Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

АЛГЕБРА

5В060200 – Информатика мамандығының барлық оқу түрінің

студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар

2-бөлім

 

 

Алматы 2011 

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Қаирбеков Т., Төлеуова Б.Ж. Алгебра. 5В060200 – Информатика мамандығының барлық оқу түрінің студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. 2-бөлім -Алматы: АЭжБУ, 2011.- 19 б.

 

Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 5В060200 – Информатика мамандығының барлық оқу түрінің студенттеріне «Алгебра» пәнінің № 2 есептеу-графикалық жұмыстарын орындауға арналған.

Бұл материал көрсетілген мамандықтың «Алгебра» пәнінің «Сызықтық кеңістік. Евклид кеңістігі» тарауының бағдарламасына сәйкес құрылған.

Кесте – 12, әдеб.көрсеткіші – 9 атау.

Пікір беруші: физ.-мат.ғыл. канд., проф. Байсалова М.Ж.

 

 «Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2011 ж. жоспары бойынша басылды 

 

ã «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2011 ж.

 

 

Теориялық сұрақтар

 

1.     Бір айнымалы көпмүшеліктер сақинасы.

2.     Евклид алгоритмі. Өзара жай көпмүшеліктер.

3.     Қалдықпен бөлу алгоритмі. Ең үлкен ортақ бөлгіш.

4.     Еселі түбірлер.  Горнер әдісі. Кардано формуласымен үшінші дәрежелі теңдеуді шешу.

5.     Ішкі кеңістіктер. Векторлардың сызықты тәуелділігі. Векторлардың

координаталарын түрлендіру.

6.     Сызықты кеңістіктің базисі мен өлшемі. Бір базистен екінші базиске көшу.

7.     Евклид кеңістігіндегі екі вектордың скаляр көбейтіндісі. Ортогоналдау процесі. Коши–Буняковский теңсіздігі.

8.     Евклид кеңістігіндегі екі вектордың арасындағы бұрыш. Вектордың

нормасы. 

 

1.     Tапсырмалар

 

1.1 Бірінші деңгей тапсырмалары

 

1-тапсырма.   көпмүшелігін   көпмүшелігіне қалдықпен бөлу әдісін пайдаланып,  және  -ті табыңыз

№
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-тапсырма. Горнер схемасын пайдаланып, -ді есептеңіз

№
2.1		4
2.2
2.3		3
2.4		-1
2.5		1
2.6		2
2.7
2.8		2
2.9
2.10		2
2.11		-2
2.12		1
2.13		2
2.14		-1
2.15		1
2.16		1
2.17		2
2.18		1
2.19		1
2.20		2
2.21		1
2.22		2
2.23		1
2.24		-3
2.25		1
2.26		2
2.27		1
2.28		1
2.29		1
2.30		1

 

 

3-тапсырма. Кардано формуласын пайдаланып, теңдеуді шешіңіз

№	Тапсырма	№	Тапсырма
3.1		3.2
3.3		3.4
3.5		3.6
3.7		3.8
3.9		3.10
3.11		3.12
3.13		3.14
3.15		3.16
3.17		3.18
3.19		3.20
3.21		3.22
3.23		3.24
3.25		3.26
3.27		3.28
3.29		3.30

 

 

4-тапсырма. Берілген екі көпмүшеліктің ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз

№
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5-тапсырма. Берілген векторлардың -сызықты кеңістігінде сызықты тәуелді немесе сызықты тәуелсіз екендігін анықтаңыз

№
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30

 

 

6-тапсырма. 5-тапсырмада берілген векторлардың базистерін және кеңістіктің өлшемін табыңыз.

 

 

7-тапсырма. ,  және  векторларының базис құратындығын дәлелдеңіз және  векторының осы базистегі координаталарын табыңыз

№
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19
7.20
7.21
7.22
7.23
7.24
7.25
7.26
7.27
7.28
7.29
7.30

 

 

8-тапсырма.  және    векторлары берілген.   векторының координаталарын табыңыз

№
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9
8.10
8.11
8.12
8.13
5.14
8.15
8.16
8.17
8.18
8.19
8.20
8.21
8.22
8.23
8.24
8.25
8.26
8.27
8.28
8.29
8.30

 

 

9-тапсырма. 8-тапсырмадағы  ,     векторларының арасындағы бұрышты табыңыз.

 

 

10-тапсырма. , ,    базисінен  ,  ,    базисіне көшу матрицасын табыңыз  

№
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
10.21
10.22
10.23
10.24
10.25
10.26
10.27
10.28
10.29
10.30

 

 

11-тапсырма.    матрицасы    бір базистен   екінші базиске көшу матрицасы бола ма?  

№		№		№
11.1		11.2		11.3
11.4		11.5		11.6
11.7		11.8		11.9
11.10		11.11		11.12
11.13		11.14		11.15
11.16		11.17		11.18
11.19		11.20		11.21
11.22		11.23		11.24
11.25		11.26		11.27
11.28		11.29		11.30

 

 

12- тапсырма.  векторын нормалаңыз

№		№		№
12.1		12.2		12.3
12.4		12.5		12.6
12.7		12.8		12.9
12.10		12.11		12.12
12.13		12.14		12.15
12.16		12.17		12.18
12.19		12.20		12.21
12.22		12.23		12.24
12.25		12.26		12.27
12.28		12.29		12.30

 

 

1.2 Екінші деңгей тапсырмалары

 

13-тапсырма.   векторы   , ,    берілген. Осы векторды  жаңа   ,  ,    базисі  бойынша жіктеңіз

№
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
13.10
13.11
13.12
13.13
13.14
13.15
13.16
13.17
13.18
13.19
13.20
13.21
13.22
13.23
13.24
13.25
13.26
13.27
13.28
13.29
13.30

 

 

14-тапсырма. Евклид кеңістігінде берілген базистен ортонормалданған базис құруға болатындығын немесе болмайтындығын тексеріңіз

№
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
14.7
14.8
14.9
14.10
14.11
14.12
14.13
14.14
14.15
14.16
14.17
14.18
14.19
14.20
14.21
14.22
14.23
14.24
14.25
14.26
14.27
14.28
14.29
14.30

 

2  «Сызықтық кеңістік. Евклид кеңістігі» тарауының  есептеріне әдістемелік нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі

 

1)         көпмүшелігін   көпмүшелігіне қалдықпен бөлу әдісін пайдаланып,  және  -ті

табыңыз.

Шешуі: Қалдықпен бөлу әдісі бойынша    және  көпмүшеліктері үшін  және   көпмүшеліктері табылып, келесі теңдік орындалады:

 

,

 

мұндағы  – бөлінгіш,  – бөлгіш,  – бөлінді,  – қалдық. -тің дәрежесі - тің дәрежесінен кіші болады.

 

2

 

 

 

 

                              

 

 

Демек,   және

.   

 

2)       Горнер схемасын пайдаланып,  көпмүшесінің  нүктедегі мәнін табыңыз.

Шешуі:     көпмүшесін

-ге бөліп, келесі түрде жазайық:

,

мұндағы   .

Бөліндінің коэффициенттері мен қалдықты Горнер схемасымен анықтаймыз:

 

Берілген көпмүше үшін осы схеманы қолданамыз:

	1	-3	6	-10	16
4	1

 

Демек, .

3)       Кардано формуласын пайдаланып, теңдеуді шешіңіз:
                                    .

Шешуі:  Үшінші дәрежелі теңдеуді қарастырамыз:

                                                                                      (1)

  түрлендіруі арқылы теңдеуді мына түрге келтіреміз:

                                                                                                (2)

 

(2) теңдеудің түбірлері мына формуламен есептеледі:

,  мұндағы   ,     .

Демек,

  .

Соңғы формула Кардано формуласы деп аталады.

(2) теңдеудің түбірлері  ,    ,    ,

мұндағы  ,    , түрде болады, ал (1) теңдеудің түбірлерін мына түрде іздейміз:

,    ,    .

 

                                   

 

теңдеуінде    алмастыруын жасап, жаңа теңдеу аламыз:

                                    , 

,    ,

,      ,     

,

 .

Демек,    ,    ,   

.

 

4)         және   көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз.

Шешуі: Екі көпмүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін Евклид алгоритмін пайдалану арқылы табуға болады. Бұл алгоритм бойынша ең үлкен ортақ бөлгіш өзінің алдындағы қалдықты қалдықсыз бөлетін қалдыққа тең:

,

,

 

,

………………………………

,

 .

 

-ті -ке бөлеміз:

 

 

 

 

 

 

.  Енді  -ті  -ке бөлеміз:

___________

 

 

 

 

 

                                                   

 

-ті  -ке бөлеміз:

 

 

      

 

 

                                                            0

   қалдық      қалдыққа қалдықсыз бөлінеді, демек     –    және    көпмүшеліктерінің ең үлкен ортақ бөлгіші болады:

.

 

 

5)        ,    және    векторларының  

- сызықты кеңістігінде сызықты тәуелді немесе сызықты тәуелсіз екендігін анықтаңыз.

Шешуі:     Егер                                                  (3)

теңдігі орындалатын барлығы бірдей нөлге тең емес  , ,  сандары табылса, онда   , ,    векторлар жүйесі сызықты тәуелді, ал  (3) теңдік    үшін ғана орындалса, онда   сызықты тәуелсіз деп аталады. Векторлардың сызықты тәуелді немесе сызықты тәуелсіздігін анықтау үшін олардың координаталарынан құрылған матрицаның анықтауышын есептеу жеткілікті. Егер анықтауыш нөлден өзгеше болса, онда векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз, ал нөлге тең болған жағдайда – сызықты тәуелді болады.

Берілген векторлар үшін анықтауыш құрып, оны есептейміз:

 

,  демек векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болады.

 

6)       ,    және   векторларының базистерін және кеңістіктің өлшемін табыңыз.

Шешуі: Анықтауышты есептейміз:

,  демек векторлар сызықты тәуелді.

  және  векторларының сызықты тәуелсіз екендігі көрініп тұр, сондықтан олар базис құрады, ал   векторы  ,  векторлары арқылы жіктеледі:

.

Демек, кеңістіктің өлшемі 2-ге тең.

Векторлардың компоненттерін қойып, мына теңдікті аламыз:

                                .

Сәйкес компоненттерін теңестіру арқылы мынадай теңдеулер жүйесін аламыз:

Бұл жүйеден  ,  яғни      екендігін көреміз.

 

7)       ,    және   векторларының базис құратынын дәлелдеңіз және   векторының осы базистегі координаталарын табыңыз.

Шешуі:            .

 

    болғандықтан, жүйені   арқылы Крамер ережесі бойынша шешеміз:

,    

 

      

 

                                        .

 

8)       ,   векторлары берілген.

 векторының координаталарын табыңыз.

Шешуі:           

.

 

9)          және   векторларының арасындағы бұрышты табыңыз.

Шешуі:   Екі вектордың арасындағы бұрышты мына формула арқылы 

табамыз:

 ,

мұндағы   – осы векторлардың скаляр көбейтіндісі.

, ,

  болғандықтан,  .

 

10)     ,  ,   векторлары берілген.  , ,    базисінен  ,  ,    базисіне көшу матрицасын табыңыз.  

Шешуі: Көшу матрицасы мына түрде болады:

.

 

11)       матрицасы бір базистен   екінші базиске көшу матрицасы бола ма?  

Шешуі:     матрицасы    бір базистен   екінші базиске көшу матрицасы болу үшін оның анықтауышы нөлден өзгеше болу керек.   

Бұл матрицаның  анықтауышын есептейміз:

,

демек  матрицасы бір базистен   екінші базиске көшу матрицасы болады.

 

12)       векторын нормалаңыз.

Шешуі:   векторының нормасын (ұзындығын)  символымен белгілейді және мына формуламен есептейді:

.

Нормалаушы көбейткішті тауып, берілген векторды сол көбейткішке көбейтеміз:

 ,   ,

.

 

Јдебиеттер тізімі 

1.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.

2.     Болгов В.А, Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др.  Сборник задач по математике. – М.: Наука, 1986.

3.     Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.

4.     Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1– М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003.

5.     Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн.: Выш. школа, 1980.

6.     Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И. Е. Индивидуальные задания по высшей математике. – Мн.: Выш. школа, 1980.

7.     Ляпин С.Е., Баранова И.В. Сборник задач по элементарной математике. – М.: Учпедгиз, 1960.

8.      Бурдун А.А., Мурашко Е.А., Феденко А.С. Сборник задач по алгебре и геометрии. – Мн.: Изд-во БГУ, 1979.

9.     Солодовников А.С., Торопова Г.А. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии. – М.: Высш.шк., 1987.

  

 

Мазмұны 

 

Теориялық сұрақтар	3
1 Тапсырмалар	3
1.1   Бірінші деңгей тапсырмалары 1.2   Екінші деңгей тапсырмалары	3    11
2  «Сызықтық кеңістік. Евклид кеңістігі» тарауының  есептеріне әдістемелік нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі	13
Әдебиеттер тізімі	19