Некоммерческое акционерное общество

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

Кафедра высшей математики

 

 

 

 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания и задания

к выполнению расчетно-графических работ

(для студентов всех форм обучения специальности

5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение,

5В070300 – Информационные системы)

Часть 2

 

 

 

Алматы 2011 

СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова. Теория вероятностей    и математическая статистика.   Методические  указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов всех форм обучения специальности 5В070400– Вычислительная техника и программное обеспечение, 5В070300 – Информационные системы. Часть  2. -   Алматы: АУЭС, 2011.-  27 с. 

 

Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №2 дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех форм обучения специальности 5В070400 – Вычислительная техника и программное   обеспечение, 5В070300 – Информационные системы. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.

          Табл. 6, библиогр. –    5  назв.

Рецензент: канд.физ.-мат.наук, проф. С.Е.Базарбаева.

 

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2011 г.

 

ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2011 г.

 

1 Типовой расчёт. Основные законы распределения случайных величин. Математическая статистика

 

1.1 Теоретические вопросы

 

1 Биномиальное распределение, распределение Пуассона.

2 Равномерное и показательное распределения, функция надёжности.

3 Нормальное распределение (вероятность попадания в интервал, функция Лапласа, функция распределения, вероятность заданного отклонения, правило трёх сигм).

4 Понятие о предельных теоремах. Закон больших чисел, центральная предельная теорема.

5 Предмет математической статистики и её основные задачи. Основные понятия (выборка, объём выборки, варианты, статистический ряд, интервальный ряд).

6 Эмпирическая функция распределения, полигон, гистограмма.

Определение неизвестных параметров распределения (выборочная средняя, выборочная и исправленная выборочная дисперсии).

7 Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

8 Точность и надёжность оценки. Доверительный интервал. Доверитель-

ный интервал для оценки мат. ожидания нормально распределённой случайной величины с известным .

9 Понятие корреляционной зависимости. Коэффициент корреляции, положительная и отрицательная корреляции. Функции и линии регрессии.

 

         1.2 Расчётные задания

 

         Биномиальное распределение

1. Среди N отобранных деталей m% нестандартных. Составить закон распределения числа нестандартных деталей среди отобранных.

Т а б л и ц а 1

N

m

N

m

N

m

1.1

3

10

1.11

4

15

1.21

3

11

1.2

2

12

1.12

5

13

1.22

2

16

1.3

4

20

1.13

3

14

1.23

4

29

1.4

5

25

1.14

2

20

1.24

5

10

1.5

3

30

1.15

4

27

1.25

3

17

1.6

2

10

1.16

5

20

1.26

2

21

1.7

4

15

1.17

3

19

1.27

4

22

1.8

5

17

1.18

2

23

1.28

5

24

1.9

3

12

1.19

4

11

1.29

3

18

1.10

2

15

1.20

5

28

1.30

2

22

 

 

Распределение Пуассона

2. Радиоаппаратура состоит из N элементов. Вероятность отказа одного элемента в течении одного года работы равна р и не зависит от состояния других элементов. а) Составить закон распределения числа отказавших элементов; б) какова вероятность отказа не менее m элементов в год?

Т а б л и ц а 2

N

m

р

N

m

р

2.1

2000

4

0,001

2.16

1500

3

0,002

2.2

1000

5

0,007

2.17

2000

4

0,001

2.3

3000

7

0,004

2.18

1000

5

0,007

2.4

2000

5

0,002

2.19

3500

1

0,002

2.5

1000

6

0,005

2.20

2000

5

0,001

2.6

5000

2

0,001

2.21

1000

6

0,005

2.7

2000

4

0,001

2.22

4500

2

0,003

2.8

1500

5

0,008

2.23

2000

4

0,001

2.9

3500

7

0,004

2.24

1000

5

0,007

2.10

2000

2

0,003

2.25

3000

7

0,004

2.11

1500

6

0,005

2.26

2000

5

0,002

2.12

4000

2

0,006

2.27

1000

6

0,005

2.13

8000

2

0,001

2.28

6500

8

0,007

2.14

6500

6

0,002

2.29

7000

6

0,002

2.15

3000

2

0,005

2.30

5500

9

0,004

 

Равномерное распределение

         3. Варианты 1-15.

Цена деления измерительного прибора равна a. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта. Найти:

а) её плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка меньшая (большая) m.

Построить графики F(x) и f(x).

         Варианты 16 - 30 .

Трамваи некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения а минут. Случайная величина Х – время ожидания трамвая. Найти:

а) её плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать трамвай менее (более) m минут.

Построить графики F(x) и f(x). 

 

Т а б л и ц а 3

а

m

а

m

а

m

3.1

0,8

0,04

3.11

0,3

0,08

3.21

19

8

3.2

0,3

0,02

3.12

0,6

0,01

3.22

20

5

3.3

0,1

0,06

3.13

0,9

0,06

3.23

25

5

3.4

0,5

0,01

3.14

0,5

0,05

3.24

9

3

3.5

0,6

0,05

3.15

0,8

0,07

3.25

14

7

3.6

0,9

0,02

3.16

5

3

3.26

18

9

3.7

0,1

0,08

3.17

10

4

3.27

24

8

3.8

0,7

0,01

3.18

15

5

3.28

6

3

3.9

0,4

0,06

3.19

6

2

3.29

12

6

3.10

0,5

0,07

3.20

20

10

3.30

16

8

 

         Показательное распределение.

4. Время безотказной работы элемента (случайная величина Т) имеет показательное распределение с параметром , где  - интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени. Найти:

а) плотность распределения f(t);

б) функцию распределения F(t), указать её вероятностный смысл;

в) функцию надёжности R(t), указать её вероятностный смысл;

г) математическое ожидание, дисперсию;

д) вероятность того, что за время t элемент откажет и вероятность того, что за время t элемент не откажет.

Построить графики F(t), R(t) и f(t).

Т а б л и ц а 4

t

t

t

4.1

1

5

4.11

2

5

4.21

3

8

4.2

2

10

4.12

3

10

4.22

4

4

4.3

3

6

4.13

4

6

4.23

6

3

4.4

4

8

4.14

6

8

4.24

7

2

4.5

6

4

4.15

7

4

4.25

8

1

4.6

7

3

4.16

8

3

4.26

9

10

4.7

8

2

4.17

9

2

4.27

10

6

4.8

9

1

4.18

10

1

4.28

1

7

4.9

10

7

4.19

1

10

4.29

2

8

4.10

1

9

4.20

2

6

4.30

3

2

 

Нормальный закон распределения

5. Случайная ошибка измерения (случайная величина Х) подчинена нормальному закону распределения с параметрами а и . Найти:

а) плотность распределения f(х);

б) функцию распределения F(х);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность попадания в интервал ;

д) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине .

Построить графики F(t) и f(t).

Т а б л и ц а 5

а

а

5.1

10

1

8

14

2

5.16

10

2

9

14

2

5.2

12

2

7

14

3

5.17

12

4

5

14

3

5.3

14

3

10

15

5

5.18

14

1

9

15

5

5.4

11

5

9

12

3

5.19

11

6

8

12

3

5.5

13

2

6

13

2

5.20

13

4

6

17

2

5.6

12

3

7

15

4

5.21

12

9

8

15

4

5.7

10

2

8

17

2

5.22

10

3

6

17

2

5.8

12

4

6

14

6

5.23

12

5

6

13

6

5.9

14

6

11

19

5

5.24

14

2

12

19

5

5.10

15

5

8

12

3

5.25

15

3

4

12

3

5.11

17

4

6

14

2

5.26

17

1

5

14

2

5.12

12

5

7

18

4

5.27

12

4

9

18

4

5.13

18

5

6

12

3

5.28

11

3

4

12

3

5.14

10

4

6

15

2

5.29

17

2

5

19

5

5.15

12

3

5

18

4

5.30

13

5

6

18

3

 

Математическая статистика.

6. Для заданной выборки определить:

а) вариационный ряд (выборку в порядке возрастания);

б) интервальный статистический ряд (минимальную и максимальную варианты, размах выборки, число интервалов, длину интервалов);

в) по интервальному статистическому ряду построить гистограмму частот и относительных частот;

г) построить дискретный статистический ряд;

д) по дискретному статистическому ряду найти:

   1) полигон частот и относительных частот;

   2) эмпирическую функцию распределения;

   3) выборочную среднюю;

   4) выборочную и исправленную выборочную дисперсии;

   5) исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;

   6) выборочные моду и медиану.

 

Т а б л и ц а 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.1

112

101

155

137

109

129

152

128

132

116

 

125

125

142

140

125

118

125

135

149

145

 

106

109

138

145

118

128

125

105

122

138

 

120

118

133

118

129

149

124

153

132

118

 

132

132

138

128

122

115

143

140

122

152

 

128

118

126

132

134

123

122

159

112

110

 

112

121

105

117

112

129

129

118

112

116

6.2

87

85

91

94

102

80

75

102

99

101

 

120

122

101

88

80

97

92

91

94

82

 

115

100

97

91

87

116

121

101

123

97

 

88

90

101

95

93

92

88

94

98

99

 

95

105

112

116

118

108

95

99

92

100

 

94

106

112

122

100

92

93

82

111

102

 

100

101

123

97

90

104

108

101

96

111

6.3

547

565

587

553

548

554

561

562

551

572

 

565

555

563

568

586

549

575

537

581

553

 

543

568

574

564

547

549

553

572

535

555

 

552

545

554

571

569

539

549

553

562

561

 

558

563

563

547

552

562

554

563

558

572

 

577

554

552

566

557

551

552

571

551

552

 

599

561

552

551

561

538

533

541

588

558

6.4

90

123

132

85

122

105

125

142

99

125

 

118

105

115

92

115

142

98

123

103

144

 

106

92

118

105

118

86

125

105

122

138

 

102

130

112

98

115

120

118

103

118

129

 

112

115

88

118

103

102

95

124

106

135

 

95

124

103

102

118

112

115

92

115

119

 

103

122

94

112

97

128

102

116

125

132

6.5

139

112

132

85

122

105

125

142

99

125

 

116

105

92

115

98

123

103

144

115

142

 

106

92

118

86

125

105

122

138

105

118

 

102

130

112

98

115

120

118

103

118

129

 

112

115

88

118

103

102

95

124

106

135

 

95

124

103

102

118

112

115

103

95

122

 

125

118

96

126

98

106

128

118

126

103

 

134

112

101

105

117

92

129

99

118

112

 

 

Продолжение таблицы 6

6.6

154

143

155

113

155

171

168

153

135

168

 

145

168

122

163

117

165

132

139

107

125

 

146

152

142

132

152

161

148

136

138

149

 

157

178

149

195

146

166

182

135

136

170

 

155

152

145

198

192

143

159

116

126

155

 

163

169

165

148

151

153

139

166

138

128

 

168

157

143

179

165

159

149

141

102

169

6.7

470

801

790

306

364

1195

1033

402

1120

780

 

1030

840

369

551

707

635

703

801

859

475

 

279

797

789

875

698

1258

1021

1035

910

856

 

1095

741

473

988

737

787

667

649

1179

939

 

532

885

59

1159

975

1109

731

869

435

889

 

1258

967

1095

531

775

485

756

656

680

741

 

1095

458

511

857

536

699

474

789

1085

303

6.8

450

434

424

432

440

443

415

446

423

472

 

442

452

444

425

403

458

455

431

446

424

 

438

442

482

432

416

477

431

432

412

462

 

496

468

424

438

452

446

418

474

432

452

 

466

488

452

489

451

422

442

492

473

402

 

481

468

404

498

467

398

440

449

417

425

 

444

498

466

442

483

462

492

435

449

422

6.9

250

244

224

232

240

224

244

226

253

232

 

248

216

230

254

258

202

225

224

252

234

 

242

212

231

251

204

246

232

282

242

252

 

296

242

254

218

226

252

238

224

298

260

 

276

254

282

242

270

254

260

232

268

242

 

244

276

224

240

272

268

281

234

268

251

 

271

212

234

262

204

261

254

266

278

248

6.10

165

143

152

167

164

199

171

171

156

149

 

147

155

158

145

158

177

161

181

153

171

 

175

153

174

154

163

174

152

188

162

197

 

187

158

154

171

163

172

152

178

151

172

 

153

186

147

169

147

166

161

171

161

186

 

148

161

189

199

162

167

198

168

135

152

 

154

175

163

149

162

161

161

193

172

175

 

161

164

178

138

164

172

187

178

143

161

 

 

Продолжение таблицы 6

6.11

153

174

154

163

174

152

188

162

197

234

 

188

158

154

171

163

172

152

178

151

172

 

155

186

147

169

147

166

161

171

161

186

 

149

161

189

199

162

167

198

168

135

152

 

156

175

163

149

162

161

161

193

172

175

 

162

164

178

138

164

172

187

178

143

161

 

165

163

177

161

149

146

152

139

156

152

6.12

212

231

251

204

246

232

282

242

252

276

 

297

242

254

218

226

252

238

224

298

260

 

277

254

282

242

270

254

260

232

268

242

 

345

276

224

240

272

268

281

234

268

232

 

272

212

234

292

204

261

254

266

278

248

 

253

262

256

264

272

242

244

246

253

234

 

237

264

252

248

247

268

229

235

262

212

 

238

242

254

263

261

266

254

264

248

251

6.13

165

143

52

166

164

199

171

171

156

 

 

148

155

158

145

158

177

161

181

153

171

 

176

153

174

154

163

174

152

188

162

197

 

189

158

154

171

163

172

152

178

151

172

 

157

186

147

169

147

166

161

171

161

186

 

150

161

189

199

162

167

198

168

135

152

 

158

175

163

149

162

161

161

193

172

175

6.14

216

230

254

258

202

225

224

252

234

250

 

243

212

231

251

204

246

232

282

242

252

 

298

242

254

218

226

252

238

224

298

260

 

278

254

282

242

270

254

260

232

268

242

 

246

276

224

240

272

268

281

234

268

232

 

273

212

234

262

201

261

254

266

278

248

 

254

262

256

264

272

242

244

246

253

234

 

239

264

252

248

247

268

229

235

262

212

 

242

254

263

261

266

254

264

248

251

276

6.15

165

143

152

167

165

199

171

171

156

152

 

149

155

158

145

158

177

161

181

153

171

 

153

174

154

163

174

152

188

162

197

178

 

190

158

154

171

163

172

152

178

151

172

 

159

186

147

169

147

166

161

171

161

186

 

151

161

189

199

162

167

198

168

135

152

 

160

175

163

149

162

161

161

193

172

175

 

165

164

178

137

164

172

187

178

143

161

 

 

Продолжение таблицы 6

6.16

147

153

179

165

159

149

141

102

169

157

 

169

154

143

155

113

155

171

168

153

135

 

150

152

142

132

152

161

148

136

138

149

 

157

178

149

195

146

166

182

135

136

170

 

156

152

145

198

192

143

159

116

126

155

 

164

169

165

148

151

153

139

166

138

128

 

169

169

155

152

175

177

131

154

174

187

 

180

177

162

149

146

113

151

152

134

125

6.17

558

563

569

547

552

562

554

549

575

578

 

561

552

551

561

538

533

547

552

557

543

 

547

565

587

553

548

554

561

564

562

558

 

566

555

563

568

586

549

575

564

553

555

 

567

556

546

552

543

554

556

566

592

562

 

544

568

574

564

547

549

553

578

557

561

 

553

545

554

571

569

539

549

538

575

554

 

577

552

566

557

551

552

546

584

572

535

6.18

577

568

5574

564

547

549

553

578

557

575

 

554

5455

554

571

569

539

549

538

575

566

 

558

563

563

547

552

562

554

549

575

558

 

547

595

587

553

548

554

561

564

562

544

 

555

563

568

586

549

575

564

553

585

592

 

577

554

552

566

557

551

552

546

584

556

 

601

561

552

551

561

538

533

547

552

557

 

555

541

588

558

563

558

572

578

539

556

 

553

562

561

572

535

555

543

556

546

538

6.19

77

45

49

92

13

69

52

26

22

36

 

48

25

59

57

65

69

55

68

49

63

 

38

53

48

68

52

73

42

62

71

45

 

63

55

16

78

52

95

77

66

35

54

 

68

55

49

65

79

48

59

53

41

38

 

12

39

57

51

65

66

43

52

63

43

 

55

69

31

62

48

46

51

43

16

34

 

74

51

82

52

46

75

49

55

57

54

6.20

347

365

387

348

354

361

364

362

346

358

 

365

355

363

368

359

375

364

353

385

363

 

343

368

374

364

347

349

353

378

357

358

 

352

345

354

352

371

369

349

338

375

388

 

366

358

363

347

352

362

354

349

375

341

 

377

354

352

366

357

351

352

346

384

351

 

399

363

361

352

351

361

338

353

333

357

  

Продолжение таблицы 6

6.21

9

9

6

9

9

7

6

11

6

7

 

6

10

6

7

6

8

6

5

5

4

 

6

6

7

12

5

7

8

5

10

9

 

7

7

5

11

9

7

6

5

7

6

 

5

5

12

9

8

7

9

8

5

5

 

6

13

11

11

5

8

10

9

4

7

 

3

6

9

8

12

11

9

10

4

14

6.22

39

40

38

43

41

42

40

38

41

42

 

41

40

42

39

41

41

36

43

41

42

 

34

36

37

42

42

42

40

41

41

46

 

47

48

52

56

68

70

68

64

56

58

 

41

42

39

33

34

37

43

45

47

71

 

43

42

43

41

42

47

48

49

52

53

 

57

52

41

42

46

48

49

39

32

40

 

39

37

42

43

54

58

59

64

66

68

6.23

10

15

16

17

18

19

20

15

16

11

 

17

12

13

14

15

11

18

16

15

18

 

20

20

21

23

26

28

23

28

27

24

 

27

24

25

25

26

32

33

31

34

43

 

26

32

26

27

28

29

30

21

22

23

 

42

24

23

35

23

25

36

37

24

21

 

58

54

49

47

32

36

43

23

24

28

6.24

150

144

124

132

140

124

144

153

151

148

 

116

130

154

158

102

125

124

152

134

148

 

142

121

112

131

151

104

146

132

182

142

 

152

196

142

154

158

118

126

152

138

124

 

144

176

124

140

172

168

181

134

168

132

 

144

112

134

162

104

161

154

166

178

148

 

162

164

164

172

142

144

146

112

171

 

6.25

128

105

115

92

115

142

98

123

103

144

 

112

115

88

118

103

102

95

124

106

135

 

95

124

103

102

118

112

115

92

115

119

 

92

112

132

85

122

105

125

142

99

125

 

106

92

118

105

118

86

125

105

122

138

 

102

130

112

98

115

120

118

103

118

129

 

103

122

94

112

97

128

102

116

125

132

 

Продолжение таблицы 6

6.26

102

112

118

85

112

115

103

95

122

125

 

157

178

149

195

146

166

182

135

136

170

 

157

143

179

165

159

149

141

102

169

168

 

151

168

122

163

117

165

132

139

107

125

 

152

152

142

132

152

161

148

136

138

149

 

153

154

143

155

113

155

171

168

153

135

 

157

152

145

198

192

143

159

116

126

155

 

165

169

165

148

151

153

139

166

138

128

6.27

242

254

218

226

252

238

224

298

260

287

 

250

216

230

254

258

202

225

224

252

234

 

244

212

231

251

204

246

232

282

242

252

 

299

254

282

242

270

254

260

232

268

242

 

276

224

240

272

268

281

234

268

232

300

 

274

212

234

262

204

261

254

266

278

248

 

255

262

256

264

272

242

244

246

253

234

 

240

264

252

248

247

268

229

235

262

212

 

241

254

263

261

266

254

264

248

251

 

6.28

262

267

275

266

246

252

261

269

262

268

 

259

248

266

259

252

248

252

232

269

287

 

253

286

275

235

202

239

225

236

237

224

 

253

268

277

249

248

263

243

266

212

255

 

249

288

213

264

247

242

228

277

256

251

 

267

232

258

246

278

279

257

255

243

258

 

254

244

265

274

252

265

222

269

254

278

 

249

252

294

232

269

263

269

271

245

235

 

259

292

217

273

255

251

251

246

277

245

6.29

558

565

587

553

548

554

561

564

562

544

 

563

568

586

549

575

564

553

585

577

553

 

563

564

547

552

562

554

549

575

558

592

 

546

577

568

574

564

547

549

553

578

557

 

557

577

568

574

564

547

549

538

575

566

 

558

554

552

566

557

551

552

546

584

532

 

602

561

552

551

561

538

533

547

552

557

 

556

541

588

558

563

558

572

578

539

556

 

557

553

562

561

572

535

555

543

556

546

 

559

571

537

581

553

562

551

572

552

543

 

Продолжение таблицы 6

6.30

165

143

152

167

164

199

171

171

156

151

 

155

155

158

145

158

177

161

181

153

171

 

177

153

174

154

163

174

152

188

162

197

 

191

158

154

171

163

172

152

178

151

172

 

161

186

147

169

147

166

161

171

161

186

 

161

189

199

162

167

198

168

135

152

146

 

162

175

163

149

162

161

161

193

172

175

 

153

164

178

138

164

172

187

178

1433

161

 

170

163

177

161

149

146

152

139

156

152

  

1.3 Решение типового варианта

 

1 Среди 6 отобранных деталей 25% нестандартных. Составить закон

 распределения числа нестандартных деталей среди отобранных.

         Решение:

дискретная случайная величина Х – число нестандартных деталей среди отобранных. Её возможные значения: (нет нестандартных деталей среди отобранных), (одна нестандартная деталь среди отобранных) и т.д. (шесть нестандартных деталей среди отобранных). Возможные значения независимы и вероятность появления каждого из них одинакова и равна р=0,25, поэтому случайная величина Х распределена по биномиальному закону: , где , , .

         Итак, =0,178;

=0,356; =0,297;

=0,132; =0,033;

=0,004; =0,0002.

         Искомый закон распределения:

Х

0

1

2

3

4

5

6

р

0,178

0,356

0,297

0,132

0,033

0,004

0,0002

Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.

,

,

,

,

,

,

,

.

Анализ биномиального распределения удобно проводить в среде  Mathcad с использованием специальных функций с корневым словом binom (dbinom, pbinom, qbinom, rbinom). Например, функция dbinom(k,n,p) выводит значения вероятностей и т.д.

 

2 Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течении одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. а) Составить закон распределения числа отказавших элементов; б) какова вероятность отказа не менее 2 элементов в год?

Решение:

а) дискретная случайная величина Х – число отказавших элементов распределена по закону Пуассона (предельный для биномиального закон распределения, когда вероятность р появления события в каждом испытании мала, а число n проводимых испытаний велико): , где ==1, , .

Таким образом, =0,368; = 0,368; =0,184;

0,061, и т.д. =0,0000001 и т.д. Искомый закон распределения:

Х

0

1

2

3

10

р

0,368

0,368

0,184

0,061

0,0000001

Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.

,

,

,

,

,

,

,

.

 

(это ),

,

,

.

б) вероятность отказа не менее двух элементов вычисляется по формуле:

 или  = 1 - 0,368 - 0,368 = 0,264  или p(1,1)=0,736.

.

 В среде  Mathcad закону распределения Пуассона соответствуют специальные функции с корневым словом pois (dpois, ppois, qpois, rpois). Например, функция dpois(k,n,p) выводит значения вероятностей и т.д.

 

         3 а) Цена деления измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта. Найти:

а) её плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка меньшая (большая) 0,04.

Построить графики F(x) и f(x).

Решение:

случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта распределена равномерно между двумя целыми делениями;  –  длина интервала, в котором заключены возможные значения Х. Плотность равномерного распределения находится по формуле ;

функция распределения –  ;

математическое ожидание и дисперсия – , ; вероятность попадания в интервал  –  .

Поэтому в нашей задаче:

         а) ;

         б) ;

         в) ;

г) ясно, что при отсчёте будет сделана ошибка меньшая 0,04, если она попадёт в интервал (0; 0,04) или в интервал (0,16; 0,2) (событие А), т.е. вероятность этого события равна =+ =

==0,4; при отсчёте будет сделана ошибка большая 0,04, если она попадёт в интервал (0,04; 0,16) (событие В), т.е. вероятность этого события равна ===0,6 или .

Построим графики F(x) и f(x) в системе Mathcad.

 

         ,

 

,

 

 

3 б)  Трамваи некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Случайная величина Х – время ожидания трамвая. Найти:

а) её плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать трамвай менее (более) 3 минут.

Построить графики F(x) и f(x).

Решение:

– случайная величина Х – время ожидания трамвая распределена

равномерно между двумя последовательными прибытиями автобуса;  – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х. Все формулы для равномерного распределения смотри в предыдущей задаче 3а.

В нашей задаче:

         а) ;

         б) ;

         в) ;

г) ясно, что, пассажир будет ждать трамвай менее 3 минут, если он подойдёт к остановке в интервал времени (0; 3) или, что всё равно, в интервал (2; 5) (событие А), т.е. вероятность этого события равна ==

==0,6;, пассажир будет ждать трамвай более 3 минут, если он подойдёт к остановке в интервал времени (0; 2) или, что всё равно, в интервал (3; 5) (событие В), т.е. вероятность этого события равна   =  = ==0,4 или .

Построим графики F(x) и f(x) в системе Mathcad.

,

.

 

В среде  Mathcad равномерному закону распределения соответствуют специальные функции с корневым словом unif: dunif(x,a,b)– выводит значения плотности распределения; punif(x,a,b) –  выводит значения функции распределения;  runif(n,a,b) – выводит массив из n значений независимых случайных чисел, распределённых равномерно в интервале (a,b).

 

4 Время безотказной работы элемента (случайная величина Т) имеет показательное распределение с параметром , где  –  интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени. Найти:

а) плотность распределения f(t);

б) функцию распределения F(t), указать её вероятностный смысл;

в) функцию надёжности R(t), указать её вероятностный смысл;

г) математическое ожидание, дисперсию;

д) вероятность того, что за время t=5ч. элемент откажет и вероятность того, что за время t=5ч. элемент не откажет.

Построить графики F(t), R(t) и f(t).

Решение:

показательным называют закон распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью . Другие понятия и формулы для показательного распределения: -

 

функция распределения; если случайная величина Х=Т –  время безотказной работы элемента, то  определяет вероятность отказа элемента за время t; –  функция надёжности, определяет вероятность безотказной работы элемента за время  t;

 

, , .

        

В нашей задаче, учитывая то, что , имеем:

         а) ;

         б) , определяет вероятность отказа элемента за время t;

         в) , определяет вероятность безотказной работы элемента за время t;

         г) ; ;

 

 

д) поскольку функция распределения определяет вероятность отказа за время t, то, подставив в неё t=5, получим вероятность отказа за время t=5ч: =0,918; события «элемент откажет» и «элемент не откажет» - противоположные, поэтому вероятность безотказной работы элемента за время t=5 равна 1-0,918=0,082. Этот же результат можно  получить непосредственно, пользуясь функцией надёжности: =0,082.

Построим графики F(t), R(t) и f(t) и сделаем некоторые вычисления в системе Mathcad:

 

 

,

.

 

 

,

 

,

 

 

.

 

 

 

В среде  Mathcad показательному закону распределения соответствуют специальные функции с корневым словом exp: dexp(x,) – выводит значения плотности распределения; pexp(x,) –  выводит значения функции распределения;  rexp(n, ) – выводит массив из n значений независимых случайных чисел, распределённых по показательному закону с параметром .

 

5 Случайная ошибка измерения (случайная величина Х) подчинена нормальному закону распределения с параметрами а=10 и =2. Найти:

а) плотность распределения f(х);

б) функцию распределения F(х);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность попадания в интервал ;

д) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине =3.

Построить графики F(t) и f(t).

Решение: нормальным называют закон распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью , где а =M(x) – математическое ожидание, –  среднее квадратическое отклонение Х. Другие понятия и формулы для нормального распределения: функция распределения –  или , где  –  функция Лапласа, её значения табулированы или их можно найти в системе Mathcad ;

;

вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на ,  находится по формуле: .

В нашей задаче

а) ;

б) ;

в) , , ;

г) ==0,4772-0,3413=0,1359;

д) вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине =3 будет равна = =0,4332.

Здесь значения функции Лапласа взяты из таблицы, хотя их можно было бы найти в системе Mathcad, где нормальному закону распределения соответствуют функции, в названии имеющие корневое слово norm и начинающиеся с букв d, p, q, r.  Например, dnorm (x,a, ) – выводит значения плотности распределения f(x); pnorm (x,a,) –   выводит значения функции распределения F(x). Воспользуемся этими функциями для построения соответствующих графиков. Копия файла из Mathcad приведена ниже.

,

.

 

 

6  Дана выборка

20

15

17

19

23

18

21

15

16

13

20

16

19

20

14

20

16

14

20

19

15

19

17

16

15

22

21

12

10

21

18

14

14

18

18

13

19

18

20

23

16

20

19

17

19

17

21

17

19

17

13

17

11

18

19

 

 

 

 

 

Определить:

а) вариационный ряд (выборку в порядке возрастания);

б) интервальный статистический ряд (минимальную и максимальную варианты, размах выборки, число интервалов, длину интервалов);

в) по интервальному статистическому ряду построить гистограмму частот и относительных частот;

г) построить дискретный статистический ряд;

д) по дискретному статистическому ряду найти:

   1) полигон частот и относительных частот;

   2) эмпирическую функцию распределения;

   3) выборочную среднюю;

   4) выборочную и исправленную выборочную дисперсии;

   5) исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;

   6) выборочные моду и медиану.

Решение: заметим, что вычисления и построение графиков производится в среде Mathcad. Копия файла из Mathcad приведена ниже. То, что получено в Mathcad следует оформить и пояснить.

а) объём выборки n = 55. Вариационный ряд (выборка в порядке возрастания):

 

  

(в среде Mathcad эта таблица просматривается вся нажатием на указатель направления движения);

         б) для построения интервального статистического ряда определим сначала следующее: наибольшая и наименьшая варианты: , ; размах выборки: ; величину интервалов

 

найдём по формуле Стерджеса , = 1,917 и округляем до целого ; число интервалов –  знаменатель этой формулы   или =6,781, округляем до целого ; за начало первого интервала рекомендуется брать величину , ; число, вариант, попавших в каждый интервал ( т.е. частоты ) и относительные частоты (  т.е. ) найдены в среде Mathcad (см. и ).

Таким образом, искомый интервальный ряд имеет вид:

интервалы

[9,11)

[11,13)

[13,15)

[15,17)

[17,19)

[19,21)

[21,23]

1

2

6

9

13

16

8

0,018

0,036

0,109

0,164

0,236

0,291

0,145

в) по интервальному статистическому ряду построим гистограмму частот и относительных частот (в среде Mathcad):

г) для построения дискретного статистического ряда (или в некоторых учебниках его называют группированным статистическим рядом) найдём середины интервалов  (см. в  Mathcad), им будут отвечать соответствующие частоты и относительные частоты из интервального ряда.

 Искомый дискретный статистический ряд:

10

12

14

16

18

20

22

1

2

6

9

13

16

8

0,018

0,036

0,109

0,164

0,236

0,291

0,145

 

д) по дискретному статистическому ряду найдём:

   1) полигон частот и относительных частот:

 

   2) эмпирическую функцию распределения (см.и  в  Mathcad):

 

,

3) выборочную среднюю (см. mean(X) в  Mathcad):  или =17,564;

4) выборочную и исправленную выборочную дисперсии (см. var(X) и s в  Mathcad):  или  = 8,428 –  выборочная дисперсия; = 8,584 –  исправленная выборочная дисперсия;

5) исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение (см.  в  Mathcad): ;

 

6) выборочные моду и медиану (см. mode(X) и median(X) в  Mathcad):

мода = 19 определяет варианту, имеющую наибольшую частоту; медиана =18 определяет середину вариационного ряда и зависит от чётности объёма выборки: .

         Копия файла из Mathcad :

.

.

 

.

,

,

 

,

 

 

 

 

,

 

,

 

,

  

 

,

  

,

  

,

,

,

 

,

,

 

,

  

,

 

,

 

,

  

.

  

,

  

,

  

,

  

,

 

,

 

,

,

 

,

,

,

,

,

,

,

,

.

,

 

  

,

,

,

 

.

  

 

 

Список литературы  

       1. Ивановский Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами изадачами в среде Mathcad. - СПб.: БХВ- Петербург, 2008. – 528 с.

       2. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики,  случайные процессы. – М.: Айрис -пресс, 2006. – 288 с.

       3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. школа, 2003.- 279 с.

       4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. школа, 1999.- 400 с.

         5. Базарбаева С.Е., Ералиев С. Математика.  Теория вероятностей и математическая статистика. Задания к расчетно-графическим работам. – Алматы: АИЭС, 2003. – 32 с. 

 

 

Содержание

1 Теоретические вопросы                                                                                     3

2 Расчётные задания                                                                                              3

4 Решение типового варианта                                                                            13

Список литературы                                                                                             27


                                                                                  Сводный план  2011 г., поз.