
3.13 |
3.14 |
3.15 |
3.16 |
3.17 |
3.18 |
3.19 |
3.20 |
3.21 |
3.22 |
3.23 |
3.24 |
3.25 |
3.26 |
3.27 |
3.28 |
3.29 |
3.30 |
Задание 4. Найти указанные пределы
4.1a) б) |
4.2 a) б) |
4.3 a) б) |
4.4 a) б) |
4.5 a) б) |
4.6 a) б) |
4.7 a) б) |
4.8 a) б) |
4.9a) б) |
4.10 a) б) |
4.11 a) б) |
4.12 a) б) |
4.13 а) б) |
4.14 a) б) |
4.15 a) б) |
4.16 a) б) |
4.17 a) б) |
4.18 а) б) |
4.19 а) б) |
4.20 а) б) |
4.21 а) б) |
4.22 a) б) |
4.23 a) б) |
4.24 a) б) |
4.25 a) б) |
4.26 a) б) |
4.27 а) б) |
4.28 а) б) |
4.29 a) б) |
4.30 a) б) |
Задание 5. Исследовать данные функции на непрерывность
5.1 a) б) |
5.2 a) б) |
5.3 а) б) |
5.4 a) б) |
5.5 a) б) |
5.6 a) б) |
5.7 a) б) |
5.8 a) б) |
5.9 a) б) |
5.10 a) б) |
5.11 a) б) |
5.12 a) б) |
5.13 a) б) |
5.14 a) б) |
5.15 a) б) |
5.16 a) б) |
5.17 a) б) |
5.18 a) б) |
5.19 a) б) |
5.20 а) б) |
5.21 a) б) |
5.22 a) б) |
5.23 a) б) |
5.24 a) б) |
5.25 а) б) |
5.26 a) б) |
5.27 а) б) |
5.28 a) б) |
5.29 a) б) |
5.30 а) б) |
Задание 6. Найти производные функций
6.1 a) б) |
6.2 a) б) |
6.3 a) б) |
6.4 a) б) |
6.5 a) б) |
6.6 a) б) |
6.7 a) б) |
6.8 a) б) |
6.9 a) б) |
6.10 a) б) |
6.11 a) б) |
6.12 a) б) |
6.13 a) б) |
6.14 a) б) |
6.15 a) б) |
6.16 a) б) |
6.17 a) б) |
6.18 a) б) |
6.19 a) б) |
6.20 a) б) |
6.21 a) б) |
6.22 a) б) |
6.23 a) б) |
6.24 a) б) |
6.25 a) б) |
6.26 a) б) |
6.27 a) б) |
6.28 a) б) |
6.29 a) б) |
6.30 a) б) |
Задание 7. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями
7.1 |
7.2 |
7.3 |
7.4 |
7.5 |
7.6 |
7.7 |
7.8 |
7.9 |
7.10 |
7.11 |
7.12 |
7.13 |
7.14 |
7.15 |
7.16 |
7.17 |
7.18 |
7.19 |
7.20 |
7.21 |
7.22 |
7.23 |
7.24 |
7.25 |
7.26 |
7.27 |
7.28 |
7.29. |
7.30 |
Задание 8. Найти значение второй производной функции в точке
8.1 |
8.2 |
8.3 |
8.4 |
8.5 |
8.6 |
8.7 |
8.8 |
8.9 |
8.10 |
8.11 |
8.12 |
8.13 |
8.14
|
8.15 |
8.16 |
8.17 |
8.18 |
8.19 |
8.20 |
8.21 |
8.22 |
8.23 |
8.24 |
8.25 |
8.26 |
8.27 |
8.28 |
8.29 |
8.30 |
Задание 9. Для иследования функции определить:
а) область определения и точки разрыва;
б) асимптоты графика функции;
в) точки пересечения графика функции с осями координат;
г) четность, нечетность.
9.1 |
9.2 |
9.3 |
9.4 |
9.5
|
9.6 |
9.7 |
9.8 |
9.9 |
9.10
|
9.11 |
9.12 |
9.13 |
9.1 4 |
9.15 |
9.16 |
9.17 |
9.18 |
9.19 |
9.20
|
9.21 |
9.22 |
9.23 |
9.24
|
9.25 |
9.26 |
9.27 |
9.28 |
9.29 |
9.30 |
Задание 10. Найти указанные пределы.
10.1 |
10.2 |
10.3 |
10.4 |
10.5 |
10.6 |
10.7 |
10.8 |
10.9 |
10.10 |
10.11 |
10.12 |
10.13 |
10.14 |
10.15 |
10.16 |
10.17 |
10.18 |
10.19 |
10.20 |
10.21 |
10.22 |
10.23 |
10.24
|
10.25 |
10.26 |
10.27 |
10.28 |
10.29 |
10.30 |
|
|
Задание 11. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
11.1 |
11.2 |
11.3
|
11.4 |
11.5 |
11.6 |
11.7 |
11.8 |
11.9 |
11.10 |
11.11 |
11.12 |
11.13 |
11.14 |
11.15 |
11.16 |
11.17 |
11.18 |
11.19 |
11.20 |
11.21 |
11.22 |
11.23 |
11.24 |
11.25 |
11.26 |
11.27 |
11.28 |
11.29 |
11.30 |
Расчетные задания второго уровня
Задание 12. Исследовать функцию на непрерывность и построить график
12.1 |
12.2 |
12.3 |
12.4 |
12.5 |
12.6 |
12.7 |
12.8 |
12.9 |
12.10 |
12.11 |
12.12 |
12.13 |
12.14 |
12.15 |
12.16 |
12.17 |
12.18 |
12.19 |
12.20 |
12.21 |
12.22 |
12.23 |
12.24
|
12.25 |
12.26 |
12.27 |
12.28 |
12.29 |
12.30 |
Задание 13. Найти вторую производную функции, заданной параметрическими уравнениями в задании 7.
Задание 14. Для функции из задания 9 найти:
а) интервалы монотонности, экстремумы;
б) интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба;
в) построить график.
Решение типового варианта
Задание 1. Найти предел
Решение:
Задание 2. Найти предел
Решение:
Задание 3. Найти предел
Решение:
Задание 4. Найти пределы а) б)
Решение:
а) для раскрытия неопределенности используется свойство первого
замечательного предела
б) для раскрытия неопределенности используется свойство второго
замечательного предела
Задание 5. Исследовать функции на непрерывность:
а) б) .
Решение:
а) функция определена и непрерывна в интервалах . Следовательно, разрыв возможен в точке Находим односторонние пределы функции в этой точке:
т.е. в точке функция терпит бесконечный разрыв. Следовательно, – точка разрыва второго рода;
б) функция определена и непрерывна в интервалах и . Следовательно, разрыв возможен в точке Находим односторонние пределы функции в этой точке:
т.е. в точке функция терпит бесконечный разрыв. Следовательно, – точка разрыва второго рода.
Задание 6. Найти производные функций:
а) б)
Решение:
а) по формуле производной от сложной функции находим:
б) отдельно расписывается производная сложной функции числителя:
Задание 7. Найти производную заданной параметрически функции:
Решение: производную функции, заданной параметрическими уравнениями, находим по формуле ;
то
Задание 8. Найти значение второй производной функции в точке
Решение:
Задание 9. Для иследования функции определить:
а) область определения и точки разрыва;
б) асимптоты графика функции;
в) точки пересечения графика функции с осями координат;
г) четность, нечетность.
Решение:
а) - точка разрыва, в области своего определения функция непрерывна: . Найдем односторонние пределы в точке разрыва:
б) прямая является вертикальной асимптотой, если - вертикальная асимптота.
Прямая - наклонная ассимптота, где
Таким образом, - наклонная асимптота;
в) при график функции имеет пересечение с осью 0х, так как, то функция не имеет пересечения с осью 0х. При график функции имеет пересечение с осью 0у, так как , то функция не имеет пересечения с осью 0у;
г) , т.е. функция нечетная, график симметричен относительно начало координат. Т.к. при , то график расположен в первой и третьей четвертях. Функция непериодическая. - функция неограниченно возрастает.
Задание 10. Для иследования функции определить:
а) интервалы монотонности, экстремумы;
б) интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба;
в) построить график.
Решение:
а)
при - стационарные точки. В области определения функции существует. Исследуем изменения знака производной функции в каждом интервале:
при , то - функция убывает;
при , то - функция возрастает;
при имеем локальный минимум:
при , то - функция возрастает;
при , то - функция убывает;
при имеем локальный максимум:
б) , .
Вторая производная существует в области определения:
при - график выпуклый вниз;
при - график выпуклый вверх; точек перегиба нет;
в) график функции показан на рисунке 1.
Рисунок 1
Задание 11. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.
а) ; б) .
Решение:
а) правило Лопиталя применяется для неопределенностей вида или
б) при значении получается неопределенность вида , тогда дроби приводятся к общему знаменателю и, далее, используются свойства эквивалентности бесконечно малых величин.
Задание 12. Найти предел
Решение: при значении получается неопределенность вида . В начале для раскрытия неопределенности в основании степени применяется свойство эквивалентности бесконечно больших функций, и далее, используется свойство показательной функции:
Список литературы
1. Болгов В.А, Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др. Сборник задач по математике. – М.: Наука, 1986.
2. Фадеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1– М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003.
4. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн.: Выш. школа, 1980.
5. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И. Е. Индивидуальные задания по высшей математике. – Мн.: Выш. школа, 1980.
Содержание
Расчётно-графическая работа. Введение в анализ
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Теоретические вопросы
Задания первого уровня
Задания второго уровня
Решение типового варианта
Список литературы