Типовой расчёт 1

Некоммерческое

акционерное общество

Кафедра Математическое моделирование и программное обеспечение

Подпись: АЛМАТИНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности

5В070400- Вычислительная техника и программное обеспечение

Алматы 2017

СОСТАВИТЕЛИ: Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж. Прикладная статистика. Методические указания и задания по выполнению расчетно -графических работ для студентов специальности 5В070400- Вычислительная техника и программное обеспечение. - Алматы: АУЭС, 2017.- 47 стр.

Методические указания и задания содержат расчетно-графические работы №1, №2 дисциплины «Прикладная статистика» для студентов специальности 5В070400 - Вычислительная техника и программное обеспечение. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.

Ил. 22 , табл. 24, библиогр. 6 назв.

_{Рецензент:
к.х.н., старший преподаватель кафедры ТКСиС Данько Е.Т.}

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский университет энергетики и связи» на 2017 г.

ã НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2017 г.

Введение

Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей. Обе эти дисциплины изучают массовые случайные явления. Теория вероятностей обеспечивает теоретическую базу для широкого круга практических задач, которыми занимается математическая статистика.

Поэтому методические указания содержат расчетно-графические работы по двум разделам. В первом рассматриваются основные вопросы теории вероятностей, во втором - математической статистики.

В каждой части приведены теоретические вопросы, задания и решение типового варианта.

Номер варианта студента определяется по списку группы. Расчетно- графическая работа должна выполняться четко и разборчиво в ученической тетради.

1 Расчетно-графическая работа №1. Случайные события и случайные величины

Цели: ознакомиться с понятиями случайного события и его вероятностью, основными теоремами теории вероятностей, изучить законы распределения и числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин.

1.1 Теоретические вопросы

1. Предмет теории вероятностей. Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Статистическое, геометрическое и классическое определения вероятности.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли.

4. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.

5. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы

распределения дискретной случайной величины.

6. Интегральная функция распределения. Плотность распределения.

7. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретных и непрерывных случайных величин.

8. Биномиальное распределение, распределение Пуассона. Равномерное и показательное распределения, функция надёжности.

9. Нормальное распределение.

10. Понятие о предельных теоремах. Закон больших чисел, центральная предельная теорема.

по интервальному статистическому ряду построить гистограмму частот и относительных частот;

1.2 Расчётные задания

1. В урне n шаров, среди них nбелых, nчёрных, nкрасных (). Найти:

а) относительную частоту белых шаров;

б) вероятность того, что все m выбранных шаров будут белыми;

в) вероятность того, что среди m выбранных шаров будет m белых;

г) вероятность того, что среди m выбранных шаров будет m белых шаров, m- чёрных, m- красных ();

д) вероятность того, что среди m выбранных шаров будет хотя бы один белый.

№	n	n	n	n	m	m	m	m
1.1	70	20	26	24	5	2	1	2
1.2	75	40	20	15	8	4	1	3
1.3	85	35	30	20	5	2	1	2
1.4	90	20	40	30	7	2	2	3
1.5	87	30	45	12	8	3	2	3
1.6	100	25	55	20	15	8	3	4
1.7	90	40	24	26	9	4	3	2
1.8	95	28	42	25	10	3	5	2
1.9	85	30	15	40	7	2	2	3
1.10	90	17	33	40	6	1	3	2
1.11	85	31	25	29	5	2	2	1
1.12	75	28	32	15	5	1	2	2
1.13	100	30	41	29	9	3	4	2
1.14	80	32	28	20	7	3	2	2
1.15	85	24	26	35	5	1	3	1
1.16	100	41	29	30	10	5	3	2
1.17	90	29	21	40	12	6	4	2
1.18	85	25	35	25	7	2	2	3
1.19	80	18	42	20	5	1	2	2
1.20	95	43	27	25	9	3	4	2
1.21	70	22	28	20	9	2	4	3
1.22	80	30	21	29	7	3	1	1
1.23	90	42	20	28	6	1	3	2
1.24	75	24	26	25	8	2	4	2
1.25	100	37	33	30	10	2	3	5
1.26	90	26	34	30	8	3	2	3
1.27	80	31	29	20	5	1	2	2
1.28	95	29	31	35	8	3	2	3
1.29	96	34	26	36	7	4	1	2
1.30	89	25	35	29	5	1	2	2

2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель , , соответственно для первого, второго и третьего стрелка. Найти вероятность того, что:

а) все трое попадут в цель;

б) попадёт только один;

в) попадут двое, один не попадёт;

г) попадёт хотя бы один.

№				№				№
2.1	0.9	0.6	0.5	2.11	0.5	0.9	0.4	2.21	0.5	0.7	0.9
2.2	0.8	0.7	0.6	2.12	0.7	0.8	0.5	2.22	0.6	0.5	0.8
2.3	0.7	0.5	0.8	2.13	0.5	0.7	0.6	2.23	0.7	0.9	0.7
2.4	0.6	0.9	0.8	2.14	0.4	0.6	0.7	2.24	0.8	0.4	0.6
2.5	0.5	0.7	0.9	2.15	0.5	0.5	0.8	2.25	0.9	0.5	0.5
2.6	0.9	0.6	0.8	2.16	0.6	0.9	0.5	2.26	0.4	0.6	0.8
2.7	0.8	0.5	0.7	2.17	0.7	0.8	0.6	2.27	0.5	0.7	0.9
2.8	0.5	0.8	0.6	2.18	0.8	0.5	0.7	2.28	0.6	0.8	0.7
2.9	0.6	0.9	0.5	2.19	0.9	0.6	0.8	2.29	0.7	0.9	0.5
2.10	0.7	0.9	0.4	2.20	0.9	0.4	0.9	2.30	0.8	0.9	0.4

3. На сборку поступают детали с трёх автоматов: n с первого автомата, n со второго, n с третьего (). Первый автомат выпускает m% нестандартных деталей, второй - m%, третий - m%.

Требуется:

а) найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали;

б) на сборку поступила нестандартная деталь. Найти вероятность того, что она поступила с i – го автомата ( i =1,2,3).

№	n	n	m	m	m	i	№	n	n	m	m	m	i
3.1	520	220	5	8	7	1	3.16	100	250	7	8	5	1
3.2	270	410	10	5	9	2	3.17	430	180	5	4	7	2
3.3	250	140	8	7	4	2	3.18	170	540	6	5	8	3
3.4	190	380	5	9	30	1	3.19	650	120	10	9	8	2
3.5	290	610	6	3	3	2	3.20	400	180	7	10	5	1
3.6	270	430	10	6	4	2	3.21	120	380	10	6	9	2
3.7	280	360	7	10	9	1	3.22	270	340	9	5	4	3
3.8	520	110	5	7	10	1	3.23	430	120	10	7	6	2
3.9	240	290	9	8	4	3	3.24	360	120	5	10	8	1
3.10	310	410	7	2	5	3	3.25	420	210	8	7	6	1
3.11	520	110	3	6	7	2	3.26	370	130	10	6	5	2
3.12	280	310	9	8	4	2	3.27	410	200	5	10	8	3
3.13	400	320	4	5	8	1	3.28	280	510	10	6	5	3
3.14	350	240	9	8	7	1	3.29	710	120	2	10	4	3
3.15	190	520	5	2	4	3	3.30	460	240	5	9	7	1

4. Вероятность появления события А в каждом испытании равна р. Найти вероятность того, что в n испытаниях событие А появится:

а) ровно k раз;

б) не менее k раз;

в) не более k раз;

г) хотя бы один раз (для нечётных вариантов, где n=10);

д) от k до k раз (для чётных вариантов, где n=100).

№	k	k	p	№	k	k	p	№	k	k	p
4.1	3	5	0.6	4.11	2	5	0.4	4.21	6	8	0.7
4.2	62	82	0.6	4.12	80	95	0.4	4.22	70	80	0.7
4.3	5	7	0.8	4.13	5	8	0.8	4.23	4	7	0.6
4.4	55	75	0.8	4.14	60	90	0.6	4.24	65	80	0.75
4.5	4	8	0.8	4.15	2	8	0.7	4.25	7	9	0.75
4.6	40	60	0.8	4.16	80	90	0.8	4.26	78	92	0.75
4.7	3	7	0.3	4.17	5	9	0.8	4.27	2	6	0.7
4.8	50	80	0.3	4.18	70	95	0.8	4.28	30	85	0.7
4.9	4	6	0.3	4.19	3	6	0.7	4.29	4	9	0.7
4.10	45	75	0.4	4.20	50	60	0.7	4.30	80	95	0.6

5. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения. Найти:

а) её функцию распределения F(x), построить график F(x);

б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду;

в) вероятность попадания Х в интервал (a;b).

	Х	х	х	х	х	х	х	а	b
	Р	р	р	р	р	р	р	а	b
5.1	Х	0	1	2	4	6	9	-2	7
5.1	Р	0.05	0.15	0.3	0.25	0.15	0.1	-2	7
5.2	Х	-3	-2	-1	0	2	4	-1	3
5.2	Р	0.15	0.3	0.02	0.14	0.18	0.21	-1	3
5.3	Х	1	2	3	5	7	8	-3	6
5.3	Р	0.3	0.14	0.16	0.1	0.2	0.1	-3	6
5.4	Х	-4	-3	-2	0	1	2	0	1
5.4	Р	0.2	0.08	0.23	0.27	0.12	0.1	0	1
5.5	Х	1	2	4	5	7	9	3	8
5.5	Р	0.19	0.21	0.06	0.14	0.12	0.28	3	8
6.6	Х	-1	0	2	3	5	7	-4	4
6.6	Р	0.26	0.14	0.07	0.2	0.03	0.3	-4	4
5.7	Х	-2	-1	0	3	5	7	1	6
5.7	Р	0.18	0.09	0.01	0.2	0.22	0.3	1	6
5.8	Х	1	2	4	5	6	8	0	6
5.8	Р	0.3	0.17	0.13	0.1	0.2	0.1	0	6
5.9	Х	1	2	3	4	7	9	5	8
5.9	Р	0.11	0.29	0.06	0.14	0.17	0.23	5	8
5.10	Х	0	1	2	3	7	9	4	8
5.10	Р	0.06	0.14	0.3	0.25	0.15	0.1	4	8
5.11	Х	-3	-2	0	1	2	4	-1	3
5.11	Р	0.15	0.3	0.01	0.14	0.19	0.21	-1	3
5.12	Х	-1	0	3	5	7	8	1	6
5.12	Р	0.25	0.14	0.16	0.1	0.2	0.15	1	6
5.13	Х	-4	-3	-2	0	2	4	-1	3
5.13	Р	0.2	0.07	0.24	0.26	0.13	0.1	-1	3
5.14	Х	-3	-1	0	3	4	7	-2	6
5.14	Р	0.12	0.09	0.01	0.2	0.28	0.3	-2	6
5.15	Х	-1	0	1	3	7	8	2	6
5.15	Р	0.26	0.14	0.15	0.2	0.1	0.15	2	6
5.16	Х	-2	-1	0	1	2	7	-3	5
5.16	Р	0.17	0.09	0.01	0.3	0.23	0.2	-3	5
5.17	Х	1	2	3	5	6	7	0	4
5.17	Р	0.1	0.14	0.16	0.1	0.2	0.3	0	4
5.18	Х	-3	-1	0	3	5	6	-2	4
5.18	Р	0.16	0.09	0.01	0.3	0.24	0.2	-2	4
5.19	Х	1	2	5	6	7	8	3	6
5.19	Р	0.2	0.15	0.15	0.1	0.3	0.1	3	6
5.20	Х	-1	0	2	4	7	8	1	5
5.20	Р	0.23	0.18	0.12	0.2	0.1	0.17	1	5
5.21	Х	1	2	4	5	6	8	0	7
5.21	Р	0.3	0.14	0.16	0.03	0.2	0.17	0	7
5.22	Х	-4	-3	-1	0	1	3	-2	2
5.22	Р	0.2	0.03	0.24	0.26	0.17	0.1	-2	2
5.23	Х	1	2	3	4	7	9	0	8
5.23	Р	0.17	0.23	0.09	0.11	0.12	0.28	0	8
5.24	Х	0	1	3	5	7	8	2	6
5.24	Р	0.2	0.14	0.16	0.12	0.3	0.08	2	6
5.25	Х	-5	-3	-2	0	1	3	-4	2
5.25	Р	0.2	0.06	0.21	0.29	0.14	0.1	-4	2
5.26	Х	1	2	3	5	8	9	4	7
5.26	Р	0.18	0.22	0.05	0.15	0.12	0.28	4	7
5.27	Х	1	3	4	5	7	8	2	6
5.27	Р	0.3	0.16	0.14	0.01	0.2	0.19	2	6
5.28	Х	-5	-3	-1	0	1	3	-4	2
5.28	Р	0.1	0.03	0.14	0.36	0.17	0.2	-4	2
5.29	Х	0	2	3	4	6	8	1	7
5.29	Р	0.26	0.14	0.05	0.15	0.12	0.28	1	7
5.30	Х	-1	0	2	3	7	8	1	6
5.30	Р	0.21	0.16	0.14	0.1	0.2	0.19	1	6

6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x).

Найти:

а) её функцию распределения F(x);

б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану;

в) вероятность попадания Х в интервал (a;b).

Построить графики F(x) и f(x).

№	f(x)	а	b	№	f(x)	а	b
6.1		1	3	6.16		-1	2
6.2		-2,5	0	6.17		0
6.3		0		6.18		0	1,5
6.4		0		6.19		1	2,5
6.5		0		6.20		0,1	1
6.6		0		6.21		0	1
6.7		1	2	6.22			1
6.8		3	4,5	6.23		2	4
6.9		0		6.24		0
6.10		1,5	2	6.25		0	1,5
6.11				6.26		0	1
6.12		1	3	6.27		1	4
6.13		-1	1	6.28
6.14		0,2	1,2	6.29		0	2
6.15		0		6.30		2	3

Биномиальное распределение.

7. Среди N отобранных деталей m% нестандартных. Составить закон распределения числа нестандартных деталей среди отобранных (случайная величина Х ). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

№	N	m	№	N	m	№	N	m
7.1	3	10	7.11	4	15	7.21	3	11
7.2	2	12	7.12	5	13	7.22	2	16
7.3	4	20	7.13	3	14	7.23	4	29
7.4	5	25	7.14	2	20	7.24	5	10
7.5	3	30	7.15	4	27	7.25	3	17
7.6	2	10	7.16	5	20	7.26	2	21
7.7	4	15	7.17	3	19	7.27	4	22
7.8	5	17	7.18	2	23	7.28	5	24
7.9	3	12	7.19	4	11	7.29	3	18
7.10	2	15	7.20	5	28	7.30	2	22

Распределение Пуассона .

8. Радиоаппаратура состоит из N элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна р и не зависит от состояния других элементов. Требуется:

а) составить закон распределения числа отказавших элементов;

б) найти вероятность отказа не менее m элементов в год.

№	N	m	р	№	N	m	р	№	N	m	р
8.1	2000	4	0,001	8.11	1500	6	0,005	8.21	1000	6	0,005
8.2	1000	5	0,007	8.12	4000	2	0,006	8.22	4500	2	0,003
8.3	3000	7	0,004	8.13	8000	2	0,001	8.23	2000	4	0,001
8.4	2000	5	0,002	8.14	6500	6	0,002	8.24	1000	5	0,007
8.5	1000	6	0,005	8.15	3000	2	0,005	8.25	3000	7	0,004
8.6	5000	2	0,001	8.16	1500	3	0,002	8.26	2000	5	0,002
8.7	2000	4	0,001	8.17	2000	4	0,001	8.27	1000	6	0,005
8.8	1500	5	0,008	8.18	1000	5	0,007	8.28	6500	8	0,007
8.9	3500	7	0,004	8.19	3500	1	0,002	8.29	7000	6	0,002
8.10	2000	2	0,003	8.20	2000	5	0,001	8.30	5500	9	0,004

Равномерное распределение.

9. а. Варианты 1-15.

Цена деления измерительного прибора равна a. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта. Найти:

а) её плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, меньшая (большая) m.

Построить графики F(x) и f(x).

9. б. Варианты 16 - 30

Трамваи некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения а минут. Случайная величина Х – время ожидания трамвая. Найти:

а) её плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать трамвай менее (более) m минут.

Построить графики F(x) и f(x).

№	а	m	№	а	m	№	а	m
9.1	0,2	0,04	9.11	0,3	0,08	9.21	19	8
9.2	0,3	0,02	9.12	0,6	0,01	9.22	20	5
9.3	0,1	0,06	9.13	0,9	0,06	9.23	25	5
9.4	0,5	0,01	9.14	0,5	0,05	9.24	9	3
9.5	0,6	0,05	9.15	0,8	0,07	9.25	14	7
9.6	0,9	0,02	9.16	5	3	9.26	18	9
9.7	0,1	0,08	9.17	10	4	9.27	24	8
9.8	0,7	0,01	9.18	15	5	9.28	6	3
9.9	0,4	0,06	9.19	6	2	9.29	12	6
9.10	0,5	0,07	9.20	20	10	9.30	16	8

Показательное распределение.

10. Время безотказной работы элемента (случайная величина Т) имеет показательное распределение с параметром , где - интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.

Найти:

а) плотность распределения f(t);

б) функцию распределения F(t), указать её вероятностный смысл;

в) функцию надёжности R(t), указать её вероятностный смысл;

г) математическое ожидание, дисперсию;

д) вероятность того, что за время t элемент откажет и вероятность того, что за время t элемент не откажет.

Построить графики F(t), R(t) и f(t).

№		t	№		t	№		t
10.1	1	5	10.11	2	5	10.21	3	8
10.2	2	10	10.12	3	10	10.22	4	4
10.3	3	6	10.13	4	6	10.23	6	3
10.4	4	8	10.14	6	8	10.24	7	2
10.5	6	4	10.15	7	4	10.25	8	1
10.6	7	3	10.16	8	3	10.26	9	10
10.7	8	2	10.17	9	2	10.27	10	6
10.8	9	1	10.18	10	1	10.28	1	7
10.9	10	7	10.19	1	10	10.29	2	8
10.10	1	9	10.20	2	6	10.30	3	2

Нормальный закон распределения.

11. Случайная ошибка измерения (случайная величина Х) подчинена нормальному закону распределения с параметрами а и .

Найти:

а) плотность распределения f(х);

б) функцию распределения F(х);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность попадания в интервал ;

д) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине .

Построить графики F(t) и f(t).

№	а					№	а
11.1	10	1	8	14	2	11.16	10	2	9	14	2
11.2	12	2	7	14	3	11.17	12	4	5	14	3
11.3	14	3	10	15	5	11.18	14	1	9	15	5
11.4	11	5	9	12	3	11.19	11	6	8	12	3
11.5	13	2	6	13	2	11.20	13	4	6	17	2
11.6	12	3	7	15	4	11.21	12	9	8	15	4
11.7	10	2	8	17	2	11.22	10	3	6	17	2
11.8	12	4	6	14	6	11.23	12	5	6	13	6
11.9	14	6	11	19	5	11.24	14	2	12	19	5
11.10	15	5	8	12	3	11.25	15	3	4	12	3
11.11	17	4	6	14	2	11.26	17	1	5	14	2
11.12	12	5	7	18	4	11.27	12	4	9	18	4
11.13	18	5	6	12	3	11.28	11	3	4	12	3
11.14	10	4	6	15	2	11.29	17	2	5	19	5
11.15	12	3	5	18	4	11.30	13	5	6	18	3

1.3 Решение типового варианта

1. В урне 120 шаров, среди них 40 белых, 50 чёрных, 30 красных. Найти:

а) относительную частоту белых шаров;

б) вероятность того, что все 20 выбранных шаров будут белыми;

в) вероятность того, что среди 20 выбранных шаров будет 9 белых;

г) вероятность того, что среди 20 выбранных шаров будет 9 белых шаров, 6 - чёрных, 5 – красных;

д) вероятность того, что среди 20 выбранных шаров будет хотя бы один белый.

Решение:

а) относительной частотой события А (обозначается Р(А)) называется отношение числа m испытаний, в которых событие А появилось, к общему

числу n произведённых испытаний: Р(А) = m/ n.

Пусть событие А – выбор белого шара, тогда Р(А) = 40/120 = 1/3.

В остальных пунктах используем классическое определение вероятности события А: Р(А) = m/ n, где m – число испытаний, благоприятствующих появлению события А, n – общее число испытаний;

б) пусть событие А - все 20 выбранных шаров будут белыми. Общее число элементарных событий равно числу различных способов взять 20 шаров из 120 шаров, т.е. n = С; число благоприятствующих событий равно числу различных способов взять из 40 белых шаров 20, т.е. m = С. Таким образом, Р(А) = m/ n = С/ С= 4,67910;

в) пусть событие А – среди 20 выбранных шаров будет 9 белых. Как выше сказано, n = С. Число m благоприятствующих событию А элементарных событий находится по одному из правил комбинаторики: пусть во множестве из n элементов имеются s подмножеств, состоящих соответственно из элементов (). Тогда, если из этого множества происходит отбор по схеме: из элементов, из элементов,…, из элементов, то общее число N способов образования s групп по элементов без учёта порядка в каждой из них равно N = CC…C. Таким образом, в этом пункте m = СС, где С равно числу различных способов выбрать 9 белых шаров из 40 белых, а С равно числу различных способов выбрать 11 не белых из 80 не белых шаров. Итак, Р(А) = m/ n = СС / С= 0,097;

г) пусть событие А - среди 20 выбранных наудачу шаров 9 белых шаров, 6 - чёрных, 5 - красный. Для решения задачи также используем классическое определение вероятности события А: Р(А) = m/ n, где n число всех возможных способов выбора 20 шаров из имеющихся 120, т.е. n = С. Число m, благоприятствующих событию А элементарных событий, находится по выше приведённому правилу комбинаторики, т.е. m = ССС. Поэтому Р(А) = m/ n = 0,021.

д) пусть событие А – среди 20 выбранных шаров будет хотя бы один белый, тогда противоположное событие - среди 20 выбранных шаров не будет ни одного белого шара. Как в случае б) вероятность этого события найдём по формуле Р() = m/ n = С/ С= 1,210. Тогда вероятность события А равна , т.е. это событие почти достоверное.

При вычислении числа сочетаний была использована функция combin в Mathcad. Ниже приведена копия файла, в котором combin(Q,R) введена как функция пользователя C(Q,R), позволяющая получать значения сочетаний при произвольных Q и R.

2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель 0,75, 0,8, 0,9 соответственно для первого, второго и третьего стрелка. Найти вероятность того, что:

а) все трое попадут в цель;

б) попадёт только один;

в) попадут двое, один промахнётся;

г) попадёт хотя бы один.

Решение: пусть событие – попадание в цель первым стрелком, – вторым, – третьим. По условию P()=0,75, P()=9,8, P()=0,9.

а) пусть событие А - все трое попадут в цель, тогда и, т.к. , , события независимые, то P(А) = P() = P()P()P() = == 0,54;

б) пусть событие В - попадёт только один, тогда , где события противоположные, , , т.е. промах первого, второго и третьего стрелка соответственно. Так как , , и т.к. слагаемые есть события несовместные, то == 0,08;

в) событие С - попадут двое, один промахнётся составляется аналогично, как в предыдущем пункте, т.е. . Его вероятность определяется также аналогично: ==0,3456;

г) пусть событие D - попадёт хотя бы один стрелок, рассмотрим противоположное событие - промахнутся все трое. Т.к. , то ===0,995.

3. На сборку поступают детали с трёх автоматов: n=100 с первого автомата, n = 300 - со второго, n = 1000 - = 600 с третьего (). Первый автомат выпускает 5% нестандартных деталей, второй - 4%, третий - 6%.

Требуется:

а) найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали;

б) на сборку поступила нестандартная деталь. Найти вероятность того, что она поступила со 2 – го автомата.

Решение: пусть событие А – поступление на сборку нестандартной детали, а события В, В, В - деталь поступила соответственно с первого, второго, третьего автоматов (эти события называются гипотезами).

а) вероятность события А находится по формуле полной вероятности: Р(А) = Р(В)Р(А/ В)+Р(В)Р(А/ В)+Р(В)Р(А/ В), где Р(А/ В) – условные вероятности того, что поступившая на сборку деталь с i– го автомата (i=1,2,3). По условию задачи имеем: Р(В) = 100/1000 = 0,1; Р(В) = 300/1000 = 0,3; Р(В) = 600/1000 = 0,6; Р(А/ В)=0,05; Р(А/ В)=0,04; Р(А/ В)=0,06. Поэтому Р(А) = = 0,053;

б) в этом пункте требуется найти условную вероятность Р(В/А). Используем для этого формулу Байеса: ,.

В нашем случае = = 0,226.

4. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,8. Найти вероятность того, что в n испытаниях событие А появится:

а) ровно k раз (событие А);

б) не менее k раз (событие В);

в) не более k раз (событие С);

г) хотя бы один раз (для нечётных вариантов, где n=10) (событие D);

д) от k до k раз (для чётных вариантов, где n=100) (событие E).

Решение: в этой задаче требуется найти вероятность того, что в n испытаниях событие А появится k раз, обозначается . В зависимости от условий задачи, к её решению подходят по-разному:

- пусть n =10, k=9, k=2 (для нечётных вариантов). Здесь n не велико, поэтому искомую вероятность события А можно найти точно по формуле Бернулли: , где , . Вероятности событий В и С определяются как суммы вероятностей: - вероятность того, что событие произойдёт не менее, чем раз в независимых испытаниях, т.е. или , или +1,…, или раз; - вероятность того, что событие произойдёт не более раз в независимых испытаниях, т.е. или 0, или 1, или 2,…, или раз. Эти вероятности называют комулятивными (накопленными). Таким образом,

а) Р(А)= =;

б) ;

в) 0,96;

г) рассмотрим событие , противоположное D. - в серии из 10 независимых испытаний событие А не появилось ни разу. Тогда =0,566;

Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.

- пусть n =100, k=70, k=80 (для чётных вариантов). Поскольку число независимых испытаний велико, то вероятность появления события А раз в испытаниях определяется по локальной теореме Муавра-Лапласа и приближённо равна: , где , , (значения этой функции находят из таблиц или с помощью встроенной функции dnorm в системе Mathcad).

Для определения вероятностей событий В, С и Е используют интегральную теорему Муавра-Лапласа: вероятность того, что число появления некоторого события будет находится в промежутке от до приближённо равна: , где , , - функция Лапласа, значения которой находятся из специальных таблиц или с помощью встроенной функции pnorm в системе Mathcad.

а) Р(А)=; =-2,5;

б) Р(В)=; ;

в) Р(С)=; ;

д) Р(Е)=, , .

Ниже приведена копия файла, в котором сделаны вычисления в системе Mathcad.

или другой вариант

- известна ещё одна формула для определения вероятности , которую применяют, если велико, мало, а произведение - небольшое число. Это формула Пуассона .

Пусть =1000, =6, =0,003, , поэтому

Р(А) = ==0,05.

При вычислении можно использовать таблицу значений функции , приводимую в некоторых учебниках, или функцию dpois в Mathcad. Ниже приведена копия файла, в котором проведены вычисления в Mathcad.

5. Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения.

Х	0	10	20	30	40	50
Р	0,05	0,15	0,3	0,25	0,2	0,05

Найти:

а) её функцию распределения F(x), построить график F(x);

б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду;

в) вероятность попадания Х в интервал (15;45).

Решение:

а) функция распределения F(x) (интегральная функция распределения) случайной величины Х определяет вероятность события Х<х. Для дискретной случайной величины она находится по формуле = =, где суммирование распространяется на все те , которые меньше .

Итак:

- если , то ;

- если , то

;

- если , то

;

- если , то

- если , то + +.

Таким образом, .

График F(x) построен в системе Mathcad (см. ниже).

б) найдём числовые характеристики. Для дискретной случайной величины математическое ожидание равно сумме произведений всех её возможных значений на вероятности этих значений: . Поэтому

25,5.

Дисперсия случайной величины Х находится либо по формуле , либо по формуле . Для дискретной случайной величины эти формулы перепишутся так: или . Среднее квадратическое отклонение равно ; мода дискретной случайной величины (обозначается ) – это её значение, принимаемое с наибольшей вероятностью; вероятность попадания Х в интервал (а;b) находится по формуле . В нашей задаче эти величины равны:

D(x)=154,75; ; =20;

=0,75.

Ниже приведена копия файла, в котором сделаны вычисления в системе Mathcad, причём вычисление дисперсии проведено по обеим формулам.

6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения .

Найти:

а) её функцию распределения F(x);

б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану;

в) вероятность попадания Х в интервал (1;4).

Построить графики F(x) и f(x).

Решение:

а) функцию распределения находим по формуле . Итак: - если , то , поэтому ;

- если , то = - ;

- если , то .

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид ;

б) числовые характеристики непрерывных случайных величин находятся по формулам: математическое ожидание - ; дисперсия - или (пределы интегрирования зависят от того, принадлежат ли возможные значения случайной величины всей оси Ох или интервалу (a;b)); среднее квадратическое отклонение - ; модой непрерывной случайной величины называется то её значение , при котором плотность распределения максимальна; медианой непрерывной случайной величины называется такое её значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше , т.е. .

Таким образом, в нашей задаче =1,5; 0,45; = 0,671.

Для определения моды надо найти максимум функции на отрезке [0; 3]. Для этого находим производную и приравниваем её к нулю: , при х=3/2, эта точка критическая. Проверяем её на экстремум: . Итак, при переходе через точку х=3/2 знак производной сменился с плюса на минус, значит, х=3/2 точка максимума, поэтому =3/2.

Медиану находим из условия , где = = . Так как = = -, то, решая уравнение -=0,5, получим три корня, из которых подходит один: = 1,5.

Ниже приведёна копия файла с вычислениями в системе Mathcad.

в) вероятность попадания Х в интервал (1;4) равна 0,741

или = = = 0,74.

Ниже приведёна копия файла из Mathcad с вычислениями.

Графики функций F(x) и f(x) построим в системе Mathcad:

7. Среди 6 отобранных деталей 25% нестандартных. Составить закон

распределения числа нестандартных деталей среди отобранных (случайная величина Х ). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение: дискретная случайная величина Х – число нестандартных деталей среди отобранных. Её возможные значения: (нет нестандартных деталей среди отобранных), (одна нестандартная деталь среди отобранных) и т.д. (шесть нестандартных деталей среди отобранных). Возможные значения независимы и вероятность появления каждого из них одинакова и равна р=0,25, поэтому случайная величина Х распределена по биномиальному закону: , где , , .

Итак, =0,178;

=0,356; =0,297;

=0,132; =0,033;

=0,004; =0,0002.

Искомый закон распределения:

Х	0	1	2	3	4	5	6
р	0,178	0,356	0,297	0,132	0,033	0,004	0,0002

Числовые характеристики биномиального распределения можно определить по известным формулам для дискретных случайных величин:

, или . Однако проще воспользоваться свойствами математического ожидания и дисперсии, когда Х – число появления события в n испытаниях: , . Итак, в нашем случае , . 1,06.

Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.

Анализ биномиального распределения удобно проводить в среде Mathcad с использованием специальных функций с корневым словом binom (dbinom, pbinom, qbinom, rbinom). Например, функция dbinom(k,n,p) выводит значения вероятностей и т.д.

8. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов.

Требуется:

а) составить закон распределения числа отказавших элементов;

б) найти вероятность отказа не менее 2 элементов в год.

Решение:

а) дискретная случайная величина Х – число отказавших элементов распределена по закону Пуассона (предельный для биномиального закон распределения, когда вероятность р появления события в каждом испытании мала, а число n проводимых испытаний велико): , где ==1, , .

Таким образом, =0,368; = 0,368; =0,184;

0,061, и т.д. =0,0000001 и т.д. Искомый закон распределения:

Х	0	1	2	3	…	10	…
р	0,368	0,368	0,184	0,061	…	0,0000001	…

Ниже приведена копия файла из Mathcad с вычислениями.

б) вероятность отказа не менее двух элементов вычисляется по формуле:

или = 1 - 0,368 - 0,368 = 0,264.

В среде Mathcad закону распределения Пуассона соответствуют специальные функции с корневым словом pois (dpois, ppois, qpois, rpois). Например, функция dpois(k,n,p) выводит значения вероятностей и т.д.

9. а. Цена деления измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта.

Найти:

а) плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, меньшая (большая) 0,04.

Построить графики F(x) и f(x).

Решение: случайная величина Х – ошибка при округлении отсчёта распределена равномерно между двумя целыми делениями; – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х. Для равномерного распределения имеют место формулы:

- плотность распределения; - функция распределения; - математическое ожидание; - дисперсия;

- вероятность попадания в интервал .

Поэтому в нашей задаче:

а) ;

б) ;

в) ; ;

г) ясно, что при отсчёте будет сделана ошибка, меньшая 0,04, если она попадёт в интервал (0; 0,04) или в интервал (0,16; 0,2) (событие А), т.е. вероятность этого события равна =+ =

==0,4; при отсчёте будет сделана ошибка, большая 0,04, если она попадёт в интервал (0,04; 0,16) (событие В), т.е. вероятность этого события равна ===0,6 или .

Построим графики F(x) и f(x) в системе Mathcad.

9. б. Трамваи некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Случайная величина Х – время ожидания трамвая.

Найти:

а) плотность распределения f(x);

б) функцию распределения F(x);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать трамвай менее (более) 3 минут.

Построить графики F(x) и f(x).

Решение: случайная величина Х – время ожидания трамвая распределена равномерно между двумя последовательными прибытиями автобуса; – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х. Все формулы для равномерного распределения смотри в предыдущей задаче 9. а.

В нашей задаче:

а) ;

б) ;

в) ; ;

г) ясно, что пассажир будет ждать трамвай менее 3 минут, если он подойдёт к остановке в интервал времени (0; 3) или, что всё равно, в интервал (2; 5) (событие А), т.е. вероятность этого события равна ==

==0,6; пассажир будет ждать трамвай более 3 минут, если он подойдёт к остановке в интервал времени (0; 2) или, что всё равно, в интервал (3; 5) (событие В), т.е. вероятность этого события равна = = ==0,4 или .

Построим графики F(x) и f(x) в системе Mathcad.

В среде Mathcad равномерному закону распределения соответствуют специальные функции с корневым словом unif: dunif(x,a,b)– выводит значения плотности распределения; punif(x,a,b) – выводит значения функции распределения; runif(n,a,b) – выводит массив из n значений независимых случайных чисел, распределённых равномерно в интервале (a,b).

10. Время безотказной работы элемента (случайная величина Т) имеет показательное распределение с параметром , где – интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов в единицу времени.

Найти:

а) плотность распределения f(t);

б) функцию распределения F(t), указать её вероятностный смысл;

в) функцию надёжности R(t), указать её вероятностный смысл;

г) математическое ожидание, дисперсию;

д) вероятность того, что за время t=5 ч. элемент откажет и вероятность того, что за время t=5ч. элемент не откажет.

Построить графики F(t), R(t) и f(t).

Решение: показательным называют закон распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью . Другие понятия и формулы для показательного распределения: - функция распределения; если случайная величина Х=Т – время безотказной работы элемента, то определяет вероятность отказа элемента за время t; – функция надёжности, определяет вероятность безотказной работы элемента за время t;

, , ; .

В нашей задаче, учитывая то, что , имеем:

а) ;

б) , определяет вероятность отказа элемента за время t;

в) , определяет вероятность безотказной работы элемента за время t;

г) ; ;

д) поскольку функция распределения определяет вероятность отказа за время t, то, подставив в неё t=5, получим вероятность отказа за время t=5ч: =0,918; события «элемент откажет» и «элемент не откажет» - противоположные, поэтому вероятность безотказной работы элемента за время t=5 равна 1-0,918=0,082. Этот же результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надёжности: =0,082.

Построим графики F(t), R(t) и f(t) и сделаем некоторые вычисления в системе Mathcad:

В среде Mathcad показательному закону распределения соответствуют специальные функции с корневым словом exp: dexp(x,) – выводит значения плотности распределения; pexp(x,) – выводит значения функции распределения; rexp(n, ) – выводит массив из n значений независимых случайных чисел, распределённых по показательному закону с параметром .

11. Случайная ошибка измерения (случайная величина Х) подчинена нормальному закону распределения с параметрами а=10 и =2.

Найти:

а) плотность распределения f(х);

б) функцию распределения F(х);

в) математическое ожидание, дисперсию;

г) вероятность попадания в интервал ;

д) вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине =3.

Построить графики F(х) и f(х).

Решение: нормальным называют закон распределения непрерывной случайной величины Х с плотностью , где а =M(Х) – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение Х. Другие понятия и формулы для нормального распределения: функция распределения – или , где – функция Лапласа, её значения табулированы или их можно найти в системе Mathcad ;

;

вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не более чем на , находится по формуле: .

В нашей задаче:

а) ;

б) ;

в) , , ;

г) ==0,4772-0,3413=0,1359;

д) вероятность того, что измерение произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине =3, будет равна = =0,4332.

Здесь значения функции Лапласа взяты из таблицы, хотя их можно было бы найти в системе Mathcad, где нормальному закону распределения соответствуют функции, в названии имеющие корневое слово norm и начинающиеся с букв d, p, q, r. Например, dnorm (x,a,) – выводит значения плотности распределения f(x); pnorm (x,a,) – выводит значения функции распределения F(x). Воспользуемся этими функциями для построения соответствующих графиков. Копия файла из Mathcad приведена ниже.

2 Расчётно-графическая работа №2. Элементы математической статистики

Цели: изучить основные задачи математической статистики: задачи обработки и анализа результатов наблюдений случайных массовых явлений.

2.1 Теоретические вопросы

1. Предмет математической статистики и её основные задачи. Основные понятия (выборка, объём выборки, варианты, статистический ряд, интервальный ряд).

2. Эмпирическая функция распределения, полигон, гистограмма.

3. Определение неизвестных параметров распределения (выборочная средняя, выборочная и исправленная выборочная дисперсии).

4. Точечные и интервальные оценки параметров распределения.

5. Точность и надёжность оценки. Доверительный интервал.

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины с известным .

7. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределённой случайной величины.

8. Понятие корреляционной зависимости. Функции и линии регрессии.

2.2 Расчётные задания

1. Для данной выборки выполнить задачу обработки и систематизации, определить:

а) вариационный ряд (выборку в порядке возрастания);

б) статистические ряды частот и относительных частот;

в) интервальные статистические ряды частот и относительных частот (минимальную и максимальную варианты, размах выборки, число интервалов, длину интервалов);

г) дискретные (группированные) статистические ряды частот и относительных частот.

2. Для данной выборки выполнить задачу анализа и оценки, определить:

а) по интервальному статистическому ряду построить гистограмму частот и относительных частот;

б) по дискретному статистическому ряду найти:

- полигон частот и относительных частот;

- эмпирическую функцию распределения;

- выборочную среднюю;

- выборочную и исправленную выборочную дисперсии;

- исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;

- выборочные моду и медиану,

в) по статистическим рядам частот и относительных частот найти:

- выборочные начальные моменты третьего и четвёртого порядков;

- выборочный эксцесс;

- выборочный коэффициент асимметрии.

112

125

106

120

132

128

112

101

125

109

118

132

118

121

155

142

138

133

138

126

105

137

140

145

118

128

132

117

109

125

118

129

122

134

112

129

118

128

149

115

123

129

152

125

124

143

122

129

128

135

105

153

140

159

118

132

149

122

132

122

112

116

145

138

118

152

110

116

120

115

100

122

100

105

106

101

112

123

116

122

102

118

100

116

108

104

121

108

102

101

123

111

101

100

102

111

547

565

543

552

558

577

599

565

555

568

545

563

554

561

587

563

574

554

563

552

553

568

564

571

547

566

551

548

586

547

569

552

557

561

554

549

539

562

551

538

561

575

553

549

554

552

533

562

537

572

553

563

571

541

551

581

535

562

558

551

588

572

553

555

561

572

552

558

118

106

102

112

103

123

105

130

115

124

122

132

115

118

112

103

105

118

102

112

122

115

118

115

103

118

105

142

120

102

112

128

125

118

115

102

142

123

105

103

124

116

103

122

118

106

115

125

144

138

129

135

119

132

139

116

106

102

112

125

134

112

105

130

115

124

118

112

132

118

112

103

101

115

118

102

126

105

122

125

115

103

118

117

105

123

105

120

102

112

106

125

103

122

118

115

128

129

142

144

138

103

124

103

118

115

105

118

106

126

118

125

142

118

129

135

122

103

112

154

145

146

157

155

163

168

143

168

152

178

152

169

157

155

122

142

149

145

165

143

113

163

132

195

198

148

179

155

117

152

146

192

151

165

171

165

161

166

143

153

159

168

132

148

182

159

139

149

153

139

136

135

116

166

141

135

107

138

136

126

138

102

168

125

149

170

155

128

169

470

699

797

950

532

584

950

801

840

797

741

885

967

458

790

869

789

473

590

950

511

764

551

875

988

590

531

857

764

707

698

737

975

775

536

950

635

580

787

910

485

699

533

703

821

667

731

756

474

402

801

737

649

869

656

789

520

859

910

797

435

680

889

780

475

856

939

889

741

533

450

442

438

496

466

481

444

434

452

442

468

488

468

498

424

444

482

424

452

404

466

432

425

432

438

489

498

442

440

403

416

452

451

467

483

443

458

477

446

422

398

462

415

455

431

418

442

440

492

446

431

432

474

492

449

435

423

446

412

432

473

417

449

472

424

462

452

402

425

422

250

248

242

296

276

244

271

244

216

212

242

254

276

212

224

230

231

254

282

224

234

232

254

251

218

242

240

262

240

258

204

226

270

272

204

224

202

246

252

254

268

261

244

225

232

238

260

281

254

226

224

282

224

232

234

266

253

252

242

298

268

278

232

234

252

260

242

251

248

165

147

175

187

153

148

154

161

143

155

153

158

186

161

175

164

152

158

174

154

147

189

163

178

167

145

154

171

169

199

149

138

164

158

163

147

162

164

199

177

174

172

166

167

161

172

171

161

152

161

198

161

187

171

181

188

178

171

168

193

178

156

153

162

151

161

135

172

143

149

171

197

172

186

152

175

161

153

188

155

149

156

162

165

174

158

186

161

175

164

163

154

147

189

163

178

177

163

171

169

199

149

138

161

174

163

147

162

164

149

152

172

166

167

161

172

146

188

152

161

198

161

187

152

162

178

171

168

193

178

139

197

151

161

135

172

143

156

234

172

186

152

175

161

152

212

297

277

345

272

253

237

238

231

242

254

276

212

262

264

242

251

254

282

224

234

256

252

254

204

218

242

240

292

264

248

263

246

226

270

272

204

272

247

261

232

252

254

268

261

242

268

266

282

238

260

281

254

244

229

254

242

224

232

234

266

246

235

264

252

298

268

278

253

262

248

276

260

242

232

248

234

212

251

165

148

176

189

157

150

158

143

155

153

158

186

161

175

158

174

154

147

189

163

166

145

154

171

169

199

149

164

158

163

147

162

199

177

174

172

166

167

161

171

161

152

161

198

161

171

181

188

178

171

168

193

156

153

162

151

161

135

172

171

197

172

186

152

175

216

243

298

278

246

273

254

239

230

212

242

254

276

212

262

264

254

231

254

282

224

234

256

252

258

251

218

242

240

262

264

248

202

204

226

270

272

201

272

247

225

246

252

254

268

261

242

268

224

232

238

260

281

254

244

229

252

282

224

232

234

266

246

235

234

242

298

268

278

253

262

250

252

260

242

232

248

234

212

165

149

153

190

159

151

160

165

143

155

174

158

186

161

175

164

152

158

154

147

189

163

178

167

145

163

171

169

199

149

137

165

158

174

163

147

162

164

199

177

152

172

166

167

161

172

171

161

188

152

161

198

161

187

171

181

162

178

171

168

193

178

156

153

197

151

161

135

172

143

152

171

178

172

186

152

175

161

147

169

150

157

156

164

169

180

153

154

152

178

152

169

177

179

143

142

149

145

165

155

162

165

155

132

195

198

148

152

149

159

113

152

146

192

151

175

146

149

155

161

166

143

153

177

113

141

171

148

182

159

139

131

151

102

168

136

135

116

166

154

152

169

153

138

136

126

138

174

134

157

135

149

170

155

128

187

125

558

561

547

566

567

544

553

577

563

552

565

555

556

568

545

552

569

551

587

563

546

574

554

566

547

561

553

568

552

564

571

557

552

538

548

586

543

547

569

551

562

533

554

549

554

549

539

552

554

547

561

575

556

553

549

546

549

552

564

566

578

538

584

575

557

562

553

592

557

575

572

578

543

558

555

562

561

554

535

577

554

558

547

555

577

601

555

568

5455

563

595

563

554

561

541

557

554

563

587

568

552

588

564

571

547

553

586

566

551

558

547

569

552

548

549

557

561

563

549

539

562

554

575

551

538

558

553

549

554

561

564

552

533

572

578

538

549

564

553

546

547

578

557

575

562

585

584

552

539

575

566

558

544

592

556

557

556

347

365

343

352

366

377

399

365

355

368

345

358

354

363

387

363

374

354

363

352

361

348

368

364

352

347

366

352

354

359

347

371

352

357

351

361

375

349

369

362

351

361

364

353

349

354

352

338

362

353

378

338

349

346

353

346

385

357

375

384

333

358

363

358

388

341

351

357

150

116

142

152

144

162

144

130

121

196

176

112

164

124

154

112

142

124

134

164

132

158

131

154

140

162

172

140

102

151

158

172

104

142

124

125

104

118

168

161

144

124

146

126

181

154

146

153

152

132

152

134

166

112

151

134

182

138

168

178

171

148

142

124

132

148

128

112

106

102

103

105

115

124

112

130

122

115

103

132

118

112

118

102

105

112

115

103

118

122

118

115

142

102

112

105

120

128

115

125

118

102

123

124

142

105

103

116

103

106

115

122

118

125

144

135

119

125

138

129

132

102

157

151

152

153

157

165

112

178

143

168

152

154

152

169

118

149

179

122

142

143

145

165

195

165

163

132

155

198

148

112

146

159

117

152

113

192

151

115

166

149

165

161

155

143

153

103

182

141

132

148

171

159

139

135

102

139

136

168

116

166

122

136

169

107

138

153

126

138

125

170

168

125

149

135

155

128

242

250

244

299

276

274

255

240

254

216

212

254

224

212

262

264

218

230

231

282

240

234

256

252

226

254

251

242

272

262

264

248

252

258

204

270

268

204

272

247

238

202

246

254

281

261

242

268

224

225

232

260

234

254

244

229

298

224

282

232

268

266

246

235

260

252

242

268

232

278

253

262

287

234

252

242

300

248

234

212

262

259

253

249

267

254

249

267

248

286

268

288

232

244

252

275

266

275

277

213

258

265

294

266

259

235

249

264

246

274

232

246

252

202

248

247

278

252

269

252

248

239

263

242

279

265

263

261

252

225

243

228

257

222

269

232

236

266

277

255

269

271

262

269

237

212

256

243

254

245

268

287

224

255

251

258

278

235

558

563

546

557

558

602

556

565

568

564

577

554

561

541

587

586

547

568

552

588

553

549

552

574

566

551

558

548

575

562

564

557

561

563

554

564

554

547

551

538

558

561

553

549

552

533

572

564

585

575

553

538

546

547

578

562

577

558

578

575

584

552

539

544

553

592

557

566

532

557

556

165

155

177

191

161

162

153

143

155

153

158

186

189

175

164

152

158

174

154

147

199

163

178

167

145

154

171

169

162

149

138

164

158

163

147

167

162

164

199

177

174

172

166

198

161

172

171

161

152

161

168

161

187

171

181

188

178

171

135

193

178

156

153

162

151

161

152

172

1433

151

171

197

172

186

146

175

161

3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надёжностью , зная выборочную

среднюю , объём выборки n и среднее квадратическое отклонение .

№			n		№			n		№			n
3.1	0.95	75.17	36	6	3.11	0.97	5.21	46	6	3.21	0.92	11.48	36	6
3.2	0.97	7.27	56	7	3.12	0.96	55.23	38	5	3.22	0.94	23.38	39	8
3.3	0.93	75.17	35	5	3.13	0.92	5.21	36	7	3.23	0.93	30.44	56	7
3.4	0.94	8.27	58	9	3.14	0.95	55.23	68	7	3.24	0.99	15.32	38	5
3.5	0.98	76.17	46	6	3.15	0.98	7.21	56	6	3.25	0.95	10.48	46	6
3.6	0.99	7.37	58	7	3.16	0.93	65.23	78	5	3.26	0.98	13.38	39	8
3.7	0.93	65.13	34	6	3.17	0.92	8.21	49	7	3.27	0.93	20.44	66	7
3.8	0.94	9.27	53	8	3.18	0.95	51.23	58	9	3.28	0.97	14.32	58	6
3.9	0.93	85.17	35	6	3.19	0.94	5.21	39	6	3.29	0.94	30.44	86	7
3.10	0.95	8.27	57	9	3.20	0.95	85.23	58	7	3.30	0.99	16.32	38	9

4. Для данных задач 1-2 и результатов этих задач, предполагая, что задано нормальное распределение.

Найти:

а) точность оценки математического ожидания а по выборочной средней с надёжностью ;

б) доверительный интервал для оценки математического ожидания а с надёжностью .

Выборочную среднюю , объём выборки n, среднее квадратическое отклонение взять из задач 1-2, - из задачи 3.

5. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены нормально со средним квадратическим отклонением . Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более при надёжности ?


5.1	0.95	23	6	5.11	0.97	15	5	5.21	0.92	11	4
5.2	0.97	14	8	5.12	0.96	14	6	5.22	0.94	23	8
5.3	0.93	21	9	5.13	0.92	23	4	5.23	0.93	25	7
5.4	0.94	15	5	5.14	0.95	12	3	5.24	0.99	17	5
5.5	0.98	13	6	5.15	0.98	14	8	5.25	0.95	10	3
5.6	0.99	20	4	5.16	0.93	20	6	5.26	0.98	13	4
5.7	0.93	24	7	5.17	0.92	22	7	5.27	0.93	21	7
5.8	0.94	18	4	5.18	0.95	19	5	5.28	0.97	14	5
5.9	0.93	16	7	5.19	0.94	16	3	5.29	0.94	24	8
5.10	0.95	19	6	5.20	0.95	18	4	5.30	0.99	12	4

2.3 Решение типового варианта

1. Для данной выборки выполнить задачу обработки и систематизации. Определить:

а) вариационный ряд (выборку в порядке возрастания);

б) статистические ряды частот и относительных частот;

г) дискретные (группированные) статистические ряды частот и относительных частот.

2. Для данной выборки выполнить задачу анализа, определить:

а) по интервальному статистическому ряду построить гистограмму частот и относительных частот;

б) по дискретному статистическому ряду найти:

- полигон частот и относительных частот;

- эмпирическую функцию распределения;

- выборочную среднюю;

- выборочную и исправленную выборочную дисперсии;

- выборочное и исправленное выборочное среднеквадратические отклонения;

- выборочные моду и медиану;

в) по статистическим рядам частот и относительных частот найти:

- выборочные начальные и центральные моменты третьего и четвёртого порядков;

- выборочный эксцесс;

- выборочный коэффициент асимметрии.

Решение: заметим, что вычисления и построение графиков производится в среде Mathcad. Копия файла из Mathcad приведена ниже. То, что получено в Mathcad, следует оформить и пояснить.

1. а) объём выборки n = 55. Вариационный ряд (выборка в порядке возрастания):

(в среде Mathcad эта таблица просматривается вся нажатием на указатель направления движения);

б) по вариационному ряду посчитаем, сколько раз имеет место каждая варианта, т.е. частоту () каждой варианты. Полученные данные занесём в таблицу – статистический ряд частот:

	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
	1	1	1	2	4	4	5	7	6	8	7	5	1	2

Относительные частоты вариант найдём по формуле , где n объём выборки, полученные результаты занесём в таблицу - статистический ряд относительных частот:

10	11	12	13	14	15	16	17	18
0,018	0,018	0,018	0,036	0,073	0,073	0,091	0.127	0,109
19	20	21	22	23
0,145	0,127	0,091	0,018	0,036

в) для построения интервального статистического ряда определим сначала следующее: наибольшая и наименьшая варианты: , ; размах выборки: ; величину интервалов найдём по формуле Стерджеса , = 1,917 и округляем до целого ; число интервалов – знаменатель этой формулы или =6,781, округляем до целого ; за начало первого интервала рекомендуется брать величину , ; число вариант, попавших в каждый интервал ( т.е. частоты ), и относительные частоты ( т.е. ) найдены в среде Mathcad (см. и ).

Таким образом, искомый интервальный ряд имеет вид:

интервалы	[9,11)	[11,13)	[13,15)	[15,17)	[17,19)	[19,21)	[21,23]
	1	2	6	9	13	16	8
	0,018	0,036	0,109	0,164	0,236	0,291	0,145

в) для построения дискретного статистического ряда (или в некоторых учебниках его называют группированным статистическим рядом) найдём середины интервалов (см. в Mathcad), им будут отвечать соответствующие частоты и относительные частоты из интервального ряда.

Искомый дискретный статистический ряд:

10	12	14	16	18	20	22
1	2	6	9	13	16	8
0,018	0,036	0,109	0,164	0,236	0,291	0,145

2. а) по интервальному статистическому ряду построим гистограмму частот и относительных частот (в среде Mathcad):

б) по дискретному статистическому ряду найдём:

- полигон частот и относительных частот:

- эмпирическую функцию распределения (см.и в Mathcad):

- выборочную среднюю (см. mean(X) в Mathcad): или =17,564;

- выборочную и исправленную выборочную дисперсии (см. var(X) и s2 в Mathcad): или = 8,428 – выборочная дисперсия; = 8,584 – исправленная выборочная дисперсия;

- выборочное среднеквадратическое отклонение (см. stdev(X) или в Mathcad) и исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение (см. s в Mathcad): ; ;

- выборочные моду и медиану (см. mode(X) и median(X) в Mathcad): мо-

да = 19 определяет варианту, имеющую наибольшую частоту (мода может быть не одна, её просто найти по статистическому ряду частот); медиана =18 определяет середину вариационного ряда и зависит от чётности объёма выборки: ;

в) по статистическим рядам частот и относительных частот (см. у и р в Mathcad) найдём:

- сначала выборочные начальные и центральные моменты k-го порядка (М(k) и m(k) в Mathcad), затем, полагая k равно 3 и 4, выборочные начальные М(3)=, М(4)= и выборочные центральные , моменты третьего и четвёртого порядков;

- выборочный эксцесс ;

- выборочный коэффициент асимметрии .

Заметим, что здесь найдены также выборочная средняя , выборочная дисперсия , выборочное среднеквадратическое отклонение . Они отличаются от найденых выше, т.к. определены по другим статистическим рядам.

Копия файла из Mathcad :

3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надёжностью 0,95, зная выборочную среднюю 18, объём выборки 25 и среднее квадратическое отклонение 3.

Решение: доверительный интервал для оценки математического ожидания а имеет вид . Все величины, кроме t, известны. Найдём t из соотношения , где функция Лапласа, её значения табулированы. По таблице . Таким образом, .

Ответ: (16,824; 19,176).

4. Для данных задач 1-2 и результатов этих задач, предполагая, что задано нормальное распределение, найти:

а) точность оценки математического ожидания а по выборочной средней с надёжностью ;

б) доверительный интервал для оценки математического ожидания а с надёжностью .

Выборочную среднюю , объём выборки n, среднее квадратическое отклонение взять из задач 1-2; - из задачи 3.

Решение: из задач 1-2 выборочная средняя =17,564, объём выборки n=55, среднее квадратическое отклонение =2,903, из задачи 3= 0,95;

а) точность оценки математического ожидания а определяется формулой . t найдено в задаче 3: . Поэтому точность будет равна 0,77;

б) по формуле, указанной в задаче 3, найдём доверительный интервал: или .

5. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены нормально со средним квадратическим отклонением =15. Сколько надо сделать независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более =5 при надёжности =0,9?

Решение: из формулы, определяющей точность оценки математического ожидания найдём . Определим t из соотношения . По таблице . Поэтому . Таким образом, надо сделать не менее 25 измерений.

Список литературы

1 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. школа, 2013.- 279 с.

2 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. школа, 2003.- 400 с.

3 Ивановский Р.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами изадачами в среде Mathcad. - СПб.: БХВ- Петербург, 2008. – 528 с.

4 Письменный Д. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики, случайные процессы. – М.: Айрис -пресс, 2006. – 288 с.

5 Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс – М.: Айрис-пресс, 2011. – 576 с.

Содержание

1 Расчётно-графическая работа №1. Случайные события и случайные величины………………………………………………………………………...	3
1.2 Расчётные задания………………………………………………………….	4
1.3 Решение типового варианта……………………………………………….	12
2 Расчётно-графическая работа №2. Элементы математической статистики. …………..…………………………………………………………	30
2.2 Расчётные задания………………………………………………………….	30
2.3 Решение типового варианта……………………………………………….	38
Список литературы……………………………………………………………..	46

Сводный план 2017 г., поз. 127

Астраханцева Людмила Николаевна

Байсалова Маншук Жумамуратовна

ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности

5В070400- Вычислительная техника и программное обеспечение

Редактор Л.Т.Сластихина

Специалист по стандартизации Н.К.Молдабекова

Подписано в печать_______ Формат 60х84 1/16

Тираж 25 экз. Бумага типографская №1

Объем 2,88 уч.-из.л. Заказ______ цена 1440 тг.

Копировально-множительное бюро

некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи»

050013 Алматы, ул.Байтурсынова, 126