БІРІНШІ ТАРАУ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ

БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

«Алматы энергетика және байланыс институтының»

Коммерциялық емес акционерлік қоғамы

С.Е.Ералиев, М.Ш.Тілепиев

КӨП АЙНЫМАЛЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ

ИНТЕГРАЛДЫҚ ЕСЕПТЕУЛЕРІ

Оқу құралы

Алматы 2007

ӘОК: 378(075.8):51

ББК 22.161.6 я 73

Ералиев С.Е., Тілепиев М.Ш.

Е64 Көп айнымалы функциялардың интегралдық есептеулері. Оқу құралы. Алматы: АЭжБИ, 2007. - 64 бет.

JSBN 9965-708-46-0

Бұл оқулық техникалық жоғары оқу орындарының бағдарламасына сәйкес жазылған. Мұнда көп айнымалы функциялардың интегралдық есептеу теориясының негізгі анықтамалары мен қасиеттерін терең түсіну үшін, таңдалып алынған мысалдар қарастырылған және әрбір параграфтың соңында есептер берілген. Сондықтан бұл оқулықты есептер жинағы ретінде пайдалануға болады.

Бұл оқулық кредиттік жүйе бойынша оқылатын оқу орындарының студенттеріне арналған.

ББК 22.161.6 я 73

Пікір берушілер: ҚазҰУ, физ. – мат. ғыл. д-р, проф., акад. Н.Т.Данаев.

АЭжБИ, физ. – мат. ғыл. канд., проф. С.Е.Базарбаева

Қазақстан Республикасының Білім және Ғылым министірлігінің 2007 жылғы баспа жоспары бойынша басылды.

JSBN 9965-708-46-0

Мазмұны

1	Көп айнымалы функциялар (Бейнелер)...........................................	3
1.1	Көп айнымалы функцияның анықтау облысы (аймағы)…………	3
1.2	Көп айнымалы функцияның дербес, толық
өсімшелері және дербес жуындылары…………………………………..		4
1.3	Көп айнымалы функцияның толық дифференциалы…………….	6
1.4	Көп айнымалы функциялардың жоғары ретті дербес
туындылары мен дифференциалдары…………………………………..		8
1.5	Күрделі функцияны дифференциалдау…………………………...	11
1.6	Айқындалмаған функциялардың туындысы……………………...	13
1.7	Бетке жүргізілген жанама жазықтық
және нормаль (тіктеме) түзу……………………………………………..		14
1.8	Екі айнымалы функцияның экстремумы………………………….	16
1.9	Шартты экстремум. Функцияның ең үлкен
және ең кіші мәндері……………………………………………………...		18
2	Екі еселі интегралдар……………………………………………….	21
2.1	Тік бұрышты координаталар (мекендіктер) жүйесінде
анықталған екі еселі интегралдар………………………………………..		21
2.2	Екі еселі интегралдағы айнымалыларды ауыстыру……………...	29
2.3	Полярлық координаталар жүйесінде анықталған
екі еселі инегралдар………………………………………………………		29
2.4	Жазық фигуралардың (пішіндердің) аудандарын
есептеу..........................................................................................................		32
2.5	Денелердің көлемдерін есептеу……………………………………	35
2.6	Беттің ауданын есептеу ……………………………………………	37
2.7	Екі еселі интегралдардың механикада және
физикада қолданылуы ……………………………………………………		39
3	Үш еселі интегралдар………………………………………………	43
3.1	Тік бұрышты координаталар жүйесіндегі үш еселі
интегралдар………………………………………………………………..		43
3.2	Үш еселі интегралдағы айнымалыларды алмастыру…………….	47
3.3	Үш еселі интегралдың механикада және физикада
қолданылуы………………………………………………………………..		49
Жауаптары…………………………………………………………………		54
Әдебиеттер тізімі………………………………………………………….		60

1 Көп айнымалы функциялар (бейнелер)

1.1 Көп айнымалы функцияның анықталу облысы (аймағы)

Егер D облысында бір-бірінен тәуелсіз қос (x,y) айнымалыларының әрбір мәніне z айнымалысының анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда z айнымалысы x және y айнымалыларына байланысты екі айнымалы функция деп аталады және оны

және тағы да басқа символдардың (ишараттардың) бірімен белгілейді.

функциясы анықталатын x және y мәндерінің қос жиынын осы функцияның анықталу облысы деп атайды.

Қарапайым жағдайда, функциясының анықталу облысы жазықтығы, жазықтығының тұйық сызықтармен шектелген бөлігі немесе осы жазықтықтың бірнеше бөліктерінің жиынтығы болады. функциясының тік бұрышты координаталар жүйесіндегі геометриялық бейнесі (графигі) осы теңдеумен анықталатын бет болып табылады.

Егер бір-бірінен тәуелсіз айнымалыларының әрбір мәніне u айнымалысының анықталған бір мәні сәйкес келсе, онда u айнымалысы айнымалыларына байланысты көп айнымалы функция деп аталады да

және тағыда басқа символдардың бірімен белгіленеді.

1-мысал. функциясының анықталу облысын табу керек.

Шешуі. Берілген функция x пен y-тің кезкелген мәнінде анықталған, яғни анықталу облысы бүкіл жазықтығы болып табылады.

2-мысал. функциясының анықталу облысын табу керек.

Шешуі. Логарифмдік функция , яғни болғанда ғана анықталады. Осыдан, функцияның анықталу облысы түзуінен төмен орналасқан жазықтығының бөлігі болып табылады.

3-мысал. функциясының анықталу облысын табу керек.

Шешуі. Фунция нақты мәндерін немесе болғанда ғана қабылдайды, яғни функцияның анықталу облысы центрі координаталар жүйесінің бас нүктесі, ал радиусы -ға тең болатын дөңгелектен тыс орналасқан жазықтығының бөлігі.

4-мысал. функциясының анықталу облысын табу керек.

Шешуі. Берілген функция теңсіздігі орындалғанда ғана анықталады. Осыдан функцияның анықталу облысы және түзулерінің арасында орналасқан жазықтығының бөлігі болады.

Берілген функцияларының анықталу облысын табу керек:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

1.2 Көп айнымалы функцияның дербес, толық өсімшелері және дербес туындылары

жазықтығының D облысында анықталған функциясын қарастырайық. Мұндағы x пен y-ті бекітіп алып, айнымалысына өсімшесін берейік. Сонда айнымалысы бойынша z функциясының дербес өсімшесі

(1)

формуласымен (кейіптемесімен) анықталады.

функциясындағы x пен y айнымалыларын бекітіп алып, y айнымалысына өсімшесін берсек, онда y айнымалысы бойынша дербес өсімшесі

(2)

формуласымен анықталады.

Егер x пен y айнымалылары бекітіліп алынып, олар сәйкесінше және өсімшелерін қабылдаса, онда функциясының толық өсімшесі

(3)

формуласымен анықталады.

5-мысал. функциясының x және y айнымалылары бойынша дердес өсімшелерін және толық өсімшесін табу керек.

Шешуі.

функциясының x айнымалысы бойынша дербес туындысы деп

(4)

шегін айтады. Бұл жағдайда -ті тұрақты деп алу керек.

функциясының айнымалысы бойынша дербес туындысы деп

(5)

шегін айтады. Бұл жағдайда -ті тұрақты деп алу керек.

6-мысал. функциясының дербес туындысын табу керек.

Шешуі. -ті тұрақты деп алып,

табамыз.

Осы сияқты, -ті тұрақты деп алып,

табамыз.

7-мысал. функциясының дербес туындыларын табу керек.

Шешуі.

8-мысал. Үш айнымалы функциясының дербес туындыларын табу керек.

Шешуі.

;

Берілген функциялардың дербес өсімшелерін табу керек:

11. 12.

13. 14.

15. 16.

Берілген функциялардың дербес туындыларын табу керек:

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36. .

1.3 Көп айнымалы функцияның толық дифференциалы.

функциясының толық өсімшесі -ті дербес туындылары арқылы

(6)

түрінде жазуға болады, мұндағы алдыңғы екі қосынды өсімшенің негізгі бөлігі, ал кейінгі екі қосынды қосалқы бөлігі деп аталады. және шамаларымен салыстырғанда қосалқы жоғары ретті ақырсыз аз шама болғандықтан ұмтылғанда .

Толық өсімшенің негізгі бөлігі функцияның толық дифференциалы деп аталып

(7)

арқылы белгіленеді. Мұндағы ал сәйкес және айнымалылары бойынша дербес диффееренциалдары деп аталады.

Егер көп айнымалы функциясы берілсе, онда оның толық дифференциалы

(8)

формуласымен анықталады.

-ң аз мәнінде дифференциалданатын функциясы үшін төмендегі жуықтап есептеу формуласы қолданылады.

осыдан

(9)

9-мысал. функциясының толық дифференциалын табу керек.

Шешуі. Дербес туындыларын табайық.

Осыдан

10-мысал. функциясының толық дифференциалын табу керек.

Шешуі.

Осыдан

11-мысал. санының жуық мәнін табу керек.

Шешуі. функциясын қарастырайық.

осыдан

Берілген функциялардың толық дифференциалдарын табу керек:

санын жуықтап есептеу керек.

санын есептеу керек.

1.4 Көп айнымалы функциялардың жоғары ретті дербес туындылары мен дифференциалдары

функциясының екінші ретті дербес туындысы деп осы функцияның дербес туындысының дербес туындысын айтады және оны былай белгілейді:

(10)

Осылай үшінші және жоғары ретті дербес туындылары табылады:

(11)

және т.с.с.

функциясы және оның дербес туындылары облысында анықталған және үзіліссіз болса, онда осы облыста “аралас” туындылары тең болады:

(12)

функциясының екінші ретті дифференциалы деп осы функцияның дифференциалының дифференциалын айтады:

(13)

Осы сияқты үшінші және жоғары ретті дифференциалдары анықталады:

(14)

Егер және бір – бірінен тәуелсіз айнымалылар, ал функциясының үзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда жоғары ретті дифференциалдар

(15)

формулаларымен анықталады.

12-мысал. функциясының екінші ретті дербес туындыларын және екінші ретті дифференциалын табу керек.

Шешуі. Алдымен дербес туындыларын табайық:

Енді

Берілген функциялардың екінші ретті дербес туындыларын табу керек:

Берілген функциялардың екінші ретті дифференциалдарын табу керек:

функциясының теңдеуін қанағаттандыратындығын дәлелдеу керек.

66. Екі рет дифференциалданатын кез келген функциясының теңдеуін қанағаттандыратындығын дәлелдеу керек.

функциясының теңдеуін қанағаттандыратындығын дәлелдеу керек.

1.5 Күрделі функцияны дифференциалдау

Дифференциалданатын функциясы берілсін, мұнда . Бұл күрделі функциясының дербес туындылары

(16)

формулаларымен есептеледі.

Дифференциалданатын функциясы берілсін, мұнда Бұл күрделі функциясының бойынша туындысы

(17)

формуласымен есептеледі.

Дифференциалданатын функциясы берілсін, мұнда . Бұл функциясының бойынша туындысы

(18)

формуласымен есептеледі.

13-мысал. функциясының, мұндағы дербес туындыларын табу керек.

Шешуі.

14-мысал. функциясы берілген, мұндағы , туындысын табу керек.

Шешуі.

15-мысал. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

Шешуі.

Осыдан

функциясы берілген, мұндағы , дербес туындыларын табу керек.

72. функциясы берілген, мұндағы , дербес туындыларын табу керек.

73. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

74. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

75. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

76. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

77. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

78. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

79. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

80. функциясы берілген, мұндағы туындысын табу керек.

1.6 Айқындалмаған функциялардың туындысы

теңдеуі түрінде берілген айқындалмаған функциясының туындысы

формуласымен анықталады, мұндағы функциясы x және y айнымалылары бойынша дифференциалданатын әрі функция.

теңдеуі түрінде берілген айқындалмаған функциясының x және y айнымалылары бойынша дербес туындылары

(19)

формулаларымен анықталады, мұндағы функциясы және айнымалылары бойынша дифференциалданатын әрі функция.

17-мысал. функциясы берілген. туындысын табу керек.

Шешуі. ,

Осыдан

18-мысал. функциясы берілген. туындыларын табу керек.

Шешуі. ,

, ,

Осыдан

Айқындалмаған функциясының туындысын табу керек:

81. 82.

83. 84.

85. 86. .

Айқындалмаған функциясының x және y айнымалылары бойынша дербес туындыларын табу керек:

87. 88.

89. 90.

91. 92. .

1.7 Бетке жүргізілген жанама жазықтық және нормаль(тіктеме) түзу

Қарастырылатын беті теңдеуімен берілсін. Беттің бойынан нүктесін алайық. Осы нүктеде функциясы дифференциалданатын болсын.

Беттің нүктесі арқылы өтетін барлық қисықтарға жүргізілген жанамалардан тұратын жазықтықты жанама жазықтық дейді. Оның теңдеуі

(20)

нүктесі арқылы өтетін және жанама жазықтыққа перпендикуляр болатын түзуді беттің нормалі дейді. Оның теңдеуі

(21)

Егер беті теңдеуімен берілсе, онда нүктесіндегі жанама жазықтықтың теңдеуі

, (22)

ал нормальдің теңдеуі

(23)

19-мысал. функциясының нүктесіндегі жанама жазықтығының және нормалінің теңдеулерін жазу керек.

Шешуі. нүктесінде

Осыдан жанама жазықтығының теңдеуі

немесе

ал нормалінің теңдеуі

20-мысал. функциясының нүктесіндегі жанама жазықтығының және нормаль түзуінің теңдеулерін жазу керек.

Шешуі.

Осыдан жанама жазықтығының теңдеуі

немесе , ал нормаль түзуінің теңдеуі

Берілген беттерінің нүктелеріндегі жанама жазықтықтарының және тіктемелерінің теңдеулерін жазу керек:

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100.

1.8 Екі айнымалы функцияның экстремумы

аймағында анықталған функциясы берілсін. Осы аймақта жататын нүктесінің маңайында жататын барлық нүктелерінде теңсіздігі орындалса, онда функциясы нүктесінде максимум (минимум) мәнін қабылдайды. “Максимум” және “минимум” мәндері экстремум мәндері деп аталады. Үш және одан көп айнымалылардың функцияларының экстремумдарыда осылайша анықталады. Кез келген дифференциалданатын екі айнымалы функция экстремум мәндерін тек оның барлық дербес туындылары нөлге тең болатын нүктелерде ғана қабылдайды. Мұндай нүктелер стационарлық (тұрақты) нүктелер деп аталады. Мысалы, дифференциалданатын функциясының стационарлық нүктесі

(24)

жүйесін шешу арқылы анықталады. (24) – шарт функциясының экстремум мәндерін қабылдауының қажеттілік шарты болып табылады. Яғни стационарлық нүктелердің барлығы бірдей экстремум нүктелері бола бермейді. Сондықтан олардың әрқайсы төмендегі функцияның экстремум мәндерін қабылдауының жеткілікті шартын қанағантандыру керек. нүктесі функциясының стационар нүктесі болсын.

(25)

деп белгілейік. Егер стационарлық нүктесінде:

а) және болса, онда минимум нүктесі болады,

және болса, онда максимум нүктесі болады;

б) болса, онда нүктесінде экстремум болмайды;

в) болса, онда бұл нүктеде экстремум болуы да болмауы да мүмкін.

21-мысал. функциясын экстремумге зерттеу керек.

Шешуі. Бірінші ретті дербес туындылары

болады, осыдан

теңдеулер жүйесінің шешімі . нүктесіндегі екінші ретті дербес туындылары

болады. Сонымен

Яғни нүктесінде берілген функция минимум мәнін қабылдайды және ол

болады.

22-мысал. функциясын экстремумге зерттеу керек ().

Шешуі.

теңдеулер жүйесінің шешімі

және .

Екінші ретті дербес туындысын табайық.

нүктесінде

Яғни нүктесінде берілген функция минимум мәнін қабылдайды және ол тең болады. нүктесінде

Яғни нүктесінде экстремум жоқ.

Берілген функцияларды экстремумге зерттеу керек:

101. 102.

103. 104.

105. 106. .

1.9 Шартты эктремум. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері

функциясының шартты экстремумы деп осы функцияның, x және y айнымалыларының теңдеуімен байланысты болған жағдайдағы экстремум мәнін айтады. Мұндағы теңдеуі байланыс теңдеуі деп аталады.

Шартты экстремумды табу үшін Лагранж функциясы деп аталатын функциясының экстремумын табу жеткілікті, мұндағы - анықталмаған тұрақты көбейткіш.

Лагранж функциясының экстремумының бар болуының қажетті шарты:

(26)

Осы үш теңдеуден тұратын жүйеден және мәндерін табуға болады.

тұйық облысында функциясының ең үлкен және ең кіші мәндерін табу үшін:

а) облысының ішінде жатқан барлық стационарлық нүктелерді тауып, осы нүктелердегі функцияның мәндерін есептеу керек (бұл нүктелерде экстремум мәндерінің болуын не болмауын тексерудің қажеті жоқ).

б) облысының шекарасында функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек.

в) Барлық табылған мәндердің ең кішісін (бұл ең кіші мән) және ең үлкенін (бұл ең үлкен мән) таңдап аламыз.

23-мысал. функциясының байланыс теңдеуі берілген жағдайдағы шартты экстремумын табу керек.

Шешуі. Лагранж функциясын қарастырайық:

жүйесінен мәндері табылады. Осыдан нүктесінде функциясы шартты максимум мәнін қабылдайды және ол болады.

24-мысал. функциясының , , сызықтарымен шектелген тұйық облысындағы (аймағындағы) ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек.

Шешуі. Стационар (тұрақты) нүктесін табайық.

Осы жүйеден нүктесі облысының ішінде жатыр.

A

N

0

1 – сурет

Енді берілген функцияны облысының шекарасында зерттейік. Облыс шекарасы ОА, АВ және ОВ кесінділерінен тұрады:

1) ОА бөлігінде осыдан

ОА кесіндісінің шеткі нүктелерінде ,

2) ОВ бөлігінде , осыдан

ОВ кесіндісінің шеткі нүктелерінде

АВ бөлігінде

немесе , ,

АВ кесіндісінің шеткі нүктелеріндегі мәндері белгілі.

Табылған мәндерін салыстыра отырып, функциясының облысындағы ең үлкен мәні ал ең кіші мәні болатындығын анықтаймыз.

функциясының байланыс теңдеуі берілген жағдайдағы шартты экстремумын табу керек.

Берілген функциясының берілген сызықтармен шектелген облысында ең үлкен және ең кіші мәндерін табу керек:

2 ЕКІ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАР

2.1 Тік бұрышты координаталар (мекендіктер) жүйесінде анықталған екі еселі интегралдар.

жазықтығының жабық аймағында анықталған функциясы берілсін. аймағын кез келген жолмен жай аймақтарға бөлейік. Осы жай (қарапайым) аймақтардың аудандарын деп, ал сәйкес диаметрлерін арқылы белгілейік, мұндағы аймақ диаметрі деп осы аймақта жататын кезкелеген екі нүктенің ара қашықтықтарының ең үлкенін айтады. Әрбір жай аймақтан кез келген бір , нүктеден таңдап алып, осы нүктелердегі анықталатын функциялардың мәндерін сәйкес аудандарына көбейтіп қолдансақ:

Осы қосынды функциясының аймағындағы интегралдық қосындысы деп аталады.

Егер интегралдық қосындының шегі бар және ол шек аймағын жай аймақтарға қалай бөлгенімізге де, әрбір жай аймақтан нүктелерін қалай алғанымызға да байланысты болмаса, онда осы шек функциясының аймағындағы екі еселі интегралы деп аталады да былай белгіленеді:

(1)

Егер аймағында болса, онда екі еселі интегралы жоғарыдан бетімен, бүйір жағынан аймағының шекарасы арқылы өтетін осіне параллель болатын цилиндр бетімен, төменнен жазықтығымен шектелген цилиндрлік дененің көлеміне тең болады.

Екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері:

1. .

2. , мұндағы – тұрақты сан.

3. Егер аймағын және аймақтарына бөлсек, онда
.

4. Егер аймағында болса, онда .

5. Екі еселі интегралды бағалау.

Егер болма, онда ,

мұндағы – аймағының ауданы, ал мен сәйкесінше функциясының осы аймақтағы ең кіші және ең үлкен мәндері.

6. функциясының аймағындағы орта мәні туралы теорема.

Егер аймағында функциясы үзіліссіз болса, онда теңдігі орындалатындай осы аймақта жататын нүктесі табылады.

Екі еселі интегралды есептеу

Интегралдау аймағы берілу пішіні (тұрпаты) бойынша екі түрге бөлінеді.

а) аймағы мен түзулерімен пен ( жатқанда ) үзіліссіз қисық сызықтарымен шектелсін әрі осіне (беліне) параллель (қатарлас) жүргізілген түзулер осы қисықтардың әрқайсысын тек бір нүктеде қисын (2 - сурет).

2 – сурет

Осындай аймақ үшін екі еселі интеграл формуласымен (кейіптемесімен) есептелінеді. Есептеу кезінде алдымен ішкі интегралы есептелінеді әрі бұл жағдайда айнымалысы тұрақты деп саналады.

(2)

б) аймағы мен түзулерімен пен ( жатқанда ) үзіліссіз қисық сызықтарымен шектелсін әрі осіне (беліне) параллель (қатарлас) жүргізілген түзулер осы қисықтардың әрқайсысын тек бір нүктеде қисын (3 – сурет).

3-сурет

(3)

Берілген формулалардың оң жақтары қайталама интегралдар деп аталады.

1-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы тіктөртбұрыш: .

Шешуі.

2-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы квадрат: .

Шешуі.

3-мысал. интегралын есептеу керек.

Шешуі. .

4-мысал. интегалын есептеу керек, мұндағы аймағы параболаларымен шектелген.

Шешуі. аймағын сызайық. және параболаларының қиылысу нүктелері және болады (4 - сурет).

болғандықтан

4-сурет

Енді осы интегралдың интегралдау ретін өзгертейік. Алдымен бойынша одан кейін бойынша интегралдайық.

болғандықтан

5-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы параболасымен түзулерімен шектелген.

Шешуі. аймағын құрайық (5-сурет).

Қиылысу нүктелері , болады. Алдымен бойынша, одан кейін бойынша интегралдайық. болғандықтан

5-сурет

Енді интегралдау ретін өгертейік. Алдымен бойынша, содан кейін бойынша интегралдайық (6-сурет).

6-сурет

Бұл жағдайда облысы үш облыстарына бөлінеді:

Сонымен

6-мысал. функциясының аймағындағы орта мәнін табу керек, мұндағы аймағы:

Шешуі. ,

7-мысал. интегралының интегралдау ретін өзгерту керек.

Шешуі. аймағы сызықтарымен шектелеген. Интегралдау ретін өзгерту үшін аймағын түзуімен және аймақтарына бөлеміз (7-сурет):

6-сурет

аймағы сол жағынан параболасымен, ал оң жағынан түзуімен шектелген, яғни , .

аймағы оң және сол жағынан параболасымен шектелген, яғни .

Сонымен

1. интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: .

2. интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: .

3. интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: .

4. интегралын есептеу керек, мұндағы квадрат: .

5. интегралын есептеу керек, мұндағы тіктөртбұрыш: .

6. интегралын есептеу керек, мұндағы квадрат: .

7. интегралын есептеу керек, мұндағы квадрат: .

8. интегралын есептеу керек.

9. интегралын есептеу керек.

10. интегралын есептеу керек.

11. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген.

12. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы және параболаларымен шектелген.

13. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы түзулерімен шектелген.

14. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген.

15. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген.

16. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген.

17. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы сызықтарымен шектелген.

Екі еселі интегралдардың интегралдау реттерін өзгерту керек:

18.	19.
20.	21.
22.	23.
24.	25.

2.2 Екі еселі интегралдағы айнымалыларды алмастыру

Екі еселі интегралда координатасынан, формуласының көмегімен, координатасына көшу

(4)

формуласымен жүзеге асады, мұндағы ;

– якобиян,

ал өзара бірмәнді, аймағында үзіліссіз әрі осы аймақта үзіліссіз бірінші ретті дербес туындылары бар функциялар.

2.3 Полярлық координаталар жүйесінде анықталған екі еселі интегралдар

Екі еселі интегралдарда тік бұрышты координаталарынан, , формулаларының көмегімен, полярлық координаталарына көшу

(5)

формуласымен жүзеге асады. Мұндағы

болады.

Егер интегралдау аймағы және сәулелерімен, және ( жатқанда болса) қисық сызықтарымен шектелсе, онда екі еселі интеграл

формуласымен есептелінеді (8-сурет).

8-сурет

Егер екі еселі интегралдағы айнымалыларды алмастыру

формулаларының көмегімен жасалса, онда мұндағы мен жалпы полярлық координаталар деп аталады да якобиян .

8-мысал. Полярлық координаталар жүйесіне көшу арқылы интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы шеңберімен шектелген .

Шешуі. аймағы радиусы тең, центрі болатын дөңгелек болғандықтан полярлық координаталарға көшеміз. шеңбері полярлық координаталар жүйесінде формуласы арқылы анықталады. болғандықтан (5) – формуланы қолдансақ

9-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы , шеңберлерімен шектелген.

Шешуі. аймағы радиустары -ке және -ге тең, ал центрлері координаталар жүйесінің бас нүктесі болатын екі шеңбердің арасындағы сақина болғандықтан полярлық координаталарға көшеміз. Бұл шеңберлер полярлық координаталар жүйесінде және формулалры арқылы анықталады. Сондықтан болғандықтан, (5)-формуланы қолдансақ

10-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы эллипсімен шектелген.

Шешуі. деп алсақ, онда эллипсінің полярлық координаталар жүйесіндегі теңдеуі . Якобиян , ал болғандықтан

11-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы түзулерімен шектелген.

Шешуі. немесе деп алсақ, онда , ал якобиян

болады. Сонымен

Полярлық координаталарға көшу арқылы келесі екі еселі интегралдарды есептеу керек:

26. , мұндағы аймағы шеңберімен шектелген.

27. , мұндағы аймағы дөңгелегінің бірінші ширегі.

28. , мұндағы аймағы және шеңберлерімен шектелген.

29. , мұндағы аймағы жарты шеңберімен, осімен шектелген .

30. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы пен және мен гиперболасымен шектелген.

Ескерту. .

2.4 Жазық фигуралардың (пішіндердің) аудандарын есептеу

аймағымен шектелген жазық фигураның ауданы

(6)

формуласымен анықталады.

Егер аймағы теңсіздіктерімен шектелсе, онда

Егер аймағы полярлық координаталар жүйесінде , теңсіздіктерімен шектелсе, онда

12-мысал. және сызықтарымен шектелген жазық фигураның ауданын табу керек.

Шешуі. Берілген сызықтардың қиылысу нүктелерін табамыз:

олар және нүктелері (9-сурет). Сонымен , болғандықтан

9-сурет

13-мысал. Полярлық координаталар жүйесіне көшу арқылы қисық сызығымен шектелген жазық фигураның ауданын табу керек .

Шешуі. формулалары арқылы полярлық координаталар жүйесіне көшсек немесе

, мұндағы болғандықтан . Яғни 0-ден -ке дейін өзгергендегі фигураның ауданы берілген фигураның ауданының жартысына тең болады (10-сурет).

10- сурет

Сонымен

Берілген сызықтармен шектелген жазық фигуралардың аудандарын табу керек:

31. . 32. .

33. . 34.

35. (эллипс). 36. .

37. . 38. .

39. . 40. .

2.5 Денелердің көлемдерін есептеу

Жоғарыдан бетімен, төменнен жазықтығымен, бүйір жағынан облысының шекарасы арқылы өтетін осіне параллель болатын цилиндр бетімен шектелеген дененің көлемі

(7)

формуласымен есептеледі.

14-мысал. бетімен, , жазықтықтарымен шектелген дененің көлемін табу керек.

Шешуі. Берілген дене жоғарыдан бетімен, төменнен жазықтығымен, ал бүйір жағынан және жазықтықтармен шектелген (11-сурет).

11-сурет

Сондықтан , ал интегралдау аймағы теңсіздіктерімен шектелген (12-сурет). Сонымен

12-сурет

15-мысал. параболоидымен және жазықтығы-мен шектелген дененің көлемін табу керек (13-сурет).

13-сурет

Шешуі. Жоғарыдан параболоидымен, төменнен жазықтығымен шектелген дененің көлемі

Интегралымен анықталады, мұндағы аймағы шеңберімен шектелген. Бұл жағдайда формулаларының көмегімен полярлық координаталар жүйесіне көшеміз. , болғандықтан

Берілген беттермен шектелген денелердің көлемдерін табу керек:

41. (бірінші октантта орналасқан).

42. .

43. .

44. (бірінші октантта орналасқан).

45. .

2.6 Беттің ауданын есептеу

Егер бет теңдеуімен берілсе, онда оның ауданы

(8)

формуласымен анықталады, мұндағы аймағы берілген беттің жазықтығындағы проекциясы.

Егер бет теңдеуімен берілсе, онда оның ауданы

формуласымен анықталады, мұндағы аймағы берілген беттің жазықтығындағы проекциясы.

Егер бет теңдеуімен берілсе, онда оның ауданы

формуласымен анықталады, мұндағы аймағы берілген беттің жазықтығындағы проекциясы.

16-мысал. сферасының цилиндрінің ішіндегі бөлігінің бетінің ауданын табу керек , (14-сурет).

Шешуі. Сфера теңдеуінен

14-сурет

Интегралдау аймағы дөңгелегі болады. Осыдан

Полярлық координаталар жүйесіне көшсек, онда дөңгелектің теңдеуі болғандықтан

46. конусының цилиндрінің ішіндегі бөлігінің бетінің ауданын табу керек.

47. параболоидының цилиндрімен қиғандағы бөлігінің бетінің ауданын табу керек.

48. жазықтығының координата жазықтықтарымен шектелген бөлігінің ауданын табу керек.

49. цилиндрін жазықтықтарымен қиғандағы бөлігінің ауданын табу керек .

50. бетін жазықтықтарымен қиғандағы бөлігінің ауданын табу керек.

2.7 Екі еселі интегралдардың механикада және физикада қолданылуы

жазықтығында аумағы аймағы, ал тығыздығы болатын пластинканың массасы

және остеріне қарағандағы статикалық моменттері

формулаларымен анықталады.

Біртекті пластинка үшін .

Пластинканың аурылық орталығы (кіндігі)

формулаларымен анықталады. Егер (яғни пластинка біртекті) болса, онда

және остеріне қарағандағы инерция моменттері

ал координата бас нүктесіне қарағандағы инерция моменті

формулаларымен анықталады.

17-мысал. эллипсін түзуімен қиғанда пайда болатын сегменттің ауырлық орталығын табу керек , (15-сурет).

Шешуі.

15-сурет

18-мысал. сызықтарымен шектелген пластинканың остеріне, координаталар жүйесінің бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін табу керек , (16-сурет).

16-сурет

Шешуі.

51. Тығыздығы тең түзулерімен шектелген үшбұрышты түрде берілген пластинканың массасын, статикалық моменттерін, ауырлық орталығын (кіндігін) табу керек.

52. параболаларымен шектелген біртекті пішіннің ауырлық орталығын табу керек.

53. сызықтарымен шектелген біртекті пішіннің ауырлық орталығын табу керек.

54. параболасымен және түзуінің қиылысынан пайда болған біртекті пішіннің ауырлық орталығын табу керек.

55. шеңберімен және түзуімен шектелген біртекті пішіннің ауырлық орталығын табу керек.

56. кардиоидасымен шектелген біртекті пішіннің ауырлық орталығын табу керек.

57. түзулерімен шектелген біртекті пішіннің өстеріне (белдеріне) және координаталар жүйесінің бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін есептеу керек.

58. шеңберлерімен шектелген біртекті сақинаның остеріне және координаталар жүйесінің бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін есептеу керек.

59. параболасымен, түзуімен шектелген біртекті пішіннің өстеріне және координаталар жүйесінің бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін есептеу керек.

60. кардиоидасының өстеріне (белдеріне) және координаталар жүйесінің бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін есептеу керек.

3 ҮШ ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАР

3.1 Тік бұрышты координаталар жүйесіндегі үш еселі интегралдар.

кеңістігіндегі тұйық аймақта анықталған функциясы берілсін. Үш өлшемді аймағын кез келген жолмен қарапайым аймақтарға бөлейік. Осы қарапайым аймақтардың көлемдерін , ал оларға сәйкес диаметрлерін арқылы белгілейік, мұндағы аймақтардың диаметрі деп осы аймақтың шекарасындағы (бетіндегі) екі нүктенің ара қашықтықтарының ең үлкенін айтады.

Әрбір қарапайым аймақтардан кез келген бір нүктеден таңдап алып, осы нүктелердегі берілген функциялардың мәндерін сәйкес көлемдеріне көбейтіп қоссақ өрнегіне шығады. Осы қосынды функциясының аймағындағы интегралдық қосындысы деп аталады.

Егер осы интегралдық қосындының шегі бар және ол шек үш өлшемдіге аймағының қарапайым аймақтарға қалай бөлгенінен де, әрбір қарапайым аймақтардан нүктесінің қалай алғанынанда тәуелсіз болса, онда осы шек функциясының аймағындағы үш еселі интегралы деп аталады да былай белгіленеді:

. (3.1)

Егер үш өлшемді аймағында болса, онда үш еселі интегралы тығыздығы болатын денесінің массасына тең болады.

Үш еселі интегралдың негізгі қасиеттері екі еселі интегралдың негізгі қасиеттері сияқты болады.

Интегралдау аймағы , , теңсіздіктерінен анықталсын, мұндағы – үзіліссіз функциялар. Осы аймағында функциясының үш еселі интегралы

(3.2)

формуласымен анықталады.

19-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі теңсіздіктерімен анықталады.

Шешуі.

20-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі теңсіздіктерімен анықталады.

Шешуі.

21-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы үш өлшемді денесі координаталар жазықтықтары мен жазықтығымен шектелген.

17-сурет

Шешуі. денесі жоғарыдан

, ал төменнен жазықтығымен шектелген. денесінің жазықтығындағы проекциясы түзулермен шектелген үшбұрыш. Сонымен

18-сурет

22-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі жазықтықтарымен шектелген.

Шешуі. денесі жоғарыдан , төменнен жазықтығымен шектелген. денесінің жазықтығындағы проекциясы жузулерімен шектелген, яғни , .

Сонымен

19-сурет

61. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі теңсіздіктерімен анықталған.

62. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі теңсіздіктерімен анықталған.

63. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі теңсіздіктерімен анықталған.

64. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі , , , жазықтықтарымен шектелген.

65. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі конустық бетімен және жазықтығымен шектелген.

3.2 Үш еселі интегралдағы айнымалыларды алмастыру

Үш еселі интегралда координаталарынан формулаларының көмегімен координатасына көшу

(3.3)

формуласымен жүзеге асады, мұндағы

– якобиян, ал

өзара бір мәнді функциялар. Бұл функнциялар үш өлшемді аймағында үзіліссіз әрі олардың үзіліссіз бірінші ретті дербес туындылары бар.

Дербес жағдайда тікбұрышты координаталардан

(3.4)

формулаларының көмегімен цилиндрлік координатларға көшкенде якобиан болады. Сондықтан

. (3.5)

20-сурет

Ал тікбұрышты координаталардан

(3.6)

формулаларының көмегімен сфералық координаталарға көшкенде якобиан болады. Сондықтан

. (3.7)

21-сурет

23-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы аймағы цилиндрімен және жазықтық-тарымен шектелген.

Шешуі. Цилиндрлік координаталарға көшейік. Бұл жағдайда немесе ; . Сондықтан

24-мысал. интегралын есептеу керек, мұндағы үш өлшемді аймағы шарымен шектелген.

Шешуі. Сфералық координаталар жүйесіне көшейік. Бұл жағдайда , , . Сондықтан

66. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі цилиндрімен және жазықтықтарымен шектелген.

67. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі цилиндрімен, конусымен және жазықтығымен шектелген.

68. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі цилиндрімен және жазықтықтарымен шектелген.

69. интегралын есептеу керек, мұндағы – шар: .

70. интегралын есептеу керек, мұндағы – шар: .

71. интегралын есептеу керек, мұндағы денесі сферасымен және жазықтықтарымен шектелген.

3.3 Үш еселі интегралдың механикада және физикада қолданылуы.

денесінің көлемі

(3.8)

формуласымен есептеледі.

Тығыздығы болатын денесінің массасы

, (3.9)

ал жазықтықтарына қарағандағы статикалық моменттері сәйкесінше

(3.10)

формуласымен есептелінеді. Біртекті дене үшін

Дененің ауырлық орталығының (кіндігінің) координаталары

(3.11)

формулаларымен анықталады. Егер дене біртекті болса, онда

(3.12)

өстеріне (белдеріне) және нүктесіне қарағандағы инерция моменттері (екпіндік қарымдары) сәйкес

(3.13)

формулаларымен есептелінеді.

25-мысал. параболоидымен және жазықтығымен шектелген дененің көлемін табу керек.

Шешуі. Берілген дене жоғарыдан жазықтығымен, ал төменнен параболоидымен шектелген. Оның жазықтығындағы проекциясы теңсіздігімен анықталатын дөңгелек. Бұл жағдайда цилиндрлік координаталарға көшсек параболоидтың теңдеуі болады. Осыдан

22-сурет

26-мысал. Тығыздығы тұрақты жарты шарының ауырлық орталығының координаталарын табу керек.

Шешуі. Жарты шар симметриялы дене болғандықтан . Дене жоғарыдан бетімен, төменнен жазықтығымен шектелген, ал оның жазықтығындағы проекциясы дөңгелегі болады.

Сфералық координаталарға көшсек, онда болады. Осыдан

27-мысал. конустық бетімен жазықтығымен шектелген, дененің координаттық өстеріне (белдеріне) және бас нүктеге қарағандағы инерция моменттерін табу керек .

Шешуі. Дене жоғарыдан жазықтығымен, төменнен конустық бетімен шектелген. Оның жазықтығындағы проекциясы дөңгелегі болады.

Инерция моменттерін цилиндрлік координаталарға көшу арқылы есептейміз.

72. беттерімен шектелген дененің көлемін табу керек.

73. беттерімен шектелген дененің көлемін табу керек.

74. жазықтықтарымен шектелген дененің көлемін табу керек.

75. беттерімен шектелген дененің көлемін табу керек.

76. беттерімен шектелген дененің көлемін табу керек.

77. Тығыздығы функциясымен анықталған параллелипипедінің массасын табу керек.

78. жазықтықтарымен шектелген, тығыздығы болатын пирамиданың массасын табу керек.

79. параболоидымен және жазықтығымен шектелген біртекті дененің ауырлық орталығын табу керек.

80. жазықтықтарымен шектелген біртекті дененің ауырлық орталығын табу керек.

81. жазықтықтарымен шектелген дененің ауырлық отралығын табу керек .

82. Біртекті шарының координаттық өстеріне (белдеріне) және оның бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін (екпіндік қарымдарын) есептеу керек .

83. жазықтықтарымен шектелген дене-нің координаттық өстеріне және оның бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін есептеу керек .

84. цилиндрімен және жазықтықтарымен шектелген дененің координаттық өстеріне (белдеріне) және оның бас нүктесіне қарағандағы инерция моменттерін (екпіндік қарымдарын) есептеу керек .

ЖАУАПТАРЫ

1. - центрі , ал радиусы болатын шеңберімен шектелген жазықтығының бөлігі.

2. және параболаларының арасында орналасқан және нүктесі тиісті емес жазықтығының бөлігі.

3. Бүкіл жазықтығы.

4. түзуінен жоғары орналасқан жазықтығының бөлігі.

5. параболасынан жоғары орналасқан жазықтығының бөлігі.

6. 1 және 3 ширектерінде орналасқан жазықтығының бөлігі.

7. түзуі тиісті емес жазықтығының бөлігі.

8. параболасы және түзуімен шектелген жазықтығының бөлігі.

9. шеңберімен шектелген және нүктесі тиісті емес жазықтығының бөлігі.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25.

26.

27.

28. 29.

30. 31.

32.

33.

34.

35.

36.

37. 38.

39. 40.

41. 42.

43. 44.

45.

46.

47. 48. 49. Ескерту деп алу керек.

50. 0,82. 51.

52.

53.

54. .

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

69.

70.

71.

72.

73. 74.

75. 76.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

99.

100. 101.

102. 103.

104. 105. Экстремум жоқ.

106.

107. болғанда

108. болғанда болғанда

109.

110.

111.

112.

113.

114.

115. 8. 116. 39. 117. 24. 118. 45. 119. 304. 120. .

121. 168. 122. 3,35. 123. . 124. 1,5. 125. . 126. .

127. 0,5. 128. . 129. 214,65. 130. . 131. 16,65.

132. .

133. . 134. .

135. . 136. .

137. .

138. . 139. .

140. 1,5. 141. 0,5. 142. . 143. .

144. . 145. .

146. . 147. . 148. .

149. . 150. 1,25. 151. .

152. . 153. . 154. .

155. 12. 156. . 157. 24.

158. . 159. . 160. .

161. . 162. . 163. .

164. . 165. .

166. 0,4. 167. . 168. .

169. . 170. .

171. . 172. ; .

173. . 174. .

175. . 176. -2,25. 177. .

178. . 179. . 180. .

181. . 182. . 183. .

184. . 185. . 186. .

187. . 188. 4,5. 189. .

190. . 191. . 192. .

193. . 194. . 195. .

196. ; . 197.

198. ; ; .

Әдебиеттер тізімі

1. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – Москва: Наука, 1966.-736 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – Москва: Наука, 1995.

3. Берман Г.И. Сборник задач по курсу математического анализа. – Москва: Наука, 1985.-384 с.

4. Кручкович Г.И., Гутарина Н.И., Дюбюк П.Е. и другие. – Москва: Высшая школа, 1973.-576 с.

5. Хасеинов К.А. Каноны математики. – Алматы: Атамұра, 2003.

Сайлаубек Ералы ұлы Ералы

Мұрат Шәпен ұлы Тілепі

Көп айнымалы функциялардың

интегралдық есептеулері

Оқу құралы

Редакторы Ж.А. Байбураева

2007ж. қосымша жоспары, ______ реті л

_____________ терілуге берілді

Пішіні 60х84 1/16

№2 типографиялық қағаз

Оқу-баспа таб.- 3,9. Таралымы 100 дана.

Тапсырыс . Бағасы тг.

Басуға қол қойылды.

«Алматы энергетика және байланыс институтының»

Коммерциялық емес акционерлік қоғамының көшірмелі-көбейткіш бюросы

050013, Алматы, А.Байтұрсынұлы көшесі, 126