Некомерцеское акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
Математика 1,2
Методические указания к решению задач
повышенной трудности на практических занятиях
Алматы 2011
СОСТАВИТЕЛИ: К.М. Мұстахишев, Б.Ж. Атабай. Математика 1,2 Методические указания к решению задач повышенной трудности на практических занятиях. – Алматы: АЭжБУ, 2011, 21 с.
С методическими указаниями решены 30-ые варианты восьми заданий к СРСП (контрольных работ-коллоквиумов) из учебного пособия А.П. Рябушко и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. –Минск: Вышэйшая школа, 2000, чч 1,2,3.
Рецензент: канд.физ.-мат. наук, доцент Т.К. Каирбеков
Печатается по плану издания НАО “Алматинского университета энергетики и связи” на 2011 г.
©НАО “Алматинский университет энергетики и связи”, 2011 г.
Учебное пособие А.П. Рябушко и др. Индвидуальные задания по высшей математике. –Минск: Вышэйшая школа, 2000, чч 1,2,3. несомненно закрепилось в списке основной литературы для инженерно-технических специальностей вузов. В нем в качестве приложений приведены задания для восьми коллоквиумов-контрольных работ по разделам: «Векторная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Пределы», «Производные и их приложения», «Неопределенные интегралы», «Определенный интеграл и его приложения», «Дифференциальные уравнения», «Кратные и криволинейные интегралы». Они могут быть использованы и как задания для СРСП по соответствующим темам курса “Математика 1,2”.
Для заданий, приведенных в основной части учебного пособия, решены так называемые типовые варианты. Аналогичная методическая помощь студентам не будет лишней и по упомянутым выше заданиям.
В предлегаемом руководстве с методическими указаниями решены 30-ые варианты всех восьми заданий. Приведены необходимые формулы. Некоторые задачи решены двумя способами.
1 Векторная алгебра
1.30 Дан тетраэдр (см. рисунок 1). Положив
и
,
выразить через
и
векторы
и
(точки
и
- середины ребер
и
,
а
- середина
).
![]() |
Решение. По свойству средней линии треугольника
![](vm_1.files/image015.gif)
![](vm_1.files/image016.gif)
![](vm_1.files/image017.gif)
Рисунок 1
2.30 Найти , если
.
Решение. Так как скалярное произведение
,
то
.
Поэтому
.
3.30 Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам
и
и
образующего с осью
тупой
угол, если
.
Решение. Условия перпендикулярности векторов и
,
и
и формула скалярного квадрата для вектора
приводит к системе
уравнений
(1)
Решим отдельно первые два линейные уравнения системы:
Из второго уравнения получим:
По условию ,
следовательно,
и
.
Из третьего уравнения системы (1) найдем:
.
Требуемый вектор
.
4.30 Выяснить, для каких векторов и
выполняется условие
.
Решение. Левая часть заданного равенства представляет собой скалярный квадрат разности двух векторов:
.
Требуемое условие выполняется лишь когда , т.е.
когда заданные векторы взаимно перпендикулярны:
.
5.30 Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на
векторах и
, если за основание взят
параллелограмм, построенный на векторах
и
.
Решение. Используем геометрический смысл смешанного и векторного произведений соответственно трех и двух векторов.
Объем параллелепипеда (см. рисунок 2)
.
Площадь основания
.
![]() |
Рисунок 2
Высота параллелепипеда
.
2 Аналитическая геометрия
![]() |
1.30 Даны уравнения двух сторон треугольника:
![](vm_1.files/image048.gif)
![](vm_1.files/image049.gif)
Решение. Найдем координаты вершин
(см. рисунок 3),
считая,
Рисунок 3
что заданы уравнения сторон и
:
.
Подставив эти значения в уравнение медианы,
убеждаемся, что точка не
лежит на заданной медиане.
Рассмотрим два возможные случаи.
I. Пусть медиана опущена из вершины .
Найдем координаты точек
и
:
;
.
Точка делит
отрезок
пополам:
. Поэтому
.
Уравнение третьей стороны , как прямой, проходящей через две заданные
точки:
.
II. Предположим, что заданная медиана опущена из
вершины .
Поступая как в предыдущем случае, найдем:
. Так как
, то
.
Уравнение стороны :
.
2.30 Составить уравнение параболы, фокус которой
находится в точке ,
а вершина – в начале координат.
Решение. Каноническое уравнение заданной параболы в
системе координат (см.
рисунок 4), повернутой на
относительно
, имеет вид:
,
так как фокальный параметр определяется из условия
![]() |
![](vm_1.files/image074.gif)
Рисунок 4
Осуществим поворот на угол
по формулам:
После замены переменных уравнение параболы запишется в виде:
или
.
3.30 Найти координаты точки , лежащей внутри треугольника,
высекаемого на плоскоти
плоскостями:
,
,
и равноудаленной от этих плоскостей.
Решение. Согласно условию приравниваем расстояния
точки от трех
заданных плоскостей:
. (2)
В точках открытого (см. рисунок 5), образованного прямыми
![]() |
![](vm_1.files/image086.gif)
Рисунок 5
левые части первых двух уравнений отрицательны, а третьего уравнения положительна. Поэтому из соотношений (2) можно образовать систему уравнений
или
,
.
![]() |
4.30 Треугольник
![](vm_1.files/image091.gif)
![](vm_1.files/image092.gif)
![](vm_1.files/image093.gif)
![](vm_1.files/image056.gif)
![](vm_1.files/image094.gif)
Решение.
Рисунок 6
Вершины треугольника имеют координаты ,
, а вектор
.
Заметим, что , кроме того, по условию
, следовательно,
. Поэтому
служит нормальным
вектором плоскости
.
Уравнение этой плоскости, проходящей через ось
, имеет вид
.
Как линия пересения плоскостей треуголиников и
прямая
имеет общие уравнения
и канонические уравнения
Далее,
;
.
По-другому
3 Пределы
Найти пределы
1.30 .
После разложения квадратных трехчленов на простые множители:
.
2.30 .
И здесь применим формулу :
.
3.30 .
Числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателя:
,
.
4.30 .
Разделим числитель и знаменатель рациональной дроби на старшую степень переменной и перейдем к пределу:
.
5.30 .
Так как при ,
и
, то:
.
6.30 .
1. Приведем функцию к виду, удобному для применения формулы второго замечательного предела
:
.
2. Прологарифмируем обе части заданного равенства:
,
и учтем, что при
:
.
4 Производные и их приложения
Для решения задач 1-4.30 достаточно применять таблицу производных, правила дифференцирования и формулу производной сложной функции:
Найти производные первого порядка
1.30 .
2.30 .
.
3.30 Найти и
, если
.
Решение: ;
.
Найти вторые производные .
4.30 .
5.30 .
Решение. Считая, что , используем формулу параметрического
дифференцирования
;
,
.
Решить следующие задачи
6.30 При каком
значении параметра парабола
касается кривой
?
![]() |
Решение. При
![](vm_1.files/image158.gif)
![](vm_1.files/image159.gif)
![](vm_1.files/image160.gif)
![](vm_1.files/image161.gif)
![](vm_1.files/image162.gif)
![](vm_1.files/image163.gif)
![](vm_1.files/image156.gif)
![](vm_1.files/image164.gif)
![](vm_1.files/image165.gif)
Из первого уравнения найдем . Подставив найденное значение во второе
уравнение, получим:
.
Освобождаясь от логарифма, найдем требуемое значение параметра
.
7.30 Точка движется прямолинейно по закону . Через какой промежуток
времени после начала движения точка остановится? Найти путь, пройденный точкой
за это время?
Решение. Точка остановится, когда ее скорость
,
т.е. по истечении времени после начала движения. За это время точка
пройдет путь
ед. длины.
5 Неопределенный интеграл
Найти неопределенные интегралы
С помощью простых преобразований приходим к «табличным» интегралам:
1.30 .
2.30
3.30 Для освобождения от линейной иррациональности заменяем переменную интегрирования
.
4.30 Применяем формулу интегрирования по частям
.
.
Рассматривая полученное равенство как уравнение, где неизвестным является заданный интеграл, найдем:
.
5.30 .
Рациональную дробь под интегралом разложим в сумму простейших дробей, применяя метод неопределенных коэффициентов (произвольных значений):
Подведя числа и
под знак
дифференциала, получим
6.30 Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:
6 Определенный интеграл и его приложения
1.30 Вычислить определенный интеграл:
.
Для «рационализации» интеграла делаем замену переменной интегрирования:
2.30 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
.
Решение. Имеем несобственный интеграл -рода, так как в точке
подынтегральная функция
не ограничена. Поэтому
Заданный интеграл сходящийся.
3.30 Найти длину одной арки циклоиды .
Решение. Длина дуги плоской кривой, заданной своими параметрическими уравнениями, равна
.
По условию: .
Поэтому
4.30 Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть
пружину на ,
если сила в
растягивает
ее на
?
Известно (закон Гука), что упругая сила пружины
, где
- величина растяжения,
- постоянный коэффициент,
определяемый из условия задачи.
Решение. По условию , следовательно,
.
![]() |
В прямолинейном движении (см. рисунок 8) работа
.
7 Дифференциальные уравнения
Решить данные дифференциальные уравнения (ДТ)
1.30 .
Решение. Общее решение линейного неоднородного ДУ 1-порядка
определяется по формуле
.
По условию ,
поэтому:
2.30 .
Решение. Имеем ДУ 1-порядка с разделяющимися переменными. После простых преобразований придем к уравнению с разделенными перменными:
или
.
Взяв неопределенные интегралы от обеих частей равенства соответственно
по переменным и
, общий
интеграл заданного ДУ представим в виде:
или
.
3.30 (1)
Решение. Уравнение можно решить двумя способами: 1) путем понижения порядка и 2) как линейное неоднородное ДУ 2-порядка с постоянными коэффициентами.
1. В уравнении вместо отсутствующей независимой
переменной примем
и введем
новую неивестную функцию
. Тогда
.
Тем самым, понизив порядок заданного ДУ, придем к уравнению с разделяющимися перменными:
.
Его общее решение:
.
Это есть ДУ рассмотренного типа:
,
.
Заменив постоянные интегрирования на новые: , общее решение
заданного ДУ можно записать в виде закона гармонических колебаний:
. (2)
2. Составим и решим характеристическое уравнение
соответствующего (1) однородного уравнения :
.
Общее решение однородного уравнения:
. (3)
Ввиду отсутствия резонанса: за частное решение (1) возьмем
и составим общее
решение заданного неоднородного ДУ:
.
Заменив произвольные постоянные по схеме
,
полученное решение можно представить в виде (2).
4.30 .
(4)
Решение. Дана задача Коши. Поступая как в предыдущей
задаче, найдем общее решение (3), соответствующего (4) однородного ДУ. Ввиду
отсутствия резонанса: частное
решение неоднородного уравнения (4) будем искать в виде его правой части:
.
Подставив эти выражения в уравнение (4) и приравняв коэффициенты перед и
в обеих частях полученного
тождества, найдем:
.
Общее решение заданного ДУ и его производная:
Удовлетворив заданным начальным условиям, найдем: и решение задачи Коши
.
5.30 .
(5)
Решение. Применяем метод вариации произвольных постоянных. Для этого составим характеристическое уравнение соответствующего (5) однородного уравнения и фундаментальную систему решений последнего:
,
.
Общее решение заданного неоднородного уравнения ищем в виде
. (6)
Для нахождения неизвестных функций составим систему двух линейных уравнений
Так как ,
то
После интегрирования:
,
.
Подставив найденные функции в (6), получим искомое решение
.
8 Кратные и криволинейные интегралы
1.30 Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
.
Решение. Область интегрирования (см. рисунок 9) ограничена
линиями:
,
.
Парабола и прямая
пересекаются в точке
. Прямая
делит область
на две части, поэтому
![]() |
Рисунок 9
.
2.30 Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной заданными
поверхностями:
.
Решение. Первые две поверхности представляют собой прямые, круглые конус и цилиндр:
с осями, параллельными оси (см. рисунок 10). На плоскости
они пересекаются по
окружности
.
Значит,
(круг).
Область представляет
собой «чернилицу» (см. рисунок 10).
Переходя к цилиндрической системе координат и
считая, что в «обычном» расположении осей координат произведена круговая
перестановка: , получим:
. (1)
Подставив значения и
из (1) в уравнение конуса, найдем:
. Итак,
. Это приводит к
трехкратному интегралу
![]() |
Рисунок 10
3.30 Проверить, является ли данное выражение полным
дифференциалом функции . Если да, то найти эту функцию:
(2)
где
.
Решение. Найдем частные производные:
Так как ,
то
. По
формуле дифференциала функции двух переменных
. (3)
Сравнивая выражения (2) и (3), заключаем, что
. (4)
Найдем неопределенный интеграл по переменной от обеих частей первого из
равенств (4):
. (5)
Для нахождения «постоянной» интегрирования приравняем частную производную
по
функции (5)
и второе из выражений (4):
.
Отсюда
.
Окончательно,
.
4.30 Вычислить криволинейный интеграл вдоль заданной дуги :
,
- отрезок прямой, заключенный между
точками
и
.
Решение. Линия интегрирования есть прямая, проходящая через две заданные точки:
.
Элемент длины отрезка интегрирования
.
Заданный криволинейный интеграл I-рода приводится к определенному интегралу:
.
Список литературы
1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. –Москва: Наука 2000.
2. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Дифференциальное и интегральное исчисление. –Москва: Наука, 2001.
3. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. –Москва: Наука, 2002.
4. А.П. Рябушко и др. Индивидуальные задания по высшей математике. –Минск: Вышэйшая школа, 2000, чч 1,2,3.
Содержание
1 Векторная алгебра |
2 |
2 Аналитическая геометрия |
4 |
3 Пределы |
8 |
4 Производные и их приложения |
9 |
5 Неопределенный интеграл |
12 |
6 Определенный интеграл и его приложения |
13 |
7 Дифференциальные уравнения |
15 |
8 Кратные и криволинейные интегралы |
17 |
Список литературы |
21 |