Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
Кафедра высшей математики
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Методические указания и задания
к выполнению расчетно-графических работ
(для студентов всех форм обучения специальности
5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение,
5В070300 – Информационные системы)
Часть 2
Алматы 2011
СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, М.Ж.Байсалова. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания и задания к выполнению расчетно-графической работы для студентов всех форм обучения специальности 5В070400– Вычислительная техника и программное обеспечение, 5В070300 – Информационные системы. Часть 2. - Алматы: АУЭС, 2011.- 27 с.
Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №2 дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов всех форм обучения специальности 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение, 5В070300 – Информационные системы. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.
Табл. 6, библиогр. – 5 назв.
Рецензент: канд.физ.-мат.наук, проф. С.Е.Базарбаева.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2011 г.
ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2011 г.
1 Типовой расчёт. Основные законы распределения случайных величин. Математическая статистика
1.1 Теоретические вопросы
1 Биномиальное распределение, распределение Пуассона.
2 Равномерное и показательное распределения, функция надёжности.
3 Нормальное распределение (вероятность попадания в интервал, функция Лапласа, функция распределения, вероятность заданного отклонения, правило трёх сигм).
4 Понятие о предельных теоремах. Закон больших чисел, центральная предельная теорема.
5 Предмет математической статистики и её основные задачи. Основные понятия (выборка, объём выборки, варианты, статистический ряд, интервальный ряд).
6 Эмпирическая функция распределения, полигон, гистограмма.
Определение неизвестных параметров распределения (выборочная средняя, выборочная и исправленная выборочная дисперсии).
7 Точечные и интервальные оценки параметров распределения.
8 Точность и надёжность оценки. Доверительный интервал. Доверитель-
ный интервал для оценки мат. ожидания нормально распределённой случайной величины с известным .
9 Понятие корреляционной зависимости. Коэффициент корреляции, положительная и отрицательная корреляции. Функции и линии регрессии.
1.2 Расчётные задания
Биномиальное распределение
1. Среди N отобранных деталей m% нестандартных. Составить закон распределения числа нестандартных деталей среди отобранных.
Т а б л и ц а 1
№ |
N |
m |
№ |
N |
m |
№ |
N |
m |
1.1 |
3 |
10 |
1.11 |
4 |
15 |
1.21 |
3 |
11 |
1.2 |
2 |
12 |
1.12 |
5 |
13 |
1.22 |
2 |
16 |
1.3 |
4 |
20 |
1.13 |
3 |
14 |
1.23 |
4 |
29 |
1.4 |
5 |
25 |
1.14 |
2 |
20 |
1.24 |
5 |
10 |
1.5 |
3 |
30 |
1.15 |
4 |
27 |
1.25 |
3 |
17 |
1.6 |
2 |
10 |
1.16 |
5 |
20 |
1.26 |
2 |
21 |
1.7 |
4 |
15 |
1.17 |
3 |
19 |
1.27 |
4 |
22 |
1.8 |
5 |
17 |
1.18 |
2 |
23 |
1.28 |
5 |
24 |
1.9 |
3 |
12 |
1.19 |
4 |
11 |
1.29 |
3 |
18 |
1.10 |
2 |
15 |
1.20 |
5 |
28 |
1.30 |
2 |
22 |
Распределение Пуассона
2. Радиоаппаратура состоит из N элементов. Вероятность отказа одного элемента в течении одного года работы равна р и не зависит от состояния других элементов. а) Составить закон распределения числа отказавших элементов; б) какова вероятность отказа не менее m элементов в год?
Т а б л и ц а 2
№ |
N |
m |
р |
№ |
N |
m |
р |
2.1 |
2000 |
4 |
0,001 |
2.16 |
1500 |
3 |
0,002 |
2.2 |
1000 |
5 |
0,007 |
2.17 |
2000 |
4 |
0,001 |
2.3 |
3000 |
7 |
0,004 |
2.18 |
1000 |
5 |
0,007 |
2.4 |
2000 |
5 |
0,002 |
2.19 |
3500 |
1 |
0,002 |
2.5 |
1000 |
6 |
0,005 |
2.20 |
2000 |
5 |
0,001 |
2.6 |
5000 |
2 |
0,001 |
2.21 |
1000 |
6 |
0,005 |
2.7 |
2000 |
4 |
0,001 |
2.22 |
4500 |
2 |
0,003 |
2.8 |
1500 |
5 |
0,008 |
2.23 |
2000 |
4 |
0,001 |
2.9 |
3500 |
7 |
0,004 |
2.24 |
1000 |
5 |
0,007 |
2.10 |
2000 |
2 |
0,003 |
2.25 |
3000 |
7 |
0,004 |
2.11 |
1500 |
6 |
0,005 |
2.26 |
2000 |
5 |
0,002 |
2.12 |
4000 |
2 |
0,006 |
2.27 |
1000 |
6 |
0,005 |
2.13 |
8000 |
2 |
0,001 |
2.28 |
6500 |
8 |
0,007 |
2.14 |
6500 |
6 |
0,002 |
2.29 |
7000 |
6 |
0,002 |
2.15 |
3000 |
2 |
0,005 |
2.30 |
5500 |
9 |
0,004 |
Равномерное распределение
3. Варианты 1-15.
Цена деления измерительного прибора равна a. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта. Найти:
а) её плотность распределения f(x);
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание, дисперсию;
г) вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка меньшая (большая) m.
Построить графики F(x) и f(x).
Варианты 16 - 30 .
Трамваи некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения а минут. Случайная величина Х – время ожидания трамвая. Найти:
а) её плотность распределения f(x);
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание, дисперсию;
г) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать трамвай менее (более) m минут.
Построить графики F(x) и f(x).
Т а б л и ц а 3
№ |
а |
m |
№ |
а |
m |
№ |
а |
m |
3.1 |
0,8 |
0,04 |
3.11 |
0,3 |
0,08 |
3.21 |
19 |
8 |
3.2 |
0,3 |
0,02 |
3.12 |
0,6 |
0,01 |
3.22 |
20 |
5 |
3.3 |
0,1 |
0,06 |
3.13 |
0,9 |
0,06 |
3.23 |
25 |
5 |
3.4 |
0,5 |
0,01 |
3.14 |
0,5 |
0,05 |
3.24 |
9 |
3 |
3.5 |
0,6 |
0,05 |
3.15 |
0,8 |
0,07 |
3.25 |
14 |
7 |
3.6 |
0,9 |
0,02 |
3.16 |
5 |
3 |
3.26 |
18 |
9 |
3.7 |
0,1 |
0,08 |
3.17 |
10 |
4 |
3.27 |
24 |
8 |
3.8 |
0,7 |
0,01 |
3.18 |
15 |
5 |
3.28 |
6 |
3 |
3.9 |
0,4 |
0,06 |
3.19 |
6 |
2 |
3.29 |
12 |
6 |
3.10 |
0,5 |
0,07 |
3.20 |
20 |
10 |
3.30 |
16 |
8 |
Показательное распределение.
4. Время безотказной работы элемента (случайная величина Т) имеет показательное распределение с параметром , где - интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени. Найти:
а) плотность распределения f(t);
б) функцию распределения F(t), указать её вероятностный смысл;
в) функцию надёжности R(t), указать её вероятностный смысл;
г) математическое ожидание, дисперсию;
д) вероятность того, что за время t элемент откажет и вероятность того, что за время t элемент не откажет.
Построить графики F(t), R(t) и f(t).
Т а б л и ц а 4
№ |
|
t |
№ |
|
t |
№ |
|
t |
4.1 |
1 |
5 |
4.11 |
2 |
5 |
4.21 |
3 |
8 |
4.2 |
2 |
10 |
4.12 |
3 |
10 |
4.22 |
4 |
4 |
4.3 |
3 |
6 |
4.13 |
4 |
6 |
4.23 |
6 |
3 |
4.4 |
4 |
8 |
4.14 |
6 |
8 |
4.24 |
7 |
2 |
4.5 |
6 |
4 |
4.15 |
7 |
4 |
4.25 |
8 |
1 |
4.6 |
7 |
3 |
4.16 |
8 |
3 |
4.26 |
9 |
10 |
4.7 |
8 |
2 |
4.17 |
9 |
2 |
4.27 |
10 |
6 |
4.8 |
9 |
1 |
4.18 |
10 |
1 |
4.28 |
1 |
7 |
4.9 |
10 |
7 |
4.19 |
1 |
10 |
4.29 |
2 |
8 |
4.10 |
1 |
9 |
4.20 |
2 |
6 |
4.30 |
3 |
2 |
Нормальный закон распределения
5. Случайная ошибка измерения (случайная величина Х) подчинена нормальному закону распределения с параметрами а и . Найти:
а) плотность распределения f(х);
б) функцию распределения F(х);
в) математическое ожидание, дисперсию;
г) вероятность попадания в интервал ;
д) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине .
Построить графики F(t) и f(t).
Т а б л и ц а 5
№ |
а |
|
|
|
|
№ |
а |
|
|
|
|
5.1 |
10 |
1 |
8 |
14 |
2 |
5.16 |
10 |
2 |
9 |
14 |
2 |
5.2 |
12 |
2 |
7 |
14 |
3 |
5.17 |
12 |
4 |
5 |
14 |
3 |
5.3 |
14 |
3 |
10 |
15 |
5 |
5.18 |
14 |
1 |
9 |
15 |
5 |
5.4 |
11 |
5 |
9 |
12 |
3 |
5.19 |
11 |
6 |
8 |
12 |
3 |
5.5 |
13 |
2 |
6 |
13 |
2 |
5.20 |
13 |
4 |
6 |
17 |
2 |
5.6 |
12 |
3 |
7 |
15 |
4 |
5.21 |
12 |
9 |
8 |
15 |
4 |
5.7 |
10 |
2 |
8 |
17 |
2 |
5.22 |
10 |
3 |
6 |
17 |
2 |
5.8 |
12 |
4 |
6 |
14 |
6 |
5.23 |
12 |
5 |
6 |
13 |
6 |
5.9 |
14 |
6 |
11 |
19 |
5 |
5.24 |
14 |
2 |
12 |
19 |
5 |
5.10 |
15 |
5 |
8 |
12 |
3 |
5.25 |
15 |
3 |
4 |
12 |
3 |
5.11 |
17 |
4 |
6 |
14 |
2 |
5.26 |
17 |
1 |
5 |
14 |
2 |
5.12 |
12 |
5 |
7 |
18 |
4 |
5.27 |
12 |
4 |
9 |
18 |
4 |
5.13 |
18 |
5 |
6 |
12 |
3 |
5.28 |
11 |
3 |
4 |
12 |
3 |
5.14 |
10 |
4 |
6 |
15 |
2 |
5.29 |
17 |
2 |
5 |
19 |
5 |
5.15 |
12 |
3 |
5 |
18 |
4 |
5.30 |
13 |
5 |
6 |
18 |
3 |
Математическая статистика.
6. Для заданной выборки определить:
а) вариационный ряд (выборку в порядке возрастания);
б) интервальный статистический ряд (минимальную и максимальную варианты, размах выборки, число интервалов, длину интервалов);
в) по интервальному статистическому ряду построить гистограмму частот и относительных частот;
г) построить дискретный статистический ряд;
д) по дискретному статистическому ряду найти:
1) полигон частот и относительных частот;
2) эмпирическую функцию распределения;
3) выборочную среднюю;
4) выборочную и исправленную выборочную дисперсии;
5) исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;
6) выборочные моду и медиану.
Т а б л и ц а 6
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.1 |
112 |
101 |
155 |
137 |
109 |
129 |
152 |
128 |
132 |
116 |
|
125 |
125 |
142 |
140 |
125 |
118 |
125 |
135 |
149 |
145 |
|
106 |
109 |
138 |
145 |
118 |
128 |
125 |
105 |
122 |
138 |
|
120 |
118 |
133 |
118 |
129 |
149 |
124 |
153 |
132 |
118 |
|
132 |
132 |
138 |
128 |
122 |
115 |
143 |
140 |
122 |
152 |
|
128 |
118 |
126 |
132 |
134 |
123 |
122 |
159 |
112 |
110 |
|
112 |
121 |
105 |
117 |
112 |
129 |
129 |
118 |
112 |
116 |
6.2 |
87 |
85 |
91 |
94 |
102 |
80 |
75 |
102 |
99 |
101 |
|
120 |
122 |
101 |
88 |
80 |
97 |
92 |
91 |
94 |
82 |
|
115 |
100 |
97 |
91 |
87 |
116 |
121 |
101 |
123 |
97 |
|
88 |
90 |
101 |
95 |
93 |
92 |
88 |
94 |
98 |
99 |
|
95 |
105 |
112 |
116 |
118 |
108 |
95 |
99 |
92 |
100 |
|
94 |
106 |
112 |
122 |
100 |
92 |
93 |
82 |
111 |
102 |
|
100 |
101 |
123 |
97 |
90 |
104 |
108 |
101 |
96 |
111 |
6.3 |
547 |
565 |
587 |
553 |
548 |
554 |
561 |
562 |
551 |
572 |
|
565 |
555 |
563 |
568 |
586 |
549 |
575 |
537 |
581 |
553 |
|
543 |
568 |
574 |
564 |
547 |
549 |
553 |
572 |
535 |
555 |
|
552 |
545 |
554 |
571 |
569 |
539 |
549 |
553 |
562 |
561 |
|
558 |
563 |
563 |
547 |
552 |
562 |
554 |
563 |
558 |
572 |
|
577 |
554 |
552 |
566 |
557 |
551 |
552 |
571 |
551 |
552 |
|
599 |
561 |
552 |
551 |
561 |
538 |
533 |
541 |
588 |
558 |
6.4 |
90 |
123 |
132 |
85 |
122 |
105 |
125 |
142 |
99 |
125 |
|
118 |
105 |
115 |
92 |
115 |
142 |
98 |
123 |
103 |
144 |
|
106 |
92 |
118 |
105 |
118 |
86 |
125 |
105 |
122 |
138 |
|
102 |
130 |
112 |
98 |
115 |
120 |
118 |
103 |
118 |
129 |
|
112 |
115 |
88 |
118 |
103 |
102 |
95 |
124 |
106 |
135 |
|
95 |
124 |
103 |
102 |
118 |
112 |
115 |
92 |
115 |
119 |
|
103 |
122 |
94 |
112 |
97 |
128 |
102 |
116 |
125 |
132 |
6.5 |
139 |
112 |
132 |
85 |
122 |
105 |
125 |
142 |
99 |
125 |
|
116 |
105 |
92 |
115 |
98 |
123 |
103 |
144 |
115 |
142 |
|
106 |
92 |
118 |
86 |
125 |
105 |
122 |
138 |
105 |
118 |
|
102 |
130 |
112 |
98 |
115 |
120 |
118 |
103 |
118 |
129 |
|
112 |
115 |
88 |
118 |
103 |
102 |
95 |
124 |
106 |
135 |
|
95 |
124 |
103 |
102 |
118 |
112 |
115 |
103 |
95 |
122 |
|
125 |
118 |
96 |
126 |
98 |
106 |
128 |
118 |
126 |
103 |
|
134 |
112 |
101 |
105 |
117 |
92 |
129 |
99 |
118 |
112 |
Продолжение таблицы 6
6.6 |
154 |
143 |
155 |
113 |
155 |
171 |
168 |
153 |
135 |
168 |
|
145 |
168 |
122 |
163 |
117 |
165 |
132 |
139 |
107 |
125 |
|
146 |
152 |
142 |
132 |
152 |
161 |
148 |
136 |
138 |
149 |
|
157 |
178 |
149 |
195 |
146 |
166 |
182 |
135 |
136 |
170 |
|
155 |
152 |
145 |
198 |
192 |
143 |
159 |
116 |
126 |
155 |
|
163 |
169 |
165 |
148 |
151 |
153 |
139 |
166 |
138 |
128 |
|
168 |
157 |
143 |
179 |
165 |
159 |
149 |
141 |
102 |
169 |
6.7 |
470 |
801 |
790 |
306 |
364 |
1195 |
1033 |
402 |
1120 |
780 |
|
1030 |
840 |
369 |
551 |
707 |
635 |
703 |
801 |
859 |
475 |
|
279 |
797 |
789 |
875 |
698 |
1258 |
1021 |
1035 |
910 |
856 |
|
1095 |
741 |
473 |
988 |
737 |
787 |
667 |
649 |
1179 |
939 |
|
532 |
885 |
59 |
1159 |
975 |
1109 |
731 |
869 |
435 |
889 |
|
1258 |
967 |
1095 |
531 |
775 |
485 |
756 |
656 |
680 |
741 |
|
1095 |
458 |
511 |
857 |
536 |
699 |
474 |
789 |
1085 |
303 |
6.8 |
450 |
434 |
424 |
432 |
440 |
443 |
415 |
446 |
423 |
472 |
|
442 |
452 |
444 |
425 |
403 |
458 |
455 |
431 |
446 |
424 |
|
438 |
442 |
482 |
432 |
416 |
477 |
431 |
432 |
412 |
462 |
|
496 |
468 |
424 |
438 |
452 |
446 |
418 |
474 |
432 |
452 |
|
466 |
488 |
452 |
489 |
451 |
422 |
442 |
492 |
473 |
402 |
|
481 |
468 |
404 |
498 |
467 |
398 |
440 |
449 |
417 |
425 |
|
444 |
498 |
466 |
442 |
483 |
462 |
492 |
435 |
449 |
422 |
6.9 |
250 |
244 |
224 |
232 |
240 |
224 |
244 |
226 |
253 |
232 |
|
248 |
216 |
230 |
254 |
258 |
202 |
225 |
224 |
252 |
234 |
|
242 |
212 |
231 |
251 |
204 |
246 |
232 |
282 |
242 |
252 |
|
296 |
242 |
254 |
218 |
226 |
252 |
238 |
224 |
298 |
260 |
|
276 |
254 |
282 |
242 |
270 |
254 |
260 |
232 |
268 |
242 |
|
244 |
276 |
224 |
240 |
272 |
268 |
281 |
234 |
268 |
251 |
|
271 |
212 |
234 |
262 |
204 |
261 |
254 |
266 |
278 |
248 |
6.10 |
165 |
143 |
152 |
167 |
164 |
199 |
171 |
171 |
156 |
149 |
|
147 |
155 |
158 |
145 |
158 |
177 |
161 |
181 |
153 |
171 |
|
175 |
153 |
174 |
154 |
163 |
174 |
152 |
188 |
162 |
197 |
|
187 |
158 |
154 |
171 |
163 |
172 |
152 |
178 |
151 |
172 |
|
153 |
186 |
147 |
169 |
147 |
166 |
161 |
171 |
161 |
186 |
|
148 |
161 |
189 |
199 |
162 |
167 |
198 |
168 |
135 |
152 |
|
154 |
175 |
163 |
149 |
162 |
161 |
161 |
193 |
172 |
175 |
|
161 |
164 |
178 |
138 |
164 |
172 |
187 |
178 |
143 |
161 |
Продолжение таблицы 6
6.11 |
153 |
174 |
154 |
163 |
174 |
152 |
188 |
162 |
197 |
234 |
|
188 |
158 |
154 |
171 |
163 |
172 |
152 |
178 |
151 |
172 |
|
155 |
186 |
147 |
169 |
147 |
166 |
161 |
171 |
161 |
186 |
|
149 |
161 |
189 |
199 |
162 |
167 |
198 |
168 |
135 |
152 |
|
156 |
175 |
163 |
149 |
162 |
161 |
161 |
193 |
172 |
175 |
|
162 |
164 |
178 |
138 |
164 |
172 |
187 |
178 |
143 |
161 |
|
165 |
163 |
177 |
161 |
149 |
146 |
152 |
139 |
156 |
152 |
6.12 |
212 |
231 |
251 |
204 |
246 |
232 |
282 |
242 |
252 |
276 |
|
297 |
242 |
254 |
218 |
226 |
252 |
238 |
224 |
298 |
260 |
|
277 |
254 |
282 |
242 |
270 |
254 |
260 |
232 |
268 |
242 |
|
345 |
276 |
224 |
240 |
272 |
268 |
281 |
234 |
268 |
232 |
|
272 |
212 |
234 |
292 |
204 |
261 |
254 |
266 |
278 |
248 |
|
253 |
262 |
256 |
264 |
272 |
242 |
244 |
246 |
253 |
234 |
|
237 |
264 |
252 |
248 |
247 |
268 |
229 |
235 |
262 |
212 |
|
238 |
242 |
254 |
263 |
261 |
266 |
254 |
264 |
248 |
251 |
6.13 |
165 |
143 |
52 |
166 |
164 |
199 |
171 |
171 |
156 |
|
|
148 |
155 |
158 |
145 |
158 |
177 |
161 |
181 |
153 |
171 |
|
176 |
153 |
174 |
154 |
163 |
174 |
152 |
188 |
162 |
197 |
|
189 |
158 |
154 |
171 |
163 |
172 |
152 |
178 |
151 |
172 |
|
157 |
186 |
147 |
169 |
147 |
166 |
161 |
171 |
161 |
186 |
|
150 |
161 |
189 |
199 |
162 |
167 |
198 |
168 |
135 |
152 |
|
158 |
175 |
163 |
149 |
162 |
161 |
161 |
193 |
172 |
175 |
6.14 |
216 |
230 |
254 |
258 |
202 |
225 |
224 |
252 |
234 |
250 |
|
243 |
212 |
231 |
251 |
204 |
246 |
232 |
282 |
242 |
252 |
|
298 |
242 |
254 |
218 |
226 |
252 |
238 |
224 |
298 |
260 |
|
278 |
254 |
282 |
242 |
270 |
254 |
260 |
232 |
268 |
242 |
|
246 |
276 |
224 |
240 |
272 |
268 |
281 |
234 |
268 |
232 |
|
273 |
212 |
234 |
262 |
201 |
261 |
254 |
266 |
278 |
248 |
|
254 |
262 |
256 |
264 |
272 |
242 |
244 |
246 |
253 |
234 |
|
239 |
264 |
252 |
248 |
247 |
268 |
229 |
235 |
262 |
212 |
|
242 |
254 |
263 |
261 |
266 |
254 |
264 |
248 |
251 |
276 |
6.15 |
165 |
143 |
152 |
167 |
165 |
199 |
171 |
171 |
156 |
152 |
|
149 |
155 |
158 |
145 |
158 |
177 |
161 |
181 |
153 |
171 |
|
153 |
174 |
154 |
163 |
174 |
152 |
188 |
162 |
197 |
178 |
|
190 |
158 |
154 |
171 |
163 |
172 |
152 |
178 |
151 |
172 |
|
159 |
186 |
147 |
169 |
147 |
166 |
161 |
171 |
161 |
186 |
|
151 |
161 |
189 |
199 |
162 |
167 |
198 |
168 |
135 |
152 |
|
160 |
175 |
163 |
149 |
162 |
161 |
161 |
193 |
172 |
175 |
|
165 |
164 |
178 |
137 |
164 |
172 |
187 |
178 |
143 |
161 |
Продолжение таблицы 6
6.16 |
147 |
153 |
179 |
165 |
159 |
149 |
141 |
102 |
169 |
157 |
|
169 |
154 |
143 |
155 |
113 |
155 |
171 |
168 |
153 |
135 |
|
150 |
152 |
142 |
132 |
152 |
161 |
148 |
136 |
138 |
149 |
|
157 |
178 |
149 |
195 |
146 |
166 |
182 |
135 |
136 |
170 |
|
156 |
152 |
145 |
198 |
192 |
143 |
159 |
116 |
126 |
155 |
|
164 |
169 |
165 |
148 |
151 |
153 |
139 |
166 |
138 |
128 |
|
169 |
169 |
155 |
152 |
175 |
177 |
131 |
154 |
174 |
187 |
|
180 |
177 |
162 |
149 |
146 |
113 |
151 |
152 |
134 |
125 |
6.17 |
558 |
563 |
569 |
547 |
552 |
562 |
554 |
549 |
575 |
578 |
|
561 |
552 |
551 |
561 |
538 |
533 |
547 |
552 |
557 |
543 |
|
547 |
565 |
587 |
553 |
548 |
554 |
561 |
564 |
562 |
558 |
|
566 |
555 |
563 |
568 |
586 |
549 |
575 |
564 |
553 |
555 |
|
567 |
556 |
546 |
552 |
543 |
554 |
556 |
566 |
592 |
562 |
|
544 |
568 |
574 |
564 |
547 |
549 |
553 |
578 |
557 |
561 |
|
553 |
545 |
554 |
571 |
569 |
539 |
549 |
538 |
575 |
554 |
|
577 |
552 |
566 |
557 |
551 |
552 |
546 |
584 |
572 |
535 |
6.18 |
577 |
568 |
5574 |
564 |
547 |
549 |
553 |
578 |
557 |
575 |
|
554 |
5455 |
554 |
571 |
569 |
539 |
549 |
538 |
575 |
566 |
|
558 |
563 |
563 |
547 |
552 |
562 |
554 |
549 |
575 |
558 |
|
547 |
595 |
587 |
553 |
548 |
554 |
561 |
564 |
562 |
544 |
|
555 |
563 |
568 |
586 |
549 |
575 |
564 |
553 |
585 |
592 |
|
577 |
554 |
552 |
566 |
557 |
551 |
552 |
546 |
584 |
556 |
|
601 |
561 |
552 |
551 |
561 |
538 |
533 |
547 |
552 |
557 |
|
555 |
541 |
588 |
558 |
563 |
558 |
572 |
578 |
539 |
556 |
|
553 |
562 |
561 |
572 |
535 |
555 |
543 |
556 |
546 |
538 |
6.19 |
77 |
45 |
49 |
92 |
13 |
69 |
52 |
26 |
22 |
36 |
|
48 |
25 |
59 |
57 |
65 |
69 |
55 |
68 |
49 |
63 |
|
38 |
53 |
48 |
68 |
52 |
73 |
42 |
62 |
71 |
45 |
|
63 |
55 |
16 |
78 |
52 |
95 |
77 |
66 |
35 |
54 |
|
68 |
55 |
49 |
65 |
79 |
48 |
59 |
53 |
41 |
38 |
|
12 |
39 |
57 |
51 |
65 |
66 |
43 |
52 |
63 |
43 |
|
55 |
69 |
31 |
62 |
48 |
46 |
51 |
43 |
16 |
34 |
|
74 |
51 |
82 |
52 |
46 |
75 |
49 |
55 |
57 |
54 |
6.20 |
347 |
365 |
387 |
348 |
354 |
361 |
364 |
362 |
346 |
358 |
|
365 |
355 |
363 |
368 |
359 |
375 |
364 |
353 |
385 |
363 |
|
343 |
368 |
374 |
364 |
347 |
349 |
353 |
378 |
357 |
358 |
|
352 |
345 |
354 |
352 |
371 |
369 |
349 |
338 |
375 |
388 |
|
366 |
358 |
363 |
347 |
352 |
362 |
354 |
349 |
375 |
341 |
|
377 |
354 |
352 |
366 |
357 |
351 |
352 |
346 |
384 |
351 |
|
399 |
363 |
361 |
352 |
351 |
361 |
338 |
353 |
333 |
357 |
Продолжение таблицы 6
6.21 |
9 |
9 |
6 |
9 |
9 |
7 |
6 |
11 |
6 |
7 |
|
6 |
10 |
6 |
7 |
6 |
8 |
6 |
5 |
5 |
4 |
|
6 |
6 |
7 |
12 |
5 |
7 |
8 |
5 |
10 |
9 |
|
7 |
7 |
5 |
11 |
9 |
7 |
6 |
5 |
7 |
6 |
|
5 |
5 |
12 |
9 |
8 |
7 |
9 |
8 |
5 |
5 |
|
6 |
13 |
11 |
11 |
5 |
8 |
10 |
9 |
4 |
7 |
|
3 |
6 |
9 |
8 |
12 |
11 |
9 |
10 |
4 |
14 |
6.22 |
39 |
40 |
38 |
43 |
41 |
42 |
40 |
38 |
41 |
42 |
|
41 |
40 |
42 |
39 |
41 |
41 |
36 |
43 |
41 |
42 |
|
34 |
36 |
37 |
42 |
42 |
42 |
40 |
41 |
41 |
46 |
|
47 |
48 |
52 |
56 |
68 |
70 |
68 |
64 |
56 |
58 |
|
41 |
42 |
39 |
33 |
34 |
37 |
43 |
45 |
47 |
71 |
|
43 |
42 |
43 |
41 |
42 |
47 |
48 |
49 |
52 |
53 |
|
57 |
52 |
41 |
42 |
46 |
48 |
49 |
39 |
32 |
40 |
|
39 |
37 |
42 |
43 |
54 |
58 |
59 |
64 |
66 |
68 |
6.23 |
10 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
15 |
16 |
11 |
|
17 |
12 |
13 |
14 |
15 |
11 |
18 |
16 |
15 |
18 |
|
20 |
20 |
21 |
23 |
26 |
28 |
23 |
28 |
27 |
24 |
|
27 |
24 |
25 |
25 |
26 |
32 |
33 |
31 |
34 |
43 |
|
26 |
32 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
21 |
22 |
23 |
|
42 |
24 |
23 |
35 |
23 |
25 |
36 |
37 |
24 |
21 |
|
58 |
54 |
49 |
47 |
32 |
36 |
43 |
23 |
24 |
28 |
6.24 |
150 |
144 |
124 |
132 |
140 |
124 |
144 |
153 |
151 |
148 |
|
116 |
130 |
154 |
158 |
102 |
125 |
124 |
152 |
134 |
148 |
|
142 |
121 |
112 |
131 |
151 |
104 |
146 |
132 |
182 |
142 |
|
152 |
196 |
142 |
154 |
158 |
118 |
126 |
152 |
138 |
124 |
|
144 |
176 |
124 |
140 |
172 |
168 |
181 |
134 |
168 |
132 |
|
144 |
112 |
134 |
162 |
104 |
161 |
154 |
166 |
178 |
148 |
|
162 |
164 |
164 |
172 |
142 |
144 |
146 |
112 |
171 |
|
6.25 |
128 |
105 |
115 |
92 |
115 |
142 |
98 |
123 |
103 |
144 |
|
112 |
115 |
88 |
118 |
103 |
102 |
95 |
124 |
106 |
135 |
|
95 |
124 |
103 |
102 |
118 |
112 |
115 |
92 |
115 |
119 |
|
92 |
112 |
132 |
85 |
122 |
105 |
125 |
142 |
99 |
125 |
|
106 |
92 |
118 |
105 |
118 |
86 |
125 |
105 |
122 |
138 |
|
102 |
130 |
112 |
98 |
115 |
120 |
118 |
103 |
118 |
129 |
|
103 |
122 |
94 |
112 |
97 |
128 |
102 |
116 |
125 |
132 |
Продолжение таблицы 6
6.26 |
102 |
112 |
118 |
85 |
112 |
115 |
103 |
95 |
122 |
125 |
|
157 |
178 |
149 |
195 |
146 |
166 |
182 |
135 |
136 |
170 |
|
157 |
143 |
179 |
165 |
159 |
149 |
141 |
102 |
169 |
168 |
|
151 |
168 |
122 |
163 |
117 |
165 |
132 |
139 |
107 |
125 |
|
152 |
152 |
142 |
132 |
152 |
161 |
148 |
136 |
138 |
149 |
|
153 |
154 |
143 |
155 |
113 |
155 |
171 |
168 |
153 |
135 |
|
157 |
152 |
145 |
198 |
192 |
143 |
159 |
116 |
126 |
155 |
|
165 |
169 |
165 |
148 |
151 |
153 |
139 |
166 |
138 |
128 |
6.27 |
242 |
254 |
218 |
226 |
252 |
238 |
224 |
298 |
260 |
287 |
|
250 |
216 |
230 |
254 |
258 |
202 |
225 |
224 |
252 |
234 |
|
244 |
212 |
231 |
251 |
204 |
246 |
232 |
282 |
242 |
252 |
|
299 |
254 |
282 |
242 |
270 |
254 |
260 |
232 |
268 |
242 |
|
276 |
224 |
240 |
272 |
268 |
281 |
234 |
268 |
232 |
300 |
|
274 |
212 |
234 |
262 |
204 |
261 |
254 |
266 |
278 |
248 |
|
255 |
262 |
256 |
264 |
272 |
242 |
244 |
246 |
253 |
234 |
|
240 |
264 |
252 |
248 |
247 |
268 |
229 |
235 |
262 |
212 |
|
241 |
254 |
263 |
261 |
266 |
254 |
264 |
248 |
251 |
|
6.28 |
262 |
267 |
275 |
266 |
246 |
252 |
261 |
269 |
262 |
268 |
|
259 |
248 |
266 |
259 |
252 |
248 |
252 |
232 |
269 |
287 |
|
253 |
286 |
275 |
235 |
202 |
239 |
225 |
236 |
237 |
224 |
|
253 |
268 |
277 |
249 |
248 |
263 |
243 |
266 |
212 |
255 |
|
249 |
288 |
213 |
264 |
247 |
242 |
228 |
277 |
256 |
251 |
|
267 |
232 |
258 |
246 |
278 |
279 |
257 |
255 |
243 |
258 |
|
254 |
244 |
265 |
274 |
252 |
265 |
222 |
269 |
254 |
278 |
|
249 |
252 |
294 |
232 |
269 |
263 |
269 |
271 |
245 |
235 |
|
259 |
292 |
217 |
273 |
255 |
251 |
251 |
246 |
277 |
245 |
6.29 |
558 |
565 |
587 |
553 |
548 |
554 |
561 |
564 |
562 |
544 |
|
563 |
568 |
586 |
549 |
575 |
564 |
553 |
585 |
577 |
553 |
|
563 |
564 |
547 |
552 |
562 |
554 |
549 |
575 |
558 |
592 |
|
546 |
577 |
568 |
574 |
564 |
547 |
549 |
553 |
578 |
557 |
|
557 |
577 |
568 |
574 |
564 |
547 |
549 |
538 |
575 |
566 |
|
558 |
554 |
552 |
566 |
557 |
551 |
552 |
546 |
584 |
532 |
|
602 |
561 |
552 |
551 |
561 |
538 |
533 |
547 |
552 |
557 |
|
556 |
541 |
588 |
558 |
563 |
558 |
572 |
578 |
539 |
556 |
|
557 |
553 |
562 |
561 |
572 |
535 |
555 |
543 |
556 |
546 |
|
559 |
571 |
537 |
581 |
553 |
562 |
551 |
572 |
552 |
543 |
Продолжение таблицы 6
6.30 |
165 |
143 |
152 |
167 |
164 |
199 |
171 |
171 |
156 |
151 |
|
155 |
155 |
158 |
145 |
158 |
177 |
161 |
181 |
153 |
171 |
|
177 |
153 |
174 |
154 |
163 |
174 |
152 |
188 |
162 |
197 |
|
191 |
158 |
154 |
171 |
163 |
172 |
152 |
178 |
151 |
172 |
|
161 |
186 |
147 |
169 |
147 |
166 |
161 |
171 |
161 |
186 |
|
161 |
189 |
199 |
162 |
167 |
198 |
168 |
135 |
152 |
146 |
|
162 |
175 |
163 |
149 |
162 |
161 |
161 |
193 |
172 |
175 |
|
153 |
164 |
178 |
138 |
164 |
172 |
187 |
178 |
1433 |
161 |
|
170 |
163 |
177 |
161 |
149 |
146 |
152 |
139 |
156 |
152 |
1.3 Решение типового варианта
1 Среди 6 отобранных деталей 25% нестандартных. Составить закон
распределения числа нестандартных деталей среди отобранных.
Решение:
дискретная случайная величина Х – число нестандартных деталей среди отобранных. Её возможные значения: (нет нестандартных деталей среди отобранных), (одна нестандартная деталь среди отобранных) и т.д. (шесть нестандартных деталей среди отобранных). Возможные значения независимы и вероятность появления каждого из них одинакова и равна р=0,25, поэтому случайная величина Х распределена по биномиальному закону: , где , , .
Итак, =0,178;
=0,356; =0,297;
=0,132; =0,033;
=0,004; =0,0002.
Искомый закон распределения:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
р |
0,178 |
0,356 |
0,297 |
0,132 |
0,033 |
0,004 |
0,0002 |
Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
. |
Анализ биномиального распределения удобно проводить в среде Mathcad с использованием специальных функций с корневым словом binom (dbinom, pbinom, qbinom, rbinom). Например, функция dbinom(k,n,p) выводит значения вероятностей и т.д.
2 Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течении одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. а) Составить закон распределения числа отказавших элементов; б) какова вероятность отказа не менее 2 элементов в год?
Решение:
а) дискретная случайная величина Х – число отказавших элементов распределена по закону Пуассона (предельный для биномиального закон распределения, когда вероятность р появления события в каждом испытании мала, а число n проводимых испытаний велико): , где ==1, , .
Таким образом, =0,368; = 0,368; =0,184;
0,061, и т.д. =0,0000001 и т.д. Искомый закон распределения:
Х |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
10 |
… |
р |
0,368 |
0,368 |
0,184 |
0,061 |
… |
0,0000001 |
… |
Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.
|
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
. |
(это ),
,
,
.
б) вероятность отказа не менее двух элементов вычисляется по формуле:
или = 1 - 0,368 - 0,368 = 0,264 или , p(1,1)=0,736.
.
В среде Mathcad закону распределения Пуассона соответствуют специальные функции с корневым словом pois (dpois, ppois, qpois, rpois). Например, функция dpois(k,n,p) выводит значения вероятностей и т.д.
3 а) Цена деления измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта. Найти:
а) её плотность распределения f(x);
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание, дисперсию;
г) вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка меньшая (большая) 0,04.
Построить графики F(x) и f(x).
Решение:
случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта распределена равномерно между двумя целыми делениями; – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х. Плотность равномерного распределения находится по формуле ;
функция распределения – ;
математическое ожидание и дисперсия – , ; вероятность попадания в интервал – .
Поэтому в нашей задаче:
а) ;
б) ;
в) ; ;
г) ясно, что при отсчёте будет сделана ошибка меньшая 0,04, если она попадёт в интервал (0; 0,04) или в интервал (0,16; 0,2) (событие А), т.е. вероятность этого события равна =+ =
|
==0,4; при отсчёте будет сделана ошибка большая 0,04, если она попадёт в интервал (0,04; 0,16) (событие В), т.е. вероятность этого события равна ===0,6 или .
Построим графики F(x) и f(x) в системе Mathcad.
, |
|
, |
3 б) Трамваи некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Случайная величина Х – время ожидания трамвая. Найти:
а) её плотность распределения f(x);
б) функцию распределения F(x);
в) математическое ожидание, дисперсию;
г) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать трамвай менее (более) 3 минут.
Построить графики F(x) и f(x).
Решение:
– случайная величина Х – время ожидания трамвая распределена
равномерно между двумя последовательными прибытиями автобуса; – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х. Все формулы для равномерного распределения смотри в предыдущей задаче 3а.
В нашей задаче:
а) ;
б) ;
в) ; ;
г) ясно, что, пассажир будет ждать трамвай менее 3 минут, если он подойдёт к остановке в интервал времени (0; 3) или, что всё равно, в интервал (2; 5) (событие А), т.е. вероятность этого события равна ==
==0,6;, пассажир будет ждать трамвай более 3 минут, если он подойдёт к остановке в интервал времени (0; 2) или, что всё равно, в интервал (3; 5) (событие В), т.е. вероятность этого события равна = = ==0,4 или .
Построим графики F(x) и f(x) в системе Mathcad.
, |
. |
|
|
В среде Mathcad равномерному закону распределения соответствуют специальные функции с корневым словом unif: dunif(x,a,b)– выводит значения плотности распределения; punif(x,a,b) – выводит значения функции распределения; runif(n,a,b) – выводит массив из n значений независимых случайных чисел, распределённых равномерно в интервале (a,b).
4 Время безотказной работы элемента (случайная величина Т) имеет показательное распределение с параметром , где – интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени. Найти:
а) плотность распределения f(t);
б) функцию распределения F(t), указать её вероятностный смысл;
в) функцию надёжности R(t), указать её вероятностный смысл;
г) математическое ожидание, дисперсию;
д) вероятность того, что за время t=5ч. элемент откажет и вероятность того, что за время t=5ч. элемент не откажет.
Построить графики F(t), R(t) и f(t).
Решение:
показательным называют закон распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью . Другие понятия и формулы для показательного распределения: -
функция распределения; если случайная величина Х=Т – время безотказной работы элемента, то определяет вероятность отказа элемента за время t; – функция надёжности, определяет вероятность безотказной работы элемента за время t;
, , ; .
В нашей задаче, учитывая то, что , имеем:
а) ;
б) , определяет вероятность отказа элемента за время t;
в) , определяет вероятность безотказной работы элемента за время t;
г) ; ;
д) поскольку функция распределения определяет вероятность отказа за время t, то, подставив в неё t=5, получим вероятность отказа за время t=5ч: =0,918; события «элемент откажет» и «элемент не откажет» - противоположные, поэтому вероятность безотказной работы элемента за время t=5 равна 1-0,918=0,082. Этот же результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надёжности: =0,082.
Построим графики F(t), R(t) и f(t) и сделаем некоторые вычисления в системе Mathcad:
, |
. |
|
|
, |
, |
|
.
|
В среде Mathcad показательному закону распределения соответствуют специальные функции с корневым словом exp: dexp(x,) – выводит значения плотности распределения; pexp(x,) – выводит значения функции распределения; rexp(n, ) – выводит массив из n значений независимых случайных чисел, распределённых по показательному закону с параметром .
5 Случайная ошибка измерения (случайная величина Х) подчинена нормальному закону распределения с параметрами а=10 и =2. Найти:
а) плотность распределения f(х);
б) функцию распределения F(х);
в) математическое ожидание, дисперсию;
г) вероятность попадания в интервал ;
д) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине =3.
Построить графики F(t) и f(t).
Решение: нормальным называют закон распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью , где а =M(x) – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х. Другие понятия и формулы для нормального распределения: функция распределения – или , где – функция Лапласа, её значения табулированы или их можно найти в системе Mathcad ;
;
вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на , находится по формуле: .
В нашей задаче
а) ;
б) ;
в) , , ;
г) ==0,4772-0,3413=0,1359;
д) вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине =3 будет равна = =0,4332.
Здесь значения функции Лапласа взяты из таблицы, хотя их можно было бы найти в системе Mathcad, где нормальному закону распределения соответствуют функции, в названии имеющие корневое слово norm и начинающиеся с букв d, p, q, r. Например, dnorm (x,a, ) – выводит значения плотности распределения f(x); pnorm (x,a,) – выводит значения функции распределения F(x). Воспользуемся этими функциями для построения соответствующих графиков. Копия файла из Mathcad приведена ниже.
, |
. |
|
6 Дана выборка
20 |
15 |
17 |
19 |
23 |
18 |
21 |
15 |
16 |
13 |
20 |
16 |
19 |
20 |
14 |
20 |
16 |
14 |
20 |
19 |
15 |
19 |
17 |
16 |
15 |
22 |
21 |
12 |
10 |
21 |
18 |
14 |
14 |
18 |
18 |
13 |
19 |
18 |
20 |
23 |
16 |
20 |
19 |
17 |
19 |
17 |
21 |
17 |
19 |
17 |
13 |
17 |
11 |
18 |
19 |
|
|
|
|
|
Определить:
а) вариационный ряд (выборку в порядке возрастания);
б) интервальный статистический ряд (минимальную и максимальную варианты, размах выборки, число интервалов, длину интервалов);
в) по интервальному статистическому ряду построить гистограмму частот и относительных частот;
г) построить дискретный статистический ряд;
д) по дискретному статистическому ряду найти:
1) полигон частот и относительных частот;
2) эмпирическую функцию распределения;
3) выборочную среднюю;
4) выборочную и исправленную выборочную дисперсии;
5) исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;
6) выборочные моду и медиану.
Решение: заметим, что вычисления и построение графиков производится в среде Mathcad. Копия файла из Mathcad приведена ниже. То, что получено в Mathcad следует оформить и пояснить.
а) объём выборки n = 55. Вариационный ряд (выборка в порядке возрастания):
|
(в среде Mathcad эта таблица просматривается вся нажатием на указатель направления движения);
б) для построения интервального статистического ряда определим сначала следующее: наибольшая и наименьшая варианты: , ; размах выборки: ; величину интервалов
найдём по формуле Стерджеса , = 1,917 и округляем до целого ; число интервалов – знаменатель этой формулы или =6,781, округляем до целого ; за начало первого интервала рекомендуется брать величину , ; число, вариант, попавших в каждый интервал ( т.е. частоты ) и относительные частоты ( т.е. ) найдены в среде Mathcad (см. и ).
Таким образом, искомый интервальный ряд имеет вид:
интервалы |
[9,11) |
[11,13) |
[13,15) |
[15,17) |
[17,19) |
[19,21) |
[21,23] |
|
1 |
2 |
6 |
9 |
13 |
16 |
8 |
|
0,018 |
0,036 |
0,109 |
0,164 |
0,236 |
0,291 |
0,145 |
в) по интервальному статистическому ряду построим гистограмму частот и относительных частот (в среде Mathcad):
|
|
г) для построения дискретного статистического ряда (или в некоторых учебниках его называют группированным статистическим рядом) найдём середины интервалов (см. в Mathcad), им будут отвечать соответствующие частоты и относительные частоты из интервального ряда.
Искомый дискретный статистический ряд:
|
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
22 |
|
1 |
2 |
6 |
9 |
13 |
16 |
8 |
|
0,018 |
0,036 |
0,109 |
0,164 |
0,236 |
0,291 |
0,145 |
д) по дискретному статистическому ряду найдём:
1) полигон частот и относительных частот:
|
|
2) эмпирическую функцию распределения (см.и в Mathcad):
|
,
3) выборочную среднюю (см. mean(X) в Mathcad): или =17,564;
4) выборочную и исправленную выборочную дисперсии (см. var(X) и s в Mathcad): или = 8,428 – выборочная дисперсия; = 8,584 – исправленная выборочная дисперсия;
5) исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение (см. в Mathcad): ;
6) выборочные моду и медиану (см. mode(X) и median(X) в Mathcad):
мода = 19 определяет варианту, имеющую наибольшую частоту; медиана =18 определяет середину вариационного ряда и зависит от чётности объёма выборки: .
Копия файла из Mathcad :
. |
|
. |
. |
, |
, |
, |
|
|
, |
, |
|
, |
|
, |
|
, |
, |
, |
, |
, |
, |
|
, |
, |
, |
|
, |
. |
, |
, |
, |
, |
|
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
, |
. |
, |
|
|
, |
, |
, |
|
. |
|
|
Список литературы
1. Ивановский Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами изадачами в среде Mathcad. - СПб.: БХВ- Петербург, 2008. – 528 с.
2. Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики, случайные процессы. – М.: Айрис -пресс, 2006. – 288 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. школа, 2003.- 279 с.
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. школа, 1999.- 400 с.
5. Базарбаева С.Е., Ералиев С. Математика. Теория вероятностей и математическая статистика. Задания к расчетно-графическим работам. – Алматы: АИЭС, 2003. – 32 с.
Содержание
1 Теоретические вопросы 3
2 Расчётные задания 3
4 Решение типового варианта 13
Список литературы 27
Сводный план 2011 г., поз.