Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИИ СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
ГЕОМЕТРИЯ
Методические указания к расчетно-графической работе и
задания
для студентов специальности 5В060200 –Информатика 2-часть
Алматы 2013
СОСТАВИТЕЛИ: Толеуова Б.Ж., АбдуллановаЖ.С. Геометрия. Методические указания к расчетно-графической работе и задания для студентов специальности 5В060200 – Информатика. 2-часть - Алматы: АУЭС, 2013.- 17 стр.
Настоящие методические указания к расчетно-графической работе для студентов специальности 5В060200 – Информатика составлены в соответствии с программой дисциплины «Геометрия» по разделу «Плоскости и прямые».
Содержатся варианты заданий, приведены необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями.
Табл. 6, библиогр. – 5 назв.
Рецензент: канд.физ.-мат.наук, доцент Нурпеисов С.А.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2012 г.
НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2013г.
Сводный план 2012 г., поз.182
1 Расчетно-графической работа №2. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространтстве
Цель расчетно-графической работы №2: усвоение студентами материала из раздела «Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве» из курса аналитической геометрии, содержащегося в работе. Привить умение использовать знания и навыки, которыми студент овладевает в процессе изучения раздела, в прикладных задачах математики. А также выявить отлично успевающих студентов с помощью более сложных заданий, приведенных в разделе «Задания второго уровня».
2 Теоретические вопросы
1. Различные виды уравнений прямой: общее уравнение, уравнение в отрезках, уравнение с угловым коэффициентом, каноническое уравнение, параметрическое уравнение.
2. Взаимное расположение двух прямых: параллельность и перпендикулярность. Угол между прямыми.
3. Расстояние от точки до прямой.
4. Различные виды уравнений плоскости: общее уравнение, уравнение
в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к заданному вектору, уравнение плоскости, проходящей через три точки.
5. Взаимное расположение двух плоскостей: параллельность и перпендикулярность. Угол между плоскостями.
6. Расстояние от точки до плоскости.
7. Уравнение прямой в пространстве.
8. Взаимное расположение двух прямых в пространстве: параллельность и перпендикулярность. Угол между прямыми.
9. Взаимное расположение прямой и плоскости: угол между прямой и плоскости.
10. Расстояние между прямыми.
3 Задания первого уровня
1-задание. Найти угловой
коэффициент данной прямой и отрезки,
отсекаемые ею на осях координат
№ |
|
№ |
|
№ |
|
1.1 |
|
1.11 |
|
1.21 |
|
1.2 |
|
1.12 |
|
1.22 |
|
1.3 |
|
1.13 |
|
1.23 |
|
1.4 |
|
1.14 |
|
1.24 |
|
1.5 |
4 |
1.15 |
|
1.25 |
|
1.6 |
|
1.16 |
|
1.26 |
|
1.7 |
|
1.17 |
|
1.27 |
|
1.8 |
|
1.18 |
|
1.28 |
|
1.9 |
|
1.19 |
|
1.29 |
|
1.10 |
|
1.20 |
|
1.30 |
|
2-задание. Написать
уравнение прямой c угловым коэффициентом , проходящей
через точку
№ |
|
|
№ |
|
|
№ |
|
|
2.1 |
|
2 |
2.11 |
|
6 |
2.21 |
|
3 |
2.2 |
|
-3 |
2.12 |
|
-8 |
2.22 |
|
-9 |
2.3 |
|
4 |
22.13 |
|
2 |
2.23 |
|
8 |
2.4 |
|
8 |
2.14 |
|
0,25 |
2.24 |
|
2 |
2.5 |
|
0,5 |
2.15 |
|
-6 |
2.25 |
|
1,25 |
2.6 |
|
-4 |
2.16 |
|
1 |
2.26 |
|
-2.2 |
2.7 |
|
3 |
2.17 |
|
5 |
2.27 |
|
4 |
2.8 |
|
5 |
2.18 |
|
-7 |
2.28 |
|
6 |
2.9 |
|
-2 |
2.19 |
|
0,2 |
2.29 |
|
3,4 |
2.10 |
|
-1 |
2.20 |
|
5 |
2.30 |
|
5 |
3-задание. Написать
уравнение прямой, проходящей через точки и
№ |
|
|
№ |
|
|
3.1 |
|
|
3.16 |
|
|
3.2 |
|
|
3.17 |
|
|
3.3 |
|
|
3.18 |
|
|
3.4 |
|
|
3.19 |
|
|
3.5 |
|
|
3.20 |
|
|
3.6 |
|
|
3.21 |
|
|
3.7 |
|
|
3.22 |
|
|
3.8 |
|
|
3.23 |
|
|
3.9 |
|
|
3.24 |
|
|
3.10 |
|
|
3.25 |
|
|
3.11 |
|
|
3.26 |
|
|
3.12 |
|
|
3.27 |
|
|
3.13 |
|
|
3.28 |
|
|
3.14 |
|
|
3.29 |
|
|
3.15 |
|
|
3.30 |
|
|
4-задание. Даны вершины
треугольника . Написать
уравнение медианы
№ |
|
|
|
№ |
|
|
|
4.1 |
|
|
|
4.16 |
|
|
|
4.2 |
|
|
|
4.17 |
|
|
|
4.3 |
|
|
|
4.18 |
|
|
|
4.4 |
|
|
|
4.19 |
|
|
|
4.5 |
|
|
|
4.20 |
|
|
|
4.6 |
|
|
|
4.21 |
|
|
|
4.7 |
|
|
|
4.22 |
|
|
|
4.8 |
|
|
|
4.23 |
|
|
|
4.9 |
|
|
|
4.24 |
|
|
|
4.10 |
|
|
|
4.25 |
|
|
|
4.11 |
|
|
|
4.26 |
|
|
|
4.12 |
|
|
|
4.27 |
|
|
|
4.13 |
|
|
|
4.28 |
|
|
|
4.14 |
|
|
|
4.29 |
|
|
|
4.15 |
|
|
|
4.30 |
|
|
|
5-задание. Найти
уравнение высоты треугольника
из задания 4.
6-задание. Написать
уравнение прямой, проходящей через вершину треугольника
, параллельно
стороне
из задания 4.
7-задание. Найти
расстояние от точки до прямой
из задания 4.
8-задание. Найти угол
между прямыми и
из задания 4.
9-задание. Даны точки ,
,
. Составить
уравнение плоскости
№ |
|
|
|
№ |
|
|
|
9.1 |
|
|
|
9.16 |
|
|
|
9.2 |
|
|
|
9.17 |
|
|
|
9.3 |
|
|
|
9.18 |
|
|
|
9.4 |
|
|
|
9.19 |
|
|
|
9.5 |
|
|
|
9.20 |
|
|
|
9.6 |
|
|
|
9.21 |
|
|
|
9.7 |
|
|
|
9.22 |
|
|
|
9.8 |
|
|
|
9.23 |
|
|
|
9.9 |
|
|
|
9.24 |
|
|
|
9.10 |
|
|
|
9.25 |
|
|
|
9.11 |
|
|
|
9.26 |
|
|
|
9.12 |
|
|
|
9.27 |
|
|
|
9.13 |
|
|
|
9.28 |
|
|
|
9.14 |
|
|
|
9.29 |
|
|
|
9.15 |
|
|
|
9.30 |
|
|
|
10-задание. Составить
уравнение прямой из задания 9.
11-задание. Даны точки ,
,
и
. Найти
расстояние от точки
до плоскости
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11.1 |
|
|
|
|
11.2 |
|
|
|
|
11.3 |
|
|
|
|
11.4 |
|
|
|
|
11.5 |
|
|
|
|
11.6 |
|
|
|
|
11.7 |
|
|
|
|
11.8 |
|
|
|
|
11.9 |
|
|
|
|
11.10 |
|
|
|
|
11.11 |
|
|
|
|
11.12 |
|
|
|
|
11.13 |
|
|
|
|
11.14 |
|
|
|
|
11.15 |
|
|
|
|
11.16 |
|
|
|
|
11.17 |
|
|
|
|
11.18 |
|
|
|
|
11.19 |
|
|
|
|
11.20 |
|
|
|
|
11.21 |
|
|
|
|
11.22 |
|
|
|
|
11.23 |
|
|
|
|
11.24 |
|
|
|
|
11.25 |
|
|
|
|
11.26 |
|
|
|
|
11.27 |
|
|
|
|
11.28 |
|
|
|
|
11.29 |
|
|
|
|
11.30 |
|
|
|
|
12-задание. Найти синус
угла между прямой и плоскостью
из задания 11.
13-задание. Найти косинус
угла между прямыми и
из задания 1
4 Задания второго уровня
14-задание. Решить следующие задачи.
14.1 Найти уравнение прямой, проходящей
через точку пересечения прямых и
и отсекающей
на оси абсцисс отрезок, равный 3.
14.2 Найти проекцию точки на прямую,
проходящую через точки
и
.
14.3 Даны две вершины треугольника :
,
и точка
пересечения его
высот. Найти вершину
.
14.4 Найти уравнение прямой, проходящей
параллельно прямой и отсекающей
на оси ординат отрезок, равный 2.
14.5 Найти уравнение прямой, проходящей
через точку и точку
пересечения прямых
и
.
14.6 Доказать, что четырехугольник – трапеция,
если
,
,
и
.
14.7. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку перпендикулярно
прямой
, если
,
.
14.8 Найти уравнение прямой, проходящей
через точку параллельно прямой
, если
,
.
14.9 Найти точку, симметричную точке относительно
прямой
.
14.10 Найти точку пересечения
диагоналей четырехугольника
, если
,
,
и
.
14.11 Через точку пересечения прямых , 2
провести
прямую, параллельную оси абсцисс.
14.12 Известны уравнения стороны треугольника
4
, его высот
2
и
2
. Найти
уравнения двух других сторон треугольника
.
14.13 Даны две вершины треугольника
,
и точка
пересечения его высот
. Найти координаты
точки
пересечения стороны
и высоты
.
14.14 Найти уравнения высот треугольника
, проходящих
через вершины
и
, если
,
,
.
14.15 Вычислить координаты точки
пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон угольника, вершинами
которого служат точки
,
,
.
14.16 Составить
уравнение высоты,
проведенной через вершину треугольника
, зная уравнения
его сторон:
,
,
.
14.17 Даны треугольник вершинами ,
и
. Найти уравнение
медианы, проведенной из вершины
, и вычислить ее
длину.
14.18 Составить
уравнение
прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения прямых и 2
.
14.19 Найти уравнения перпендикуляров к
прямой 3, проведенных
через точки пересечения данной прямой с осями координат.
14.20 Даны стороны четырехугольника ,
,
, 3
. Найти
уравнения его диагоналей.
14.21 Составить
уравнения медианы и высоты
треугольника
, если
,
,
и
.
14.22 Через точку провести прямую:
а) отсекающую равные отрезки на осях координат, б) параллельную оси ординат.
14.23 Записать уравнение прямой,
проходящей через точку и составляющей
с осью
угол: а)
, б)
, в)
.
14.24 Какую ординату
имеет точка , лежащая на одной
прямой с точками
и
и имеющая
абсциссу, равную 3.
14.25 Через точку пересечения прямых и
провести
прямую, делящую отрезок между точками
и
в отношении
.
14.26 Известны уравнения двух сторон
ромба 4, 2
и уравнение
одной из его диагоналей
. Найти уравнение
второй диагонали.
14.27 Найти точку пересечения медиан
треугольника, вершинами которого являются точки
,
,
.
14.28 Записать уравнения прямых,
проходящих через точку под углом
к прямой
.
14.29 Даны уравнения высот треугольника
2
,
и координаты
его вершины
. Найти
уравнения сторон
и
треугольника
.
14.30 Даны уравнения двух сторон
параллелограмма ,
и точка
пересечения
его диагоналей.
Найти уравнения двух других сторон.
15-задание. Решить следующие задачи.
15.1 Найти величины отрезков, отсекаемых
на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно
плоскости
.
15.2 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно
к этому отрезку,
,
.
15.3 Найти расстояние от точки до плоскости
.
15.4 Составить уравнение плоскости,
проходящей через параллельно плоскости
.
15.5 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через ось и точку
.
15.6 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точки ,
параллельно оси
.
15.7 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точку и прямую
.
15.8 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через две параллельные прямые и
.
15.9 Составить общие
уравнения
прямой,
образованной пересечением плоскости с плоскостью,
проходящей через ось
и точку
.
15.10 Составить
уравнение
плоскости в отрезках, если она проходит через точку и отсекает на
оси
отрезок, равный
, а на оси
– отрезок
.
15.11 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точку параллельно
двум векторам
и
.
15.12 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точки ,
перпендикулярно
к плоскости
.
15.13 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям
и
.
15.14 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точки ,
параллельно
вектору
.
15.15 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через начало координатперпендикулярно к вектору , если
,
.
15.16 Найти
величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через
точку параллельно
плоскости
.
15.17 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точку перпендикулярно
к отрезку
,
,
.
15.18 Показать, что прямая параллельна
плоскости
, а прямая
,
,
лежит в этой
плоскости.
15.19 Составить общее
уравнение
плоскости, проходящей через точку параллельно
координатной плоскости
.
15.20 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через ось и точку
.
15.21 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точки и
параллельно оси
.
15.22 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точку и прямую
,
,
.
15.23 Найти проекцию точки на плоскость
.
15.24 Определить, при
каком значении
плоскости
и
будут
перпендикулярны.
15.25 Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точку и отсекает на
осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.
15.26 При каких значениях и
прямая
перпендикулярна
к плоскости
?
15.27. Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точки ,
перпендикулярно
к плоскости
.
15.28. Составить
уравнение
плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям и
.
15.29. Составить
уравнение
плоскости, проходящей через точки и
параллельно
вектору
.
15.30. Определить, при
каком значении
плоскости
и
будут
перпендикулярны.
5 Методические указания к разделу «Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве». Решение типового варианта
1. Найти угловой коэффициент прямой : 4
и отрезки, отсекаемые
ею на осях координат.
Решение. Т.к. уравнение
прямой с угловым коэффициентом имеет вид , то разрешив
уравнение относительно
, получаем:
, где
.
Уравнение
вида
является
уравнением прямой в отрезках.
Перенесем свободный
член общего уравнения в правую часть и разделим обе части на -15; имеем -.
Переписав последнее уравнение в виде
,
получим уравнение данной прямой в отрезках.
2. Написать уравнение прямой c угловым
коэффициентом , проходящей
через точку
.
Решение. Воспользуемся уравнением
прямой , проходящей
через точку
с угловым
коэффициентом
:
Þ
Þ
.
3.
Написать
уравнение прямой, проходящей через точки и
.
Решение. Уравнение
прямой, проходящей через точку и
записывается в
виде
Полагая ,
,
,
в данном
уравнении, получаем
или
Итак, искомое
уравнение имеет вид .
Даны
вершины треугольника :
,
,
. Написать
уравнение медианы
.
Решение. Т.к. медиана делит сторону
на две равные
части, то сначала найдем по формулам
,
координаты
середины отрезка
:
,
.
Теперь по
известным точкам и
составляем
уравнение медианы:
или
.
Отсюда получаем искомое уравнение 2.
1.
Даны вершины треугольника :
,
,
. Написать
уравнение высоты
треугольника
.
Решение. Воспользовавшись
уравнением прямой, проходящей через две точки, получим уравнение стороны с угловым
коэффициентом:
или
, т.е.
, где
.
Известно, что
высота треугольника
перпендикулярна
стороне
. С учетом условия
перпендикулярности (
) двух прямых
и
угловой коэффициент высоты
. По точке
и угловому коэффициенту
составляем
уравнение высоты
:
или 7
.
2. Даны вершины
треугольника :
,
,
. Написать
уравнение прямой, проходящей через вершину
треугольника
, параллельно
стороне
.
Решение. Прямая,
проходящая через вершину , параллельна
стороне
. Зная угловой
коэффициент
стороны
и используя
условие параллельности двух прямых (
), получим угловой
коэффициент для этой прямой:
. Тогда
уравнение прямой, проходящей через вершину
, параллельно
стороне
имеет вид:
или 6
.
3.
Найти
расстояние от точки до прямой 4
.
Решение. Расстояние от
точки до прямой A
вычисляется по
формуле
Тогда по этой формуле найдем искомое расстояние:
4. Найти угол между прямыми и
.
Решение. Острый угол между прямыми определяется по формуле
Определим угловые коэффициенты этих прямых:
,
,
,
.
Тогда подставляя найденные значения в формулу, получим
5.
Даны точки ,
,
. Составить
уравнение плоскости
Решение. Уравнение
плоскости, проходящей через три заданные точки ,
,
можно записать
в координатной форме:
Подставляя координаты точек в формулу, получим:
или
Отсюда получим .
6.
Даны
точки и
. Написать
уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки
и
.
Решение. Учитывая уравнение прямой, проходящей через две точки
уравнение прямой можно записать
в виде
или
7. Даны точки ,
,
и
. Найти
расстояние от точки
до плоскости
Решение. Как известно из
задания 9, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :
или
Отсюда получим уравнение плоскости
:
.
Расстояние от точки
до плоскости,
заданной уравнением
, вычисляется по
формуле
Таким образом, имеем
8.
Даны
точки ,
,
и
. Найти синус
угла между прямой
и плоскостью
.
Решение. Как известно из
задания 11, уравнение плоскости имеет вид
Составим уравнение прямой :
откуда видно, что ее направляющий вектор
.
Величина угла j между прямой
и плоскостью вычисляется по
формуле
Подставляя данные в последнюю формулу, имеем
9.
Даны
точки ,
,
. Найти косинус
угла между прямыми
и
.
Решение. Если прямые заданы каноническими уравнениями:
то величина угла j между ними определяется из формулы
Напишем канонические уравнения прямых ,
:
Подставляя данные в последнюю формулу, получим:
Список литературы
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.
3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 3 ч. Ч.1– М.: Высш. школа, 1986.
4. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн.: Выш. школа, 1980.
5. Ильин В.А., Позняк В.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
Содержание
Теоретические вопросы |
3 |
Задания первого уровня |
3 |
Задания второго уровня |
7 |
Методические указания к разделу «Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве». Решение типового варианта |
11 |
Список литературы |
17 |