Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графических работ
(для студентов очной формы обучения специальности
5В060200 – Информатика)
Часть 1
Алматы 2011
СОСТАВИТЕЛИ: М.Ж.Байсалова, Д.Т.Жанузакова. Геометрия. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов очной формы обучения специальности 5В060200 – Информатика. -Алматы: АУЭС, 2011.- 18 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №1 дисциплины «Геометрия» для студентов очной формы обучения специальности 5В060200 – Информатика. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
Табл. 9, библиогр. – 4 назв.
Рецензент: канд.физ.-мат.наук, доцент Л.Н.Астраханцева.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2011 г.
ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2011
1 Типовой расчёт 1. Векторная алгебра
1.1 Теоретические вопросы
1 Векторы, их длина, линейные операции над векторами
2 Линейная зависимость и независимость векторов. Геометрический смысл линейной зависимости векторов.
4 Коллинеарность, компланарность, ортогональность векторов, угол между векторами.
4 Базис, координаты векторов относительно базиса. Преобразование базиса. Матрица перехода. Проекция вектора.
5 Скалярное произведение векторов, его приложения.
6 Векторное произведение векторов, его приложения.
7 Смешанное произведение векторов, его приложения.
8 Общие аффинные и декартовы прямоугольные координаты. Понятие алгебраической линии и поверхности.
9 Преобразование координат при переходе от одной системы координат к другой.
10 Ортогональные матрицы.
11 Полярные, цилиндрические и сферические координаты.
1.2 Расчётные задания
1 Даны точки А и В. Найти:
а) найти координаты векторов и
;
б) найти длину вектора (или расстояние между точками А и В);
в) найти середину отрезка АВ:
г) координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношений .
Т а б л и ц а 1
1.1
А(9, -1,7), В(4, 4,-6) , |
1.2 А(-4, 1, 0), В(5, 1, -4)
|
1.4 А(1, 4, 5), В(7, 4,-1)
|
1.4 А(6, -2, 5), В(1, 5, 7)
|
1.5 А(1, -3, 7), В(4, 2, 6)
|
1.6 А(2, -1, 7), В(6, 2, 4)
|
1.7 А(-9 1, 7), В(2, 8, 5)
|
1.8 А(7, 1, -2), В(1, 4, 8)
|
1.9 А(3, -4, 8), В(5, 4, 7)
|
1.10 А(5 2, 3, В(4,1, -4)
|
1.11А(5, 4, -1),В(-6, 1, 2)
|
1.12А(-4, 2, 4),В(8, 7, -2)
|
1.14 А(3 4, 6), В(-1, 4, 5)
|
1.14 А(2, 6, 0), В(6, 4, -4)
|
1.15 А(5, 2, 0), В(1, -7, 8)
|
1.16 А(6 2, 5), В(-1,3, 6)
|
1.17 А(3,-1, 0), В(6,4, -1)
|
1.18А(6, 2, 2),В(-5, 7, -7)
|
1.19 А(1 -4,1), В(2,4, -2)
|
1.20А(5,-6, 4),В(10, 5, 0)
|
1.21 А(7, 5,-8), В(8, 12,7)
|
продолжение таблицы 1
1.22 А(5 -1, 4), В(4, 5, 8)
|
1.24 А(2, 5,-7), В(2, 4, 1)
|
1.24 А(8, -6, 5), В(4, 9, 5)
|
1.25А(8,6, 11),В(2, 4, -4)
|
1.26 А(5, 9, 4),В(4,-10, 7)
|
1.27 А(-9, 8, 9),В(7, 1,-2)
|
1.28 А(9 2, 6), В(5, 8, -2)
|
1.29 А(2, 8, -9),В(2, 5,-5)
|
1.40 А(-1, 7, 0), В(8, 4, 5)
|
2 Даны векторы ,
,
:
а) найти модуль (длину) вектора ;
б) найти скалярное произведение векторов и
. Будут ли эти векторы
ортогональны?
в) найти векторное произведение векторов и
;
г) найти смешанное произведение векторов ,
,
. Будут ли эти векторы компланарны?
д) проверить, будут ли векторы и
коллинеарны?
е) найти косинус угла между векторами и
;
ж) найти проекцию вектора на вектор
.
Т а б л и ц а 2
2.1
|
2.2
|
|
2.4
|
2.4
|
|
2.5
|
2.6
|
|
2.7
|
2.8
|
|
2.9
|
2.10
|
|
2.11
|
2.12
|
|
2.14
|
2.14
|
|
2.15
|
2.16
|
|
2.17
|
2.18
|
|
2.19
|
2.20
|
|
2.21
|
2.22
|
|
2.24
|
2.24
|
|
2.25
|
2.26
|
|
2.27
|
2.28
|
|
2.29
|
2.40
|
3 Даны векторы и
, где
,
,
. Найти:
а) скалярное произведение ;
б) ;
в)
Т а б л и ц а 3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1 |
-4 |
5 |
2 |
8 |
2 |
5 |
|
-4 |
1/4 |
1 |
4 |
3.2 |
3 |
3 |
3 |
7 |
1 |
9 |
|
-2 |
1/3 |
2 |
6 |
3.3 |
2 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
-3 |
1/5 |
4 |
3 |
3.4 |
1 |
6 |
4 |
5 |
8 |
1 |
|
-5 |
1/7 |
3 |
2 |
3.5 |
-1 |
2 |
9 |
7 |
7 |
5 |
|
-6 |
1/9 |
5 |
1 |
3.6 |
5 |
1 |
3 |
2 |
6 |
4 |
|
-1 |
1/8 |
9 |
6 |
3.7 |
6 |
2 |
1 |
5 |
4 |
3 |
2 |
-2 |
1/3 |
7 |
1 |
3.8 |
7 |
3 |
5 |
1 |
2 |
7 |
|
-3 |
1/6 |
1 |
4 |
3.9 |
1 |
4 |
7 |
3 |
2 |
1 |
5 |
-5 |
1/7 |
2 |
6 |
3.10 |
-2 |
1 |
6 |
5 |
1 |
4 |
9 |
-6 |
1/2 |
8 |
3 |
3.11 |
4 |
7 |
2 |
5 |
7 |
6 |
7 |
3 |
1/4 |
3 |
2 |
3.12 |
-3 |
9 |
1 |
9 |
5 |
9 |
|
-4 |
1/3 |
5 |
1 |
3.13 |
6 |
2 |
4 |
8 |
4 |
2 |
|
-2 |
1/5 |
3 |
6 |
3.14 |
2 |
3 |
5 |
7 |
3 |
1 |
|
-3 |
1/7 |
4 |
7 |
3.15 |
4 |
1 |
8 |
6 |
2 |
3 |
|
-5 |
1/9 |
6 |
1 |
3.16 |
-1 |
5 |
4 |
8 |
2 |
6 |
|
-4 |
1/4 |
1 |
4 |
3.17 |
2 |
3 |
3 |
7 |
1 |
9 |
|
-2 |
1/3 |
2 |
6 |
3.18 |
9 |
4 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
-3 |
1/5 |
4 |
3 |
3.19 |
4 |
5 |
1 |
3 |
7 |
9 |
|
-5 |
1/7 |
7 |
2 |
3.20 |
5 |
2 |
8 |
7 |
3 |
5 |
|
-6 |
1/9 |
5 |
1 |
3.21 |
7 |
1 |
3 |
2 |
6 |
4 |
|
-1 |
1/8 |
9 |
6 |
3.22 |
6 |
2 |
1 |
3 |
4 |
8 |
2 |
-2 |
1/3 |
7 |
1 |
3.23 |
2 |
3 |
5 |
1 |
2 |
7 |
|
-3 |
1/6 |
1 |
4 |
3.24 |
3 |
4 |
7 |
3 |
2 |
1 |
5 |
-5 |
1/7 |
5 |
6 |
3.25 |
4 |
1 |
6 |
5 |
1 |
7 |
9 |
-6 |
1/2 |
8 |
3 |
3.26 |
1 |
7 |
2 |
5 |
7 |
6 |
7 |
3 |
1/4 |
3 |
2 |
3.27 |
-5 |
9 |
1 |
2 |
5 |
3 |
|
-4 |
1/3 |
5 |
4 |
3.28 |
4 |
2 |
4 |
8 |
6 |
2 |
|
-2 |
1/5 |
3 |
6 |
3.29 |
-1 |
3 |
5 |
7 |
3 |
1 |
|
-3 |
1/7 |
2 |
7 |
3.30 |
2 |
1 |
8 |
5 |
2 |
3 |
|
-5 |
1/9 |
3 |
1 |
4 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах и
, если даны разложения этих векторов по базису
,
длины векторов
, угол
между векторами -
.
Т а б л и ц а 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1 |
|
3 |
5 |
|
4.16 |
|
4 |
1 |
|
4.2 |
|
4 |
2 |
|
4.17 |
|
1 |
3 |
|
продолжение таблицы 4
4.4 |
|
3 |
5 |
|
4.18 |
|
5 |
1 |
|
|
4.4
|
|
5 |
3 |
|
4.19 |
|
8 |
6 |
|
|
4.5 |
|
2 |
7 |
|
4.20
|
|
5 |
8 |
|
|
4.6
|
|
6 |
1 |
|
4.21 |
|
1 |
7 |
|
|
4.7 |
|
7 |
8 |
|
4.22 |
|
3 |
6 |
|
|
4.8
|
|
8 |
3 |
|
4.24
|
|
7 |
9 |
|
|
4.9
|
|
6 |
3 |
|
4.24
|
|
3 |
8 |
|
|
4.10 |
|
5 |
2 |
|
4.25 |
|
2 |
3 |
|
|
4.11
|
|
9 |
3 |
|
4.26
|
|
4 |
7 |
|
|
4.12
|
|
1 |
8 |
|
4.27
|
|
5 |
4 |
|
|
4.14
|
|
3 |
8 |
|
4.28
|
|
6 |
8 |
|
|
4.14
|
|
2 |
5 |
|
4.29
|
|
7 |
2 |
|
|
4.15
|
|
7 |
1 |
|
4.40
|
|
5 |
1 |
|
|
5 Даны вершины А, В, С, D пирамиды:
а) найти площадь указанной грани;
б) найти площадь сечения, проходящего через середину указанного ребра и две вершины пирамиды;
в) найти объём пирамиды;
г) найти высоту пирамиды, опущенной из вершины А на грань ВС D.
Т а б л и ц а 5
5.1 A(3, 1,7), B(-1,4,6), C(2,-1,7), D(1, 2, 8); АСD; l=BC, A, D |
5.2 A(3, -1, 7), B(5, 4, 1), C(9, 2, 8), D(7, -4, 7); ABD; l=AD, B, C |
5.4 A(2, 4, 5), B(1, 8, 7), C(8, 2, 0), D(3, 4, 10); ACD; l=BD, A, C |
5.4 A(7, 2, 5), B(8, 0, 6), C(9, 6, 5), D(1, 4, -1); BCD; l=CD, A, B |
5.5 A(8, 2, 10), B(1, 2, 0), C(4, 5,7), D(1, -4, 5); ACD; l=AB, C, D |
5.6 A(6, 4, 5), B(5, 4, -7), C(1, 2, 7), D(3, 2, 0); ACD; l=AD, B, C |
5.7 A(9, -6, 4), B(1, 5, 5), C(5, 6, 8), D(7, 10, 7); ABD; l=BD, A, C |
5.8 A(7, -1, 4), B(6, 5, 8), C(4, 5,8), D(5, 4, 1); ACD; l=BC, A, D |
5.9A(1, 4, 5), B(4, -2, 1), C(4, 5, 6), D(0, 4, 2); BCD; l=BC, A, D |
5.10 A(6, 1, 6), B(1, 4, 7), C(2, -5,8), D(6, 4, 2); ABD; l=AB, C, D |
5.11 A(8, 1, 4), B(-1, 6,1), C(2,1,6), D(5, 4, -1); ACD; l=BD, A, C |
5.12 A(4,-1,2), B(-1,0,1), C(1,1,4), D(9, 5, 8); BCD; l=AD, B, C |
5.14 A(9, 4, 4), B(1,1,5), C(4,9, 5), D(5, 6, 7); ABD; l=BD, A, C |
5.14 A(-1, 5,5), B(2, 7,1), C(5, 7, 8), D(1, 9, 2); BCD; l=BC, A, D |
5.15 A(8,-5, 4), B(4,-1,4),C(1, 5,1), D(4, 8, -1); ACD; l=AD, B, C |
5.16 A(5,1, 1), B(4, 6,6), C(4,2,0), D(4, 2, 6); ABD; l=BD, A, C |
продолжение таблицы 5
5.17 A(3, 8, 2), B(2, 4,7),C(2, 4, 7), D(5, 4, 7); ACD; l=BC, A, D |
5.18 A(3, 2, 5), B(0, 7,1), C(0, 4, 7), D(2, 5, 0); BCD; l=BC, A, D |
5.19 A(1,6,5), B(6,9,4), C(1,10,10), D(4, 5, 9); ABD; l=AB, C, D |
5.20 A(8, 5,4), B(8, 7,4), C(5,10,4), D(3, 7, 8); ACD; l=BD, A, C |
5.21 A(4, 8, 2), B(5,2, 6), C(5,7,4), D(5, 10, 9); BCD; l=AD, B, C |
5.22 A(1, 6,5), B(4, 9,5), C(4,6,11), D(5, 9, 4); ABD; l=BD, A, C |
5.24 A(1, 7,1), B(2,-1,5), C(1, 6,4), D(2, -9, 8); BCD; l=BC, A, D |
5.24 A(1, 5,4), B(9,4,4), C(4, 5,7), D(5, 9, 6); ACD; l=AD, B, C |
5.25 A(8,4,10), B(7, 9,2), C(2,8, 4), D(1, 6, 9); ABD; l=BD, A, C |
5.26 A(0, 4,7), B(-2,4,5), C(4,2,10), D(3, 2, 7); ACD; l=BC, A, D |
5.27 A(2,-2,7). B(4, 2, 1), C(2, 4,5), D(9, 4, 7); ABD; l=AC, B, D |
5.28 A(9, 2,2), B(-5,7,7), C(5,-4,1), D(5, 4, 7); ACD; l=BC, A, D |
5.29 A(4,9, 6), B(2,68,2), C(9,8,9), D(1, 10, 4); BCD; l=CD, A, B |
5.40 A(8, 5,4), B(5, 8,4), C(1, 2,-1), D(-3, 0, 2); ACD; l=AB, C, D |
6 Сила F приложена к точке А. Вычислить:
а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В;
б) модуль момента силы F относительно точки В.
Т а б л и ц а 6
6.1 F(6, -4, 7), A(5, 2, 4), B(4, 6, -5) |
6.2 F(8, 5, 2), A(7, 2, 6), B(4, -1, -5) |
6.3 F(3, -1, 6), A(1, 7,3), B(9,0, -2) |
6.4 F(2, -2, 6), A(3, 0, 4), B(1, 2, -3) |
6.5 F(5,2, 9), A(3, 1, 1), B(2, 6, 8) |
6.6 F(5, -8, 1), A(1, 2, 1), B(2, 7, 1) |
6.7 F(6, -8, 5), A(1, 2,3), B(3, 6, -5) |
6.8 F(9, -4, 2), A(8, 2, 1), B(1, 5, 4) |
6.9 F(6, -1, 6), A(4, 2, 8), B(1, 6, -5) |
6.10 F(1, -4, 5), A(9, -1, 4), B(1, 6, 8) |
6.11 F(6, 3, 2), A(3, 2, 6), B(7, 6, -5) |
6.12 F(5,2 , 3), A(5, 3, 8), B(0, 1, -2) |
6.13 F(6, -2, 1), A(8, 2, 5), B(6, 1, 2) |
6.14 F(3, -1, 0), A(9, 5, 4), B(3, 2, 1) |
6.15 F(6, -5, 4), A(9, 2, 1), B(1, 6, 3) |
6.16 F(4, -5, 1), A(-1, 2, 4), B(6, 1, 3) |
6.17 F(6, -8, 5), A(7, 2, 3), B(2, 6, 2) |
6.18 F(8, 3, 5), A(0, 2, 4), B(7, 0, 2) |
6.19 F(6, -1, 4), A(1, 2, 3), B(3, 6, 1) |
6.20 F(5, -4, 8), A(7, 0, 4), B(8, 9, -4) |
6.21 F(6, 4, 1), A(8, 2, 4), B(9, 6, 0) |
6.22 F(1, -4, 7), A(3, -1, 4), B(5, 6, 0) |
6.23 F(6, 7, 5), A(3, 2, 5), B(8, 6, -2) |
6.24 F(2, -4, 7), A(9, 3, 4), B(2, 4, 7) |
6.25 F(6, 0, 2), A(1, 2, 6), B(1, 6, -3) |
6.26 F(3, -4, 7), A(1, 7, 4), B(8, 5, -1) |
6.27 F(6, 2, 1), A(2, 9, 4), B(2, 6, -1) |
6.28 F(7, -4, 7), A(8, 9, 4), B(1, 4, 3) |
6.29 F(6, 3, 0), A(1, 2, 4), B(3, 6, -7) |
6.30 F(8, -4, 7), A(-2, 5, 4), B(0, 2, -5) |
7
Доказать, что векторы a,
b,
c образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Т а б л и ц а 7
7.1 a=(5,4,1), b=(-3,5, 2), c=(2,-1, 3), d=(7,23, 4) |
7.2 a=(2, -1,4), b=(-3, 0, -2), c=(4, 5, -3), d=(0,11, -14) |
продолжение таблицы 7
7.3 a=(-1,1,2), b=(-3,5, 2), c=(2,-1, 3), d=(28,-19, -7) |
7.4 a=(1,3,4), b=(-2,5,0), c=(3,-2, -4), d=(13,-5, -4) |
7.5 a=(1,-1,1), b=(-5,-3,1), c=(2,-1,0), d=(-15,-10,5) |
7.6 a=(3,1,2), b=(-7,-2, -4), c=(-4, 0, 3) d=(16,6,15) |
7.7 a=(-3,0,1), b=(2,7,-3), c=(-4,3,5), d=(-16,33, 13) |
7.8 a=(5,1,2), b=(-2, 1, -3), c=(4,-3,5), d=(-45,15, -66) |
7.9 a=(0,2,-3), b=(4,-3,-2), c=(-5,-4,0) d=(-19,-5,-4) |
7.10 a=(3, -1,2), b=(-2,3,1), c=(4,-5, -3), d=(-3,2, -3) |
7.11 a=(5,3,1), b=(-1,2,-3), c=(3,-4,2), d=(-9,34,-20) |
7.12 a=(3,1,-3), b=(-2,4,1), c=(1,-2,5), d=(1,12, -20) |
7.13 a=(6,1,-3), b=(-3,2,1), c=(-1,-3,4), d=(15,6,-17) |
7.14 a=(4, 2,3), b=(-3,1, -8), c=(2,-4, 5), d=(-12,14, -31) |
7.15 a=(-2,1,3), b=(3,-6,2),c=(-5,-3,-1), d=(31,-6,22) |
7.16 a=(1,3,6), b=(-3,4, -5),c=(1,-7,2), d=(8,47, 65) |
7.17 a=(7,2,1), b=(5,1,-2), c=(-3,4, 5), d=(26,11,1) |
7.18 a=(3,5,4), b=(-2,7, -5), c=(6,-2, 1), d=(6,-9, 22) |
7.19 a=(5,3,2), b=(2,-5,1), c=(-7,4, -3), d=(36,1,15) |
7.20 a=(11,1,2), b=(-3,3,4), c=(-4,-2, 7), d=(-5,11, -15) |
7.21 a=(9,5,3), b=(-3,2,1), c=(4,-7, 4), d=(-10,-13, 8) |
7.22 a=(7, 2,1), b=(3,-5 ,6), c=(-4,3 , -4), d=(-1,18, -16) |
7.23 a=(1,2,3), b=(-5,3,-1), c=(-6,4, 5), d=(-4,11,20) |
7.24 a=(-2,5,1), b=(3,2,-7), c=(4, -3,2), d=(-4,22, -13) |
7.25 a=(3,1,2), b=(-4,3,-1), c=(2,3,4), d=(14,14,0) |
7.26 a=(3,-1,2), b=(-2,4,1), c=(4,-5, -1), d=(-5,11, 1) |
7.27 a=(4,5,1), b=(1,3,1), c=(-3,-6,7), d=(19,33,0) |
7.28 a=(1, -3,1), b=(-2,-4, 3), c=(0,-2,3), d=(-8,-10, 13) |
7.29 a=(5,7,-2), b=(-3,1,3), c=(1,-4, 6), d=(14,9,-1) |
7.30 a=(-1,4,3), b=(3,2, -4), c=(-2,-7,1), d=(6,20, -3) |
8 Твердое тело вращается с постоянной угловой
скоростью вокруг
оси, проходящей через начало координат. Найти вектор
поля линейных скоростей точек
этого поля
Т а б л и ц а 8
8.1
|
8.2
|
8.3
|
8.4
|
8.5
|
8.6
|
8.7
|
8.8
|
8.9
|
8.10
|
8.11
|
8.12
|
8.13
|
8.14
|
8.15
|
продолжение таблицы 8
8.16
|
8.17
|
8.18
|
8.19
|
8.20
|
8.21
|
8.22
|
8.23
|
8.24
|
8.25
|
8.26
|
8.27
|
8.28
|
8.29
|
8.30
|
9 Линия задана уравнением в полярной системе координат.
Требуется:
а) построить линию по точкам, начиная с до
, придавая
значения через промежуток
;
б) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.
Т а б л и ц а 9
9.1
|
9.2
|
9.3
|
9.4
|
9.5
|
9.6
|
9.7
|
9.8
|
9.9
|
9.10
|
9.11
|
9.12
|
9.13
|
9.14
|
9.15
|
9.16
|
9.17
|
9.18
|
9.19
|
9.20
|
9.21
|
9.22
|
9.23
|
9.24
|
9.25
|
9.26
|
9.27
|
продолжение таблицы 8
9.28
|
9.29
|
9.30
|
1.4 Решение типового варианта
1 Даны точки А(6, -5, 3) и В(4, 1, 2):
а) найти координаты векторов и
;
б) найти длину вектора (или расстояние между точками А и В);
в) найти середину отрезка АВ.
Решение:
а) координаты вектора по координатам начала А(
) и конца
В() находят по формуле
= (
). Таким образом,
= (4-6, 1-(-5), 2-3) =
(-2, 6, -1);
=
(6-4, -5-1, 3-2) = (2, -6, 1) или
= -
= - (-2, 6, -1) = (2, -6, 1);
б) длина (модуль) вектора или расстояние между точками А и
В обозначается
и
находится по формуле
=
.
Значит,
в нашем случае =
=
;
в) середина С отрезка АВ имеет координаты С.
У
нас С= С( 5,
-2, 5/2 ).
2 Даны векторы :
а) найти модуль (длину) вектора ;
б) найти скалярное произведение векторов и
. Будут ли эти векторы
ортогональны?
в) найти векторное произведение векторов и
;
г) найти смешанное произведение векторов ,
,
. Будут ли эти векторы компланарны?
д) проверить, будут ли векторы и
коллинеарны?
е) найти косинус угла между векторами и
;
ж) найти проекцию вектора на вектор
.
Решение:
для векторов имеют место формулы:
а) модуль (длина) вектора :
;
б) скалярное произведение векторов и
:
. Если векторы ортогональны, то
;
в) векторное произведение векторов и
;
г) смешанное произведение векторов ,
,
:
, если эти векторы компланарны, то
;
д) если векторы и
коллинеарны,
то
или
;
е) косинус угла между
векторами
и
;
ж) проекция вектора на вектор
.
По этим формулам в нашем варианте мы получим:
а) ;
б) , так как
, то векторы
и
не ортогональны;
в) ;
г) Так как
, то векторы не компланарны;
д) для векторов и
:
и
,
следовательно векторы
и
не коллинеарны;
е) ;
ж) .
4 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах и
, если длины векторов равны
,
, угол
между векторами
равен
.
Решение:
по свойствам векторного произведения имеем:
. Площадь
параллелограмма, построенного на векторах
и
равна
.
5 Даны вершины пирамиды А(5,1,0), В(7,2,-1), С(3,1,5), D(2,4,-1):
а) найти площадь указанной грани АВD;
б) найти площадь сечения, проходящего через середину указанного ребра ВD и вершины А и С;
в) найти объём пирамиды.
Решение:
сделаем схематический чертеж
Рисунок 1
а) так как площадь треугольника, построенного на
векторах и
, равна
, то
. Найдем координаты
векторов
,
=(-3,3,-1).
.
(кв.ед.);
б)
К(4,5;3;-1) – середина ВD. ,
.
.
(кв.ед.);
в)
объем пирамиды, построенной на векторах ,
,
равен
. Поэтому
.
.
Таким
образом (куб.ед.).
6 Сила (3,2,4) приложена к точке А(2,-1,3).
Вычислить:
а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В(3,4,2);
б)
модуль момента силы относительно
точки В.
Решение:
а) так как ,
, то
,
;
б)
момент силы ,
,
.
Следовательно,
.
7
Доказать, что векторы =(4,2,1),
=(1,-1,1),
=(4,2,2) образуют базис,
и найти координаты вектора
=(19,11,8) в этом базисе.
Решение: вычисляем
Следовательно,
векторы ,
,
образуют базис, и вектор
линейно выражается
через базисные векторы:
или в координатной форме
.
Решим
полученную систему по формулам Крамера. Находим: ,
,
,
,
,
,
.
Поэтому
=(1,-1,4)=
–
+4
.
8 Твердое тело вращается с постоянной угловой
скоростью вокруг
оси, проходящей через начало координат. Найти вектор
поля линейных скоростей точек
этого тела.
Решение: Как известно, линейная скорость равна векторному
произведению
,
где
- вектор
угловой скорости (т.е. вектор, отложенный на оси вращения и численно равный
величине угловой скорости; этот вектор направлен так, что, если смотреть из его
конца, вращение кажется происходящим против часовой стрелки). Пусть ось
вращения тела принята за ось Oz, а
- радиус-вектор точки М вращающегося тела
относительно начала координат. Найдем вектор
.
Имеем .
9 Линия задана уравнением в полярной системе координат.
Требуется:
а) построить линию по точкам, начиная с до
, придавая
значения через промежуток
;
б) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат, у которой ось абсцисс cовпадает с полярной осью.
Решение: а) так как есть расстояние от точки до полюса, то
нужно рассматривать те значения
, при которых
. Сделаем таблицу.
|
От
0 до |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
9,43 |
3,10 |
1,73 |
1,20 |
1,23 |
1,13 |
1,1 |
В силу четности кривая будет симметрична относительно
полярной оси (оси абсцисс). Построим полученные точки и соединяем их плавной
кривой;
а) Заданное уравнение представляет собой уравнение кривых второго порядка с эксцентриситетом е=1 и с фокальным параметром р=1/2. Оно определяет параболу, у которой вершина совпадает с началом декартовой системы координат, а фокус F(1|4; 0) служит полюсом в полярной системе координат.
б) из чертежа
Рисунок 1
.
По условию:
,
,
(парабола с ветвями, направленными
вправо).
Список литературы
1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре. - Мн.: Выш. Школа, 1980. – 192 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2004. – ч. 1,2.-452 с.
4. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 4 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-496 с.
4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы, 2004.-686 с.
Содержание
1 Теоретические вопросы 3
2 Расчётные задания 3
4 Решение типового варианта 10
5 Список литературы 15
Сводный план 2011 г., поз. 225