кенг

Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

МАТЕМАТИКА 1

Методические указания к расчетно-графической работе

для студентов специальностей 5В071800- «Электроэнергетика», 5В071700- «Теплоэнергетика»,

5В071900- «Радиотехника, электроника и телекоммуникации»,

5В070200- «Автоматика и управление»

3-Часть

Алматы 2013

Составители: С.А. Нурпейсов, Ж.С. Абдулланова. Математика-1. Методические указания и задания к расчетно- графическим работам. Часть 3.-Алматы: АУЭС, 2013.-33 с.

Методическое указание подготовлено в соответствии с типовой программой по курсу «Математика-1» для специальностей 5В071700, 5В071800, 5В071900, 5В070200 дневного отделения АУЭС.

Методические указания и задания к РГР содержат задачи курса высшей математики: «Неопределенные и определенные интегралы. Операционные исчисления».

РГР содержит 2 уровня заданий. Даны основные теоретические вопросы программы и решение типового варианта.

Рецензент: доцент Туманов М.Е.

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2013 г.

Сводный план 2013г., поз. 171

Введение

Это методическое указание представляет собой 3-ю часть расчетно-графической работы по курсу «Математика-1», который изучается студентами специальностей 5В071700, 5В071800, 5В071900, 5В070200 дневного отделения АУЭС на первом семестре.

Так как были изданы 1 и 2-е части этого курса, появилась необходимость выпуска 3-ей части.

Расчетно-графическая работа написана в соответствии с действующей программой по курсу «Математика-1» для студентов специальностей 5В071700, 5В071800, 5В071900, 5В070200. Настоящее методическое указание адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения самостоятельной работы во время аудиторных занятий и выдачи индивидуальных домашних заданий. Здесь содержится материал по определенным и неопределенным интегралам, по операционным исчислениям.

Данный РГР состоит из 22 заданий (16 заданий 1-го уровня сложности и 6 заданий 2-го уровня сложности) по 30 вариантов каждый. В конце приведено решение типового варианта, где дано подробное решение каждого задания 1-го уровня сложности. Решение заданий 2-го уровня сложности предоставляется для самостоятельного решения студентам. Также приводятся основные теоретические вопросы, которые должны освоить студенты по этому разделу математики.

1Расчетно-графическая работа №3. Неопределенные и определенные интегралы. Некоторые элементы операционных исчислении

Цель: научить студентов применять теоретические знания для вычисления неопределенных и определенных интегралов по основным методам интегрирования: непосредственное интегрирование, интегрирование замены переменной и интегрирование по частям. Привить навыки исследования несобственных интегралов, а также ознакомить с основными элементами теории операционных исчислении.

1.1 Задания первого уровня

1. Вычислить интеграл.

1.1		1.16
1.2		1.17
1.3		1.18
1.4		1.19
1.5		1.20
1.6		1.21
1.7		1.22
1.8		1.23
1.9		1.24
1.10		1.25
1.11		1.26
1.12		1.27
1.13		1.28
1.14		1.29
1.15		1.30

2. Вычислить интегралы методом замены переменной.

2.1		2.16
2.2		2.17
2.3		2.18
2.4		2.19
2.5		2.20
2.6		2.21
2.7		2.22
2.8		2.23
2.9		2.24
2.10		2.25
2.11		2.26
2.12		2.27
2.13		2.28
2.14		2.29
2.15		2.30

3. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

3.1	3.11	3.21
3.2	3.12	3.22
3.3	3.13	3.23
3.4	3.14	3.24
3.5	3.15	3.25
3.6	3.16	3.26
3.7	3.17	3.27
3.8	3.18	3.28
3.9	3.19	3.29
3.10	3.20	3.30

4. Вычислить интегралы.

4.1	4.11	4.21
4.2	4.12	4.22
4.3	4.13	4.23
4.4	4.14	4.24
4.5	4.15	4.25
4.6	4.16	4.26
4.7	4.17	4.27
4.8	4.18	4.28
4.9	4.19	4.29
4.10	4.20	4.30

5. Вычислить интегралы.

5.1	5.11	5.21
5.2	5.12	5.22
5.3	5.13	5.23
5.4	5.14	5.24
5.5	5.15	5.25
5.6	5.16	5.26
5.7	5.17	5.27
5.8	5.18	5.28
5.9	5.19	5.29
5.10	5.20	5.30

6. Вычислить интегралы от некоторых иррациональных функции.

6.1	6.11	6.21
6.2	6.12	6.22
6.3	6.13	6.23
6.4	6.14	6.24
6.5	6.15	6.25
6.6	6.16	6.26
6.7	6.17	6.27
6.8	6.18	6.28
6.9	6.19	6.29
6.10	6.20	6.30

7. Вычислить интегралы.

7.1	7.11	7.21
7.2	7.12	7.22
7.3	7.13	7.23
7.4	7.14	7.24
7.5	7.15	7.25
7.6	7.16	7.26
7.7	7.17	7.27
7.8	7.18	7.28
7.9	7.19	7.29
7.10	7.20	7.30

8. Вычислить определенные интегралы.

8.1	8.11	8.21
8.2	8.12	8.22
8.3	8.13	8.23
8.4	8.14	8.24
8.5	8.15	8.25
8.6	8.16	8.26
8.7	8.17	8.27
8.8	8.18	8.28
8.9	8.19	8.29
8.10	8.20	8.30

9. Вычислить интегралы.

9.1	9.11	9.21
9.2	9.12	9.22
9.3	9.13	9.23
9.4	9.14	9.24
9.5	9.15	9.25
9.6	9.16	9.26
9.7	9.17	9.27
9.8	9.18	9.28
9.9	9.19	9.29
9.10	9.20	9.30

10. Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

10.1	10.11	10.21
10.2	10.12	10.22
10.3	10.13	10.23
10.4	10.14	10.24
10.5	10.15	10.25
10.6	10.16	10.26
10.7	10.17	10.27
10.8	10.18	10.28
10.9	10.19	10.29
10.10	10.20	10.30

11. Вычислить несобственные интегралы.

11.1	11.11	11.21
11.2	11.12	11.22
11.3	11.13	11.23
11.4	11.14	11.24
11.5	11.15	11.25
11.6	11.16	11.26
11.7	11.17	11.27
11.8	11.18	11.28
11.9	11.19	11.29
11.10	11.20	11.30

12. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками следующих функции.

12.1		12.16
12.2		12.17
12.3		12.18
12.4		12.19
12.5		12.20
12.6		12.21
12.7		12.22
12.8		12.23
12.9		12.24
12.10		12.25
12.11		12.26
12.12		12.27
12.13		12.28
12.14		12.29
12.15		12.30

13. Являются ли функции оригиналами, если да, то почему?

13.1	13.11	13.21
13.2	13.12	13.22
13.3	13.13	13.23
13.4	13.14	13.24
13.5	13.15	13.25
13.6	13.16	13.26
13.7	13.17	13.27
13.8	13.18	13.28
13.9	13.19	13.29
13.10	13.20	13.30

14. Найти изображения заданных функции.

14.1	14.11	14.21
14.2	14.12	14.22
14.3	14.13	14.23
14.4	14.14	14.24
14.5	14.15	14.25
14.6	14.16	14.26
14.7	14.17	14.27
14.8	14.18	14.28
14.9	14.19	14.29
14.10	14.20	14.30

15. Найти оригинал функции F(p).

15.1	15.11	15.21
15.2	15.12	15.22
15.3	15.13	15.23
15.4	15.14	15.24
15.5	15.15	15.25
15.6	15.16	15.26
15.7	15.17	15.27
15.8	15.18	15.28
15.9	15.19	15.29
15.10	15.20	15.30

16. Найти свертку функциии , и их изображение.

№		№		№
16.1		16.11		16.21
16.2		16.12		16.22	₁
16.3		16.13		16.23	₁
16.4		16.14		16.24
16.5		16.15		16.25
16.6		16.16	₁	16.26
16.7		16.17	₁	16.27
16.8		16.18		16.28
16.9		16.19		16.29
16.10	₁	16.20		16.30	₁

1.2 Задания второго уровня

17. Вычислить интегралы.

17.1		17.16
17.2		17.17
17.3		17.18
17.4		17.19
17.5		17.20
17.6		17.21
17.7		17.22
17.8		17.23
17.9		17.24
17.10		17.25
17.11		17.26
17.12		17.27
17.13		17.28
17.14		17.29
17.15		17.30

18. Вычислить интегралы.

18.1	18.11	18.21
18.2	18.12	18.22
18.3	18.13	18.23
18.4	18.14	18.24
18.5	18.15	18.25
18.6	18.16	18.26
18.7	18.17	18.27
18.8	18.18	18.28
18.9	18.19	18.29
18.10	18.20	18.30

19. Вычислить интегралы.

19.1	19.11	19.21
19.2	19.12	19.22
19.3	19.13	19.23
19.4	19.14	19.24
19.5	19.15	19.25
19.6	19.16	19.26
19.7	19.17	19.27
19.8	19.18	19.28
19.9	19.19	19.29
19.10	19.20	19.30

20. Вычислить несобственные интегралы.

20.1		20.16
20.2		20.17
20.3		20.18
20.4		20.19
20.5		20.20
20.6		20.21
20.7		20.22
20.8		20.23
20.9		20.24
20.10		20.25
20.11		20.26
20.12		20.27
20.13		20.28
20.14		20.29
20.15		20.30

21. Найти изображение функции по определению.

21.1	21.11	21.21
21.2	21.12	21.22
21.3	21.13	21.23
21.4	21.14	21.24
21.5	21.15	21.25
21.6	21.16	21.26
21.7	21.17	21.27
21.8	21.18	21.28
21.9	21.19	21.29
21.10	21.20	21.30

22. Найти изображения заданных функции, используя теорему дифференцирования оригинала.

22.1	22.11	22.21
22.2	22.12	22.22
22.3	22.13	22.23
22.4	22.14	22.24
22.5	22.15	22.25
22.6	22.16	22.26
22.7	22.17	22.27
22.8	22.18	22.28
22.9	22.19	22.29
22.10	22.20	22.30

Таблица основных интегралов.

1		11
2		12
3		13
4		14
5		15
6		16
7		17
8		18
9		19
10

Таблица оригинала-изображения.

№		№
1	₁	17
2		18
3		19
4		20
5		21
6		22
7		23
8		24
9		25
10		26
11		27
12		28
13		29
14		30
15		31
16		32

1.3 Решение типового варианта

1. С помощью теоремы дифференцирования найти изображение функции .

Решение. По теореме дифференцирования оригинала получим: ;

Поэтому

2. Используя формулу преобразования Лапласа или нахождения изображения функции , найти изображение функции .

Решение. Формула называется преобразованием Лапласа или формулой нахождения изображения функции .

Поэтому

3. Используя формулу преобразования Лапласа или нахождения изображения функции , найти изображение функции .

Решение.

4.Найти оригинал функции по заданному изображению .

Решение.

Поэтому

5. Найти оригинал функции по заданному изображению

Решение.

Используя теорему интегрирования оригинала, получим:
.

6. Найти изображение функции по заданному оригиналу

Решение.

Если

7. Найти изображение функции .

Решение.

8.Вычислить интеграл .

Решение.

9. Используя теорему умножения изображении, найти свертку функции

Решение.

Тогда

10. Найти свертку и изображение функции .

Решение.

Решение будем искать по формуле свертки функции и :

Тогда

11. Найти изображения заданных функции, используя свойства преобразования Лапласа.

Решение.

так как

если использовать теорему запаздывания

то получим .

12. Будет ли оригиналом функция ,если да, то почему?

Решение.

Функция называется функцией Хевисайда. Это функция будет оригиналом.

Если:

а) при функция будет непрерывной или иметь разрыв первого рода;

b) при

c) при где постоянная,

то функция называется оригиналом.

Покажем на примере, что следующая функция будет оригиналом.

При функция будет непрерывной; так как .

Все условия оригинала выполняются. Значит, данная функция будет оригиналом.

13. Будет ли оригиналом функция .

Решение. Эта функция не будет оригиналом, потому что:

1) точка является ее точкой разрыва второго рода;

2) при функция так как у нее нет множителя .

Интегрирование функции с помощью приведения к табличным интегралам

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Теперь рассмотрим интеграл

Итак,

Окончательно:

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Вычислить несобственные интегралы

То сходится.

2)не существует, тогда данный интеграл расходится.

3)значит интеграл расходится.

4), то есть несобственный интеграл расходится.

5) , если , то для функции точка будет точкой разрыва.

Поэтому

интеграл расходится.

Итак, несобственный интеграл сходится.

7) интеграл сходится.

8) ,

то есть несобственный интеграл сходится.

10)

11)

12)

Вычисление площади фигур

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и

прямыми , и параболой

Решение.

(кв.ед).

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат и

кривой

Решение. Найдем точку пересечения кривой с осью ординат.

То есть кривая пересекает ось ординат в точках А(0,-2) и В(0, 1).

Поэтому искомая площадь будет равна:

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

Решение. Точку пересечения параболы и прямой найдем из этой системы:

Получим: .

Таким образом, мы нашли пределы интегрирования.

Подставив эти значения в формулу вычислим искомую площадь:

1.4 Теоретические вопросы

1. Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.

2. Метод замены переменной.

3. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

4. Интегрирование простых рациональных функций.

5. Интегрирование квадратных трехчленов.

6. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

7. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

8. Определенный интеграл.

9. Замена переменной в определенном интеграле.

10. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

11. Несобственные интегралы.

12. Площадь плоской фигуры.

13.Определение изображения и оригинала в операционных исчислениях. Свойства преобразований Лапласа. Нахождение свертки функции и ее изображения.

Список литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Т., Кожевникова Т.Я., Высшая математика в упражнениях и задача, В2ч.-М.: Высшая школа, 1986-4.1-352 с.

2. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3ч.(А.П.Рябушко, В.В.Барахатов, и др./ Под ред. А.П.Рябушко.- Минск: Высшая школа, 1991.-4.2.-351 с.

3. Краснов М.Л., и др. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устройчивости- М.: Наука, 1971.- 256 с.

4. Письменный Д.Т. Сборник задач по курсу высшей математики.-М.: Айрис-пресс, 2010.-608 с.

Содержание

Введение 3

1 РГР №3 4

1.1 Задания первого уровня 4

1.2 Задания второго уровня 15

1.3 Решение типового варианта 21

1.4 Теоретические вопросы 32

Список литературы 33

№		№
1	₁	17
2		18
3		19
4		20
5		21
6		22
7		23
8		24
9		25
10		26
11		27
12		28
13		29
14		30
15		31
16		32

№		№
1	₁	17
2		18
3		19
4		20
5		21
6		22
7		23
8		24
9		25
10		26
11		27
12		28
13		29
14		30
15		31
16		32

№		№
1	₁	17
2		18
3		19
4		20
5		21
6		22
7		23
8		24
9		25
10		26
11		27
12		28
13		29
14		30
15		31
16		32