Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра математики
МАТЕМАТИКА 1
Методические указания и задания к расчетно-графической работе
для студентов всех форм обучения и специальностей 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071700- Теплоэнергетика и 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации и 5В070200 – Автоматизация управления
Часть 1
Алматы 2010
СОСТАВИТЕЛЬ: А.Ж. Масанова, Г.А. Ултаракова. Математика 1. Часть 1. Векторная и линейная алгебры. Аналитическая геометрия. Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех форм обучения всех специальностей, -Алматы: АУЭС, 2010.- 25 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат раздел программы первого семестра курса математики для студентов всех форм обучения всех специальностей АУЭС: векторная и линейная алгебры, аналитическая геометрия.
Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
Эти методические указания могут быть использованы студентами специальностей 5В071800 – Электроэнергетика, 5В071700- Теплоэнергетика и 5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации и 5В070200 – Автоматизация управления в качестве РГР №1 (по курсу «Математика 1») в первом семестре обучения.
1 Типовой расчёт. Векторная и линейная алгебры. Аналитическая геометрия
1.1 Теоретические вопросы
1 Определители, их свойства, вычисление.
2 Матрицы, действия над ними, обратная матрица.
3 Векторы, их длина, линейные операции над векторами. Коллинеарность.
4 Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их приложения.
5 Различные уравнения прямой на плоскости и в пространстве.
6 Уравнения плоскости.
7 Угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.
8 Расстояние от точки до прямой и до плоскости.
9 Эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения.
10 Поверхности второго порядка.
11 Приведение общих уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.
12 Ранг матрицы и его вычисление.
13 Различные методы решения систем линейных уравнений:
а) правило Крамера;
б) метод Гаусса;
в) с помощью обратной матрицы.
14 Однородные системы линейных уравнений.
1.2 Расчётные задания
1 Дан определитель третьего порядка. Требуется найти:
а) минор и алгебраическое дополнение элемента ;
б) определитель по правилу треугольника (правилу Саррюса).
Т а б л и ц а 1
1.1 |
1.2 |
1.3 |
1.4 |
1.5 |
1.6 |
1.7 |
1.8 |
1.9 |
1.10 |
1.11 |
1.12 |
продолжение таблицы 1
1.13 |
1.14 |
1.15 |
1.16 |
1.17 |
1.18 |
1.19 |
1.20 |
1.21 |
1.22 |
1.23 |
1.24 |
1.25 |
1.26 |
1.27 |
1.28 |
1.29 |
1.30 |
2 Даны матрицы А, В, С. Требуется найти:
а) произведение матриц АВ или ВС, если возможно. Объяснить почему, если невозможно;
б) матрицу , обратную матрице А.
Т а б л и ц а 2
2.1 |
А= В= С=, |
2.2 |
А= В= С= |
продолжение таблицы 2
2.3 |
А= В= С= |
2.4 |
А= В= С= |
2.5 |
А= В= С= |
2.6 |
А= В= С= |
2.7 |
А= В= С= |
2.8 |
А= В= С=. |
2.9 |
А= В= С= |
2.10 |
А=, В= С=. |
2.11 |
А= В= С= |
2.12 |
А= В= С= |
2.13 |
А= В= С= |
продолжение таблицы 2
2.14 |
А= В= С= |
2.15 |
А= В= С= |
2.16 |
А= В=, С= |
2.17 |
А= В= С= |
2.18 |
А= В= С= |
2.19 |
А= В= С= |
2.20 |
А= В= С= |
2.21 |
А= В= С= |
2.22 |
А= В= С= |
2.23 |
А= В= С= |
2.24 |
А= В= С= |
продолжение таблицы 2
2.25 |
А= В= С= |
2.26 |
А= В= С= |
2.27 |
А= В= С= |
2.28 |
А= В= С= |
2.29 |
А= В= С= |
2.30 |
А= В= С= |
3 Даны точки А и В; и вектора . Требуется найти:
а) модуль (длину) вектора и середину отрезка АВ;
б) проекцию вектора;
в) площадь параллелограмма, полученного из векторов ;
г) объем пирамиды, построенной из векторов .
Т а б л и ц а 3
3.1 |
А(5, -4, 3), В(1, 2, -8), =(0, 1, 4), =(5, 2, -3) |
3.2 |
А(-3, 1, 0), В(7, 1, -5), =(7, 1, 4), =(5, 8, -3) |
3.3 |
А(0, 4, 5), В(3, -2, 1), =(6, 4, 4), =(0, 2, -2) |
3.4 |
А(3, -2, 5), В(4, 5, 7), =(5, 1, 4), =(5, -3, -3) |
3.5 |
А(2, -3, 7), В(3, 2, 8), =(6, 4, 6), =(0, 6, -2) |
3.6 |
А(2, -1, 7), В(6, 3, 4) , =(4, 5, 4), =(7, 8, 5) |
3.7 |
А(3, 1, 7), В(2, -3, 9), =(9, 1, 4), =(8, 2, -3) |
3.8 |
А(2, 1, -6), В(1, 4, 9) , =(1, 1, 8), =(5, -3, 9) |
3.9 |
А(2, -4, 8), В(5, 4, 7), =(6, 3, 4), =(7, 2, -2) |
3.10 |
А(3, 2, 5), В(4, 0, -3) , =(7, 2, 4), =(5, 8, 4) |
продолжение таблицы 3
3.11 |
А(2, 3, -1),В(-6, 4, 2), =(2, 9, 6), =(0, 6, 4) |
3.12 |
А(-4, 2, 3), В(8, 7, -2), =(5, 3, 4), =(5, 3, 4) |
3.13 |
А(5, 3, 6), В(-2, 3, 5), =(6, 2, 4), =(7, 2, -7) |
3.14 |
А(0, 6, 0), В(5, 3, -4), =(8, 5, 3), =(7, 8, 7) |
3.15 |
А(4, 2, 0), В(1, -7, 8), =(2, 8, 6), =(0, 6, 3) |
3.16 |
А(4, 2, 5), В(-1, 0, 6), =(2, 1, 8), =(5, 9, 9) |
3.17 |
А(3,-5, 8), В(6, 3, 9), =(7, 3, 4), =(3, 2, -2) |
3.18 |
А(7, 2, 2), В(-5, 7, -7) , =(6, 1, 3), =(1, 8, 7) |
3.19 |
А(5, -3, 1), В(2, 3, 7), =(2, 7, 6), =(7, 6, 4) |
3.20 |
А(8, -6, 4), В(10, 5, 1), =(9, 1, 8), =(4, 9, 1) |
3.21 |
А(5, 6,-8), В(8, 10,7), =(1, 3, 4), =(3, 6, -2) |
3.22 |
А(1, -1, 3), В(6, 5, 8), =(7, 8, 3), =(1, 8, 9) |
3.23 |
А(3, 5,-7), В(8, 4, 1), =(2, 5, 6), =(7, 6, 8) |
3.24 |
А(6, -6, 5), В(4, 9, 5), =( 6, 1, 4), =(0, 9, 1) |
3.25 |
А(4,6,11), В(9,3,-4), =(3, 7, 6), =(8, 6, 4) |
3.26 |
А(5, 7, 4),В(4,-10, 9), =(8, 1, 7), =(4, 5, 1) |
3.27 |
А(-9, 8, 9), В(7, 1,-2), =(7, 2, 4), =(5, 2, -1) |
3.28 |
А(5, 2, 6), В(1, 8, -2), =(4, 2, 3), =(2, 3, 7) |
3.29 |
А(2, 8, -9), В(7, 5,-5), =(8, 1, 6), =(6, 1, 4) |
3.30 |
А(-2, 7, 0), В(6, 3, 5), =(2, -3, 8), =(3, 9, 2) |
4 Даны точки на плоскости и уравнение прямой . Записать уравнение прямой:
а) -проходящей через эти точки;
б) - в виде общего уравнения прямой;
в) - в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом;
г) - в виде уравнения прямой в отрезках;
д) , проходящей через точку и перпендикулярную .
Т а б л и ц а 4
4.1 |
|
4.2 |
|
4.3 |
|
4.4 |
|
4.5 |
|
4.6 |
6 |
4.7 |
|
4.8 |
|
4.9 |
|
4.10 |
|
4.11 |
|
4.12 |
|
4.13 |
|
4.14 |
|
4.15 |
|
4.16 |
|
продолжение таблицы 4
4.17 |
|
4.18 |
|
4.19 |
|
4.20 |
|
4.21 |
|
4.22 |
|
4.23 |
|
4.24 |
|
4.25 |
|
4.26 |
|
4.27 |
|
4.28 |
|
4.29 |
|
4.30 |
|
5 Даны точки . Требуется:
а) составить уравнение плоскости
б) записать в виде общего уравнения плоскости;
в) записать в виде уравнения плоскости в отрезках;
г) записать в виде общего уравнения плоскости, проходящей через точку ;
д) составить каноническое уравнение прямой
е) записать параметрическое уравнение прямой ;
д) составить каноническое уравнение прямой ;
е) записать параметрическое уравнение прямой ;
ж) составить уравнение прямой , перпендикулярной плоскости .
Т а б л и ц а 5
5.1 |
|
5.2 |
|
5.3 |
|
5.4 |
|
5.5 |
|
5.6 |
|
5.7 |
|
5.8 |
|
5.9 |
|
5.10 |
|
5.11 |
|
5.12 |
|
5.13 |
|
5.14 |
|
5.15 |
|
5.16 |
|
5.17 |
|
5.18 |
|
5.19 |
|
5.20 |
|
5.21 |
|
5.22 |
|
5.23 |
|
5.24 |
|
продолжение таблицы 5
5.25 |
|
5.26 |
|
5.27 |
|
5.28 |
|
5.29 |
|
5.30 |
|
6. Решить систему:
а) методом Крамера;
б) матричным методом (с помощью обратной матрицы).
Т а б л и ц а 6
6.1 |
|
6.2 |
|
6.3 |
|
6.4 |
|
6.5 |
|
6.6 |
|
6.7 |
|
6.8 |
|
6.9 |
|
6.10 |
|
6.11 |
|
6.12 |
|
6.13 |
|
6.14 |
|
6.15 |
|
6.16 |
|
6.17 |
|
6.18 |
|
6.19 |
|
6.20 |
|
6.21 |
|
6.21 |
|
6.23 |
|
6.24 |
|
6.23 |
|
6.26 |
|
6.27 |
|
6.28 |
|
6.29 |
|
6.30 |
|
7 Дана система уравнений. Требуется:
а) проверить совместность системы методом Гаусса;
б) решить систему, если она совместна:
в) найти ранг матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы.
Т а б л и ц а 7
7.1 |
7.2 |
7.3 |
7.4 |
7.5 |
7.6 |
7.7 |
7.8 |
7.9 |
7.10 |
7.11 |
7.12 |
7.13 |
7.14 |
7.15 |
7.16 |
7.17 |
7.18 |
7.19 |
7.20 |
7.21 |
7.22 |
7.23 |
7.24 |
продолжение таблицы 7
7.25 |
7.26 |
7.27 |
7.28 |
7.29 |
7.30 |
8 Даны точка А; радиус окружности R; полуоси кривых - a,b; уравнение прямой – D. Требуется:
а) записать уравнение окружности с центром в точке А и радиусом R;
б) записать каноническое уравнение эллипса с полуосями а и b. Найти координаты его фокусов, эксцентриситет;
в) записать каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью а и мнимой - b. Найти координаты его фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот;
г) записать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и если D ее директриса. Найти координаты его фокуса, эксцентриситет;
д) сделать схематический чертеж эллипса, гиперболы, параболы.
Т а б л и ц а 8
8.1 |
A(2,-4), R=4, a=1, b=3, D: x=-5 |
8.2 |
A(-8,2), R=1, a=6, b=5, D: x=-5 |
8.3 |
A(1,-4), R=5, a=8, b=3, D: y=-6 |
8.4 |
A(5,-4), R=2, a=6, b=4, D: y=-2 |
8.5 |
A(2,-5), R=7, a=3, b=2, D: x=4 |
8.6 |
A(1,8), R=5 , a=3, b=2, D: x=-3 |
8.7 |
A(3,-4), R=9, a=7, b=6, D: y=-2 |
8.8 |
A(10,1), R=8, a=1, b=6, D: y=-4 |
8.9 |
A(5,-4), R=1, a=6, b=4, D: x=-5 |
8.10 |
A(6,3), R=8 , a=2, b=3, D: x=-5 |
8.11 |
A(1,-3), R=5 , a=8, b=2, D: y=6 |
8.12 |
A(5,5), R=2, a=1, b=3, D: y=-7 |
8.13 |
A(2,-6), R=7, a=3, b=4, D: x=5 |
8.14 |
A(12,6), R=7, a=6, b=2, D: x=-5 |
8.15 |
A(3,4), R=9 , a=2, b=6, D: y=-8 |
8.16 |
A(0,5), R=4, a=6, b=4, D: y=8 |
8.17 |
A(2,-9), R=7, a=5, b=2, D: x=6 |
8.18 |
A(-5,0), R=7, a=4, b=5, D: x=1 |
8.19 |
A(8,4), R=6 , a=8, b=5, D: y=2 |
8.20 |
A(5,1), R=2, a=9, b=1, D: x=-1 |
8.21 |
A(5,-4), R=4, a=6, b=4, D: x=1 |
8.22 |
A(-3,2), R=4, a=8, b=4, D: y=1 |
8.23 |
A(1,8), R=5, a=9, b=4, D: y=-6 |
8.24 |
A(9,1), R=6, a=4, b=7, D: x=-3 |
8.25 |
A(2,-5), R=7, a=7, b=4, D: x=9 |
8.26 |
A(-9,2), R=7, a=1, b=8, D: y=7 |
8.27 |
A(7,4), R=5, a=1, b=7, D: y=8 |
8.28 |
A(11,-4), R=2, a=2, b=4, D: x=8 |
8.29 |
A(-2,5), R=5, a=7, b=1, D: x=8 |
8.30 |
A(12,4), R=7, a=3, b=5, D: y=-9 |
9 Определить вид (название) поверхности второго порядка и сделать схематический чертеж.
Т а б л и ц а 9
9.1 |
|
9.2 |
|
9.3 |
|
9.4 |
|
9.5 |
|
9.6 |
|
9.7 |
|
9.8 |
|
9.9 |
|
9.10 |
|
9.11 |
|
9.12 |
|
9.13 |
|
9.14 |
|
9.15 |
|
9.16 |
|
9.17 |
|
9.18 |
|
9.19 |
|
9.20 |
|
9.21 |
|
9.22 |
|
9.23 |
|
9.24 |
|
9.25 |
|
9.26 |
|
9.27 |
|
9.28 |
|
продолжение таблицы 9
9.29 |
|
9.30 |
|
10 Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка, построить эту кривую
Т а б л и ц а 10
10.1 |
|
10.2 |
|
|
10.3 |
|
10.4 |
|
|
10.5 |
|
10.6 |
|
|
10.7 |
|
10.8 |
|
|
10.9 |
|
10.10 |
|
|
10.11 |
|
10.12 |
|
|
10.13 |
|
10.14 |
|
|
10.15 |
|
10.16 |
|
|
10.17 |
|
10.18 |
|
|
10.19 |
|
10.20 |
|
|
10.21 |
|
10.22 |
|
|
10.23 |
|
10.24 |
|
|
10.25 |
|
10.26 |
|
|
10.27 |
|
10.28 |
|
|
10.29 |
|
10.30 |
|
|
1.3 Решение типового варианта
1 Дан определитель третьего порядка . Требуется найти:
а) минор и алгебраическое дополнение элемента ;
б) определитель по правилу треугольника (правилу Саррюса).
Решение:
a) минор Mэлемента a равен определителю, полученному из данного после вычёркивания i-ой строки и j-го столбца. Таким образом, вычёркиваем в нашем определителе вторую строку и третий столбец, получаем . Алгебраическое дополнение элемента a вычисляем по формуле A=(-1)M. Значит А=(-1)11= -11;
б) правило треугольника: определитель третьего порядка равен сумме шести членов; члены со знаком плюс получают при перемножении по три элемента определителя, взятых
по схеме , члены со знаком минус – по схеме. Поэтому
Формула разложения по третьему столбцу имеет вид . Таким образом, вычисляем определитель третьим способом:
= 2 – 88 – 12= =- 98;
2 Даны матрицы А=, В=, С=. Требуется найти:
а) произведение матриц АВ или ВС, если возможно. Объяснить почему, если невозможно;
б) матрицу , обратную матрице А;
Решение:
а) произведение матриц АВ возможно, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Размеры матриц: А, В, С. Таким образом, АВ= – произведение невозможно. ВС= – произведение возможно. Произведением матриц ВС является матрица Е, число строк которой равно числу строк матрицы В, число столбцов равно числу столбцов матрицы : . Элемент матрицы Е равен сумме произведений i–ой строки матрицы А на j–ый столбец матрицы В. Таким образом
ВС = = , где .
Итак, ;
б) обратная матрица для квадратной матрицы существует, если определитель матрицы не равен нулю; не существует, если =0. Обратная матрица А для матрицы А = находится по формуле , где – определитель матрицы А; – алгебраические дополнения элементов . Найдём определитель матрицы А: = = -300, следовательно А существует. Определим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:
Составим А по вышеуказанной формуле
А= =
3 Даны точки А(7, -9, 3) и В(1, 0, -5); и вектора . Требуется найти:
а) модуль (длину) вектора и середину отрезка АВ;
б) проекцию вектора;
в) площадь параллелограмма, полученного из векторов ;
г) объем пирамиды, построенной из векторов .
Решение:
а) для точек А() и В() координаты вектора находят по формуле = (). Таким образом, (1-7, 0-(-9), -5-3) = (-6, 9, -8); модуль (длина) вектора : . Значит, == ; cередина отрезка АВ имеет координаты С== С( 4, -9/2, -1 );
б) проекция вектора есть: ; где - скалярное произведение векторов . Если векторы ортогональны, то ; , так как , то векторы и не ортогональны; вычисляем далее ;
в) площадь параллелограмма, полученного из векторов , есть модуль вектора, полученного от их векторного произведения векторов: ; сначала находим координаты
;
; далее определяем модуль вектора: ;
г) объем пирамиды, построенной из векторов , , , находится из модуля их смешанного произведения:
Так как , то эти векторы не компланарны.
4 Даны точки А(4, -2), А(8, 1) на плоскости и уравнение прямой L: -x + 4y + 5 = 0. Записать уравнение прямой:
а) -проходящей через эти точки;
б) - в виде общего уравнения прямой;
в) - в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом;
г) - в виде уравнения прямой в отрезках;
д) , проходящей через точку и перпендикулярную .
Решение:
a) уравнение прямой, проходящей через две точки () и (), находится по формуле . Значит, уравнение прямой L имеет вид или ;
б) запишем уравнение прямой L в общем виде Ax+By+C=0: , (A=3, B=-4, C=-20).
Геометрический смысл коэффициентов: А, В, – это координаты нормального (перпендикулярного) вектора прямой L, т. е. вектор ;
в) через угловой коэффициент y=kx+m: , ( k=, m=-5 );
г) в виде отрезков x/a+y/b=1:
, ( a = 20/3, b = -5 );
д) уравнение прямой , проходящей через точку () и параллельно вектору , имеет вид: . Если вектор перпендикулярный прямой есть =(A;B)=(-1;4), а прямая также перпендикулярна , тогда в нашем случае получаем, что направляющим вектором будет и уравнение имеет вид .
5 Даны точки А(1, 2, -1), А(3, 3, 2), А(2, -3, 7). Требуется:
а) составить уравнение плоскости
б) записать в виде общего уравнения плоскости;
в) записать в виде уравнения плоскости в отрезках;
г) записать в виде общего уравнения плоскости, проходящей через точку ;
д) составить каноническое уравнение прямой ;
е) записать параметрическое уравнение прямой ;
ж) составить уравнение прямой , перпендикулярной плоскости .
Решение:
а) уравнение плоскости, проходящей через точки (), (), () имеет вид: .
В нашем случае Р: (*);
б) раскрыв определитель в правой части равенства (*), получим уравнение плоскости Р в общем виде Ax+By+Cz+D=0:
23x – 13y – 11z – 8 = 0, (A=23, B=-13, C=-11, D=-8).
Геометрический смысл коэффициентов: А, В, С – это координаты нормального (перпендикулярного) вектора плоскости, т. е. вектор ;
в) перенесём в общем уравнении плоскости свободный член –8 в правую часть и разделим обе части на 8. Получим уравнение плоскости в отрезках x/a+y/b+z/c=1:
,
где а=8/23, в=-8/13, с=-8/11 – это величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях, считая от начала координат;
г) раскроем определитель в левой части равенства (*) по элементам первой строки: .
Получили уравнение плоскости в виде A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0 ();
д) каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки () и () находится по формуле . Значит, уравнение прямой L имеет вид или ;
е) уравнения прямой в виде называются каноническими, где a(m,n,p) – ее направляющий вектор. В предыдущем пункте уже найдены канонические уравнения прямых. Параметрическими называются уравнения прямой в виде . Чтобы получить параметрические уравнения прямой, приравняем канонические уравнения к параметру t и из полученных равенств найдём x, y, z.
L:= .
Итак, параметрическое уравнение L:;
ж) так как , то вектор оказывается направляющим вектором прямой . Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид:.
6. Решить систему
а) методом Крамера;
б) матричным методом (с помощью обратной матрицы).
Решение:
а) решение системы по правилу Крамера имеет вид , где - определитель системы, , - вспомогательные определители, полученные из определителя системы заменой первого и второго столбцов столбцом свободных членов.
В нашем случае , , . Таким образом, х = -1/5, у =3/5. Ответ можно записать в виде вектора: ;
б) в матричном виде решение системы записывается так:, где - матрица–столбец неизвестных, - матрица-столбец свободных членов, - матрица, обратная для матрицы системы .
Найдём обратную матрицу (см. пример 2б) для матрицы системы . Так как определитель системы , то обратная матрица существует и равна . Тогда . Или ответ в обычном виде: х=-1/5, у=3/5.
7 Дана система уравнений. .
Требуется:
а) проверить совместность системы методом Гаусса;
б) найти ранг матрицы коэффициентов и расширенной матрицы системы;
в) решить систему, если она совместна.
Решение:
а) метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы с помощью элементарных преобразований и приведении её к ступенчатому (треугольному) виду расширенной матрицы системы. Матрица коэффициентов системы есть , расширенная матрица - . Так как матрица содержится в матрице , то достаточно производить элементарные преобразования только над строками матрицы : умножим первую строку на -2 и прибавим ко второй, затем умножим первую строку на -3 и прибавим к третьей. Получим, что матрица , а вместе с ней и матрица, приводится к ступенчатой матрице, имеющей три ненулевые строки: .
По теореме Кронекера-Капелли система совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение), если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы ; система не совместна (т.е. не имеет решений), если ;
б) далее, по количеству ненулевых строк в ступенчатых матрицах определяются ранги матриц . Значит, и система совместна. Так как число неизвестных n равно 3 и равен рангу матрицы системы (n=r), то система имеет одно решение;
в) таким образом, данная система сводится к системе, соответствующей последней матрице: ;
поднимаясь по этой системе снизу вверх, найдём из последнего уравнения ; из предпоследнего ; из первого . Ответ: (-4; -2; 1).
8 Даны точка А(3, -7); радиус окружности R=6; = 2; = 3 – полуоси кривых; D: у = -3 – уравнение прямой. Требуется:
а) записать уравнение окружности с центром в точке А и радиусом R;
б) записать каноническое уравнение эллипса с полуосями а=2 и b=3. Найти координаты его фокусов, эксцентриситет;
в) записать каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью а=2 и мнимой – b=3. Найти координаты его фокусов, эксцентриситет, уравнения ассимптот;
г) записать каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и если D: у = -3 ее директриса. Найти координаты его фокуса, эксцентриситет;
д) сделать чертеж эллипса, гиперболы, параболы.
Решение:
а) уравнение окружности с центром в точке радиуса R имеет вид , значит в нашем варианте: ;
б) каноническое уравнение эллипса с полуосями и имеет вид ; значит в нашем варианте: .
Фокусы эллипса – это точки , если и , и эксцентриситет эллипса равен , или, если , то и , .
Итак, в нашем варианте, поскольку , то, эксцентриситет равен , (). Фокусы лежат на оси Оу: . Изобразим эллипс на координатной плоскости (см.рисунок 1), где - вершины эллипса.
Рисунок 1
в) каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью , мнимой полуосью имеет вид ; с действительной полуосью и мнимой полуосью : или . Для гиперболы с действительной полуосью , эксцентриситет равен , где ; уравнения асимптот гиперболы имеют вид ; фокусы – это точки , расположенные на действительной оси.
По условию =2, =3, поэтому каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью будет . Для неё полуфокусное расстояние ; эксцентриситет равен ; фокусы: ; уравнения асимптот: .
Гиперболу легко построить следующим образом: строим прямоугольник со сторонами (у нас ). Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы, точки пересечения сторон прямоугольника с действительной осью гиперболы – вершинами гиперболы (см.рисунок 2):
Рисунок 2
г) по условию, если директриса параболы y=-p/2, то осью симметрии параболы с вершиной в начале координат является ось Ох. Значит, её каноническое уравнение имеет вид ; если директриса параболы x=-p/2, то осью симметрии параболы с вершиной в начале координат является ось Оy. Значит, её каноническое уравнение имеет вид . Так как директриса параболы имеет уравнение у = -3, то и уравнение параболы будет: . Фокус параболы – это точка , лежащая на оси симметрии. В нашем случае фокус - . Построим параболу(см.рисунок 3).
Рисунок 3
9 Определить вид (название) поверхности второго порядка и сделать схематический чертёж:
а) ; б) .
Решение:
а) - это каноническое уравнение однополостного гиперболоида с осью симметрии Ох. Его схематический чертёж (см.рисунок 4);
Рисунок 4
б) - это каноническое уравнение конуса второго порядка с осью симметрии Оz и вершиной в начале координат. Его схематический чертёж (см.рисунок 5);
Рисунок 5
10 Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить эту кривую.
Решение:
Уравнение вида
Определяют соответственно эллипс, гиперболу и параболу, которые имеют центр симмметрии (эллипса и гиперболы) или вершину параболы в точке . Для этого применим метод выделения полных квадратов:
Дополним члены, содержащие x, и члены содержащие y, до полных квадратов ,
,
,
, ,
т. е. имеем гиперболу, с центром в точке С(-1;-2), действительной полуосью b=3/2 (по оси 0y) и мнимой полуосью a=2. Построим его схематический чертёж (см. рисунок 6).
Рисунок 6
Список литературы
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.
2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-396 с.
3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты. –М.:Высш. Шк., 1983.-176с.
4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы, 2003.-686 с.
Содержание
1 Типовой расчёт. Векторная и линейная алгебра. Аналитическая геометрия.
1.1 Теоретические вопросы 3
1.2 Расчётные задания 3
1.3 Решение типового варианта 12
Список литературы 25