ЌАЗАЌСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫЊ БІЛІМ ЖЄНЕ ЃЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

Алматы энергетика жєне байланыс институты

М.Ш.Тілепиев, С.Е.Ералы

ЌАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫНЫЊ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Оќу ќ±ралы

Алматы 2005

ББК 22.1 я 7

Т 93

Т 93 Тілепиев М.Ш, Ералы С.Е. Ќатарлар теориясыныњ элементтері: Оќу ќ±ралы.- Алматы: АЭжБИ, 2005-53 бет.

ISBN 9965 – 494 – 98 – 3

Бұл оќу ќ±ралы техникалыќ жоѓары оќу орындарыныњ баѓдарламасына сєйкес жазылѓан. М±нда ќатарлар теориясыныњ негізгі аныќтамалары жєне ќасиеттерін терењ т‰сіну ‰шін, тањдалып алынѓан мысалдар ќарастырылѓан жєне єрбір параграфтыњ соњында есептер берілген. Сондыќтан б±л оќулыќты есептер жинаѓы ретінде пайдалануѓа болады.

Осы оќу ќ±ралыныњ техникалыќ жоѓары оќу орындарыныњ студенттерімен ќатар орта мектептіњ жоѓары сыныптарында факультативтік курс ж‰ргізетін математика пєнініњ м±ѓалімдері де пайдалана алады.

ББК 22.1 я 7

ПІКІР БЕРУШІЛЕР: аль-Фараби атындаѓы Ќазаќ ¦лттыќ

университетініњ «Есептеу математика»

кафелрасыныњ профессоры, физ.-мат.

ғылым. докторы Н.Т.Данаев

Алматы энергетика жєне байланыс институтыныњ жоѓары математика кафедрасыныњ доценті,

физ.-мат. ѓылым. кандидаты ‡.Ќ.Ќойлышов

Ќазаќстан Республикасыныњ Білім жєне Ѓылым министрлігі 2005 жылѓы баспа жоспары бойынша басылады.

ISBN 9965 – 494 – 98 – 3 © Алматы энергетика және

байланыс институты, 2005

Кіріспе

Кµптеген есептерде функцияныњ мєні мен интегралдарды есептеуге немесе дифференциалдыќ тењдеулерді шешуге келіп тоќтайды. Біраќ кµп жаѓдайларда аналитикалыќ тєсілдермен есептердіњ шешімін дєл есептеу м‰мкін емес. Сондыќтан да б±л жаѓдайда оныњ жуыќ шешімін есептеуге тура келеді. Функциялардыњ мєндерініњ, интегралдыњ, дифференциалдыќ тењдеулердіњ жуыќ шешімдерін есептеу ‰шін ќатарлар теориясыныњ мањызы µте зор.

Б±л оќу ќ±ралында ќатарлар теориясыныњ негізгі аныќтамалары мен ќасиеттерін жете т‰сіну ‰шін кµптеген мысалдар ќарастырылѓан. Єрбір параграфтыњ соњында есептер беріліп, оќулыќтыњ соњында б±л есептердіњ жауаптары келтірілген. Сондыќтан б±л оќулыќты есептер жинаѓы ретінде пайдалануѓа болады.

1 Сан ќатары

қандай да бір сан тізбегі берілсе, онда

(1.1)

өрнегін сан қатары деп атайды.

Мұндағы сандары сан қатарының мүшелері, ал саны n-ші немесе жалпы мүшесі деп аталады.

Жалпы мүшесі арқылы сан қатарын қысқаша деп жазуға болады.

1-мысал. қатарыныњ жалпы мүшесі берілген. Алғашқы бес мүшелерін табу керек.

Шешуі: .

2-мысал. қатарының жалпы мүшесі берілген. Алғашқы бес мүшелерін табу керек.

Шешуі:

3-мысал. қатарының жалпы мүшесін табу керек.

Шешуі: Алымында 1, 3, 5,… сандарынан тұратын тізбек арифметикалық прогрессия құрайды, оның n-ші мүшесін формуласы бойынша табамыз. Мұнда , сондықтан .

Бөліміндегі 2, 2², 2³,… сандары геометриялық прогрессия құрайды, оның n-ші мүшесі -ге тең. Осыдан жалпы мүшесі .

4-мысал. қатарының жалпы мүшесін табу керек.

Шешуі: Әрбір мүшесінің дәрежесі мүшесінің нөмірімен сәйкес келеді. Сондықтан n-ші мүшесінің дәрежесі n-ге тең болады. бөлшектерінің алымы бірінші мүшесі 3-ке, айырмасы 1-ге тең арифметикалық прогрессияны құрайды. Онда n-ші мүшесі n+2 -ке тең болады, ал бөлімі бірінші мүшесі 5-ке, айырмасы 3-ке тең арифметикалық прогрессияны құрайды, осыдан n-ші мүшесі 3n+2-ке тең болады. Сонымен қатардың жалпы мүшесі

5-мысал. қатарының жалпы мүшесін табу керек.

Шешуі:

болады.

(1.1) -қатардың алғашқы мүшелерінің қосындыларын

қарастырайық.

онда оларды сан қатарының алғашқы мүшелерініњ қосындылар тізбегі деп аталады, оларды сәйкесінше деп белгілейді, яѓни

(1.2)

қосындысын алғашқы n мүшелерінің қосындысы деп атайды.

Егер сан қатарының алғашқы мүшелерінің қосындылар тізбегінің шегі бар болса, яғни

, (1.3)

онда осы шекті сан қатарының қосындысы, ал қатардың өзін жинақты қатар деп атайды.

Егер (1.3) шегі болмаса, онда берілген сан қатарын жинақсыз дейміз, ондай қатардың қосындысы жоқ.

6-мысал. Мүшелері геометриялық прогрессия болатын

сан қатарыныњ жинаќтылыѓын зерттеу керек.

Шешуі: Мектеп баѓдарламасынан белгілі: . Егер болса, онда қосынды . Олай болса, қатар жинақты.

Ал егер болса, онда берілген қатар жинақсыз, себебі: сондықтан .

Егер болса, онда қатардың алғашқы n мүшелерінің қосындысы

. Осыдан , яѓни қатар жинақсыз.

Егер болса, онда қатарды түрінде жазуға болады. Яѓни оныњ алғашқы n мүшесінің қосындысы

Бұл жағдайда қатардыњ қосындысы анықталмаған, яғни қатар жинақсыз.

Сонымен мынадай қортынды жасауға болады:

Егер болса, онда қатар жинақты, ал егер болса, онда қатар жинақсыз болады.

7-мысал. сан қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: ќатардың жалпы мүшесін екі бөлшектің жарты айырымы ретінде көрсетуге болады. яғни,

олай болса деп жазуға болады. Осыдан , яѓни қатар жинақты.

8-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: Берілген қатар шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінен құралған. Олай болса, қатар жинақты. Оның қосындысын табайық, мұнда

Сан ќатарыныњ негізгі теоремаларын ќарастырайыќ:

а) егер қатары жинақты болса, онда алғашқы m мүшелерін алып тастағанда пайда болған

(1.4)

қатары да жинақты болады. Керісінше алғашқы мүшелері алынып тасталынған қатар жинақты болса, онда берілген қатарда жинақты болады.

(1.4) - қатарды берілген қатардың -ші қалдығы деп атайды;

є) егер қатары жинақты және қосындысы S-ке тең болса, онда қатары да жинақты және қосындысы -ке тең болады;

б) егер және қатарлары жинақты және қосындылары сәйкесінше және болса, онда қатары да жинақты және қосындысы -ѓа тең болады.

9-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: ќатардың жалпы мүшесін түрінде жазсақ, онда қатарды әрқайсысы геометриялық прогрессияның мүшелерінен құралған екі қатардың қосындысы түрінде жазуға болады. Б±л екі қатарда жинақты болады және олардың қосындысы

; ;

олай болса .

Көп жағдайларда қатардың алғашқы n мүшелерінің қосындысы арқылы оның жинақты немесе жинақсыз болуын тексеру өте қиын немесе к‰рделі есептеуді ќажет етеді. Сондықтан қатардың жинақты немесе жинақсыз болуын білу үшін жинақтылық белгісін қолданған жөн.

Қатардың жинақтылығының қажетті белгісі.

Егер қатары жинақты болса, онда оның n-ші (жалпы) мүшесі нөлге ұмтылады, яғни

(1.5)

Ал егер болса, онда қатарды жинақсыз дейміз.

10-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: ;

Осыдан ќатардың жинақтылығының қажетті белгісі орындалмағандықтан, қатарды жинақсыз дейміз.

11-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: ,

онда қатар жинақсыз болады.

12-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: . Ќатардың жинақтылығының қажетті белгісі орындалѓанымен, берілген қатар жинақсыз болады. Себебі

яѓни .

Осыдан қатардың жинақтылығының қажетті белгісі орындалғанымен, оның жинақтылығы немесе жинақсыздығы белгісіз болатындыѓын байќаймыз. Сондықтан қатардың жинақтылығын зерттеу үшін жеткілікті белгісін қарастыруымыз керек.

Қатардың жинақтылығының жеткілікті белгілері

а) бірінші салыстыру белгісі

(1.6)

және

(1.7)

қатарлары берілсін және болсын.

Егер (1.7) -қатар жинақты болса, онда (1.6) -қатар да жинақты болады.

Егер (1.6) қатар жинақсыз болса, онда (1.7) - қатар да жинақсыз болады.

13-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі. , яѓни қажетті белгісі орындалады.

Енді шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінен құралған қатарды қарастырайық. Бұл қатар жинақты болады. теңсіздіктері орындалѓандыќтан, берілген қатарда жинақты болады;

є) екінші салыстыру белгісі.

Егер (1.8)

ақырлы шегі бар болса, онда және қатарлары екеуі де бірдей жинаќты немесе бірдей жинақсыз болады.

14-мысал. Жалпы мүшесі тең болатын қатардың жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: Берілген қатарды жалпы мүшесі болатын жинаќты қатармен салыстырайық.

Яѓни берілген қатар жинақты болады.

б) даламбер белгісі. Мүшелері оң болатын

қатары үшін

(1.9)

болса, онда:

1) болѓанда, қатар жинақсыз;

2) болѓанда, қатар жинақты;

3) болѓанда, қатар жинақты да немесе жинақсыз

да болуы мүмкін.

15-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: ; ; ;

; , яѓни қатар жинақты.

16-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: , ;

; , яѓни қатар жинақты болады.

17-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: , ,

, , яѓни қатар жинақты;

в) коши белгісі. Мүшелері оң болатын қатары үшін

(1.10)

болса, онда:

1) болѓанда, қатар жинақсыз;

2) болѓанда, қатар жинақты;

3) болѓанда, қатар жинақты да немесе жинақсыз

да болуы мүмкін.

18-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: , қатар жинақты.

19-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: ; мұндағы , яѓни қатар жинақты.

20-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: ; , яѓни қатар жинақты;

г) кошидің интегралдық белгісі. Мүшелері оң және өспейтін қатары берілсін: (яғни ) және болсын. М±ндаѓы өспейтін үзіліссіз функция.

Егер меншіксіз интегралы жинақты болса, онда қатары да жинақты болады.

Егер меншіксіз интегралы жинақсыз болса, онда қатары да жинақсыз болады.

21-мысал.

Дирихле қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: олай болса, p>0 болғанда қатардың жинақтылығының қажетті белгісі орындалады.

Енді жеткілікті белгісін қарастырайыќ. Даламбер белгісін қолданайық

;

осыдан Даламбер белгісінің көмегімен қатардың жинақтылығын зерттеу мүмкін еместігін көруге болады. Сол сияқты Коши белгісінің көмегімен тексерсек

болады, яѓни б±л жаѓдайда да ќатардыњ жинаќтылыѓы туралы ешнєрсе айтуѓа болмайды. Енді Кошидің интегралдық белгісін қолданайық. Ол үшін функциясын қарастырамыз. Себебі ,

Осыдан, егер болса, онда ,

ал егер болса, онда .

Сонымен мынадай қортындыға келуге болады. егер болса қатары жинақты, ал егер болса, онда ол жинақсыз болады.

болғанда, яғни жинақсыз қатары гармоникалық қатар деп аталады.

22-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: Қатардың жалпы мүшесінің алымының дәрежесі төртке, ал бөлімінің дәрежесі беске тең. Алымы мен бөлімінің дәрежелерінің айырмасы бірге тең. Сондықтан, берілген қатарға екінші салыстыру белгісін қолданып, гармоникалыќ қатарымен салыстырамыз.

болғандықтан, берілген қатарда жинақсыз болады.

23-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: Қатардың жалпы мүшесінің алымының дәрежесі бірге, бөлімінің дәрежесі үшке тең, олай болса айырмасы екіге тең болады. Сондықтан

жинақты қатарымен салыстыра отырып, берілген қатардың жинақты екендігін көреміз.

24-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: єрі орындалатындыќтан функциясын аламыз.

осыдан қатар жинақсыз.

Ауыспалы тањбалы қатар. Лейбниц белгісі

Ќатар тұрған мүшелерінің таңбалары әртүрлі болатын қатарларды ауыспалы тањбалы қатар дейміз.

Егер бірінші мүшесі оң болса, онда ондай қатарларды

(1.11)

деп жазамыз, мұндағы Осындай ауыспалы тањбалы қатарлардың жинақтылығы Лейбниц белгісі арќылы аныќталады:

Лейбниц белгісі. Егер (1.11) -қатардың мүшелерінің абсолюттік мәндері кемімелі (яғни ) және болса, онда қатар жинақты әрі оның қосындысы бірінші мүшесінен кем болады (яғни ).

Ќатардың қосындысын т‰рінде жазуѓа болады. Мұндағы

(1.12)

қатардыњ n-ші қалдыѓы деп аталады.

Осы ќалдыќтыњ да тањбалары ауыспалы қатар болғандықтан, Лейбниц белгісін қолдануға болады, олай болса . Осыдан жуықтап есептеу кезінде - жіберілген қатесі болып табылады.

25-мысал. қатарын дәлдікпен есептеу керек.

Шешуі: осы қатардың бірнеше мүшелерін есептейік:

; ; ; ; ; .

Осыдан .

Енді таңбалары айнымалы қатардың кейбір қасиеттеріне тоқталайық.

Таңбалары айнымалы

(1.13)

ќатары және осы қатардың мүшелерінің абсолютті мәні бойынша алынған

(1.14)

қатары берілсін.

Егер (1.14) -қатары жинақты болса, онда (1.13) -қатары да жинақты болады. Бұл жағдайда (1.13) - қатарды абсолютті жинақты қатар дейді.

Бірақ, керісінше, (1.13) -қатары жинақты болғанымен, (1.14) -қатары жинақсыз болуы да м‰мкін.

Егер (1.13) -қатары жинақты, ал (1.14) -қатары жинақсыз болса, онда (1.13)- қатары шартты жинақты деп аталады.

Егер қосындылары сәйкес S және болатын абсолют жинақты және қатарлары берілсе, онда

қатары да абсолют жинақты болады. Осы қатар қатарлардың көбейтіндісі деп аталады да, - ѓатең болады.

26-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек, мұнда -кезкелген сан.

Шешуі: Берілген қатардың мүшелерінің абсолют мәні арқылы алынған қатарды қарастырамыз:

қатары жинақты, себебі бірінші салыстырмалы белгі бойынша , ал қатары жинақты (21-мысалды қараңыз, ). Осыдан берілген қатар абсолют жинақты.

27-мысал. қатарының абсолют немесе шартты жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі: Мүшелерінің абсолютті мәні бойынша құрылған қатарын қарастырайық. Бұл қатар жинақты, себебі екінші салыстыру белгісі бойынша 21-мысалда көрсетілгендей қатарымен салыстырсақ, онда .

Олай болса, берілген қатар абсолют жинақты болып табылады.

28-мысал. қатарының абсолютті немесе шартты жинақтығын зерттеу керек.

Шешуі: Лейбниц белгісін қолданайық олай болса, қатар жинақты.

Енді мүшелерінің абсолют мәні арқылы алынған қатарын қарастырайық. Бұл қатар гармоникалық қатар, ал ол жинақсыз болѓандыќтан берілген қатар шартты жинақты болады.

29-мысал. Абсолют жинақты және қатарларының көбейтіндісін табу керек.

Шешуі: Қатарлардың көбейтіндісі де қатар болады.

болғандықтан, қатарды былай жазамыз

немесе .

Мүшелері комплекс сан болатын қатарлар

Жалпы мүшесі болатын

(1.15)

ќатары мүшелері нақты сан болатын және қатарлары бірдей жинақты болғанда ғана жинақты болады.

Егер қатары жинақты болса, онда (1.15)- қатар абсолют жинақты болады.

30-мысал. қатарының жинақтылығын зерттеу керек.

Шешуі:

Осыдан ; Мүшелерінің модулінен құралған қатарын құрайық. Бұл қатардың мүшелері шексіз кемімелі геометриялық прогрессия құрайтын болғандықтан, ол жинақты. Олай болса, берілген қатар абсолютті жинақты.

Қатардың алғашқы бес мүшесін жазу керек:

1.		2.		3.		4.
5.		6.		7.		8.

Қатардың жалпы мүшесін жазу керек.

9.		10.
11.		12.
13.		14.
15.		16.

Қатарлардың жинақтылығын зерттеу керек.

17.	18.		19.			20.
21.	22.		23.			24.
25.	26.		27.			28.
29.			30.
31.			32.

33.		34.			35.
36.		37.			38.

39.				40.
41.				42.
43.				44.
45.				46.
47.				48.
49.				50.
51.				52.

53.	54.	55.
56.	57.	58.
59.	60.	61.
62.	63.	64.
65.	66.	67.

68. ќатары берілген.

Егер

а) және q- кез келген немесе және болғанда қатар жинақты;

є) және q- кез келген немесе және болғанда қатар жинақсыз екендігін дәлелдеу керек.

Ауыспалы таңбалы қатардың жинақтылығын зерттеңіз. Жинақты болған жағдайда, оның абсолютті немесе шартты жинақты болатындығын зерттеу керек.

69.		70.
71.		72.
73.		74.
75.		76.
77.		78.
79.		80.

Мүшелері комплекс сан болатын қатардың жинақтылығын зерттеу керек.

81.		82.
83.		84.

85-мысал. Абсолютті жинақты және

қатарының көбейтіндісін табу керек.

86-мысал. Абсолютті жинақты қатарының квадратын табу керек (өзіне - өзін көбейту).

Қатарларды дәлдікпен есептеу керек.

87.		88.
89.		90.

2 Функционалдыќ ќатарлар

Мүшелері нақты х айнымалысыныњ функциясы болатын

(2.1)

қатарын функционалдық қатар дейді.

Егер функционалдық қатар Х жиынының әрбір х мєнінде жинаќты болса, онда осы ќатар Х жиынында жинақты болады.

Егер (2.1) -қатары Х жиынында жинақты болса, онда оның қосындысы осы облыста анықталған функция болады.

Алғашқы n мүшелерінің қосындысы болса, онда . Мұндағы берілген қатардың мүшелерінің қалдығы деп аталады.

Егер (яғни кез келген саны үшін нөмері табылып, барлық үшін Х облысының әрбір х үшін ) болса, онда (2.1) қатарды бірқалыпты жинақты дейміз.

Егер (2.1)-қатары үшін Х облысында шартын қанағаттандыратын жинақты қатары табылса, онда соњѓы сандыќ қатарды мажорантты қатар дейміз.

Вейерштрасс белгісі. Егер (2.1) - функционалдық қатары Х облысында мажорантты болса, онда ол Х жиынында бірқалыпты жинақты болады.

Х жиынында мажорантты болатын функционалдыќ ќатардыњ ќосындысы ‰зіліссіз функция болады.

Егер мүшелері үзіліссіз функция болатын қатары Х облысында бірқалыпты жинақты және қосындысы болса, онда қатары да жинақты және қосындысы тең болады, мұндаѓы .

қатары бірқалыпты жинақты болса, онда оныњ қосындысы (2.1) -қатарының қосындысының туындысына тең болады, яғни .

1-мысал. қатарының жинақты облысын табу керек.

Шешуі: х >1 болса, онда қатар жинақты, ал болса, онда қатар жинақсыз болады (Дирихле қатарын қара).

2-мысал. қатарының жинақты облысын табу керек.

Шешуі: қажетті белгісі орындалады.

болсын. Жалпы мүшесі болатын гармоникалық (жинақсыз) қатарын қарастырсақ, онда . Олай болса, екінші салыстырмалы белгі бойынша берілген қатар жинақсыз.

Егер болса, енді берілген қатардың мүшелері шексіз кемімелі геометриялық прогрессиясының мүшелерінен кіші болады, яғни берілген қатар жинақты. Сонымен, қатар болғанда жинақты, ал болса жинаќсыз болады.

3-мысал. қатары (-1;1) интервалында бір қалыпты емес жинақты екендігін көрсету керек.

Шешуі: Берілген қатар көрсетілген интервалда жинақты болады.

немесе . Бірақ .

Сонымен, қатар бірқалыпты емес жинақты болады.

4-мысал. қатарын Вейерштрасс белгісінің көмегімен аралығында бірқалыпты жинақты екендігін көрсету керек.

Шешуі: және қатары жинақты, онда берілген қатар кез келген х үшін бірқалыпты жинақты.

Дәрежелік қатар.

(2.2)

түрінде берілген функционалдық қатар дәрежелік қатар деп аталады. Мұндағы - нақты сандар.

Абель теоремасы. 1. Егер дәрежелік қатар болғанда жинақты болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір х үшін де қатар жинақты болады.

2. Егер дәрежелік қатар болғанда жинақсыз болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір х үшін де қатар жинақсыз болады.

Абель теоремасынан мынадай тұжырым жасауға болады:

Кез келген дәрежелік қатардыњ жинақты облысы ретінде интервалы алынады. Мұндағы R-жинақты радиусы, ал жинақты интервалы деп аталады. нүктелерінде қатардың жинақтылығын тексеру үшін дәрежелік қатарѓа мәндерін ќойѓанда пайда болатын сандыќ ќатарларды тексеру жеткілікті.

Егер болса, онда дәрежелік қатар тек нүктесінде жинақты болады.

Егер болса, онда дәрежелік қатар х-тің кез келген мәнінде жинақты болады.

Дәрежелік қатардың жинақты радиусы немесе формулаларымен есептеледі.

Егер ќатар түрінде берілсе (мұндағы p - тұрақты сан), онда б±л жаѓдайда радиус немесе формулаларымен аныќталады.

Егер = болса, онда = және

, мұндағы .

Жинақты интервалында дәрежелік қатарды кез келген рет мүшелеп дифференциалдауѓа және интегралдауѓа болады.

дәрежелік қатары берілсін, мұндағы , . Бұл жағдайда дәрежелік қатардың жинақты облысы дөңгелегі болады.

5-мысал. қатарының жинақты облысын табу керек.

Шешуі: ; ; ;

яғни жинаќты облысы болады. Енді интервалдың шекаралыќ нүктелерінде қатардың жинақтылығын зерттейік:

болса, онда қатар жинақсыз (Дирихле қатары).

болса, онда қатар жинақты, себебі және Лейбниц белгісі орындалады.

Сонымен, жауабы .

6-мысал. қатарының жинақты облысын табу керек.

Шешуі:

;; ; жинақты облысы (-1; 1) болады. Енді интервалдың шекараларыныњ нүктелерінде қатардың жинақтылығын зерттейік:

х =1 болсын. қатарын тексерейік. Қажетті белгісі , ал жеткілікті белгісі бойынша

олай болса, қатар жинақты.

Енді х=-1 мәнінде қатардың жинақтылығын зерттейік: . Бұл қатар жинақты, себебі мүшелерінің абсолют мәндері бойынша алынған қатар жинақты. Олай болса, жауабы .

7-мысал. қатарының жинақты облысын анықтау керек.

Шешуі: ; ; олай болса, қатар тек мәнінде ғана жинақты.

8-мысал. қатарының жинақты облысын анықтау керек.

Шешуі:

; ; ; олай болса, қатар х-тің кез келген мәнінде жинақты, яғни .

9-мысал. қатарының жинақты облысын анықтау керек.

Шешуі: ; ; жинақты облысы болады. Енді интервалды шекараларыныњ мәндерінде қатардың жинақтылығын зерттейік:

болсын. қатарын қарастырайық. Бұл қатар жинақты (Дирихле қатары, ) . болсын. қатары абсолют жинақты болады, себебі мүшелерінің абсолют мәндері бойынша алынған қатар жинақты. Олай болса жауабы .

10-мысал. қатарының жинақты облысын анықтау керек.

Шешуі: ; ; жинақты облысы болады. болѓанда қатар, ал болѓанда қатар жинақсыз болады.

Сондыќтан жауабы .

11-мысал. қатарының жинақты облысын табу керек.

Шешуі: ; ; олай болса немесе ; болѓанда қатары жинақсыз болады. болѓанда ќатары жинаќты болады. Себебі Лейбниц белгісі бойынша ,

Олай болса, .

12-мысал. .

Шешуі: ; ; олай болса ; болѓанда қатары жинақсыз, себебі ; болѓанда ќатары да жинаќсыз.

Сондықтан жауабы .

13-мысал. қатарының қосындысын қатарының мүшелерін дифференциалдау арқылы табу керек.

Шешуі: Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысының формуласын қолдансақ, онда .

Енді дифференциалдасақ, онда болады.

14-мысал. қатарының қосындысын табу керек.

Шешуі: Берілген қатарды дифференциалдаѓанда пайда болѓан ќатар шексіз кемімелі геометриялыќ прогрессия болѓандыќтан, болады. Мұндағы . Енді 0-ден х аралығында интегралдасақ, онда

.

15-мысал. қатарының жинақты облысын табу

керек.

Шешуі: ; олай болса, қатардың жинақты

облысы теңсіздігін қанағаттандыратын дөңгелек болып табылады.

Функционалдық қатарлардың жинақты облысын табу керек

91.		92.
93.		94.
95.		96.
97.		98.

Берілген аралықта функционалдық қатардың бірқалыпты жинақтылығын дәлелдеу керек

99.		100.
101.		102.

Дәрежелік қатардың жинақты облысын табу керек

103.	104.	105.
106.	107.	108.
109.	110.	111.
112.	113.	114.
115.	116.	117.
118.	119.	120.
121.	122.	123.
124.	125.	126.

Қатардың қосындысын табу керек

127.
128.
129.
130.
131.
132.

Қатардың жинақты облысын табу керек

133.		134.
135.		136.

3 Тейлор және Маклорен қатарлары

функциясы аралығында анықталған және кез келген ретті туындылары бар болсын. Тейлор формуласы бойынша

мұндағы , .

Егер болса, онда

(3.1)

қатары Тейлор қатары деп аталады.

- Тейлор қатарының қалдық мүшесі дейді.

Егер болса, онда Тейлор қатары Маклорен қатары деп аталады да.

(3.2)

т‰рінде жазылады.

Егер функциясы аралыѓында аныќталып кез келген n үшiн теңсіздігі орындалса (мұндағы - оњ тұрақты сан), онда осы функция Тейлор қатарына жіктеледі. Кейбір функциялардың Маклорен қатарына жіктелуін көрсетейік:

1.	(3.3)
2.	(3.4)
3.	(3.5)
4.	(3.6)
5.	(3.7)
6.	(3.8)

Соңғы жіктеуде:

Дербес жағдайда:

а) ; (3.9)

є) (3.10)

б) (3.11)

7. (3.12)

1 - мысал. функциясын х дәрежесі бойынша жіктеу керек.

Шешуі: Берілген функцияның және оның туындыларының нүктесіндегі мәндерін табайық.

Енді функцияны Маклорен қатарына жіктейік.

Бұл функцияны Маклорен ќатарына жіктеу ‰шін белгілі функциясының жіктелуін қолдану арќылы да табуѓа болады. Ол үшін х-ті µрнегімен ауыстыру керек.

2 - мысал. функциясын х дәрежесі бойынша жіктеу керек.

Шешуі: функциясының жіктелуін пайдаланып, х-тің орнына алсақ, онда .

3 - мысал. функциясын х дәрежесі бойынша жіктеу керек.

Шешуі: , болѓандыќтан

болады, осыдан

4 - мысал. функциясын Маклорен қатарына жіктеу керек.

Шешуі: тењдігін және функциясының жіктелуін қолдансақ, онда

Бұл қатар аралығында жинақты болады.

5 - мысал. функциясын Маклорен қатарына жіктеу керек.

Шешуі: тењдігін және функциясының жіктелуін қолданып, х-тің орнына -ті алмастырсақ, онда

6 - мысал. функциясын Маклорен қатарына жіктеу керек.

Шешуі: болѓандыќтан . М±ндаѓы А=1, В=-1. Сондыќтан функциясының жіктелуін пайдалансақ:

яѓни .

7 - мысал. функциясын (х-4) дәрежесі бойынша жіктеу керек.

Шешуі: деп алсаќ, онда . Осы функцияѓа функциясының жіктелуін қолдансаќ,

Осыдан .

функциясы нүктесінің аймағында анықталған және кез келген ретте дифференциалданатын болса, онда функциясын нүктесінде Тейлор қатарына жіктеуге болады:

Егер болса, онда

. Б±л қатар Маклорен қатары деп аталады.

8 - мысал. функциясыныњ нүктесіндегі Тейлор қатарыныњ ‰ш мүшесін жазу керек.

Шешуі: ; ; ; ; .

Енді нүктесіндегі мәндерін есептеу керек.

; ; ;

; ; .

Онда .

Көп жағдайларда дифференциалдық теңдеулердің т‰бірлерін, функциялардың мәндерін, шектерін және анықталған интегралдарды есептеулерде олардыњ аналитикалыќ шешімдерін табу м‰мкін емес. Сондықтан бұл жағдайларда олардыњ шешімдерін Тейлор қатарыныњ кµмегімен кез келген дєлдікпен жуыќтап есептеуге болады.

Бізге бірінші ретті теңдеуі берілсін, оның алғашқы шарты болсын. Осы теңдеудің шешімін Тейлор қатары арқылы көрсетейік:

мұндағы , , .

9 - мысал. , алғашқы шарттарын қанағаттандыратын теңдеуінің шешімін табу керек.

Шешуі: ; ; .

; ;

Жуыќтап есептеулерде функцияларының Маклорен қатарларына жіктелуін пайдалану керек. Ал логарифмді есептеу үшін кейбір жағдайларда

формуласын пайдаланған тиімді.

10 - мысал. е санын 0,0001 дәлдікпен есептеу керек.

Шешуі: е^х функциясының жіктелуін қолданамыз. Онда болѓанда болады. санын жуық мәнінің қатесі 0,0001 дәлдігінен аспайтындай етіп таңдап алуымыз керек. болѓандыќтан , мұндағы .

Егер болса, онда .

Егер болса, онда ,

яѓни .

11 - мысал. санын 0,0001 дәлдікпен есептеу керек.

Шешуі: функциясының жіктелуін қолдансаќ

Бұл жағдайда екі мүшесін алу керек себебі , яѓни

12 - мысал. санын 0,0001 дәлдікпен есептеу керек.

Шешуі: 528 санына жақын бүтін санның кубы болып табылады, сондыќтан 528 санын 528=512+16 қосындысы түрінде жазуға болады. Олай болса

Төртінші мүше 0,0001-санынан кіші болғандықтан алѓашќы ‰ш м‰шелерініњ ќосындысын аламыз, сондыќтан .

13 - мысал. шегін табу керек.

Шешуі: функциясының Маклорен қатарын ќолдансаќ .

14 - мысал. интегралын 0,001 дәлдәкпен есептеу керек.

Шешуі: функциясының жіктелуін пайдалана отырып қатарын аламыз.Осыдан .

Үшінші мүшесі 0,001 санынан кіші болғандықтан, алғашқы екі мүшесін алсақ жеткілікті .

Келесі функцияларды х-тіњ дәрежесі бойынша қатарға жіктеу керек.

137.		138.
139.		140.
141.		142.
143.		144.
145.		146.
147.		148.

Келесі функцияларды -њ дәрежесі бойынша қатарға жіктеу керек.

149.		150.
151.		152.

153. функциясын нүктесінде дәрежесі тµртінші ретті м‰шесіне дейін жіктеу керек.

154. функциясын нүктесінде дәрежесі тµртінші ретті м‰шесіне дейін жіктеу керек.

155. функциясын нүктесінде дәрежесі тµртінші ретті м‰шесіне дейін жіктеу керек.

156. функциясын нүктесінде дәрежесі ‰шінші ретті м‰шесіне дейін жіктеу керек.

Тейлор қатарының кµмегімен тµмендегі дифференциалдық теңдеулердің шешімін табу керек:

157. .

158.

159.

160.

Келесі сандарды 0,0001 дәлдікпен есептеу керек.

161.	162.	163.
164.	165.	166.
167.	168.	169.
170.

171. х - тің қандай мәндерінде формуласы 0,01; 0,001; 0,0001 сандарынан артық болмайтын қателіктер жібереді?

172. х - тің қандай мәндерінде формуласы 0,01; 0,001; 0,0001 сандарынан артық болмайтын қателіктер жібереді?

Төмендегі шектерді Тейлор қатарының көмегімен есептеу керек.

173.		174.
175.		176.

Тейлор қатарының көмегімен төмендегі анықталған интегралдарды дәлдіктерімен есептеу керек.

177.		178.
179.		180.
181.		182.
183.		184.

4 Фурье қатары

сегментінде анықталған, периоды болатын функциясының Фурье қатары деп

(4.1)

қатарын айтады, мұндағы

; ; ;

- Фурье ќатарыныњ коэффициенттері деп аталады.

Егер (4.1) -қатары жинақты болса, онда оның қосындысы периоды болатын функция болады.

Дирихле теоремасы: функциясы сегментінде экстремум мәндерінің саны ақырлы және ақырлы бірінші ретті үзілісті нүктелерінен басқа нүктелерінде үзіліссіз болсын. Пайда болған қатардың қосындысы үзіліссіз болатын нүктелерінде функциясының мәніне, яғни = , ал үзілісті нүктелерінде берілген функциясының оң жақ және сол жақ шектерінің арифметикалық ортасына, яғни

, , нүктесінде тең болады.

Ескерту. Интеграл есептеу кезінде, оның мынадай қасиеттерін пайдалану керек:

Егер функциясы жұп болса, онда

Егер функциясы тақ болса, онда

Сонымен қатар .

1 - мысал. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек.

Шешуі: Фурье қатарының коэффициенттерін табайық.

Олай болса

2 - мысал. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек.

Егер деп алсақ, онда .

Егер функциясы тақ болса, яғни = -, онда Фурье коэффициенттері

Ал егер функциясы жұп болса, яғни = , онда Фурье коэффициенттерін

, формулаларымен есептеуге болады.

3 - мысал. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек.

Шешуі: Жұп функция болғандықтан, .

Осыдан .

Периоды болатын функциясы аралығында Фурье қатарына жіктелсе, мұндағы кез келген сан, онда оның коэффициенттері

формулаларымен табылады.

4 - мысал. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеңіз.

Шешуі: Бұл жағдайда = 0.

Осыдан .

Егер периоды болатын функциясы сегментінде берілсе, мұндағы кез келген сан, онда Дирихле теоремасының шарттары осы сегментте орындалғанда, функциясын Фурье қатарына жіктеуге болады.

мұндағы

Егер функциясы жұп болса, онда

, .

Егер функциясы тақ болса, онда

5 - мысал. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеңіз.

Шешуі: .

Осыдан .

Егер функциясы аралығында берілсе, онда осы функцияны аралыѓында Фурье қатарына жіктеу үшін, оны аралығында Дирихле теоремасының шарттарын қанағаттандыратын кез келген функциямен жалғастыруѓа болады.

Егер аралығында - функциясын қарастырсақ, онда б±л жағдайда функция тақ функция болады, олай болса Фурье қатарына "синус" бойынша жіктеледі деп аталады.

Егер аралығында функциясын алсақ, онда бұл жағдайда функция жұп болады, және Фурье қатарына "косинус" бойынша жіктеледі деп атаймыз.

6 - мысал. аралығында функциясы берілсін, ал аралығында осы функциясының әр түрлі жағдайларын қарастырып, оны Фурье қатарларына жіктеу керек:

а)

є) (синус бойынша);

б) (косинус бойынша).

Шешуі: а) аралығында болсын.

Осыдан ;

є) аралығында болсын, яғни функция тақ, олай болса, Фурье қатарына "синус" бойынша жіктейміз. Бұл жағдайда ; .

Олай болса ;

б) аралығында болсын, яғни функция жұп, олай

болса, Фурье қатарына "косинус" бойынша жіктейміз. Бұл жағдайда .

;

Егер деп белгілесек, онда .

Егер функциясы Ох өсінің кез келген ақырлы сегментінде Дирихле шарттарын қанағаттандырса және барлық сан өсінде абсолют интегралданса, яғни - жинақты, онда осы функциясы үшін . Фурьенің интегралдық формуласы дұрыс болып табылады.

Фурье интегралы комплекстік түрде

деп жазуға болады.

Жұп функция үшін Фурье интегралы

ал тақ функция үшін

Соңғы үш формулаларынан Фурье түрлендірулерін алуға болады:

а) Фурье түрлендіруінің жалпы түрі.

(тура),

(кері);

є) Фурье косинус-түрлендіруі (жұп функциялар үшін)

(тура),

(кері);

б) Фурье синус-түрлендіруі (тақ функциялар үшін)

(тура),

(кері).

7 - мысал. функциясының Фурье түрлендіруін есептеу керек.

Шешуі:

8 - мысал. функциясының косинус және синус- түрлендірулерін есептеу керек. .

Шешуі: .

Бұл жағдайда тењдігін ќолдансаќ онда

Осы сияқты табуға болады.

Керісінше функциясын тапсақ, онда

осыдан , Лаплас интегралын алуға болады.

Берілген интегралда функцияларды Фурье қатарына жіктеу керек.

185.	, .	186.	, .
187.	, .	188.	, .

189. дербес жағдайын қарастыру керек:

а) ; ә) ; б) ; в) .

190. дербес жағдайын қарастыру керек:

а) ; ә) ; б) ; в) .

191.	, .	192.	, .
193.	, .	194.	, .
195.	, .	196.	, .
197.	, .	198.	, .
199.	, .	200.	, .
201.	, .	202.	.

203. жарты периодында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек:

а) синус бойынша; є) косинус бойынша.

204. жарты периодында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек:

а) синус бойынша; є) косинус бойынша.

205. жарты периодында функциясын синус бойынша Фурье қатарына жіктеу керек.

206. жарты периодында функциясын косинус бойынша Фурье қатарына жіктеу керек.

207. функциясының Фурье түрлендіруін табу керек.

208. функциясының Фурье түрлендіруін табу керек.

209. функциясыныњ синус және косинус түрлендірулерін табу керек.

ЖАУАПТАРЫ

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

Жинақты.

18.

Жинақты.

19.

Жинақсыз.

20.

Жинақсыз.

21.

Жинақты.

22.

Жинақты.

23.

Жинақты.

24.

Жинақты.

25.

Жинақты.

26.

Жинақты.

27.

Жинақты.

28.

Жинақты.

29.

Жинақсыз.

30.

Жинақсыз.

31.

Жинақсыз.

32.

Жинақсыз.

33.

Жинақты.

34.

Жинақты.

35.

Жинақты.

36.

Жинақты.

37.

Жинақты.

38.

Жинақты.

39.

Жинақты.

40.

Жинақты.

41.

Жинақты.

42.

Жинақты.

43.

Жинақты.

44.

Жинақты.

45.

Жинақты.

46.

Жинақты.

47.

Жинақсыз.

48.

Жинақты.

49.

Жинақты.

50.

Жинақты.

51.

Жинақты.

52.

Жинақты.

53.

Жинақсыз.

54.

Жинақты.

55.

Жинақсыз.

56.

Жинақсыз.

57.

Жинақты.

58.

Жинақты.

59.

Жинақты.

60.

Жинақсыз.

61.

Жинақты.

62.

Жинақсыз.

63.

Жинақты.

64.

Жинақты.

65.

Жинақсыз.

66.

Жинақты.

67.

Жинақты.

68.

Ескерту. Кошидің интегралдық белгісін пайдаланған жөн.

69.

Шартты жинақты.

70.

Жинақсыз.

71.

Шартты жинақты.

72.

Абсолют жинақты.

73.

Абсолют жинақты.

74.

Шартты жинақты.

75.

Жинақсыз.

76.

Шартты жинақты.

77.

Абсолют жинақты.

78.

Шартты жинақты.

79.

Абсолют жинақты.

80.

Абсолют жинақты.

81.

Жинақсыз.

82.

Шартты жинақты.

83.

Абсолют жинақты.

84.

Абсолют жинақты.

85.

86.

87.

0,632

88.

0,841

89.

0,459

90.

0,645

91.

абс. жинақты, жинақсыз.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.

103.

104.

105.

106.

107.

108.

109.

110.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.

121.

122.

123.

124.

125.

126.

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.

146.

147.

148.

149.

150.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161.

0,9511

162.

1,6487

163.

0,1973

164.

0,6931

165.

1,6094

166.

1,6487

167.

3,0801

168.

5,0666

169.

0,6065

170.

0,0392

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

0,7468

178.

0,94608

179.

0,4931

180.

0,487

181.

0,071

182.

0,2505

183.

0,102

184.

0,2483

185.

186.

187.

188.

189.

190.

191.

192.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

200.

201.

202.

203.

а)

є)

204.

а) є)

205.

206.

207.

208.

209.

Әдебиеттер тізімі

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное

вычисления. -т.2, Наука, 1978.

2. Бармант А.Ф.6 Араманович И.Т. Краткий курс

математического анализа. Наука, 1974.

3. Фролов Н.А. Курс математического анализа.

Просвещение, 1964.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.

Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Наука, 1981.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая

математика в упражнениях и задачах: в 11ч-М.: Высш.шк., 1980.

Мазмұны

Кіріспе ………………………………………………………………………..3

1 Сан ќатары.…………………….………………………………………….4

2 Функционалдыќ ќатарлар …………………………………..…………..21

3 Тейлор жєне Маклорен ќатары…………………………………………29

4 Фурье ќатары………………...…………………………………………..38

Жауаптары ………………………………………………………………….47

Әдебиеттер тізімі……………………………………………………………51

М±рат Шапен±лы Тілепиев

Сайлаубек Ералы±лы Ералы

ЌАТАРЛАР ТЕОРИЯСЫНЫЊ ЭЛЕМЕНТТЕРІ

Оќу ќ±ралы

Редакторы Ж.А. Байбураева

2005ж. жин. таќ. жоспары, реті __6__

Теруге берілген к‰ні ____________

Пішімі 60х84 1/16

Типография ќаѓазы №2

Оќу-баспа таб.-3,3. Таралымы дана. Тапсырыс __ Бағасы 106 тг

Басуѓа ќол ќойылды.

Алматы энергетика және байланыс институтының

кµшірмелі-кµбейткіш бюросы

480013 Алматы, А. Байтұрсынұлы көшесі, 126 үй.

17.	18.		19.			20.
21.	22.		23.			24.
25.	26.		27.			28.
29.			30.
31.			32.

33.		34.			35.
36.		37.			38.

39.				40.
41.				42.
43.				44.
45.				46.
47.				48.
49.				50.
51.				52.

17.	18.		19.			20.
21.	22.		23.			24.
25.	26.		27.			28.
29.			30.
31.			32.

33.		34.			35.
36.		37.			38.

39.				40.
41.				42.
43.				44.
45.				46.
47.				48.
49.				50.
51.				52.

17.	18.		19.			20.
21.	22.		23.			24.
25.	26.		27.			28.
29.			30.
31.			32.

33.		34.			35.
36.		37.			38.

39.				40.
41.				42.
43.				44.
45.				46.
47.				48.
49.				50.
51.				52.