Коммерциялық емес акционерлік қоғам

АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА  ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

Жоғары математика кафедрасы

 

 

 

ТАЛДАУҒА КІРІСПЕ

5В060200 – Информатика мамандығының барлық оқу түрінің

студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 3-бөлім

 

 

Алматы 2011 

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Төлеуова Б.Ж., Кушербаева У. Талдауға кіріспе. 5В060200 – Информатика мамандығының барлық оқу түрінің студенттері үшін есептеу-графикалық жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. 3-бөлім -Алматы: АЭжБУ, 2011.- 22 б.

 

Бұл әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар 5В060200 – Информатика мамандығының барлық оқу түрінің студенттеріне «Талдауға кіріспе» пәнінің № 3 есептеу-графикалық жұмыстарын орындауға арналған.

Бұл материал көрсетілген мамандықтың «Талдауға кіріспе» пәнінің «Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар. Дифференциалдық есептеулердің көмегімен функцияны зерттеу» тарауының бағдарламасына сәйкес құрылған.

Тапсырмалар берілген және қажет теориялық мәліметтер келтірілген. Типтік нұсқаның шешуі толық көрсетілген.

Кестелер 13, без. 1, әдеб.көрсеткіші – 8 атау.

 

Пікір беруші: аға оқытушы Малькеева Г.А.

 

«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының  2011 ж. жоспары бойынша басылды 

 

ã «Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2011 ж.

Теориялық сұрақтар

 

1.     Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар.

2.     Параметрлік түрде берілген функцияны дифференциалдау.

3.     Дифференциалдық есептеулердің негізгі теоремалары.

4.     Айқындалмағандықтарды анықтау. Лопиталь ережесі.

5.     Тейлор формуласы. Кейбір функциялардың Маклорен қатарына жіктелуі.

6.     Функцияның монотондығының белгілері. Функцияның экстремумы.

7.     Функцияның графигінің ойыс, дөңес аралықтары. Иілу нүктесі.

8.     Функцияның графигінің асимптоталары. Функцияны туындының көмегімен зерттеу және графигін сызу.

 

 

1.     Бірінші деңгей тапсырмалары

 

 

1- тапсырма. Берілген    функциясы үшін   -ді есептеңіз

№

№

1.1

1.2

1

1.3

0

1.4

0

1.5

0

1.6

0

1.7

π

1.8

1

1.9

2

1.10

0

1.11

0

1.12

2

1.13

1.14

1.15

1.16

1.17

1

1.18

1

1.19

1.20

3

1.21

1.22

1.23

1.24

1

1.25

1.26

1

1.27

1.28

1

1.29

1.30

  

2- тапсырма. 1- тапсырмадағы функция үшін     формуласын жазыңыз 

  

3- тапсырма. Параметрлік түрде берілген функция үшін   -ті табыңыз 

№

Функция 

№

Функция 

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

3.17

3.18

3.19

3.20

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

 

 

4- тапсырма. Лопиталь ережесін пайдаланып, берілген шектерді табыңыз

№

а)

ә)

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

4.16

4.17

4.18

4.19

4.20

4.21

4.22

4.23

4.24

4.25

4.26

4.27

4.28

4.29

4.30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5-тапсырма. Дифференциалдыѕ кґмегімен берілген шаманы жуыќтап есептеѕіз

№

Шама

№

Шама

№

Шама

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28

5.29

5.30

 

 

6-тапсырма.   функциясын қалдық мүшесі Лагранж түріндегі Маклорен формуласы арқылы жазыңыз

№

№

№

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

6.21

6.22

6.23

6.24

6.25

6.26

6.27

6.28

6.29

6.30

 

 

7- тапсырма. Функцияның монотондық интервалдарын, экстремумдарын табыңыз

№

№

№

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

8- тапсырма. 7- тапсырмадағы функция графигінің ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табыңыз.

 

9- тапсырма. 7- тапсырмадағы функцияны толық зерттеп, графигін салыңыз.

 

 

Екінші деңгей тапсырмалары

 

 

10- тапсырма. Берілген  функция үшін  -ші ретті туындының формуласын жазыңыз

№

№

№

10.1

10.2

10.3

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

10.10

10.11

10.12

10.13

10.14

10.15

10.16

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

10.25

10.26

10.27

10.28

10.29

10.30

 

 

11- тапсырма. Лопиталь ережесін пайдаланып, берілген шектерді табыңыз

№

а)

ә)

11.1

11.2

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

11.29

11.30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12- тапсырма. Тейлор формуласы арқылы берілген шаманы   дәлдікпен жуықтап есептеңіз  

№

№

12.1

0,0001

12.2

0,01

12.3

0,00001

12.4

0,001

12.5

0,001

12.6

0,0001

12.7

0,0001

12.8

0,0001

12.9

0,00001

12.10

0,001

12.11

0,001

12.12

0,001

12.3

0,001

12.14

0,001

12.15

0,001

12.16

0,00001

12.17

0,0001

12.18

0,001

12.19

0,0001

12.20

0,001

12.21

0,001

12.22

0,0001

12.23

0,0001

12.24

0,001

12.25

0,001

12.26

0,0001

12.27

0,0001

12.28

0,001

12.29

0,001

12.30

0,001

 

 

«Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар. Дифференциалдық есептеулердің көмегімен функцияны зерттеу» тарауының  есептеріне методикалық нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі

 

1.          функциясы берілген.   ді есептеңіз.       

Шешуі. ,  

 ,  

 

2.        1- тапсырмадағы функция үшін   формуласын жазыңыз.

         Шешуі. 1- тапсырмада  табылған   -ті пайдаланамыз.   болғандықтан,   .  Демек, .

 

3.        Параметрлік түрде берілген     функциясы үшін -ті

табу керек. 

Шешуі. Параметрлік түрде берілген функцияның туындысын мына

формула бойынша табамыз:

 ,           .

 

              

 

болғандықтан,

 ,

 

 

4.     Лопиталь ережесін пайдаланып, берілген шектерді табыңыз.

а)    .

Шешуі.

 

 

ә)  .
 Шешуі.   үшін     түріндегі анықталмағандықты аламыз.

Лопиталь ережесі    немесе  түріндегі анықталмағандықтарға қолданатындықтан, бөлшектерді ортақ бөлімге келтіріп, ақырсыз аз шамалардың эквиваленттігін қолданамыз.

5.      мәнін дифференциалдың көмегімен жуықтап есептеңіз.

Шешуі.  Аргументтің өсімшесі    абсолют шамасы бойынша өте аз болса, онда функцияның дифференциалы және оның өсімшесі жуықтап алғанда өзара тең болады:

 ,

яғни       немесе                                

Соңғы формула жуықтап есептеу формуласы деп аталады.

Функция енгіземіз: ,  мұндағы  ,  , 

. Сонда

 

6.          функциясын қалдық мүшесі Лагранж түріндегі

Маклорен формуласы арқылы жазыңыз.

Шешуі.- теріс емес бүтін сан.  функциясы  кесіндісінде анықталған, , , ... ,  үзіліссіз туындыларға және  аралығында  ақырлы туындыға ие болсын. Сонда    үшін Тейлор формуласы орындалады:

 

мұндағы   -­ Лагранж түріндегі қалдық.

 үшін Маклорен формуласын аламыз:

мұндағы    

, ,  ,      ,  ,

,   болғандықтан, берілген функция мына түрде жіктеледі:

 

 

7.        функциясының монотондық интервалдарын, экстремумдарын табыңыз.

Шешуі. Функцияның туындысын тауып, нөлге теңестіріп, стационар нүктелерін анықтаймыз: 

,

            .

 

Зерттеулер нәтижесін кестеге жазамыз:

0

+

0

–

–

0

–

–

0

+

-

0

 

өспелі

кемімелі

кемімелі

жоқ

кемімелі

кемімелі

өспелі

 

8.          қисығының ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін

табыңыз.

Шешуі. Функцияның 2-ретті туындысын тауып, нөлге теңестіріп, иілу нүктелерін анықтаймыз: 

 ,         .

Зерттеулер нәтижесін кестеге жазамыз:

0

–

+

0

–

+

0

 

дөңес

ойыс

иілу нүктесі

дөңес

ойыс

 (0;0) – иілу нүктесі.               

 

9.     Функцияны толық зерттеп, графигін салыңыз:      .

Шешуі. Функцияны мына схема бойынша толық зерттейміз:

а) анықталу облысы және үзіліс нүктелері;

б) функция графигінің асимптоталары;

в) функция графигінің координаталық осьтерімен қиылысу нүктелері;

г) функцияның жұп, тақтығы;

д) монотондық интервалдары,  экстремум нүктелері;

е) қисықтың ойыс, дөңес аралықтары, иілу нүктелері;

ж) графикті сызу.

 

а) берілген функцияның анықталу облысы –  

  үзіліс нүктелерінде біржақты шектерді анықтаймыз:

 

,      .

Сонымен, –  екінші текті үзіліс нүктелері, ал  және  түзулері вертикаль асимптота болады.

б) ,   мұндағы       

түзуі көлбеу асимптота болады.  Берілген қисықтың көлбеу асимптотасы бар, жоқтығын анықтаймыз. Табамыз:

,    .

Демек, көлбеу асимптотасы бар:  ;

в) функцияның графигінің координаталық осьтерімен қиылысу нүктелері: 

;  .

Демек, график  координаталық осьтерді  (0;0)  нүктеде қияды;

г)   болғандықтан, функция тақ, яғни график координаталар басына қарағанда симметриялы;

 

д) функцияны экстремумға зерттейміз:

,, - кризистік нүктелер.   нүктелері анықталу облысына кірмейді, сондықтан олар  кризистік нүктелер болмайды.

 

0

+

0

–

–

0

–

–

0

+

-

0

 

өседі

кемиді

кемиді

экст.жоқ

кеми

ді

кемиді

өседі

е) функцияның графигінің ойыс, дөңес аралықтарын, иілу нүктелерін табамыз:

.  

0

–

+

0

–

+

0

 

дөңес

ойыс

иілу нүктесі

дөңес

ойыс

 (0;0) – иілу нүктесі.

 

ж) барлық алынған мәліметтер бойынша функцияның графигін сызамыз:

    

  

Ескерту: функцияның тақтығын пайдалана отырып, кестені  аралығында толтыру жеткілікті.

 

  

Әдебиеттер тізімі 

1.     Болгов В.А, Демидович Б.П., Ефимов А.В. и др.  Сборник задач по математике. – М.: Наука, 1986.

2.     Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977.

3.     Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1– М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003.

4.     Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебре. – Мн.: Выш. школа, 1980.

5.     Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И. Е. Индивидуальные задания по высшей математике. – Мн.: Выш. школа, 1980.

 

  

Мазмұны

          

1.

Теориялық сұрақтар 

    3

2.

Бірінші деңгей тапсырмалары 

    3

3.

Екінші деңгей тапсырмалары 

    8

4.

«Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар. Дифференциалдық есептеулердің көмегімен функцияны зерттеу» тарауының  есептеріне методикалық нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі 

  10

5.

Әдебиеттер тізімі

  17

                                                                    

2011 ж. жиынтық жоспары, реті 231