АЛМАТИНСКИЙ ИНСТИТУТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

 

 

Алгебра и геометрия.

Методические указания и задания

к выполнению расчетно-графических работ

(для студентов очной формы обучения специальности

050704 – Вычислительная техника и программное обеспечение)

Часть 1

 

Алматы 2007

        

СОСТАВИТЕЛИ: Л.Н. Астраханцева, Л.Н.Ким,  М.Ж.Байсалова. Алгебра и геометрия. Методические указания  и задания к   выполнению расчетно-графической работы для студентов очной  формы обучения специальности 050704 – Вычислительная  техника и программное обеспечение. -Алматы: АИЭС, 2007.- 26 с.

 Методические указания и задания к расчетно-графической работе содержат типовой расчет №1 дисциплины «Алгебра и геометрия» для студентов очной формы обучения специальности 050704 – Вычислительная техника и программное   обеспечение. Приведены основные теоретические вопросы программы. Дано решение типового варианта.

          Ил. 1, табл. 9, библиогр. – 4 назв.

Рецензент: канд.физ.-мат.наук, проф. С.Е.Базарбаева.

 Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества «Алматинский институт энергетики и связи» на 2007 г.

 ã НАО «Алматинский институт энергетики и связи», 2007 г.

1 Типовой  расчёт 1. Векторная и линейная алгебры

1.1 Теоретические вопросы

1 Определители, их свойства, вычисление.

2 Матрицы, действия над ними, обратная матрица.

3 Ранг матрицы и его вычисление.

4 Векторы, их длина, линейные операции над векторами. Коллинеарность, компланарность, ортогональность векторов, угол между векторами.

5 Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их приложения.

1.2 Расчётные  задания

1 Вычислить определитель второго порядка

Т а б л и ц а 1

 2  Дан определитель третьего порядка:

а) найти минор M и алгебраическое дополнение A элемента a;

б) разложить определитель по i-ой строке;

в) вычислить определитель, разложив его по j-му столбцу;

г) вычислить по правилу треугольника (правилу Саррюса).

Т а б л и ц а 2

 3 Даны матрицы  А, В, С, Д:

а) найти матрицы 3С+2Д, С-4Д;

б) найти матрицу  В, транспонированную матрице В.

Т а б л и ц а 3

 продолжение таблицы 3

 продолжение таблицы 3

 продолжение таблицы 3

 4  Даны матрицы  А, В, С   (в задании 3):

а) возможно ли произведение матриц АВ, ВС ? Объяснить почему, если невозможно; найти произведение, если возможно;

б) найти матрицу , обратную матрице  А.

 5   Даны точки А и В:

а) найти координаты векторов  и ;

б) найти длину вектора  (или расстояние между точками А и В);

в) найти середину отрезка АВ.

Т а б л и ц а 4

 6  Даны векторы , , :

а) найти модуль (длину) вектора ;

б) найти скалярное произведение векторов  и . Будут ли эти векторы ортогональны?

в) найти векторное произведение векторов  и ;

г) найти смешанное произведение векторов , , . Будут ли эти векторы   компланарны?

д) проверить, будут ли векторы   и  коллинеарны?

е) найти косинус угла между векторами  и ;

ж) найти проекцию вектора   на вектор .

Т а б л и ц а 5

 7 Вычислить определитель четвёртого порядка

Т а б л и ц а 6

 продолжение таблицы 6

 8  Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , если даны разложения этих векторов по базису , длины векторов ,  угол   между векторами

Т а б л и ц а 7

продолжение таблицы 7

 9 Даны вершины А, В, С, D пирамиды:

а) найти площадь указанной грани;

б) найти площадь сечения, проходящего через середину указанного ребра и две вершины пирамиды;

 в) найти объём пирамиды.

Т а б л и ц а 8

продолжение таблицы 8

 10 Вычислить ранг матрицы двумя способами:

а) методом окаймляющих миноров;

б) методом  элементарных преобразований.

Указать базисный минор.

Т а б л и ц а 9

продолжение таблицы 9

 1.3 Решение типового варианта

1        Вычислить определитель второго порядка .

Решение:

по формуле  имеем =(-2) 7-4 5= -14-20 = -34.

2  Дан определитель третьего порядка  , i=2, j=3:

а) найти минор M и алгебраическое дополнение A элемента a;

б) разложить определитель по i-ой строке;

в) вычислить определитель, разложив его по j-му столбцу;

г) вычислить по правилу треугольника (правилу Саррюса).

Решение: 

a) минор Mэлемента aравен определителю, полученному из данного после вычёркивания i-ой строки и j-го столбца. Таким образом, вычёркиваем в нашем определителе вторую строку и третий столбец, получаем  М== 15 – 4 = 11. Алгебраическое дополнение элемента aвычисляем по формуле

 A=(-1)M. Значит А=(-1)11= -11;

б)  формула разложения определителя по i-ой строке для определителя n - го порядка имеет вид = ,где A алгебраическое дополнение элемента a. Так как i = 2, j = 3, то формула перепишется так . Искомое разложение имеет вид ;

в) j = 3. Формула разложения по третьему столбцу имеет вид . Таким образом,

= 2 – 88 – 12 = - 98;

г) правило треугольника: определитель третьего порядка равен сумме шести членов; члены со знаком плюс получают при перемножении по три элемента определителя, взятых по схеме , члены со знаком минус – по схеме. Поэтому   

3-4. Даны матрицы  А=, В=, С=, Д=:     

а) найти матрицы 3С+2Д, С-4Д;

б) найти матрицу  В, транспонированную матрице В;

в) возможно ли произведение матриц АВ, ВС ? Объяснить почему, если невозможно; найти произведение, если возможно;

г) найти матрицу А, обратную для матрицы А.

Решение:

а)  3С+2Д = 3+2=.

С - 4Д = -4==;

  б)  матрица, транспонированная матрице В, получается заменой строк матрицы В её столбцами с теми же номерами: В= ;

в)  произведение матриц АВ возможно, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Размеры матриц: А, В, С, Д. Таким образом,  АВ=  – произведение невозможно.    ВС=  – произведение возможно.

Произведением матриц АВ является матрица С, число строк которой равно числу строк матрицы А, число столбцов равно числу столбцов матрицы В: . Элемент матрицы С равен сумме произведений i–ой строки матрицы А на j–ый столбец матрицы В. Таким образом, В С = = .           .

Итак, ;

г) обратная матрица для квадратной матрицы существует, если определитель матрицы не равен нулю; не существует, если – равен нулю. Обратная матрица А для матрицы

А =  находится по формуле  где  – определитель матрицы А;  – алгебраические дополнения элементов . Найдём определитель матрицы А: =  = 880, следовательно А существует. Определим алгебраические дополнения всех элементов матрицы А

Составим А по вышеуказанной формуле

А= =

5 Даны точки А(7, -9, 3) и  В(1, 0, -5):

а) найти координаты векторов  и ;

б) найти длину вектора  (или расстояние между точками А и В);

в) найти середину отрезка АВ.

Решение:

а) координаты вектора  по координатам начала А() и конца

В() находят по формуле = (). Таким образом, = (1-7, 0-(-9), -5-3) = (-6, 9, -8); = (7-1, -9-0, 3-(-5)) = (6, -9, 8) или

= - = - (-6, 9, -8) = (6, -9, 8);

б) длина (модуль) вектора  или расстояние между точками А и В обозначается  и находится по формуле = . Значит в нашем случае == ;

в) середина  С отрезка АВ имеет координаты С.

У нас С= С( 4, -9/2, -1 ).

6  Даны векторы :

а) найти модуль (длину) вектора ;

б) найти скалярное произведение векторов  и . Будут ли эти векторы ортогональны?

 в) найти векторное произведение векторов  и ;

 г) найти смешанное произведение векторов , , . Будут ли эти векторы  компланарны?

д) проверить, будут ли векторы   и  коллинеарны?

е) найти косинус угла между векторами  и ;

ж) найти проекцию вектора   на вектор .

Решение:

для векторов  имеют место формулы:

а) модуль (длина) вектора : ;

б) скалярное произведение векторов  и : . Если векторы ортогональны, то ;

в) векторное произведение векторов  и

 ;

г)  смешанное произведение векторов , , : , если эти векторы компланарны, то ;

д) если векторы  и  коллинеарны, то  или ;

е) косинус угла  между векторами  и

 ;

ж) проекция вектора   на вектор    .

По этим формулам в нашем варианте мы получим:

а) ;

б) , так как , то векторы  и  не ортогональны;

в) ;

г)  Так как , то векторы не компланарны;

д) для векторов  и :  и , следовательно векторы  и  не коллинеарны;

е) ;

ж) .

 

7 Вычислить определитель четвёртого порядка

Решение:

используя свойства определителей получим в одной из его строк  или столбцов нули. Выберем второй столбец, где уже есть два нуля: умножим первую строку на (-2) и прибавим к последней, получим  . Теперь разложим определитель по второму столбцу

.

8 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах ₌  и ₌, если длины векторов равны =3, =2,  угол   между векторами равен .

Решение:

по свойствам векторного произведения имеем: . Площадь параллелограмма, построенного на векторах  и  равна .

9 Даны вершины пирамиды А(-1,0,4), В(2,1,-1), С(-3,4,5), D(0,1,-2):

а) найти площадь указанной грани АВD;

б) найти площадь сечения, проходящего через середину указанного ребра ВD  и вершины А и С;

 в) найти объём пирамиды.

Решение:

сделаем схематический чертеж

                                                          Рисунок 1

а) так как площадь треугольника, построенного на векторах  и , равна , то . Найдем координаты векторов

, =(1,1,-6). .

;

           б) К(1;1;-1,5) – середина ВD. , . . ;

           в) объем пирамиды, построенной на векторах , ,  равен . Поэтому .

.

           Таким образом  .

10 Вычислить ранг матрицы  двумя способами:

а) методом окаймляющих миноров;

б) элементарных преобразований.

Указать базисный минор.

Решение:

а) начнем с левого верхнего угла. Минор второго порядка , поэтому возьмем другой . Рассмотрим миноры, окаймляющие ,  (т.е. содержащие в себе ):

.

Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 2 (, ранг – наибольший порядок не равного нулю минора). Базисный минор ;

б) с помощью элементарных преобразований будем приводить матрицу к ступенчатому виду

.

На первом шаге первая строка была умножена на (-2) и прибавлена ко второй, затем умножена на (-1) и прибавлена к третьей, получены нули в первом столбце ниже первой строки. На втором шаге вторую строку умножили на (-2) и прибавили к третьей. Получена ступенчатая матрица . В ней две ненулевые строки или существует минор второго порядка, например, . Поэтому . Так как матрицы  и  эквивалентны , то их ранги равны . За базисный минор можно взять .

 Список литературы

 

       1. Апатенок Р.Ф., Маркина А.М. Сборник задач по линейной алгебре. - Мн.: Выш. Школа, 1980. – 192 с.

       2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. – М.: Высшая школа, 2003. – ч. 1,2.-352 с.

       3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. (Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др.). Под ред. Рябушко А.П. – Минск: Высш. школа, 2000.-ч.1.-396 с.

       4. Хасеинов К.А. Каноны математики: Учебник. – Алматы, 2003.-686 с.

 

Содержание

 

1 Теоретические вопросы………………………………….....…………….….3

2 Расчётные задания……………………………………..………………….….3

3 Решение типового варианта……………………………..………………….15

Список литературы ……………………………………………………………24

 

                                             Сводный план 2007 г., поз. 139     

 

Астраханцева Людмила Николаевна

Ким Людмила Николаевна

Байсалова Маншук Жумамуратовна