Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

АЛГЕБРА

Методические указания и задания к расчетно-графическим работам

для студентов специальности 5В060200-«Информатика»

Часть 3

 

 

 

Алматы 2012 

         Составители:   Т. Кайырбеков,   Ж.С. Абдулланова,          Б.Ж. Толеуова.Алгебра.   Методические  указания  и  задания к   расчетно-графическим работам. Часть 3.-Алматы: АУЭС, 2012.-21с. 

 

        Методическое указание подготовлено в соответствии с типовой программой по курсу «Алгебра» для специальности «Информатика».

        Методические указания  и задания к РГР содержат задачи курса алгебры для специальности «Информатика» АУЭС: «Линейные преобразования пространства. Квадратичные формы линейного отображения». 

        Даны основные теоретические вопросы программы и решение типового варианта.

  

Введение

         Это методическое указание представляет собой 3-ю часть расчетно-графической работы по курсу «Алгебра», который изучается студентами специальности «Информатика» на первом семестре.

         Так как были изданы 1 и 2-е части этого курса, которые охватили курс высшей алгебры, называемые линейной алгеброй с элементами аналитической геометрии и алгебры многочленов, появилась необходимость выпуска 3-ей части.

         Расчетно-графическая работа написана в соответствии с действующей программой по курсу «Алгебра» для студентов специальности «Информатика». Настоящее методическое указание адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения самостоятельной работы во время аудиторных занятий и выдачи индивидуальных домашних заданий. Здесь содержится материал по линейным преобразованиям пространства, по основным характеристикам линейного оператора и квадратичным формам.

         Данный РГР состоит из 12 заданий (10 заданий 1-го уровня сложности  и 2 задания 2-го уровня сложности) по 30 вариантов каждый. В конце приведено решение типового варианта, где дано подробное решение       каждого задания

1-го уровня сложности. Решение заданий 2-го уровня сложности предоставляется для самостоятельного решения студентам. Также приводятся основные  теоретические вопросы, которые должны освоить студенты по этому разделу высшей алгебры.

 

Расчетно-графическая работа №3

            Тема: Линейные преобразования пространства. Квадратичные формы.

            Цель: научить студентов применять теоретические знания для определения матрицы, характеристического уравнения, собственных зачений и собственных векторов линейного преобразования пространства, а также привить навыки  нахождения матрицы и ранга квадратичной формы и приведения ее к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования и метода Лагранжа.

 

      Задания первого уровня

            1-задание. Какими матрицами определяется линейное преобразование в трехмерном пространстве?

 

Матрицы

Матрицы

 

1

 

 

2

 

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

      2-задание. В трехмерном пространстве линейное преобразование   задано в базисе  вектором   и матрицей .

Найти ? ().

 

Матрица  , вектор

Матрица , вектор   

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

3-задание. Линейное преобразование пространства в базисе  задано       матрицей       .       Найти        матрицу ()       линейного преобразования в базисе  (для всех вариантов матрица перехода Т          находится     из         следующего           разложения: .

 

       

       

1

2

       

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

 

 

     4-задание. В трехмерном пространстве заданы линейные преобразования. Определить, какое из этих преобразований будет линейным.

 

                    Линейные преобразования 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

11

12

13

15

16

17

 

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

      5-задание. В трехмерном пространстве   линейное преобразование в определенном базисе задано матрицей . Найти собственные значения этой  матрицы.

 

          

           

         

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24.

25

26

27

28

29

30

 

     6-задание. Найти собственные векторы соответствующих собственных значений матриц из задания 5.

 

     7-задание. Найти матрицу С, приводящую к диагональному виду матрицу  линейного преобразования пространства . Матрица  является диагональной  матрицей.

 

 

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

 

      8-задание.Записать квадратичные формы в матричном виде.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

 

   

     9-задание. Найти ранг  квадратичной формы из задания 8.

 

    10-задание. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму из задания 8.

 

 

    

     Задания второго уровня

 

     11-задание. Привести к каноническому виду по методу Лагранжа квадратичную форму из задания 8.

 

     12-задание. Привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичную форму из задания 8.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

 

 

11

 

 

12

 

 

13

 

 

14

 

 

15

 

 

16

 

 

17

 

 

18

 

 

19

 

 

20

 

 

21

 

 

22

 

 

23

 

 

24

 

 

25

 

 

26

 

 

27

 

 

28

 

 

29

30

 

 

 

 

 

                                Решение типового варианта

           1-задание. Какими матрицами определяется линейное преобразование в трехмерном пространстве?

                              .

          Решение. В n-мерном пространстве линейному преобразованию   соответствует квадратная матрица n-го порядка. В нашей задаче  линейное преобразование отображает трехмерное пространство. Поэтому ему соответствует квадратная матрица 3-го порядка, т.е. ответом является вариант б).

 

         2-задание. В трехмерном пространстве линейное преобразование   задано в базисе  вектором   векторы и матрицей .

                                .

Найти ? ().

          Решение. В этом заданий мы найдем связь между координатами образа и оригинала, т.е.   . Пространство является трехмерным, поэтому

                                          .

Отсюда .  Поэтому

.

 

         3-задание. Линейное преобразование пространства в базисе  задано матрицей . Найти матрицу () линейного преобразования  в базисе  (для всех вариантов матрица перехода Т находится из следующего разложения: .

        Решение.Из заданного разложения найдем матрицу перехода Т:

                                                  .

Определитель этой матрицы не равен нулю, поэтому она будет матрицей перехода. В базисе  матрицу  линейного проебразования  можно вычислить с помощью следующей формулы: . Из этой формулы следует, что надо сперва найти обратную матрицу для матрицы перехода Т. Обратная матрица Т будет равна

.

          Матрица  линейного преобразования  в базисе  задана следующей матрицей

.

          Теперь вычислим искомую матрицу: .

 

 

         4-задание. В трехмерном пространстве заданы линейные преобразования .Определить, какое из этих преобразований будет линейным                          

        Решение. Для того, чтобы определить, какое из них линейное, достаточно проверить следующие два условия:

   

       Сначала проверим условие 1) для  преобразования f(x).

       Положим .Тогда  , и отсюда

 

           Из этого выражения очевидно, что  .

Проверим     2) условие     для    преобразования  f(x).

           Итак, выполняются два условия линейности преобразования. Отсюда следует, что преобразование f(x) линейное.

           Теперь проверим эти условия для преобразования g(x).

           Положим   .

           Тогда

Отсюда  

Тогда получается, что, т.е. не выполняется условие 1).   

           Итак, преобразование g(x) не является линейным.

          5-задание. В трехмерном пространстве   линейное преобразование в определенном базисе задано матрицей А

                                              .

         Найти собственные значения этой  матрицы.

 

          Решение. Только действительные корни характеристического уравнения могут быть собственными числами линейного преобразования.

         Составим характеристическое уравнениедля  матрицы :  

                                        .

         Вычислив этот определитель, найдем такое уравнение:  

                                               .

        Чтобы решить это уравнение, нужно его разложить на множители:

                      .

          Отсюда . Решая уравнение , получим корни . Итак, собственными значениями матрицы  будут следующие числа:  .

          6-задание. Найти собственные векторы соответствующих собственных значений матриц из задания 5.

          Решение. Любой ненулевой вектор х линейного преобразования называется собственным вектором линейного преобразования, если существует действительное число ,  для которой выполняется следующее условие  Или это равенство можно записать в таком виде.

         Раскрывая это матричное уравнение, получим следующую систему:

                       .  

         Теперь найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям  .Для этого каждое собственное значение подставим в систему (1) :

             .

 

         Ранг матрицы этой системы будет равен . Из первых двух уравнений системы получим . Теперь, положив , что ,  получим  следующий собственный вектор . Это собственный вектор соответсвующий собственному значению .

         Далее

            .

 

         Ранг матрицы этой системы равен . Решив систему, получим собственный вектор , который соответствует собственному значению .

         Аналогичным образом найдем собственный вектор для собственного значения   , который будет равен  .

         7-задание. Найти матрицу С, приводящую к диагональному виду матрицу  линейного преобразования пространства . Матрица  является диагональной  матрицей.

                                                   .

          Решение. Сначала напишем характеристическое уравнение для матрицы  :

                               .

          Решая это уравнение, получим : , .

          Теперь найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям  . Для этого рассмотрим следующую систему:

                                                 .

           Положим    .

           Решив эту систему, получим . Итак, собственному значению  соответствует собственный вектор ; собственному значению  соответствует собственный вектор .

           Таким образом, составим матрицу С, приводящую матрицу  к диагональному виду:

                                         .

           Обратная матрица для этой матрицы будет равна .

           Матрица

 будет диагональной  матрицей.

 

           8-задание.Записать квадратичную форму в матричном виде.

                  .

           Решение. Матрицу этой квадратичной формы запишем в таком виде

                                            .

           Если обозначим неизвестные через матрицу , а ее транспонированную матрицу обозначим через , то данную квадратичную форму можно заисать и в такой матричной форме:

                           .

Или .

           9-задание. Найти ранг  квадратичной формы из задания 8.   

                                       .

           Решение. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

Чтобы найти ранг данной квадратичной формы, нужно записать ее матрицу

                                            .

          Ранг этой матрицы равен . Поэтому и ранг квадратичной формы тоже будет равен 3.

          10-задание. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму из задания 8.

                  .

          Решение. Действительная квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры положительны .

Действительная квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда главные миноры четного порядка ее матрицы были положительны, а нечетного порядка-отрицательны.

          Напишем матрицу данной квадратичной  формы:

 

                                                   .

          Теперь будем вычислять главные миноры:

                 .

          Все главные миноры положительны, следовательно данная квадратичная форма является положительно определенной.

 

                                 

 

     Теоретические вопросы

1.     Линейные преобразования пространства и его матрица.

2.     Связь между матрицами в различных базисах. Подобные матрицы.

3.     Число и характеристическое уравнение линейного преобразования.

4.     Собственный вектор линейного преобразования.

5.     Ортогональная  матрица.

6.     Квадратичная  форма, ее  матрица и ранг.

7.     Матричная форма квадратичной  формы.

8.     Знакоопределенные  квадратичные формы.

9.     Приведение квадратичной формы к каноническому и  нормальному виду.

 

                                             Список литературы

1.     Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. и др. Сборник задач по линейной алгебре.     -Мн.:Высш. шк.,1980.-192 с.

2.     Мантуров О.В., Матвеев Н.А. «Курс высшей математики»-М.:Высш.шк.,      1986.-480 с.

3.     Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-Мн.:Высш. шк.,1986.-272 с.

4.     Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике: типовые расчеты.  - М.:Высш. шк.,1983.-176 с.

5.     Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.-М.:Айрис-     пресс, 2010.-608 с.

6.     Письменный Д.Т. Сборник задач по курсу высшей математики.- М.:Айрис-     пресс, 2009.-592 с.

 

                                              Содержание

 

    Введение                                                                                                                 3

    Расчетно-графическая работа № 3                                                                       4

    Задания первого уровня                                                                                        4

    Задания второго уровня                                                                                      14

    Решение типового  варианта                                                                              15

 Теоретические вопросы                                                                                      20

 Список литературы                                                                                              21