Некомерцеское акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

 

 

Математика 1,2  

Методические указания к решению задач

повышенной трудности на практических занятиях

 

 

  

 

Алматы 2011 

СОСТАВИТЕЛИ: К.М. Мұстахишев, Б.Ж. Атабай. Математика 1,2 Методические указания к решению задач повышенной трудности на практических занятиях. – Алматы: АЭжБУ, 2011, 21 с.

  

С методическими указаниями решены 30-ые варианты восьми заданий к СРСП (контрольных работ-коллоквиумов) из учебного пособия А.П. Рябушко и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. –Минск: Вышэйшая школа, 2000, чч 1,2,3.

 

Рецензент: канд.физ.-мат. наук, доцент Т.К. Каирбеков

 

 

Печатается по плану издания НАО “Алматинского университета энергетики и связи” на 2011 г.

 

 

©НАО “Алматинский университет энергетики и связи”,   2011 г.

 

 

Учебное пособие А.П. Рябушко и др. Индвидуальные задания по высшей математике. –Минск: Вышэйшая школа, 2000, чч 1,2,3. несомненно закрепилось в списке основной литературы для инженерно-технических специальностей вузов. В нем в качестве приложений приведены задания для восьми коллоквиумов-контрольных работ по разделам: «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Пределы», «Производные и их приложения», «Неопределенные интегралы», «Определенный интеграл и его приложения», «Дифференциальные уравнения», «Кратные и криволинейные интегралы». Они могут быть использованы и как задания для СРСП по соответствующим темам курса “Математика 1,2”.

Для заданий, приведенных в основной части учебного пособия, решены так называемые типовые варианты. Аналогичная методическая помощь студентам не будет лишней и по упомянутым выше заданиям.

В предлегаемом руководстве с методическими указаниями решены 30-ые варианты всех восьми заданий. Приведены необходимые формулы. Некоторые задачи решены двумя способами.

 

1 Векторная алгебра

 

1.30 Дан тетраэдр  (см. рисунок 1). Положив   и , выразить через  и  векторы  и  (точки  и - середины ребер   и , а  - середина ).

Решение. По свойству средней линии треугольника , а по условию . Тогда .

Рисунок 1

 

2.30  Найти , если .

Решение. Так как скалярное произведение

,

то

.

Поэтому

.

3.30 Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам   и  и образующего с осью   тупой угол, если .

Решение. Условия перпендикулярности векторов  и ,  и  и формула скалярного квадрата для вектора  приводит к системе уравнений

                                          (1)

Решим отдельно первые два линейные уравнения системы:

Из второго уравнения получим:

По условию , следовательно,  и .

Из третьего уравнения системы (1) найдем:

.

Требуемый вектор

.

4.30 Выяснить, для каких векторов  и   выполняется условие

.

Решение. Левая часть заданного равенства представляет собой скалярный квадрат разности двух векторов:

.

Требуемое условие выполняется лишь когда , т.е. когда заданные векторы взаимно перпендикулярны: .

5.30 Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах  и , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах  и .

Решение. Используем геометрический смысл смешанного и векторного произведений соответственно трех и двух векторов.

Объем параллелепипеда (см. рисунок 2)

.

Площадь основания

.

Рисунок 2

 

Высота параллелепипеда

.

 

2 Аналитическая геометрия

 

1.30 Даны уравнения двух сторон треугольника:  и одной из его медиан . Составить уравнение третьей стороны треугольника.

Решение. Найдем координаты вершин   (см. рисунок 3), считая,  

Рисунок 3

 

что заданы уравнения сторон  и :

.

Подставив эти значения в уравнение медианы, убеждаемся, что точка  не лежит на заданной медиане.

Рассмотрим два возможные случаи.

I. Пусть медиана опущена из вершины . Найдем координаты точек  и :

;

.

Точка  делит отрезок  пополам: . Поэтому  

.

Уравнение третьей стороны , как прямой, проходящей через две заданные точки:

.

II. Предположим, что заданная медиана опущена из вершины . Поступая как в предыдущем случае, найдем: . Так как , то

.

Уравнение стороны :

.

2.30 Составить уравнение параболы, фокус которой находится в точке , а вершина – в начале координат.

Решение. Каноническое  уравнение заданной параболы в системе координат  (см. рисунок 4), повернутой на   относительно , имеет вид:

,

так как фокальный параметр определяется из условия

.

Рисунок 4

 

Осуществим поворот  на угол  по формулам:

После замены переменных уравнение параболы запишется в виде:

или 

.

3.30 Найти координаты точки , лежащей внутри треугольника, высекаемого на плоскоти  плоскостями:

,  ,

и равноудаленной от этих плоскостей.

Решение. Согласно  условию приравниваем расстояния точки  от трех заданных плоскостей:

.               (2)

В точках открытого  (см. рисунок 5), образованного прямыми

,

 

Рисунок 5

 

левые части первых двух уравнений отрицательны, а третьего уравнения положительна. Поэтому из соотношений (2) можно образовать систему уравнений

или

,

.

 

4.30 Треугольник  (см. рисунок 6) образован пересечением плоскости   с координатными плоскостями. Записать канонические уравнения и найти длину высоты  этого треугольника, опущенной из вершины , находящейся на оси .

Решение.

Рисунок 6

 

Вершины треугольника имеют координаты  , , а вектор .

Заметим, что , кроме того, по условию  , следовательно, . Поэтому  служит нормальным вектором плоскости . Уравнение этой плоскости, проходящей через ось , имеет вид

.

Как линия пересения плоскостей треуголиников  и  прямая  имеет общие уравнения

и канонические уравнения

Далее,

;

.

По-другому

 

3 Пределы

 

Найти пределы

 

1.30  .

После разложения квадратных трехчленов на простые множители:

.

2.30  .

И здесь применим формулу :

.

3.30 .

Числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателя:

,

.

4.30 .

Разделим числитель и знаменатель рациональной дроби на старшую степень переменной и перейдем к пределу:

.

5.30 .

Так как при ,   и , то:

.

6.30 .

1. Приведем функцию к виду, удобному для применения формулы второго замечательного предела

:

.

2.  Прологарифмируем обе части заданного равенства:

,

и учтем, что при  :

.

 

4 Производные и их приложения

 

Для решения задач 1-4.30 достаточно применять таблицу производных, правила дифференцирования и формулу производной сложной функции:

 

 

Найти производные первого порядка

1.30 .

2.30 .

.

3.30 Найти  и , если .

Решение: ;

.

Найти вторые производные .

4.30 .

5.30 .

Решение. Считая, что , используем формулу параметрического дифференцирования

  ;

,

.

 

Решить следующие задачи

 

6.30 При каком значении параметра  парабола  касается кривой ?

Решение. При  заданные кривые пересекаются (см. рисунок 7), а  при  могут касаться. В точке касания  кривые имеют общую  касательную ,  следовательно, при  функции  и  имеют равные значения  и  одинаковую производную . Это приводит к системе уравнений:

Из первого уравнения найдем . Подставив найденное значение во второе уравнение, получим:

.

Освобождаясь от логарифма, найдем требуемое значение параметра

.

7.30 Точка движется прямолинейно по закону . Через какой промежуток времени после начала движения точка остановится? Найти путь, пройденный точкой за это время?

Решение. Точка остановится, когда ее скорость

,

т.е. по истечении времени  после начала движения. За это время точка пройдет путь

 ед. длины.

 

5 Неопределенный интеграл

 

Найти неопределенные интегралы

 

С помощью простых преобразований приходим к «табличным» интегралам:

1.30 .

2.30

3.30         Для освобождения от линейной иррациональности заменяем переменную интегрирования

.

4.30 Применяем формулу интегрирования по частям

.

.

Рассматривая полученное равенство как уравнение, где неизвестным является заданный интеграл, найдем:

.

5.30 .

Рациональную дробь под интегралом разложим в сумму простейших дробей, применяя метод неопределенных коэффициентов (произвольных значений):

Подведя числа  и  под знак дифференциала, получим

6.30    Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:

 

6 Определенный интеграл и его приложения

 

1.30 Вычислить определенный интеграл:

.

Для «рационализации» интеграла делаем замену переменной интегрирования:

2.30 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

.

Решение. Имеем  несобственный интеграл -рода, так как в точке  подынтегральная функция не ограничена. Поэтому

Заданный интеграл сходящийся.

3.30 Найти длину одной арки циклоиды .

Решение. Длина дуги плоской кривой, заданной своими параметрическими уравнениями, равна

.

По условию: . Поэтому

4.30 Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на , если сила в  растягивает ее на ? Известно (закон Гука), что упругая сила пружины , где  - величина растяжения, - постоянный коэффициент, определяемый из условия задачи.

Решение. По условию , следовательно, .

В прямолинейном движении (см. рисунок 8) работа

.

 

 

7 Дифференциальные уравнения

 

Решить данные дифференциальные уравнения (ДТ)

1.30 .

Решение. Общее решение линейного неоднородного ДУ 1-порядка

определяется по формуле

.

По условию , поэтому:

2.30 .

Решение. Имеем ДУ 1-порядка с разделяющимися переменными. После простых преобразований придем к уравнению с разделенными перменными:

или

.

Взяв неопределенные интегралы от обеих частей равенства соответственно по переменным  и , общий интеграл заданного ДУ представим в виде:

или

.

3.30                                                                                         (1)

Решение. Уравнение можно решить двумя способами: 1) путем понижения порядка и 2) как линейное неоднородное ДУ 2-порядка с постоянными коэффициентами.

1. В уравнении вместо отсутствующей независимой переменной  примем  и введем новую неивестную функцию . Тогда

.

Тем самым, понизив порядок заданного ДУ, придем к уравнению с разделяющимися перменными:

.

Его общее решение:

.

Это есть ДУ рассмотренного типа:

,

.

Заменив постоянные интегрирования на новые:  , общее решение заданного ДУ можно записать в виде закона гармонических колебаний:

.                                              (2)

2. Составим и решим характеристическое уравнение соответствующего (1) однородного уравнения :

.

Общее решение однородного уравнения:

.                                    (3)

Ввиду отсутствия резонанса:  за частное решение (1) возьмем  и составим общее решение заданного неоднородного ДУ:

.

Заменив произвольные постоянные по схеме

,

полученное решение можно представить в виде (2).

4.30 .                                                    (4)

Решение. Дана задача Коши. Поступая как в предыдущей задаче, найдем общее решение (3), соответствующего (4) однородного ДУ. Ввиду отсутствия резонанса:  частное решение неоднородного уравнения (4) будем искать в виде его правой части:

.

Подставив эти выражения в уравнение (4) и приравняв коэффициенты перед  и  в обеих частях полученного тождества, найдем:

.

Общее решение заданного ДУ и его производная:

Удовлетворив заданным начальным условиям, найдем:  и решение задачи Коши

.

 

5.30 .                                                                    (5)

Решение. Применяем метод вариации произвольных постоянных. Для этого составим характеристическое уравнение соответствующего (5) однородного уравнения и фундаментальную систему решений последнего:

,.

Общее решение заданного неоднородного уравнения ищем в виде

.                                   (6)

Для нахождения неизвестных функций составим систему двух линейных уравнений

Так как , то

После интегрирования:

,

.

Подставив найденные функции в (6), получим искомое решение

.

 

8 Кратные и криволинейные интегралы

 

1.30  Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

.

Решение. Область интегрирования  (см. рисунок 9) ограничена линиями: , .

Парабола  и прямая  пересекаются в точке . Прямая  делит область  на две части, поэтому

 

 

Рисунок 9

 

.

2.30 Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной заданными поверхностями:

.

Решение. Первые две поверхности представляют собой прямые, круглые конус и цилиндр:

с осями, параллельными оси  (см. рисунок 10). На плоскости  они пересекаются по окружности . Значит,

 (круг).

Область  представляет собой «чернилицу» (см. рисунок 10).

Переходя к цилиндрической системе координат и считая, что  в «обычном» расположении осей координат произведена круговая перестановка:                    , получим:

 

.                            (1)

Подставив значения  и  из (1) в уравнение конуса, найдем: . Итак,  . Это приводит к трехкратному интегралу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 10

 

3.30 Проверить, является ли  данное выражение полным дифференциалом функции . Если да, то найти эту функцию:

                                                  (2)

где

.

Решение. Найдем частные производные:

Так как , то . По формуле дифференциала функции двух переменных

.                                             (3)

Сравнивая выражения (2) и (3), заключаем, что

.               (4)

Найдем неопределенный интеграл по переменной  от обеих частей первого из равенств (4):

.                            (5)

Для нахождения «постоянной» интегрирования  приравняем частную производную по  функции (5) и второе из выражений (4):

.

Отсюда

.

Окончательно,

.

4.30 Вычислить криволинейный интеграл вдоль заданной дуги :

,  - отрезок прямой, заключенный между точками  и .

Решение. Линия интегрирования есть прямая, проходящая через две заданные точки:

.

Элемент длины отрезка интегрирования

.

Заданный криволинейный интеграл I-рода приводится к определенному интегралу:

.

 

Список литературы

 

1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. –Москва: Наука 2000.

2. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. –Москва: Наука, 2001.

3. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. –Москва: Наука, 2002.

4. А.П. Рябушко и др. Индивидуальные задания по высшей математике. –Минск: Вышэйшая школа, 2000, чч 1,2,3. 

 

Содержание 

1 Векторная алгебра	2
2 Аналитическая геометрия	4
3 Пределы	8
4 Производные и их приложения	9
5 Неопределенный интеграл	12
6 Определенный интеграл и его приложения	13
7 Дифференциальные уравнения	15
8 Кратные и криволинейные интегралы	17
Список литературы	21